圆第一节
六年级上册数学-第1节 圆的认识(一)丨北师大版 ppt课件
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为了使游戏公平，他们能不能帮 他们设计出一个方案？
为什么站 成圆形就 公平了呢？
每人离目的的 间隔都一样。
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上面我们接触了三种图形—直线、正方形、 圆。
其中圆是有点特殊的，他能说说圆与正方形 的不同之处吗？
圆的边是一条曲线，正方形的 边是四条线段。
圆上的点到圆中心的间隔都 相等，正方形边上的点到正 方形中心的间隔; 不一定相等。
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三、稳定练习
1.标出圆中各部分的称号。
圆心 直径
圆 半径
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2.填空。
〔1〕时钟的分针转动一周构成的图形是 〔 圆 〕。
〔2〕从〔 圆心〕到〔圆上〕恣意一点的 间隔叫作半径。
〔3〕经过〔 圆心 〕并且〔 交点 〕都在 〔圆上〕的线段叫作直径。
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2.填空。
〔4〕在同一个圆里，一切的半径都 〔相等 〕，一切的〔 直径 〕也都相等， 直径长等于半径的〔 2倍 〕。
手柄 中轴
画圆时，固定点〔圆规
针尖〕不能动，圆规两脚之
笔头
针脚
间的间隔不能变。
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试一试
请同窗们本人试着用圆规画一个圆 。 思索问题： 在用圆规画圆的过程中，圆规的“针尖〞、 圆规张开的两脚之间的长度各起什么作用？ “针尖〞决议圆的位置。 圆规张开的两脚之间的长度决议圆的大小。
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认一认
指出圆各部分的称号。
他能举出生活中看到圆的例子吗？
圆桌
方向盘
太阳 ;
闹钟
动手操作
他们谁会画圆？本人动手试一试。
利用圆规画圆 利用直尺画圆
利用手画圆
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谁来展现一下本人画的圆，并 说说他是怎样画的？画的时候 要留意什么？
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
论有
( C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10．(2021·随州第12题3分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延 长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为440 0°°.
11．(2022·随州第12题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60 °，则∠AOC的度数为121020°°.
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
(2)若AB＝10，BE＝2 10，求BC的长． 解：如图，连接 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC. ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC. ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10， ∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中， 52－t2＝(2 5)2－(5－t)2. 解得 t＝3.∴BF＝4.∴BC＝8.
长是
( A)
A．10
B．8
C．6
D．4
7．★(2019·十堰第8题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB 的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13，则AE的长为( D ) A．3 B．3 2 C．4 3 D．2 3
8．(2022·宜昌第7题3分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB, OD,
(4)若∠CAB＝30°，则∠CDB＝3300°°，∠COB＝6600°°，∠OCB＝6600°°；若
B 为︵CD的中点，则∠BCD＝3300°°； (5)当 CD⊥AB 时，若 AB＝10，CD＝8，则 BE＝22，AE＝88，BC＝22 5 ， AC＝44 5 ；
人教版六年级上册数学第五单元《圆的认识》说课
折一折
2024/9/22
折过若干次 后，可以发 现什么？
直径 d
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
2024/9/22
圆心
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
2024/9/22
认一认
直径 d
2024/9/22
（１） （２） （３）
2024/9/22
小组合作探究：
在同一个圆 （1）直径有什么特点？ （2）半径有什么特点？ （3）它们之间有什么关系？
2024/9/22
小组合作探究得出结论：
在同一个圆里
（1）直径有什么特点？无数条 都相等
（2）半径有什么特点？无数条 都相等
（3）它们之间有什么关系？
d=2r
rr==
dd
2
2024/9/22
2024/9/22
2024/9/22
2024/9/22
2024/9/22
用 圆 规 画 圆
圆的画法： 定半径 定圆心 旋转一周
2024/9/22
想一想
2024/9/22
0 1 2 3 4
量一量
012345
圆心到圆上任意一点的距离都相等。
2024/9/22
想一想
直径 d
2024/9/22
r r
•r do
2024/9/22
2024/9/22
r
• do
r r
r
d•
d=r+r
o
r
d=2r
r=
d 2
在同一个圆里，直径是半径的２倍，半径是直径的一半．
古希腊数学家曾说过： “在一切的平面图形中，圆是最美丽的！”
我们生活的每一个角落，圆都在演 绎着重要的角色，并成为美的使者和 化身， 正因为有了圆，我们的世界变 得如此美妙而神奇。以上就是我的全 部说课内容。在此也祝各位老师工作 顺利，教师节快乐！
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第六章 圆 第一节 圆的基本性质
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧G︵E上
一点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°
1．垂径定理的应用类型： (1)如图，下列五个结论：①︵AC＝C︵B；②︵AD＝D︵B；③AM＝BM； ④AB⊥CD；⑤CD 是直径．只要满足其中的两个，另外三个结论 一定成立(简称为“知二推三”)； (2)如图，在 Rt△AOM 中，满足 r2＝d2＋a2，利用勾股定理可以对半径、 弦、弦心距“知二求一”．
又∵AD＝BC，∴EC＝BC.∴OM＝ON， ∴CO 平分∠BCE.
命题点 2：垂径定理及其推论(近 6 年考查 2 次)
4．(2020·安徽第 9 题 4 分)已知点 A，B，C 在⊙O 上，则下列命题为真
命题的是
(B)
A．若半径 OB 平分弦 AC，则四边形 OABC 是平行四边形
B．若四边形 OABC 是平行四边形，则∠ABC＝120°
第六章 圆 第一节 圆的基本性质
1．如图，AB，CD 是⊙O 的直径，连接 AC，BC，AD，BD，若∠ABC＝40°， 则∠AOC＝8 80°0°，∠ADC＝4040°°，∠ACB＝9 90°0°，∠BAC＝ 5 500°°.
2．(RJ 九上 P90 练习 T9 改编)如图，在以点 O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点，若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝ 8，且圆心 O 到线段 AB 的距离为 6，则 AC 的长为__88－－22 7 __．
解：(1)∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB， 在 Rt△OPB 中， OP＝OB·tan∠ABC＝3·tan 30°＝ 3.
