2019-2020学年江西省南昌市新建一中高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江西省南昌市新建一中高一上学期期中数学试题一、单选题1．集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是 A ．{1，2，3，4} B ．{1，2，3，4，5} C ．{0，1，2，3，4，5} D ．{0，1，2，3，4}【答案】D【解析】分析：解出不等式得5x <，小于5的自然数有5个． 详解：由题意5x <，又x ∈N ，∴集合为{0,1,2,3,4}．点睛：用列举法表示集合，关键是求出集合中的元素，本题要注意集合的代表元的性质x ∈N ．2．已知三个数0.70.80.76,0.7,0.8a b c ===，则三个数的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】D【解析】分别考查指数函数y ＝6x，y ＝0.7x以及幂函数y ＝x 0.7的单调性，即可比较三个幂值的大小 【详解】解：∵指数函数y ＝6x 在R 上为单调增函数，∴a ＝60.7＞60＝1∵指数函数y ＝0.7x 在R 上为单调减函数，∴b ＝0.70.8＜0.70.7＜0.70＝1 ∵幂函数y ＝x 0.7在（0，+∞）上为单调增函数，∴0.70.7＜0.80.7＝c ＜1 ∴a ＞c ＞b 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数、幂函数的图象和性质，利用函数单调性比较大小，取中间量比较大小的技巧3．()()01f x x =-的定义域是（ ） A ．()1-+∞B ．(),1-∞-C ．RD ．()()1,11,-⋃+∞【答案】D【解析】试题分析：，故选D.【考点】函数的定义域. 4．已知函数()22x f x a -=+的图像恒过定点A ，则点A 的坐标为（ ）A ．()0,1B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,2【答案】B【解析】根据01a =即可得到结果. 【详解】解：令指数x ﹣2＝0可得：x ＝2，且：f （2）＝a2﹣2+2＝3，据此可得函数恒过定点（2，3），即A 的坐标为A （2，3）． 故选：B ． 【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数恒过定点问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．5．下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（ ） A ．y=x 5 B ．5x y = C ．2log y x =D ．1y x -=【答案】A【解析】对于A ：5y x =为奇函数且在R 上单调递增，满足题意；对于B ：5x y =为非奇非偶函数，不合题意；对于C ：2log y x =为非奇非偶函数，不合题意；对于D ：1y x -=在整个定义域内不具有单调性，不合题意，故选A.6．已知函数()()2log 03,0x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()10f -的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】因为(10)(7)(4)(1)(2)f f f f f -=-=-=-=，而2(2)log 21f ==，所以(10)1f -=，故选D.7．对于x ∈R ，不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先将指数函数化成同底，再根据指数函数的单调性建立不等关系，解决恒成立问题转化成图象恒在x 轴上方即判别式小于零即可． 【详解】解：22232311()222x a xaxx a x R ---+⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，不等式＜根据y 12x⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是单调减函数 则x 2﹣2ax ＞﹣3x ﹣a 2在R 上恒成立，即x 2+（3﹣2a ）x +a 2＞0在R 上恒成立，△＝（3﹣2a ）2﹣4a 2<0解得34a ＞， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题，以及根据指数函数的单调性求解不等式，属于基础题． 8．函数f(x)＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为( ) A ．－3 B ．13 C ．7 D ．5 【答案】B【解析】试题分析：由题意知函数的对称轴，所以，所以，故选B ．【考点】函数的单调性．9．函数()2log f x x =在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 等于（ ） A ．12BCD ．2【答案】D【解析】由函数f （x ）＝log 2x ，不难判断函数在（0，+∞）为增函数，则在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为f （a ）与f （2a ），结合最大值是最小值的2倍，可以构造一个关于a 的方程，解方程即可求出a 值． 【详解】 解：∵2＞1，∴f （x ）＝log 2x 是增函数． ∴2log 2a ＝log 22a ． ∴log a 2＝1． ∴a ＝2． 故选：D ． 【点睛】函数y ＝a x和函数y ＝log a x ，在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f （﹣x ）与f （x ）的图象关于Y 轴对称，其单调性相反，故函数y ＝a ﹣x和函数y ＝log a （﹣x ），在底数a ＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a ＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．10．已知映射:f A B →,其中A B R ==，对应法则:f x若对实数m B ∈,在集合A 中存在元素与之对应，则m 的取值范围是（ ） A ．3m ≤ B ．3m ≥ C ．3m > D ．03m <≤ 【答案】D【解析】试题分析：()222111x x x +=+-≥-,22111333x xy +-⎛⎫⎛⎫∴=≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又22103x x+⎛⎫> ⎪⎝⎭,221033x xy +⎛⎫∴<=≤ ⎪⎝⎭．