高中数学2.4函数与方程_函数的零点教案新人教B版必修1
高中数学 2_4 函数与方程 2_4.1 函数的零点导学案 新人教B版必修1
2.4.1 函数的零点【预习要点及要求】１．理解函数零点的概念。
２．会判定二次函数零点的个数。
３．会求函数的零点。
４．掌握函数零点的性质。
5．能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
6．理解函数零点与方程式根的关系。
7．会用零点性质解决实际问题。
【知识再现】１．如何判一元二次方程式实根个数？２．二次函数c bx ax y ++=2顶点坐标，对称轴分别是什么？【概念探究】阅读课本70——71页完成下列问题１．已知函数62--=x x y ，xy ＝０，x y ＜０，x y ＞０。
叫做函数62--=x x y 的零点。
２．请你写出零点的定义。
３．如何求函数的零点？４．函数的零点与图像什么关系？【例题解析】１．阅读课本71页完成例题。
例：求函数2223+--=x x x y 的零点，并画出它的图象。
２．由上例函数值大于０，小于０，等于０时自变量取值范围分别是什么？３．请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？４．完成72练习Ｂ1、２【总结点拨】对概念理解及对例题的解释１．不是所有函数都有零点２．二次函数零点个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。
３．函数零点有变量零点和不变量零点。
４．求三次函数零点，关键是正确的因式分解，作图像可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再适当取点作出图像。
【例题讲解】例１．函数1)(2--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a 的取值范围。
例２．函数3log )(3-+=x x f x 零点所在大致区间是（ ）A.(0, 1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)例3.关于x 的二次方程01222=+++m mx x ，若方程式有两根，其中一根在区间)0,1(-内，另一根在(1,2)内，求m 的范围。
参考答案：例1.解：①若1)(0--==x x f a 为一次函数，易知函数仅有一个零点。
②若)(0x f a ≠为二次函数，012=--x ax 仅有一个实根，△＝1+4 0=a41-=a 综上：0=a 或41-=a 时，函数仅有一个零点。
新人教B版必修一2.4.1《函数的零点》教案
2.3函数的应用（1）教学目标：初步掌握一次和二次函数模型的应用会解决较简单的实际应用问题教学重点:一次和二次函数模型的应用教学难点：数学建摸教学过程：一、复习引入：解决实际问题的步骤：数学模型解决问题现实生活中有些实际问题给出了图表数据信息,对这类问题就要求我们能够收集图表数据信息，建立适合的函数模型来解决问题二、讲述新课：1.阅读课本65页例1，完成下列问题（1）认真审题，找出关键点；（2）该问题可以抽象成什么样的数学模型；（3）求出数学模型的解；（4）做答。
2.阅读课本65页例2，完成下列问题（1）题目求什么，应怎样设未知量？（2）每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出组数有怎样的关系？（3）试用列表法求解（4）试用函数关系式求解例3某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价四、夯实基础1. 1．某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成2．某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（）3．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x 、y 间的函数关系为（）：A ．y=0.9576100x B 。
y=0.9576x 100 C 。
y=（1009576.0）x D 。
y=1-0.042100xx B x A x C x D4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售。
这样，仍可获得25%的纯利。
求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系。
5. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得出，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图⑴的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市场时间的关系用图⑵的抛物线段表示图（2）⑴写出图⑴表示的市场售价与时间t 的函数关系式)(t f P =，写出图⑵表示的种植成本与时间t 的函数关系式)(t g Q =⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ 注意：市场售价和种植成本的单位：元/kg 210，时间单位：天五、能力提高：《中华人民共和国所得税法》规定，公民全月工资，薪金所得不超过800元的部某人一月份应交纳此项款26.78元，则他们当月工资，薪金所得等于（ ）A 800～900元B 900～1200元C 1200～1500元D 1500～2800元六、小结：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：符合。
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》教学设计(表格式)
2.4.1《函数的零点》教学设计课题：函数的零点教材：人教B版新课标高中数学必修1教学内容：第二章函数2.4.1函数的零点教材分析：一．教材的地位和作用本课时主要学习函数的零点，通过研究二次函数的图象性质归纳函数的零点的性质。
本节课的内容起到了承上启下的作用。
本节课重点在于研究函数的零点概念及其存在性，函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系。