人教版六年级上册数学第五单元《圆》第一节：《圆的认识》教学反思
人教版六年级上册数学第五单元《圆》第一节：《圆的认识》教学反思篇目一：《圆的认识》这一节公开课，是一节30分钟的课。
我在设计这一节课时，有自己的一些想法和观念。
圆，是生活中常见的平面图形，所以我在教学中，联系了学生已有的生活经验，通过观察、操作等使学生认识圆。
一、联系生活实际，让学生感悟圆和生活的联系。
从生活实际引入，并在进行新知的探究活动中密切联系生产、生活实际。
课的开始，我还是先复习了对其他平面图形的认识，三角形，长方形，平行四边形等等。
关于复习部分，学生已经知道，不应再详细引导学生面积或者周长计算公式的由来。
我通过圆形的建筑和生活中常见物品中的圆，让学生说说生活中的圆形，使学生感知了圆形在生活中的广泛性，激发了学生的学习兴趣。
二、操作认识圆本课时我设计的操作有：我让学生用自己的方法画圆，画圆方法有两种，第一是借助圆形实物在外圈画一圈，第二是借助圆规画圆。
对于后者，其实学生已经有了画圆的经验，那么关键是在于画圆的具体操作过程。
我巧妙的利用了自己画圆时出现的失误，引导学生发现，画圆的要点，定圆心，定半径，旋转一周。
在认识圆的半径和直径有多少条时，我设计的第一个活动，是让学生比赛，30秒看谁画的半径多？1分钟折直径，看谁折的直径多？在学生的操作中，学生能够自己得出结论，圆的半径和直径有无数条，同圆里，半径相等，直径相等。
我设计的两个操作，其实课后反思，只应该设计第一个活动，第二个应该启发学生进行思考，直径是有无数条的。
活动设计的多，虽然调动了学生的积极性，但是浪费了时间，同时呢，也不利于学生自主学习。
三、自学认识圆的各部分名称对于圆心、半径、直径的名称，对于六年级学生来说，早已经有一定的认识。
所以在学习名称时，我让根据提示自学。
自学也是一种学习方式，对于简单的内容，应该让学生自学。
通过指一指圆心的位置，再通过找关键信息，知道半径和直径，画一画，折一折，加深对名称的认识。
结合习题，巩固了对名称的认识。
人教版数学六上第五单元《圆》第一节圆的认识教学设计及反思
人教版数学六上第五单元《圆》第一节圆的认识教学设计及反思教学内容：人教版小学数学六年级上册p55——57。
教学目标：１、教材分析本节课的教学内容是人教版数学第十一册第五单元《圆》的第一节内容。
《圆的认识》主要内容有：用圆规画圆、了解圆各部分名称、掌握圆的特征等，它是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。
从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
２、学情分析在小学阶段，学生的空间观念比较薄弱，动手操作能力比较低，小组合作意识不强，鉴于以前学习的长方形、正方形、三角形等是直线平面图形时，而圆是平面曲线图形，学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难。
3、课标要求学生的学习过程是一个主动建构的过程，教学中力求发挥学生的主体作用，淡化教师的主观影响，激活学生的已有知识经验，激发学生学习热情，让学生自己在实践中产生问题，自己探究、尝试，修正错误、总结规律，从而使学生在经历、体验和运用中真正感悟知识，主动获取知识。
本节课我以学生亲自动手制作的圆形纸片为主线，采用操作、探究、讨论、发现等教学方法,有目的、有意识地安排了让学生折一折、画一画、指一指、比一比、量一量、议议等数学实践活动，启发学生用眼观察、动脑思考、用耳辨析、小组讨论，让学生主动探索、主动交流、主动提问，并通过多媒体将演示、观察、操作、思维与语言表达结合在一起，使学生在动手中认识圆的各部分名称，理解圆的特征，以及教学圆的画法。
４、教学目标基于以上的分析，我确定本节课的教学目标是：（1）通过引导学生观察、实验、猜想等数学活动，认识圆，知道圆的各部分名称。
掌握圆的特征，理解直径与半径的关系。
初步学会用圆规画圆。
（2）通过创设情境，学生从生活中认识圆，借助动手操作活动，发现规律，培养学生的观察、分析、抽象、概括等思维能力和初步的空间观念。
人教五年级数学上册第1节圆的认识
数学
人教˙六年级（上册）
第五章 圆 第1节 圆的认识
课前准备 学习目标 1.学会用圆规画圆，认识圆的各部分名称。
2.掌握圆的特征，理解和掌握在同一个圆里，半径和直 径的关系。
3.培养创新意识，及抽象概括能力，进一步发展空间观念。
教学内容
01 复习导入 02 互 动 新 授
03 巩 固 扩 展 04 课 堂 小 结
在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，半径的长度 是直径的一半。
谢谢观看
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
互动新授
d O
r
认识圆的半径
连接圆心和圆上任意一点的线段 叫做半径，一般用字母r表示，半径 的长度就是圆规两个脚之间的距离。
互动新授
二、探究新知
认识圆的直径
d
O r
通过圆心并且两端都在圆上的 线段叫做直径。一般用字母d表示。
互动新授
用圆规画几个不同大小的圆，剪下来，沿着
直径折一折，画一画，量一量，会有什么发现？
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
第1节 圆周运动
第1节 圆周运动1．理解线速度的概念，知道它就是物体做匀速圆周运动的瞬时速度，会用线速度大小的公式v ＝ΔsΔt进行计算．（重点）2．理解角速度的概念，会用公式ω＝ΔφΔt 进行计算．（重点） 3．知道周期的概念．4．理解线速度、角速度和周期的关系：v ＝rω＝2πrT．（重点＋难点）一、形形色色的圆周运动物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动．圆周运动是一种常见的运动，如教材P 20图2－1－1所示．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．2．线速度(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点运动快慢的物理量． (2)定义：v ＝ΔsΔt(3)矢量性：线速度的方向和半径垂直，和圆弧相切(4)说明：匀速圆周运动是一种变速运动，这里所说的匀速只是速率不变的意思． 3．角速度(1)物理意义：描述做匀速圆周运动的质点转动快慢的物理量．(2)定义式：连接质点和圆心的半径所转过的角度Δφ跟所用时间Δt 的比值，即ω＝ΔφΔt ．(3)单位：弧度每秒，符号为rad/s(4)匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动．(5)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间． 三、线速度、角速度和周期之间的关系 1．v ＝2πr T ．2．ω＝2πT ．3．v ＝rω．物体做圆周运动时，如果线速度较大，是否说明其角速度一定大？提示：由v ＝rω可知，因物体圆周运动的半径大小不知，故即使物体做圆周运动的线速度较大，其圆周运动的角速度也不一定大．对圆周运动的理解1．描述圆周运动的各物理量之间的关系2．对公式v ＝rω的加深理解线速度v 和角速度ω都可以用来描述圆周运动的快慢，公式v ＝rω反映了它们和半径之间的关系．(1)r 一定时，v ∝ω举例：骑自行车时，车轮转得越快，角速度就越大，车轮边缘上各点的线速度就越大． (2)ω一定时，v ∝r举例：地球上各点都绕地轴做圆周运动，且角速度相同，但地球表面纬度越低的地方，到地轴的距离就越大，因此线速度就越大，赤道上各点的线速度最大．(3)v 一定时，ω∝1r举例：如图所示的皮带传动装置中，两轮边缘上各点的线速度大小相等，但大轮的r 较大，所以ω较小．(1)v、ω、r间的关系是瞬时对应的．(2)v、ω、r三个量中，只有先确定其中一个量不变，才能进一步明确另外两个量是正比还是反比关系．(3)若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看角速度或周期．质点做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )①在任何相等的时间里，质点的位移都相等②在任何相等的时间里，质点通过的弧长都相等③在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同④在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等A．①②B．③④C．①③D．②④[解题探究] (1)线速度和角速度的物理含义各是什么？(2)匀速圆周运动的线速度和角速度有什么特点？[解析]匀速圆周运动是变速运动，故在相等的时间内通过的弧长相等，但位移方向不同，故①错误，②正确．因为角速度是不变的，故④正确．平均速度是位移与时间的比值，所以③错误．[答案] D传动装置1．共轴传动如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：ωA＝ωB，v Av B＝rR，T A＝T B，并且转动方向相同．2．皮带传动如图甲所示，A点和B点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．轮子转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：v A＝v B，ωAωB＝rR，T AT B＝Rr，并且转动方向相同．甲乙3．齿轮传动如图乙所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合．齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：v A＝v B，T AT B＝r1r2＝n1n2，ωAωB＝r2r1＝n2n1，两点转动方向相反．式中n1、n2分别表示两齿轮的齿数．如图所示为一种滚轮——“平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成．由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动．如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )A．n2＝n1xr B．n2＝n1rxC．n2＝n1x2r2D．n2＝n1xr[解析]平盘上距离主动轴轴心x处的线速度为v＝2πxn1，滚轮与平盘间不打滑，则滚轮的转动线速度等于v，因此，滚轮的转速与其线速度之间满足v＝2πrn2，故v＝2πxn1＝2πrn2，即n2＝xr n1，选项A正确，其他选项均错．[答案] A1．如图所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( )A ．πnr 1r 3r 2B ．πnr 2r 3r 1C ．2πnr 1r 3r 2D ．2πnr 2r 3r 1解析：选C ．前进速度即为Ⅲ轮的线速度，由同一个轮上的角速度相等，同一条线上的线速度相等可得：ω1r 1＝ω2r 2，ω3＝ω2，再有ω1＝2πn ，v ＝ω3r 3，所以v ＝2πnr 1r 3r 2，C 正确．圆周运动的周期性引起的多解问题1．分析多解原因：匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去．2．确定处理方法(1)抓住联系点：明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键．(2)先特殊后一般：分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2n π，具体n 的取值应视情况而定．如图所示，质点A 从某一时刻开始在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，出发点与圆心等高，与此同时位于圆心的质点B 自由下落．已知圆周半径为R ，求质点A 的角速度ω满足什么条件时，才能使A 、B 相遇．[解析] 要使质点A 和质点B 相遇，则它们从开始运动到相遇经历的时间应相等，即t A＝t B ，考虑到圆周运动的周期性，质点A 从开始运动到相遇经历的时间为t A ＝34T ＋nT （n ＝0，1，2，3，…）对于质点B ，由自由落体运动规律R ＝12gt 2B 得t B ＝2R g由圆周运动的周期公式有T ＝2πω解上述方程得ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π 2gR（n ＝0，1，2，3，…）． [答案] ω＝⎝⎛⎭⎫n ＋34π 2gR（n ＝0，1，2，3，…） 2．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴上固定两个薄圆盘A 、B ，A 、B 平行相距2 m ，轴杆的转速为3 600 r/min ，子弹穿过两盘留下两弹孔a 、b ，测得两弹孔所在圆盘的半径的夹角是30°，如图所示，则该子弹的速度可能是( )A ．360 m/sB ．720 m/sC ．1 440 m/sD ．108 m/s解析：选C ．子弹从A 盘到B 盘，盘转动的角度 θ＝2πn ＋π6（n ＝0，1，2，3，…），盘转动的角速度ω＝2πT ＝2πf ＝2πn ＝2π×3 60060rad/s ＝120π rad/s ．子弹在A 、B 间运动的时间等于圆盘转动θ角所用的时间，即2 m v ＝θω，所以v ＝2ωθ＝2×120π2πn ＋π6 m/s （n ＝0，1，2，3，…），v ＝1 44012n ＋1 m/s （n ＝0，1，2，3，…）． n ＝0时，v ＝1 440 m/s ； n ＝1时，v ≈110．77 m/s ； n ＝2时，v ＝57．6 m/s ； …．[随堂检测]1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( ) A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小解析：选D ．由v ＝rω得ω＝vr ，显然只有当半径r 一定时，角速度与线速度才成正比，故A 项错；由v ＝2πr T 得T ＝2πrv ，只有当半径r 一定时，周期与线速度才成反比，故B 项错；由ω＝v r 知，线速度一定时，角速度与半径成反比，故C 项错；由ω＝2πT 得T ＝2πω，显然周期与角速度成反比，角速度大的，周期一定小，故D 项对．2．如图所示，闹钟和手表之间的争论中，其中闹钟是用哪个物理量来分析圆周运动的( )A ．角速度B ．周期C ．线速度D ．转速解析：选C ．闹钟和手表秒针的角速度相等，根据v ＝rω，半径越大，线速度越大，闹钟秒针的针尖到转轴的距离大于手表的秒针的针尖到转轴的距离，所以v 闹>v 手，闹钟根据自己线速度大而说自己运动得快．故C 正确，A 、B 、D 错误．3．如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )A ．ωB ．18ωC ．98ωD ．9ω解析：选D ．手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r ，则有v ＝ω·9r ＝ω′·r ，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D 正确．4．（多选）如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2．已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：选BC ．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误，B 正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2，得从动轮的转速为n 2＝nr 1r 2，C 正确，D 错误．5．从我国汉代古墓一幅表现纺织女纺纱的情景的壁画上看到（如图），纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺纱女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动．如果直径之比是100∶1，若纺轮转动1周，则纺锤转动多少周？解析：纺轮和纺锤在相同时间内转过的圆弧弧长相等，即线速度相等，v 轮＝v 锤，由v ＝ω·r 知角速度之比ω轮∶ω锤＝1∶100即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周． 答案：100周[课时作业][学生用书P93（单独成册）]一、单项选择题1．如图所示是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．a 、b 和c 三点的角速度相等C ．a 、b 的角速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大解析：选B ．a 、b 和c 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B 对，C 错．三点的运动半径关系r a ＝r b ＞r c ，据v ＝ω·r 可知，三点的线速度关系v a ＝v b ＞v c ，A 、D 错．2．如图，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a 、b 、c 三点，已知Oc ＝12Oa ，则下列说法中错误的是( )A ．a 、b 两点线速度相同B ．a 、b 、c 三点的角速度相同C ．c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半D ．a 、b 、c 三点的运动周期相同解析：选A ．同轴转动的不同点角速度相同，B 正确；根据T ＝2πω知，a 、b 、c 三点的运动周期相同，D 正确；根据v ＝ωr 可知c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半，C 正确；a 、b 两点线速度的大小相等，方向不同．A 错误．3．如图所示，直径为d 的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，则子弹的速度不可能是( )A ．dωπB ．dω2πC ．dω3πD ．dω5π解析：选B ．圆筒上只有一个弹孔，表明子弹从一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t 内，转过的角度θ＝（2n ＋1）π（n ＝0，1，2…），故子弹的速度v ＝d t ＝dωθ＝dω（2n ＋1）π．n ＝0时，v ＝dωπ，A 对．n ＝1时，v ＝dω3π，C 对．n ＝2时，v ＝dω5π，D 对．4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h ”上，可估算出该车车轮的转速约为( )A ．1 000 r/sB ．1 000 r/minC ．