江苏省苏州市第五中学2014-2015学年高中数学 2.4平面向量的数量积学案新人教A版必修4

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高中数学 2.4向量的数量积课件苏教版必修4

设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
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(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链
接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
θ＜0，从而
a·b＜0；当θ＝π2 时，cos
θ＝0，
从而 a·b＝0.
(2)数量积的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a
栏
的方向上的投影|b|cos θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
知识点2 数量积的性质及运算律
1．数量积的重要性质．
c
而言，(a·b)c＝a(b·c)未源自成立．这是因为(a·b)c表示一个与
栏目
c
共线的向量，而
a(b·c)表示一个与
a
共线的向量，而
c
与
a
不一
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定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
知识点3 向量的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝b·a(交换律)；
栏
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律)；目
链
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

江苏省苏州市第五中学2014_2015学年高中数学2.3平面向量的基本定理及坐标表示学案新人教A版必修4

2.3 向量的坐标表示一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议平面向量的基本定理及其意义了解结合直角坐标系理解向量的基本定理与正交分解平面向量的正交分解及其坐标表示理解用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算了解用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求) 理解二、预习指导1. 预习目标(1)了解把平面上的任意一向量分解成两个给定方向的分向量的过程，了解平面向量基本定理； (2)阅读课本, 了解怎样用坐标(x ，y )表示平面向量a ，学会利用坐标来进行平面向量的运算，学习通过向量的坐标运算来判断两个向量是否共线,会用向量的坐标运算解决几何问题．2. 预习提纲(1)平面向量基本定理.阅读教材P70~71内容，理解以下内容：①平面向量基本定理；②基底；③向量的分解．思考讨论：①平面向量定理中“有且只有”的含义是什么？②在表示向量时，基底惟一吗？基底有什么特征？(2)平面向量的坐标表示.阅读教材P72~76内容，理解以下内容：①向量的坐标表示；②平面向量的坐标运算；③向量平行的坐标表示.思考讨论：①相等向量的坐标有什么特点？②以(x ,y )为坐标的向量有多少个？3. 典型例题(1) 平面向量基本定理由平面向量共线定理可知，任意一个向量可用一个与它共线的非零向量来线形表示，而且这种表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共线定理的推广，平面内任一向量可以用两个不共线的向量来表示．例1 在平行四边形ABCD 中，设,AC a BD b ==，试用,a b 表示,AB BC ．分析：解答本题首先借助三角形或多边形法则，利用向量加减法，用,a b 表示,AB BC 来求或建立,AB BC 的方程，解方程组求解．解：如图，方法一(转化思想)设AC 、BD 交与点O ，则有1122AO OC AC a ===， 1122BO OD BD b ===； 1122AB AO OB AO BO a b ∴=+=-=-,1122BC BO OC a b =+=+．方法二(方程思想)设,AB x BC y ==，则有AB BC ACAD AB BD ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩且AD BC y ==，即x y a y x b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，1111,2222x a b y a b ∴=-=+，即1122AB a b =-，1122BC a b =+．点评：本题类型是用基向量表示未知向量，一般有两种方法，一是充分利用向量线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解，二是采用方程思想，即直接用,AB BC 表示,a b ，然后把,AB BC 看作未知量，利用方程思想求解,AB BC ．(2) 平面向量的坐标运算与前面研究的向量的“形”的角度比，向量的坐标运算主要从“数”的角度进行考察，学习中始终要注意数形结合的思想.例2 已知(1,1),(1,3)a b =-=-，(3,5)c =，求实数x 、y ，使c xa yb =+．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有(1,1)(1,3)xa yb x y +=-+-=(,3)x y x y --+又(3,5)c =∴x y -=3且3x y -+=5解之得 x =7 且y =4.点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．例3 已知A (-1，2)，B (2，8)，AC =31AB ，DA = -31BA ，求点C 、D 和向量CD 的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量AC AB ，DA 和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得11(1,2)AC x y =+- ，AB =(3，6)， 22(1,2)DA x y =---，(3,6)BA =-- 又AC =31AB ，13DA BA =- ∴11(1,2)x y +-=1(3,6)3， 22(1,2)x y ---=1(3,6)3--- 即11(1,2)x y +-=(1,2) ，22(1,2)x y ---=(1,2)∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量CD 的坐标分别为(0，4)、(-2，0)和(-2，-4)．点评：本题涉及到方程思想，对运算能力要求较高．例4 已知(1,2),(3,2)a b ==-当实数k 为何值时2ka b +与24a b -平行？分析：本题可用平面向量基本定理和平行向量坐标表示两种方法求解，两种方法的本质一样，从本题看，研究两向量平行时，若坐标已知，用坐标法更简单．解：法一：当2ka b +与24a b -平行时，存在唯一的实数λ使2ka b +=λ(24a b -)，即2ka b +=24a b λλ-，即(2)(24)0k a b λλ-++=122(3)0⨯-⨯-≠，∴a 与b 不共线，由平面向量基本定理可知20240k λλ-=⎧⎨+=⎩，得121k λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则1k =-．法二：2(1,2)2(3,2)(6,24)ka b k k k +=+-=-+242(1,2)4(3,2)(14,4)a b -=-=-要使2ka b +与24a b -平行，则(6)(4)(24)140k k -⨯--+⨯=．求得1k =-．点评：此类问题要充分利用向量共线条件及向量共线定理、向量相等条件，建立方程与方程组，从而求解参数．例5 用向量的坐标运算方法，求证：A (3,-4)，B (-9,2)，C (-1,-2)三点共线．分析：此题考察向量共线的坐标表示，进而证明三点共线．证明：证法一：由AB ＝(-9，2)- (3，-4)＝(-12，6)，BC ＝(-1，-2)-(-9，2)＝(8，-4)， ∴AB ＝-23BC ，∴AB //BC ．又因为有向线段AB ，BC 有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线．证法二：∵AB ＝(-12，6)，BC ＝(8，-4)，且(-12)×(-4)-6×8＝0, ∴AB //BC ，又因为有向线段AB ，BC 有公共端点B ，∴A 、B 、C 三点共线．例6 已知(0,0)O ，12A （，），45B （，）及OP OA t AB =+,试问:(1)t 为何值时,P 在第二象限?(2)四边形OABP 能否构成平行四边形?若能求出相应的t ；若不能,请说明理由.分析:利用向量相等建立向量的坐标之间的关系,再由条件求出.解：(1)因为(0,0)O ，12A （，），45B （，）(1,2),(3,3),(13,23)OA AB OP t t ∴===++若P 在第二象限,则13021,23033t t t +<⎧-<<-⎨+>⎩； (2)(1,2),(33,33)OA PB PO OB t t ==+=--若四边形OABP 为平行四边形,则OA PB =,而331332t t -=⎧⎨-=⎩无解, 所以四边形OABP 不能构成平行四边形．点评：此类题目关键是正确进行坐标运算，充分转化条件，即向量相等的条件，得出P 点横纵坐标关系．4. 自我检测(1)在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若AB a =，AC b =，则用基底a ，b 表示EF = ．(2)1e ，2e 不共线，122a e e =+，122b e e λ=+，要使a ，b 能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是．(3)已知a =(3，-1)，b =(-1，2)，则-3a -2b = ．(4)已知a =(2，1)，b =(x ，-4)，当2a b +与b -a 平行时，x ＝．(5)已知向量a ＝(5，2)，b =(x 2+y 2，xy )，且a ＝b ，求x ，y 的值．三、课后巩固练习A 组1．如果1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，给出下列命题：(1)若实数m ，n 使m 1e ＋n 2e ＝0，则m ＝n ＝0；(2)空间任一向量a 可以表示a ＝λ11e ＋λ22e ，其中λ1，λ2为实数；(3)对实数m ，n ，m 1e ＋n 2e 不一定在此平面上；(4)对平面中的某一向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使a ＝m 1e ＋n 2e .则以上命题为真命题的是．2．在梯形ABCD 中，DC //AB ，DA ⊥AB ，下列各对向量①,AD AB ②,AB BC ③,CD CB ④,CD AB ⑤,AC DB其中，能作为表示它们所在平面的所有向量基底的可以是_________．(填序号)3．ABC ∆中, ,,AB a AC b E ==为中线AD 上一点,G 为重心,若AE EG =,则AE = ．4．已知a ，b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y +7)a ＋2x b ，则x ＝_______，y ＝_________．5．已知向量12,e e 不共线，12122,8a e e b e e λ=+=-，要使a ，b 能成为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是．6.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC AE AF λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ+= ．7．两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则x = ，y = ．8．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于惟一的坐标；③一个坐标对应于惟一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应，其中正确的说法有__________．9．已知AB =(6,1)，BC =(x ,y )，CD =(-2, -3),则AD =__________．10．点P 在平面上作匀速成直线运动，速度v =(2，5)，当t =0，P 在(-6,-2)处，当t =5时，点P 坐标为．11．下列几组点中，三点共线的是①(0，0)，(1，1)，(3，1)； ②(-1，-1)，(1，1)，(3，3)；③(-1，2)，(1，4)，(3，5)； ④(2，0)，(0，-1)，(3，2).12．已知正方形PQRS 的对角线的交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，OS =(4，0)．则向量RM ＝__________．13．若a ＋b =(-3，-4)，a -b =(5，2)，则向量a ＝_____，|b |=_______．14．已知向量(1,1)a =，(2,)b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是________．15．若向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则a = .16．已知向量(1,3)OA =-，(2,1)OB =-，(1,2)OC m m =+-，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 的取值范围为．17．已知向量(2,2)a =-，(5,)b k =，若|+|a b 不超过5，则实数k 的取值范围是．18．和a =(3,-4)平行的单位向量是_________.19. 已知向量a =（1,0），b =（1,1），则与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为____________.B 组20．设12,e e 是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值. 21．以向量OA ＝a ，OB ＝b 为边作平行四边形OADB ，对角线OD 与AB 交于C ，又BM ＝31BC ，CN ＝31CD ，试用a ，b 为基底表示OM ，ON ，MN ． 22．如图，∠AOB =120°，∠AOC =30°，OA =OB =1，OC =22，设OA =a ，OB =b ，试用a ，b 表示OC ．23．如图，||1OA =，||3OB =，||2OC =，30AOB BOC ∠=∠=．设OA a =，OB b =，用a ，b 表示OC 为． 24．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =，BD b =，用a ，b 表示AF ．25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，求λ的值． 26．(1)已知平面上△ABC 的顶点A (3，1)，B (5，2)，C (-1，6)，求向量AB ，AC ，2AB -3AC的坐标表示．(2)直线l 1平行于x 轴，且过(0，4)点，直线l 2平行于y 轴，且过(-1，0)点．点A 在直线l 1上，点B 在直线l 2上，且向量AB ＝(-4，-3)，试求点A 、点B 的坐标．27．已知A (2，1)，B (3，2)，C (-1，4)，若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．28．设a =(32，sin α)，b =(cos α，31)，且a //b ，求α的值． 29．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是．30．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，AE ＝31AC ，BF ＝31BC ， CB AO求证：EF //AB ．31．设向量OA ＝(k ，12)，OB ＝(4，5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．32．已知A (2，3)，B (5，4)，C (7，10)，AP AB AC λ=+．当λ为何值时，(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 到两坐标轴的距离相等？C 组33.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()ABACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的心．34．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线 AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B mA M =，AC nAN =，则m n+的值为 . 35．设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =求m λ的取值范围.36．已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表求（1）设()()1,1,1,0a b ==，求向量()f a 与()f b 的坐标；（2）证明：对任意的向量,a b 及常数,m n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立；（3）求使()(),(,f c p q p q =为常数）的向量c 的坐标.知识点题号注意点平面向量的基本定理及其意义注意平面向量共线定理的坐标计算，正确使用平面向量的基本定理平面向量的坐标表示及其运算用坐标表示的平面向量共线的条件(对线段定比分点坐标公式不作要求)四、学习心得五、拓展视野定比分点向量公式的应用课本例4证明了一个公式:1OA OB OC λλ+=+，这个公式在向量中称为定比分点向量公式．这个公式为我们解决一些数学问题提供了方便，更能为我们开拓解题思路，提高解题分析的能力．● 1．定比分点向量公式● 一般地，设1P 、2P 为直线l 上的两点，点P 是l 上不同于1P 、2P 的任一点，在平面上任取一点O ，若存在一个实数(1)λλ≠-，使21PP P P λ=，则12121111OP OP OP OP OP λλλλλ+==++++．我们把它称为定比分点向量公式，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比．2．定比分点向量公式的应用● 例如图(1)，设,OA a OB b ==，点C 在直线AB 上，且m AC CB n =．求证：(1)na mb OC n m+=+； (2)设m t n m =+，用t 表示OC ； (3)如图(2)，利用(1)求△ABC 的重心的向量公式．分析：确定分点和λ的值，代入定比分点向量公式．解：(1)由已知点C 分向量AB 所成的比m nλ=，代入定比分点向量公式得 11m OA OB OA OB n OC m nλλ++==++=na mb n m ++； (2)由(1)可得(1)n m OC a b t a tb n m n m =+=-+++； (3)如图(2)，点D 为BC 的中点，D 分BC 所成的比为1，代入公式得2123OA OD OA OB OC OG +++==+这就是三角形重心的向量公式．点评：观察定比分点向量公式：21211111OP OP OP OP OP λλλλλ+++=++=，它实质上是平面向量基本定理的应用，用一组不共线的基底1OP 、2OP 表示向量OP ，存在的实数对A CB O 图(1) A B DC G F 图(2) O⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλ1,11满足1111=+++λλλ(这是一个定值)，因此，若21OP n OP m OP +=，且1=+n m ，则可以说明21,,P P P 三点必共线．问题：你能否用定比分点的公式解决巩固练习中的问题？。

