2020版高考数学大一轮复习第四章第27讲数系的扩充与复数的引入课时达标(理)(含解析)新人教A版
2020年浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入
••＞必过教材美1. 复数的有关概念 (1) 复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = da , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ ＞的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义一一対宜(1) 复数z = a + br •复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——讨丈 一＞ (2) 复数 z = a + bi(a , b € 0 ------- ■:•平面向量 OZ .3. 复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),贝U ① 加法：Z 1 + Z 2= (a + bi) + (c + di) = (a + c)+ (b + d)i ; ② 减法：Z 1 — Z 2= (a + bi) — (c + di) = (a — c)+ (b — d)i ; ③ 乘法：z 1 z 2= (a + bi) (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ; —人， z 1 a + bi fa + bi'fc — di \ ac + bd bc — ad④ 除法：Z1= a +bi = a +c =爭专+ ^7—ad i(c + di z 0).Z 2 c + di (c + di ]c — di) c + d c + d ''(2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1, Z 2,爲€ C,有Z 1+ Z 2= Z 2+ Z j , (Z 1+ Z 2)+ Z 3= Z 1+ (Z 2+ Z 3［小题体验］51. ________________________________________________________________________ （2019杭州高三质检）设复数z =—（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 _______________________-H-第2 —i虚部为__________ .解析：因为z=芒厂普廿=2+「所以复数z的实部为2,虚部为1.答案：2 12. (2019浙江名校联考)设(a+ i)(1 —bi) = 3- i(a, b€ R, i是虚数单位)，则a + b= _________ ; 若z= a + bi,则|z|= ________ .解析：因为(a+ i)(1 —bi) = (a + b) + (1 —ab)i = 3 —i,所以a+ b= 3,1 —ab=—1，贝U ab = 2,所以|z|= ,a2+ b2= a+ b 2—2ab= 9—4= 5.答案：3 53. (教材习题改编)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是1 + 3i,—i,2 + i，则点D对应的复数为______________ .答案：3+ 5i1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若Z1, z2€ C, z j+ z2= 0,就不能推出可=z2= 0; z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数Z1= 2—i, Z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若Z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数Nz2= (2 —i)(a+ 2i) = (2a+ 2)+ (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a =4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为____________解析：因为(2 + ai)i = —a + 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2= 0, 即卩a= 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018台州二模)复数(a2—3a+ 2)+ (a —1)i是纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. 1C. —2D. 1 或2解析：选A 由a2—3a+ 2= 0,得a = 1或2.因为复数是纯虚数，所以a^ 1，所以可知A .第一象限B .第二象限a = 2.2 — i2.已知i 为虚数单位，a € R,若 为纯虚数，则复数 z = 2a + 2i 的模等于（ ）a 十iA. 2B. 11C. 3D. 62 — i解析：选C 由题意得， -------- i = ti （t ^ 0）,a 十i…2 — i = — t + tai ,t =—2,解得*i1f=2，••• z = 2a + 2i = 1十 2i , |z|= 3，故选 C.3.（2019镇海中学模拟）已知i 是虚数单位，复数z = 2— i ,则z （1十2i ）的共轭复数为（ ）A . 2+ iB . 4十 3iC . 4— 3iD . — 4 — 3i解析：选C 因为z = 2— i ,所以z （1十2i ）= （2 — i ）（1十2i ）= 4十3i ,所以其共轭复数为 4 —3i.4.已知复数Z 1满足（Z 1— 2）（1十i ） = 1— i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2,且可Z 2是 实数，则Z 2= _____________ .解析：（Z 1— 2）（1 十 i ） = 1— i ? Z 1= 2— i. 设 z 2= a 十 2i , a € R,则 Z z 2= （2 — i ）（a + 2i ） = （2a + 2）十（4 — a ）i.T Z 1 Z 2 € R ,「. a = 4.• Z 2= 4+ 2i. 答案：4十2i［谨记通法］求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a 十bi （a , b € R ）的形式，再根据题意求解.考点二复数的几何意义基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019杭二模拟）在复平面内，复数 z = 古对应的点位于（ ）—1= 2,ta =— 1,C•第三象限 D •第四象限解析：选A z= i~^-i =〔；［ 1_ j = 2+*i,其在复平面内对应的点为1，~2，位于第一象限.2 .2i(2019河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z—j所对应的点关于实轴对称的点为A,贝U A对应的复数为()A.1+ i B. 1 —iC.—1 —i D. —1 + i解析：选B 因为z—I —2i 1 i . —i(1 —i) —1+ i，所以A 点坐标为(1, —1),1+ i 1 + i 1-i对应的复数为1-i.3. (2019浙江十校联盟适考)复数z= ^(i为虚数单位)的虚部为____________________ ，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_____________ 象限.解析：因为z^-2^ = 2^^一i一= 1 + i,所以z的虚部为1, z = 1- i，故复数z的共1 + i (1+ i］1 —i)轭复数在复平面内对应的点为(1, —1),位于第四象限.答案：1四［谨记通法］对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点Z及向量—O Z相互联系，即z= a + bi(a, b€R)? Z(a, b)? 1O Z.(2) 由于复数、点、向量之间建立了--- 对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019浙江名校协作体联考)汙=( )B. 10故选D.法二：1+ i -X署晁故选D.C. 102D. .5解析：选D ㈡=(3—i ]1—i L 2—4i=1 —2i1 + i 1+ i 1 —i2 '|1—2i|= .5,即〒；=5, A.222. （2019嘉兴模拟）设复数z = 1—i （i 是虚数单位），则匚+ z 等于（ ）A . 2B .— 2C . 2iD . — 2i解析：选 A * z =右+1-=1八1+「+1八2.B .4 4—— ——解析：选 B 由 一^ = 1— i ,得乙二亠—1 = 1 + 2i ,所以 z = 1 — 2i ,贝 U z-z = (1 + 2i)(11 + z 1 — i—2i) = 5,故选 B.4. (2018 全国卷n )1++2i =()1 — 2i4 3. 5— 5i 3 4.一—一 i5 5［谨记通法］复数代数形式运算问题的解题策略（1）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.⑵复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式.［提醒］在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. （1）（1 ±= ±2i ；匸=i ； ¥+；=— i ； (2) — b + ai = i(a + bi);4n4n +14n + 24n + 3(3) i = 1, i = i , i =— 1, i =— i , .4n4n +14n + 24n + 3*i + i + i + i = 0, n € N .