1 000 r/hD ．2 000 r/s解析：选B ．据车速与转速的关系知v ＝2πr ·n 即120×103＝2π×0．3n 1，解得每小时的转速n 1≈6．4×104r/h ．120×10360＝2π×0．3n 2，解得每分钟的转速n 2≈1 000 r/min ．120×1033.6×103＝2π×0．3n 3，解得每秒钟的转速n 3≈18 r/s ．二、多项选择题5．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是( ) A ．速度 B ．速率 C ．角速度D ．转速解析：选BCD ．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上，B 、C 、D 正确．6．某老师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如图所示（小球相邻影像间的时间间隔相等），小球在最高点和最低点的运动快慢比较，下列说法中正确的是( )A ．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢B ．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快C ．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快D ．无法比较最高点和最低点的运动快慢解析：选AB ．由所给频闪照片可知，在最高点附近，相邻影像间弧长较小，表明最高点附近的线速度较小，运动较慢，A 对；在最低点附近，相邻影像间弧长较大，对应相同时间内通过的圆心角较大，故角速度较大，运动较快，B 对．7．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )A ．它们的半径之比为2∶9B ．它们的半径之比为1∶2C ．它们的周期之比为2∶3D ．它们的周期之比为1∶3解析：选AD ．因为v 1v 2＝r 1ω1r 2ω2＝23，且ω1ω2＝3，因此r 1r 2＝23×ω2ω1＝29，选项A 正确，选项B 错误；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，则T 1T 2＝ω2ω1＝13，选项C 错误，选项D 正确． 8．假设某一飞船升空后，先运行在近地点高度为200 km 、远地点高度为350 km 的椭圆轨道上，实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，结束时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r ，则计算其运行周期可用( )A ．T ＝t 2－t 1nB ．T ＝t 1－t 2nC ．T ＝2πr vD ．T ＝2πv r解析：选AC ．由题意可知飞船做匀速圆周运动n 周所需时间Δt ＝t 2－t 1，故其周期T ＝Δt n ＝t 2－t 1n ，选项A 正确；由周期公式有T ＝2πr v，选项C 正确． 三、非选择题9．如图所示，在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径之比r 1∶r 2∶r 3＝3∶2∶1，则A 、B 、C 三点的线速度大小之比为v A ∶v B ∶v C ＝ ；A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ ；A 、B 、C 三个轮子的转速之比n 1∶n 2∶n 3＝解析：由于O 1、O 3两轮共轴，所以A 、C 两点角速度相等，即ωA ＝ωC ；由于O 1、O 2通过皮带传动，所以A 、B 两点线速度的大小相等，即v A ＝v B ，由v ＝ωr ，r 1∶r 3＝3∶1，ωA＝ωC ，则v A ∶v C ＝3∶1，整理得：v A ∶v B ∶v C ＝3∶3∶1；由ω＝v r，r 1∶r 2＝3∶2，v A ＝v B ，则ωA ∶ωB ＝2∶3，整理得：ωA ∶ωB ∶ωC ＝2∶3∶2，由ω＝2πn ，得：n 1∶n 2∶n 3＝2∶3∶2．答案：3∶3∶1 2∶3∶2 2∶3∶210．如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，O 轴离地面高为2R ，轮上a 、b 两点与O 点连线相互垂直，a 、b 两点均粘有一小物体，当a 点转至最低位置时，a 、b 两点处的小物体同时脱落，经过相同时间落到水平地面上．(1)试判断圆轮的转动方向．(2)求圆轮转动的角速度的大小．解析：(1)由题意知，a 、b 两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因h b >h a ，所以脱离时b 点处物体的速度应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针．(2)a 、b 两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动v 0＝ωR ①脱落后a 点处物体做平抛运动h a ＝12gt 2＝R ②b 点处物体做竖直下抛运动h b ＝v 0t ＋12gt 2＝2R ③ 联立以上方程得ω＝g 2R ．答案：(1)逆时针 (2) g 2R11．如图所示，小球A 在光滑的半径为R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a 点时，在圆形槽中心O 点正上方h 处，有一小球B 沿Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a 点与A 球相碰，求：(1)B 球抛出时的水平速度多大？(2)A 球运动的线速度最小值为多大？解析：(1)小球B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B 的水平速度为v 0，则R ＝v 0t① 在竖直方向上做自由落体运动，则h ＝12gt 2 ② 由①②得v 0＝R t ＝R g 2h ． (2)A 球的线速度取最小值时，A 球刚好转过一圈，B 球落到a 点与A 球相碰，则A 球做圆周运动的周期正好等于B 球的飞行时间，即T ＝2h g 所以v A ＝2πR T＝2πR g 2h ． 答案：(1)Rg 2h (2)2πR g 2h。
高中-圆的有关概念和性质
高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。
人教版数学六年级上册教学设计-第5单元圆-第1课时圆的认识
人教版数学六年级上册教学设计-第5单元圆-第1课时圆的认识一. 教材分析人教版数学六年级上册第5单元《圆》的第1课时《圆的认识》是本单元的第一节新授课。
这部分内容是在学生已经掌握了平面图形的知识的基础上进行学习的，通过这部分的学习，使学生对圆有一个初步的认识，为后续学习圆的周长、面积等知识打下基础。
本节课的主要内容有：圆的定义、圆的直径和半径的定义、圆的特征等。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面图形有了初步的认识，但是对圆的认识还比较模糊，对圆的特征和性质还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要通过直观的教学手段，引导学生认识圆的特征，理解圆的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆的定义，掌握圆的直径和半径的定义，了解圆的特征。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.重点：圆的定义，圆的直径和半径的定义，圆的特征。
2.难点：圆的特征的理解和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。
2.直观教学法：利用实物、模型、图片等直观教具，帮助学生建立对圆的形象认识。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。
4.问题驱动法：引导学生提出问题，通过解决问题的方式，培养学生的思考能力。
六. 教学准备1.教具准备：圆的模型、图片、实物等。
2.学具准备：学生用书、练习本、铅笔等。
3.教学课件：制作相关的教学课件，以便于进行直观教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生观察并思考：这些物体有什么共同的特点？学生回答后，教师总结：这些物体的共同特点是它们都是圆形的。
从而引出本节课的主题——圆的认识。
2.呈现（10分钟）教师通过展示圆的模型、图片等，引导学生观察圆的特征，并提问：你们认为圆是什么样子的？学生回答后，教师总结：圆是一个平面上所有点到一个固定点的距离都相等的图形。
(名师整理)最新人教版数学九年级上册第24章第1节《圆》精品课件
从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的 距离等于定长r 的点组成的图形． 类比：“线段垂直平分线可以看成是到线段两个 端点的距离相等的所有点的集合”你能从集合的 角度定义圆吗
求证：A，B，C，D四个点在以点O 为圆心的同一个圆上
D
C
O
A
B
与圆有关的概念
与圆有关的概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如 图中的 AC．经过圆心的弦叫做直径，如 图中的 AB．
B
O
A
C
与圆有关的概念