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的数量积学案苏教版必修4(2021年最新整理)

高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积学案苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.4 向量的数量积学案苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4 向量的数量积典题精讲例 1 若向量a，b，c满足a+b+c=0，且｜a｜=3,｜b｜=1，｜c|=4，则a·b+b·c+a·c=_____________.思路解析:本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件,得出三个向量之间的两两夹角,再用数量积公式求解。

方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0。

∴2(a·b+b·c+a·c)=—（a2+b2+c2）=—（｜a｜2+|b｜2+｜c｜2）=—（32+12+42）=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13。

方法二:根据已知条件可知｜c|=｜a|+｜b｜，c=-a-b,所以a与b同向,c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4—12=-13。

答案：-13绿色通道:由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：a2=｜a｜2,(a+b）（c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d，（a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.变式训练已知｜a｜=5,|b|=12，当且仅当m为何值时,向量a+m b与a-m b互相垂直?思路分析：（a+m b)⊥（a-m b) (a+m b）·(a-m b）=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口。

江苏省苏州市第五中学2014-2015学年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4

第2章平面向量2.1 向量的概念及表示一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量的实际背景：物理中位移、速度、力和几何中有向线段等了解结合具体背景学习向量概念、与物理中矢量进行比较，认识向量是既有大小又有方向的量.平面向量的基本概念和几何表示：向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等理解向量相等的含义理解二、预习指导 1. 预习目标(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念； (2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量． 2. 预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义． (2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号AB表示以A 为起点，B 为终点的向量．向量也可以用小写字母a ，b ，c等表示．③向量的模：向量AB 的大小称为向量的长度或向量的模，记作|AB|．④向量的其他概念及表示方法． 3. 典型例题(1) 向量的有关概念例1 给出下列命题：①若a =b ，则a b = ；②若a <b ，则a b < ；③若a =b ，则a ∥b ； ④若a ∥b ，则a =b ；⑤若a =0，则a =0；⑥若a =b，则a =b ．其中正确命题的序号是．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若a =b ，则a ，b的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确．a <b知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择． (2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2 如图：EF 是△ABC 的中位线，AD 是△ABC 的BC 边上的中线，以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量CD 共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量； (2)与向量DF 的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量； (3)写出与向量DE 相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与CD 共线的向量有7个，它们分别是DC BC BD EF FE DB CB ，，，，，，；(2)与向量DF 的模一定相等的向量有5个，它们分别是AE EA BE EB FD ，，，，； (3)如图，DE =CF =FA . (3) 向量的应用例3 若AB AD = 且BA CD =，判断四边形ABCD 的形状.分析：先由BA CD =得出四边形为平行四边形，再由AB AD = 得出结论．解：由BA CD =知BA ∥CD 且BA =CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为AB AD =，所以四边形ABCD 为菱形．点评：BA CD =隐含BA ∥CD 与BA =CD 两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系． 4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确：①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若a 、b 都是单位向量，则a b =；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量； ④不相等的向量一定不平行；⑤若a 平行b ，b 平行c ，则a 平行c；⑥零向量没有方向； ⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的；⑨向量AB与向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段． (2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②AB ∥CD与AB ∥CD 一样吗？③向量a 、b 能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为a ＞b 或a ＜b 吗？三、课后巩固练习A 组1．给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA的长度相等；②若向量a 与向量b 平行，则a 与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是． 2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量OE 的长度记作_____；0 的模是_____，i 是单位向量，则||i的值是____． 4．与非零向量a (1a)平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．5．已知a 、b 为不共线的非零向量，且存在向量c ，使c ∥a ，c ∥b ，则c=_______．6．在直角坐标系中，已知OP=2，则点P 构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF 中，Ｏ为中心，(1)与OF相等的向量有； (2)与DC共线的向量有； (3)与BA的模相等且反向的向量有．8．直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量AB不相等且又共线的向量．B 组9.在直角坐标系中，画出向量a ：a =5，a的方向与x 轴正向的夹角是30°，与y 轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D 、E 、F 分别是△A BC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形．分别写出：(1)与ED 共线的向量； (2)与FE 共线的向量； (3)与ED 相等的向量； (4)与FE 相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行1002km 到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了502km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量12,AA AA表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C 处走“一步”的所有情况． 13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP的坐标为．知识点题号注意点向量的实际背景结合向量相等的概念，在一些几何图形中,能找到相等的向量，理清平行向量、共线向量、相反向量、相等向量的概念平面向量的基本概念和几何表示向量相等的含义四、学习心得五、拓展视野向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．。

高中三年数学掌握平面向量的数量积与向量积计算方法

高中三年数学掌握平面向量的数量积与向量积计算方法在高中数学课程中，学生需要学习并掌握平面向量的数量积与向量积的计算方法。

这两个概念是向量分析中非常重要的一部分，对于解决几何和代数问题都具有广泛的应用。

本文将介绍平面向量的数量积与向量积的定义及其计算方法，并结合具体例子进行说明。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。

设有平面向量a和b，它们的数量积用记号a·b表示。

计算方法如下：\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cosθ\]其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a与b之间的夹角。

数量积的计算结果是一个标量，即一个实数。

它可以用于判断两个向量之间的夹角关系以及计算向量在某个方向上的投影长度等。

例如，给定两个向量a=(2,3)和b=(4,1)，求它们的数量积。

首先计算向量a和b的模长：\[|a| = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}\]\[|b| = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}\]然后计算向量a和b夹角的余弦值：\[\cosθ = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{11}{\sqrt{221}}\]所以，向量a和b的数量积为：\[a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cosθ = \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot\frac{11}{\sqrt{221}} = \frac{11\sqrt{221}}{\sqrt{221}} = 11\]二、平面向量的向量积平面向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的叉乘。

设有平面向量a和b，它们的向量积用记号a×b表示。

苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思

苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。

2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。

3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。

4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。

5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。

6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。

请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。

(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。

2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。

3.向量数量积的应用。

(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。

江苏省苏州市第五中学高三数学平面向量数量积复习学

江苏省苏州市第五中学高三数学平面向量数量积复习学案学习要求理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；会用向量方法解决某些简单的平面几个问题和实际问题．在江苏考试说明中，本考点的能级要求为C 双基回顾1、设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则a b ⋅=r r = ；设(,)a x y =r ，则2a a a ⋅==r r r= ，a =r ；若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB =u u u r.设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，它们的夹角为θ，则cos θ= = ；a b ⊥⇔r r⇔ .2、已知4,5,a b ==r r 则//a b r r 时，_____a b =r r g ，a b ⊥r r 时，_____a b =r rg ，夹角为30︒时，_____a b =r rg3、已知点A 、B 、C 满足3=AB ，4=BC ，5=CA ，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是____；4、若1,2,2,a b a b ==+=r r r r 则．________a b -=r r；5、在△ABC 中，设(2,3),(1,)AB AC k ==u u u r u u u r，且△ABC 为直角三角形，则k 的值为；6、已知1a b c ===r r r ，且两两夹角为120︒，则()______a b c -=r r r g，若1ka b c ++>r r r ，则k 的取值范围是___________.例题精讲例1、（1）设,,a b c r r r是任意的非零向量，且它们互不共线，下列命题：① ()())0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②a b a b-<-r r r r ；③()b c a ⋅r r r不与c r垂直；④22(32)(32)94a b a b a b +⋅-=-r r r r r r ；其中正确的是；（2）已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,且12AB AC ABAC⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABC ∆的形状为；（3）给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为120o.QPACB如图所示，点C 在以Ｏ为圆心的圆弧»AB 上变动.若,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.例2、设,a b r r 是两个非零向量，若(3)(75),a b a b +⊥-u u r r r u u r (4)(72),a b a b -⊥-u u r r r u u r求,a b r r 的夹角大小.（变题已知(2,3),(21,2)a m m b m m =-+=+-r r,且a r 与b r 的夹角为钝角,则实数m 的取值范围是 .）例3、已知,a b r r 是两个非零向量，当()a tb t R +∈r r的模取最小值时，（1）求t 的值；（2）求证：()b a tb ⊥+r r r例4、已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（Ⅰ）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ）求BP CQ ⋅u u u r u u u r的最大值．感受高考1、（2010浙江理数）（16）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120°，则α的取值范围是__________________ .2、（2010江西理数）（13）已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ， a r 与b r 的夹角为60°，则a b -=r r3、（2010浙江文数）（13）已知平面向量,,1,2,(2),αβαβααβ==⊥-则2a β+的值是4、（2010天津理数）（15）如图，在ABC V 中，AD AB ⊥,3BC BD =u u u r u u u r ,1AD =u u ur ,则AC AD=u u u r u u u r g .5、（2009全国卷Ⅰ）（6）设,,a b c r r r 是单位向量，且0a b ⋅=r r ，则()()a c b c -⋅-r r r r的最小值是方法点拨1、平面向量的数量积的结果是一个实数，不是向量，它的值是两个向量的模与两个向量的夹角余弦的乘积，其中θ的取值范围是0180θ︒≤≤︒；2、应当注意：（1）向量的数量积a b r rg中的符号“g ”既不能省略，也不能写成“⨯” （2）研究向量的夹角应注意“共起点”；（3）向量的数量积满足交换律、分配率，但不满足结合律。