一抓基础，多练小题做到眼疾手快z - z3. （2019浙江期初联考）已知i 是虚数单位, 4— 若复数z 满足1-i ，则z ・z =（）B .1+ 2i1 + 2i2 解析：选 D 1— 2i 1 — 2i 1 + 2i 5—3 + 4i 34 3+4i .1. （2019浙江9+ 1期中）已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z= 1+ i，则一"2复数z 为（）B.2—2i1 1C . -2+ 2i1 1以由条件可知z = 2 +尹故选A.a + i4. （2019金丽衢十二校联考）设a € R,若复数z = 帚（i 为虚数单位）的实部和虚部相等,贝H a= _______ , | z |= _________ .a + i = (a + i (1 — i = (a + 1 +(1 — a)1 + i=( 1+ i (1 — i = 2所以a + 1= 1 — a ，解得a = 0.1 1 — 1 1所以 z = 2+ 2i ，所以 I z|= 2 — 2答案：05.设复数 a + bi(a , b € R )的模为 衍，则(a + bi)(a — bi)= __________ .解析：T |a + bi|= "：Ja 2+ b 2=,•••(a + bi)(a — bi) = a 2 + b 2= 3.答案：3A . — 2B .— 1C . 0D . 2解析：选Aa + 2i a + 2i 1 — ia + 2 + 2 — ai 匚= =是纯虚数，所以a + 2= 0,解得a1 + i1 + i 1 — i 2a -k 2i2. （2019湖州模拟）已知复数 辛y （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a =（ ）=—2.z 和亡表示的点关于虚轴对称，则解析：选BB .— 2i D . — 23. （2018杭州名校协作体二模）在复平面内，复数1 1, —2 — 2i解析：选A因为1—= R1+ i)= (1 —叩 + i =1 1 一2+刁，其在复平面内对应的点为 2,2)z -z—保咼考，全练题型做到咼考达标i11. (2019杭州质检)设z = 百(i 为虚数单位)，则£厂( )A ~2 B. 2 1 C.2 D . 2|7|= 2.所以(2019宁波模拟)已知复数z 满足z(1+ i) = 2 — i ,贝U z 的虚部为( )2i解析：选B因为z =-—=1 — ii 1+ i1 — i 1 + i」+ 1i 2 2i ，2. 所以|z| =2解析：选C2 — 因为屮+ D = 2- i ，所以z = 1— iJ=彳—十=2■―予,所以其虚部为一23.定义运算=ad — be ,则符合条件—i 2i=0的复数z 的共轭复面内对应的点在(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限—if 1 + i 1 1 1 ——1解析：选 B 由题意得，2zi — [ — i(1 + i)] = 0，则 z = 材 =—2 —刁，二 z = — ~ +1 一2i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.2i4.已知复数 z = 1+-—，则 1 + z + z 2+-+ z 2 018 =()1 — i A . 1+ i B . 1 — iC . iD . 02 019解析：选 C •/ z = 1 +严=1 + 红宁=i 」1+ z + /+••• + z 2018=d 严=1 — i 21 — z2 0194X 504 31 — i 1 — i•==i.5. (2019杭州七校联考)已知复数z = 2+ ai(a € R ),|(— 1+ i)z|= 3电，则a 的值是( A . ±.5 B. 5C . 土 3 D. 3解析：选 A 法 : |(— 1 + i)z|= |( — 2 — a)+ (2 — a)i| =寸(—2 - a(+( 2 - a f =寸 2a ?+ 8 =3 2，则 a = ± 5,故选 A.法二：|(— 1+ i)z|= |— 1+ i| |z|= , 2 • 22+ a 2= 3 ,2,则 a = 土, 5，故选 A.6. (2018嘉兴4月)若复数z 满足(3 + i)z = 2 — i(i 为虚数单位)，贝U z = ____________ ,|z| = 解析：竺=〔+ 叮‘ =2 +讦严—a =与+ 曾i ,解析： 因为(3 + i)z = 2— i ,所以 z = 2^ = 2— i 3— i =匸—'，所以 |z| =¥•3 + i (3+ i]3—i) 2 2答案： 1 — i 22 2z + 2z — 2解析： z + 2 — 2 — 2i |— 2— 2i| 2 2由 c= i 知，z + 2 = zi — 2i ,即卩 z = ，所以 |z|=匕一= 2.z — 2 1 — i |1 — i| 2答案： 21 + ai2— i••• 口为实数, 2 — i1 + 2a5=0, a =— 12. 所以 1 + ai 2— i 12.=i （其中i 是虚数单位），则忆|=7•已知复数z 满足 1 + a i8.已知a € R,若二一7为实数，则 a =2— i9.已知复数z= x+ yi,且|z—2|= 3，则y的最大值为解析：•/ |z—2|= . x —2 2+ 3,2 2•••(X —2)2+ y2= 3.由图可知；max= ~^= 3.答案：3I —1 + i 2 + i10.计算：(1)⑵1+ 2宀3口；(2) 2 + i ；B .解析：选 B g I = 3 2=— i(1 + 2i)= 2- i.故选 B.1 + i (1+ i (1 — i ) 2. (2018湖丽衢三地期末联考)已知a , b € R, i 是虚数单位，Z 1= a + i , z 2= b — i ,若可z 2 是纯虚数，则 ab = 纯虚数，所以 ab =— 1.忆1 z 2| =寸(b - a $ = \|^a 2+ b 2— 2ab = y/a 2+ b 2+ 2— 2ab + 2 = 2,当 且仅当a =— b 时，等号成立.答案：—1 21 — i 1+ i ⑶k +1— i 2；(4) 1— 3i3+ i'解: (1) =— 3+ i =-1-3i.—3+ 4i + 3— 3i2+ i1 — i 1+ i⑶ 7+T + 1—= 2i — 2i — 21— 3i3 + i — i (4)&+厅=討『=—i = —L J —L=3+ i = 4厂=—1. i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二模)已知i 是虚数单位，则-1+2L 1—1 =() 1+ i ,|z 1 Z 21的最小值为 __________ . 解析：因为 Z 1 = a + i , z 2 = b — i ，所以 Z 1 z 2= (a + i)( b —i) = ab + 1 + (b —a)i.Z z3.复数Z1 =琵+ (10 - a2)i, Z2 =亡+ (2a - 5)i,若N+ Z2是实数，求实数a的值._ 3 2解：z 1+ z2= + (a2—10)i + + (2a—5)ia+5 1 —aa —13 计(a+ 5I a—1)2(a2+ 2a—15)i.Z 1+ Z2是实数,a? + 2a —15= 0, 解得a = —5或a = 3.•/ a+ 5丰 0,a z —5,故a= 3.[(a2—10) + (2a —5)] i。
2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4_4数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版
(2)设复数 z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则 y≥x 的概率为( ) A．34＋21π B．12＋1π C．12－1π D．14－21π 解析 (2)由|z|≤1 知复数 z 在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0) 为圆心，1 为半径的圆及其内部，如图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且 满足 y≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足 y≥x 的概
【变式训练】
→ (1)如图，若向量OZ对应的复数为
z，则
z＋4z表示的复
数为( )
A．1＋3i B．－3－i
C．3－i D．3＋i
解析 (1)由题图可得 Z(1，－1)，即 z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝ 1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故选 D。
)
A．2－i B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
解析 2－5 i2＝2－52i＋2＋i i2＝(2＋i)2＝3＋4i，所以其共轭复数是 3－ 4i。故选 C。
答案 C
二、走近高考 3．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i
必考部分
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四节 数系的扩充与复数的引入
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
微知识·小题练
教材回扣 基础自测
1．复数的有关概念
(1)复数的概念： 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的实部 和 虚部。
若 b＝0 ，则 a＋bi 为实数；若 b≠0，则 a＋bi 为虚数；若 a＝0 且 b≠0 ，
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．
2020版高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第26讲数系的扩充与复数的引入课件文
C．3
D．－3
解析 a2＋ －ii＝2a－1＋5a＋2i，由题意知 2a－1＝a＋2，解
得 a＝3.