难点是理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图。
通过本节课的学习进一步加深学生对函数概念及性质的理解和认识，使学生能够整理出较为系统的函数知识体系和完整的思维方式方法，并由此及彼，帮助后面函数的学习。
二．教学目标：1.知识目标：(1)理解函数零点的定义，能判断二次函数零点的存在性；(2)会求简单函数的零点。
理解函数零点和方程的根的关系。
(3)理解函数零点存在的判定条件。
2.能力目标：通过充分运用函数与方程，数形结合的数学思想方法教学，体验函数零点概念的形成过程，体会数形结合、等价转化的数学思想．同时注重培养学生对于解题方法的灵活性和多样性的掌握。
3.情感态度与价值观目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识三．教学重点和难点重点：函数零点的概念及求法，函数零点与方程根之间的关系难点：理解方程的根与函数零点的关系，利用函数的零点作图.教学关键点：从实际出发，在学生获得一定感性认识的基础上，通过观察，比较，归纳进一步提升到理性认识，逐步形成完整的概念，在此基础上结合图象，运用数学结合的数学思想解决问题。
学情分析：学生已经学习过函数的基本性质，本节课函数关系的建立做好了知识准备，在此基础上进行函数的零点的学习，可以将对函数的认识进一步系统化和完善化。
教法分析：(一)教学方式教师引导，学生讨论，与启发探究相结合。
(二)教学手段借助几何画板和函数编辑器等教学软件和投影仪等，展示学生的做图结果，并演示高次函数的图像。
【配套K12】高中数学 函数的零点教案(1) 新人教B版必修1
教案：2.4.1函数的零点一、教学目标：1、知识与技能：了解函数的零点与方程根的关系。
理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点。
培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
2、过程与方法：通过描绘函数图像，分析零点的存在性. 体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感态度与价值观：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学流程：结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．体验数学，对二次函数的零点及零点存在性的初步认识．零点的存在性判断及零点的确定．利用计算机绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试五、教学过程：1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ； （3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．2．已知f(x)=2x 4－7x 3－17x 2+58x －24．，请探究方程0)(=x f 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．设计意图：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．培养动手，和分析图表的能力．列表，借助计算机或计算器来画函数的图象帮助分析．相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点的探究，拓展学生的思维，以达到触类旁通。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1(1)(2021年最新整理)
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2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．(重点）2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点）3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．（重点、难点)［基础·初探］教材整理1 函数的零点阅读教材P70～P71“例”以上部分内容，完成下列问题．1．定义如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．性质(1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．（2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断（正确的打“√”，错误的打“×"）(1)所有的函数都有零点．( )(2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1,x2，则函数y＝f(x）的零点为（x1,0)，（x2，0）．（）（3)f（x)＝x－错误!只有一个零点．（）【答案】(1）×（2）×(3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P70“倒数第2行”～P71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1,x2有一个二重零点x1＝x2没有零点已知函数f(x)＝x2－2x＋a的图象全部在x轴的上方，则实数a的取值范围是________。
2020高中数学 2.4.1《函数的零点》学案 新人教B版必修
2.4.1函数的零点学习目标:理解函数零点的意义, 能判断函数零点的存在性,会求简单函数的零点,了解函数零点与方程跟的关系.学习难点:利用函数的零点作图.学习重点:函数零点的概念及求法一．自主达标1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做．２．把一个函数的图像与叫做这个函数的零点．３．二次函数ｙ＝ａ2x＋ｂｘ＋ｃ（ａ ０），当Δ＝2b－４ａｃ＞０时，二次函数有个零点；Δ＝2b－４ａｃ＝０时，二次函数有个零点；Δ＝2b－４ａｃ＜０时，二次函数有个零点．４．二次函数零点的性质：（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．（２）在相邻的两个零点之间所有．二。
