高中数学《2.6.2求曲线的方程(2)》教案 苏教版选修2-1
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？ 答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？ 答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一 统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45， 而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解 方法一 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二 应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解 设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)． 故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值． 解 过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)． 又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)． 要点三 圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45， 由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直． 解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c， 根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ； 当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________． 答案 －1<k <1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案 －1解析 焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________． 答案 x 23＋y 24＝1 解析 由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析 由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1， 得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________． 答案 5解析 依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析 由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程． 解 由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析 因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)， 则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1， 所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)． 则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355， 故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解 因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ， 所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明 由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22， 故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26， 当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。
苏教版高中数学选修(2-1)-2.6《求曲线的方程》教学教案
求曲线的方程【学习目标】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程；2．掌握求轨迹方程的基本方法．【学习重点】应用求轨迹方程的基本方法求轨迹方程．【学习难点】寻找等量关系并转化为方程．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材）1． 由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意点的坐标；(2) 写出适合条件p 的点的集合{})(M P M P = ;(3) 用坐标表示条件)(M P ， 列出方程0),(=y x f ；(4) 化方程0),(=y x f 为最简式 ；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．两曲线有交点的充要条件是 ： 两曲线的方程构成的方程组有解．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等．【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( D )．(A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3)(C)6x+y-17=0(x≤3)(D)6x+y-17=0(2≤x≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( C )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为：.072=-+y x4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是()300≤≤=y x ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值． 解：（待定系数法） 222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛35,0A 和点(),1,1B ⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∴22352b a b 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==25322518a b ． 【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．【分析】在建立坐标系时,一般应当充分利用已知条件中的定点定直线等,这样可使问题的几何性质得到更好的表示,从而使曲线方程的形式简单些．解：取直线l 为x 轴,过F 点且垂直于直线l 的直线为y 轴,建立坐标系xoy ． 设点),(y x M 是曲线上任意一点,作轴，x MB ⊥垂足为，B 那么点),(y x M 属于集合{}.2MB -MF M P ==由两点间距离公式,点),(y x M 适合条件为: (),2222=--+y y x 化简得: ()(),22222+=-+y y x 即.812x y = 因为曲线在直线l 的上方,所以.0>y 故曲线方程为().0812≠=x x y 【方法总结】（1）利用基本五步求曲线方程时,一般要书写、第3步、第4步；（2）第1步中坐标系的建立是否恰当影响着计算的难易；。
苏教版数学高二-选修2-1教案 抛物线的标准方程
2．4.1抛物线的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程及其推导．(2)明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．2．过程与方法(1)通过对抛物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系．(2)熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力．3．情感、态度与价值观引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美．●重点难点重点：抛物线的定义及其标准方程的推导．通过学生自主建系和对方程的讨论突出重点．难点：抛物线概念的形成．通过条件e＝1的画法设计、标准方程与二次函数的比较突破难点．●教学建议从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，抛物线是离心率e＝1的特例．另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化．本节对抛物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图像遥相呼应，体现了数学的和谐之美．教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则．为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，易采用“引导探究”式的教学模式，在课堂教学中，始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程．