5．[考法三]设(1＋i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则|x＋
yi|＝( B ) A．1
B. 2
C. 3
D．2
解析 因为 x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，
所以xy＝ ＝11， ， |x＋yi|＝|1＋i|＝ 2.故选 B.
A．－1＋3i
B．1＋3i
C．1－3i
D．－1－3i
解析 2z－z2＝1＋2 i－(1＋i)2＝1＋21i－1－i i－2i＝1－i－2i＝
1－3i，其共轭复数是 1＋3i.故选 B.
3．[考法二]已知复数 z 满足(2＋i)z＝1＋i，则 z 在复平面
内对应的点在( A )
A．第一象限
【例 2】 (1)(2018·北京卷)在复平面内，复数1－1 i的共轭复
数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点
在第二象限，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔__a_＝___c且___b_＝__d____(a，b，c，
d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔___a_＝__c_且__b_＝__－___d__(a，
b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记 作_|_z_| _或___|a_＋__b_i_| __，即|z|＝|a＋bi|＝_____a_2_＋__b_2___.
2020届高考数学一轮复习 第4单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案 理
第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示,的说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算(1)律(2)a-b=3.向量的共线定理向量a (a ≠0)与b 共线,当且仅当有唯一的实数λ,使 . 常用结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,即+++…+=.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.2.若P 为线段AB 的中点,O 为平面内任意一点,则=(+).3.若A ,B ,C 是平面内不共线的三点,则++=0⇔P 为△ABC 的重心.4.在△ABC 中,AD ,BE ,CF 分别为三角形三边上的中线,它们交于点G (如图4-24-1所示),易知G 为△ABC 的重心,则有如下结论: (1)++=0;(2)=(+);(3)=(+),=(+).图4-24-15.若=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.题组一常识题1.[教材改编]-+-+++= .2.[教材改编]如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)=;(2)与共线;(3)与是相反向量;(4)=||.其中错误结论的序号是.图4-24-23.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,=a,=b,则= .4.[教材改编]向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= .题组二常错题◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.5.给出下列结论:①+=2;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形ABCD满足=且||=||,则四边形ABCD的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使+=0成立的是 ()A.a=2bB.a∥bC.a=--bD.a⊥b(2)给出下列说法:①若|a|=|b|,则a=b;②若a∥b,b∥c,则a∥c;③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;④若与共线,则A,B,C三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是.[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC 上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是()A.=B.=C.=D.=图4-24-3(2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()A.①④B.③④C.②③D.①②探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)[2017·南昌重点学校模拟]已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC的面积之比为()A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶1(2)已知△ABC,若|+|=|-|,则△ABC的形状为.[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)[2017·西宁一模]如图4-24-4所示,图4-24-4在△ABC中,点D在BC边上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则=()A.+B.-C.+D.-(2)[2017·长春二模]在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.[总结反思] 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4[2017·运城三模]在△ABC中,=,P是直线BN上一点,且=m+,则实数m 的值为()A.-2B.-4C.1D.4[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.2.【考向1】[2017·长沙长郡中学三模]已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2++=0,则()A.=B.=2C.=3D.2=3.【考向2】在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上,且AF=2DF,设=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a-bD.a-b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=,则|a+b|= .5.【考向3】[2017·山东滨州二模]如图4-24-5所示,在△ABC中,O为BC的中点,过点O 的直线分别交AB,AC所在直线于点M,N.若=m,=n,则m+n= .图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+λe2共线,则λ= ()A.-B.-2C.D.2[总结反思] 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=λb(a≠0),则a与b共线:(1)当λ>0时,a与b同向;(2)当λ<0时,a与b反向.考向2三点共线的问题6 (1)已知a,b是不共线的向量,=a+5b,=-3a+6b,=4a-b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线D.A,C,D三点共线(2)已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则λ=()A.-1B.2C.-2或1D.-1或2[总结反思] (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.根据A,B,C三点共线求参数问题,只需将问题转化为=λ,再利用对应系数相等列出方程组,进而解出系数.(2)三点共线的一个常用结论:A,B,C三点共线⇔存在实数λ,μ,对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足=λ+μ(λ+μ=1).强化演练1.【考向1】已知e1,e2是不共线的向量,则下列各组向量中是共线向量的有()①a=5e1,b=3e1;②a=3e1-2e2,b=-e1+e2;③a=e1+e2,b=-2e1+2e2.A.①②B.①③C.②③D.①②③2.【考向1】[2017·景德镇模拟]已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在射线AB上3.【考向1】[2017·哈尔滨三中四模]设e1,e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,若a与b 共线,则实数k=()A.0B.-1C.-2D.±14.【考向2】已知O为△ABC内一点,且=(+),=t,若B,O,D三点共线,则t=()A. B. C. D.第25讲平面向量基本定理及坐标表示课前双击巩固1.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数λ1,λ2使.其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组.2.平面向量的坐标运算(1)平面向量的坐标运算(2)向量的坐标求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||= .3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔.常用结论1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为,;已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为,.题组一常识题1.[教材改编]已知向量=(-5,2),点P(2,3),则点Q的坐标为.2.[教材改编]如图4-25-1,已知向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a用基底e1,e2表示为.图4-25-13.[教材改编]在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(3,1),且=3,则向量= .4.[教材改编]已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-y)e1+(2x+y)e2=6e1+3e2,则x+y= .题组二常错题◆索引:平面向量基本定理的前提是基底不能共线;由点的坐标求向量坐标时忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢.5.给出下列三个向量:a=(-2,3),b=1,-,c=(-1,1).在这三个向量中任意取两个作为一组,能构成基底的组数为.6.已知A(-5,8),B(7,3),则与向量共线的单位向量为.7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则m= .课堂考点探究探究点一平面向量的基本定理1 (1)已知向量a=(3,4),若存在实数x,y,使得a=xe1+ye2,则e1,e2可以是()A.e1=(0,0),e2=(-1,2)B.e1=(-1,3),e2=(-2,6)C.e1=(-1,2),e2=(3,-1)D.e1=,e2=(1,-2)(2)[2017·珠海二模]已知D为△ABC所在平面内一点,且=3+4,若点E为直线BC上一点,且=λ,则λ的值为()A.4B.5C.6D.7[总结反思] (1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.式题在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,BC的中点,若=λ+μ其中λ,μ∈R,则λ+μ=()A. B.2 C. D.1探究点二平面向量的坐标运算2 (1)[2017·鹰潭一中期中]已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=()A.