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
C
6.判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.( )
练习
【1】如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 【解析】首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆 心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所 形成的图形就是所画的圆.
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
等弧。
应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）半径相等的两个半圆是等弧． √
应用拓展，培养能力
2．写出图中的弧、弦． A
O
B
C
2.如图,半径有:__O_A__、__O_B__、__O_C_
苏科版数学-九年级上册-圆(1)说课课件
【设计意图】
通过点与圆的三种位置关系学生不难判 断出平面上的一个圆把平面上的点分成哪 几部分，再通过圆上各点的特征得到圆的 集合定义，由此类比得到圆的外部圆的内 部的集合定义，渗透类比和数形结合的思 想，提高了学生对圆的认识层面。
三、交流自学反馈中的问题
1.⊙O的半径10cm，A、B、C 三点到圆心的距离分别为8cm、 10cm、12cm，则点A、B、C 与⊙O的位置关系是： 点A在 ⊙O内 ； 点B在 ⊙O上 ； 点C在 ⊙O外 。
(3)在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm， 且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是 怎样的图形？把它画出来。
【设计意图】
第一问让学生进一步巩固圆的集合定义， 学会用集合的观点去表述问题。第二问是让学 生在理解圆的集合定义的基础上尝试简单的应 用，既加深了学生对圆集合概念的印象，又培 养了学生的动手操作能力。第三问较难重点考 查学生对圆的内部圆的外部集合定义的理解。
四、教法与学法
（二）学习方法：
学生通过自学、讨论、模仿等方法,学会观 察、探索和归纳出结论, 且善于运用结论。 培养学生动手、动口、动脑的能力,从而进 一步认识和理解“探索-归纳-运用”的数学 思想。
课前预习布置
【自学要求】 1.了解圆的概念。 2.了解点与圆的位置关系，简单运用 点到圆心的距离与圆的半径之间的数 量关系判断点与圆的位置关系。
能力训练
6.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离
OP=3，Q为l上一点，且PQ=5，则点Q（ ）
Hale Waihona Puke A 在⊙O 内B 在⊙O 外
C 在⊙O 上
D 以上情况都有可能
能力训练
变式：已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的
第一节圆的有关概念及性质
第一节圆的有关概念及性质,河北8年中考命题规律)垂径定理及推论(6次)1．(2010河北6题2分)如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M2．(2008河北7题2分)如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第1题图)(第2题图)3．(2012河北5题2分)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．AE ＞BEB .AD ︵＝BC ︵C ．∠D ＝12∠AECD ．△ADE ∽△CBE 4．(2009河北20题8分)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD ＝24m ，OE ⊥CD 于点E.已测得sin ∠DOE ＝1213.(1)求半径OD ；(2)根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？圆周角定理及推论(4次)5．(2009河北5题2分)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°(第5题图)(第6题图)6．(2011河北16题3分)如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝________．三角形的外心及圆内接三角形7．(2015河北6题3分)如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是( )A ．△ABEB ．△ACFC ．△ABD D ．△ADE,中考考点清单)圆的同心圆圆心相同的圆叫做同心圆圆的间的关系分别相等.圆周角1．在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问题．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．,中考重难点突破)垂径定理及应用【例1】(2014凉山中考)已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为()A．25cm B．45cmC．25cm或45cm D．23cm或43cm【解析】连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝12AB＝12×8＝4cm，OD＝OC ＝5cm.当C点位置如解图(1)所示，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝OA2－AM2＝52－42＝3cm，∴CM ＝OC＋OM＝5＋3＝8cm，∴AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝45cm；当C点位置如解图(2)所示时，同时可得OM ＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5－3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝AM2＋MC2＝42＋22＝25cm.∴AC的长为25 cm或45cm.【学生解答】【点拨】根据点C的不同位置应进行分类讨论．1．(2015宁夏中考)如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC.若AB＝22，∠BCD＝30°，则⊙O的半径为________．(第1题图)(第2题图)2．(2015安顺中考)如上图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为() A．22B．4C．42D．8与圆有关的角的计算【例2】(1)(2015南昌中考)如图(1)，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为________．图(1)图(2)(2)(2015娄底中考)如图(2)，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝________度．【学生解答】【点拨】求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角及弧之间的关系，遇直径时，一般联想直径所对圆周角为直角．3．(2015绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于________度．(第3题图)(第5题图)4．已知△ABC的边BC＝4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是________．5．(2015廊坊二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，⊙O的半径OC长为2，则弦BC的长为()A．23B.3C．2D．1,中考备考方略)1．(2015毕节中考)如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是()A．6 B．5 C．4 D．3(第1题图)(第2题图)2．(2015嘉兴中考)如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为() A．2 B．4 C．6 D．83．(2015廊坊一模)如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，∠APB的大小为()A．45°B．55°C．50°D．60°(第3题图)(第4题图)4．(2015唐山路北区二模)如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为()A．40°B．45°C ．50°D ．55°5．(2015襄阳中考)点O 是△ABC 的外心，若∠BOC ＝80°，则∠BAC 的度数为( ) A ．40° B ．100°C ．40°或140°D ．40°或100°6．(2015保定中考)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC ＝45°，则∠BOC 的大小是( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．