本节课在实验画法的基础上，以问题为核心，创设情景，通过教师的适时引导，学生间、师生间的交流互动，启迪学生的思维，使学生通过自己的分析、反思、对比并形成抛物线的概念，构建自己的知识体系，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，用计算机出示太阳系九大行星运行图，以天文学热点事件“冥王星”的降级引入新课：同学们，最近在我们的太阳系发生了一件重大的事件，你们知道吗？⇒引导探究，获得新知(1)复习椭圆、双曲线的第二定义，椭圆和双曲线的离心率e 的取值范围各是什么？(2)离心率e＝1是什么含义？你能据此设计一种方案，画出一个这样的点吗？(3)这条曲线是什么？⇒由学生自主建系，求出抛物线的标准方程．并根据焦点位置的不同，写出四种不同的标准方程．归纳标准方程、焦点坐标、准线方程的内在联系和对应关系．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握抛物线标准方程的求法，先定位，再定量，利用待定系数法求抛物线的标准方程．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由标准方程求其焦点坐标和准线方程，达到数与形的准确转换．弄清一次项变量系数与焦点同名坐标的四倍关系，焦点坐标与准线方程的相反关系．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握抛物线定义和标准方程的综合应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化，在此基础上数形结合，解证有关问题．⇒通过易错易误辨析，体会抛物线标准方程的不同形式，焦点位置有多个，就会有不同的标准方程．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(重点)2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点)3．抛物线标准方程、准线、焦点的对应．(易错点)抛物线的标准方程1．用《几何画板》画图，如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹．你能发现点M满足的几何条件吗？【提示】点M随着H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F和定直线l的距离相等．2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简单？【提示】根据抛物线的几何特征，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy(如图所示)．图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)F(p2，0)x＝－p2y2＝－2px(p>0)F(－p2，0)x＝p2x2＝2py(p>0)F(0，p2)y＝－p2 x2＝－2py(p>0)F(0，－p2)y＝p2求抛物线的标准方程已知抛物线的顶点在原点，试求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；(3)焦点到准线的距离为52.【思路探究】对于(1)，需要确定p的值和开口方向两个条件，∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)；对于(2)，∵标准方程下抛物线的焦点在坐标轴上，∴求出直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点(4,0)和(0，－2)，即为所求抛物线两种情况下的焦点；而对于(3)，由题意知，p＝52，下一步需要讨论抛物线的开口方向．【自主解答】(1)∵点(－3,2)在第二象限，∴抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．把点(－3,2)的坐标分别代入y2＝－2px(p>0)和x2＝2py(p>0)，得4＝－2p·(－3)或9＝2p·2，即2p＝43或2p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4.∴2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x . 当焦点为(0，－2)时，p2＝2.∴2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52，∴2p ＝5.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .1．只有顶点有原点，焦点在坐标轴上的抛物线才能将方程写成标准方程．2．求抛物线的标准方程，应当先定位，再定量，即先根据焦点位置设出方程形式，再利用题目条件求出待定字母的值．另外，若只知道焦点在x 轴上，可设抛物线标准方程为y 2＝mx 的形式，若只知道焦点在y 轴上，可设抛物线标准方程为x 2＝ny 的形式，避免分类讨论．一抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则其准线方程为y ＝p2.由抛物线的定义知点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离， ∴p2－(－3)＝5，即p ＝4. ∴所求抛物线的方程为x 2＝－8y .由标准方程求抛物线的焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y 2＝20x ；(2)2y 2＋5x ＝0；(3)y ＝ax 2(a ≠0)． 【思路探究】抛物线方程化为标准形式→求p →求焦点坐标→求准线方程【自主解答】 (1)由方程可得抛物线开口向右，且2p ＝20，即p ＝10，所以抛物线的焦点坐标为(5,0)，准线方程为x ＝－5.(2)将方程2y 2＋5x ＝0变形为y 2＝－52x ，焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝52，所以p ＝54，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.(3)将方程y ＝ax 2(a ≠0)化为x 2＝1ay ，焦点在y 轴上．当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y ＝－14a；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－1a ，所以焦点坐标为(0，14a )，准线方程为y 1＝－14a.1．本例中y ＝ax 2不是抛物线的标准方程，容易被误认为是标准形式，而将焦点写为F (a4，0)．2．求焦点坐标与准线方程的基本方法：(1)一般思路是先将已知方程整理为标准方程，再求解，不可与初中二次函数混淆． (2)此类问题中无论a 取正与负，拋物线y 2＝ax 的焦点坐标均为(a4，0)，准线均为x ＝－a 4.无论a 取正与负，拋物线x 2＝ay 的焦点坐标均为(0，a 4)，准线均为y ＝－a 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．【解】 (1)方程可化为：x 2＝－8y ，∴F (0，－2)，准线y ＝2. (2)F (0，a 4)，准线y ＝－a4.抛物线标准方程及定义的应用图2－4－1如图2－4－1，已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，直线l为其准线，点M 在抛物线上移动，问M 的坐标是什么时，MA ＋MF 取得最小值，最小值是多少？【思路探究】 如图，过M 向准线l 引垂线ME ，则MF ＝ME ，转化为求MA ＋ME 的最小值．【自主解答】 由题意知，抛物线y 2＝8x 的准线l 的方程为x ＝－2，过M 作ME ⊥l ，垂足为E ，由抛物线的定义知，ME ＝MF ，此时MA ＋MF ＝MA ＋ME ，当M 在抛物线上移动时，MA ＋ME 的值在变化，显然M 移动到与A ，E 共线时，MA ＋ME 取得最小值．此时，AM ∥x 轴，把y ＝－2代入y 2＝8x 得x ＝12，∴M 点的坐标为(12，－2)，距离最小值为6.1．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形结合思想是求解几何最值的常用方法之一．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么PF＝________.【解析】如图，由直线AF的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠FAH＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知PA＝PF，∴△PAF为等边三角形，由HF＝4得AF＝8，∴PF＝8.【答案】8忽略对焦点位置的讨论而漏解顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．【错解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为AB＝2p＝8，所以所求抛物线的方程为y2＝8x.【错因分析】错解中只考虑焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x 轴的负半轴上的情况，故出现漏解．【防范措施】抛物线有四种标准方程，每一种所对应的焦点，准线都不相同．因此，在求抛物线方程的有关问题时，要充分考虑各种情况，以免漏解．【正解】由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)．因为AB＝|2a|＝8，所以2a＝±8.故所求抛物线的方程为y2＝±8x.1．求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，求解时一般分两步，即先定位，再定量．2．由抛物线的方程求焦点坐标和准线方程，若方程不是标准形式应先化成标准形式，然后求焦点坐标和准线方程，应注意方程中一次变量是谁，焦点就在相应坐标轴上，且焦点的同名坐标是一次变量系数的14.3．