(-2,-1)B.(-1,2)C.(-1,0)D.(-2,1)(2)已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为()A.(-14,16)B.(22,-11)C.(6,1)D.(2,4)[总结反思] (1)利用向量的坐标运算解题,首先利用加、减、数乘运算法则进行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,转化为方程(组)进行求解.(2)向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.式题 (1)[2018·石家庄二中模拟]已知向量a=(3,t),b=(-1,2),若存在非零实数λ,使得a=λ(a+b),则t=()A.6B.-6C.-D.(2)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=()A.B.C.D.探究点三平面向量共线的坐标表示3 (1)设k∈R,已知平面向量a=(-3,1),b=(-7,3),则下列向量中与2a-b一定不共线的向量是()A.c=(k,k)B.c=(-k,-k)C.c=(k2+1,k2+1)D.c=(k2-1,k2-1)(2)[2017·日照二模]已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2λ-1,λ+1),若∥m,则实数λ等于()A. B.-C. D.-[总结反思] (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b 的充要条件是x1y2-x2y1=0;②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.式题 (1)若A(-2,3),B(3,-2),C,m三点共线,则m=()A. B.-C.-2 D.2(2)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若μa+b与a-2b平行,则μ=()A.-2B.2C.-D.第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例课前双击巩固1.平面向量的数量积(1)概念已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b= ,并规定零向量与任一向量的数量积为,即.(2)几何意义①向量的投影:叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.②向量数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与的乘积.(3)向量的夹角已知两个向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b 的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作.2.平面向量数量积的运算律已知向量a,b,c和实数λ.①交换律:;②数乘结合律:(λa)·b= = (λ∈R);③分配律:(a+b)·c= .3.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.①e·a=a·e= .②a⊥b⇔.③当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .特别地,a·a= 或|a|= .④cos θ= .⑤|a·b| |a||b|.4.平面向量数量积的有关结论已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论:(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为a与b夹角为π时不成立).题组一常识题1.[教材改编]已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a·(a-b)= .2.[教材改编]已知|a|=,|b|=,a·b=,则向量a与b的夹角为.3.[教材改编]已知=1,=2,且向量a与b的夹角为120°,则|2a-b|= .4.[教材改编]已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则λ= .5.[教材改编]在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题◆索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= .7.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为.8.若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)[2017·长沙模拟]已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若a·b=3,则x= .(2)[2017·江西重点中学联考]在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=2,则·= .[总结反思] 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)[2017·资阳期末]已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R.若·=-3,则λ=()A. B.-C. D.-(2)[2017·襄阳四中月考]已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则a·b= . 探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)[2017·芜湖、马鞍山联考]已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若a∥b,则|a-2b|=()A.45B.90C.3D.3(2)[2017·河南新乡三模]已知向量,满足||=||=2,·=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+μ=1,则||的最小值为()A.1B.C.D.[总结反思] (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:①a2=a·a=|a|2或|a|=;②|a±b|==;③若a=(x,y),则|a|=.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()A.a⊥bB.a∥bC.a⊥(a+b)D.a⊥(a-b)(2)[2017·重庆外国语学校月考]已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)⊥b,则m=()A.-9B.9C.6D.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形ABCD中,AB=4,BC=CD=2,若E,F分别是BC,AB上的点,且满足==λ,当·=0时,则λ的值为.图4-26-1[总结反思] (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明a⊥b,则只需证明a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明a·b=0.(3)数量积的运算a·b=0⇔a⊥b是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.考向3平面向量的夹角4 (1)[2017·北京朝阳区期末]已知平面向量a=(1,0),b=-,,则a与a+b的夹角为()A. B.C.D.(2)已知向量a=(m,3),b=(,1),若向量a,b的夹角为30°,则实数m= .(3)[2017·四川绵阳中学模拟]平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m= .[总结反思] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0°与180°;求角时,注意向量夹角的取值范围是[0,π];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos θ=求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足=2,=3,向量a与b的夹角为60°,则|a-b|=()A.B.19C.D.72.【考向3】已知向量a=,,b=(,-1),则a与b的夹角为()A. B.C. D.3.【考向3】[2018·益阳调研]已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,),记向量a,b 的夹角为θ,则tan θ= .4.【考向2】[2018·德州期中]已知向量与的夹角为60°,且||=2,||=1,若=λ+,且⊥,则实数λ的值是.5.【考向1】已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.6.【考向3】△ABC的外接圆的半径为1,圆心为O,且2++=0,||=||,则·= .探究点三平面向量与三角函数的综合5 [2018·洛阳期中]已知向量a=(sin x,-),b=(1,cos x).(1)若a⊥b,求tan 2x的值;(2)令f(x)=a·b,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心.[总结反思] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题已知向量a=(sin x,cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x∈[0,π].(1)若(a+b)∥c,求x的值;(2)若a·b=,求sin x+的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+b i为实数;若,则a+b i为虚数;若,则a+b i为纯虚数.(2)复数相等:a+b i=c+d i⇔ (a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+b i与c+d i共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复数的模:向量=(a,b)的模r叫作复数z=a+b i(a,b∈R)的模,记作或,即|z|=|a+b i|= .2.复数的几何意义(1)复数z=a+b i←复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+b i(a,b∈R)←平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)= ;②减法:z1-z2=(a+b i)-(c+d i)= ;③乘法:z1·z2=(a+b i)·(c+d i)= ;④除法:=== (c+d i≠0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= ,(z1+z2)+z3= .常用结论1.(1±i)2=±2i,=i,=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).3.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|z n|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是-=所对应的复数.题组一常识题1.[教材改编]若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.[教材改编]复数z=(x+1)+(x-2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.[教材改编]已知i是虚数单位,则复数= .