典例解析例１．若函数ｆ（ｘ）＝2x＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值．例２．求证：方程５2x－７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．限时训练1.判断下列函数在给定的区间上是否存在零点．(1).f(x)=x3－3x－18, x∈[1,8] (2)f(x)=x3－x－1, x∈[-1,2]2.二次函数y = x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是（）A.(-∞,2)∪(6,+∞)B.(-2,6)C.[-2,6 ]D.[-2,6)5．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个6．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２7．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）x ｆ（４）的值（ ） Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断8．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 9．ｆ（ｘ）＝xx 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５10．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根 C. 有唯一的实数根 D .没有实数根11．设f (x ) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解12.已知函数y = f(x)=x2－1，则函数f(x+1)的零点是：________.13.方程x3-2x-5=0在区间 [2,3]内有实根，取区间中点 x0=2.5，那么下一个有根区间是：___________ .14.若函数f(x)=x2－ax－b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2－ax－1的零点是:_____________.15．关于ｘ的方程２ｋ2x－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．16．若函数ｆ（ｘ）＝2x－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x－ａｘ－１的零点．三、解答题17．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x－４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．18.求函数f(x)=x3－2x2－x+2的零点，则画出它的大致图像．19.方程x2+(m－2)x+5－m =0.(1).两根都大于2,求m的取值范围.(2).一根大于2,另一根小于2,求m的取值范围.(3).两根分别在区间(2,3)和之间(3,4)，求m的取值范围.。
高中数学2.4函数与方程_函数的零点教案新人教B版必修1
§2.4.1函数的零点（课前预习案）一、新知导学1.函数零点的概念：对于函数y=f （x ），我们把使 叫做函数y=f （x ）的零点.2.变号零点与不变号零点：（1）当函数通过变号零点时，函数值变号；（2）相临两个零点之间的所有函数值保持同号。
3.函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 注意：函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 轴交点的 .4.函数零点的判断：如果函数y=f （x ）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,c 也就是方程0)(=x f 的根.二、预习自测：1.求下列函数的零点：（1）452--=x x y ； （2）202++-=x x y ；（3）； （4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．2.观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．§2.4.1函数的零点（课堂探究案）§2.4.1函数的零点（课后拓展案）1.如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A.),6()2,(+∞--∞B.)6,2(-C.]6,2[-D.}6,2{-2.方程063223=-+-x x x 在区间[-2，4]上的根必定属于区间（ ）A.[-2，1]B.]4,25[C.]47,1[D.]25,47[ 3. 函数f (x )=x (x 2－16)的零点为（ ）A ．(0，0)，(4，0)B ．0，4C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D ．–4，0，4 4.若函数b ax x f +=)(有一个零点是2,那么函数ax bx x g -=2)(的零点是（ ）A.0，2B.0，21 C.0，-21 D.2，-21 5若函数()21f x mx x =--有且仅有一个零点，则实数m 的值是________。
2.4.函数的零点-人教B版必修一教案
2.4 函数的零点-人教B版必修一教案
一、教学目标
1.理解函数的零点的概念及其与函数图像的关系。
2.掌握求解函数零点的方法。
3.进一步加深对函数的认识。
二、教学重难点
教学重点：
1.函数的零点的概念及其与函数图像的关系。
2.求解函数零点的方法。
教学难点：
理解函数零点的概念，掌握求解函数零点的方法。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
向学生介绍函数的零点的概念，并且给出一个函数的图像，请问该函数的零点是什么。
2. 讲解函数零点的概念（15分钟）
1.介绍函数零点的概念。
2.引导学生通过函数图像判断函数的零点。
3.用例题进一步加深学生对函数零点概念的理解。
3. 求解函数零点的方法（30分钟）