抛物线的定义可将抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，从而求解与抛物线有关的定值与最值问题.1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是________． 【解析】 ∵p ＝2，∴F (1,0)． 【答案】 F (1,0)2．抛物线y ＝4x 2的准线方程为________． 【解析】 x 2＝14y ，∴2p ＝14，p ＝18，∴准线方程为y ＝－116.【答案】 y ＝－1163．抛物线y 2＝2px的准线经过双曲线x 23－y 2＝1的左焦点，则p ＝________.【解析】 双曲线c 2＝3＋1＝4，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)， ∴抛物线准线为x ＝－2，∴－p2＝－2，∴p ＝4.【答案】 44．若圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心恰是抛物线的焦点，求抛物线的标准方程及准线方程． 【解】 圆心为(3,0)，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线标准方程为y 2＝12x ，准线方程为x ＝－3.一、填空题1．抛物线y 2＝8x 的准线方程是________． 【解析】 ∵p ＝4，∴准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－22．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为________． 【解析】 设抛物线方程为y 2＝mx ，将(2,2)代入得m ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝2x . 【答案】 y 2＝2x3．抛物线y 2＝2x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是________． 【解析】 准线x ＝－12，∴x M ＋12＝1，∴x M ＝12.【答案】 124．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q (0，－1)连线中点的轨迹方程是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝2y ＋1.∵y 0＝2x 20＋1，∴2y ＋1＝2(2x )2＋1，∴y ＝4x 2.【答案】 y ＝4x 25．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．【解析】 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.【答案】 6 6．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，故抛物线的焦点为(2,0)，所以p2＝2，解得p ＝4.【答案】 47．已知直线y ＝3(x －2)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若AF →＝λFB →，(|AF →|>|FB →|)，则λ＝________.【解析】 如图，设AF ＝n ，BF ＝m ，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FN ⊥AA 1于N ，BM ⊥x 轴于M .则AN ＝n －4，FM ＝4－m .又∠AFN ＝∠FBM ＝30°，∴⎩⎨⎧ n －4＝n 24－m ＝m 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8m ＝83，∴λ＝n m ＝3. 【答案】 38．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x 2＝－4y ，可知焦点坐标为F (0，－1)，因为－3<－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，过点M 作MP ⊥l 于点P ，所以MF ＋ME ＝MP ＋ME ≥EQ ，又EQ ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.【答案】 4二、解答题9．求适合下列条件的拋物线方程．(1)顶点在原点，准线x ＝4；(2)拋物线的顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，焦点是双曲线的左顶点．【解】 (1)由题意p 2＝4，∴p ＝8. ∴拋物线方程为y 2＝－16x .(2)双曲线中心为(0,0)，左顶点为(－3,0)，∴拋物线顶点为(0,0)，焦点为(－3,0)，∴拋物线方程为y 2＝－12x .图2－4－210．如图2－4－2所示，动圆P 与定圆C ：(x －1)2＋y 2＝1外切且与y 轴相切，求圆心P 的轨迹．【解】 设P (x ，y )，动圆P 的半径为r .∵两圆外切，∴PC ＝r ＋1.又圆P 与y 轴相切，∴r ＝|x |(x ≠0)，即x －12＋y 2＝|x |＋1，整理得y 2＝2(|x |＋x )．当x >0时，得y 2＝4x ；当x <0时，得y ＝0.∴点P 的轨迹方程是y 2＝4x (x >0)和y ＝0(x <0)，表示一条抛物线(除去顶点)和x 轴的负半轴．11．(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试给出FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式；(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，求|FA →|＋|FB →|＋|FC →|.【解】 (1)由抛物线方程y 2＝2px (p >0)得准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义得FP 1＝x 1＋p 2，FP 2＝x 2＋p 2，FP 3＝x 3＋p 2，则FP 1＋FP 3＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2＝x 1＋x 3＋p ，因为x 1＋x 3＝2x 2，所以FP 1＋FP 3＝2x 2＋p ＝2(x 2＋p 2)＝2FP 2，从而FP 1，FP 2，FP 3之间的关系式为FP 1＋FP 3＝2FP 2.(2)设点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知2p ＝4，p ＝2，F (1,0)，又FA →＋FB →＋FC →＝0，则有x A －1＋x B －1＋x C －1＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝3.由抛物线的定义可知，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x A ＋p 2)＋(x B ＋p 2)＋(x C ＋p 2)＝(x A ＋x B ＋x C )＋3×p 2＝3＋3＝6.已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．【思路探究】 设点P 的坐标为(x ，y )，利用圆P 与圆A 外切及与直线l 相切建立x ，y 的方程，化简即得．【自主解答】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )，圆P 半径为r ，由条件知AP ＝r ＋1， 即x ＋22＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x .所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二 如图，作PK 垂直直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直直线x ＝2，垂足为Q ，则KQ ＝1，所以PQ ＝r ＋1.又AP ＝r ＋1，所以AP ＝PQ ，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．所以p 2＝2，所以p ＝4.所以点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .1．法一是利用直接法求曲线方程的方法确定点P 的轨迹方程，法二是利用抛物线的定义确定轨迹为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程，即定义法，显然法二较为简洁．2．动圆圆心轨迹问题是一类常见问题，求解时一定要审清题意，究竟是外切，内切还是相切，都可能引起结果的不同．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1，求动点P的轨迹C的方程．【解】设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x ＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．。
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)
