崔改版版：三 直线的参数方程2
第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线讲解
第二讲 参数方程
3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开 线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在 实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊 的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割 机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共 汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
,(θ 为 参
x＝ 22t－ 2 数),C2′:
y＝
2 4t
,(t 为参数).
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第二讲 参数方程
化为普通方程为: C1′:x2＋4y2＝1,C2′:y＝12x＋ 22, 联立消元得 2x2＋2 2x＋1＝0,其判别式 Δ＝(2 2 )2－ 4×2×1＝0,所以压缩后的直线 C2′与椭圆 C1′仍然只有 一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 【名师点评】 本题较为综合地考查了参数方程和普通 方程之间的转化,在研究图象的伸缩变换时用参数方程比 较容易得到.而判断两曲线的位置关系则用普通方程通过 解方程组得到较好.
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第二讲 参数方程
所以,摆线的参数方程是__xy_＝＝__rr_1φ_－－__c_soi_ns_φφ__ __(_φ_是__参__数__)__.
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第二讲 参数方程
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 直线参数方程几何意义的应用
例1 过 点 P( － 3,0) 且 倾 斜 角 为 30°的 直 线 和 曲 线
x＝t＋1t y＝t－1t
(t 为参数)相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
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第二讲 参数方程
【解】
直线的参数方程为
x＝－3＋
3 2s
y＝12s
20-21版：三 直线的参数方程（步步高）
得以下两个常见的公式：(1)|AB|＝|t1－t2|；(2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 t＝
t1＋2 t2，且|M0M|＝|t1＋2 t2|.
跟踪训练2 直线l过点P0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点. (1)求弦长|AB|；
解 ∵直线 l 过点 P0(－4,0)，倾斜角 α＝π6，
则直线 l 过定点 M0(－ 3，2)，且倾斜角为π6，
故直线 l 的倾斜角为π6.
(3)求直线l上的点M(－3 3，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.
解 由(2)可知直线l的单位向量
e＝cos
π6，sin
π6＝
23，12，且
M0(－
3，2)，
又已知 M(－3 3，0)，
→ ∴M0M＝(－2
3，－2)＝－4
(2)求A，B两点坐标.
解
解①得 t＝3
3或
x＝－4＋ 3，代入直线参数方程y＝12t，
23t，
得
A12，3 2 3，B－52，
3或 2
A－52，
23，B12，3
2
3.
命题角度2 求积(|M0A|·|M0B|)问题
例3
过点P
210，0 作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N，求|PM|·|PN|
设二次曲线 C：F(x，y)＝0，直线 l：
(t 为参数)，如果 l 与 C 相
y＝y0＋tsin α
交于 A，B 两点，那么将 l 的方程代入 F(x，y)＝0 后，可得 at2＋bt＋c＝0，则该方
→
→
程有两个不等实数根 t1，t2，此时M0A＝t1e，M0B＝t2e，e＝(cos α，sin α)，于是易
高中数学第二讲参数方程三直线的参数方程导学案
三 直线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学直线参数方程的形式过定点M 0(x 0,y 0）、倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数）,我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其中t 为参数.直线参数方程中参数t 的几何意义：表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ，y ）为终点的有向线段M M 0的数量M 0M 。
联想发散 很明显,我们也可以把参数t 理解为以M 0为原点，直线l 向上的方向为正方向的数轴上点M 的坐标，其长度单位与原直角坐标系的长度单位相同.t 是直线上有向线段的数量,当α∈（0,π）时，M 在M 0的上方时,t 〉0；M 在M 0的下方时，t<0；M 与M 0重合时,t=0。
当α=90°时，⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)可化为x=x 0,因此在使用时,不必研究直线斜率不存在时的情况.特别地,若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=,,00y y t x x 当t>0时，点M 在点M 0的右侧;当t=0时，点M 与点M 0重合；当t<0时，点M 在点M 0的左侧.深化升华 若直线的参数方程为一般形式⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(t 为参数),可把它化为标准形式:⎩⎨⎧'+='+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t′为参数),其中α是直线的倾斜角tanα=a b ，此时参数t′才有如前所说的几何意义。