1.介绍函数零点的几种求解方法——解方程法、试位法等。
2.讲解各种方法的具体步骤和注意事项。
3.示例练习。
4. 讲解零点问题的应用（20分钟）
1.介绍与零点问题相关的具体应用场景，如物理学、经济学等。
2.通过具体案例分析，学生应用零点问题解决实际问题的能力。
5. 练习（30分钟）
1.练习不同求解方法的应用。
2.练习与实际问题相关的函数求零点问题。
6. 课堂小结（5分钟）
四、教学反思
本次课程通过教师简单明了的讲解，提醒学生注意函数的零点的概念和求解方法。
课程内容通过举例深入浅出，让学生明确应用函数零点问题的场景，对学生思维能力的提升和对函数零点问题的掌握都具有积极意义。
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零
2.4.1 函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解.轴有两个交点，所以函数有两个零点．－2＝0的判别式Δ＝有两个不相等的实根．所以函数－2＝0可化为(2x＋思路2例 若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围． 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径． ③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0.解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0， 由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞ 1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18，所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，，，0<14a <1，14a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，，，0<14a <1，14a ，容易解得实数a 不存在．⎩⎪⎨－32a<1，，∴⎩⎪⎨a>0或a<－1.5，∴0＜a≤4.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点． 解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有 f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8. 由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的图象与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3. 拓展提升问题：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析： ①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数， (1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙．(3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲乙。
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点课堂导学案 新人教B版必修1-新人
2.4.1 函数的零点课堂导学三点剖析一、考查函数零点的概念【例1】求下列函数的零点.(1)f(x)=kx+b(k≠0);(2)f(x)=2x 2-5x+2;(3)f(x)=x 3+2x-3.思路分析：求函数的零点即是求f(x)=0的根，分解因式即可.解:(1)f(x)=k(x+kb ),∴零点为k b . (2)f(x)=(x-2)(2x-1),∴零点为2、21. (3)f(x)=x 3-1+2x-2=(x-1)(x 2+x+1)+2(x-1)=(x-1)(x 2+x+3)，∵x 2+x+3=(x+21)2+411>0恒成立， ∴f(x)零点为1.二、利用零点的性质求参数【例2】函数y=x 2+2px+1的零点一个大于1，一个小于1，求p 的取值范围.思路分析：二次函数的零点即函数图象与x 轴的交点，因此借助二次函数图象，利用数形结合法来研究.解法一:记f(x)=x 2+2px+1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x 轴的交点一个在(1,0)的左方， 另一个在(1,0)的右方，∴必有f(1)<0,即12+2p+1<0.∴p<-1.∴p 的取值为(-∞,-1).解法二:设y=x 2+2px+1的零点为x 1、x 2,则⎩⎨⎧<-->-=∆0)1)(1(044212x x p ⇔⎩⎨⎧<++>01)x (x -x x 1p 21212⇔⎩⎨⎧<++>0,12p 11,p 2 得p<-1.三、应用函数零点【例3】求证:方程5x 2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.思路分析：证明方程5x 2-7x-1=0的两个根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.证明:设f(x)=5x 2-7x-1=0,则f(-1)=5+7-1=11,f(0)=-1,f(1)=5-7-1=-3,f(2)=20-14-1=5.由于f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x 2-7x-1的图象在R 上是连续不断的,∴f(x)的图象在(-1,0)和(1,2)上分别有交点,即方程5x 2-7x-1=0的根一个在(-1,0)内,另一个在(1,2)内.温馨提示判断函数f(x)是否在(x 1,x 2)上存在零点,除验算f(x 1)·f(x 2)<0是否成立外,还需考查函数的图象在(x 1,x 2)上是否连续不断.若判断根的个数问题,还需结合函数的单调性进行. 各个击破类题演练1求下列函数的零点.(1)f(x)=x 3+1; (2)f(x)=1122-++x x x . 解析：(1)f(x)=(x+1)(x 2-x+1),∴f(x)零点为-1. (2)f(x)=1)1(2-+x x ,令1)1(2-+x x =0,得x=-1. ∴f(x)零点为-1.