m B ∈,03m ∴<≤．故D 正确．【考点】1指数函数的值域,单调性；2映射．11．已知lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先求出a 、b 的关系，将函数g （x ）进行化简，再进行判定. 【详解】已知lg lg 0a b +=，则lgab=0，即ab=1， 则g （x ）=-log b x=log a x ，f （x ）=a x ，根据对数函数和指数函数的图象，若0<a<1，选项中图象都不符合， 若a>1,选项B 符合. 故选B 【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的图象，以及对数的运算性质.12．已知3()x x f x e e x -=-+，则不等式(21)(4)0f x f x ++-<的解集为（ ） A ．(,5)-∞- B ．(,5)-∞ C ．(5,)-+∞ D ．(5,)+∞【答案】A【解析】判断函数f （x ）为奇函数且在R 上单调递增，则 ()()2140f x f x ++-<可转为2x+1<x-4，即得答案. 【详解】 由()3xxf x e ex -=-+得()()-3--=-x x f x e e x f x =-,所以函数f(x)为奇函数且在R 上单调递增，则不等式()()2140f x f x ++-<⇔f （2x+1）<f （x-4），即2x+1<x-4，解得：x ＜-5．∴不等式()()2140f x f x ++-<的解集为(),5-∞-． 故选:A ． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式,属于中档题．二、填空题13．已知幂函数()af x x =的图象过点)2，则()9f =______.【答案】81【解析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f （9）的值 【详解】解：∵幂函数f （x ）＝x α图象过点)，∴f α==2，解得α＝2， ∴f （x ）＝x 2， ∴f （9）＝92＝81． 故答案为：81． 【点睛】本题考查幂函数表达式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用．14．函数1y x =-的递增区间是______. 【答案】[1，+∞）【解析】画出函数y ＝|x ﹣1|的图象，数形结合可得函数的增区间． 【详解】解：函数y ＝|x ﹣1|的图象如图所示： 数形结合可得函数的增区间为[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞）．【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．15．方程3log 5x x =-实数解的个数为______. 【答案】1【解析】通过方程构造函数的表达式，通过函数的图象，判断方程解的个数． 【详解】解：方程3log 5x x =-解的个数，即函数y ＝|log 3x |与y ＝x ﹣5交点的个数， 如图：两个函数的图象有一个交点，所以方程3log 5x x =-解的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查作图能力，转化思想的应用．16．已知函数()()2,1log 3,11x a x f x x x ⎧≥⎪=⎨+-<<⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是______.【答案】[2，+∞）【解析】分段函数为增函数，则每段均为增函数，且在分界点处前一段函数的值不大于后一段函数的值，由此构造关于a 的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：∵对任意()()1212120f x f x x x x x -≠-，都有＞成立，∴函数()()()()21311xa x f x log x x ⎧≥⎪=⎨+-⎪⎩＜＜在R 上为增函数 故当x ＝1时，21≥log a （1+3），且a ＞1解得a ≥2故答案为：[2，+∞） 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，对数函数的单调性及分段函数的单调性，其中正确理解分段函数的单调性的意义是解答的关键．三、解答题17． 已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2<x<3}，B={x|﹣3≤x≤2}.(1)求A∩B ； (2)求(∁U A)∪B ； 【答案】（1）{x|-2＜x≤2}（2）{x|x≤2，或3≤x≤4} 【解析】【详解】全集{}|4U x x =≤，集合{}{}|23,|32A x x B x x =-<<=-≤≤， 故{}|22A B x x ⋂=-<≤，(){|2U A x x =≤-ð或}34x ≤≤， 故(){|2U A B x x ⋃=≤ð或}34x ≤≤18．计算下列各式：（要求写出必要的运算步骤） （1）0210.751310.02725636---⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭；（2）312log 2273log 164lg 25lg 439log 4⎛⎫++++⎪⎝⎭.【答案】（1）32（2）163【解析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则和换底公式即可得出． 【详解】 解：（1）原式1330.3⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-62344143⨯+-+1103=-36+6413-+1＝32．（2）312log 2273log 1642lg16lg 3lg 25lg 43lg10029log 43lg 27lg 4⎛⎫++++=+⨯++ ⎪⎝⎭221622333=+++=. 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算法则和换底公式，考查计算能力，属于基础题． 19．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性； （3）求使()0f x >的x 的取值范围.