19-08 量子力学简介

2
o
a
x
第十九章 量子物理 19 - 8 量子力学简介 2 ψ + k 2ψ = 0 ψ ( x ) = A sin kx ∞ Ep ∞ 2 x nπ 量子数
k=
, n = 1,2,3,L 量子数 a nπ ψ ( x ) = A sin x a
o
a * 0
a
x
归一化条件 归一化条件
2 a A sin 2 0
19 - 8 量子力学简介
一 波函数 概率密度 1）经典的波与波函数 ） 机械波
第十九章 量子物理
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt )
x
λ
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t )
经典波为实 经典波为实函数
∫ ∞ < x , y , z < ∞ ψ
ψ
2
d x d y d z = 1 可归一化 ;
ψ ψ ψ , , 和 连续 ; x y z
为有限的、 ψ ( x, y, z ) 为有限的、单值函数 .
19 - 8 量子力学简介
三 一维势阱问题 粒子势能 满足的边界 边界条件 粒子势能 Ep 满足的边界条件
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理 ..
薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家 ）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方程 年建立了以薛定谔方程 为基础的波动力学,并建立了量子 为基础的波动力学 并建立了量子 力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间，两个等 矩阵力学和波动力学 力学和波动 价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高 速运动的粒子的波动方程 .
（2）粒子的最小能量不等于零 最小能量
一维无限深势阱
第十九章 量子物理
2 2
也称为基态能或零点能。 也称为基态能或零点能。
由不确定关系解释：
nh E1 = 2 2ma
零点能的存在与不确定度关系协调一致。 零点能的存在与不确定度关系协调一致。
粒子坐标不确定量 x = a
基态粒子动量 P1 = 2mE1 =
波动观点） （波动观点） 微粒观点） （微粒观点）
物质波的 强度大
波动观点） 波函数振幅的平方大 （波动观点） 单个粒子在该处出现 （微粒观点） 微粒观点） 的概率大
19 - 8 量子力学简介
二 薛定谔方程（ 薛定谔方程（1925 年） 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数 自由粒子平面波函数
一维无限深势阱
第十九章 量子物理
经典观点： 不受外力的粒子在0 经典观点： 不受外力的粒子在0到 a 范围内 出现概率处处相等。 出现概率处处相等。 量子论观点： 量子论观点
Ψ(x)
2
Ψ ( x )
2 2 nπ = sin ( x) a a
Ψ (x)
2
当 n 很大 时， 量子 概率分布 就接近经 典分布
描写粒子的行为
第十九章 量子物理
波函数描写粒子出现于空间某处的几率，具体来说，用概率密度P( x, t )
P ( x, t ) =| ψ | 2 = ψψ *
ψ *是ψ（x, t )的共轭复数。
概率密度P(x, t)是t时刻在坐标x附近单位长度间隔内找到粒子的概率。
在dx内找到粒子的概率 dx : dw = P( x, t )dx = ψψ * dx
k= a , n = 1,2,3,L
2
第十九章 量子物理
∴ sin ka = 0
∞ Ep ∞
量子数
2
8π mE k= h2
h E=n 2 8ma
2
h , (n = 1) 基态能量 基态能量 E1 = 2 8ma h2 2 , (n = 2,3,L) 激发态能量 激发态能量 En = n 2 8ma
一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 . 能量
2πh P1 = 2 P1 = a
πh
a
粒子可沿（ + x， x）两个方向运动
h P1x = P1a = 2πh ≥ 2
反证法： 若 E1 = 0 P1 = 0 x →∝ 与题设(0 < x < a)矛盾
19 - 8 量子力学简介
(3)粒子在势阱内出现概率密度分布 (3)粒子在势阱内出现概率密度分布
∫∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
2 A= a
∫
nπ xd x = 1 a
ψ ( x) =