同一直线方程的参数方程有多种形式,如⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 222,221（t 为参数)和 ⎩⎨⎧+=-=t y t x 2,1（t 为参数）表示同一条直线，但后者参数t 没有几何意义.直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00,（t 为参数）只有当a 2+b 2=1且b≥0时,参数t 才有意义. 对于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=t b a b y y t b a a x x 220220,(t 为参数)，其中b≥0，若a>0，则直线的倾斜角α为锐角;若a<0,则直线的倾斜角α为钝角；若a=0,则直线的倾斜角α为直角.问题·探究问题1 在解决某些问题时可以使用某些已知的结论或公式，正确使用这些结论可以简化运算，使问题的解决更快捷.那么对于直线的参数方程又有哪些常用的结论呢？探究：根据直线参数方程中参数的几何意义,设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααtsin ,cos 00y y t x x （t 为参数）,直线l 上点A ，B 对应的参数分别为t A 、t B ，则(1）A 、B 两点之间的距离为|AB ｜=|t a -t b ｜,特别地，A 、B 两点到点M 0的距离分别为|t A ｜、|t B ｜；（2)A 、B 两点的中点所对应的参数为2B A t t +，若点M 0是线段AB 的中点,则t A +t B =0，反之亦然； （3）若直线上的点C 所对应的参数为t C ，C 点分AB 所成的比为λ,则t c =λλ++1B A t t 。
数学学案：第二讲三直线的参数方程
三直线的参数方程1．掌握直线的参数方程及参数的几何意义．2．能用直线的参数方程解决简单问题．1．直线的参数方程的标准形式过定点M0（x0，y0)，倾斜角为α(α≠错误!）的直线l的普通方程为y－y0＝（x－x0）tan α,它的参数方程为____________，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t的几何意义是：________________，即|M0M|＝｜t|。
若______,则M M的方向向上；若______，则M M的方向向下；若______,则M与M0重合．【做一做1－1】直线错误!（t为参数）上与点P（－2，3)的距离等于2的点的坐标是( ）．A．(－4,5) B．(－3,4)C．（－3,4)或（－1，2）D．(－4，5)或(0，1)【做一做1－2】参数方程错误!(t是参数）表示的曲线是( ）．A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线2．根据直线的参数方程判断直线的倾斜角根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如错误! (t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°.如果不是标准形式,就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线错误!（t为参数)的倾斜角，有两种方法：第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成错误!消去t，有y＝－错误!，即y＝（x－3）tan 110°，所以直线的倾斜角为110°。
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程错误!令－t＝t′，则错误!所以直线的倾斜角为110°.【做一做2－1】直线错误!(t为参数）的倾斜角α等于( ）．A．30°B．60°C．－45°D．135°【做一做2－2】过点(5，－4)，倾斜角α满足tan α＝－错误!的直线l的参数方程是（）．A.错误!(t为参数）B。
三 直线的参数方程
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
)
距离等于 2的点的坐标是 ( C
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
x 1 t 2、设直线的参数方程为 { (t为参数) y 2 4t 则点(3,6)到直线的距离是__________ 20 17 _____
程中参数t的几何意义吗？
y M M0
又 e是单位向量， e 1 这就是t的几何 M 0M t e t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
x 3 t sin200 （ 1 ） 直 线 （ t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 是 （ B） 0 y t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？
（2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
2 x 1 t 2 （t为参数） 2 y t （2 ）直线 x y 1 0的 一 个 参 数 方 程 是 。 2
课时作业6：三 直线的参数方程
三 直线的参数方程一、基础达标1.直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1，2)C.(－2，1)D.(2，－1)解析 直线表示过点(1，－2)的直线. 答案 A2.下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t(t 为参数)解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 答案 C3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.由⎩⎨⎧x ＝－1－t y ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线. 答案 D4.(2019·北京卷理，3)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25 C.45 D.65解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.答案 D5.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________. 解析 由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a ，∴a ＝4. 答案 46.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案 37.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义.解 由⎩⎨⎧x ＝－3＋t y ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故斜率k ＝3＝tan α，由于0≤α<π，即α＝π3. 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝（x ＋3）2＋（y －1）22. 