用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
3-4函数单调性与曲线的凹凸性
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答
高等数学函数的单调性和凹凸性
连续曲线 y ? f ( x) 的拐点.
y
y ? x4
例如 ,
o
x
(2) 若 f ??( x0 ) 不存在 ,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y ? f ( x ) 的拐点 .
y
例如 ,
o
25x
注意 改变凹凸性的点只可能是二阶导数为零及二阶 导数不存在的点 .
判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：
x2
?
2,
3
对应
y1
(0,1)
(
2
3
,
11
27
)
?
1,
y2
?
2
11 27
3) 列表判别
3
x (?? ,0)
0
(0,
2 3
)
2
3
(
2 3
,
?
?
)
y?? ? 0 ? 0 ?
y凹
1
凸 11
27
凹
故该曲线在
(??
, 0)
及
(
2
3
,
?
?
) 上向上凹 , 在(0,
2) 上
3
向上凸
, 点(0,1)及
(2
3
,
11 27
1 (1 , 2)
0?
2 (2, ? ? ) 0?
f (x)
2
1
y
故
的单调增区间为
(??
, 1), (2, ? ? );
2
1
的单调减区间为 (1 , 2).
o 12 x
11
练习 确定 f ( x ) ? ( x ? 1) ?3 x 2 的单调区间 .
单调性与凸凹性
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
C
B
问题:如何研究曲线的弯曲方向? A
o
x
y
y f (x)
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
定义 设 f ( x)在(a, b)内连续,如果对(a, b)内任意
两点 x1, x2 , 恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调．
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
·复习 函数的单调性的定义，函数的极值。
·引入 由函数的单调性我们可知道曲线上升与下降的情况，还应知道它的弯曲方向以及不同弯曲方向的分界点，这就是曲线的凹向与拐点。
·讲解新课曲线的凹凸性与拐点1 曲线的凹凸定义及判定法定义1 如果曲线位于其每一点切线的上方，那么称曲线弧是凹的（如图（1）所示），如果曲线位于其每一点切线的下方，那么称曲线弧是凸的（如图（2））．yOx xyO y f x =()（2）是描述一阶导数的单调性的。
从上图可以看出，如果曲线是凹的，切线的倾斜角随x 的增大而增大，由导数的几何意义知()f x '随x 的增大而增大，即函数的一阶导数是单调增加的，所以()0f x ''>；同样，如果曲线是凸的，切线的倾斜角随x 的增加而减少，就是()f x '随x 的增大而减少，即函数的一阶导数是单调减少的，所以()0f x ''<。
反之结论是否成立呢？下面给出曲线凹凸性的判定定理。
定理1 设函数)(x f y =在[,]a b 内连续，在),(b a 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在),(b a 内，0)(>''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凹的. （2）若在),(b a 内，0)(<''x f ，则曲线曲线)(x f y =在[,]a b 上是凸的．例1 判定曲线x y ln =的凹凸性．解：函数x y ln =的定义域为),0(+∞，且21)(,1)(xx f x x f -=''='． 因为在),0(+∞上)(x f ''恒为负， 所以曲线x y ln =在其定义域内是凸的． 例2 判定曲线xy 1=的凹凸性． 解：函数x y 1=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且322,1xy x y =''-='．因为当0<x 时，0<''y ；当0>x 时0>''y ， 所以曲线在)0,(-∞内是凸的，在),0(+∞内是凹的， 2 曲线的拐点及其求法定义2 把连续曲线凹凸部分的分界点叫做曲线的拐点．定理2 （拐点的必要条件）若函数)(x f y =在0x 处的二阶导数0()f x ''存在，且点00(,())x f x 为曲线)(x f y =的拐点，则0()0f x ''=。
函数的单调性及曲线的凹凸性
定义. 连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界 点称为该曲线的拐点 由定义知: 如果在x0左右两侧f (x)异 号, 则(x0, f (x0))是拐点. 因此只有f (x0)=0 或不存在时, (x0 , f (x0))才可能是拐点.
求连续曲线弧拐点的步骤 (1) 在f(x)所定义的区间内, 求出二阶导数 f ( x)等于零的点. (2) 求出二阶导数 f ( x) 不存在的点.
即F ( x) F (1) 0. x 当x 1时，F ( x) e e 0, 可知F ( x)
为[1,)上的严格单调增加函数, 即F ( x) F (1) 0. x 故对任意x 1，都有F ( x) 0， 即 e ex.
