数学人教A版选修4-5第2讲 1 比较法

一比较法学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法．知识点一作差比较法思考比差法的理论依据是什么？答案a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0.梳理作差比较法(1)作差比较法的理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理；③判定符号；④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．知识点二作商比较法思考1 对于两个正数a ，b ，若ab ＞1，能够判断a ，b 的大小吗？答案 能，根据不等式的性质知，对于正数a ，b ，ab ＞1⇒a ＞b.思考2 类比作差比较法，请谈谈作商比较法． 答案 对于正数a ，b ，a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；ab ＜1⇔a ＜b.梳理 (1)作商比较法：若a ＞0，b ＞0，要证明a ＞b ，只要证明a b ＞1；要证明b ＞a ，只要证明ab ＜1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： ①b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若ab ＜1，则a ＜b ；②b ＜0，若a b ＞1，则a ＜b ；若ab＜1，则a ＞b.(3)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定与1的大小关系；⑤得出结论.类型一 作差比较法证明不等式例1 已知正数a ，b ，c 成等比数列，求证：a 2－b 2＋c 2≥(a －b ＋c)2. 证明 因为正数a ，b ，c 成等比数列， 所以b 2＝ac ，b ＝ac ， 又(a 2－b 2＋c 2)－(a －b ＋c)2＝a 2－b 2＋c 2－a 2－b 2－c 2＋2ab －2ac ＋2bc ＝2ab －4b 2＋2bc ＝2b(a －2b ＋c)＝2b(a －c)2≥0， 所以a 2－b 2＋c 2≥(a －b ＋c)2.反思与感悟 作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与0比较大小．跟踪训练1 已知a ≥1，求证：a ＋1－a ＜a －a －1. 证明 ∵(a ＋1－a)－(a －a －1) ＝1a ＋1＋a－1a ＋a －1＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＜0，∴a ＋1－a ＜a －a －1. 类型二 作商比较法证明不等式例2 已知a ＞0，b ＞0，求证：a a b b≥()2a b ab +.证明 因为a a b b＞0，()2a b ab +＞0，所以a a bb()2a b ab +＝22a b b a ab--⋅＝()2a b ab -.当a ＝b 时，显然有2a b a b -⎛⎫⎪⎝⎭＝1；当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b2＞0，所以由指数函数的单调性可知，2a b a b -⎛⎫⎪⎝⎭＞1；当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b2＜0，所以由指数函数的单调性可知，2a b a b -⎛⎫⎪⎝⎭＞1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥()2a b ab +.引申探究1．若a ＞0，b ＞0，求证：()2a b ab +≥a b b a.证明 因为a b b a＞0，()2a b ab +＞0，所以a b ba()2a b ab +222.b a b a a b a abb ---⎛⎫== ⎪⎝⎭所以当a ＝b 时，显然有21;b a a b -⎛⎫=⎪⎝⎭当a ＞b ＞0时，a b ＞1，b －a2＜0，由指数函数的单调性， 可得2b a a b -⎛⎫⎪⎝⎭＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1； 当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，b －a2＞0，由指数函数的单调性， 可得2b a a b -⎛⎫⎪⎝⎭＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0＝1， 综上可知，对任意a ＞0，b ＞0，都有a b b a≤()2a b ab +.2．当a ＞0，b ＞0时，比较a a b b 与a b b a的大小． 解 由例2和探究1知，a a b b≥()2a b ab +≥a b b a.反思与感悟 作商比较法证明不等式的一般步骤 (1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商． (2)变形：化简商式到最简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断商大于1或小于1或等于1. (4)得出结论．跟踪训练2 已知a ＞0，b ＞0，求证：ab ＋ba≥a ＋ b. 证明 ∵ab ＋baa ＋b＝a ba ＋b ＋b aa ＋b ＝aab ＋b ＋bab ＋a ＝a ab ＋a 2＋b ab ＋b 22ab ＋(a ＋b )ab＝a 2＋b 2＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab.又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴a 2＋b 2＋(a ＋b )ab 2ab ＋(a ＋b )ab ≥2ab ＋(a ＋b )ab2ab ＋(a ＋b )ab ＝1，当且仅当a ＝b ＞0时取等号， ∴ab ＋ba≥a ＋ b. 类型三 比较法的应用例3 证明：若a ，b ，m 都是正数，并且a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＞a b (糖水不等式)．证明a ＋mb ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m ). ∵a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ， ∴b －a ＞0，b(b ＋m)＞0， ∴m (b －a )b (b ＋m )＞0，即a ＋m b ＋m －ab ＞0，∴a ＋mb ＋m ＞ab. 反思与感悟 比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛．跟踪训练3 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？解 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n ＝t 2. ∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn ，∴t 1－t 2＝2s m ＋n －s (m ＋n )2mn＝s[4mn －(m ＋n )2]2mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n ).其中s ，m ，n 都是正数，且m ≠n ，∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2.从而知甲比乙先到达指定地点．1．已知不等式：①x 2＋3＞2x(x ∈R ＋)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①x 2＋3－2x ＝(x －1)2＋2＞0，故①正确；②取a ＝b ＝1，则a 5＋b 5＝2，a 3b 2＋a 2b 3＝2，故②不正确；③a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，故③正确．2.1a ＜1成立的充要条件是( ) A ．a ＞1 B ．a ＜0 C ．a ≠0 D ．a ＞1或a ＜0答案 D解析 1a ＜1⇔1a －1＜0⇔1－a a ＜0⇔a ＜0或a ＞1.3．若x ，y ∈R ，记w ＝x 2＋3xy ，u ＝4xy －y 2，则( )A ．w ＞uB ．w ＜uC ．w ≥uD ．无法确定答案 C解析 ∵w －u ＝x 2－xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y24≥0，∴w ≥u.4．a ，b 都是正数，P ＝a ＋b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ≤Q答案 D解析 ∵a ，b 都是正数， ∴P ＞0，Q ＞0， ∴P 2－Q 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b)2 ＝－(a －b )22≤0.(当且仅当a ＝b 时取等号)∴P 2－Q 2≤0，∴P ≤Q.5．设a ＞b ＞0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2＞a －ba ＋b .证明 方法一 a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b ) ＝2ab (a －b )(a 2＋b 2)(a ＋b )＞0(∵a ＞b ＞0)， ∴原不等式成立．方法二 ∵a ＞b ＞0，∴a 2＞b 2＞0. ∴左边＞0，右边＞0.∴左边右边＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b2＞1.∴原不等式成立．1．作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号． 2．适用作商比较法证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较．一、选择题1．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，若P ＝a 2b ＋b2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P ≥QB ．P ＞QC ．P ≤QD ．P ＜Q答案 B解析 P －Q ＝a 2b ＋b 2a －a －b ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a ＋b )(a －b )2ab .因为a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，所以P －Q ＞0.2．已知a ＞b ＞－1，则1a ＋1与1b ＋1的大小关系为( )A.1a ＋1＞1b ＋1B.1a ＋1＜1b ＋1C.1a ＋1≥1b ＋1D.1a ＋1≤1b ＋1答案 B解析 ∵1a ＋1－1b ＋1＝b －a(a ＋1)(b ＋1)＜0，∴1a ＋1＜1b ＋1. 3．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，m ＝ac －bd ，n ＝(a －b )(c －d )，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m ＜n B ．m ＞n C ．m ≥n D ．m ≤n答案 C解析 m 2－n 2＝(ac －2abcd ＋bd)－(ac ＋bd －ad －bc) ＝ad －2abcd ＋bc ＝(ad －bc)2≥0， ∴m 2≥n 2.又m ＞0，n ＞0，∴m ≥n.4．当a ＜b ＜0时，下列关系式中成立的是( ) A.a 2＜b 2B ．lgb 2＜lga 2C.b a ＞1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫122a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫122b 答案 B解析 方法一 取特殊值a ＝－4，b ＝－1，则选项A ，C ，D 不正确，选项B 正确，故选B. 方法二 ∵a ＜b ＜0，∴a 2＞b 2. 而函数y ＝lgx(x ＞0)为增函数， ∴lgb 2＜lga 2，B 项正确．5．已知a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＜Q C ．P ＝Q D ．大小不确定答案 A解析 P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当0＜a ＜1时，0＜a 3＋1＜a 2＋1，则0＜a 3＋1a 2＋1＜1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0.∴P ＞Q.当a ＞1时，a 3＋1＞a 2＋1＞0，a 3＋1a 2＋1＞1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0.∴P ＞Q.综上可知，P ＞Q.6．已知a ＞b ＞0且ab ＝1，设c ＝2a ＋b ，P ＝log c a ，N ＝log c b ，M ＝log c (ab)，则( ) A ．P ＜M ＜NB ．M ＜P ＜NC ．N ＜P ＜MD ．P ＜N ＜M答案 A 解析 令a ＝2，b ＝12，则c ＝2a ＋b ＝45， 则M ＝log c (ab)＝0，P ＝log 452＜0，N ＝log 4512＞0， ∴P ＜M ＜N.二、填空题7．