[高考数学复习课件]高考数学第一轮单元复习课件(23)

(4)点P，A，B，C四点共面的充要条件是：空间任意一点O 和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式
5．利用空间向量判定线面位置关系的方法
(1)设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法 向量 v＝(a2，b2，c2)，则
l∥α u⊥v u·v＝0 1a2＋b1b2＋c1c2＝0， l ⊥ α u ∥ v u ＝ kv 1 ， b1 ， c1) ＝ k(a2 ， b2 ，
a
15
第40讲│要点探究
【解答】 如图40－5，连接OP，以O为坐标原点，分别 以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系O－xyz，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)， P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，
由题意得，G(0,4,0)，
(2)三个向量共面定理：如果两个向量a，b不共线，那么向
量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数
对(x，y)，使
；或对空间任意一点O，有
.③(③式称为空间平面ABC的向量表示式)
a
6
第40讲│知识梳理
a
11
第40讲│要点探究
变式题 证明：四面体中连接对棱中点的三条线段交于一 点且互相平分(此点称为四面体的重心)．
a
12
第40讲│要点探究
a
13
第40讲│要点探究
a
14
第40讲│要点探究
探究点2 证明平行关系 例2 [2009·浙江卷] 如图40－4所示，平面PAC⊥平面ABC ，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA 、PB、AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.设G是OC的中点， 证明：FG∥平面BOE.
a
16
第40讲│要点探究
∴
＝(8,0,0)， ＝(0，－4,3)，
设平面 BOE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则
即－8x＝ 4y＋0，3z＝0.
取 x＝0，y＝3，z＝4 得平面 BOE 的法向量为 n＝(0,3,4)． ∵＝(－4,4，－3)，∴n·＝0， 又直线 FG 不在平面 BOE 内， ∴FG∥平面 BOE.
α内的任意一点．
a
3
第40讲│知识梳理
2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α 的 法向量 ．利用法向量也可以表示空间中平面的位置．
3．共线向量及有关结论 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重 合，则这些 平行 向量叫做向量或 共线 向量． (2)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在 实数λ，使a＝λb.
在实数t，使得＝
.这样，点A和向量a不仅可以确定
直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．
a
2
第40讲│知识梳理
(3)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定：
设这两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平
面α上任意一点，存在有序实数对(x，y)，使得
＝xa这＋样yb，
点O与向量a，b不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出
a1＝ka2， c2) b1＝kb2，
c1＝kc2.
a
7
第40讲│知识梳理
(2)设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的 法向量分别为 u，v，则
l∥m a∥b a＝kb，k∈R； l⊥m a⊥b ＝0； l∥α a⊥u ＝0； l⊥α a∥u ＝ku，k∈R； α∥β u∥v ＝kv，k∈R； α⊥β u⊥v v＝0.
第40讲│空间向量解决线面位置关系
a
1
第40讲│知识梳理
知识梳理
1．点、直线、平面的位置用向量表示
(1)在空间中取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的
位置就可以用向量 的 位置向量 ．
来表示．把向量 称为点P
(2)空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一
个定方向确定：
在直线l 上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存
a
10
第40讲│要点探究
B(a,0,0)，C(a，b,0)，E(a,0，c)，D(0,2b,0)，
F(0,0,2c)，
＝(0，b，－c)，
＝(0,2b，－2c)，
故
，从而由点E FD，得EC∥FD，
故C、D、F、E四点共面．
【点评】 本题利用向量共线证明了点共面，注意向量 共线(平行)与直线平行的区别．此法也可以证明点共线， 如下变式题：
a
8
第40讲│要点探究
要点探究
探究点1 空间中的点共线、点共面问题
例1 [2009·四川卷] 如图40－1所示，平面ABEF⊥平面 ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，
证明：C、D、F、E四点共面．
a
9
第40讲│要点探究
【思路】
【解答】 由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平 面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，射线AD为y轴 正半轴，射线AF为z轴正半轴，建立如图40－2所示的直角坐标 系A－xyz.设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则
a
17
第40讲│要点探究
【点评】 判定线面平行，可以证明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，注意法向量的取法．也可以利用共面 向量定理，如下变式题：
如图40－6所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝ CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE 是矩形，AE＝a，点M在线段EF上，当EM为何值时，AM∥ 平面BDF？证明你的结论．
a
18
第40讲│要点探究
a
19
第40讲│要点探究
a
பைடு நூலகம்
20
第40讲│要点探究
a
21
第40讲│要点探究
探究点3 证明垂直关系
例3 如图40－8所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中E、F分别 是BB1、CD的中点． (1)证明：AD⊥D1F； (2)求AE与D1F所成的角； (3)证明：面AED⊥面A1D1F.
a
4
第40讲│知识梳理
(3)l为经过已知点A且方向向量为a的直线，对空间任意一点
O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
，
①(①式称为空间直线的向量表示式)，在l上取
，则①
式可化为
.②(②式也称为空间直线的向量表示
式)．
a
5
第40讲│知识梳理
4．共面向量及有关结论 (1)平行于同一个平面的向量，叫做 共线 向量．