22.5°7．(2015毕节中考)如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB于D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A ．1B .203C ．3D .163(第7题图)(第9题图)8．(2014黑龙江中考)直径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝5cm ，则弦AB 所对的圆周角是________．9．(2015黔东南中考)如图，AD 是⊙O 的直径，弦BC ⊥AD 于E ，AB ＝BC ＝12，则OC ＝________．10．(2015唐山南路二模中考)如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，线段AC 所扫过的面积是________．(第10题图)(第11题图)11．(2015衢州中考)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA ＝1m ，水面宽AB ＝1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m .则此时排水管水面宽CD 等于________m .12．(2016原创预测)如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为________．13．(2015安徽中考)在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ.(1)如图(1)，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长度；(2)如图(2)，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．14．(2016中考预测)已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB、CD之间的距离为()A．17cm B．7cmC．12cm D．17cm或7cm15．(2015兰州中考)如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB ＝()A．80°B．90°C．100°D．无法确定(第15题图)(第16题图)16．(2015日照中考)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE，若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是()A．BD⊥ACB．AC2＝2AB·AEC．△ADE是等腰三角形D．BC＝2AD17．(2015泰安中考)如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O 于D，连接BE，设∠BEC＝α，则sinα的值为________．(第17题图)(第18题图)18．(2015遵义中考)如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E.连接EF，则EF的长为()A .32B .53C .35 5D .455 19．(2015菏泽中考)如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F.(1)求证：∠ABC ＝2∠CAF ；(2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE 的长．20．(2015烟台中考)如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC 、BC 的交点分别为D 、E ，且DE ︵＝BE ︵.(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC ＝12，求sin ∠ABD 的值．。
初中数学 圆 知识点 考点 思维导图 圆的概念与性质 与圆有关的位置关系 圆有关的计算 正多边形与圆
１、与圆的位置关系可从形和数两方面来判断，思维单一容易致误． ２、切线长定理不能与三角函数结合致误． ３、两圆相交时，半径与圆心距的关系考虑不全．
点在圆内台ｄ ＜ｒ 点在圆上台 ｄ＝ｒ
１．有切线，作过切点的半径．
２．有半径，过端点作圆的切线．
常作的
辅助线
点在圆外 与ｄ＞ｒ
３．有切线长，作以切线、过切点的半径、圆心
２．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧相等．
定义 顶点都在同一圆上的多边形．
顶点都在同一圆上的三角形称圆内接三角形，
圆内接三角形 定义 圆心称三角形外心．
２．直径所对圆周角的特征
或三角形外接圆 性质 外心到各顶点距离相等，是三角形各边的中垂线的交点．
（１）作辅助线，构造＂直径所对的圆周角是直角＂
初初中中数数学学 圆 思思维维导导图图
考点 知识点 快速理解记忆
超超实实用用一一看看就就明明白白 极易记忆
第一节 圆的概念与性质
第二节 与与圆圆有关的位置关系
第三节 与圆有关的计算 第四节节 正多边形与圆
初中数学 第七章 圆 第一节 圆的概念与性质
在平面内，线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另
（１）判定方法
１定义法∶与圆只有一个交点的直线
②数量法∶与圆心的距离ｄ＝／的直线．
（２）相切判定
③判定定理．
有明确交点，连半径，证直线与半径垂直． （３）证明直
无明确的交点，过圆心作垂线段，证其等于半径．线与圆相切
已知直线满足∶①过圆心；②过切点；
③垂直于切线．可知二推出另一个．
（４）切线性 质的拓展
线交点组成的正多边形叫圆外切正多边形．
性质 正多边形都有一外接圆，反之，同一个圆有无数多个内接正多边形
人教版六年级数学上册-圆的认识说课稿
《圆的认识》说课稿一、说教材1、教学内容：本节课的教学内容是人教版数学第十一册第五单元《圆》的第一节内容《圆的认识》，主要内容有：用圆规画圆、了解圆各部分名称、掌握圆的特征等。
2、教材简析：圆是一种常见的平面图形，也是最简单的曲线图形。
学生已经对圆有了初步的感性认识，教学时，可以让学生回答日常生活中圆形的物体，并通过观察使学生认识圆的形状。
再指导学生独立完成画圆的操作过程，掌握圆的画法。
经过讨论使学生认识圆的各部分名称，掌握圆的特征。
3、教学目标：（1）使学生认识圆，知道圆的各部分名称。
（2）使学生掌握圆的特征，理解和掌握在同一个圆里半径和直径的关系。
（3）使学生通过观察、实验、猜想等数学活动过程认识圆，进一步发展空间观念和初步的探索能力。
（4）、教学重点：使学生认识圆，掌握圆的特征。
（5）、教学难点：会用字母表示圆心、半径、直径；理解并掌握在同圆（或等圆）中直径与半径的关系。
（6）、学情分析：在小学阶段，学生的空间观念比较薄弱，动手操作能力比较低；对于乡镇学生，家庭辅导能力较低，学生接受能力较差；学生的学习水平差距较大，小组合作意识不强，鉴于以前学习长、正方形等是直线平面图形，而圆是曲线平面图形，估计学生在动手操作、合作探究方面会存在一些困难。
二、说教法学法：学生的学习过程是一个主动建构的过程，教师要激活学生的先前经验，激发学习热情，让学生在经历、体验和运用中真正感悟知识。
在动手中引导学生认识圆，理解圆的特征，有目的、有意识地安排了让学生折一折、画一画、量一量、比一比等动手实践活动，启发学生用眼观察，动脑思考，动口参加讨论，用心去辨析同学们的答案。
教学中理应发挥学生的主体作用，淡化教师的主观影响，让学生自己在实践中产生问题意识，自己探究、尝试，修正错误，总结规律，从而主动获取知识。
本节课我采用了多媒体教学手段，主要运用操作、探究、讨论、发现等教学方法。
学生的学法与教法相对应，让学生主动探索、主动交流、主动提问。
圆第一节
圆知识点：1、圆：（1）动态定义：在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，领一个端点A所形成的图形叫做圆。
（2）静态定义：到顶点O的距离等于定长的r的点的集合。
注：圆是（）图形，任何一条（）所在的直线都是它的对称轴。
2、圆心：固定的点O叫做圆心。
3、半径：线段OA（r）叫做半径。
4、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
5、直径：经过圆心的弦叫做半径。
（半径是同一个圆中最长的弦）6、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
以A、B为端点的弧记作：（）注：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
7、半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
8、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
注：（1）半径相等的两个圆是等圆（2）同圆或等圆的半径相等。
9、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
10、垂径定理：逆应用：11、（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的（）相等，所对应的（）也相等。
