第1-4章极限存在准则

a xn ≥ x1 = a , 所以 ≤ a , 于是有 a ≤ xn ≤ a + 1 xn 即{xn}有上界，所以由单调有界准则，可知{xn}收敛。
现设其极限为A , 则对 xn = a + xn −1 两边求极限，得 1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a 2 A= 。 于是 lim xn = 。 A = a + A 解之 n →∞ 2 2 1+ 1+ 4× 2 = 2。 特别地，lim 2 + 2 + L + 2 =
⎛ 1 ⎞ lim ⎜ 1 + ⎟ x →+∞ ⎜ x] ⎟ ⎝ [ ⎠
⎛ 1 ⎞ = lim ⎜1 + ⎟ x→+∞ ⎜ [ x] + 1 ⎟ ⎝ ⎠
[ x]
[ x ]+1
⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎜ [ x] + 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
−1
=e
[ x ]+1
⎛ 1 ⎞ = lim ⎜1 + ⎟ x→+∞ ⎜ x] ⎟ ⎝ [ ⎠
t −1
x
−t
⎛ 1 ⎞ = lim ⎜ ⎟ t t →+∞ t − 1 ⎝ ⎠ ⎛ 1⎞ lim ⎜1 − ⎟ t →+∞ ⎝ t⎠
t −1
1
t
n
因
n +n
2
≤ xn ≤
1 1 1+ n
n n +1
2
n →∞
,
n
又
lim
n n +n
2
n →∞
= lim
n →∞
= 1 , lim
n +1
2
= lim
1 1 1+ 2 n
n →∞
=1,
⎛ 1 ⎞ 1 1 + +L+ ⎟ =1 由夹逼准则得 lim xn = lim ⎜ 2 2 2 n →∞ n →∞ n +2 n +n ⎠ ⎝ n +1
都有 lim f ( xn ) = a 。 n→∞ 即 ∀ε > 0, ∃δ > 0 , 当0 < x − x0 < δ 时,
f (x) − a < ε 。
对于任何以x0为极限的数列{xn}，且满足：xn≠x0(n∈N+) 对上述δ, ∃ N > 0, 当n＞N时
0 < xn − x0 < δ , 于是，当n＞N时有
函数极限存在的夹逼准则 准则Ⅰ′（夹逼准则） 如果 （1）当 0 < x − x0 , < δ 时 , 有 g ( x) ≤ f ( x ) ≤ h( x) ;
( x > X) （2）lim g ( x) = lim h( x) = a
( x → ∞)
x → x0
x → x0
( x → ∞)
x → x0
x
x − 1 < [ x] ≤ x , [ x] ≤ x < [ x] + 1
x
⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎜ [ x] + 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
[ x]
[ x]
≤
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ x⎠
≤
⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎜ [ x] ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
[ x ]+1
⎛ 1 ⎞ lim ⎜1 + ⎟ x →+∞ ⎜ [ x] + 1 ⎟ ⎝ ⎠
那么，极限 lim f ( x) = a
( x → ∞)
单调有界原理 如果数列{xn}满足条件
x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ L ≤ xn ≤ xn +1 ≤ L
就称数列{xn}是单调增加的； 如果数列{xn}满足条件
x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ L ≥ xn ≥ xn +1 ≥ L
就称数列{xn}是单调减少的； 单调增加数列与单调减少数列统称为单调数列。若上述不等式 都是严格不等式，则称该数列为严格单调增加或严格单调减少。 准则Ⅱ（单调有界原理） 单调有界数列必有极限。 收敛的数列 ⇒ 数列有界 ＋单调 ⇒ 数列收敛
∀ε > 0, ∃ N1 > 0, 当n＞N1时，yn − a < ε ;
∃ N2 > 0, 当n＞N2时， zn − a
<ε ;
xn − a < ε
现取 N = max { N1 , N 2
即
} , 当n＞N时同时成立着，
yn − a < ε , zn − a < ε ,