变式提升1若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx 2+3ax 的零点是_______.解析：∵f(x)=ax -b 的零点是3,∴f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a.∴g(x)=bx 2+3ax=bx 2+bx=bx(x+1).∴g(x)零点为-1,0.答案：-1,0类题演练2已知函数f(x)=x 2+(a 2-1)x+(a-2)的一个零点小于1,另一个零点在1与2之间.求实数a 的取值范围.解析：函数的大致图象如图,则⎩⎨⎧><0,f(2)0,f(1) 即⎪⎩⎪⎨⎧>++<++02-a 1)-2(a 402-a 1-a 122 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+<+0a 2a 02-a a 22 ⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<><<-.210,12a a a 或 ∴0<a<1或-2<a<-21. 变式提升2m 为何实数时，函数f(x)=mx 2-(1-m)x+m 有零点？解析：若m=0，函数为f(x)=-x,∴有零点x=0.当m≠0时，由已知，Δ=(1-m)2-4m 2≥0.∴3m 2+2m-1≤0. ∴-1≤m≤31且m≠0. 综上，当m∈［-1,31］时，函数有零点. 类题演练3若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则f(-1)·f(1)的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断解析：由于函数f(x)在(-2,2)上的图象是连续的,且f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实根,则有f(2)·f(-2)<0.若f(1)·f(-1)<0,则f(x)在(-1,1)上必有零点,即方程f(x)=0在(-1,1)上必有根;反之,由f(2)·f(-2)<0,却不一定有f(1)·f(-1)<0,也可能有f(1)·f(-1)>0,如图所示.∴选D. 答案：D变式提升3若函数f(x)=ax 2-x-1仅有一个零点,求实数a 的取值范围.解析：(1)a=0,则f(x)=-x-1为一次函数,易知函数仅有一个零点;(2)a≠0,则函数f(x)为二次函数,若其只有一个零点,则方程ax 2-x-1=0仅有一个实数根,故判别式Δ=1+4a=0,得a=41-. 综上,当a=0或41-时,函数仅有一个零点.。
人教B版高中数学必修1-2.4《函数的零点》教学教案1
2.4.1 函数的零点一、教学内容分析本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．1．教学重点：函数零点的定义的理解。
2．教学难点：正确理解函数零点的定义，了解函数零点的判定方法的不可逆性。
知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用。
过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用。
情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.二、教学基本条件分析1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究。
2．前期内容准备：在学习一次函数和二次函数时，教师结合课后习题，对函数、方程和不等式三者的联系已经作了适当的渗透。
3．教学媒体条件：支持幻灯片展示。
三、教学过程设计（一）开门见山，揭示课题引语：同学们还记得在序言课上老师给大家展示的那首小诗《偶成》吗？（幻灯片展示）函数方程显神通，集合语言奠基功。
一次二次学方法，指对幂中活运用。
数形结合诚美妙，重要性质作沟通。
因果变化多联系，物换星移运不穷。
前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的性质，初步学习了研究函数的一般方法，进一步体会了这首小诗的寓意，今天我们通过研究函数的另一个重要性质——函数的零点来进一步感受函数与方程的联系。
（板书课题）教师直接板书函数零点的定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)=0，则x0叫做这个函数的零点。
设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫。
（二）逐层深化，发现联系教师在确定学生能读懂这个定义个基础上给出如下例题：例1：求出下列函数的零点，并能够作出函数的图象。
高中数学人教B版必修一2.4.1函数的零点教案
２．函数ｆ（ｘ）＝ 的零点是（ ）
Ａ．１，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２
3．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
4．ｆ（ｘ）＝ ，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）
学科：数学
课题：2.4.1函数的零点
教学目标（三维融通表述）：
1．通过讲解学生理解理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点，能判断二次
函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
2．在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中，体会由特殊到一般的思维方
法，通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。
４．二次函数零点的性质：
（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），．
（２）在相邻的两个零点之间所有
例1：已知函数 ，（1）当 取何值时， （2）作出函数的图像。
例2、求函数 的零点，并指出 时， 的取值范围。
