广东省东莞市2014届高三数学(文)小综合专题：解析几何
2014年高考数学-解析几何-
2014高考数学 解析几何 李远敬1（新课标10.）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 2.（湖北9.）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A.433 B.233C.3D.2 3.（安徽14）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为__________4.（山东（10））已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=5.（天津6）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x6.（新课标2。
10.）设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A. 334B.938 C. 6332 D. 947.（湖北21）（满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C.(1)求轨迹为C 的方程(2)设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围。
2014年广东省高考大题训练(三) 立体几何(附答案及评分标准)
2014年广东省高考大题训练（三） 立体几何（附答案及评分标准）1．（本小题满分14分）将棱长为a 正方体截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ， DC 的中点．（1）证明：1AF ED ⊥；（2）求三棱锥1E AFD -的体积．解：（1）证：连接DE ，交AF 于点O ．……………………………………………………………………1分 ∵1D D ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，∴1D D AF ⊥．………3分 ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴DF CE =． 又∵AD DC =，90ADF DCE ∠=∠=， ∴ADF ∆≌DCE ∆，∴AFD DEC ∠=∠．又∵90CDE DEC ∠+∠=∴90CDE AFD ∠+∠=．∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=，即AF DE ⊥．…………………………………5分 又∵1D DDE D =∴AF ⊥平面1D DE ．………………………………………………………7分又∵1ED ⊂平面1D DE ，∴1AF ED ⊥．…………………………………………………………8分 （2）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -的高，且1D D a =．……………………9分 ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴2aDF CF CE BE ==== ∴AEF ADF FCE ABEABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形2111222a AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222234848a a a a a =---=．……………………………………………………………12分 ∴11E AFD D AEF V V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388a a a =⋅⋅=．………………………………………14分A 1B 1C 1D 1 A B C D D 1 D CB A 1A EF 第1题图（1） 第1题图（2） D 1DC BA 1AE F O2．（本小题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，四边形ABCD 为矩 形，，，42==BC AB G F E ，，分别是线段CD PD PA ，，的中点． （1）求证：//PB 面EFG ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离 为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ．∵G F E ，，分别是线段CD PD PA ，，的中点， ∴EF AD GH ////．∴H G F E ，，，四点共面． ………………2分 又H 为AB 中点，∴PB EH //．……………………………………3分 又⊂EH 面EFG ，⊄PB 平面EFG ，∴//PB 面EFG ．………4分 （2）证明：∵PA 是圆柱的母线，∴⊥PA 圆柱的底面，………………5分 ∵⊂CD 圆柱的底面，∴CD PA ⊥，又∵ABCD 为矩形，∴AD CD ⊥，而A PA AD = ，∴⊥CD 平面PAD ， ………7分 又⊂CD 平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ．………………9分（3）假设在BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2，则以PAM △为底、 D 为顶点的三棱锥的高为2，连结AM ，则22222BM BM AB AM +=+=．由（2）知AM PA ⊥，∴2224222121BM BM AM PA S PAM +=+⨯=⋅=△． ∴224322431231BM BM S V PAM PAM D +⋅=⋅+⋅=⋅=-△． ……………………………11分∵4242121=⨯⨯=⋅=AB AD S AMD △，∴38243131=⨯⨯=⋅=-PA S V AMD AMD P △．……12分∵AMD P PAM D V V --=，∴384322=+⋅BM ，解得：32=BM ．∵432<，∴在BC 上存在一点M ，当32=BM 使得D 到平面PAM 的距离为2．…………………14分3．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，DB AC ⊥，点M 是棱1BB 上一点． （1）求证：//11D B 面BD A 1； （2）求证：MD AC ⊥；（3）若ABD S △=2，四棱柱1111D C B A ABCD -的高为3，求四棱锥111B BDD A - 的体积．解：（1）证明：由直四棱柱,得1111//,BB DD BB DD =且，∴11BB D D 是平行四边形．∴11//B D BD ．………………………………………………………3分 而⊂BD 面BD A 1，⊄11D B 面BD A 1，∴//11D B 面BD A 1．…………………………………5分A BCDM SP（2）证明：∵1BB ⊥面ABCD ，⊂AC 面ABCD ，∴1BB AC ⊥．………………………………7分 又∵AC BD ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴⊥AC 面D BB 1．而⊂MD 面D BB 1，∴MD AC ⊥． ……………………………………………………………10分（3）323232311111111111=⨯⨯=⋅=⋅-⋅=-=---AA S AA S AA S V V V ABD ABD ABD ABD A ABD D B A B BDD A △△△ 4323232311111111111=⨯⨯=⋅=⋅-⋅=-=---AA S AA S AA S V V V ABD ABD ABD ABD A ABD D B A B BDD A △△△…………………14分4．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=，AB CD <， SD ⊥平面ABCD ，AB AD a ==，2SD a =．（1）求证：平面SAB ⊥平面SAD ；（2）设SB 的中点为M ，且DM MC ⊥，试求出四棱 锥S ABCD -的体积． 解：（1）证明：90,.A AB AD ∠=∴⊥又SD ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，SD AB ∴⊥． ………………2分 AB ∴⊥平面SAD ．………4分又AB ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD ． …………………………6分 （2）连结,90,BD A AB AD a ∠===2,45BD a SD BD BDA ∴=∴=∠=又M 为SB 中点，DM SB ∴⊥． …………………………………………8分 由条件DM MC ⊥，MC SB M ⋂=，DM SBC ∴⊥面．又BC SBC ⊂面，则DM BC ⊥．………………………………………………………………10分 由（1）可知SD BC ⊥，SD DM D ⋂=， BC SDB ∴⊥面，则BC BD ⊥．……………12分 由平面几何知识，则BDC ∆是等腰直角三角形，则22DC DB a ==，……………………13分故31122().23322S ABCD ABCD a a V S SD a a a -+=⋅=⋅=．……………………………………14分5．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，对角线BD AC 、的交点为AD G ，⊥平面，ABE F BC EB AE EB AE ，，2===⊥为CE 上的点，且CE BF ⊥． （1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求证：AE ∥平面BFD ； （3）求三棱锥GBF C -的体积． 解：（1）证明：AD ⊥面ABE ，//AD BC ，AB CD M SBC ∴⊥面ABE ，AE BC ∴⊥．…………………………………………………………………2分 又 AE EB ⊥，BC EB B =，AE ∴⊥面BCE ．……………………………………………………4分 （2）证明：矩形ABCD 中，G 是AC 中点，EB BC =且BF CE ⊥，F ∴为EC 中点．……………………6分 在AEC ∆中，//FG AE ，又FG ⊂面BFG ，AE ⊄面BFG ， //AE ∴面BFG ． …………………………………………………8分 （3）F G 、分别是EC AC 、的中点，//FG AE ∴且112FG AE ==． …………………………………9分 AE ⊥面BCE ，FG ∴⊥面BCE ． …………………………………………………………11分 在Rt BCE ∆中，2EB BC ==，F 是EC 的中点，1111222BCF BCE S S BE BC ∆∆∴==⋅⋅=．…………………………………………………………12分1133C BFG G BCF BCF V V S FG --∆∴==⋅=．…………………………………………………………13分6．（本小题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形， 2=AB ，4=BC ，G F E 、、分别是线段CD PD PA ，，的中点． （1）求证：平面⊥PDC 平面PAD ； （2）求证：//PB 面EFG ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离 为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由． 解：（1）证明：∵PA 是圆柱的母线，∴PA ⊥圆柱的底面． ……………………………………………1分 ∵CD ⊂圆柱的底面，∴PA ⊥CD ．又∵ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD而AD PA =A ，∴CD ⊥平面PAD ．………………………………3分又CD ⊂平面PDC ，∴平面⊥PDC 平面PAD ．……………………4分 （2）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，∵G F E 、、分别是线段CD PD PA ，，的中点，∴EF AD GH ////． ∴H G F E ，，，四点共面． ……………………………………………6分 又H 为AB 中点，∴PB EH //． ………………………………………7分 又⊂EH 面EFG ，⊄PB 平面EFG ，∴//PB 面EFG ． …………9分（3）假设在BC 上存在一点M ，使得点D 到平面PAM 的距离为2，则以PAM △为底、D 为顶点 的三棱锥的高为2，连结AM ，则AM 22AB BM +222BM +由（2）知PA ⊥AM ∴PAM S △=2221122422PA AM BM BM •=⨯+=+ ∴PAM D V -=123PAM S ∆••=13•242BM +2243BM +…………………………………11分 ∵1142422AMD S AD AB ∆=•=⨯⨯=，∴11842333P AMD AMD V S PA -∆=•=⨯⨯=…………12分∵PAM D V -=AMD P V -，∴2243BM +=83，解得：23BM = ∵34<，∴在BC 上存在一点M ，当23BM =使得点D 到平面PAM 的距离为2．………………14分 7．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF AB //，将矩 形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （1）求证：NC ∥平面MFD ；（2）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （3）求四面体NFEC 体积的最大值．解：（1）证明：∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ， ………3分 ∵NC ⊄平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ． ……………4分 （2）证明：连接ED ，设ED FC O =．∵平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，∴⊥NE 平面ECDF ，∴FC NE ⊥．……………………6分 ∵EC CD =，∴四边形ECDF 为正方形， ∴FC ED ⊥． ………………………………………………7分 ∴⊥FC 平面NED ，∴FC ND ⊥． ……………………9分（3）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（1）得⊥NE 平面FEC ， ∴四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-．………………………………11分 ∴21(4)[]222NFEC x x V +-≤=．…………………………………………………………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大．………………………………14分8．