题组二常错题◆索引:将复数a+b i(a,b∈R)的虚部误认为是b i;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z= .6.若复数z满足=i2018+i2019(i为虚数单位),则z= .课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)[2017·河南六校联考]设复数z=(i为虚数单位),则z的虚部是 ()A.-1B.1C.-iD.i(2)若复数(b∈R,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b= .[总结反思] 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)[2017·烟台一模]设i是虚数单位,若复数a+(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2(2)已知复数z=是纯虚数(其中i为虚数单位,a∈R),则z的虚部为()A.1B.-1C.iD.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)[2017·保定一模]在复平面内,若O(0,0),A(2,-1),B(0,3),则在▱OACB中,点C所对应的复数为()A.2+2iB.2-2iC.1+iD.1-i[总结反思] (1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+b i(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标,对于复数z=a+b i(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)[2017·赣州二模]已知复数z满足(1-i)2·z=1+2i,则复数在复平面内对应的点为()A.B.C.D.(2)[2017·南宁二模]复数(a∈R)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()A.a<0B.0<a<1C.a>1D.a<-1探究点三复数的代数运算3 (1)[2017·全国卷Ⅱ] (1+i)(2+i)= ()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i(2)若复数(1+m i)(3+i)(i是虚数单位,m∈R)是纯虚数,则=()A.1B.2C.3D.4[总结反思] (1)把i看作一个字母,复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算;(2)在只含有z的方程中,z类似于代数方程中的x,可直接求解;(3)在含有z,,|z|中至少两个的复数方程中,可设z=a+b i,a,b∈R,变换方程,利用两复数相等的充要条件得出关于a,b的方程组,求出a,b,从而得出复数z.式题 (1)[2017·合肥质检]已知i为虚数单位,则=()A. B.C.D.(2)[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. B.C.D.2第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入1.编写意图本单元内容是高中数学中的工具性知识,在近几年高考中主要考查三个方面:一是平面向量本身知识的基础题,多以选择题、填空题的形式出现,难度不大;二是以向量作为工具,考查与其他知识点的交汇与整合,以解答题为主;三是复数的概念及其运算,大多为选择题,较为简单.因此,编写时主要考虑以下几方面:(1)每课时的例题、习题以巩固基础知识为主,重点是引导学生用向量知识解决有关长度、夹角、垂直等问题,掌握应用向量知识解决这类问题的方法;(2)适当配备平面向量综合问题的“新热点”题型,其形式为向量与其他知识的综合,但严格控制难度,用于加强学生对各个知识点之间联系的渗透,构建知识网络,提高综合应用能力;(3)复数考查基本运算,要掌握常规方法和常规运算.2.教学建议本单元的内容着重体现其应用性、工具性,复习中应注意下面几点:(1)向量的运算在高考中一定会有考查,并且难度较大,在复习中要注意对该部分知识进行拓展和提升;(2)向量的数量积在高考中一般会考查一道选择题或者填空题,在大题中也有涉及,但是考查难度不大,注意常规方法和常规运算的训练;(3)复数在高考中一般位于前几道题的位置,难度不大,注意基本概念的理解和基本运算的训练.3.课时安排本单元共4讲和一个小题必刷卷(七),每讲建议1课时完成,小题必刷卷(七)课外完成,共需4课时.第24讲平面向量的概念及其线性运算考试说明 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2015·全国卷Ⅰ]设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-[解析] A由题意知=+=+=+(-)=-+.2.[2015·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= . [答案][解析] 因为λa+b与a+2b平行,所以存在唯一实数t,使得λa+b=t(a+2b),所以解得λ=t=.■ [2016-2015]其他省份类似高考真题[2016·北京卷]设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析] D若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为菱形,a+b,a-b表示的是该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立,从而不是充分条件;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边组成的平行四边形为矩形,矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,从而不是必要条件.故选D.【课前双基巩固】知识聚焦1.大小方向大小长度|a| || 001 1相同长度相同长度相反-a 不确定的任意的平行2.和三角形平行四边形b+a a+(b+c)相反向量三角形a+(-b)向量数乘λa |λ||a| 相同相反0λa+λb λ1a+λ2a3.b=λa对点演练1.[解析] -+-+++=(++++)-(+)=.2.(4)[解析] 根据向量的概念可知(4)错误.3.(a+b)[解析] ∵+=,+=,=-,∴=(+)=(a+b).4.2[解析] 因为e1与e2不共线,且a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,所以存在μ∈R,使e1-e2=μ(-2e1+λe2)=-2μe1+μλe2,得所以λ=2.5.②[解析] 对于①,由于与是相反向量,所以+=0,①错误;对于②,由于a∥b且|a|>|b|>0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,②正确;对于③,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以③错误.6.等腰梯形[解析] =表示与共线,但||≠||,所以四边形ABCD是梯形,又||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.7.[2,6][解析] 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b 不共线时,2<|a-b|<6,所以|a-b|的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b 方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)将已知等式整理成a=λb的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)C(2)①②[解析] (1)由+=0得=-≠0,即a=-·|a|≠0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使+=0成立.选项A中向量a与b的方向相同,选项B中向量a与b共线,方向相同或相反,选项C中向量a与b的方向相反,选项D中向量a与b互相垂直,故选C.(2)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②不正确.当b=0时,a∥b,b∥c,但a与c不一定平行.③正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.④正确.因为与共线,且与有公共点B,所以A,B,C三点在同一条直线上.变式题(1)D(2)A[解析] (1)A中,与的长度相等,但方向不同,所以A错误;B中,与的长度相等,但方向不同,所以B错误;C中,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也相同,即=.故选D.(2)对于①,因为=,所以||=||且与共线,又因为A,B,C,D是不共线的四个点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则与共线且||=||,所以=,故①正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误.向量与互为相反向量,故③错误.对于④,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故④正确.故选A.例2[思路点拨] (1)首先根据条件4=+2构造平行四边形ABEF,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量,为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定△ABC的形状.(1)D(2)直角三角形[解析] (1)如图所示,延长AC到点F,使AC=CF,以AB,AF为邻边作平行四边形ABEF,对角线AE交BC于点D,故4=+2=,即点O在AE上,则△AOB与△AOC的高分别为B,C到AE的距离.由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB,且相似比为1∶2,即CD∶BD=1∶2,又因为△AOB,△AOC的底边均为AO,高的比等于BD∶DC=2∶1,所以△AOB与△AOC的面积之比为2∶1.(2)由|+|=|-|可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故⊥,即△ABC为直角三角形.例3[思路点拨] (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量,然后利用三角形法则表示出.(2)由=+确定点D的位置,从而确定两三角形面积的关系. (1)B(2)B[解析] (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得=,=+,=,=+,则=(+),所以=+=++,所以=++,所以=+=+++=+=-,故选B.(2)由=+得点D在平行于AB的中位线上,从而有S△ABD=S△ABC,又S△ACD=S△ABC,所以S△BCD=1--S△ABC=S△ABC,所以=.故选B.例4[思路点拨] 利用P是直线BN上一点,可设=n,然后用m,n及,表示出向量,对照已知条件即可求得m的值.A[解析] ∵=,∴=.∵P是直线BN上一点,∴设=n,则-=n(-),即=(1-n)+n=(1-n)+=m+,则n=3,所以m=1-n=-2.故选A.强化演练1.A[解析] +=(-)+(+)=+=+=(+)=,故选A.2.A[解析] 由题意得+=2,又+=-2=2,所以=,故选A.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：5.4 数系的扩充与复数的引入
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(3)复数加、减法的几何意义 若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为两邻边的平行四边形的对角线������������所对应的复数;复数 z1-z2 是 ������������1 − ������������2 = ������2 ������1 所对应的复数.