例3.求函数 的零点，并画出它的图像
1．函数ｆ（ｘ）＝２ －ｍｘ＋３有一个零点为1.5，则ｆ（１）＝
会讨论零点个数，会解二次不等式
8分钟
15分钟
20分钟
引导学生理解
1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数a处的值等于零，即ｆ（a）＝０，则a叫做．
２．把一个函数的图像与叫做这个函数的零点．
３．二次函数ｙ＝ａ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ ０），当Δ＝ －４ａｃ＞０时，二次函数有个零点；Δ＝ －４ａｃ＝０时，二次函数有个零点；Δ＝ －４ａｃ＜０时，二次函数零点．
人教B版高中数学必修1-2.4《函数的零点》教学教案2
2.4.1 函数的零点本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（B版）》第70-72页的第二章2.4.1函数的的零点．本节是课标教材新增的教学内容，通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．给出函数零点概念的目的是要用函数的观点统摄中学代数知识，把所有的中学代数问题都统一到函数的思想指导之下．函数的零点是“函数与方程”这一单元的第一节内容，因此应该用适当的方式来说明函数与方程的关系，以突出用方程来研究函数的性质，用函数来研究解决方程的相关问题．但是教材中只体现了函数的零点与方程的解的关系，没有对函数与方程的联系与区别这方面的内容加以阐述．教学实践证明，学生在学习了“函数的零点”这一内容之后，仍然对函数与方程的关系没有较明确的认识．因此，本人认为应该利用一次函数与一元一次方程和二次函数与一元二次方程的关系来说明函数与方程的关系，让学生对函数与方程的关系有一个初步的感知，进而使学生体会学习函数零点的意义．因此在教学中我结合两点思考，将教学设计分为四个阶段．一、对函数零点定义的思考第一阶段：研究方程的根与函数的零点例题1：问题1：解方程①6x－1=0 ；②3x2＋6x－1=0 ③④3x3＋6x－1=0第一、二两题学生容易回答．第三题和第四题学生无法解答，产生疑惑引入课题．事实上，学生大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习，必然会降低其求知欲，从而影响学习的效果．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有些方程不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．这样做，还为接下来学习二分法埋下了伏笔．问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图①方程与函数②方程与函数③方程与函数教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念．零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的．同时，让学生填表格根据概念，让学生理解函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系，概括总结两个结论（请学生总结）．1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数．例如函数的零点为x=-1,32）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函。
高中数学 2.4方程的根与函数的零点教学设计 新人教B版必修1
2.4方程的根与函数的零点教学设计【教材分析】函数是中学数学的核心概念。
核心的原因之一就在于函数与其知识据有关烦的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。
本节课是在学生学习了函数的性质，具备初步的数形结合知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。
因此本节内容具有承前启后的作用，地位重要．【教学目标分析】根据本节课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标：知识与技能目标：巩固方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。
过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟有具体到一抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。
过程与方法目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，培养学生严谨的科学态度。
【教学重点分析】教学重点：因为函数的零点与方程的关系至关重要，为下面二分法的学习奠定基础，因此我把本节教学重点定为判定函数零点存在及其个数的方法。
教学难点：为了培养学生的探究精神，让学生体验学习的快乐和成果，故本节难点定为探究发现函数零点的存在性，利用函数单调性判断函数零点的个数。
【教法分析和学法指导】结合本节课的教学内容和学生的和认知水平，在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”式教学模式，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体。
在学法上，我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，精心设置一个个问题链，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的机会。
【教学过程设计】为了突出重点，突破难点，在教学上我做如下设计。
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点教学素材新人教B版必修1