故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3，1)的向量M 0M →的模的一半. 二、能力提升8.椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离的最大值是( ) A.11 B.74 C.5 5D.9解析 由平面几何知识，椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x 2＋(y －6)2＝1圆心为O ′，P (5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO ′|＝（5cos θ）2＋（4sin θ－6）2 ＝25cos 2θ＋16sin 2θ－48sin θ＋36 ＝－9sin 2θ－48sin θ＋61 ＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋832＋125≤－9⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋832＋125＝10(当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11. 答案 A9.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.解析 曲线C 1和C 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①，x －y ＝1②，联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2，1). 答案 (2，1)10．已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．解析 直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1，0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB |＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12.答案 1211.在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长.解参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)表示的直线l 是过点A (2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C 也过点A (2，0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值．解(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0)． 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1.(k ∈N *)设此方程的两根为t 1，t 2， 三、探究与创新13.已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －3，y ＝3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－ 4ρcos θ＋3＝0.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为：3x －y ＋33＝0；曲线C 的直角坐标方程为：(x －2)2＋y 2)＝1.(2)设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ＝R )，则d ＝|3（2＋cos θ）－sin θ＋33|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ θ＋π6＋532所以d 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤532－1，532＋1.。
三 直线的参数方程
结论3的应用： 1.点差法 2.参数法 4 例2：过点P 2， 0 ，斜率为 的直线，与抛物线y 2 =2x
3 交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标。
3 x 2+ t 5 所以直线的 （t为参数） y 4 t 参数方程为： 5
1.点差法
2.参数法
由A x0 t1 cos , y0 t1 sin , B x 0 t 2 cos , y 0 t 2 sin t1 +t 2 t1 +t 2 中点为 x0 cos , y0 sin 2 2
t1 +t 2 （3）线段AB的中点对应的参数是：t中 = 2
t
（2）将直线L的参数方程中的x,y代入
3 t 2
x y 2 3 0 ，得 t (10 6 3)
所以，直线L和直线 x y 2 3 0 的交点
到点M0的距离为 | t | (10 6 3)
（3）将直线L的参数方程中的x,y 代入 x y 16 ，得 t (1 5 3)t 10 0
3 4 倾斜角为 ，由已知可得 cos 5 ,sin 5
3 x 2 t 5 4 y t 5
所以，直线的参数方程为
代入 y 2 2 x，整理得 8t 2 15t 50 0 ， t1 t 2 15 中点M的相应参数 t 2 16 所以点M的坐标为 41 3
( 16 4 , )
3.解：设过点M(2,1)的直线段AB 的参数方程为 x 2 t cos （ 为参数） y 1 t sin 带入双曲线方程，整理得，
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0
高中数学选修4-4 2.3直线的参数方程
-8-
三 直线的参数方程
探究一 探究二 思维辨析
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AYIJIEHUO
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对直线参数方程的理解
【例 1】 已知直线 l 经过点 M0(1,3),倾斜角为 ,判断方程 ������ = 1 + ������,
2
������ = 1 + ������, (t 为参数)和方程 (t 为参数)是否为直线 l 3 ������ = 3 + 3 ������ ������ = 3 + ������ 的参数方程.如果是直线 l 的参数方程,那么请指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数的几何意义. ������ = ������0 + ������������, 分析：判断直线的参数方程是否为标准形式,主要看 ������ = ������0 + ������������ (t为参数)中的a,b能否满足a2+b2=1,且a,b是不是可以化为直线的 倾斜角α的余弦值与正弦值.