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长 为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面 ⊥PAD 底面ABCD ，且22PA PD AD ==． （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积． 解：（1）证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点．故在△CPA 中，//EF PA ，……………………………………………………………………… 3分 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．……………………………… 5分 （2）取AD 的中点M ，连结PM ，PA PD =，∴PM AD ∴⊥．…………………………………7分A B C D E F A CDEF P又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PM ABCD ∴⊥平面． ……………………………………………………………………………9分 ∴31111332212C PBD P BCD BCD a V V S PM a a a --∆∴==⋅=⋅⋅⋅=．……………………………………12分9．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为直角梯形，︒=∠90ADC ，AD BC //，CD BC =AD 21=，PD PA =，F E 、为PC AD 、的中点． （1）求证：//PA 平面BEF ； （2）求证：PB AD ⊥． 解：（1）证明：连结AC 交BE 于O ，并连结FO EC 、．∵AD BC //，AD BC 21=，E 为AD 的中点，∴BC AE //，且BC AE =．∴四边形ABCD 为平行四边形．∴O 为AC 中点． 又∵F 为PC ，∴PA OF //．∵⊂OF 平面BEF ，⊄PA 平面BEF ，∴//PA 平面BEF ．……………………………………7分 （2）证明：连结PE ．∵PD PA =，E 为AD 的中点，∴AD ⊥PE ．∵AD BC //，AD BC 21=，E 为AD 的中点，∴BCDE 为平行四边形，∴CD BE //，∵AD ⊥CD ，∴AD ⊥BE ． ∵E BE PE = ，∴AD ⊥平面PBE ．∵⊂PB 平面PBE ，∴PB AD ⊥． ……………………………………………………………14分。
广东省东莞市2014届高三数学(理)小综合专题：三角与向量
2014届高三理科数学小综合专题练习-------三角与向量一、选择题1.若角α的终边经过点)2,1(-P ，则α2tan 的值是A.34 B. 32 C. 21 D. 34- 2. 函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3x 2sin(3y π-=的图象A.向右平移个6π单位B.向左平移个6π单位C.向左平移个3π单位D.向右平移个3π单位3.已知下列命题：①若向量a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；a ＞b ；③若0=⋅b a ，则=或=；④在△ABC 中，若0<⋅,则△ABC 是钝角三角形；⑤)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅其中正确命题的个数是A. 3B.2C. 1D. 0 4. 在ABC ∆中，三内角C B A ,,分别对三边c b a ,,,34tan =C ，8=c ，则ABC ∆外接圆半径R为A ．10B ．8C ．6D ．55. 已知M 是ABC ∆内的一点，且32=⋅AC AB ， 30=∠BAC ，若MBC ∆，MCA ∆ 和MAB ∆的面积分别为y x ,,21，则yx 41+的最小值是A ．9B ．16C ．18D ．20二、填空题6.若向量)1,1(),2,1(-==，则+2与-的夹角等于__________.7. 已知20πβα≤<<，且54)cos(=-βα，54)cos(-=+βα，则=β2__________.8.已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若2=+量在向量方向上的投影为_________.9.ABC ∆中，三内角C B A ,,分别对三边c b a ,,,已知1=a ，当时2cos 2cos CB A ++取最大值时，ABC ∆面积的最大值是_________.10. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5a =，325=b ，4π=A ，则=B cos .三、解答题11．已知等比数列{}n a 的公比3=q ，前3项和3133=S ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 在6x π=处取得最大值3a ，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，求函数)(x f 的解析式．12．已知向量)21,sin (--=→θa m ，)cos ,21(θ=→n ．(1)当22=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值；(2)当0=a ，且→m ∥→n 时，求θtan 的值．13．已知c b a ,,分别为ABC ∆三内角C B A ,,的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a . (1)求A ；(2)若2=a ，ABC ∆的面积等于3，求c b ,．14．已知向量)23sin ,23(cosx x =，)2sin ,2(cos x x b =，且]2,0[π∈x .(1)求b a ⋅(2)若x f -⋅=)(23-，求实数λ的值.15．一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题： (1)求棒长L 关于θ的函数关系式)(θL ； (2)求能通过直角走廊的铁棒长度的最大值．16．设函数x x x x x f 22cos sin cos sin 32)(+-=. (1)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； (2)若m x f x g -=)()(在]2,0[π∈x 上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围；（3）求由曲线)(x f 和x x h 2cos 4)(=及直线0=x 和直线4π=x 围成图形的面积.2014届高三理科数学小综合专题练习-------三角与向量参考答案一、选择题 ABDDC二、填空题6．4π7. π 8.239. 43 10. 322三、解答题A11.解：（1）由313,33==S q ，得31331)31(31=--a 解得 311=a ，所以213331--=⋅=n n n a . （2）由（1）知33=a ，所以3=A ，由题意知ππ=⨯=22T ，所以22==ππω，因为当6π=x 时)(x f 取得最大值，所以1)62sin(=+⋅ϕπ，又πϕ<<0，故6πϕ=，所以函数)(x f 的解析式为)62sin(3)(π+=x x f .12.解：（1）当22=a 时，)21,sin 22(--=→θm ，→→⊥n m ， ∴由0=⋅→→n m ， 得22cos sin =+θθ， 上式两边平方得212sin 1=+θ，所以212sin -=θ． （2）当0=a 时，)1,sin (--=→θm ，由→m ∥→n ，得41cos sin =θθ，即212sin =θ，21tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222=+=+=θθθθθθθ ， 解得32tan +=θ或 32-．13.解: （1）0sin 3cos =--+c b C a C a ，由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+又)sin(sin C A B +=，C C A C A C A C A sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin ++=+∴，即)cos 1(sin sin sin 3A C C A +=，0sin ≠C ，1cos sin 3=-∴A A ，21)6sin(=-∴πA从而66ππ=-A ， 3π=∴A .（2）由3sin 21==A bc S ，得4=bc ， 又A bc c b a cos 2222-+=，得822=+c b由⎩⎨⎧=+=8422c b bc 解得2b c ==14. 解：（1）2sin 23sin 2cos 23cosx x x x +=⋅)223cos(xx -=x cos =，=++2)2cos 23(cos x x 2)2sin 23(sin x x +2cos 4cos 222xx =+=]2,0[π∈x ，,02cos ≥∴x2cos 22cos 42x x =.(2)12cos 42cos 22cos4cos )(2--=-=xx x x x f λλ , 2221)2(cos2(λλ---=∴xx f ]2,0[π∈x , ]4,0[2π∈∴x ，]1,22[cos ∈∴x 当22<λ时，当且仅当222cos =x 时，)(x f 取最小值231241-=--λ，解得823=λ； 当122≤≤λ时，当且仅当λ=2cos x 时，)(x f 取最小值23212-=--λ， 解得21=λ（舍）； 当1>λ时，当且仅当12cos=x 时，)(x f 取最小值23142-=--λ，解得85=λ（舍去），综上所述，823=λ.15. 解：(1)如右图，θcos 2=AB ，θsin 2=BC ，=+==BC AB AC L )(θθcos 2θsin 2+)20(πθ<<. (2)法一：212cos sin cos sin 22=+≤θθθ ，即2cos sin 1≥θθ，当且仅当θθcos sin =时，等号成立4222sin cos 122sin 1cos 12)(=⋅≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴θθθθθL ， 当且仅当θθcos sin =时，等号成立 故当4πθ=时，)(θL 取到最小值4，而)(θL 的最小值就是铁棒通过走廊的最大长度4.法二：θθθθθθθθθ223322cos sin cos sin 2sin cos cos sin 2)(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∴L ，令0)(='∴θL ，解得θθcos sin =，即4πθ=.当)4,0(πθ∈时，θθcos sin <，0)(<∴θL ，从而)(θL 单调递减；当)2,4(ππθ∈时，θθcos sin >，0)(>∴θL ，从而)(θL 单调递增；故，当4πθ=时，)(θL 取到最小值4，而)(θL 的最小值就是铁棒通过走廊的最大长度4. 法三： θθθθθcos sin )sin (cos 2)(+=L ， 令)4sin(2sin cos πθθθ+=+=t20πθ<< ,]2,1(∈∴t ，则21)cos (sin cos sin 2-+=θθθθ212-=t ， tt t t L 1221222-=-=∴，当]2,1(∈t 时，t t 1-随着t 的增大而增大，所以]22,0(1∈-t t ，所以),4[+∞∈L ，所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4.16. 解：(1))62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ，所以最小正周期ππ==22T ， 由,226222πππππk x k +≤+≤+-Z k ∈，得,63ππππk x k +≤≤+-Z k ∈，所以)(x f 的递增区间为 )](6,3[Z k k k ∈++-ππππ.（2）)(x g 在]2,0[π有两个不同的零点，)(x f y =∴与m y =的图象在]2,0[π上有两个交点，)(x f y =，]2,0[π∈x 的图象如右图：由图知，21<≤m（3）在上图中，作出x x h 2cos 4)(=的图象，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 2cos 4)62sin(2π，解得)(x f 与)(x h 的图象在]4,0[π上的交点坐标为)2,6(π，dx x x S ⎰+-=60)]62sin(22cos 4[ππdx x x ⎰-++46]2cos 4)62sin(2[πππ|60)]62cos(2sin 2[ππ++=x x |46]2sin 2)62cos([πππx x -+-+)]6cos 0sin 2()2cos 3sin2[(πππ+-+=)]3sin 22(cos )2sin 232[(cos ππππ+-+- )3221(233-+---= )13(23-=。
2014高考数学复习解析几何习题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1、（2013年高考山东数学（理））过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=2、（2013年高考新课标Ⅱ卷数学（理））已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -,直线(0)yax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B．1(1)2( C) 1(1]3 D ． 11[,)323、【贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理】 若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=4．（2013年高考新课标1（理））已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 5 ．【2012厦门期末质检理】直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于（ ）A .2 B . 2 C .22 D . 46、（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试）设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是（ ）A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =-D ．24y x =7、（上海青浦区2013届高三一模）15．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为………………………………………………（ ）．A . x y 2±= .B x y 2±=C . x y 21±=D . x y 22±=8、【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．13222=-y x D ．12322=-y x9、（2013年高考四川卷（理））抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是 （ ）A ．12B C ．