二、曲线的凹凸性与拐点
函数曲线除了有升有降之外, 还有不 同的弯曲方向, 如何根据函数本身判断函 数曲线的弯曲方向呢？
3 2 2. 例 3 讨论函数 y x 的单调性 解: 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单减 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 ) 上单增
1 3. 例 6 证明 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x 1 1 1 f (x) 2 2 (x x 1) x x x 因为当x>1时, f (x)>0 所以f(x)在[1 )上 f(x)单增 因此 当x>1时, f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
研究函数的单调性, 我们只关心 y在 子区间内的符号.
y
5 x3
函数的单调性与曲线的凹凸性
例8、求曲线 的拐点
3、课堂小结、布置作业
课后
作业
P161/4,5,8
教学
后记
周次
日期
课时安排
课题
函数的极值与最值
教材的重点、难点
分析
1、一元函数的极值
2、一元函数的最值
教
学
目
标
1、理解一元函数极值的定义以及可能的极值点；
2、会求各种形式的一元函数的极值。
3、理解一元函数最值的定义以及可能的最值点
学
目
标
1、理解原函数的定义及其性质；
2、掌握原函数的存在性及应用
3、理解不定积分的概念并掌握其基本性质
4、掌握基本积分公式（一）
教学方法
和
教学手段
教
学
过
程
教
学
过
程
1、原函数
1、原函数的概念
定义：如果在区间 上，可导函数 的导函数为 ，即对 ，都有 或者 ，那末函数 就称为 （在区间 上的原函数。
2、原函数的性质
例、求解下列不定积分
四、课堂总结与布置作业
课后
作业
教学
后记
2、解题思路
例1、设 ，求下列不定积分
例2、求下列不定积分
例3、求下列不定积分
2、第三类换元积分法
1、数学原理
定理：设 是单调的、可导的函数,并且 .又设 具有原函数 ,，则f(x)具有原函数 则有换元公式：
其中 是 的反函数.
2、例题选讲
例3、求下列不定积分
3、课堂总结与布置作业
课后
作业
教学
后记
周次
1)设 在区间 上有原函数，则它的原函数有无穷多个，且任意两个原函数相差一个常数。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
曲线的凹凸性及曲率
第十八页
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性.
2) y x2 2x , y 2x 2,
令 y 0,
令 y 0,
1 1 2 3
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
0
y
2
4 3
x 1 3 (极大)
2a
即抛物线的顶点处曲率最大
第二十六页
4、2 曲率圆与曲率半径
设 P 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D
P 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
C
R P1
P
T
DP R 1
o
x
K
R lim s
s0
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 P 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
(3) 若 ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y f ( x) 的拐点， 且 f ( x) 在 x0 连续，则 f ( x0 ) 0 ，
第七页
求拐点的一般步骤：
①求函数的二阶导数 f (x) ；
②令 f (x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点；
③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f (x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一 点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸
的．
y
y f (x) B
y f (x)
y
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
4 函数的单调性与凹凸性的判别法
f( x ) C [ a ,b ] ，且 f( x ) D ( a ,b ) ，则 定理1 设 1 ). f( x )在 [ a ,b ]上升 f ( x ) 0 ； 2 ). f( x )在 [ a ,b ] 下降 f ( x ) 0 。
0 证明：1 . " " f ( x ) 在 [ a , b ] 上升， x ( a , b ) ，由
f ( x ) 2 0 f( x )f( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) R ( x ) 0 n n !
( n 1 ) f ( ) n 1 其中 R ( x ) ( x x ) 介于 x 与 x 之间 ) n 0 ( 0 ( n 1 )!
2 .求出 f ( x )不存在的点，但函数 有意义；
3 . 考察在这些点的左、右 函数的凹凸性 .
例 3讨论 y ( 2 x 5 ) x 的凸性；
102 x 1 10 x1 3 . 3 , y 解： x 0 时， y 9 x x 3 x
f ( x ) f ( 0 ), 即 x ln( 1 x ).
x 现证明左端不等式：当 x 0 时， 0 , 1 1 x x x 1 x ln( 1 ) ln ln( 1 x ) 1 0 1 x 1 x 1 x 1x
x 当 1 x 0 时， 0 ，同样有： 1 x x x x ln( 1 x ) x . ln( 1 ) 1 x 1 x 1 x
f (x) 是凸的。
几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调 增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切 线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。
三角函数的导数与曲线的凹凸性
三角函数的导数与曲线的凹凸性三角函数是数学中重要的一类函数，常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
了解三角函数的导数与曲线的凹凸性对于解决相关问题和应用具有重要意义。
本文将探讨三角函数的导数以及如何通过导数的符号来判断曲线的凹凸性。
一、正弦函数的导数与凹凸性正弦函数是自变量的三角函数之一，用符号sin表示。
正弦函数的导数可以通过求导的方法得到。
对于正弦函数sin(x)，其导数为cos(x)，即sin'(x)=cos(x)。
通过求导可以得知，正弦函数的导数是余弦函数。
当自变量x增大时，余弦函数的值可以在[-1,1]之间变化，因此正弦函数的导数也在这个区间内变化。
在自变量从0增加到π/2的过程中，余弦函数逐渐从-1增加到1，即正弦函数的导数从-1增加到1。
根据导数的符号，我们可以判断正弦函数曲线的凹凸性。
当导数大于0时，表示函数在这一区间上是递增的；当导数小于0时，表示函数在这一区间上是递减的。
因此，当自变量从0增加到π/2的过程中，正弦函数的导数从负数增加到正数，说明函数曲线由凹向上凸。
二、余弦函数的导数与凹凸性余弦函数是自变量的三角函数之一，用符号cos表示。
余弦函数的导数可以通过求导的方法得到。
对于余弦函数cos(x)，其导数为-sin(x)，即cos'(x)=-sin(x)。
通过求导可以得知，余弦函数的导数是负的正弦函数。
当自变量x增大时，正弦函数的值可以在[-1,1]之间变化，因此余弦函数的导数也在这个区间内变化。
在自变量从0增加到π/2的过程中，正弦函数逐渐从0增加到1，即余弦函数的导数从0减小到-1。