a −ε < yn < a + ε , a −ε < zn < a + ε ,
⎛ 1 ⎞ ⎜1 + ⎜ [ x] ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
x
=e
⎛ 1⎞ 于是，由夹逼准则即得 lim ⎜ 1 + ⎟ = e 。 x →+∞ ⎝ x⎠
当x＜0时, 令x=-t, 则t＞0, 并且当x→-∞时，有t→+∞ 。 于是，
1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = lim ⎜ 1 + ⎟ = x →−∞ ⎝ x ⎠ t →+∞ ⎝ −t ⎠
sin x lim 注意 lim cos x = 1, 由夹逼准则，得 x →0 x = 1。 x →0
x 1 1< < sin x cosx
sin x <1 显然有 cos x < x
注意模式的理解 lim →0
sin
=1
tan x 。 例8 求 lim x →0 x
1 sin x sin x 1 tan x ⋅ lim ⋅ = 1。 = lim = lim 解: lim x→ 0 x → 0 cos x x →0 x x cos x x →0 x 1 − cos x 2 。 例9 求 lim 2 x⎞ x →0 ⎛ x 2 x sin ⎟ 2sin ⎜ 2 = 1。 1 − cos x lim 2 = 1 lim ⎜ 解: lim = x→0 x→ 0 2 x ⎟ 2 2 2 x →0 x ⎜ ⎟ x
1 2n = 3 − 1 < 3 = 1+ 1 2n−1 1− 2 1−
故数列{xn} 有上界。 由极限准则Ⅱ，数列{xn}的极限存在。 通常用字母e表示该极限值，即
⎛ 1⎞ lim ⎜ 1 + ⎟ = n →∞ ⎝ n⎠
n
e
⎛ 1⎞ 再证明 lim ⎜ 1 + ⎟ = e x →∞ ⎝ x⎠
首先，对于任何x＞0有, 则
准则Ⅰ（夹逼准则） 如果数列{xn}、{yn}和{zn}满足下列条件： （1） yn ≤ xn ≤ zn (n = 1 , 2 , 3 , L) , （2） lim yn = a , n →∞
lim zn = a 。
n →∞
且 那么数列{xn}的极限存在， lim xn = a 。
n →∞
证: 由 lim yn = a , lim zn = a 。 n →∞ n →∞
例3 证明 lim n n = 1。 n →∞ 解 令
n = 1 + rn ,(rn＞0), 则 n ( n − 1) 2 n n ( n − 1) 2 n = (1+ rn ) = 1 + nrn + rn + ⋅⋅⋅ + rn > rn , ( n > 1) 2 2
即
0≤r
n →∞
2 n
n(n − 1 )
f (xn ) − a < ε .
故 lim f (xn ) = a 。
n→∞
( ⇐ ) 可用反证法证明。(略)
例1 证明 lim sin x →0 证:
1 不存在。（海涅定理的应用） x
取两个趋于0的数列
则有
1 1 ′′ (n = 1, 2 ,L) 及 xn = ′ xn = π 2nπ 2nπ + 2
2
≥ a。
即对一切n≥1， n ≥ x
a 。 从而
a⎞ 1⎛ 现设其极限为A , 则对其两边求极限，得 A = ⎜ A + ⎟ , 即 2⎝ A⎠ 2A2 = a + A2 解之 A = a 。于是 lim xn = a 。 n →∞
xn +1 1 a 1 a = 1。 = + 2 ≤ + 2 xn 2 2a xn 故xn+1≤xn, 即数列{xn}是单调减少，由单调有界准则极限存在。
1 = lim sin ( 2nπ ) = 0 lim sin n →∞ ′ xn n→∞ 1 π⎞ ⎛ = lim sin ⎜ 2nπ + ⎟ = 1 lim sin n →∞ 2⎠ ′′ xn n→∞ ⎝
1 1 lim sin 不存在。 即知 lim f ( xn ) = sin 不存在，由海涅定理知 x →0 x n →∞ xn
2
<n
由于 lim
2 = 0 , 因此, lim rn = 0 。 故 n →∞ n −1
lim n n = lim (1 + rn ) = 1 + lim rn = 1。 n →∞ n →∞
n →∞
lim 例4 证明 n → ∞ n a = 1 ( a > 0 )
n 解 （1）当a=1时， 1 = 1 , 故 lim n a = lim n 1 = 1。 n →∞ n →∞
例6 设数列
求 lim xn 。
n →∞
x1 = a x2 = a + a
L
xn =
a+ a +L+ a
n层
解 因为x2 > x1 ， 假设 xn > xn −1 ，则