1 D 10、【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理】设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，双曲线两条渐近线分别为12,l l ，过F 作直线1l 的垂线，分别交12,l l 于A 、B 两点，且向量BF 与FA 同向．若||,||,||OA AB OB 成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为A ．2B C D 11、【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为12、（2013年高考重庆数学（理）试题）已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4B 1C ．6-D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．14、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.15、（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.16、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左.右焦点分别为12,F F ,焦距为2c,若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为,圆心在上. (1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18. (本小题满分12分) （2013广东理）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20x y --=的距.设P 为直线上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线上的定点时,求直线AB 的方程； (Ⅲ) 当点P 在直线上移动时,求AF BF ⋅的最小值.19．(本小题满分12分) 【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。
专题15 几何证明选讲-2014年高考数学试题分项版解析(原卷版)(2)
专题15 几何证明选讲1. 【2014高考广东卷文第15题】如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆=∆的周长的周长.2. 【2014高考陕西卷文第15B 题】如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB , 于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.3. 【2014高考天津卷卷文第7题】如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与A 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④4. 【2014高考辽宁文第22题】如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB 为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD ，求证：AB=ED.9. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠；（Ⅱ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.10.【2014高考全国2第22题】如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E 。
证明：（Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB。
广东省东莞市高三数学 小综合专题练习 解析几何 理 新人教版
2013届高三理科数学小综合专题练习——解析几何一、选择题1．已知直线1l ：012=+-y mx ，2l ：032=-+y m x ．若21l l ⊥，则实数m 等于 A ．21±B ．0C ．21或0 D ．21±或02．双曲线8222=-y x 的实轴长是A ．24B ．4C ．22D ．23．椭圆1422=+y x 的焦点为1F ，2F ，点M 在椭圆上且满足021=•MF MF ，则M 到y 轴的距离为A ．233B ．263C ．33D ． 34．已知点()20，A ，()02，B ．若点C 在抛物线2x y =的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．15．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ∶21F F ∶2PF ＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于A ．21或23 B ．32或2 C ．21或2 D ．32或23 6．在圆06222=--+y x y x 内，过点()10，E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．5B ．10C ．5 2D ．10 2 二、填空题7．已知双曲线()01222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则=b ________．8．不论a 为何值时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过定点P ，则过P 点的抛物线的标准方程为_________ _．9．如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系''Oy x (其中'y 轴与y 轴重合)所在的平面为β，︒=∠45'xOx ． 已知平面β内有一点()222'，P ，则点P ′ 在平面α内的射影P 的坐标为________．10．曲线C 是平面内与两个定点()0 11，-F 和()0 12，F 的距离的积等于常数()12>a a 的点的轨迹．给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③ 若点P 在曲线C 上，则21PF F ∆的面积不大于221a ． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题11．如图，设P 是圆2522=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且PD MD 54=． (1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2) 求过点()03，且斜率为54的直线被C 所截线段的长度．12．已知直线l ：m x y +=，R m ∈．(1) 若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．13．已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2＋y 22＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →＝0． (1) 证明：点椭圆P 在C 上；(2) 设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．14．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1．(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．15．设圆C 与两圆()4522=++y x ，()4522=+-y x 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2) 已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．16．在平面直角坐标系中，已知向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，若-=+．（1）求动点()y x M ,的轨迹T 的方程，并说明该方程表示的曲线的形状； （2）当34=k 时，已知()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，且满足1=，若点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，若存在，求出圆G 的方程，若不存在，请说明理由．17．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右顶点分别为B A 、，椭圆C 的右焦点为F ，过F 作一条垂直于x 轴的直线与椭圆相交于S R 、，若线段RS 的长为310． （1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是直线9=x 上的点，直线QB QA 、与椭圆C 分别交于点N M 、，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线)0(22>=p px y 写出一个更一般的结论，并加以证明．2013届高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案一、选择题CBB AAD 二、填空题 7．2； 8．y x 342=或x y 292-=； 9．()2 2，； 10．②③ 三、解答题11．解(1) 设()y x M ，，()P P y x P ，．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx p P 45∵P 在圆2522=+y x 上， ∴254522=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ．即点M 的轨迹C 的方程为1162522=+y x ．(2) 过点()03，且斜率为54的直线方程为()354-=x y ， 设直线与C 的交点为()11y x A ，，()22y x B ，，将直线方程()354-=x y 代入C 的方程，得()12532522=-+x x ，即0832=--x x ．∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴线段AB 的长度为 |AB |＝()()221221y y x x -+-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415．12．解(1) 依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)． 从而圆的半径r ＝|MP |＝()()222002-+-＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． (2) 因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m ． 由⎩⎨⎧=--=yx mx y 42得x 2＋4x ＋4m ＝0．由∆＝42－4×4m ＝16(1－m )=0，即m ＝1，直线l ′与抛物线C 相切．13．(1) 证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22＝1得：4x 2－22x －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3) ∴ x 1＋x 2＝22，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1， 由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝22-，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1． 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1． 经验证，点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1满足方程x 2＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．(2)证明：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－1和题设知 Q ⎝⎛⎭⎪⎫22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝22-x ① 设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14②由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28，18． |NP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－182＝3118，|AB |＝()221-+·|x 2－x 1|＝322，|AM |＝324，|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋282＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－182＝338，|NA |＝|AM |2＋|MN |2＝3118，故|NP |＝|NA |．又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |，所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |， 由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上．14．(1) 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有()221y x +-－|x |＝1，化简得x x y 222+=． 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0．所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)．(2) 由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，则可设l 1的方程为y ＝k (x －1)．由()⎩⎨⎧=-=xy x k y 412得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|11+=x AF 12+=x FB 13+=x FD 14+=x EF ∴AD →·EB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16．当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16．15．