高中数学苏教版教材目录(必修+选修)苏教版-----------------------------------必修1-----------------------------------第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章 解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n 项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2----------------------------------- 第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1----------------------------------- 第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）------------------------------------------------------------------------------------------------------------。
苏教版数学选修2-1：2.6 曲线与方程2.6.2~2.6.3
1.已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是________．解析：由图知PF 1＋PF 2＝2a .连结MO ，则F 1M ＋MO ＝a (a >F 1O )．故M 的轨迹是以F 1、O 为焦点的椭圆．答案：椭圆2.已知动点M 到A (2，0)的距离等于它到直线x ＝－1的距离的2倍，则点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意，得（x －2）2＋y 2＝2|x ＋1|.化简，得－3x 2－12x ＋y 2＝0. 答案：y 2＝3x 2＋12x3.已知动抛物线以y 轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________． 解析：设焦点坐标为(x ，y )，则（1－x ）2＋y 2＝|x |，即y 2＝2x －1. 答案：y 2＝2x －14.(2011·高考广东卷改编)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案：抛物线5.设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是________．解析：设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由OQ →·OP →＝0知y 0y ＝－x .① 又由OQ ＝OP ，得x 2＋y 2＝1＋y 20，即x 2＋y 2＝1＋y 20.② 由①②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1或y ＝－1.答案：两条平行线[A 级 基础达标]1.已知两个定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹是________．解析：PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>F 1F 2，根据定义可知动点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆2.动点P 到点F (2，0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知P 的轨迹是以F (2，0)为焦点的抛物线，∴p2＝2，即p ＝4，所以其方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3.在平面直角坐标系中，A 为平面内一个动点，B (2，0)，若OA →·BA →＝|OB →|(O 为坐标原点)，则动点A 的轨迹是________．解析：设A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，BA →＝(x －2，y )，因为OA →·BA →＝|OB →|，所以x (x －2)＋y 2＝2，即(x －1)2＋y 2＝3，所以动点A 的轨迹是圆．答案：圆4.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0，于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →＝1可得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)5.已知A (－2，0)、B (2，0)，点C 、D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)．则点D 的轨迹方程为________．解析：设C 、D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )， 则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4，0)， 故AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，所以AD →＝12(AB ＋AC →)＝(x 02＋3，y 02)；又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎨⎧x 02＋3＝x ＋2y 02＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y ，代入|AC →|＝（x 0＋2）2＋y 20＝2得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝16.如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．解：设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，因为点P 是线段QN 的中点，所以N 点的坐标为(2x －x 0，2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，所以2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又因为点Q 在双曲线上，所以14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1.化简，得(x －12)2－(y －12)2＝12.所以线段QN 的中点P 的轨迹方程为(x －12)2－(y －12)2＝12.7.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝32，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持P A ＋PB 的值不变．(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线E 的方程；(2)设点K 是曲线E 上的一个动点，求线段KA 的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，以AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系．设动点P (x ，y )，因为PA ＋PB ＝CA ＋CB ＝32＋⎝⎛⎭⎫322＋4＝4>AB ＝2为定值，所以动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.所以曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设曲线E 上的动点K (x 1，y 1)，线段KA 的中点为Q (x ，y )，A (－1，0)，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y ，所以（2x ＋1）24＋（2y ）23＝1，即⎝⎛x ＋122＋4y 23＝1.所以线段KA 的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋4y 23＝1. [B 级 能力提升]8.设向量i ，j 为平面直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量a ＝(x ＋3)i ＋y j ，b ＝(x －3)i ＋y j ，且|a |－|b |＝2，则满足上述条件的点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：因为|a |－|b |＝2，所以（x ＋3）2＋y 2－（x －3）2＋y 2＝2，其几何意义是动点P (x ，y )到定点(－3，0)，(3，0)的距离之差为2，由双曲线定义可知点P (x ，y )的轨迹是以点(－3，0)和(3，0)为焦点，且2a ＝2的双曲线的一支，由c ＝3，a ＝1，解得b 2＝c 2－a 2＝8，故点P (x ，y )的轨迹方程是x 2－y 28＝1(x >0)或者(x ≥1)．答案：x 2－y 28＝1(x >0)(或x 2－y28＝1(x ≥1))9.如图， 半径为1的圆C 过原点，Q 为圆C 与x 轴的另一个交点，OQRP 为平行四边形，其中RP 为圆C 在x 轴上方的一条切线，当圆心C 运动时，则点R 的轨迹方程为________．解析：设圆心C 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则点Q 、P 的坐标分别为(2x 0，0) 、(x 0，y 0＋1)，得PQ 的中点M 的坐标为(3x 02，y 0＋12)，因为OQRP 为平行四边形，PQ 的中点M 也是OR 的中点，所以可得R 点坐标为(3x 0，y 0＋1)，令R 点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x 0y ＝y 0＋1即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 3y 0＝y －1，又x 20＋y 20＝1，代入得x 29＋(y －1)2＝1，故点R 的轨迹方程为x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)．