高中新课程数学(苏教版必修四)2.4平面向量的数量积2

(2) | a | 10, | b | 15, 45， a b 75 2 (3) | a | 8, | b | 2, 135， a b 8 2
例题：
a 8, b 7, C 60，求 BC CA 在△ABC中，
解：
| Hale Waihona Puke C | 8 | CA | 7
经验证，数量积满足如下运算率
(1)a b b a
(2)( a) b (a b) ( a) b (3)(a b) c a c b c
常用公式
(1)(a b ) a 2a b b
2
2
2
(2)( a b) ( a b) a b
A
7
B
60
120

120
8
C
BC CA | BC | | CA | cos120 1 8 7 ( ) 28 2
练习 cos90 0,cos0 1
a b ab 0
a | a |
2 2
练习
a | a |
(1) | a | 2，
2
2
例题
已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60，求 a b， a , b ,
2 2
(a 2b) (a 3b),
(a b)2 , | a b |
解:a b | a || b | cos 12
a | a | 36
2 2
b | b |2 16
2.4 平面向量的数量积
学法指导
1.多动脑筋 2.数形结合 3.总结基本题型 4.限时训练

向量的数量积

高中数学第二章平面向量 2.4 向量的数量积教案苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案

2.4 向量的数量积整体设计教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W＝|F||s|cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W ＝|F||s |cosθ.其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课新知探究1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a 与b 的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；(4)当0≤θ<π2时cosθ>0，从而a·b >0；当π2<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b ＝b·a (交换律)；②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．特别是：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab ＝bc a ＝c ，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图3(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：由向量数量积的定义可知，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.应用示例思路1例1见课本本节例1.例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直？活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．解：a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.∵a 2＝32＝9，b 2＝42＝16，∴9－16k 2＝0.∴k＝±34. 也就是说，当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直．点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.思路2例1已知四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2.又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2.同理，可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2.由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2.即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA.∴四边形ABCD 是平行四边形．故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b .即AB →⊥BC →.综上所述，四边形ABCD 是矩形．点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |，|b |＝|a ＋b |，求向量b 与a －b 的夹角．解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2.∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.∴a·b ＝－12|b|2.而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2，而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2，∴|a －b|＝3|b|.②设a 与a －b 的夹角为θ，则cosθ＝b·a －b |b||a －b|，代入①②，得cosθ＝－32|b|2|b|×3|b|＝－32. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.知能训练判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a·b|＝|a||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a·b ≠0；⑥a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a·b )c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解：上述8个命题中只有③⑧正确．对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应有0·a＝0；对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．作业课本习题2.4 1、2、3、4、5.设计感想1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.(1) (2)图4在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(m a)×b＝m(a×b)．二、备用习题1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|＝|a||b|a∥b②a与b反向a·b＝－|a||b|③a⊥b|a＋b|＝|a－b|④|a|＝|b||a·c|＝|b·c|A．1 B．2C ．3D ．42．有下列四个命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为钝角三角形；③△ABC 为直角三角形AB →·BC →＝0；④△ABC 为斜三角形AB →·BC →≠0.其中为真命题的是( )A ．①B ．②C ．③ D．④3．设|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为( )A ．4 3B ．4C ．4 2 D.324．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a|－|b|<|a －b |；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2.其中正确的是( )A ．①② B．②③C ．③④ D．②④5．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，则|b||c|2－b·c 2等于( )A ．0 B.12S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC6．设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.7．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.8．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求：(1)(a －3b )·(2a ＋b )；(2)|3a －4b |.9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与向量n ＝a －4b 的夹角的余弦值．参考答案：1．C 2.B 3.B 4.D 5.D6．－2 7.－138．(1)－30＋303； (2)337＋144 3.9．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1}． 10．解：由向量的数量积的定义得a·b ＝2×1×cosπ3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21，∴|m |＝21.又∵n ＝a －4b ，∴n 2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝12.∴|n |＝2 3.设m 与n 的夹角为θ，则m·n ＝|m||n |cosθ.①又m·n ＝2a 2－7a·b －4b 2＝2×4－7－4＝－3，把m·n ＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，∴cosθ＝－714，即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为－714. (设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝x2－x12＋y2－y12.(3)两向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(4)两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.应用示例例1课本本节例2.例2课本本节例3.变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b ＝x1x2＋y1y2和模|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝－12＋62＝37， ∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，－4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1°)．解：a·b ＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a |＝52＋72＝74，|b |＝－62＋－42＝52，由计算器得cosθ＝－274×52≈－0.03. 利用计算器得θ≈92°.例3课本本节例4.例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．解：(1)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝91313，y ＝－61313， ∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)． (2)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝61313，y ＝91313或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－61313，y ＝－91313，∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)．点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.知能训练课本练习1～8.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 8、9、10.设计感想1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22 (x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )．例1(1)已知实数x ，y 满足x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值是________；(2)已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则2x －y 的最大值是________．解析：(1)令m ＝(x ，y)，n ＝(1,1)．∵|m ·n |≤|m ||n |，∴|x＋y|≤x 2＋y 2·2，即2(x 2＋y 2)≥(x＋y)2＝16.∴x 2＋y 2≥8.故x 2＋y 2的最小值是8.(2)令m ＝(x ＋2，y)，n ＝(2，－1)，2x －y ＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤x ＋22＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤5，解得－4－5≤t≤5－4，故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例2已知a ，b∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小．解：构造向量m ＝(a cosθ，b sinθ)，n ＝(cosθ，sinθ)，由|m ·n |≤|m ||n |得 (a cosθcosθ＋b sinθsinθ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b∈R ，m ，n∈R ，且mn≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小．解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2，∴M>N. 例3设a ，b∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A∩B≠∅与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧ na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144.②设存在a和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1) ⇒n 4－6n 2＋9≤0. 解得n ＝±3，这与n∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( ) A ．3 B.13 C ．－13D ．－3 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m>12B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．若a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b )4．与a ＝(u ，v)垂直的单位向量是( )A ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v2) B ．(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) C ．(v u 2＋v 2，u u 2＋v2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) 5．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．6．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2.D 3.C 4.D5．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) (a ＋3b )·(7a －5b )＝0 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① 又(a －4b )⊥(7a －2b ) (a －4b )·(7a －2b )＝0 7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③ 将③代入①式可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.6．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin∠BAC 可先求出cos∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin∠BAC＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC＝12×2×5×45＝4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．(设计者：仇玉法)附：2．4 向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．整体设计在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．教材分析1．教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．2．教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．教学过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．1．理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．复习思考：运算结果向量的加法―→向量向量的减法―→向量实数与向量的乘法―→向量两个向量的乘法―→？？？？。