设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系为________． 答案 x ＜y ＜z解析 ∵a ＞b ＞c ＞0，∴x ＞0，y ＞0，z ＞0.而x 2－y 2＝a 2＋b 2＋2bc ＋c 2－(b 2＋c 2＋2ac ＋a 2)＝2bc －2ac ＝2c(b －a)＜0，∴x 2＜y 2，即x ＜y ；又y 2－z 2＝b 2＋(c ＋a)2－[c 2＋(a ＋b)2]＝2ac －2ab ＝2a(c －b)＜0，∴y ＜z.∴x ＜y ＜z.8．已知a ＞0,0＜b ＜1，a －b ＞ab ，则1＋a 与11－b 的大小关系是________． 答案 1＋a ＞11－b 解析 ∵a ＞0,0＜b ＜1，a －b ＞ab ，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a －b －ab ＞1. 从而1＋a 11－b＝(1＋a )(1－b )＞1， ∴1＋a ＞11－b .9．某家电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电进行降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价a%，再降价b%；(2)先降价b%，再降价a%；(3)先降价a ＋b 2%，再降价a ＋b 2%； (4)一次性降价(a ＋b)%.其中a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则上述四种方案中，降价幅度最小的是________．答案 方案(3)解析 设降价前彩电的价格为1，按四种方案降价后彩电的价格依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＝(1－a%)(1－b%)＝1－(a ＋b)%＋a%·b%；x 2＝(1－b%)(1－a%)＝x 1；x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%＝1－(a ＋b)%＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a%＋b%22； x 4＝1－(a ＋b)%＜1－(a ＋b)%＋a%·b%＝x 1＝x 2.又x 3－x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a%＋b%22－a%·b%＞0， ∴x 3＞x 1＝x 2＞x 4.故降价幅度最小的是方案(3)．三、解答题10．设a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．证明 由a ，b 是非负实数，作差得a 3＋b 3－ab(a 2＋b 2)＝a 2a(a －b)＋b 2b(b －a)＝(a －b)[(a)5－(b)5]． 当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a)5≥(b)5，则(a －b)[(a)5－(b)5]≥0；当a ＜b 时，a ＜b ，从而(a)5＜(b)5，则(a －b)[(a)5－(b)5]＞0，所以a 3＋b 3≥ab(a 2＋b 2)．11．已知b ，m 1，m 2都是正数，a ＜b ，m 1＜m 2，求证：a ＋m 1b ＋m 1＜a ＋m 2b ＋m 2. 证明a ＋m 1b ＋m 1－a ＋m 2b ＋m 2 ＝(a ＋m 1)(b ＋m 2)－(a ＋m 2)(b ＋m 1)(b ＋m 1)(b ＋m 2) ＝am 2＋bm 1－am 1－bm 2(b ＋m 1)(b ＋m 2) ＝(a －b )(m 2－m 1)(b ＋m 1)(b ＋m 2). 因为b ＞0，m 1＞0，m 2＞0，所以(b ＋m 1)(b ＋m 2)＞0.又a ＜b ，m 1＜m 2，所以a －b ＜0，m 2－m 1＞0，从而(a －b)(m 2－m 1)＜0.于是(a －b )(m 2－m 1)(b ＋m 1)(b ＋m 2)＜0， 所以a ＋m 1b ＋m 1＜a ＋m 2b ＋m 2. 12．已知函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|，P 为不等式f(x)＞4的解集．(1)求P ；(2)证明：当m ，n ∈P 时，|mn ＋4|＞2|m ＋n|.(1)解 f(x)＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1.由f(x)＞4，得x ＞2或x ＜－2.所以不等式f(x)＞4的解集P ＝{x|x ＞2或x ＜－2}．(2)证明 由(1)可知|m|＞2，|n|＞2，所以m 2＞4，n 2＞4，(mn ＋4)2－4(m ＋n)2＝(m 2－4)(n 2－4)＞0， 所以(mn ＋4)2＞4(m ＋n)2，所以|mn ＋4|＞2|m ＋n|.13．若实数x ，y ，m 满足|x －m|＜|y －m|，则称x 比y 接近m.对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2ab ab.证明 因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，所以a 2b ＋ab 2＞2ab ab ，a 3＋b 3＞2ab ab.所以a 2b ＋ab 2－2ab ab ＞0，a 3＋b 3－2ab ab ＞0.所以|a 2b ＋ab 2－2ab ab|－|a 3＋b 3－2ab ab|＝a 2b ＋ab 2－2ab ab －a 3－b 3＋2ab ab＝a 2b ＋ab 2－a 3－b 3＝a 2(b －a)＋b 2(a －b)＝(a －b)(b 2－a 2)＝－(a －b)2(a ＋b)＜0，所以|a 2b ＋ab 2－2ab ab|＜|a 3＋b 3－2ab ab|，所以a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2ab ab.四、探究与拓展14．已知a ＞2，求证：log a (a －1)＜log (a ＋1)a.证明 ∵a ＞2，∴a －1＞1，∴log a (a －1)＞0，log (a ＋1)a ＞0.由于log a (a －1)log (a ＋1)a ＝log a (a －1)·log a (a ＋1)＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22. ∵a ＞2，∴0＜log a (a 2－1)＜log a a 2＝2. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22＜⎝ ⎛⎭⎪⎫log a a 222＝1. 即log a (a －1)log (a ＋1)a ＜1. ∵log (a ＋1)a ＞0，∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a.。