清华大学附属中学2019届高三第一次模拟考试数学(文)

清华大学附属中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{1,0,1,2}M =-,{|21,}N y y x x M ==+∈,则集合N M 等于（A ）{1,1}-（B ）{1,2}（C ）{1,1,3,5}-（D ）{1,0,1,2}-2.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学,在某景区,由于时间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选,据了解,在甲、乙两个景点中有18人会选择甲,在乙、丙两个景点中有18人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是①该班选择去甲景点游览; ②乙景点的得票数可能会超过9; ③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等. （A ）①②（B ）①③（C ）②④（D ）③④3.已知平面向量,,a b c 均为非零向量,则“()()⋅⋅=⋅⋅a b c b c a ”是“向量,a c 同向”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件4.若,x y 满足20,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则y x -的最大值为（A ）2- （B ）1- （C ）2 （D ）45.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 （A ）842+（B ）2++（C ）2+（D ）2+6.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,若||8AB =,则线段AB的中点M 到直线10x +=的距离为 （A ）2（B ）4（C ）8（D ）167.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，11,24AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（A ） 4 （B ）3 （C ）8 （D ）68.地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1000名乘客所需的时间如下:则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 （A ）A （B ）B （C ）D （D ）E第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分． 9.函数1||2y x =+的最大值是______.10.,A B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如下表:根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过37元,且B 小区参加献爱心活动的同学比A 小区的同学至少多1人,则接受服务的老人最多有______人.11.已知圆22:2410C x y x y +--+=内有一点(2,1),P 经过点P 的直线l 与圆C 交于,A B 两点,当弦AB恰被点P 平分时,直线l 的方程为______.12.在等差数列{}n a 中30a =,如果k a 是6a 与6k a +的等比中项,那么k =______. 13.已知函数1()cos f x x x=+,给出下列结论:①()f x 在π(0,)2上是减函数; ②()f x 在(0,π)上的最小值为2π; ③()f x 在(0,2π)上至少有两个零点.其中正确结论的序号为______.（写出所有正确结论的序号） 14．无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意*n ∈N ，{}1,2n S ∈．①数列{}n a 的前三项可以为____； ②数列{}n a 中不同的项最多有____个.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象.16.（本小题满分13分）已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1=1，b 1=2，a 2+b 2=7，a 3+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）若c n ={b n ,n 为偶数a n ,n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项和S 2n ．已知某单位全体员工年龄频率分布表为:．．．率分布直方图和如下：（Ⅰ）求a；（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA ⊥AC ，AB ⊥BC ．设D ，E 分别为PA ，AC 中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．19.（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--.（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）当01a 时，求()f x 零点的个数.20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为(,0)F c ，左顶点为A ，右顶点B 在直线l :2x =上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．PF文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题9.1210. .3511.10x y --= 12.9 13.①③14.1,1,0（答案不唯一）；4 三．解答题15.解：（I ）2224cos sin 13336f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 132ππ=+14112⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭1=-.……. 3分 （Ⅱ）()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 166x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭14cos cos 122x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 1x x x =-+2cos2x x =-12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………………………………………..9分所以()f x 的最小正周期22T π==π.………………………………….10分 因为[]0,x ∈π，所以112,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 列表如下：6π6π xx12…………………………..13分16.解：（I ）数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，设公差为d ，公比为q ． 由于：a 1=1，b 1=2，a 2+b 2=7，a 3+b 3=13． 则：{a 1+d +b 1q =7a 1+2d +b 1q 2=13，解得：q =2，d =2．故：a n =a 1+2(n −1)=2n −1b n =b 1q n−1=2n ． …………………………..6分 （II ）由于：c n ={b n ,n 为偶数a n ,n 为奇数，则：c n ={2n ,n 为偶数2n−1,n 为奇数．故：S 2n =1+22+3+24+⋯+(4n −3)+4n ， =n(1+4n−3)2+4⋅(4n −1)4−1，=2n 2−n +4n+1−43． …………………………..13分17.