江苏省苏州市第五中学2014-2015学年高中数学2.5平面向量的应用举例学案新人教A版必修4

2.5 向量的应用理等问题的工具二、预习指导 1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力． 2. 预习提纲(1)物理中，如果力F 与物体位移s 的夹角为θ，那么F 所做的功W =θs F cos ⋅⋅．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos θ||||b a ⋅222221212121yx y x y y x x +⋅++．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象. 4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为．(2)已知(3,2)a =-，(1,0)b =-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为． (3)在平面直角坐标系xOy 中，四边形A BCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8,6),则D 点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3, 1)，B (-1, 3)，若点C 满足=+OC aOA bOB ，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸34km 处，以2km /h 的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速. 三、课后巩固练习Ａ组1．已知向量a 与b 的夹角为120o，3,13,a a b =+=则b 等于．2．已知a =(3，λ)，b =(4，-3)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为_______．3．若A (0，2)，B (3，1)，C (-2，k )三点共线，则向量a ＝AC +AB 的模为． 4．设点O 是正2n 边形122n A A A ⋅⋅⋅的中心，则在下列各结论中： ①122n OA OA OA ==⋅⋅⋅=；②122||||||n OA OA OA ==⋅⋅⋅= ③1OA +2OA +…+2n OA =0；④i OA ⋅n i OA +=0(i =1，2，…，n )．正确的共有个．5．已知向量a =(2，3)，b =(x ，6)，若│a ⋅b │=|a |⋅|b |，则x ＝．6．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =I ．7．在四边形ABCD 中，有⋅＝⋅＝⋅=0，则该四边形是． 8．设向量a =(1,－3), b =(－2,4),若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为．9．已知,0||2||≠= 且关于x 的方程0||2=⋅++x x 有实根, 则与的夹角的取值范围是．Ｂ组10．平面上三个力F 1 、F 2、F 3作用于同一点O ，而处于平衡状态，11F N =，212,,2F N F F =成45ο，求(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1的夹角． 11．边形ABCD 中，已知AB +CD =0，AC ⋅BD =0，试证明四边形ABCD 是菱形． 12．在四边形ABCD 中，AB 2+CD 2=AD 2+BC 2成立，求证：AC ⊥BD ．13．已知()23,2c ma nb =+=-，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为0120，且4-=⋅，22a =，求实数n m ,的值及与的夹角．四、五、例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|1v |=10km /h ，水流的速度|2v |=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min )？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．解：||v 96=km /h )，所以，0.560 3.1||96d t v ==⨯≈(min )．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把0v 分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证△ABC 的三条高相交于一点.证明：设△ABC 的AB 、AC 边的高分别为CF ，设AB c =，AC b =,AH h = 则,CH h b BH h c =-=- ∵CH ⊥AB ，BE ⊥AC∴()0,()0c h b b h c ⋅-=⋅-= 即0,0c h c b b h b c ⋅-⋅=⋅-⋅=两式相减得0c h b h ⋅-⋅=，即()c b -⋅∵CB c b =-∴BC ⊥AH 例3 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交与R 、T 两点，证明：AR =RT =TC .解：设,,,AB a AD b AR r AT t ====，则AC a b =+.由于AR 与AC 共线，所以设()AR n a b =+.又因为12EB AB AE a b =-=-，ER 与EB 共线，设ER =1()2mEB m a b =-因为AR =AE +ER ，所以11()22r b m a b =+-.因此11()()22n a b b m a b +=+-，即1()()02m n m a n b --++=.由于向量,a b 不共线，要使上式为0，则有0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得13m n ==. 所以AR =13AC .同理TC =13AC . 所以AR =RT =TC . 点评：本题中由于R 、T 是对角线AC 上两点，要证AR =RT =TC ，只需证明AR 、RT 、TC 都等于13AC 即可. 向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点．它们在各类考试中屡见不鲜．现举例如下．例1 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，证明O 是ABC ∆的外心．证明：222()()()OA OB OC ==222OA OB OC ∴==，所以O 是ABC ∆的外心．例2 已知O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，则O 是△ABC 的重心．证明：如图所示，延长OD 到G ，使DG ＝OD ，连接AG ，BG ，因为D 是AB 和OG 的中点，所以四边形OAGB 为平行四边形，由向量加法性质得OA OB OG +=又由0OA OB OC ++=得OA OB OC +=-OG OC ∴=-，∴C 、O 、D 、G 四点共线∴O 在中线CD 上同理得O 在中线AE 和BF 上，∴O 是△ABC 的重心．点评：本题同时证明了CO=2OD=23CD ，即重心O 分中线CD 为2:1两部分．例3 O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）.解：由题0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，故P 的轨迹一定过△ABC 的垂心．例4 O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上的共线三点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ||AC ，λ∈[)+∞,0，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）. 解：||AB ||AC 特征着手．||AB ，||AC 均为单位向量，||AB ，||ACλ||AB ||AC 与角平分线向量共线，由三角形法则，点P 在∠A 平分线上，点P 轨迹过△ABC 内心．例5 如图：ABC ∆外接圆的圆心为Ｏ，三条高的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：(1)DC OC OB =+；(2)OH OA OB OC =++.分析：运用向量的加减法解决几何问题时，需要构造三角形或平行四边形，证明：(1),OB OD =-DC OC OD OC OB ∴=-=+．(2)因为ＢＤ为直径，90//,//BAD BCD AE CD AD CHο∴∠=∠=∴所以四边形AHCD 为平行四边形．,AH DC OH OA AH OA DC OA OB OC∴=∴=+=+=++点评：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O 为外心，H为垂心，在本题中作用很大；另外，平面几何中的一些性质在解题中也有很大的用处．。

