【100所名校】2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学(理)试题(解析版)

资料下载来源：学习资料群：743293914，初中资料群：338473890，高中资料群：1026047318，大学资料群：868430820，2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．复数z =(−3−4i )i 在复平面内对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限2．已知全集U=R ，M ={x|−x 2≥2x }则C U M =A ． {x |−2<x <0 }B ． {x |−2≤x ≤0 }C ． {x|x <−2或x >0 }D ． {x|x ≤−2或x ≥0 }3．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：2015年高考数据统计 2018年高考数据统计则下列结论正确的是A ． 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ． 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ． 与2015年相比，2018年艺体达线人数相同D ． 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加4．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为 A ． 11 B ． 12 C ． 13 D ． 14 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若x >0时，f (x )=xlnx ，则x <0时，f (x )= A ． xlnx B ． xln (−x ) C ． −xlnx D ． −xln (−x ) 6．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l:x 4+y 3=1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为 A ． 45 B ． 35 C ． 34 D ． 15 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =2EO ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则ED ⃑⃑⃑⃑⃑ = A ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ B ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ C ． 23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ D ． 13AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体 A ． 有四个两两全等的面 B ． 有两对相互全等的面 C ． 只有一对相互全等的面 D ． 所有面均不全等 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF =2AF =2，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边亚角形的概率是 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号好教育云平台 名校精编卷 第3页（共6页）好教育云平台 名校精编卷 第4页（共6页）A ． 413B ． 2√1313 C ． 926 D ． 3√132610．已知函数f (x )={−e x ,x ≤0,lnx,x >0 （e 为自然对数的底数），若关于x 的方程f (x )+a =0有两个不相等的实根，则a 的取值范围是A ． a >−1B ． −1<a <1C ． 0<a ≤1D ． a <111．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为A ． y =±√2xB ． y =±√3xC ． y =±xD ． y =±2x12．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为棱BB 1，CC 1的中点，点O 为上底面的中心，过E ，F ，O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含A 1的部分为V 1，不含A 1的部分为V 2，连结A 1和V 2的任一点M ，设A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为α，则sinα的最大值为A ． √22B ． 2√55C ． 2√65D ． 2√66二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0,2x +y −4≤0,y ≥0,，则z =x −2y 的最小值为________.14．已知数列{a n }，若数列{3n−1a n }的前n 项和T n =15×6n −15，则a 5的值为________.15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好有7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有____________个.16．已知函数f (x )=−sin (π3x +φ)+|x −2|(|φ|<π2)的图像关于直线x =2对称，当x ∈[−1,2]时，f (x )的最大值为____________.三、解答题 17．如图，在ΔABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC =60°，AB =2√3，AP +PB =4. （1）求BP 的长； （2）若AC =5√34，求cos∠ACP 的值. 18．在ΔABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，AB =2BC =2CD ，如图1.以DE 为折痕将ΔADE 折起，使点A 到达点P 的位置，如图2. 如图1 如图2 （1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ； （2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值。