解(1) 设圆C 的圆心()y x C ,，其半径为r ．()0,51-F ，()0,52F由题设知⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2221r CF r CF 或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2221r CF r CF即21214F F CF CF <=-∴圆C 的圆心轨迹L 是以()0,51-F ，()0,52F为焦点且实轴长为4的双曲线． ∴L 的方程为x 24－y 2＝1．(2) 由已知可求得过M ，F 的直线l 方程为y ＝－2(x －5)，将其代入L 的方程得15x 2－325x ＋84＝0，解得x 1＝655，x 2＝14515，即l 与L 的交点坐标分别为T 1⎝⎛⎭⎪⎫655，－255，T 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14515，2515.因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故||MT 1|－|FT 1||＝|MF |＝2，||MT 2|－|FT 2||<|MF |＝2． 若P 不在直线MF 上，在△MFP 中有||MP |－|FP ||<|MF |＝2． 故||MP |－|FP ||只在点P 位于T 1⎝⎛⎭⎪⎫655，－255时取得最大值2．16．解（1）∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线； 当1=k时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； 当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆； 当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．（2）由（1）知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，则1F 、2F 为椭圆的两焦点． 由椭圆定义得421=+PF PF ，又121=-PF PF ．解得251=PF ，232=PF ， 又221=F F ，有2212221F F PF PF+=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或23-=x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛1,23P ． 设存在满足条件的圆，则22QF PF ⊥，设()t s Q ,，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s , ∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t , ∴()2,0Q 或()2,0-Q ． 所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．17．解（1）依题意，椭圆过点)35,2(，故⎪⎩⎪⎨⎧=-=+4192542222b a ba ，解得⎩⎨⎧==5922b a ． 椭圆C 的方程为15922=+y x ． （2）设),9(m Q ，直线QA 的方程为)3(12+=x my代入椭圆方程，得96)80(2222+++m x m x m 设),(11y x M ，则8032408072093221221+-=⇒+-=-m m x m m x ， 8040)3803240(12)3(1222211+=++-=+=m mm m m x m y ，故点M的坐标为)8040,803240(222++-m mm m ． 同理，直线QB 的方程为)3(6-=x my ，代入椭圆方程，得018096)20(2222=-+-+m x m x m ，设),(22y x N ，则206032018093222222+-=⇒+-=m m x m m x ，2020)320603(6)3(622222+-=-+-=-=m mm m m x m y ．点N 的坐标为)2020,20603(222+-+-m mm m ． ①若402060380324022222=⇒+-=+-m m m m m ，直线MN 的方程为1=x ，与x 轴交于)0,1(点；②若402≠m ，直线MN 的方程为)20603(401020202222+---=++m m x m m m m y ， 令0=y ，解得1=x ．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点)0,1(．（3）结论：已知抛物线)0(22>=p px y 的顶点为O ，P 为直线)0(≠-=q q x 上一动点，过点P 作x 轴的平行线与抛物线交于点M ，直线OP 与抛物线交于点N ，则直线MN 必过定点)0,(q ．证明：设),(m q P -，则),2(2m pm M ， 直线OP 的方程为x qmy -=，代入px y 22=， 得022=+y mpqy ，可求得)2,2(22m pq m pq N -． 直线MN 的方程为)2(22)2(222222222p m x pq m pm p m x m pq p m m pqm m y --=--+=-， 令0=y ，得q ppqm p m x =--=22222，即直线MN 必过定点)0,(q ．。
东莞市2014年高考模拟考试数学(文)试题_Word版含答案
东莞市2014年高考模拟考试数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知0 )4()3(=-+-+i y y x ，其中x ，R y ∈， i 是虚数单位，则=x A ．1 B ．1- C ．7 D ．7- ⒉函数()x x f -=1lg )(的定义域是A ．)0 , (-∞B ．) , 0(∞+C ．)1 , (-∞D ．) , 1(∞+ ⒊如图是根据某城市部分居民2012年 月平均用水量(单位：吨)绘制的样本 频率分布直方图，样本数据的分组为 [1，2），[2，3），[3，4），……，[6，7]． 已知样本中月均用水量低于4吨的户数为 102，则样本中月均用水量不低于4A ．168 B ．178 C ．188 D ．198 ⒋以) 0 , 1 (为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是 A ．8)1(22=+-y x B ．8)1(22=++y x C ．16)1(22=+-y x D ．16)1(22=++y x⒌设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面。
给出下列四个命题： ①若α⊂m ，βα//，则β//m ②若m 、α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα// ③若α⊥m ，β⊥m ，α⊥n ，则β⊥n ④若γα⊥，γβ⊥，α⊥m ，则β⊥m 其中，正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4保密★启用前 试卷类型：B⒍已知ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则=⋅AF AE A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 ⒎执行程序框图，如果输入5=n ，那么输出的=p A ．24 B ．120 C ．720 D ．1440⒏已知函数1)(2--=bx ax x f ，其中] 2 , 0 (∈a ，] 2 , 0 (∈b ，在其取值范围内任取实数a 、b ，则函数)(x f 在区间) , 1 [∞+ 上为增函数的概率为A ．21B ．31C ．32D ．43⒐等轴双曲线∑的中心在原点，焦点在x 轴上，∑与抛物线 241x y =的准线交于P 、Q 两点，若4||=PQ ，则∑的实轴长为A ．32 B ．3 C ．2 D ．3 ⒑设命题p ：函数32sin(π+=x y 的图象向左平移6π单位得到的曲线关于y 轴对称； 命题q ：函数|13|-=xy 在) , 1 [∞+-上是增函数．则下列判断错误．．的是 A ．p 为假 B ．q ⌝为真 C ．q p ∧为假 D ．q p ∨为真二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题（11～13题）⒒某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程a x b y+=中，4.9=b ，则据此模型预测，广告费用为6万元时，销售额约为 ．⒓已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足6)(22=-+c b a 且060=C ，则ABC ∆的面积=S ．⒔观察下列各式：24152=-，48172=-，1201112=-，1681132=-……，所得结果都是24的倍数。
2014高考数学真题汇编(解析几何)部分
2014解析几何部分：一选择题1（2014全国大纲卷）6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F，离心率为2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 2（全国大纲卷）9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ） A ．14 B ．13 CD3（2014课标1）4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB .3 CD .3m4（2014课标1）10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 5（2014新课标2）10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.B.C. 6332D. 946（2014辽宁卷）10.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，学 科网过点A 的直线与C在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．437（2014福建卷）10设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.268（2014广东卷）4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等9（2014四川卷）10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A 、2B 、3 CD二填空题1（2014全国大纲卷）15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2（2014新课标2）16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.3（2014陕西卷）12若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.4（2014辽宁卷）15.已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .5（2014广东卷）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿6（2014湖南卷）15.如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=ab.7（2014四川卷）14设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是____________8（2014上海卷）3若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.9（2014上海卷）14.已知曲线C：x =l ：x=6。
广东省东莞市2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷(带解析)
广东省东莞市高2014届三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．设集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则下列关系中正确的是（ ） A.MP P = B.M P = C.M P M = D.M P P =【答案】A 【解析】试题分析：由题意知{}()()21,11,P x x =>=-∞-+∞，所以M P ⊆，因此MP P =，M P M =，故选A.考点：集合的包含关系2．复数11i +的虚部是（ ） A.12- B.12 C.12i D.1【答案】A 【解析】 试题分析：()()111111122i i i i i -==-++-，因此，复数11i +的虚部是12-，故选A.考点：1.复数的除法；2.复数的概念3．对于非零向量a 、b ，“//a b ”是“0a b +=”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：取()1,2a =，()2,4b =，则//a b ，且()3,60a b +=≠，所以//0a b a b ⇒+=/，另一方面，0a b +=，则b a =-，a 与b 互为相反向量，则//a b ，所以//0a b a b ⇐+=，所以“//a b ”是“0a b +=”成立的必要不充分条件，故选B. 考点：1.共线向量；2.充分必要条件4．已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，则()2f =（ ） A.1 B.e C.2e D.()ln 1e -【答案】C 【解析】试题分析：由于函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数log a y x =（0a >且1a ≠）关于直线y x =对称，因此()x f x e =，()22f e ∴=，故选C.考点：反函数的概念5．如图是2010年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（ ） A.4.84 B.0.8 C.1.6 D.3.2【答案】D 【解析】试题分析：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩的数据分别是82、84、86、86、87，其平均数为x =()18284868687855++++=，因此所剩下的数据的方差为()()()()2222211682858485286858785 3.255s ⎡⎤=-+-+⨯-+-==⎣⎦，故选D.考点：1.茎叶图；2.方差6．已知m 、n 是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n α⊥，n β⊥，则//αβ；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；③若m 、n 为异面直线，n α⊂，//n β，m β⊂，//m α，则//αβ．