AYIJIEHUO
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)经过点 P(x0,y 0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为 ������ = ������0 + ������sin������, (t 为参数). ( × ) ������ = ������0 + ������cos������ (2)将直线的普通方程化为参数方程时,选取参数的不同,得到的参 数方程也不同. ( ) ������ = ������, ������ = 1-2������, (3)直线 l1: (t 为参数)与直线 l2: ������ = 1-2������ (s 为参数)垂直. ������ = 2-������ ( )
直线的参数方程234871
由于a2 cos2 b2 sin 2 0,因此方程(3)有两个根
设这两个根分别为t1 , t2，容易得到
PA
PB
t1
t2
b2 x02 a2 y02 a2b2
x2 y2 a2 b2 1.............................1(),
设1 ,点P的坐标为(x0 , y0 ),则直线 AB的参数为{x x0 t cos (t为参数).....(2)
y y0 t sin
将(2)代入(1)并整理，得到
(b2 cos2 a2 sin 2 )t 2 2(b2 x0 cos a2 y0 sin )t
y
O Mp
y
M
450
o
P x
解：取O为原点，OP所在直线为x轴，建立直 角坐标系，如图，则点P的坐标为(300,0) 以O为圆心，250k m为半径作圆O，当台风中心 移动后的位置M在圆O内或以圆O上时，城市O 将受到台风侵袭。
圆O的方程为x2 y2 2502 设经过时间t后，台风中心M的坐标为(x, y)，根据 条件知台风中心M移动形成的直线l的方程为
直线的参数方程2
复习
t的几何意义,要牢记
M0M te M0M te
y
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的这绝就对是t值的几等何于直
线上动点意M义到,要定牢点记M0的
O
距离. |t|=|M0M|
20-21版：三 直线的参数方程（创新设计）
圆 x2＋y2＝4 交于 A，B 两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
解
l 的参数方程为yx＝＝－2－1＋2222t2 t，2(t 为参数).
令 t′＝ t2，则有yx＝＝－2－1＋22t2′2，t′(t′是参数).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
其中 t′是点 M(2，－1)到直线 l 上的一点 P(x，y)的有向线段 的数量，代入圆的方程 x2＋y2＝4，化简得 t′2－3 2t′＋1＝
例1
已知直线
x＝－ 3＋ l：y＝2＋12t，
23t (t
为参数).
(1)求直线 l 的倾斜角；
(2)若点 M(－3 3，0)在直线 l 上，求 t 并说明 t 的几何意义.
预习导学
课堂讲义
当堂检测
解
(1)由于直线 l：xy＝ ＝－ 2＋t3s＋inπt6cosπ6 ，(t 为参数)表示过点
π
π
M0(－ 3，2)且斜率为 tan 6 的直线，故直线 l 的倾斜角 α＝ 6 .
答案
5 2
预习导学
课堂讲义
当堂检测
x＝4＋ 4.求直线 l1：
y＝3＋
613t， 4 (t
为参数)与直线
l2：x＋y－2＝0
的
13t
交点到定点(4，3)的距离.
解
x＝4＋ ∵l1 的参数方程可化为
y＝3＋
313·2t＝4＋ 213·2t＝3＋
313t′， 2 13t′
(t′为参数).把 l1 的参数方程的标准形式代入 x＋y－2＝0 中，
预习导学
课堂讲义
当堂检测
∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝4. ∴t1＞0，t2＞0. 又直线 l 过点 P(3， 5)， ∴由 t 的几何意义， 得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3 2.
直线的参数方程第三课时
4 解：(1)由题意，知直线 l 过点 P(2,0)，斜率为 ， 3 4 3 4 设直线 l 的倾斜角为 α，则 tan α＝ ，cos α＝ ，sin α＝ ， 3 5 5
3 x＝2＋5t， ∴直线 l 的参数方程的标准形式为 (t 为参数)． * y＝4t 5 ∵直线 l 和抛物线相交，∴将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2＝2x 中， 整理得 8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4× 8× 50＞0. 设这个二次方程的两个根为 t1，t2， 15 25 由根与系数的关系得 t1＋t2＝ ，t1t2＝－ . 8 4
达标检测
π 5.一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝4，求此直线与直线 3x＋2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离.
规律与方法
x＝x0＋tcos α， 1.经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 (t 为参数). y＝y0＋tsin α
其中 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y)为终点的有向线段 M0M 的 数量，可以为正、为负，也可以为零.
π ( 2，4． ) 标系，则曲线 C1 与 C2 的公共点的极坐标为________
解析 曲线
x＝cos θ＋sin θ， C1 ： y＝cos θ－sin θ x＝2－t， y＝t
(θ 为参数 ) 的普通方程为 x2 ＋ y2 ＝ 2 ， C2 ：
2 (t 为参数)的普通方程为 x＋y－2＝0.圆心(0,0)到此直线的距离为 d＝ 2 π ＝ 2＝r，所以直线和圆相切，切点为(1,1)，化为极坐标为( 2， )． 4
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
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t1＋t2 |t1＋t2| (2)线段 AB 的中点 M 对应的参数 t＝ 2 ，且|M0M|＝ 2 .