i
-11考点1
考点2
考点3
解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数 以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先 把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
-12考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)(2018衡水中学押题二,2)若复数z=x+yi(x,y∈R)满 足(1+z)i=3-i,则x+y的值为 ( C ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
备 注 实轴上的点都表示实数; 除原点外,虚轴上的点都 表示纯虚数,各象限内的 点都表示虚数 |z|=|a+bi|= ������2 + ������2 (a,b ∈R)
随堂巩固
知识梳理
考点自诊Βιβλιοθήκη -4-2.复数的几何意义
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
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3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)I ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)I ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)I ;
2020高考数学文科大一轮复习第四章平面向量_数系的扩充与复数的引入_ _课时作业 (2)
课时作业28 平面向量数量积的应用一、选择题1．(2019·株洲模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( C )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 解析：∵P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．3．已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin2θ＋6cos 2θ的值为( B )A.12 B ．2 C ．22D ．－2解析：由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2.故选B.4．(2019·安徽江南十校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN →·AO →的值为( D )A ．8B ．10C ．18D ．9解析：由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO →⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC →·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D. 5．(2019·广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，则|a －k b |的最小值为( B )A.34B.32C ．1D.32解析：∵两个单位向量a ，b 的夹角为120°， ∴|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12， ∴|a －k b |＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2＝1＋k ＋k 2＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122＋34，∵k ∈R ，∴当k ＝－12时，|a －k b |取得最小值32，故选B.6．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( C )A ．4B ．5C ．2D ．3解析：∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2.∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4，∴cos A ＝－22，∵0<A <π，∴sin A ＝22，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.7．(2018·天津卷) 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( A )A.2116B.32C.2516D ．3解析：解法1：如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]， ∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.解法2：令DE →＝λDC →(0≤λ≤1)，由已知可得DC ＝3， ∵AE →＝AD →＋λDC →，∴BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋AD →＋λDC →，∴AE →·BE →＝(AD →＋λDC →)·(BA →＋AD →＋λDC →)＝AD →·BA →＋|AD →|2＋λDC →·BA →＋λ2|DC →|2＝3λ2－32λ＋32.当λ＝－－322×3＝14时，AE →·BE →取得最小值2116.故选A.二、填空题8．已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是1 2.解析：如图所示，取AC 的中点D ， ∴OA →＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点， ∴面积比为高之比． 即S △AOC S △ABC＝DO BD ＝12. 9．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是2π3.解析：由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12.又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.10．已知△ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是－1.解析：解法1：如图，以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,2)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x,2－y )，PB →＋PC →＝(2－2x,2－2y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝－x (2－2x )－y (2－2y )＝2(x －12)2＋2(y －12)2－1≥－1(当且仅当x ＝y ＝12时等号成立)，∴P A →·(PB →＋PC →)的最小值为－1.解法2：P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(P A →＋AB →＋P A →＋AC →)＝P A →·(2P A →＋AB →＋AC →)． 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·(P A →＋AD →)＝2P A →·PD →， ∵－2|P A →|·|PD →|≤2P A →·PD →≤2|P A →|·|PD →|，∴(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →|·|PD →|，此时点P 在线段AD 上(异于A ，D )，设P A →＝λAD →(－1<λ<0)，则|P A →|＝|λAD →|＝－λ·2，|PD →|＝2＋2λ，∴－2|P A →|·|PD →|＝4(λ2＋λ＋14－14)＝4(λ＋12)2－1，∴当λ＝－12时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值－1.三、解答题11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0. ① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b >0，∴y >0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B ，2cos 2C 2－1，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0. (1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)由题意知m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， 则c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0. 在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，整理得sin C cos B ＋sin B cos C －2sin A cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝2sin A cos C . 故sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， ∴2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， ∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.13．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则(D )A ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心B ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心 C ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心D ．动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 解析：由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ|AB →||BC →|cos (180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C|AC →|cos C ＝0，所以AP →⊥BC →，则动点P的轨迹一定通过△ABC 的垂心．14．已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是 3.