高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点教学素材新人教B版必修1教学建议1.本节课内容是在初中学习一元二次方程的解法和一元二次函数性质的基础上进一步对一般函数进行研究的,是通过特殊例子的讨论推导出的一般规律;在教学过程中应注意初、高中知识的衔接,加深学生对初中知识的理解.2.学习本节内容,应注意由特殊到一般的数学思想方法的运用,灵活运用数形结合的思想方法,提高对函数与方程思想的应用能力.充分利用二次函数图象及一次函数图象与x轴交点与零点的关系来理解函数、方程及不等式的关系,进而理解一般的函数图象与x轴的交点坐标、方程的根、不等式的解集之间的联系.有条件的可充分发挥计算机在零点计算与函数作图中直观形象的优势,加深对本节内容的理解.3.教学中让学生掌握用函数理论解答方程问题的三种主要题型:(1)构造函数,确定方程的实根的个数问题;(2)构造函数,讨论方程的实根的存在性和唯一性问题;(3)构造函数,讨论方程的实根的范围问题.用函数理论解答方程问题的主要理论依据:①函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点的横坐标是方程f(x)=g(x)的实根;②一元二次方程的实根的分布规律,其载体是二次函数、二次方程和二次不等式.备用习题1.函数f(x)=x5-10x3-20x2-15x-4的一个零点是( )A.0B.1C.-1D.2解析：用代入法,∵f(0)=-4,f(1)=-48,f(-1)=0.f(2)=-162,∴-1即为f(x)的一个零点.故选C.答案：C2.关于函数f(x)=x3-3x+2的零点的叙述:①-2是函数的一个零点;②函数的二重零点是1;③对于任意a,b∈(-2,1),f(a)f(b)≥0;④函数f(x)=g(x)+4,则函数g(x)的零点是-1、2,其中正确叙述的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析：∵f(x)=x3-3x+2=(x3-1)+(-3x+3)=(x+2)(x-1)2,∴f(x)=0的根为x=-2,x=1(二重根),①②正确;根据“连续函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号”,不能为零,③不正确;由f(x)=g(x)+4,得g(x)=f(x)-4=x3-3x-2=(x-2)(x+1)2,则函数g(x)的零点是-1、2,④正确.故选D.答案：D3.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解的叙述正确的是_______.①有三个实根②x>1时恰有一实根③当0<x<1时恰有一实根④当-1<x<0时恰有一实根⑤当x<-1时恰有一实根(有且仅有一实根)解析：结合图象知f(x)的图象是由原函数图象沿y 轴向上平移0.01得到的.故只有①⑤正确.答案：①⑤4.函数f(x)=mx 2+(m-3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m 的取值范围.解析：由f(0)=1知图象过(0,1)点,当m=0时,f(x)=-3x+1,此时图象交x 轴于点(31,0),适合.当m≠0时,问题转化为方程mx 2+(m-3)x+1=0,有一正根和一负根或有两正根.当m<0时,有⎪⎩⎪⎨⎧<=>--=∆,01,04)3(212m x x m m 满足题意.当m>0时,需有⎪⎩⎪⎨⎧>•>+≥∆,0,0,02121x x x x解得0<m≤1.综上，得m≤1.。
高中数学人教B版必修一学案：2.4.1 函数的零点
2.4函数与方程2.4.1函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.[知识链接]考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答案[1.函数的零点(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)性质①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系要点一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点： (1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1.解 (1)∵f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， ∴方程－x 2－2x ＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.(2)∵f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1.规律方法 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1 求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 解 (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得，x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：(1)当a ＝0或－12时，零点为－2；(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.要点二 函数零点个数的判断例2 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点.规律方法 判断或求形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点时，首先对a 分a ≠0和a ＝0两种情况讨论，然后对a ≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2 判断下列函数的零点个数： (1)f (x )＝x 2－7x ＋12； (2)f (x )＝x 2－1x.解 (1)由f (x )＝0即x 2－7x ＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f (x )有两个零点.(2)方法一 由x 2－1x ＝0得x 2＝1x ，令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x，在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.