答案：x 29＋(y －1)2＝1(x ≠0，x ≠2)10.已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB |＝2，点P 在线段AB 上，且AP →＝tPB →(t 是不为零的常数)．设点P 的轨迹方程为C .(1)求点P 的轨迹方程C ；(2)若t ＝2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点(M 、N 不在坐标轴上)，点Q 坐标为(32，3)，求△QMN 的面积S 的最大值． 解：(1)设A (a ，0)，B (0，b )，P (x ，y )，因为AP →＝tPB →，即(x －a ，y )＝t (－x ，b －y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－txy ＝t （b －y ），则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（1＋t ）x b ＝（1＋t ）y t，由题意知t >0，因为|AB |＝2，a 2＋b 2＝4，即(1＋t )2x 2＋(1＋t t)2y 2＝4，所以点P 的轨迹方程为：x 24（1＋t ）2＋y24t2（1＋t ）2＝1. (2)t ＝2时，轨迹方程C 为9x 24＋916y 2＝1，设M (x 1，y 1)，则N (－x 1，－y 1)，|MN |＝2x 21＋y 21，设直线MN 的方程为：y ＝y1x 1x (x 1≠0)，点Q 到直线MN 的距离为：d ＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21，所以S △MNQ ＝12×2x 21＋y 21×⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1x 21＋y 21＝⎪⎪⎪⎪32y 1－3x 1，又9x 214＋9y 2116＝1，所以9x 21＋9y 2144.所以S 2△MNQ ＝4－9x 1y 1，而1＝9x 214＋9y 2116≥－2·3x 12·3y 14＝－9x 1y 14，所以－9x 1y 1≤4，当且仅当3x 12＝－3y 14，即x 1＝－12y 1时，取等号．所以S △MNQ 的面积最大值为2 2.11.(创新题)已知点M (4，0)，N (1，0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若－187≤NA →·NB →≤－125，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设动点P (x ，y )， 则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3，0)，PN →＝(1－x ，－y )．由已知得－3(x －4)＝6（1－x ）2＋（－y ）2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.所以点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1消去y 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为N 在椭圆内，所以Δ>0.所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为NA →·NB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋k 2)(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝(1＋k 2)4k 2－12－8k 2＋3＋4k23＋4k 2＝－9（1＋k 2）3＋4k 2.所以－187≤－9（1＋k 2）3＋4k 2≤－125，解得1≤k 2≤3，所以－3≤k ≤－1或1≤k ≤ 3.。
数学知识点苏教版高中数学(选修2-1)2.4《抛物线》word教案-总结
抛物线知识导学一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注意：抛物线的定义中涉及到一个定点和一条定直线，要求这个定点不能在定直线上，否则轨迹就不再是一条抛物线，而是一条直线（过定点且与定直线垂直的直线）． 二、抛物线的标准方程1．抛物线的标准方程是指当抛物线在标准位置时的方程．所谓标准位置，就是指抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的对称轴为坐标轴．抛物线的标准方程有四种形式（抛物线标准方程的具体推导过程见教材）：（1）焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2px =-，其开口方向向右； （2）焦点在x 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =，其开口方向向左； （3）焦点在y 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2py =-，其开口方向向上； （4）焦点在y 轴的负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->，焦点坐标为02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，准线方程为2p y =，其开口方向向下． 其中抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离．注意：不要受二次函数的影响把抛物线方程记作类似212y x p=的形式，应按本部分要求记作：22x py =．如求抛物线22y px =的焦点坐标，应先将方程写成标准形式：212x y p=，然后得其焦点坐标为108p ⎛⎫⎪⎝⎭，．2．抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”．所谓“定型”是指确定类型，也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式，“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p 的值，从而得到抛物线的标准方程． 三、抛物线的几何性质1右侧其中抛物线的对称轴也叫做抛物线的轴． 如右图，抛物线标准方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，过点F 作垂直于对称轴（x 轴）的直线交抛物线于12M M ，两点，计算得12M M ，两点坐标为22p p p p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，可知线段12M M 的长为定值2p ，只与焦参数p 有关．线段12M M 叫做抛物线的通径．2．与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有下列特点： （1）抛物线可以无限延伸，但无渐近线．（2）抛物线只有一个顶点、一条对称轴，并且没有对称中心，它不是中心对称图形，离心率为1，是固定的．（3）抛物线的开口大小与离心率无关，与p 的大小有关，p 越大则开口越大，反之则越小． （4）抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为2p ． 抛物线中的思维误区一、对抛物线的定义模糊导致错误例1 若动点P 与定点(11)F ，和直线:340l x y +-=的距离相等，则动点P 的轨迹是（ ）Ａ．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．抛物线 D ．直线误：由抛物线的定义，可知选（C ）．析：抛物线的定义中，定点一定不在定直线上，而本题中的定点(11)F ，在定直线:340l x y +-=上．正：设动点P 的坐标为()x y ，，则=整理，得320x y -+=．所以动点P 的轨迹为直线，选（D ）．二、忽视标准方程的种类导致错误例2 求以原点为顶点，坐标为对称轴，并且经过点(24)P --，的抛物线的标准方程． 误：设抛物线22(0)y px p =->，将(24)P --，代入，得4p =．故抛物线的标准方程为28y x =-．析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，应还有位于三、四象限时的抛物线方程.正：还有一种情形设22(0)xpy p =->， 求得标准方程为2x y =-．所以满足条件的抛物线的标准方程为28y x =-或2x y =-．三、对直线与抛物线一个交点认识不清例3 求过点(01)M ，且和抛物线2:4C y x =仅有一个公共点的直线方程．误：设所求直线方程是1y kx =+． 由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点，224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =． 故所求的直线方程为1y x =+．析：由于过点(01)M ，的直线l 的斜率可能存在，也可能不存在，同时抛物线与其对称轴平行的直线与抛物线恒有一个交点的特性，从而漏了两个解．正：（1）当直线l 的斜率不存在时，其方程为0x =，显然与抛物线C 仅有一个公共点． （2）当直线l 的斜率为零，其方程为1y =，显然与抛物线C 仅有一个公共点． （3）当直线l 的斜率为(0)k k ≠，设所求直线方程是1y kx =+． 由214y kx y x =+⎧⎨=⎩，，消去y ，得222(2)10kx k x +-+=，抛物线与所求的直线只有一个公共点， 224(2)40k k ∴∆=--=，解得1k =． 故所求的直线方程为1y x =+．综上可知，所求的直线方程为011x y y x ===+，，． 四、对于多解认识不清例4 求顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为8的抛物线方程． 