解析：∵|a |＝|b |＝1，且a ·b ＝12，当c ＝x a ＋y b 时，c 2＝x 2a 2＋2xy a ·b ＋y 2b 2＝x 2＋xy ＋y 2＝(x ＋y )2－xy ； 又x >0，y >0且x ＋y ＝2，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝1，当且仅当x ＝y ＝1时取“＝”，∴c 2≥(x ＋y )2－(x ＋y 2)2＝22－1＝3，∴|c |的最小值是 3. 尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·重庆市质量调研)已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，I 是△ABC 的内心，P 是△IBC 内部(不含边界)的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( A )A ．(23，1)B ．(23，2)C ．(712，1)D ．(2,3)解析：以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0,0)，A (3,0)，C (0,4)．设△ABC 的内切圆的半径为r ，因为I 是△ABC 的内心，所以(5＋3＋4)×r ＝4×3，解得r ＝1，所以I (1,1)．设P (x ，y )，因为点P 在△IBC 内部(不含边界)，所以0<x <1.因为AB →＝(－3,0)，AC →＝(－3,4)，AP →＝(x －3，y )，且AP →＝λAB →＋μAC →，所以⎩⎨⎧ x －3＝－3λ－3μ，y ＝4μ，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－13x －14y ，μ＝14y ，所以λ＋μ＝1－13x ，又0<x <1，所以λ＋μ∈(23，1)，故选A.16．(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( A ) A.3－1 B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3解析：解法1：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1,0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.解法2：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.。
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件数系的扩充与复数的引入
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[题组训练]
1．(2019·山西八校第一次联考)已知 a，b∈R ，i 为虚数单位，
若 3－4i3＝2a－＋bii，则 a＋b 等于
()
A．－9
B．5
C．13
D．9
解析：由 3－4i3＝2a－＋bii，得 3＋4i＝2a－＋bii，即(a＋i)(3＋4i)＝2
－
bi
，
(3a
－
4)
＋
[答案] C
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[解题技法] 对复数几何意义的再理解 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量―O→Z 相互联系，即 z＝a ＋bi(a，b∈R )⇔Z(a，b)⇔―O→Z . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此 可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结 合的方法，使问题的解决更加直观．
④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝((ac＋＋dbii))((cc－－ddii))＝ acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i (c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
设 z1，z2，z3∈C ，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1
；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
第十二 章
复数、算法、推理与证明
全国卷5年考情图解
高考命题规律把握 1.复数主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及 复数的加、减、乘、除四则运算．运算是高考的热点，一 般为选择题． 2.循环结构和条件结构是高考考查的热点，题型以选择题为 主，属容易题． 3.高考对演绎推理、直接证明与间接证明的考查，单独命题 的可能性不大，但其思想会渗透到多题之中.
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2020版高考数学一轮复习课时规范练27数系的扩充与复数的引入理北师大版4199
课时规范练27 数系的扩充与复数的引入基础巩固组1.已知复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+∞)D.(-∞,-3)2.(2018全国1,文2)设z=+2i,则|z|=()A.0B.C.1D.3.(2018河北衡水中学金卷一模,2)已知i为虚数单位,复数z=,则z的实部与虚部之差为()A.-B.C.-D.4.(2018衡水中学金卷十模,2)已知复数z的共轭复数为,若||=4,则z·=()A.16B.2C.4D.±25.(2018山东济宁一模文,2)已知复数z=的实部与虚部的和为1,则实数a的值为()A.0B.1C.2D.76.(2018湖南长郡中学一模,1)已知复数z1=2-i,z2=m+i(m∈R),若z1·z2为纯虚数,则z1·z2=()A. B.C.-2iD.-27.(2018湖南长郡中学三模,4)已知复数z满足z·i=1+i(i为虚数单位),则z的共轭复数=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i8.(2018湖南长郡中学一模,1)若i为虚数单位,复数z满足z(1+i)=|1-i|+i,则z的虚部为()A. B.-1C.iD.9.设z=1+i,则+z2等于()A.1+iB.-1+iC.-iD.-1-i10.(2018江苏南京、盐城一模,2)设复数z=a+i(a∈R,i为虚数单位),若(1+i)·z为纯虚数,则a的值为.11.(2018江苏溧阳调研,1)已知i为虚数单位,复数z=,则复数z的实部是.12.已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.综合提升组13.(2018河南郑州三模,2)若复数z满足z(2+i)=1+7i,则|z|=()A. B.2C. D.214.(2018湖南长郡中学四模,2)若复数z满足z(-1+2i)=|1+3i|2(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.若复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.16.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是.创新应用组17.(2018河北衡水中学押题二,2)设复数z满足=2-i,则=()A. B.C. D.参考答案课时规范练27 数系的扩充与复数的引入1.A要使复数z在复平面内对应的点在第四象限,应满足解得-3<m<1,故选A.2.C因为z=+2i=+2i=i,所以|z|=1.3.B z====-i,故z的实部与虚部之差为-=,故选B.4.A设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i,∵||===4,∴z·=(a+b i)·(a-b i)=a2+b2=42=16,故选A.5.C因为z=+=+=+i,所以+=1,解得a=2,故选C.6.A因为z1·z2为纯虚数,故得到z1·z2=(2-i)(m+i)=1+2m+(2-m)i,由2m+1=0且2-m≠0,得m=-.故z1·z2=,故选A.7.A因为z·i=1+i,所以z·i(-i)=(1+i)(-i),即z=1-i,z的共轭复数=1+i,故选A.8.D z===+i,故z的虚部为,故选D.9.A+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i.10.1∵(1+i)·z=(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i为纯虚数,∴∴a=1.11.-1由题意可得:z=====-1+2i,则复数的实部是-1.12.-2∵==-i为实数,∴-=0,即a=-2.13.A∵z===,∴|z|==.14.C因为z===-=-2-4i,所以该复数在复平面内对应的点位于第三象限,故选C.15.4===-i.∵复数是纯虚数,∴解得a=4.16. 由复数相等的充要条件可得化简得4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=4-.因为sin θ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sin θ∈,故λ∈.17.C由题意可得:1+z=(2-i)(1+i)=3+i,∴z=2+i,===.。
【2020】高考数学一轮复习课时规范练27数系的扩充与复数的引入理新人教B版
8.设z=1+i,则 +z2等于()
A.1+i
B.-1+i
C.-i
D.-1-i
9.(20xx江苏,2)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.
10.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是.
11.(20xx江苏无锡一模,2)若复数z满足z+i= ,其中i为虚数单位,则|z|=.
=4 .
因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈ ,故λ∈ .
17.52由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,
则 解得
则a2+b2=5,ab=2.
18.1由题意得 =(3,-4), =(-1,2), =(1,-1).
∵ =λ +μ ,
∴(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
所以m=- ,故选C.
8.A +z2= +(1+i)2= +2i= +2i=1-i+2i=1+i.
9. 由已知得z=(1+i)(1+2i)=-1+3i,故|z|= ,答案为 .
10.-1(a+i)2=a2-1+2ai.
由题意知a2-1=0,且2a<0,解得a=-1.
11. 由z+i= ,得z= -i= -i=1-2i-i=1-3i,
故|z|= .
12.-2∵ i为实数,
∴- =0,即a=-2.