其中正确命题的个数（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】B 【解析】试题分析：如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，棱1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，对于命题①，1AA ⊥平面ABCD ，1AA ⊥平面1111A B C D ，则平面//ABCD 平面1111A B C D ，命题①为真命题；对于命题②，1A B 和1A D 的中点E 和F 都在平面2222A B C D 内，但是平面1A BD 与平面2222A B C D 不平行，命题②不正确；对于命题③，BD 与11AC 为异面直线，BD ⊂平面ABCD ，//BD 平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，11//AC 平面ABCD ，则可以在平面2222A B C D 内找到22//B D BD ，2211//A C AC ，于是得到平面//ABCD 平面2222A B C D ，平面1111//A B C D 平面2222A B C D ，所以，平面//ABCD平面1111A B C D ，命题③正确，故选B.D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1A 1F E DC BA考点：空间中点、线、面的位置关系7．已知实数x 、y 满足00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y x ω-=+的取值范围是（ ）A.11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域如下图所示，则11y x ω-=+可视为可行域内的一点(),x y 与点()1,1C -连线之间的斜率，过点C 且与y 轴垂直的直线与线220x y --=上交于点3,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，直线220x y --=与x 轴交于点()1,0B ，当过点C 的直线从点D 往向上的区域移动时，倾斜角增大，此时ω从0变化至使得直线过点C 的直线与直线0x y -=近乎平行，此时01ω≤<；当过点C 的直线从点B 到点D 移动时，倾斜角增大，此时ω的值从CB k 变化至0，而011112CO k -==-+，此时102ω-≤≤，综上所述，ω的取值范围是1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选D. 考点：1.线性规划；2.直线的斜率8．已知双曲线()22210x y a a-=>的右焦点与抛物线28y x =焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A.y =B.y x =C.y =D.3y x =± 【答案】D 【解析】试题分析：抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意知2221243a a +==⇒=，故双曲线的方程为2213x y -=，因此双曲线的渐近线方程为y x =，故选D. 考点：1.双曲线与抛物线的几何性质；2.双曲线的渐近线 9．若224mn+<，则点(),m n 必在（ ）A.直线20x y +-=的左下方B.直线20x y +-=的右上方C.直线220x y +-=的右上方D.直线220x y +-=的左下方 【答案】A【解析】试题分析：由基本不等式得224222m n mn++>+≥=，即22222m n ++>，因此有222m n ++< 20m n ⇒+-<，因此点(),m n 在直线20x y +-=的左下方，故选A.考点：1.基本不等式；2.线性规划10．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =xOA yOB +，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C 【解析】试题分析：由于A 、B 、D 三点共线，设AD AB α=，则()O D O A A D O A A B O A O B O Aαα=+=+=+-()1OA OB αα=-+，由于O 、C 、D 三点共线，且点D 在圆内，点C 在圆上，OC 与OD 方向相反，则存在1λ<-，使得()()11OC OD OA OB OA OB xOA yOB λλααλαλα⎡⎤==-+=-+=+⎣⎦，因此()1x λα=-，y λα=，所以1x y λ+=<-，选C.考点：1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示11．已知数列{}n a 是等差数列，31a =，41018a a +=，则首项1a = . 【答案】3-. 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则有3121a a d =+=，()()4101113921218a a a d a d a d +=+++=+=，解得13a =-，2d =.考点：等差数列12．函数339y x x =-+的极小值是 . 【答案】7. 【解析】试题分析：233y x '=-，令0y '=，解得1x =±，列表如下：故函数339y x x =-+在1x =处取得极小值，即313197y =-⨯+=极小值.考点：函数的极值13．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，3b =，4cos 5B =. 则sin A 的值为 . 【答案】25. 【解析】试题分析：4c o s5B =且0B π<<，所以02B π<<，所以3sin 5B ===，由正弦定理得s i ns i nabA B =，sin 312sin 2535a B Ab ∴==⨯⨯=. 考点：正弦定理14．如图，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知6PA =，223AB =，12PO =，则圆O 的半径是__ .【答案】8. 【解析】试题分析：2240633PB PA AB =+=+=，设圆O 的半径为R ，由割线定理得PC PD PA PB ⋅=⋅，即()()222240126803PO R PO R PO R R -+=-=-=⨯=，22128064R ∴=-=，解得8R =.考点：割线定理15．直线3cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数）的倾斜角是【答案】50. 【解析】试题分析：直线3cos 2301sin 230x t y t ⎧=+⎨=-+⎩的斜率为sin 230tan 230tan 50cos 230k ===，因此该直线的倾斜角为50.考点：1.直线的参数方程；2.直线的斜率16．已知函数()2f x x x =，x R ∈.（1）求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最大值和最小正周期；（3）若28f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.【答案】（1）0；（2）最大值为2，最小正周期为π；（3）. 【解析】试题分析：（1）直接将38x π=代入函数解析式进行计算即可；（2）利用辅助角公式对三角函数()f x 的解析式进行化简，从而利用公式求出函数()h x 的最大值与最小正周期；（3）利用已知条件求出sin α的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，最终利用二倍角公式求出sin 2α的值.（1）33322088822f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()2222cos sin 2sin cos 22sin 2444f x x x x x x πππ⎫⎛⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()f x ∴的最大值为2，最小正周期为22T ππ==； （3）由（1）知，()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭，即sin α=，又α是第二象限角，所以cos 4α===-，所以sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭ 考点：1.辅助角公式；2.三角函数的最值与周期；3.同角三角函数的基本关系；4.二倍角17．（本小题满分12分）一工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子,每种样式均有500ml 和700ml 两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的（1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500ml 杯子的概率． 【答案】（1）2500z =；（2）710. 【解析】 试题分析：（1）先求出在丙、乙样式的杯子中所抽取的杯子数目，然后利用分层抽样中每层的入样比相等得到乙样式的杯子的总数，从而求出z 的值；（2）先确定所抽取的样本中500ml 和700ml 杯子各自的数目，并进行编号，利用列举法求出基本事件的总数与问题中涉及的事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率. （1）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n 个，在丙样式的杯子中抽取x 个，由题意得，2550008000x=，所以40x =， 则100402535--=，所以，25355000n=，7000n =，故2500z =； （2）设所抽取样本中有m 个500ml 的杯子，因为分层抽样的方法中在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，所以200050005m=，解得2m =，也就是抽取了2个500ml 杯子，3个700ml 杯子，分别记作1A 、2A 、1B 、2B 、3B ，则从中任取2个的所有的基本事件为：()12,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()13,A B 、()21,A B 、()22,A B 、()23,A B 、()12,B B 、()13,B B 、()23,B B ，共10个，其中至少有1个500ml 的杯子的基本事件：()12,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()13,A B 、()21,A B 、()22,A B 、()23,A B ，所以从中任取2个，至少有1个500ml 杯子的概率为710. 考点：1.分层抽样；2.古典概型18．如图，已知AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，22AD AC DE AB ====，且F 是CD 的中点，AF = （1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3 【解析】试题分析：（1）取CE 的中点P ，连结FP 、BP ，利用中位线证明1//2PF DE ，利用题中条件得到1//2AB DE ，进而得到//PF AB ，于是说明四边形ABPF 为平行四边形，得到//BP AF ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AF 平面BCE ；（2）由DE ⊥平面ACD 得到AF DE ⊥，再利用等腰三角形三线合一得到AF CD ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理证明AF ⊥平面CDE ，结合（1）中的结论//BP AF 证明BP ⊥平面CDE ，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE ⊥平面CDE ；（3）利用已知条件得到平面ABDE ⊥平面ADC ，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体C ABDE -的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积. （1）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，F 为CD 的中点， //FP DE ∴，且12FP DE =，又//AB DE ，且12AB DE = //AB FP ∴，且AB FP =， ABPF ∴为平行四边形，//AF BP ∴，又AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ，//AF ∴平面BCE ；（2）3AF =2CD ∴=，所以ACD ∆为正三角形，AF CD ∴⊥，AB ⊥平面ACD ，//DE AB ，DE ∴⊥平面ACD ，又AF ⊂平面ACD ， DE AF ∴⊥，又AF CD ⊥，CD DE D =，AF ∴⊥平面CDE ，又//BP AF ，BP ∴⊥平面CDE ， 又BP ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ；（3）此多面体是一个以C 为定点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，()12232ABED S +⨯==，平面ABDE ⊥平面ADC ，∴等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高，133C ABDE V -∴=⨯=.考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算 19．已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+. 【答案】（1）()1n a n n N *=+∈；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）利用1n =时，11a S =以及2n ≥时，1n n n a S S -=-以此求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用基本不等式12221n n n c n n ++=+>++由此证明122n c c c n +++>，利用裂项法得到11212n c n n =+-++，由此计算出数列{}n c 的前n 项和，于此证明12122n c c c n +++<+.（1）点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+，当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+； 当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++， 122n c c c n ∴+++>，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++， 121222n n c c c n ∴<+++<+成立. 考点：1.