（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角（），所对的弦（）。
（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角（），所对的弧（）。
12、圆心角：顶点在圆心的角。
13、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
14、（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的（）相等，都等于这条弦所对（）的一半。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是（），90°的圆周角所对的弦是（）。
15、圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
注：（1）圆内接四边形的对角互补。
（2）直径是弦，而弦不一定是直径；半圆是弧，而弧不一定是半圆；两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
练习：1、判断题（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( )（3）半圆是弧 ( )（4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R（ ）2、下列命题中，错误的是（ ）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．过三点一定确定一个圆D ．一个三角形只能确定一个外接圆 3、如图，点A 、O 、D 以及点B 、O 、C 分别在一条直线上，则圆中弦的条数是（ ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条 4、如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．5、如图，AB 是半圆的直径，点D 是弧AC 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°6、如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M 、M 两点，若点M 的坐标是（-4，-2），则点N 的坐标为（ ）A.（-1,2）B.（1,2）C.（-1.5,-2）D.（1.5,-2）7、下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．平行四边形 D ．梯形8、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，且AE=CD=8，∠BAC=21∠BOD ，则⊙O 的半径为（ ）A ．24B ．5C ．4D ．3OD CBA9、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm10、下列四个命题中，正确的是（）A.平分一条直径的弦必垂直这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C.弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内，平分一条弦和它所对弧的直线必经过这个圆的圆心11、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．3≤OM<5 C．4≤OM≤5 D．4≤OM<512、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．= C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD13、在⊙O中，圆心角∠AOB=100。
九年级圆的第一节知识点
九年级圆的第一节知识点圆是我们学习数学中非常重要的一个几何形状。
在九年级的学习中，我们将更加深入地探索圆的性质和应用。
本文将介绍九年级圆的第一节知识点，包括圆的定义、半径和直径、圆心角和弧长、弦和切线等内容。
一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点构成的集合。
这个固定点叫做圆心，固定距离叫做半径。
我们可以用一个简单的公式表示圆的定义：一个点到圆心的距离等于半径。
二、半径和直径圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
我们可以把半径理解为圆的尺寸或者大小。
而直径是通过圆心的两个平行的、挨着圆边的线段之间的距离。
直径是圆的最长线段。
三、圆心角和弧长当我们在圆上选择两条射线，这两条射线的起点和圆心一致，分别与圆相交于A、B两点。
我们可以说角AOB（或者称为∠AOB）是一个圆心角。
圆心角通常用度数来表示，符号为°。
每个圆心角所对应的弧长称为弧度，弧度用弧长除以半径来计算。
四、弦和切线圆上的任意两点可以连接成一条线段，称为弦。
圆上通过圆心的直线叫做直径，直径也是一种特殊的弦。
当一条直线只接触圆上的一个点时，我们称这条直线为切线。
切线与半径垂直相交。
通过对九年级圆的第一节知识点的学习，我们可以更深入地理解圆的性质和应用。
圆的定义及其相关概念让我们能够准确地描述和推导圆的各种特征。
半径和直径帮助我们了解圆的大小和最长线段。
圆心角和弧长让我们能够度量圆的角度和弧度。
弦和切线则让我们在几何问题中能够更好地利用圆的性质。
除了上述基础知识点外，九年级还将进一步学习圆的锐角和钝角方向，以及圆的切线和弦的长度计算等高级知识。
这些知识将为我们解决更复杂的几何问题和应用提供坚实的基础。
总之，九年级学习圆的第一节知识点是我们深入理解圆的性质和应用的重要一步。
通过学习圆的定义、半径和直径、圆心角和弧长、弦和切线的概念，我们能够更准确地描述、度量和推导圆的各种特征。
这些知识将为我们进一步学习和应用圆的各种性质和定理奠定良好的基础。
九年级圆第一节
3.1 车轮为什么做成圆形一、知识点归纳：1．圆的定义：2．点与圆的位置关系：二、考点渗透：考点一圆的认识【例1】甲、乙、丙三个牧民用同样长为L米的铁丝各围一块草地放牧，甲牧民围面积围s1的圆形草地，乙牧民围成面积为s2的正方形草地，丙牧民围面积为s3的矩形草地．则下面结论正确的是（）A．S1＞S3＞S2B．S2＞S1＞S3C．S3＞S1＞S2 D．S1＞S2＞S3【例2】以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【练习】1.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定2.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定3.P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大4.作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．5.菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．考点二：判定点与圆的位置关系【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．【例2】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－22x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．【练习】1. 若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（）A．在⊙A内 B．在⊙A上C．在⊙A外 D．不确定2.两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（）A．甲圆内B．乙圆外C．甲圆外，乙圆内D．甲圆内，乙圆外3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，5cm为半径作圆，则A、B、C、M 四点在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有．4.已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．考点三最近点与最远点【例1】⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．【例2】点P到⊙O的最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则⊙O的半径是 .【练习】1.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3m B．5m C．7m D．9m2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．考点四圆的简单应用【例1】某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（）A．图（1）需要的材料多 B．图（2）需要的材料多 C．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D．