19．某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150]内，且其频率y 满足y =10a −n 20（其中10n ≤x <10(n +1)，n ∈N ∗）. （1）求a 的值； （2）请画出这20名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；资料下载来源：学习资料群：743293914，初中资料群：338473890，高中资料群：1026047318，大学资料群：868430820，（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名大一理工科新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量，求的数学期望.20．已知抛物线E:x 2=2py (p >0)的焦点为F ，A (2,y 0)是E 上一点，且|AF |=2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是上异于点A 的一点，直线AB 与直线y =x −3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.21．已知函数f (x )=e ax −x −1(a ∈R ).（1）当a =1时，求证：f (x )≥0；（2）讨论函数f (x )的零点的个数。

22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，|PM |+|PN |=5√2，求a 的值.23．已知函数f (x )=|x −2|.（1）求不等式f (x +1)<xf (x +3)的解集；（2）若函数g (x )=log 2[f (x +3)+f (x )−2a ]的值域为R ，求实数a 的取值范围.资料下载来源：学习资料群：743293914，好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共16页） 2019届河北省衡水中学高三第一次摸底考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1．D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z 对应点的坐标，则答案可求．【详解】复数z =(−3−4i )i =4−3i .对应的点为(4,−3)，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R ，M={x|x 2＜2x}={x|0＜x ＜2}，∴∁U M={x|x≤0或x≥2}，故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．3．D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24×1.5S =0.36S ，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误； 对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4×1.5S =0.6S ，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误； 对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28×1.5S =0.42S .不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】 本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键． 4．C 【解析】 【分析】 由S 10=100及公差为2.代入前n 项和公示，求出a 1=1，得到挺喜欢上，即可求出 a 7的值. 【详解】 由S 10=100及公差为2.得10a 1+10×(10−1)2×2=100,∴a 1=1.所以a n =2n −1，故a 7=13. 故选C. 【点睛】 本题考查等差数列的基本量计算，属基础题. 5．B 【解析】 【分析】 设x <0，则−x >0由奇函数的性质f （-x ）=-f （x ），求出x <0函数f （x ）的解析式， 【详解】 设x <0，则−x >0，所以f (−x )=−xln (−x ).又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (−x )=−f (x )，所以f (x )=xln (−x ). 故选B. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性的综合运用，属基础题. 6．A好教育云平台 名校精编卷答案 第11页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第12页（共16页）【解析】【分析】直线l 的斜率为−34，因为过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，b c =34，由此可求椭圆C 的离心率.【详解】直线l 的斜率为−34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c =34，又b 2+c 2=a 2⇒(34c)2+c 2=a 2⇒2516c 2=a 2,，所以e =c a =45，故选A.【点睛】本题考查椭圆的离心率求法，属基础题.7．C【解析】【分析】利用向量加法法则结合图像特点运算即可.【详解】ED ⃑⃑⃑⃑⃑ =EA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−13(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )+AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =23AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AB ⃑⃑⃑⃑⃑.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题.8．B【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，由三视图给出的几何量证明即可..【详解】几何体的直观图为四棱锥P −ABCD .如图.因为AD =AB ，PA =PA ，∠BAP =∠DAP =90°. 所以ΔABP ≌ΔADP .因为BC ⊥平面ABP ，所以BC ⊥BP .同理，CD ⊥DP .因为BP =DP ，CD =BC ，CP =CP ，所以ΔBCP ≌ΔDCP .又ΔABP 与ΔBCP 不全等.故选B.【点睛】 本题考查三视图原原几何体，以及线面关系的有关证明，属中档题. 9．A 【解析】 【分析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】 在ΔABD 中，AD =3，BD =1，∠ADB =120°，由余弦定理，得AB =√AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos120°=√13， 所以DF AB =√13. 所以所求概率为S ΔDEF S ΔABC (13)2=413. 故选A. 【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 10．C 【解析】 【分析】 画出函数f (x )的图像，利用数形结合法可求a 的取值范围， 【详解】 画出函数f (x )的图像如图所示，若关于x 的方程f (x )+a =0有两个不相等的实根，则函数f (x )与直线y =−a 有两个不同交点，由图可知−1≤−a <0，所以0<a≤1. 故选C.