误：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上， ∴设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点坐标为02p ⎛⎫⎪⎝⎭，． ∵通径82p = ∴所求的抛物线方程为28y x =．析：错因只考虑到焦点在x 轴正半轴的情形，而忽略了焦点也可能在x 轴负半轴的情形，故产生了漏解．正：∵抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，可设抛物线方程为22y ax =．又通径为82a =，∴28a =±． 故所求的抛物线方程为28y x =±．抛物线定义的应用定义揭示了事物的属性，不仅是我们理解事物的基础，也是解决问题的重要工具．本文将介绍如何利用抛物线的定义解题，望对同学们有所帮助 1、求最值例1 设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）若B 点的坐标为（3，2），求PB PF +的最小值．解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为（2）如图2，自点B 作BQ 垂直于准线，交点为Q ，交抛物线于点1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4．点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解．2、求曲线的方程 例2 圆心在抛物线22y x =上且与x 轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．解析：如图3，设圆心为P 且A F ，为切点，由PA PF =，结合抛物线的定义知F 为抛物线的焦点，即102F ⎛⎫⎪⎝⎭，，因此112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或112P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且圆的半径1r =． 故所求方程为221(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．3、确定方程的曲线例3 3x y =-+表示的曲线是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线解析：方程变形为．它表示“点()M x y ，与点(31)F -，的距离等于它到直线30x y -+=的距离”，根据抛物线的定义知，M 的轨迹是抛物线．故选（D ）．点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行． 4、求三角形面积例4 设O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ 为过焦点的弦，若OF a =，PQ b =，求OPQ △的面积．解析：如图4，不妨设抛物线方程为24y ax =，1122()()P x y Q x y ，，，，由抛物线定义知12122PQ PF QF x a x a b x x b a =+=+++=⇒+=-．由2114y ax =，2224y ax =，得2222121224(2)44y y b a y y a b a a a+=-⇒+=-． 又由于PQ 为过焦点的弦，因此212y y a =-．故21y y -==因此，2112OPQ S OF y y =-= △ 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将过焦点的弦长用两端点横坐标表示，结合方程，利用根与系数的关系是解题的基本思路．本题中计算三角形面积的技巧，是抛物线中经常用到的，需掌握．抛物线的焦半径公式一、抛物线的焦半径公式 如图，设抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线l 的方程为2p x =-．设00()P x y ，为抛物线上任意一点，PA l ⊥，A 为垂足．由抛物线定义，得0022p p PF PA x x ⎛⎫==--=+ ⎪⎝⎭．02p P F x=+即为抛物线22(0)y px p =>的焦半径公式． 抛物线中的许多问题用其求解，则简捷方便． 二、焦半径公式应用举例 例１ 设抛物线24y x =的焦点弦的两个端点分别为11()A x y ，和22()B x y ，，若126x x +=，那么AB =______．解：设焦点为F ，由2p =，利用焦半径公式，得121262822p p AB AF BF x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2 抛物线22(0)y px p =>上有112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，三点，F 是它的焦点，若AF BF CF 、、成等差数列，则（ ）A ．123x x x ，，成等差数列B ．132x x x ，，成等差数列C ．123y y y ，，成等差数列D ．132y y y ，，成等差数列解：由抛物线的焦半径公式，得12p A F x=+，22p BF x =+，32p CF x =+， ∵AF BF CF 、、成等差数列，∴1322222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴1322x x x +=，即123x x x ，，成等差数列．故选（Ａ）．例3 过抛物线28y x =的焦点的直线交抛物线于A 、Ｂ两点，已知10AB =，O 为坐标原点，则OAB △的重心的横坐标是______．解：设1122()()A x y B x y ，，，，原点(00)O ，，4p =． ∵121241022p p AB x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴126x x +=．∴OAB △的重心的横坐标是1206233x x ++==． 例4 设抛物线24y x =的焦点弦被焦点分为长是m 和n 的两部分，求m 和n 的关系．解：设抛物线24y x =的焦点弦的端点为1122()()A x y B x y ，，，，则11m x =+，21n x =+，焦点为(10)F ，，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，，消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=．∴121x x = ．∴12121212(1)(1)111m n x x x x x x x x m n =++=+++=+++=+ ， 即m n m n += ．当k 不存在时，121x x ==，4m n m n ==+． 综上，有m n m n =+ ．。
苏教版高中数学选修2-1 双曲线 教案
1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。
(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。
(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。
(3)当a＞c时，M点不存在。
2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a<|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线。
(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线。
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在。
2．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线。
(2)当m <0，n <0时，表示焦点在y 轴上的双曲线。
3．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)。
(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)。
一、走进教材1．(选修2－1P 61A 组T 1改编)已知双曲线x 2－y 216＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那么点P 到另一个焦点的距离等于________。
解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1>2，故|PF 2|＝6。
答案 62．(选修2－1P 61练习T 3改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。
高中数学苏教版选修2-1课件： 2.6.2 求曲线的方程 课件
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
设P点坐标 (x,为 y),依题意得 P满 ，足 点
PA PB
2
即， (x a)2 y2 2 (x a)2 y2
化简整 3x2理 3y2， 1a得 0x3a2 0
所以 P的 ，轨 动3 迹 x点 23 方 y21程 a0x 3 为 a20 .
合作探究
变式：求平面 定内 点 A,B的 到距 两离 个 之比等 2的于 动M的 点轨迹 （ .A方 ,B,程 P构成三角形）
化简3 整 x23 理 y21 ， a0x 3 得 a20 ( y0 )
所以，P的 动轨 点迹方程为
3x2 3y2 10ax3a2 0(y 0).
当堂检测
1、已知两定点A,B的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求 点M的轨迹方程.
当堂检测
2、已知动点M到A(2,0)的距离等于 它到直线x=-1的距离的2倍，求点M 的轨迹方程.