无法确定【例2】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【练习】1.如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°2.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定3.如图，点A、B、C是⊙0上的三点，B0平分∠ABC．求证：BA=BC．考点五：利用点与圆的位置关系解决实际问题【例1】城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？【练习】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？四：中考真题演练1．（西藏2011）⊙O的半径为5cm，圆心到直线的距离为4cm，则直线上到点O的距离为5cm的点有_______个2．（太原2009）A、B、C是平面内的三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是( )A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内3（2013•聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（）A．102cm B．104cm C．106cm D．108cm4.（2011•上海）矩形ABCD中，AB=8，BC＝35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B、C均在圆P内5.（2011•阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为度．6.（2009·沈阳）.如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM，OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，则AB的长为．三、同步练习1．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D在⊙A 。
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●
一个比半圆大一个比半圆 小！ 小于半圆的弧叫做 优 弧，大于的弧叫做劣弧
C
⌒ ⌒ 劣弧有： A B C B ⌒ 半圆有 ： AB C ⌒ ⌒ BA C 优弧有： ACB
判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(
)
圆心角
定义：顶点在圆心，并且两边都和圆周 相交的角叫做圆周角
Ａ
Ｃ
找出⊙Ｏ中的圆心角： ∠ＡＯＣ ∠ＢＯＣ
C (2)动手操作，观察猜想 . •
•O
猜想：
AE=BE,
⌒⌒⌒ ⌒ AD=BD,AC=BC
•
•
A •
E ┐
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
已知：在⊙O中，CD为直径， AB为弦，且CD⊥AB于点E，
•
C
求证： AE=BE,
AD=BD,AC=BC
•O
⌒⌒⌒ ⌒
•
•
分析：直径CD所在直线既是等 腰三角形OAB的对称轴，又是 ⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD 折叠，由图形的重合，即可得到 所求证结论。
B’ O
O
A’
A 图1
B
A
图2
B
扇形AOB旋转到扇形A’OB’的位置，我们可以发现，在旋转
⌒ =AB, ⌒ 过程中，∠AOB= ∠A’O B’, AB=A’B’ AB
°
在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
记忆
பைடு நூலகம்
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧
Ｏ Ｂ
思考：∠ＡＢＣ是不 是圆心角？
判断正误:
√ 1、圆中的直径是弦； × 2、弦是圆中的直径； √ 3、直径是圆中最长的弦； √ 4、直径的中点是圆心； √ 5、半径和弦都是线段； √ 6、直径相等的两个圆是等圆； × 7、弦是圆上两点间的部分； × 8、半圆是弧，但弧不一定是半圆.
(1)以旧引新，引导探究.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙ O” .
圆的分类
圆心相同的两个圆叫做 圆心不同半径相等的两
同心圆
个圆叫做
等圆
如图,弦有 AB、 BC、AC A B O
●
直径是圆中 最长的弦
C
A
曲线BC、BAC都是⊙O的弧分 ⌒ ⌒ BC 、 BAC 别记作：
⌒、BAC ⌒ BC 有什么区别？
A B
•o
B A E
•o B
A
•
O
E (3)
B
D
(1) (2)
(3)指导论证，引申结论.
例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE C ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ • 求证：CD⊥AB， AD=BD,AC=BC
证明：连结AO、BO，
∵AO=BO
∴△AOB为等腰三角形 ∵AE=BE ∴CD⊥AB ∵CD是直径，
A •
E ┐
•
• B
D
(3)指导论证，引申结论.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线）
垂直于弦 判断题： (1)过圆心的直线平分弦
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
错 错 C C
(2)垂直于弦的直线平分弦
(3)⊙O中，OE⊥弦AB于EA ， E 则AE=BE 对 D
古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美 的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”它的 完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有 同一形状。它最谐调、最匀称。
与圆的对称性有关的有哪些性质呢？下面 就让我们走进圆的世界，去了解圆的性质吧！
圆的确定
O●
要确定一个圆,必须确定圆的圆心 ____和____ 半径 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对 的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并 且平分弦所对的另一条弧
讲解
例1 如图，已知在⊙O中， 弦AB的长为8厘米，圆心O到 AB的距离为3厘米，求⊙O的 半径。 A E
. O
B
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是旋转对称图形.
●
O
用旋转的方法可解决下面问 题.
(1)以旧引新，引导探究.
将图1中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋 转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD 是弦，AE⊥CD，BF⊥CD 求证：EC＝DF A E C D O
B
.
F
D B
求证：AC＝BD
N 证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
M A E
. O
B A C
C A O E
.
.O
N
D B
D
B
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
A
E
•O
• •
• B
D
⌒ ⌒ ⌒ ∴⌒ AD=BD,AC=BC
(3)指导论证，引申结论.
总结：
五个条件
规律
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
知二
推三
讨论
（3）
（1）
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平 分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧 （1） （3） （ 3） （2） （1） （2） （1） （ 4 ） （4） （ 2） （4） （4） （3） （5） （ 5 ） （2） （ 5） （5）
⌒ =BD ⌒ ∠1＝45o，求∠2的度数。 例1、如图，在⊙O中， AC
。 。
解：∵ ∴
⌒ =BD ⌒ AC
C D 1
B A 2 O
AD－BC＝ＢＤ－BC
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ∴ ⌒ AＢ =ＣD
∴ ∠2＝∠1＝45°
操作：CD是圆0的直径，过直
径上任一点E作弦AB⊥CD， 将圆0沿CD对折，比较图中的 线段和弧，你有什么发现？
讲解
例3 已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。 求证：AC＝BD。 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
O
C E D B
.
讲解
例4 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
⌒ ⌒
M C A
.O