定义法求数列通项；2.基本不等式；3.裂项法求和 20．已知函数()()322f x x ax x a R =--+∈.（1）当1=a 时，求函数()f x 的极值； （2）若对x R ∀∈，有()43f x x '≥-成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）极大值5227，极小值1；（2）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入函数()f x 的解析式，利用导数结合表格求出函数()f x 的极大值与极小值；（2）对x 的符号进行分三类讨论①0x >；②0x <；③0x =，主要是取绝对值符号，结合基本不等式求出参数a 的取值范围，最后再相应地取a 在三种情况下对应取值范围的交集.（1）当1=a 时，()322f x x x x =--+，()()()2321131f x x x x x '=--=-+，令()0f x '=，解得113x =-，21x =， 当()0f x '>时，得1x >或13x <-； 当()0f x '<时，得113x -<<， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，()152327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭极大，当1x =时函数()f x 有极小值，()()11f x f ==极小； （2）()2321f x x ax '=--，∴ 对x R ∀∈，()43f x x '≥-成立，即243213x ax x --≥-对x R ∀∈成立； ①当0x >时，有()2132103x a x -++≥，即12133a x x+≤+，对()0,x ∀∈+∞恒成立，1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立，12122a a ∴+≤⇒≤； ②当0x <时，有()2131203x a x +-+≥， 即11233a x x-≤+，对(),0x ∀∈-∞恒成立，1323x x +≥=，当且仅当13x =-时等号成立，11222a a ∴-≤⇒≥-，③当0x =时，a R ∈综上得实数a 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 考点：1.函数的极值与导数；2.函数不等式恒成立；3.基本不等式；4.参变量分离法21．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆()()222:20T x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M 、N 的任意一点，且直线MP 、NP 分别与x 轴交于点R 、S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）TM TN ⋅的最小值为15-，此时圆T 的方程为()2213225x y ++=； （3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用圆的方程的求出a 的值，然后根据离心率求出c 的值，最后根据a 、b 、c 的关系求出b ，最后确定椭圆的方程；（2）先根据点M 、N 的对称性，设点()11,M x y ，将TM TN ⋅表示为1x 的二次函数，结合1x 的取值范围，利用二次函数求出TM TN ⋅的最小值，从而确定点M 的坐标，从而确定圆的方程；（3）设点()00,P x y ，求出MP 、NP 的方程，从而求出点R 、S 的坐标，最后利用点P 在椭圆上来证明OR OS ⋅为定值.（1）依题意，得2a =，c e a ==，c ∴=1b =， 故椭圆C 的方程为2214x y +=； （2）点M 与点N 关于x 轴对称，设()11,M x y 、()11,N x y -， 不妨设10y >，由于点M 在椭圆C 上，所以221114x y =-， （*）由已知()2,0T -，则()112,TM x y =+，()112,TN x y =+-，()()()221111112,2,2TM TN x y x y x y ∴⋅=+⋅+-=+-，()222211111558112143444555x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=++=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于122x -<<，故当185x =-时，TM TN ⋅取得最小值为15-， 由（*）式，135y =，故83,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =， 故圆T 的方程为：()2213225x y ++=； （3）设()00,P x y ，则直线MP 的方程为：()010001y y y y x x x x --=--，令0y =，得100101R x y x y x y y -=-， 同理：100101S x y x y x y y -=-，故222210012201R S x y x y x x y y -=- （**） 又点M 与点P 在椭圆上，故()220041x y =-，()221141x y =-，代入（**）式，得：()()()2222221001012222010*******R S y y y y y y x x y y y y ----===--所以4R S R S OR OS x x x x ⋅=⋅==为定值.考点：1.椭圆的方程；2.平面向量的数量积；3.直线与椭圆的位置关系。
广东省东莞市2014届高三数学(理)小综合专题：解析几何
2014届高三理科数学小综合专题练习——解析几何一、选择题1.ABC ∆的顶点),0,5(),0,5(B A -ABC ∆的内切圆圆心在直线3=x 上,则顶点C 的轨迹方程为 （ ）A.116922=-y xB.191622=-y xC.)3(116922>=-x y xD.)4(191622>=-x y x2.在椭圆141622=+y x 内,通过点)1,1(M ,且被这点平分的弦所在的直线方程为（ ）A.054=-+y xB.054=--y xC.054=-+y xD.054=--y x 3.给出两点)3,2(-A 、)2,3(B .当直线02=++y ax 与线段AB 有交点时,实数a 的取值范围是 （ ）A.),34[]25,(+∞--∞ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,34 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,25 D.),25[]34,(+∞--∞4. 设F 1、F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为A B C 、23D 5.已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．4 二、填空题6.已知直线与直线01=--y x 垂直，则直线的倾斜角=α .7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率等于31,其焦点分别为A,B,C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在ABC ∆中,CBA sin sin sin +的值等于_________.8.已知圆的方程为02222=++++a y ax y x ,一定点A(1,2),要使过定点A 的圆的切线有两条.则a 的取值范围为___________.9.若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0 , 10(，则双曲线方程是 10.过抛物线x y 22=的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若,,1225BF AF AB <=则AF ＝______.三、解答题11.已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心，以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C1的方程；（2）抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C 2与x 轴交于点Q ，不同的两点R ，S 在C 2上（R ，S 与Q 不重合），且满足，求的取值范围.12.已知圆22:20G x y y +--=经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 及上顶点B .（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆外一点()(),0M m m a >倾斜角为23π的直线l 交椭圆于C 、D 两点，若点()3,0N 在以线段CD 为直径的圆E 的外部，求m 的取值范围.13.已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2-=⋅MB MA k k (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q ，求直线PQ 的方程.14. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为,直线y =与以原点为圆心、以椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程;（2）如图6, ,,A B D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶 点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N ,直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ,求证：2m k -为定值.15.如图，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，且椭圆1C 的短轴长为2，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ， (1)求椭圆1C 的方程；(2)若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M , ①求证：直线MP 经过一定点； ②试问：是否存在以(,0)mG ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由.y2014届高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案一、选择题 C ADA C 二、填空题6. 34π （或135︒）7. 38. )322,322(-9. 1922=-y x10. 45 三、解答题11. 解：(1)由直线l ：y ＝x ＋2与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得|0－0＋2|2＝b ，即b ＝ 2.由e ＝33，得b 2a 2＝1－e 2＝23，所以a ＝3，所以椭圆的方程是C 1：x 23＋y 22＝1.(2)由2p=1,p =2，故C 2的方程为y 2=4x , 易知Q (0，0)，设R (y 214，y 1)，S (y 224，y 2)，∴QR →＝(y 214，y 1)，RS →＝(y 22－y 214，y 2－y 1)，由QR →·RS →＝0，得y 21（y 22－y 21）16＋y 1(y 2－y 1)＝0，∵y 1≠y 2，∴y 2＝－(y 1＋16y 1)，∴y 22＝y 21＋256y 21＋32≥2y 21·256y 21＋32＝64，当且仅当y 21＝256y 21，即y 1＝±4时等号成立． 又|QS →|＝（y 224）2＋y 22＝14（y 22＋8）2－64， ∵y 22≥64，∴当y 22＝64，即y 2＝±8时，|QS →|min ＝85， 故|QS →|的取值范围是[85，＋∞)．12. 解：（1）22:20G x y y +--= 与x 轴、y 轴交点为()和()0,2c ∴=，2b =，22212a b c ∴=+=∴椭圆方程为：221124x y +=（2）设直线l的方程为：)y x m =-（m >）)22312y x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：2210189120x mx m -+-= ()22324409120m m ∆=-->可得：2403m <即m <<设()11,C x y ，()22,D x y ，则1295mx x +=，21291210m x x -=()()()()112212123,3,33NC ND x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+()()21212433930x x m x x m =-++++>化简得：22970m m -+>可得：72m >，∴m取值范围为72⎛ ⎝ 13.解：（1）设M(x,y), 则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- ∴211y y x x ⨯=-+- ∴2212y x +=()1x ≠± （2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ是椭圆的长轴，其长为，显然不合，即直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是y=kx+1,()()1122,,,,P x y Q x y则1212()y y k x x -=-，联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈,12122221,22k x x x x k k +=-=-++==，=，22,k k ==，所以直线PQ 的方程是y=x+1.14. 解:(1)由直线y =与圆222x y b +=相切, b ,得1b =由,得2222234c a b a a -==, 所以2a =,2214x C y ∴+=椭圆的方程为：1)2≠≠±（2）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点，则BP 方程为y=k(x-2)(k 0且k ①将①代入2214x y +=,解得222824(,)4141k k P k k --++又直线AD 的方程为112y x =+ ② ①与②联立解得424(,)2121k kM k k +--由222824(0,1),(,),(,0)4141k k D P N x k k --++三点共线可得42(,0)21k N k --所以MN 的分斜率为m=214k +,则211222k m k k +-=-=(定值).15.解：（1）依题意，1223b a =⋅，则3a b =， 又22=b ，∴1b =，则3a =， ∴椭圆方程为2219x y +=． （2）①由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则PE ：1y kx =-，由221,1,9y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218,9191,91k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴2221891(,)9191k k P k k -++， 用1k -去代k ，得222189(,)99k k M k k --++，22222229191919181810919PMk k k k k k k k k k k ----++==+++， ∴直线PM 的方程：22229118()9109k k k y x k k k ---=+++，即214105k y x k -=+，∴直线PM 经过定点4(0,)5T ．综上所述，直线PM 经过定点4(0,)5T ．②由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴22221(,)11k k A k k -++， 则直线AB ：212k y x k-=，设2110k t k -=，则t R ∈，直线PM ：45y tx =+，直线AB ：5y tx =， 假设存在圆心为(,0)mG ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交，则()()i ii <<由（i ）得22181825()2525t m -<对t R ∈恒成立，则21825m ≤， 由（ii ）得，221882()025525m t mt -+-<对t R ∈恒成立， 当21825m =时，不合题意； 当21825m <时，228182()4()()052525m m ∆=---<，得2225m <，即m <<， ∴存在圆心为(,0)m ，G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交，所有m的取值集合为(。