江苏省苏州市第五中学高中数学 2.4向量的数量积学案苏教版必修4

2.4 向量的数量积一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议平面向量数量积的含义及其物理意义了解结合物理中的功等概念理解向量的数量积概念数量积的坐标表示掌握利用数量积表示两个向量夹角的余弦理解用数量积判断两个非零向量是否垂直了解二、预习指导 1. 预习目标(1)理解两个向量的数量积的概念及其几何意义，掌握两个向量夹角的概念，通过数量积的概念和运算解决有关的几何问题；(2)掌握平面向量的数量积的坐标表示形式；通过平面向量数量积的坐标表示，推出平面上两点之间的距离公式并解决一些问题． 2. 预习提纲(1)复习平面向量的加法、减法和数乘运算．(2)阅读课本P76-80，弄清以下内容：①向量的数量积定义；②向量的夹角；③向量的数量积满足下列运算律；④a b ⋅r r的几何意义；⑤平面向量数量积的坐标表示；⑥平面向量的模及平方的坐标表示；⑦两点间的距离公式；⑧向量的夹角公式；⑨向量垂直的等价条件. (3)阅读课本P76-80例题.例1讲了数量积的计算，直接利用数量积公式a b ⋅r r =cos a b θ⋅r r．例2讲了数量积的坐标表示，除了书上的解法，还可以先计算出b a ρρ-3、b a ρρ2-这两个向量的坐标表示，在计算它们的数量积．例3在直线上任取两个，构成一个向量，称为直线的方向向量，本例就是利用求两条直线的方向向量的夹角，间接求直线的夹角．例4用到了分类讨论的数学思想方法． 3. 典型例题(1) 平面向量数量积的概念及几何意义向量的数量积是一个数量而不是一个向量.向量夹角的定义强调共起点,对数量积的运算律要熟练掌握.例1 已知||a r =3，||4b =r ，a r 与b r 的夹角为32π，求：(1)·；(2))2()23(+⋅-；(3)22a b -r r ；(4) ||-；(5) |3|a b -r r. 分析：由条件可获得以下信息：已知向量的模及夹角，所求的问题涉及a b ⋅r r，22,a b r r ，还涉及平方差公式、多项式与多项式乘法法则.解：(1) a b ⋅r r =6)21(43cos ||||-=-⨯⨯=⋅θ；2222(2)(32)(2)3443||44||a b a b a a b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-u u r u u r r r r r r r r r r r394(6)41661=⨯+⨯--⨯=-； (3)22229167a b a b -=-=-=-r r r r ；(4)222||()292(6)1637a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯-+=u u r u u r r r r r r r ； (5)|3|a b -r r= 222(3)96813616133a b a a b b -=-⋅+=++=r r r r r r .点评：此类题目要充分利用有关的运算法则转化为数量积的问题，特别灵活运用22a a =r r .尤其是求解模问题是一般利用2a a =r r 转化为求模的平方.例2 (1)设|a ρ|=12，|b ρ|=9 ，a ⋅r b ρ=-542 求a ρ与b ρ的夹角θ；(2)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2．如果向量a ＋k b 与5a ＋b 垂直，求实数k 的值；(3)已知,a b r r 都是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r r 与72a b -r r 垂直，求,a br r的夹角的大小．分析：考查向量数量积公式的逆用及向量垂直的条件.解：(1)cos θ=||||a b a b ⋅⋅rr r r =22912254-=⨯-∵0︒＜θ＜180︒ ∴θ=1350．(2)由题意a b ⋅r r =|a r |⋅|b r |cos120°=4×2×(-21)=-4，∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )，∴(a ＋k b r)⋅(5a ＋b )=0，即 5a 2＋(5k ＋1) a b ⋅r r ＋k b 2＝０，∴5|a |2＋(5k ＋1)⋅(-4)＋k |b |2＝0，∴5×16-(20k ＋4)＋4k =0，∴k =419． (3)因为3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r r 与72a b -r r垂直，(3)(75)0(4)(72)0a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎪∴⎨-⋅-=⎪⎩r r r r r r r r ，2222716150(1)73080(2)a ab b a a b b ⎧+⋅-=⎪⎨⎪+⋅+=⎩r r r r r r r r (1)-(2)得：22a b b ⋅=r r r (3)将(3)代入(1)得22a b =r r 即a b =r r．22112cos 2b a b a b bθ⋅∴===rr r r r r又∵0︒＜θ＜180︒ ， ∴θ=600．点评：求向量夹角的问题应用数量积的变形公式cos a ba bθ⋅=r rr r ，故应求两个整体a b ⋅r r 与a b ⋅r r；(2)转化垂直条件建立参数k 的方程，此题中利用例1数量积计算公式及重要性质22a a =r r ；本题(3)中为求两整体或寻求两者关系，转化条件解方程组，特别注意向量夹角范围．例3 已知向量a =(4，-2)，b ＝(6，-3)，记a 与b 的夹角为θ．求：(1)a b ⋅r r；(2)θ的大小；(3)|2a -3b |；(4)(2a -3b )⋅(a ＋2b )．分析：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ⋅=+r r，cos θ=||||b a b a ⋅=222221212121yx y x y y x x +⋅++解：(1)a b ⋅r r＝4×6＋(-2)×(-3)＝30；(2)cos θ=||||b a ⋅=1164369=+⋅+，又因为[]0,θπ∈，所以θ=0；(3)方法一：|2a －3b |＝2229124)32(b b a a b a +⋅-=- ＝])3(6[9)]3)(2(64[12])2(4[42222-++--+⨯--+ ＝5512540536080==+-；方法二：232(4,2)3(6,3)(8,4)(18,9)(10,5)a b -=---=---=-r r|23a b -r r|=1002512555+==；(4)方法一：(2a －3b )⋅(a ＋2b )=2a 2＋a ⋅b －6b 2=2×[42＋(-2)2]＋[4×6＋(-2)(-3)]-6[62＋(-3)2]=40＋30-270＝-200．方法二：23a b -r r=(-10，5)，a ＋2b =(4，-2)+2(6，-3)=(16，-8) (23a b -r r)⋅(a ＋2b )=(-10，5)⋅(16，-8)= -160-40= -200．点评：此类问题是有关向量数量积的坐标运算，在灵活应用基本公式的前提下要认真细心，特别注意向量夹角的范围．例4 在ABC ∆中,120,2,1,BAC AB AC ︒∠===D 是边BC 边上一点,DC =2DB ,求AD BC ⋅u u u r u u u r．分析：若由定义求解则要求解三角形，计算比较复杂，所以，思路一：转化为AB u u u r 与AC u u u r 的内积计算．思路二：建系利用坐标运算．解：方法一：1()()()()3AD BC AB BD AC AB AB BC AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=22118[2][121cos12024]333AC AB AC AB ο+⋅-=+⨯⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r 方法二：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A ,(1,0)C ,(1,3)B -,(2,3)BC =-u u u r,由13BD BC =u u u r u u u r,设(,)D x y ,则213333x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得D (123,33-)28233AD BC ⋅=--=-u u u r u u u r ．4. 自我检测(1)已知63a =r ,1b =r,9a b ⋅=-r r ,则向量a r 与向量b r 的夹角θ＝． (2)已知4a =r ,5b =r,当(1)//a b r r ；(2)a b ⊥r r ；(3)a r 与b r 的夹角为60°时，分别求a r 与b r的数量积．(3)已知(1,)a m =r 与(,4)b n =-r 共线，且(2,3)c =r与b r 垂直，则m +n 值为． (4)已知(3,2)a =--r ,(4,3)b =--r,则3a r 2－2a b ⋅r r 等于．(5)点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点O 是△ABC 的心．三、课后巩固练习A 组1．已知向量a r 和向量b r 的夹角为30o，||2,||3a b ==r r ，则向量a r 和向量b r 的数量积a b ⋅r r = ．2．已知|a r |＝|b r |＝1，且(2a r -b r )⋅(3a r －2b r)＝8，则a r 与b r 的夹角为．3．在ABC △中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅=u u u r u u u r．4．设a r ，b r ，c r是任意的非零向量，且相互不共线，则有下列命题：①(a ⋅r b r )c r －(c ⋅rb )a r ＝0 ； ②|a r |－|b r | < |a r －b r |；③(b ⋅r c )a r －(c ⋅r a r )b r 与c 不垂直； ④(3a r ＋2b r )⋅(3a r －2b r )＝9|a r |2－4|b r |2．这些命题中，是真命题的有．5．在△ABC 中，若AB ⋅AC <0，则△ABC 的形状一定是_________三角形．6．已知向量,a b r r 夹角为45︒，且1,210a a b =-=r r r ；则b =r ．7．