根据导数的符号，我们可以判断余弦函数曲线的凹凸性。
当导数大于0时，表示函数在这一区间上是递增的；当导数小于0时，表示函数在这一区间上是递减的。
因此，当自变量从0增加到π/2的过程中，余弦函数的导数从0减小到负数，说明函数曲线由凸向上凹。
三、正切函数的导数与凹凸性正切函数是自变量的三角函数之一，用符号tan表示。
用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性-PPT精品文档
反之，能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号 来判断曲线的凹凸？
Santa II, p.162
答案是肯定的。 先证明一个引理。
引理 （利用一阶导数的单调性判断凹凸性）
设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 那么 (1) 若在 (a, b) 内 f ’(x) 单调增加， 则曲线 y = f(x)在 [a, b] 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f ’(x) 单调减少，
fx () fx () f ( ) ( xx ) (x x )
fx () fx () f ( ) ( xx ) (x 0 1 0 1 1 x 0)
2 0 2 0
0
2
f ( ) f ( )
不等式（1）成立。
x x x x 0 1 2 0
Santa II, p.162
y f ( x)
f ( x1 )
f (x2)
x1 x 2 2
x1
x
2
x1 x 2 f ( x ) f ( x ) 1 2 凸弧的定义： f ( ) 2 2
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.162
如何判断曲线的凹凸？ 设曲线弧上凹
或
Santa II, p.162
fx () fx () fx () fx () 0 1 2 0
x1
x
0
四川大学数学学院 徐小湛
2
2 April 2012
x x f( x ) f( x ) 1 2 1 2 f (x ) 单 增 f( ) 2 2 欲证：fx () fx () fx () fx () （ 1） 0 1 2 0
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设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内二 阶可导，那么 (1) 若在 (a, b) 内 f ’’(x) > 0， 则曲线 y = f(x)在 [a, b] 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f ’’(x) < 0， 则曲线 y = f(x)在 [a, b] 上是凸的。
四川大学数学学院 徐小湛
则曲线 y = f(x)在 [a, b] 上是凸的。
2 April 2012
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) f ( x)单增 f ( 2 2 x1 x2 设 x0 区间 (x1, x2) 的中点 2 f ( x1 ) f ( x2 ) 欲证： f ( x0 ) 2 或 2 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )
Santa II, p.162
一般高等数学教材都是二阶导 数的符号来判断曲线的凹凸性。 但是，我们也可以用一阶导数的 单调性来判断曲线的凹凸性，这种 方法有很直观的几何解释，其证明 也更简单。
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.162
y f ( x)
f ( x1 )
x0 x1 x2 x0
x1
四川大学数学学院 徐小湛
同理 f ( x)单减 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 可证 2 2
2 April 2012
x0
x2
Santa II, p.162
f ( x) 0 f ( x)单增 由以上引理 因为 f ( x) 0 f ( x)单减 得到以下
Santa II, p.162
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( )( x0 x1 ) ( x1 x0 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( )( x2 x0 ) ( x0 x2 )
f ( ) f ( )
不等式（1）成立。
f ( x2 )
x1 x2 2
x1
x2
x1 x2 f ( x ) f ( x ) 1 2 ) 凹弧的定义： f ( 2 2
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.162
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x2 2
x1
x2
x1 x2 f ( x ) f ( x ) 1 2 ) 凸弧的定义： f ( 2 2
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.162
精品课件！
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华阳 南湖 18MAR12
Santa II, p.162
四川大学数学学院 徐小湛
2 April 2012
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.162
如何判断曲线的凹凸？ 设曲线弧上凹
f ( x) 单增 f ( x) 0
Concave upward 下凸
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.162
设曲线弧上凸
f ( x) 单减 f ( x) 0
Santa II, p.162
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( )( x0 x1 ) ( x1 x0 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( )( x2 x0 ) ( x0 x2 )
f ( ) f ( )
不等式（1）成立。
或
Santa II, p.162
f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 )
x1 x0 x2
2 April 2012
四川大学数学学院 徐小湛
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) f ( x)单增 f ( 2 2
欲证： x2 ) f ( x0 )（1） 由Lagrange中值定理
Concave downward
下凹
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
反之，能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号 来判断曲线的凹凸？
Santa II, p.162
答案是肯定的。 先证明一个引理。
引理 （利用一阶导数的单调性判断凹凸性）
设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 那么 (1) 若在 (a, b) 内 f ’(x) 单调增加， 则曲线 y = f(x)在 [a, b] 上是凹的。 (2) 若在 (a, b) 内 f ’(x) 单调减少，
四川大学数学学院 徐小湛
x0 x1 x2 x0
x1
x0
x2
2 April 2012
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) f ( x)单增 f ( 2 2 欲证：f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 ) （1）