方法二 令f (x )＝0得x 2－1x ＝0即x 3－1＝0(x ≠0)， ∴x ＝1，即方程只有一个根.∴函数有一个零点.要点三 函数零点性质的应用例3 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.解 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0， 解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5).规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12).1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A.(0，±2)；±2 B.(±2,0)；±2 C.(0，－2)；－2 D.(－2,0)；2答案 B解析 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f (x )在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断 答案 B解析 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f (4)＜0. 3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A.(－2,6) B.[－2,6]C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)D.{－2,6} 答案 C解析 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，∴m ＞6或m ＜－2. 4.函数f (x )＝x －4x 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.无数个 答案 C解析 f (x )＝x 2－4x，得x 1＝2，x 2＝－2，即函数有2个零点.5.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x 轴无交点，如函数y ＝1或y ＝x 2＋1就没有零点.2.判断函数的零点，可利用的结论：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解.。
人教B版高中数学必修一教案-2.4 函数与方程
《函数与方程》教学设计
教学反思
一、高考对本节课内容的考查主要有：
(1)函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；
(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；
试题类型可能是选择、填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查．
二、本节课是高考专项训练的重要课节。
根据高考考纲对本知识点的要求，设置的一节专项训练课。
针对高三学生，在二轮复习中进行。
通过本节课讲解，使学生对常见函数求零点的问题有一定的理解。
对学生函数模型的构建思想起到了一定的作用。
同时对数形结合的数学思维有一定的培养作用。
本节课的教学活动主要是以学生回忆、小组讨论、自主研究及合作学习为主体。
对高三学生自主复习思路有一定的培养。
本节课在设置上有一个欠缺之处，就是容量稍大，知识点迁移较大，尤其是几道高考原题和典型例题有一定的高度，学生在理解及心理层面上有一定困难。
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§2.4.1函数的零点（课前预习案）
一、新知导学
1.函数零点的概念：
对于函数y=f （x ），我们把使 叫做函数y=f （x ）的零点.
2.变号零点与不变号零点：
（1）当函数通过变号零点时，函数值变号；（2）相临两个零点之间的所有函数值保持同号。
3.函数零点与方程根的关系：
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 有交点⇔函数y=f(x)有 注意：函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 轴交点的 .
4.函数零点的判断：
如果函数y=f （x ）在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,c 也就是方程0)(=x f 的根.
二、预习自测：
1.求下列函数的零点：
（1）452--=x x y ； （2）202
++-=x x y ；
（3）； （4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．
2.观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；
f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．
§2.4.1函数的零点（课堂探究案）
§2.4.1函数的零点（课后拓展案）
1.如果二次函数)3(2+++=m m x x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）
A.),6()2,(+∞--∞
B.)6,2(-
C.]6,2[-
D.}6,2{-
2.方程063223=-+-x x x 在区间[-2，4]上的根必定属于区间（ ）
A.[-2，1]
B.]4,25[
C.]47,1[
D.]2
5,47[ 3. 函数f (x )=x (x 2－16)的零点为（ ）
A ．(0，0)，(4，0)
B ．0，4
C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0)
D ．–4，0，4
4.若函数b ax x f +=)(有一个零点是2,那么函数ax bx x g -=2)(的零点是（ ）
A.0，2
B.0，
21 C.0，-21 D.2，-21 5若函数()21f x mx x =--有且仅有一个零点，则实数m 的值是________。
6.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有一个零点，求实数a 的取值范围。