√√ √ 5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
பைடு நூலகம்
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
选修2-1教案2.1.1曲线与方程 2
教学要求：理解并能运用曲线的方程、方程的曲线的概念，建立“数”与“形”的桥梁，培养学生数形结合的意识．教学重点：求曲线的方程教学难点：掌握用直接法、代入法、交轨法等求曲线方程的方法教学过程：一、复习准备：1. 动一动：画出函数y=2x 2(-1≤x ≤2)的图象C2. 提问：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线l ，并写出其方程二、讲授新课：1. 教学曲线与方程：① 提问：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．能否写成y =|x |，为什么？ ②曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）与一个二元方程F (x ,y )=0之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C 上的点的坐标，都是方程F (x ,y )=0的解；2．以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点，都是曲线C 上的点，那么，方程F (x ,y )=0叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程F (x ,y )=0的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法．4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．（请学生再认真阅读一遍课本中的定义，真正弄懂曲线方程的概念．）③讲解例1：点P (1,a )在曲线x 2+2xy -5y =0上，则a =_______________．练习：1。
A (1,0)，B (0,1)，线段AB 的方程是x +y -1=0吗？2．由到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y -5=0吗？3．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？2. 小结1、什么是曲线的方程、方程的曲线；2、两个条件缺一不可（请学生说出哪两个条件）三、巩固练习：1、以O 为圆心，2为半径，上半圆弧、下半圆弧、右半圆弧、左半圆弧的方程分别是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2、下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a = (4) y =sin(arcsin x )3、画出方程()(0x y x +=的曲线．4、设集合{(,)|0}A x y x =，{(,)|0}B x y y ==，则A ⋂B 表示的曲线是____________________，A ⋃B 表示的曲线是____________________．教学目标：(1)掌握求曲线的方程的步骤；(2)会根据具体条件正确写出曲线的方程．教学重点： 求方程的步骤, 正确写出曲线的方程．教学难点：正确写出曲线的方程.教学过程：一、复习准备：1、已知曲线C 的方程为 y=2x 2 ；①现曲线C 上有点A （1，2），A 的坐标是不是y=2x 2 的解？点（0.5,t)在曲线上,则t=___.②已知方程y=2x 2 的一组解为 28x y =⎧⎨=⎩，以这组解为坐标的点B （2，8）——（在/不在）曲线C 上？2、曲线包括直线,曲线与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、讲授新课：1．自17世纪笛卡尔发明了坐标系后,人们开始用代数的方法来研究几何.我们这节课就来学习求曲线的方程.例1：有一圆，它的圆心为O ，半径长为4r =，试写出此圆的方程。
《双曲线及其标准方程》教学设计+于泳
《双曲线及其标准方程》教学设计1 教材内容与学生状况模拟分析1.1 教材内容分析双曲线是圆锥曲线的重要内容，也是难点内容。
处理好双曲线的教学，也就突破了圆锥曲线教学中的难点。
《双曲线及其标准方程》是苏教版高中数学选修2-1中第二章圆锥曲线与方程的第三节第一课时，主要研究双曲线的概念和双曲线的标准方程(有两种形式)。
它是在学习了椭圆的定义及其标准方程和椭圆的简单性质之后展开的，为进一步学习双曲线的几何性质及应用奠定了基础，同时也为以后的“三种圆锥曲线的统一定义”做好铺垫。
因此，本节内容起到了一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
双曲线是一种常见的几何图形，在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，因此双曲线在解析几何中占有重要的地位。
根据双曲线定义推出的标准方程，为以后用代数方法研究双曲线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础，是解决实际生活中问题的有力工具之一。
通过本节课的学习，灌输学生学习圆锥曲线中采用的待定系数法和换元法，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，并在教学过程中渗透分类讨论、数形结合的思想。
高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用。
《普通高中数学课程标准》明确指出“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式”。
要倡导积极主动，勇于探索的学习方式，数学教学应从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会，让他们在自己的生活中寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学。
让学生亲历探究发现过程，不仅是为了让学生通过多种活动去探索和获取数学知识，以达到对知识的深层理解，更主要的是使学生掌握发现、认识并理解数学的一般方法，学习科学的探究的方法。
高中数学苏教版选修二教案
高中数学苏教版选修二教案
主题：高中数学选修二第一章函数与导数
教学目标：
1. 了解函数的概念，掌握函数的基本性质和图像特征；
2. 理解导数的概念，熟练掌握常见函数的导数计算方法；
3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 函数的定义和基本性质；
2. 导数的概念和计算方法；
3. 利用导数解决实际问题。
教学准备：
1. 教材《数学选修二》；
2. 讲义、笔记和习题集。
教学步骤：
第一步：引入
引导学生回顾上节课所学内容，了解函数的概念和性质。
第二步：讲解
1. 函数的定义和基本性质；
2. 导数的概念和计算方法；
3. 常见函数的导数计算技巧。
第三步：练习
让学生进行相关习题练习，巩固所学知识。
第四步：拓展
引导学生思考函数与导数在实际问题中的应用，讨论相关案例。
第五步：总结
对本节课所学内容进行总结，并提出下节课的预习内容。
教学反馈：
布置相关作业，检查学生掌握情况，及时反馈。
教学延伸：
引导学生进行更深层次的探讨和研究，提高数学应用能力。
评价与反思：
回顾本节课教学过程，总结教学效果，反思存在问题并加以改进。
(教师用书)高中数学 2.6.2 求曲线的方程同步教学课件 苏教版选修2-1
代入法求动点的轨迹方程
已知△ABC 的两个顶点坐标分别为 A(－2,0)， B(0， －2)， 第三个顶点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动， 求△ABC 的重心的轨迹方程．
【思路探究】 设重心坐标 (x，y)，C(x0 ，y0)，用 x，y
表示 x0，y0，代入到 y0＝3x2 0－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中．
【自主解答】 设重心坐标为(x，y)，顶点 C(x0，y0)， x＝－2＋0＋x0， 3 依题意有 0－2＋y0 y＝ ， 3
●教学流程
演示结束
1.了解求曲线方程的步骤，会 求一些简单曲线的方程．(重点) 课标解 2.掌握求动点轨迹方程的常用 方法．(难点) 读 3.对动点轨迹(方程)的限制与检 验．(易错点)
求曲线的方程的一般步骤
【问题导思】 1．怎样建立坐标系较为适当？
【提示】 建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原 则，常见的建系方法有： ①以已知定点为原点； ②以已知定直线为坐标轴(x 轴或 y 轴)； ③以已知线段所在的直线为坐标轴(x 轴或 y 轴)，以已知 线段的中点为原点； ④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴； ⑤让尽量多的已知点在坐标轴上．