广东省百所高中2014届高三联考数学文试题(附答案) (1)
广东省百所高中2014届高三11月联合考试数学文一、选择题（50分）1、复数21ii-等于A、1＋iB、1－iC、－1＋iD、－1－i2、已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{－2，0，2}，则{}{}A B M N M C M N2D M N02N M⊆、 、＝ 、＝ 、＝， 3、下列函数中，既是奇函数又是减函数的是A、y＝2xB、y＝－x2C、y＝x3D、y＝－3x4、已知1(,0),cos3απα∈-=-，则tanα等于AB、C、3D、5、若点P（1,1）为圆（x－3）2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的斜率为A、12B、－12C、2D、－26、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于A、2B、2 3C、4 3D、47、已知x，y满足约束条件503x yx yy-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z＝2x＋4y的最小值是A、－6B、5C、10D、－108、执行如图所示的算法流程图，若输入A的值为2，则输出S的值是A 、3B 、2312C 、136D 、25129、设F 1、F 2分别为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足N 为MF 1的中点且ON ⊥MF 1，则椭圆的离心率为A 1B 、2C 、2D 1 10、定义两个平面向量的一种运算则对于两个平面向量a ，b ，下列结论错误的是11、在等差数列{n a }中，9122a a =＋6，则5a ＝＿＿＿＿ 12、曲线21(0)x y x x+=>在点（1,2）处的切线方程为＿＿＿＿ 13、某校开展“爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的劝无法看清，若记分员计算无误，则数字x ＝＿＿＿14、在极坐标系中，圆C 1的方程为)4πρθ=-，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程1cos 1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝＿＿＿＿15、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，圆E 过A ，B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连结BD ，若BC 1，则AC ＝＿＿＿16、（本小题满分12分） 已知函数（1）求5()4f π的值； （2）设，求的值。
广东省东莞市2014届高三数学(文)小综合专题：解析几何
2014届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何一、选择题1．如果P （-4，0），Q （0，8）和R （x ，-4）三点共线，那么x = A.-2 B.2 C.6 D.-6 2. 若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ3．已知点P （3，-1）和B （-1，2）在直线012=-+y ax 的两侧，则实数a 的取值范围是A.31<<aB.1<a 或3>aC.1<aD.3>a 4．若直线01=++by ax （0a >, 0b >）过圆012822=++++y x y x 的圆心，则ba 41+的最小值为 A.8 B.12 C.16 D.20 5．椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于A.－1B.1C.5D. －56．已知点)0,2()0,2(21F F 、-，动点P 满足2||||12=-PF PF ，当点P 的纵坐标是21时，点P 到原点的距离是 A.26 B.23C.3D.27．在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 A.21B.1C.2D.48. 已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段1F 2F 为边作正三角形12MF F ．若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 A.324+B.13-C.213+ D.13+9. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ,若直线222ba a x +-=与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是A ．22163x y -=B ．22163y x -= C ．22136x y -=D ．22136y x -= 10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线px y 22=（)0≥x 的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径是cm 60，灯深cm 40，则抛物线的焦点位置是 A.)0,245(B.)0,445(C.)0,845(D.)0,1645( 二、填空题11．若椭圆的焦点把其长轴三等分，则椭圆的离心率=e . 12．已知椭圆的焦点是)0,3()0,3(21F F 、-，离心率23=e ，若P 在椭圆上，且3221=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为 . 13．双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程 是 .14．抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，焦点是双曲线的左顶点，则该抛物线的方程是 . 三、解答题15. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由.16. 如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上一点，M 到直 线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.17．已知抛物线x y C 4:2=，顶点为O ，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求证：OB OA ⋅是一个与k 无关的常数；（2）求满足OB OA OM +=的点M 的轨迹方程.18. 过抛物线y px p 220=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别 交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）.（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y y 12+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.2014届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何参考答案一、选择题DBBCB ACDCC 二、填空题11. 31 12. 33 13．1922=-y x 14. x y 122-=三、解答题15．解：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x .假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥ l ，∴k CM ⋅k l = -1 ∴k CM =112-=-+a b ，即a+b+1=0，得b= -a -1 ① 直线l 的方程为y-b=x-a ，即x-y+b-a=0 CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==，2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM +=，∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或. 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x-y-4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x-y+1=0， 故这样的直线l 是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0.16.解：（1）由已知可得点)0,6(-A 、)0,4(F设 ),(y x P ，则),6(y x +=，),4(y x -= ∵ PF PA ⊥，∴ 0=⋅，即0)4)(6(2=+-+y x x .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+0)4)(6(12036222y x x y x ，。
2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)8----解析几何(解答题)(全Word,精心排版)
2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）解析几何（解答题）（2014安徽文数）21．（本小题满分13分）设1F ，2F 分别是椭圆E ：22221x ya b+=(0)a b >>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF F B =．（1）若2||4,AB ABF =△的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率． 解：（1）由113AF F B =，4AB =，得13AF =，11F B =．因为2ABF △的周长为16， 所以由椭圆定义可得416a =，1228AF AF a +==．故212835AF a AF =-=-=．（2）设1F B k =，则0k >且13AF k =，4AB k =．由椭圆定义可得223AF a k =-，22BF a k =-．在2ABF △中，由余弦定理可得222222222cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠， 即()()()()()222642322325k a k a k a k a k =-+----．化简可得()()30a k a k +-=，而0a k +>， 故3a k =．于是有213AF k AF ==，25BF k =．因此22222BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，1AF F △为等腰直角三角形．从而2c a =，所以椭圆的离心率2c e a ==． （2014北京文数）19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2224x y +=．（1）求椭圆C 的离心率； （2）设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．解：（1）由题意知，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =C的离心率2c e a ==． （2）直线AB 与圆222x y +=相切．证明如下：设点,A B 的坐标分别为()00,x y ，(),2t ，其中00x ≠．因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=uu r uu u r ，即0020tx y +=，解得002yt x =-．当0x t =时，202t y =-，代入椭圆C的方程，得t =AB的方程为x =圆心O 到直线AB的距离d =AB 与圆222x y +=相切．当0x t ≠时，直线AB 的方程为()0022y y x t x t--=--，即()()0000220y x x t y x ty ---+-=． 圆心O 到直线AB 的距离d =．又220024x y +=，02y t x =-，故d ===AB 与圆222x y +=相切．（2015大纲文数）22．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 解：（1）设()0,4Q x ，代入22y px =得08x p =．所以8PQ P =，0822p p QF x p=+=+．由题设得85824p p p+=+，解得2p =-（舍去）或2p =．所以C 的方程为24y x =． （2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+≠．代入24y x =得2440y my --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y =-．故AB 的中点为()221,2D mm +，()21241AB y y m =-=+．又l '的斜率为m -，所以l '的方程为2123x y m m=-++． 将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()33,M x y ，()44,N x y ， 则344y y m +=-，()234423y y m ⋅=-+．