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB u u u r |=3, ||BC u u u r =4, |CA u u u r|=5，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值等于________．8．在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足2PA PM =u u u r u u u u r ,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于________．9．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的．(选用重心、外心、垂心、内心填空 )10．已知向量OA =(－1，2)，OB =(3，m)，且OA ⊥AB ，则m 的值为__ __．11．已知a r +b =(2，-8)，a r -b r =(-8，16)，则a b ⋅r r＝______，a r 与b r 的夹角的余弦值是_______．12．已知向量(2,1)a =r ，10a b ⋅=r r ，52a b +=r r ，则b r =_______． 13．已知向量(1,2)a =r ，(2,3)b =-r ．若向量c r 满足()c a +r r ∥b r ，()c a b ⊥+r r r，则c r=______．14．已知点A (-2，-3)，B (19，4)，C (-1，-6)，则△ABC 的形状是是．15．设a r ＝(x ，2)，b r＝(－3，5)，且a r 与b r 的夹角是钝角，则x 的取值范围是． 16．已知a r =(-3，2)，b r=(1，2)，c r =a r +k b r ，d u r =3a r －b r ，若c r //d u r ，则k =_____；若c r ⊥d u r，则k =__________．B 组17．已知1e u r 和2e u u r 是互相垂直的单位向量，且a r ＝31e u r ＋22e u u r ，b r ＝－31e u r ＋42e u u r，求a b ⋅r r ．18．设|a r |=2，|b r |=1，且a r 与b r 的夹角为45︒，向量x r =a r +b r ，y u r =a r -b r ，试求x r 与y u r的夹角的余弦值．19．已知|a r |＝|b r |＝1，|3a r －2b r |＝3，求|3a r ＋2b r|的值．DCA B20．已知向量a ,b 的夹角为60°,且(a ＋3b )⊥(7a －5b )，求证：(a －4b )⋅(7a －2b )＝0．21．设向量OA ＝(3，1)，向量OB ＝(－1，2)，向量OC ⊥OB ，向量BC //OA ，若OD ＋OA ＝OC ，求D 的坐标(其中O 为坐标原点)．22．如图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=u u u r u u u r u u u r， 4AB BD BD DC ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，0AB BD BD DC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()AB DC AC +⋅u u u r u u u r u u u r的值为__________．23．在平面四边形ABCD 中，若6AC =，4BD =，则()()AB DC AC BD +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的值为．24. 如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ==，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是__ __.25．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M 、N 是线段AB 的三等分点，若OA =6，MD NC ⋅u u u u r u u u r的值是____________．26．已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,AD =上的动点，则3PA PB +u u u r u u u r的最小值为____________.27.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅u u u r u u u r的值为________;DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值为________.C 组28．直角坐标系xOy 中，i,j 分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若2,3AB AC k =+=+u u u r u u u ri j i j ，则k 的可能值个数是．29．设向量a r ，b r 满足：|a r |=3，|b r|=4，a ⋅r b r =0．以a r ，b r ，a r -b r 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为．30．设a ，b ，c 是单位向量，且a b ⋅r r＝0，则()()a c b c -⋅-r r r r 的最小值为．31．(1)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CDO AMNBCD上的点，且满足BM CN BC CD=u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AM AN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是．(2).在平行四边形ABCD 中,3A π∠=, 边,AB AD 的长分别为2、1. 若,M N 分别是边,BC CD 上的点,且满足||||||||BM CN BC CD =u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是_________ .32. 对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αβαβββ⋅=⋅u r u ru r u r u r u r o . 若两个非零的平面向量a r ，b r 满足a r 与b r 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b r r o 和b a r r o 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则a b r r o = . 33．如图，设向量a r 与b r 的夹角为60°，且|a r |>|b r|．是否存在满足条件的a r ，b r ，使|a r +b |＝2|a r -b r|？请说明理由．34．在直角ABC ∆中，已知BC =a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ uuu r 与BC uuu r的夹角取何值时，BP CQ ⋅u u u r u u u r 的取值最大？并求出这个最大值．知识点题号注意点平面向量数量积的含义及其物理意义向量运算与实数运算的转化，与数量积的坐标表示相关的计算问题，如求两个向量的夹角，判断两个非零向量是否垂直数量积的坐标表示数量积的应用数量积与其他知识的综合四、学习心得五、拓展视野平面向量的数量积a r ·b r是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线许多、正方形的对角线垂直平分等．你给出具体的证明吗？你能用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗?2.5 向量的应用一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议向量是一种处理几何、物理等问题的工具了解结合实际背景解决问题二、预习指导 1. 预习目标(1)了解向量的加法与物理中力的合成、速度的合成之间的联系，经历用向量方法解决物理A FE 中有关问题的过程；(2)体会向量是一种数学工具，掌握用向量方法解决某些简单的几何问题，发展运算能力和解决实际问题的能力． 2. 预习提纲(1)物理中，如果力F 与物体位移s 的夹角为θ，那么F 所做的功W =θs F cos ⋅⋅．(2)证明直线平行或三点共线常用向量共线定理；证明垂直常证两个向量的数量积为0；求向量的夹角常用公式cos θ=||||b a b a ⋅=222221212121yx y x y y x x +⋅++．(3)思考：向量可以解决哪些常见的几何问题和物理问题？解决这些问题的基本步骤是什么？3. 典型例题(1) 利用向量解决物理中有关的力、速度问题向量是既有大小，又有方向的量，物理中的很多量都是向量，如力、速度、加速度等.用向量解决物理问题的方法：把物理问题转化为数学问题，抽象成数学模型，对这个数学模型进行研究，进而解释相关物理现象.例1 如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|1v u r |=10km /h ，水流的速度|2v u u r|=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min )？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．解：||v u v 2212||||96v v -=u v u u vkm /h )，所以，60 3.1||96dt v ==≈uv (min )．答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．点评：上述问题中涉及速度等物理量，可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要，把0v u u r分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量，再利用运动学知识建立数学模型，最后利用向量的知识求解.(2) 利用向量解决平面几何中有关的问题向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因而向量方法是几何研究的一个有力的工具.