三 直线的参数方程
11
要点三 直线参数方程的综合应用
例3 过点
P 10 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x2＋12y2＝1 交于 ， 0 2
点 M，N，求|PM|· |PN|的最小值及相应的 α 值.
三 直线的参数方程
24
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(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
解 直线 l 的极坐标方程
π 2ρcosθ＋4 ＝－1，
曲线C普通方程y＝x2.
三 直线的参数方程
25
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第二讲——
[预习导引] 1.直线的参数方程
过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α， (t 为参数) . y＝y0＋tsin α
三 直线的参数方程
2
2.参数的几何意义
直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：参数 t 的绝对值 → 表示参数 t 对应的点到定点 M0(x0，y0)的距离.当M0M与 e(直 → 正数 线的单位方向向量)同向时，t 取 ；当M0M与 e 反向 时，t 取 负数 ；当点 M 与点 M0 重合时，t 为 零 .
解
10 x＝ ＋tcos α， 2 设直线为 y＝tsin α
2 2
(t 为参数)，
3 代入曲线并整理得(1＋11sin α)t ＋( 10cos α)t＋2＝0.
三 直线的参数方程
12
3 2 则|PM|· |PN|＝|t1t2|＝ . 2 1＋11sin α
所以当sin2 α＝1时，
答案 C
三 直线的参数方程
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x＝1＋1t， 2 3.直线 3 y＝－3 3＋ 2 t
(t 为参数)和圆 x2＋y2＝16 交于 A，
B 两点，则 AB 的中点坐标为( A.(3，－3) C.( 3，－3)
三 直线的参数方程
三 直线的参数方程
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x＝－2＋t， 把直线 代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25， y＝1－t
得(－5＋t)2＋(2－t)2＝25，t2－7t＋2＝0.
|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝ 41，
弦长为 2|t1－t2|＝ 82.
x＝1－ 解 将直线 l 的参数方程 y＝2＋
三 直线的参数方程
2 2 t， 2 2t
16
1 2 3 4
代入抛物线方程y2＝4x，
得 2＋ 2 2 2 ＝ 4 t 1 － t ， 2 2
解得 t1＝0，t2＝－8
所以|AB|＝|t1－t2|＝8
5.
10
三 直线的参数方程
x＝x0＋tcos α， 规律方法 设二次曲线 C：F(x，y)＝0，直线 l： y＝y0＋tsin α (t 为参数)，如果 l 与 C 相交于 A、 B 两点，那么将 l 的方程代入 F(x，y) → 2 ＝0 后可得 at ＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根 t1、t2，此时M0A → ＝t1e，M0B＝t2e，e＝(cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的公式：
三 直线的参数方程
(t 为参数)知当 t＝0,2，－2 时，
4
分别对应直线 l 上的点(－ 3，2)，(0,3)，(－2 3，1).
(2)求直线l的倾斜角；
3 x＝－ 3＋ 2 t， 解 方法一 化直线 l： y＝2＋1t 2
(t 为参数)为普通方程
3 3 为 y－2＝ 3 (x＋ 3)，其中 k＝tan α＝ 3 ，0≤α<π. π ∴直线 l 的倾斜角 α＝6.
(t 为参数)，则直线的
斜率为( D ) 2 2 3 A.3 B.－3 C.2 y－2 3t 3 解析 k＝ ＝－2t＝－2. x－1
三 直线的参数方程
3 D.－2
14
1 2 3 4
x＝－2－ 2t， 2.直线 (t 为参数)上与点 A(－2,3)的距离等于 2的 y＝3＋ 2t
(－3,4)或(－1,2) 点的坐标是__________________.
线于A、B两点.
(1)求|AB|；
解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，
1 x＝2＋ 5 t， 依题意，设直线 AB 的参数方程为 y＝ 2 t 5
三 直线的参数方程
(t 为参数)，
8
1 2 其中 tan α＝2，cos α＝ ，sin α＝ ，α 为直线 AB 的倾斜角，代 5 5 入 y2＝8x 整理得 t2－2 5t－20＝0.
1 3 代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋2t－5＋ t－2＝0，解得 t＝ 2 －6( 3＋1).
根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1).