2 nπ sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a
19 - 8 量子力学简介
2 2
第十九章 量子物理
d ψ 8π mE + ψ = 0 ∞ Ep ∞ 波动方程 2 2 dx h
波函数
ψ (x) =
（电子出现几率大）
2
光强大 ∝ A2 波强大
∝ 0
2
电子单缝衍射
波粒二象性观点： 0 = 几率密度 （要求）
波函数的统计解释，给出了微观粒子的统计描述， （理解） 从而使微观粒子的波粒二象性成为可以理解 （联系） 物质波的统计解释把微观粒子的波动性和粒子性正确地联系起来 单个粒子在空间的位置是不确定的，但有一定的概率分布 大量粒子这种概率分布给出确定的宏观结果 （不确定关系） 经典波 区别 物质波
说明？
（三）波函数的要求
1.归一化 — —整个空间发现粒子的 几率为 1。
∫ ∞ p( x, t )dx = ∫ ∞ψψ dx = 1
*
∞
∞
2.标准条件 — —单值、连续、有限
19 - 8 量子力学简介
光波振幅平方大 光强度大 光子在该处出现 的概率大
波函数
第十九章 量子物理
物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明
h Ψ h Ψ =i 2 2 8 π m x 2 π t
19 - 8 量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
第十九章 量子物理
E = Ek + Ep
h Ψ h Ψ + E p ( x , t )Ψ = i 2 2 8 π m x 2 π t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ = Ψ( x , t ) 粒子在恒定势场 恒定势场中的运动 粒子在恒定势场中的运动 Ep = Ep (x) (x
概率密度 能量 量子数
0,
( x ≤ 0, x ≥ a )
2 nπ sin x, (0 < x < a) a a
2
o
a
x
2 2 nπ ψ ( x) = sin x a a h2 2 En = n 8ma2
n = 1, 2 ,3 , L
19 - 8 量子力学简介
讨 论： (1)粒子能量不能取连续值 (1)粒子能量不能取连续值 由
d 2ψ 8π 2 mE + ψ ( x) = 0 2 2 dx h
19 - 8 量子力学简介
第十九章 量子物理
QEp →∞, x ≤ 0, x ≥ a ∴ψ = 0, (x ≤ 0, x ≥ a)
Ep = 0, 0 < x < a
2 2
d ψ 8π mE + ψ =0 2 2 dx h 2 d 2ψ 2 8π mE +k ψ =0 2 k=
19 - 8 量子力学简介
2 2 2 2
第十九章 量子物理
在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程 势场中运动粒子的定态
ψ ψ ψ 8π m + 2 + 2 + 2 ( E Ep )ψ = 0 2 x y z h
拉普拉斯算子 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
= 2+ 2+ 2 x y z
h2
∞ Ep ∞
dx
o
a
x
ψ ( x ) = A sin kx + B cos kx
ψ ( x) = A sin kx
Hale Waihona Puke 波函数的标准条件：单值、 波函数的标准条件：单值、有限和连续 . 标准条件
Q x = 0, ψ = 0, ∴ B = 0
19 - 8 量子力学简介 Q x = a,ψ = A sin ka = 0 Q sin ka = 0, ∴ ka = nπ nπ
19 - 8 量子力学简介 区别
经典波 振动和能量传播 波函数是实数 直接测量
例：自由粒子概率密度
i ( Et px ) h
第十九章 量子物理 物质波 概率波 概率传播 波函数是复数 不能直接测量
i ( Et px ) h
p( x, t ) = ψψ = ψ 0 e
*
ψ 0e
=ψ = C
2 0
第十九章 量子物理
∞ Ep ∞
0, 0 < x < a Ep = Ep → ∞, x ≤ 0, x ≥ a
意义 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型； ）是固体物理金属中自由电子的简化模型；
o
a
x
2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 ）数学运算简单，量子力学的基本概念、 在其中以简洁的形式表示出来 . 薛定谔方程
2 2 2 2
8π 2 m 2 ψ + 2 ( E Ep )ψ = 0 h
定态波函数 定态波函数
ψ ( x, y , z )