资料下载来源：学习资料群：743293914，好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共16页） 【点睛】本题考查方程的根个数的求参数的范围，考查数形结合思想方法，属于中档题．11．A【解析】【分析】由双曲线的定义可得|F 1M |−|F 2M |=2a +2b −2√2a =2a ，结合条件可得|F 2B |=|BM |=2a ，运用勾股定理，结合a ，b ，c 的关系，可得b =√2a ，进而得到渐近线的斜率．【详解】如图，作OA ⊥F 1M 于点A .F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2+y 2=a 2相切，∠F 1MF 2=45°，所以|OA |=a ，|F 2B |=|BM |=2a ，|F 2M |=2√2a ，|F 1B |=2b .又点M 在双曲线上.所以|F 1M |−|F 2M |=2a +2b −2√2a =2a .整理，得b =√2a .所以b a =√2.所以双曲线的渐近线方程为y =±√2x .故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率，注意运用圆的切线的性质，结合双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．12．B【解析】【分析】连结EF .可证平行四边形EFGH 即为截面. 五棱柱A 1B 1EHA −D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH −FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连结A 1N ，则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N =α.进而得到sinα的最大值.【详解】连结EF .因为EF ∥平面ABCD .所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线.过点O 作GH ∥BC 交CD 于点G ，交AB 于H 点，则GH ∥EF ，连结EH ，FG .则平行四边形EFGH 即为截面.则五棱柱A 1B 1EHA −D 1C 1FGD 为V 1，三棱柱EBH −FCG 为V 2，设M 点为V 2的任一点，过M 点作底面A 1B 1C 1D 1的垂线，垂足为N ，连结A 1N ，则∠MA 1N 即为A 1M 与平面A 1B 1C 1D 1所成的角，所以∠MA 1N =α. 因为sinα=MN A 1M ，要使α的正弦值最大，必须MN 最大，A 1M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意.故(sinα)max =(MN A 1M )max =HN A 1H =2√55.故选B. 【点睛】 本题考查了空间中的平行关系与平面公理的应用问题，考查线面角的求法，属中档题. 13．−3 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】 可行域如图所示， 当直线y =x 2−z 2经过点A 时，z 取得最小值.解方程组{x −y +1=0,2x +y −4=0, 可得点A (1,2)，所以z min =−3.故填−3. 【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．16 【解析】【分析】据题意，得a1+3a2+32a3+⋅⋅⋅+3n+1a n=15×6n−15，所以当n≥2时，a1+3a2+32a3+⋅⋅⋅+3n−2a n−1=15×6n−1−15.两式相减，可求出当n≥2时，a=n2n−1，由此可求a5的值. 【详解】据题意，得a1+3a2+32a3+⋅⋅⋅+3n+1a n=15×6n−15，所以当n≥2时，a1+3a2+32a3+⋅⋅⋅+3n−2a n−1=15×6n−1−15.两式相减，得3n+1a n=15×6n−15×6n−1=6n−1.所以当n≥2时，a=n2n−1，故a5=16.【点睛】本题考查数列通项公式的求法，属基础题.15．120【解析】【分析】10个元素进行全排列共有A1010种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A77A33次，得到不同的排列共有A1010A77A33种结果．【详解】10个元素进行全排列共有A1010种结果，在这些结果中有5个2，2个4，这样前面的全排列就出现了重复，共重复了A77A33次，得到不同的排列共有A1010A77A33=120种结果．故答案为120.【点睛】】本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列，这种问题，首先要进行正常排列，后面要除以重复的次数，重复的次数是相同元素的一个全排列．16．4【解析】【分析】据题意知，函数y=|x−2|的图像关于直线x=2对称，则曲线y=sin(π3x+φ)也关于直线x=2对称，可求出f(x)=−sin(π3x−π6)+|x−2|，再根据函数f(x)=−sin(π3x−π6)+|x−2|的单调性可求f(x)的最大值.【详解】据题意知，函数y=|x−2|的图像关于直线x=2对称，则曲线y=sin(π3x+φ)也关于直线x=2对称，所以π3×2+φ=kπ+π2，k∈Z.所以φ=kπ−π6，k∈Z.因为|φ|<π2，所以φ<−π6.所以f(x)=−sin(π3x−π6)+|x−2|.又y=−sin(π3x−π6)与y=|x−2|在区间[−1,2]上都为减函数，所以f(x)max=f(−1)=4.即答案为4.【点睛】本题考查函数单调性和对称性的综合应用，属中档题.17．(1) BP=2;(2) cos∠ACP=√1−(45)2=35.【解析】【分析】（1）根据余弦定理直接求BP的长；（2）由（1）知，AP=2，所以在ΔACP中，由正弦定理. 可得sin∠ACP=45. 再判断∠ACP是锐角，可得os∠ACP得值.【详解】（1）由已知，得∠APB=120°又AB=2√3，AP+BP=4，在ΔABP中，由余弦定理，得(2√3)2=BP2+(4−BP)2−2×BP×(4−BP)cos120°，整理，得BP2−4BP+4=0.解得BP=2.（2）由（1）知，AP=2，所以在ΔACP中，由正弦定理.得ACsin60°=APsin∠ACP，解得sin∠ACP=2√325√34=45.因为2<5√34，所以AP<AC，从而∠ACP<APC，即∠ACP是锐角，好教育云平台名校精编卷答案第11页（共16页）好教育云平台名校精编卷答案第12页（共16页）资料下载来源：学习资料群：743293914，好教育云平台 名校精编卷答案 第13页（共16页）好教育云平台 名校精编卷答案 第14页（共16页） 所以cos∠ACP =√1−(45)2=35.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用.属中档题.18．(1)见解析；（2）直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值为√64.【解析】【分析】（1）在题图1中，可证DE ∥BC ，在题图2中，BC ⊥平面CEP .进而得到BC ⊥平面CEP .从而证得平面BCP ⊥平面CEP ；（2）可证得EP ⊥平面BCED . EP ⊥CE .则以E 为坐标原点，分别以ED ⃑⃑⃑⃑⃑ ，EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：在题图1中，因为AB =2BC =2CD ，且D 为AB 的中点.