在运用向量方法解决平面几何问题时，将几何问题转化为向量问题是关键.对具体问题是选用向量几何法还是选用向量坐标法是难点，利用向量坐标法会给解决问题带来方便.例2 求证△ABC 的三条高相交于一点.证明：设△ABC 的AB 、AC 边的高分别为CF ，BE ，它们交于点H ，连接AH (如图)，设AB c =u u u r r ，AC b =u u u r r ,AH h =u u u r r则,CH h b BH h c =-=-u u u r r r u u u r r r∵CH ⊥AB ，BE ⊥AC∴()0,()0c h b b h c ⋅-=⋅-=r r r r r r即0,0c h c b b h b c ⋅-⋅=⋅-⋅=r r r r r r r r两式相减得0c h b h ⋅-⋅=r r r r ，即()0c b h -⋅=r r r∵CB c b =-u u u r r r∴BC ⊥AH ，即三角形三条高相交于一点.例3 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交与R 、T 两点，证明：AR =RT =TC .解：设,,,AB a AD b AR r AT t ====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，则AC a b =+u u u r r r .由于AR u u u r 与AC u u ur 共线，所以设()AR n a b =+u u u r r r .又因为12EB AB AE a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，ER u u u r 与EB u u u r 共线，设ER u u u r=1()2mEB m a b =-u u u r r r因为AR u u u r =AE u u u r +ER u u u r，所以11()22r b m a b =+-r r r r .因此11()()22n a b b m a b +=+-r r r r r ，即1()()02m n m a n b --++=r r r .由于向量,a b r r 不共线，要使上式为0r ，则有0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得13m n ==. 所以AR u u u r =13AC u u ur .同理TC u u u r =13AC u u u r . 所以AR =RT =TC .点评：本题中由于R 、T 是对角线AC 上两点，要证AR =RT =TC ，只需证明AR 、RT 、TC 都等于13AC u u ur 即可. 4. 自我检测(1)一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为．(2)已知(3,2)a =-r ，(1,0)b =-r，向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，则实数λ的值为．(3)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2，0)，B (6，8)，C (8,6),则D 点的坐标为___________.(4)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3, 1)，B (-1, 3)，若点C 满足=+OC aOA bOB u u u r u u u r u u u r，其中α，β∈R 且α+β=1，则点C 的轨迹方程为_______.(5)一艘船距对岸34km 处，以2km /h 的速度向垂直于岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速. 三、课后巩固练习Ａ组1．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，3,13,a a b =+=r r r 则b r 等于．2．已知a r =(3，λ)，b r =(4，-3)，若a r 与b r的夹角为锐角，则λ的取值范围为_______． 3．若A (0，2)，B (3，1)，C (-2，k )三点共线，则向量a r ＝AC u u u r +AB u u ur 的模为．4．设点O 是正2n 边形122n A A A ⋅⋅⋅的中心，则在下列各结论中： ①122n OA OA OA ==⋅⋅⋅=u u u r u u u u r u u u u u r ；②122||||||n OA OA OA ==⋅⋅⋅=u u u r u u u u r u u u u u r③1OA u u u r +2OA u u u u r +…+2n OA u u u u u r =0r ；④i OA ⋅u u u r n i OA +u u u u u r=0(i =1，2，…，n )．正确的共有个．5．已知向量a r =(2，3)，b r =(x ，6)，若│a ⋅r b r │=|a r |⋅|b r|，则x ＝．6．已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =I ．7．在四边形ABCD 中，有AB ⋅BC ＝AB ⋅AD ＝AD ⋅DC =0，则该四边形是．8．设向量a r =(1,－3), b r =(－2,4),若表示向量4a r 、3b r －2a r 、c r的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c r为．9．已知,0||2||≠=b a 且关于x 的方程0||2=⋅++b a x a x 有实根, 则a 与b 的夹角的取值范围是．Ｂ组10．平面上三个力F 1 、F 2、F 3作用于同一点O ，而处于平衡状态，11F N =，21262,,2F N F F +=成45ο，求(1)F 3的大小；(2)F 3与F 1的夹角． 11．边形ABCD 中，已知AB u u u r +CD uuu r =0r ，AC u u u r ⋅BD u u ur =0，试证明四边形ABCD 是菱形．12．在四边形ABCD 中，AB 2 +CD 2 =AD 2 +BC 2成立，求证：AC ⊥BD ．13．已知()23,2c ma nb =+=-r r r ，a r 与c r 垂直，b r 与c r 的夹角为0120，且b 4-=⋅c ，22a =r，求实数n m ,的值及a 与b 的夹角．知识点题号注意点向量是一种处理几何、物理等问题的工具注意实际问题的限制四、学习心得五、拓展视野向量与三角形的四“心”三角形四“心”即三角形的外心、重心、垂心、内心．外心即三角形的外接圆的圆心；重心即三角形三条中线的交点；垂心即三角形三条高的交点；内心即三角形内角平分线的交点．它们在各类考试中屡见不鲜．现举例如下．例1 已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，证明O 是ABC ∆的外心．证明：222()()()OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r Q222OA OB OC ∴==u u u r u u u r u u u r ，所以O 是ABC ∆的外心．例2 已知O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，则O 是△ABC 的重心．证明：如图所示，延长OD 到G ，使DG ＝OD ，连接AG ，BG ，因为D 是AB 和OG 的中点，所以四边形OAGB 为平行四边形，由向量加法性质得OA OB OG +=u u u r u u u r u u u r又由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r 得OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u rOG OC ∴=-u u u r u u u r，∴C 、O 、D 、G 四点共线∴O 在中线CD 上同理得O 在中线AE 和BF 上，∴O 是△ABC 的重心．点评：本题同时证明了CO=2OD=23CD ，即重心O 分中线CD 为2:1两部分．例3 O 为平面中一定点，动点P 在A 、B 、C 三点确定的平面内且满足(OA OP -)·(AC AB -)=0，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）.解：由题0AP BC ⋅=u u u r u u u r ，所以AP BC ⊥u u u r u u u r，故P 的轨迹一定过△ABC 的垂心．例4 O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上的共线三点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ（||AB AB ＋||AC AC ），λ∈[)+∞,0，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（选用重心、外心、垂心、内心填空）. 解：从分析向量||AB ＋||AC 特征着手．||AB ，||AC 均为单位向量，以||AB ，||AC为邻边的平行四边形为菱形，||AB AB ＋||AC AC 为角平分线向量，λ(||AB AB ＋||AC AC )与角平分线向量共线，由三角形法则，点P 在∠A 平分线上，点P 轨迹过△ABC 内心．例5 如图：ABC ∆外接圆的圆心为Ｏ，三条高的交点为H ，连结BO 并延长交外接圆于D ，求证：(1)DC OC OB =+u u u r u u u r u u u r；(2)OH OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .分析：运用向量的加减法解决几何问题时，需要构造三角形或平行四边形，证明：(1),OB OD =-u u u r u u u rQDC OC OD OC OB ∴=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．(2)因为ＢＤ为直径，90//,//BAD BCD AE CD AD CHο∴∠=∠=∴所以四边形AHCD 为平行四边形．,AH DC OH OA AH OA DC OA OB OC∴=∴=+=+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 点评：利用平面向量的知识解决平面几何问题，关键是充分挖掘题目中的条件，本题中O 为外心，H 为垂心，在本题中作用很大；另外，平面几何中的一些性质在解题中也有很大的用处．BA CDEF OH。