【答案】（1）（﹣1，1）（2）见解析（3）()0,1【解析】（1）根据使函数解析式有意义的原则，可构造关于x 的不等式组，求出f （x ）的定义域；（2）由（1）中函数的定义域为（﹣1，1），再由f （﹣x ）＝ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）＝﹣f （x ），可知此函数为奇函数．（3）根据对数函数的单调性，将不等式转化为分式不等式，进而再转化为整式不等式，可得满足条件的x 的取值范围． 【详解】解：（1）若使函数解析式有意义，自变量x 须满足： x +1＞0，且1﹣x ＞0， 解得：﹣1＜x ＜1，故f （x ）的定义域为（﹣1，1）（2）由（1）中函数的定义域（﹣1，1）关于原点对称，又由f （﹣x ）＝ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）为奇函数（3）∵f （x ）＝ln （x +1）﹣ln （1﹣x ）11xln x+=-， 若f （x ）＞0，即101xlnx+-＞， ∴111xx +-＞ ∴01x x <-， ∴01x ＜＜∴()0f x >的x 的取值范围()0,1 【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，解不等式，是函数的图象和性质与不等式的综合应用，难度中档．20．已知函数2()22f x x x =-+在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的最小值为()g t ． （1）求()g t 的函数表达式；（2）画出()g t 的简图，并写出()g t 的最小值．【答案】（1）221,0,()1,01,22, 1.t t g t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（2）见解析【解析】【试题分析】（1）由于函数()f x 的对称轴为1x =且开口向上，所以按11,11,1t t t t +≤≤+三类，讨论函数的最小值()g t .（2）由（1）将分段函数()g t 的图象画出，由图象可判断出函数()g t 的最小值. 【试题解析】（1）依题意知，函数()f x 是开口向上的抛物线， ∴函数()f x 有最小值，且当2122b x a -=-=-=时，()min 1f x =． 下面分情况讨论函数()f x 在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的取值情况： ①当闭区间[],1t t + (),1⊂-∞，即0t <时，()f x 在1x t =+处取到最小值， 此时()()()2212121g t t t t =+-++=+；②当[]1,1t t ∈+，即01t ≤≤时，()f x 在1x =处取到最小值，此时()1g t =；③当闭区间[](),11,t t +⊂+∞，即1t >时，()f x 在x t =处取到最小值，此时()222g t t t =-+． 综上，()g t 的函数表达式为()221,0,1,01,22, 1.t t g t t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩（2）由（1）可知，()g t 为分段函数，作出其图象如图：由图像可知()min 1g t =．【点睛】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.由于二次函数的解析式是知道的，即开口方向和对称轴都知道，而题目给定定义域是含有参数的动区间，故需要对区间和对称轴对比进行分类讨论函数的最值.21．已知函数()xf x a b =-（0b >）的图象过点()2,0A ，()1,2B ． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()4log 81f ；（3）解方程()221f x =-．【答案】（1）f （x ）＝4﹣2x （2）﹣5（3）{}2log 5【解析】（1）根据f （x ）的图象过点A 、B 两点，求出b 、a 的值，得f （x ）的解析式；（2）由f （x ）的解析式求出f （log 481）的值；（3）由f （x ）的解析式化简方程f （2x ）＝﹣21，求出解来即可．【详解】解：（1）∵f （x ）＝a ﹣b x（b ＞0）的图象过点A （2，0），B （1，2）， ∴2020a b a b b ⎧-=⎪-=⎨⎪⎩＞2200b b b ⎧--=⎨⎩＞ 解得b ＝2，a ＝4；∴函数f （x ）＝4﹣2x ；（2）∵f （x ）＝4﹣2x ，∴f （log 481）＝44812log -＝4292log -＝4﹣9＝﹣5；（3）∵f （x ）＝4﹣2x ，∴方程f （2x ）＝﹣21可化为4﹣22x ＝﹣21，即4+21＝22x ，∴22x ＝25，∴2x ＝5，解得x ＝log 25．【点睛】本题考查了函数的性质的应用问题，也考查了求函数解析式与计算函数值的问题，是综合性题目．22．已知()()()f xy f x f y =+.（1）若x ，y R ∈，求()1f ，()1f -的值；（2）若x ，y R ∈，试判断()y f x =的奇偶性；（3）若函数()f x 在其定义域()0,∞+上是增函数，()21f =，()()23f x f x --≤，求实数的取值范围.【答案】（1）f （1）＝0，f （-1）＝0（2）见解析（3）{x |2＜x ≤4}【解析】（1）利用已知条件，通过赋值法即可f （1），f （﹣1）的值；（2）通过（1）f （﹣1）＝0，利用函数的奇偶性定义，判断y ＝f （x ）的奇偶性； （3）利用函数f （x ）在其定义域（0，+∞）上是增函数，结合f （2）＝1，f （x ）+f （x ﹣2）≤3，得到不等式组，即可求x 的取值范围．【详解】解；（1）令x ＝y ＝1，则f （1）＝f （1）+f （1），所以f （1）＝0；又令x ＝y ＝﹣1，则f （1）＝f （﹣1）+f （﹣1），所以f （﹣1）＝0；（2）令y ＝﹣1，则f （﹣x ）＝f （x ）+f （﹣1），由（1）知f （﹣1）＝0所以f （﹣x ）＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，（3）因为f （4）＝f （2）+f （2）＝1+1＝2所以f （8）＝f （2）+f （4）＝1+2＝3因为f （x ）+f （x ﹣2）≤3所以f [x （x ﹣2）]≤f （8）因为f （x ）在（0，+∞）上是增函数所以()02028x x x x ⎧⎪-⎨⎪-≤⎩＞＞，即0224x x x ⎧⎪⎨⎪-≤≤⎩＞＞ 所以{x |2＜x ≤4}，所以不等式的解集为{x |2＜x ≤4}【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的值的求法，奇偶性的判断，单调性的应用，考查计算能力．。