解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：(0.010.040.080.0250.025)51a +++++⨯=．所以0.02a =．（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共24人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁的男职工共12人．由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为0.15，所以男职工共有12800.15=人， 所以女职工有14080=60-人，所以男女比例为4∶3．（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为0.05． 由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有4人，分别记为1234,,,A A A A ． 又全体员工年龄在[25, 30)岁的有6人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有2人，分别记为12,B B ．从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有121314()()()A A A A A A ，，，，，， 111223242122343132()()()()()()()()()A B A B A A A A A B A B A A A B A B ，，，，，，，，，，，，，，，，，，414212()()()A B A B B B ，，，，，15种情况，其中一男一女的有111221223132()()()()()()A B A B A B A B A B A B ，，，，，，，，，，，，4142()()A B A B ，，，8种情况， 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为815． ……………………13分18.解：（Ⅰ）证明：因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． …．（4分）（Ⅱ）证明：因为平面PAC ⊥面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，又PA ⊂平面PAC ，PA ⊥AC ，所以PA ⊥面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ．又因为AB ⊥BC ，且PA ∩AB =A ，所以BC ⊥面PAB ． …．（9分）（Ⅲ）解：当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．取AB 中点F ，连EF ，连DF ．由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点，所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ．又因为DE ∩EF =E ，所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．故当点F 是线段AB 中点时，过点D ，E ，F 所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行． …．（14分）19.解：（I ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得'(1)0f =，解得1a. 当1a 时，(21)(1)'()x x f x x+-=. 所以'()001,'()01f x x f x x <⇔<<>⇔>.所以()f x 减区间为(0,1)，增区间为(1,).所以函数()f x 在1x =时取得极小值，其极小值为(1)0f ，符合题意 所以1a =.……………………………………………………………………5分 （II ）令(21)(1)'()0x ax f x x+-==，由01a ，得11x a . 所以11'()00,'()0f x x f x x a a<⇔<<>⇔>. 所以()f x 减区间为1(0,)a ，增区间为1(,)a . 所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a . 因为01a ，所以1ln 0,1a a <>. 所以110a -<.所以11()ln 10f a a a .因为21(2)(2)(2)()11a a a a e f e e e e e ， 又因为01a ，所以20a e .所以1()0f e . 根据零点存在定理，函数()f x 在1(0,)a上有且仅有一个零点. 因为ln x x ，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-.令30ax a +->，得3a x a . 又因为01a ，所以31a a a . 所以当3a x a 时，()0f x . 根据零点存在定理，函数()f x 在1(,)a 上有且仅有一个零点. 所以，当01a 时，()f x 有两个零点.………………………………13分20.解：（Ⅰ）依题可知(0)B a ，，2a =因为12c e a == ， 所以1c =b 故椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)(0)y k x k =+≠． 则点D 坐标为24)k （，，BD 中点E 的坐标为22)k （，， 由得．设点的坐标为，则． 所以，． 22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)1616120k x k x k +++-=P 00(,)x y 2021612234k x k --=+2026834k x k -=+00212(2)34k y k x k =+=+因为点坐标为，①当时，点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标 为．此时以为直径的圆与直线相切． ② 当时，直线的斜率． 所以直线的方程为,即214104k x y k ---=． 故点到直线的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-=== （或直线的方程为224401414k k x y k k --=--, 故点到直线的距离） 又因为k R BD 42== ，故以为直径的圆与直线相切． 综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切． 解法二:（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．F (1, 0)12k =±P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF 12k ≠±PF 0204114PF y k k x k ==--PF 24(1)14k y x k=--E PF PF EPF d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-BD PF BD PF BD PF证明如下: 设点00(,)P x y ,则220001(0)43x y y +=≠ ① 当01x =时,点的坐标为，直线PF 的方程为1x =， 点的坐标为，此时以为直径的圆与直线相切， ② 当1x ≠时直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 点D 的坐标为004(2,)2y x +,中点的坐标为002(2,)2y x +,故002||||2y BE x =+ 直线的斜率为001PF y k x =-, 故直线PF 的方程为00(1)1y y x x =--,即00110x x y y ---=, 所以点到直线的距离000012|21|2||||2x y y d BE x --⨯-===+ 故以为直径的圆与直线相切．综上得，当点P 运动时，以为直径的圆与直线相切． P 3(1, )2±D (2, 2)±BD 22(2)(1)1x y -+=PF BD E PF E PF BD PF BD PF。