在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂 课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几 何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改 善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生 主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想， 猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇 于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确， 指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学 生的逻辑思维能力．
1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点． 2． 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量 关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这 种关系“翻译”成含 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程，由 于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的 技巧，所以称之为直接法．其步骤是： ①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并 化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.6.2 求曲线的方程》0
与圆相关的轨迹问题教学设计教学目标：知识目标：掌握求动点轨迹的常见方法如：定义法、交轨法、直接法、参数法等。
能力目标：1、通过对问题的探究以及变式训练让学生较好地体会解析思想及解析方法及知 识的迁移和转化的能力。
2、培养学生的创新意识和探索能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励 学生创新，勇于探索。
教学重点：利用变式训练让学生较好地体会解析思想及解析方法。
教学难点：培养学生的分析问题，解决问题的能力及知识的迁移和转化能力。
教学过程：（一）定义法到定点距离是定长1、已知圆O ：2＋2＝1，直线:l 3=+y ax ，若直线l 上存在点2525≥-≤a a 或332=⋅PB PA 3223||PB PA +]13,7[)0,21( ②目标改PB PA ⋅ （提示看具体时间是否讲解，因不是本课内容）设计意图:问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步到两定点连线垂直3、在平面直角坐标系O 中，已知点P －1，0，Q2，1，直线：0=++c by ax ，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是__________．]23,2[设计意图:让学生独立的完成，以便及时的了解学生的掌握情况。
直接法到两定点距离之比为定值4、已知点A0，1，B1，0，Ct ，0，点D 是直线AC 上的动点，若存在点D 使得AD =2BD ，则t 的取值范围是 ]32,32[+-设计意图:由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度,为同学们探究发现做好铺垫。
变式：划线条件改：若对任意的点D ，恒有AD<2BD设计意图:让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进。
到两定点距离平方和为定值5、在平面直角坐标系中，已知B,C 为圆422=+y x 上两点，点A （1,1），且AB┴AC ，则线段BC 的长的取值范围是 ]26,26[+-设计意图:加深对定义的理解。
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今天我们将学习求曲线方程的其他几种常用方法：转移法、点差法、参数法
3.转移法：根据条件建立所求动点与相关动点坐标间的关系，用所求动点
坐标表示相关动点的坐标，并代人相关动点所在的曲线的方程，从而得到所求动点的轨迹方程．此法也称代人法．
4.参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数（如角度、直线斜
（2）定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．
（3）代入法：如果轨迹动点P（x，y）依赖于另一动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程．
三、小结
1．求轨迹方程的一般步骤
建系、设点、列式、代入、化简、检验（检验就是要检验点的轨迹的纯粹性和完备性）化简过程若破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要挖去多余的点．
2．求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点（x，y）的解析式．
4．求圆锥曲线的轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题，从而简化解题过程．
5．求轴对称的曲线的方程的一般步骤：
（1）设所求曲线上任一点P（x，y）；
（2）求出其关于点或轴对称的点p′（x，y）；
（3）将p′坐标代入已知曲线得所求曲线方程．
教学心得
（4）参数法：如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程．参数法中常选角、斜率等为参数．
3．注意求“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系
“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，若是“求轨迹方程”，求得方程（包括范围）就可以了；若是“求轨迹”，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的形状、位置、大小等特征．
2定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程．
3待定系数法：已知动点轨迹类型，可先设出方程形式，再利用条件待定其中的系数．
2.请用我们学过的方法完成下列各题，并注明使用方法．
（1）将圆 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程．（使用方法：）（2）动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x＝－5的距离少2．求：动点P的轨迹方程．（使用方法：）
率等）解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程．
二、典例研究
例1经过原点的直线l与圆 相交于两个不同点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
例2△ABC的顶点B，C的坐标分别为（0，0），（4，0），AB边上的中线的长为3，求顶点A的轨迹方程．
例3设椭圆与双曲线有公共的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线交点的轨迹．
教学流程\内容\板书
关键点拨
加工润色
一、复习回顾
（一）求曲线方程的一般步骤是什么？
“建、设、限、代、化（证——非等价变形时要查漏补缺）”
（二）前面我们学习过圆的方程，椭圆的方程，双曲线的方程，抛物线的方程等，求这些曲线的方程有哪些常用方法？
1.直接法、定义法、待定系数法．
1直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式，或依据圆锥曲线的定义直接确定曲线类型．
（3）已知圆A：（x＋2）2＋y2＝1与点A（－2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
①△PAB的周长为10；
②圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）；
③圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切（P为动圆圆心）．
（使用方法：）
（4）等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过点A，B．求：该椭圆方程．
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案：《2.6.2求曲线的方程（２）》（苏教版选修2-1）
课题
进一步熟练运用求曲线方程的方法、步骤，能熟练地根据条件求出简单的曲线方程．
过程与方法
情感态度
与价值观
教学重难点
求曲线的方程或轨迹的常用方法：直接法、定义法、待定系数法、转移法、点差法、参数法．