13.C∵iz= ,∴z=
备考2020年高考数学一轮专题：第26讲 数系的扩充与复数的引入
备考2020年高考数学一轮专题：第26讲数系的扩充与复数的引入一、选择题（共11题；共22分）1. ( 2分) i为虚数单位，（）A. iB.C. 1D.2. ( 2分) 若复数，则复数z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ( 2分) 若复数满足,则的虚部为( )A. B. C. D.4. ( 2分) 已知复数满足，则( )A. B. C. 1 D. 55. ( 2分) 已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（）A. 2B.C. 5D.6. ( 2分) 已知其中为虚数单位，则（）A. -1B. 1C. 2D. 37. ( 2分) 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A. （–∞，1）B. （–∞，–1）C. （1，+∞）D. （–1，+∞）8. ( 2分) 若复数是实数（i为虚数单位），则实数的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. ( 2分) （2018•浙江）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是（）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i10. ( 2分) （2018•卷Ⅱ）( )A. B. C. D.11. ( 2分) 若，，则（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）12. ( 1分) 若复数( ，是虚数单位)是纯虚数，则a＝________．13. ( 1分) 已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z＝________．14. ( 1分) （2018•天津）i是虚数单位，复数________15. ( 1分) 已知是虚数单位，复数满足，则________．16. ( 1分) 若复数,其中是虚数单位,则________.17. ( 1分) 若复数z满足|z－i|≤ (i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．18. ( 1分) 若，其中都是实数，是虚数单位，则________.三、解答题（共5题；共35分）19. ( 10分) 已知是复数，与均为实数.（1）求复数；（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.20. ( 5分) 已知复数满足: 求的值.21. ( 5分) 已知复数, , 且为纯虚数,求复数.22. ( 5分) 已知复数在复平面上对应的点在第二象限，且满足.（Ⅰ）求复数；（Ⅱ）设，，在复平面上对应点分别为，，，求的面积.23. ( 10分) 已知复数，（为实数，为虚数单位），且是纯虚数．（1）求复数，；（2）求的共轭复数．答案解析部分一、选择题1.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】，故答案为：D．【分析】本题主要考查复数代数形式的混合运算，属基础题型。
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第27讲 数系的扩充与复数的引入
课时达标
一、选择题
1．(2018·全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2i
D ．－3＋2i
D 解析 依题意得i(2＋3i)＝2i ＋3i 2
＝－3＋2i.故选D ．
2．若复数z 满足方程z ＋2＝z i(其中i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1＋i
D ．1－i
B 解析 因为z ＋2＝z i ，所以z (1－i)＝－2，所以z ＝－21－i ＝－21＋i 2＝－1－i ，
所以z ＝－1＋i.故选B ．
3．i 是虚数单位，若2＋i
1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b )的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．12
C 解析 因为2＋i
1－i 1＋i
1－i ＝3－i 2＝32－1
2
i ＝a ＋b i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝32，
b ＝－1
2，
所以lg(a ＋b )＝lg 1＝0.故选C ．
4．已知复数z ＝(a 2－1)＋(a －1)i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．±1
C 解析 易得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2
－1＝0，
a －1≠0，
解得a ＝－1.
5．满足
z ＋i
z
＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A ．12＋12i B ．12－12i C ．－12＋12
i
D ．－12－12
i
B 解析 易得z ＋i ＝z i ，所以(1－i)z ＝－i ，解得z ＝－i 1－i ＝12－1
2
i.故选B ．
6．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )(i 是虚数单位)，z
z ＝－35＋4
5
i ，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2
D ．－12
B 解析 由题意可得1－a i 1＋a i ＝－35＋45i ，即1－a i
2
1＋a 2
＝1－a 2－2a i 1＋a 2＝－35＋45i ，所以1－a 2
1＋a
2
＝－35，－2a 1＋a 2＝4
5
，所以a ＝－2.故选B ．
二、填空题
7．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫
z ＋1z ·z ＝________. 解析 因为z ＝1＋2i ，所以z ＝1－2i.所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 答案 6
8．(2017·浙江卷)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2
＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2
＋b 2
＝________，
ab ＝________.
解析 因为(a ＋b i)2
＝a 2
－b
2
＋2ab i ＝3＋4i ，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2－
b 2
＝3，
2ab ＝4，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1
或
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，所以a 2＋b 2
＝5，ab ＝2.
答案 5 2
9．若复数z 满足(1＋2i)z ＝|3＋4i|(i 为虚数单位)，则复数z ＝________. 解析 因为(1＋2i)z ＝|3＋4i|＝5， 所以z ＝51＋2i ＝
51－2i
1＋2i 1－2i ＝1－2i.
答案 1－2i 三、解答题 10．计算：(1)－1＋i
2＋i
i
3
；
(2)1＋2i 2
＋31－i
2＋i
；
(3)
1－i 1＋i
2
＋
1＋i 1－i
2
；
(4)
1－3i 3＋i
2
.
解析 (1)－1＋i
2＋i i
3
＝
－3＋i －i ＝－3＋i i
－i·i
＝－1－3i. (2)1＋2i
2
＋31－i 2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i
＝i 2－i 5＝15＋25i. (3)
1－i 1＋i
2＋
1＋i 1－i 2
＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2
＝－1. (4)
1－3i 3＋i
2
＝3＋i
－i
3＋i
2
＝
－i
3＋i
＝
－i 3－i
3＋i
3－i
＝
－1－3i 4＝－14－3
4
i. 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示复数0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：
(1)AO →，BC →
所表示的复数； (2)对角线CA →
所表示的复数； (3)B 点对应的复数．
解析 (1)AO →＝－OA →，所以AO →所表示的复数为－3－2i.因为BC →＝AO →，所以BC →
所表示的复数为－3－2i.
(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →
所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)OB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.
12．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5
z
是实数；
②z ＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．
解析 这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5
z
＝a ＋b i ＋
5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5a －b i a 2＋b 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b －5b a 2＋b 2i.因为z ＋5z 是实数，所以b －5b
a 2＋b
2＝0.又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.① 又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0.②
由①②得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋3＝0，
a 2＋
b 2
＝5，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，故存在虚数z ＝－1－2i
或z ＝－2－i.
13．[选做题](2019·巴蜀中学检测)欧拉公式e i x
＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i
表示的复数在复平面中位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
B 解析 由新定义可知e 2i
＝cos 2＋isin 2，而2弧度为第二象限的角，所以cos 2＜0，sin 2＞0，对应点(cos 2，sin 2)在第二象限．。