三 直线的参数方程
7
要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长
例1 已知抛物线 y2 ＝8x 的焦点为 F，过 F且斜率为 2 的直线交抛物
三 直线的参数方程
3
课堂讲义
重点难点，个个击破
要点一 直线参数方程的标准形式
例1 3 x＝－ 3＋ 2 t， 已知直线 l： y＝2＋1t 2 (t 为参数).
(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；
3 x＝－ 3＋ 2 t， 解 由直线 l： y＝2＋1t 2
1 π |PM|· |PN|的最小值为8，此时 α＝2.
规律方法
利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特
别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意 义更为方便.
三 直线的参数方程
13
当堂检测
当堂训练，体验成功
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x＝1＋2t， 1.若直线的参数方程为 y＝2－3t
4 x＝1＋5t， (t 是参数)，代入抛物线方程得 9t2－ 解析 直线的参数方程为 y＝3t 5 17 2 1 20 10 20t－25＝0.∴中点 M 的相应参数为 t＝2× 9 ＝ 9 .∴点 M 的坐标是 9 ，3.
三 直线的参数方程
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1 2 解析 由题意知(－ 2t) ＋( 2t) ＝( 2) ，所以 t ＝2，t＝± 2 ，代入
2 2 2 2
x＝－2－ 2t， (t 为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2). y＝3＋ 2t
三 直线的参数方程
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1 2 3 4
2 x＝1－ 2 t， 4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 y＝2＋ 2t 2 (t 为参数)， 直线 l 与抛物线 y2＝4x 相交于 A， B 两点， 求线段 AB 的长.
(2) 线段MA， MB长度分别记为 |MA|， |MB|，求 |MA|· |MB|
的值.
解
x＝－1＋ 2t 2 将 2 y＝ 2 t
代入 y＝x2 得 t2－3 2t＋2＝0，
|MA|· |MB|＝|t1t2|＝2.
三 直线的参数方程
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)
B.(－ 3，3) D.(3，－ 3)
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解析
2
1 2 1＋ t ＋－3 2
3 2 3＋ 2 t ＝16，
t1＋t2 得 t －8t＋12＝0，t1＋t2＝8， 2 ＝4，
1 x＝1＋2×4， 中点为 y＝－3 3＋ 3×4 2
x＝－ 1＋ 2t， 2 11. 已知直线 l 的参数方程为 2 y＝ 2 t
(t 为参数 )，曲线
sin θ C 的极坐标方程是 ρ＝ (θ 为参数 )，以极点为原点，极轴 2 1－sin θ 为 x 轴正方向建立直角坐标系， 点 M(－1,0) ， 直线 l 与曲线 C 交 于 A、B 两点.
9
(2)求AB的中点M的坐标及|FM|. → → 解 由于 AB 的中点为 M，则AM＝MB， → → → → → 1→ → ∴FM－FA＝FB－FM，即FM＝2(FA＋FB)， → 1 → → t1＋t2 又FM＝2(FA＋FB)＝ 2 e， t1＋t2 故点 M 对应的参数为 2 ＝ 5，
t ＋ t 1 2 ∴M(3,2)，|FM|＝ ＝ 2
x＝3， ⇒ y＝－ 3.
答案 D
三 直线的参数方程
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3 9.已知经过点 P(1,0) ， 斜率为 4的直线和抛物线 y2＝x 交于 A、 B 两点， 17 2 ， 3 9 若线段 AB 中点为 M，则 M 的坐标为_________.
1 2 → → 设FA＝t1e，FB＝t2e，其中 e＝ ， ，则 t1＋t2＝2 5，t1t2＝－20. 5 5
→ → → |AB|＝|FB－FA|＝|t2e－t1e|＝|t2－t1||e|＝|t2－t1|
＝ t1＋t22－4t1t2＝ 2 52＋80＝10.
三 直线的参数方程
三 直线的参数方程
2.
2.
17
课堂小结
x＝x0＋tcos α， 1.经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsin α (t 为参数).其中 t 表示直线 l 上以定点 M0 为起点，任意一点 M(x，y) ―→ 为终点的有向线段M0M的数量，可为正、为负，也可为零. 2.在直线参数方程中 ， 如果直线上的点 M1、 M2 所对应的参数值分别为 t1 1 和 t2， 则线段 M1M2 的中点所对应的参数值为 t 中＝2· (t1＋t2).