高中数学第2章平面向量 2.4 第1课时向量的数量积课件苏教必修4苏教高二必修4数学课件

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解析答案
2.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝__1_.
解析(jiě xī) ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
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解析答案
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角(jiā jiǎo)均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－ c)2＝1_1___.
解析(jiě xī) (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
答案(dáàn) 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
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答案
梳理(shūlǐ)
(1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
θ，称为向量a与b的夹角.
(2)范围： 0°≤θ≤180°. (3)当θ＝ 0°时，a与b同向；当θ＝ 18时0°，a与b反向. (4)当θ＝ 90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
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知识点三平面向量数量积的几何(jǐ hé)意义
思考 1 (sīkǎo)

高中数学苏教版必修四《第2章平面向量2.4向量的数量积》课件

(5)
讨论：向量的夹角范围 [0，X]
向量的数量积定义
已知两个非零向量a和b，他们的夹角是X，我们把数量|a||b|cos叫做向量a和向量b的数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=|a||b|cos
我们规定：零向量与任一向量的数量积为0
向量数量积的性质
规定:0·a=0
<a,b>=900 <=> a⊥b <=>a·b=0
a,b同向 <=> a·b=|a|·|b| a,b反向 <=> a·b=-|a|·|b| a,b共线 <=> a·b=±|a|·|b|
cos<a,b>=
a·b | a || b |
a·a=a2=|a|2
|a|= a·a
|a·b|≤|a||b|
运算律
• 向量a,b,c，实数 ab=b·a (a)·b=a·(b)= (a·b)= a·b (a+b)·c=a·c+b·c 思考(a·b)·c=a(b·c) ? a·b=b·c => a=c ? 若b=0,a·b=b·c => a=c ? 不满足结合律，消去律
(a+2b) ·(a-2b), (a+b) ·(a-b), (a+b)2
总结
• （1）a·b结果是数量 • （2）利用a·b=|a||b|cos ，可求向量夹角，尤其
是判定垂直 • （3）两向量夹角范围 [0，x] • （4）运算律
思考
• 已知|a|=2,|b|=4,且a与b不共线，当且仅当k为何值时，向量a+kb与向量a-kb垂直？
苏教版高中数学
向量的数量积
一、创设情景

苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积(二)》ppt课件1

知识点3：平面向量的坐标ห้องสมุดไป่ตู้算
（1）若a
（x
1，y
1），b
（x
2，y
2），那么a

b
（x
1

x
2，y
1

y
）
2
（2）A（x 1，y 1）, B(x 2, y 2),那么AB (x 2 x 1, y 2 y 1)
(3)若a (x, y),那么a （x， y）
（4）若a （x 1，y 1），b （x 2，y 2），那么a b x 1x 2 y 1y 2 若a b，那么x 1x 2 y 1y 2 0
平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题．
引入课题
复习 1．平面向量的坐标运算：
若a
（x
1，y
1），b
（x
2，y
），
2
那么a

b
（x
1

x
2，y
1

y
2），a
-
b
（x
1
-
x
2，y
1
-
y
）
2
a （x， y）
若A（x
1，y
1），B（x
2，y
），那么
2
AB
（x
2
-
x
1，y
2
-

江苏省苏州市第五中学平面向量多选题试题含答案

江苏省苏州市第五中学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立；必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =，所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=，由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=；（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（） A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈ B ．若12I I =，则AP BQ = C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD 【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案. 【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线xy e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q 与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB的中点，AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG长的最大值为1 D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r=--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C x y+++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误；故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ，由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭，取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==，所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭，对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误；对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误；对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 【答案】AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．7．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点，且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点，所以PB 与CQ 不平行，故A 错误；对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误；对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =，则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确；故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（）A ．1-B ．113C ．32+ D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+--故选：BCD【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.二、立体几何多选题 9．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 的最小值为355B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +170 【答案】AD【分析】 DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-，所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选：AD.【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．10．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（）．A ．棱的高与底边长的比为2B ．侧棱与底面所成的角为4πC ．棱锥的高与底面边长的比为2D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h =，故A 正确，C 错误侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.。

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