由平面几何知识，得∠ACB =90°.又因为E 为AC 的中点，所以DE ∥BC在题图2中，CE ⊥DE ，PE ⊥DE ，且CE ∩PE =E ，所以DE ⊥平面CEP ，所以BC ⊥平面CEP .又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BCP ⊥平面CEP .（2）解：因为平面DEP ⊥平面BCED ，平面DEP ∩平面BCED =DE ，EP ⊂平面DEP ，EP ⊥DE .所以EP ⊥平面BCED .又因为CE ⊂平面BCED ，所以EP ⊥CE .以E 为坐标原点，分别以ED ⃑⃑⃑⃑⃑ ，EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，EP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中，设BC =2a ，则AB =4a ，AC =2√3a ，AE =CE =√3a ，DE =a . 则P(0,0,√3a)，D (a,0,0)，C(0,√3a,0)，B(2a,√3a,0). 所以DP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,0,√3a)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2a,0,0)，CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−√3a,√3a). 设n =(x,y,z )为平面BCP 的法向量， 则{n ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0,n ⋅CP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0, ，即{−2ax =0,−√3ay +√3az =0. 令y =1，则z =1.所以n =(0,1,1). 设DP 与BCP 平面所成的角为θ， 则sinθ=sin⟨n,DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=|cos⟨n,DP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩|=|n⋅DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||n ||DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3a √2×2a =√64. 所以直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值为√64. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题. 19．（1）a =0.08;(2)120;(3)见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意知：10≤n ≤14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y =10a −n 20，由频率和等于1可求a 的值； （2）由（1），得y =0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，可得频率分布直方图如图： 3）由题意可知，ξ=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.15+0.1=0.25，所以ξ～B (4,14) ，可求ξ的数学期望. 【详解】 （1）由题意知：10≤n ≤14，所以的取值为10，11，12，13，14， 代入y =10a −n 20，可得(10a −0.5)+(10a −0.55)+(10a −0.6)+(10a −0.65)+(10a −0.7)=1， 解得a =0.08. （2）由（1），得y =0.3,0.25,0.2,0.15,0.1，频率分布直方图如图：这40名新生的高考数学分数的平均数为105×0.30+115×0.25+125×0.20+135×0.15+ 145×0.10=120.（3）由题意可知，ξ=0,1,2,3,4，且“高考数学分数不低于130分”的概率为0.15+0.1=0.25，所以ξ～B(4,14)所以E(ξ)=4×14=1.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查二项分布的期望，属中档题.．20．（1）E的方程为x2=4y；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义利用|AF|=2.可求p=2，进而求得E的方程；（2）证明：设B(x1,y1)，M(x2,y2).由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2−4kx−4b=0.由MP⊥x轴及点P在直线y=x−3上，得P(x2,x2−3)，则由A，P，B三点共线，得x2−4x2−2=kx1+b−1x1−2，整理，得(k−1)x1x2−(2k−4)x1+(b+1)x2−2b−6=0.结合韦达定理可得(2−x1)(2k+b−3)=0. 由点B的任意性，得2k+b−3=0，即可证明.【详解】（1）解：根据题意知，4=2py a，①因为|AF|=2，所以y a+p2=2.②.联立①②解的y a=1，p=2.所以E的方程为x2=4y.（2）证明：设B(x1,y1)，M(x2,y2).由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2= 4y，得x2−4kx−4b=0.根与系数的关系.得x1+x2=4k，x1x2=−4b.③由MP⊥x轴及点P在直线y=x−3上，得P(x2,x2−3)，则由A，P，B三点共线，得x2−4x2−2=kx1+b−1x1−2，整理，得(k−1)x1x2−(2k−4)x1+(b+1)x2−2b−6=0.将③代入上式并整理，得(2−x1)(2k+b−3)=0.由点B的任意性，得2k+b−3=0，所以y=kx+3−2k=k(x−2)+3.即直线BM恒过定点(2,3).【点睛】本题考查抛物线方程的求法、抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将a=1代入函数的表达式，求出f′（x），解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最小值，即可证明f(x)≥0；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数．【详解】（1）证明：当a=1时，f(x)=e x−x−1，则f′(x)=e x−1.由f′(x)=0.得x=0.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(−∞,0)内是减函数.在区间(0,+∞)内是增函数，所以x=0是f(x)的极小值点，也是最小值点.且f(x)min=f(0)=0，故当a=1时.f(x)≥0恒成立.（2）解：据题意，得f′(x)=ae ax−1.①当a≤0时，f′(x)<0恒成立.则函数f(x)在R上是减函数。