故MN 的中点为222223,E m mm ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，(234241m MN y m+=-=．由于MN 垂直平分AB ， 故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而2221144AB DE MN +=， 即()()()2222222244121224122m m m m m m m++⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．（2014福建文数）21．（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2． （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ．直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论． 解：（1）解法一：设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意， 点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =．解法二：设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，则()32y --，依题意，点(),S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =．（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =，设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =，由12y x '=，得切线l 的斜率0012x x k y x ='==，所以切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即2001124y x x x =-． 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得01,02A x ⎛⎫⎪⎝⎭．由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径0011324r MN x x ==+，AB所以点P 在曲线Γ上运动是，线段AB 的长度不变．（2014广东文数）20．（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解：（1）由题意知c =c e a ==，所以3a =，2224b a c =-=，故椭圆C 的标准方程为22194x y +=．（2）当过P 点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为12,k k ，则过P 点的切线方程可设为()0000y y k x x y kx y kx -=-⇒=+-，由0022194y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 有()()()222000094189360k x y kx kx y kx ++-+--=，()()()222200009944y kx k k y kx ∆⎡⎤=--+--=0⎣⎦，整理得()22200009240x k x y k y --+-=，所以()2012020439y k k x x -=≠±-，由已知得121k k =-，所以22419y x -=--，所以220013x y +=，即此时点P 的轨迹方程为220013x y +=．当两条切线中有一条垂直于x 轴时，此时P 点坐标为()3,2±±，也满足方程()22000133x y x +=≠±．综上所述，所求P 点的轨迹方程为220013x y +=． （2014湖北文数）22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -． 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围． 解：（I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x +，化简整理得()221y x =+．故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+．由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=．①（1）当0k =时，此时1y =．把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =． 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫⎪⎝⎭． （2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-．② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-．③ （i ）若00x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >．即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点． （ii ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<…．即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点． 当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点． 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． （iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<．即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．（2014湖南文数）20．（本小题满分13分）如图所示，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(00)x y C a b a b -=>>，和椭圆222222222:+1(0)y x C a b a b =>>均过点1P ⎫⎪⎪⎝⎭，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．（1）求12C C ，的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且OA OBAB +=？证明你的结论．解：（1）由题意得：2211222241314131a b a b ⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩①②且222122a a b =-，又()221112222a a ⨯==，得211a =，所以213b =． 2222222241311a b a b +=⎧⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①②，则222214113b b +=+，整理得()2222422222223443133b b b b b b ++=+=+， 化简得42223440b b --=，即()()22223220b b +-=，即222b =，故223a =．1C ：2213y x -=；2C ：22132x y +=．（2）由OA OBAB OB OA +==-，得OA OB ⊥，因为OA OB ⊥，则在1C 中，点O 到直线AB 的距离为1d ，则22211111112133d a b =-=-=，故2132d =．在3C 中，点O 到AB 的距离为2d ，则22222211165d a b =+=，故2256d =．12d d ≠，故不存在． （2014江西文数）20．（本小题满分13分）如图所示，已知抛物线2:4C xy =，过点(0,2)M 任作一直线与C相交于,A B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D （O 为坐标原点）． （1）求证：动点D 在定直线上；（2）作C 的任意一条切线l （不含x 轴），与直线2y =相交于点1N ，与（1）中的定直线相交于点2N ，求证：2221MN MN -为定值，并求此定值．解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，:2AB y kx =+．联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，消y 得2480x kx --=，故121248x x k x x +=⎧⎨=-⎩，11OA y k x =，11:yOA y x x =，2:BD x x =，所以2121,x y D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()21212211122x kx x y x kx x x x +==+，128x x -=， 所以21221228x y x kx x x =+-222222444x kx x kx -=-=()2122212244x x x x x x +-===-． 因此动点D 在定直线2y =-上．（2）设抛物线24x y =上任意一点200,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为：()200042x xy x x -=-，化简得22000224x x x y x =-+20024x x x =-，200224y x x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，得20108,22x N x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．200224y x x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，得20208,22x N x ⎛⎫-⎪⎝⎭．22201082x MN x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2220208162x MN x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ ， 故222222002100881622x x MN MN x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2020321616884x x =-=-=为定值． （2014辽宁文数）20．（本小题满分12分）如图所示，圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P ．（1）求点P 的坐标；（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB △的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）设切点坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则切线斜率为0x y -，切线方程为()0000x y y x x y -=--，即004x x y y +=．此时，两个坐标轴的正半轴与切线围城的三角形面积为000014482S x y x y =⋅⋅=，由22000042x y x y +=…知当且仅当00x y ==00x y 有最大值，即S 有最小值，因此点P的坐标为．（2）设C 的坐标方程为()222210x y a b a b+=>>，点()11,A x y ，()22,B x y ．由点P 在C 上知22221a b +=，并由22221x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222620b x b ++-=，又1x ，2x是方程的根，因此12212262x x b x x b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由11y x =22y x =12AB x =-=．由点P 到直线l及122PAB S AB ==△得429180b b -+=，解得26b =或3，因此26b =，23a =（舍）或23b =，26a =，从而所求C 的方程为22163x y +=．（2014山东文数）21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，直线y x =被椭圆C截得的线段长为5．（1）求椭圆C 的方程； （2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点．（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值； （ii ）求OMN △面积的最大值．解：（1）由题意知2a =，可得224a b =，椭圆C 的方程可简化为2224x y a +=．将y x =代入可得x ==2a =．因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）（i ）设()()1111,0A x y x y ≠，()22,D x y ，则()11,B x y --，因为直线AB 的斜率11AB y k x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-．设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0k ≠，0m ≠．由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222148440k x mkx m +++-=．所以122814mk x x k +=-+，因此()121222214my y k x x m k +=++=+．由题意知12x x ≠-，所以1211121144y y y k x x k x +==-=+．所以直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+．令0y =，得13x x =，即()13,0M x ．可得1212y k x =-．所以1212k k =-，即12λ=-．因此存在常数12λ=-使得结论成立．（ii ）直线BD 的方程为()11114y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即130,4N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由（i ）知()13,0M x ，可得OMN △的面积11111393248S =x y x y ⨯⨯=．因为22111114x x y y +=…，当且仅当112x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN △面积的最大值为98． （2014陕西文数）20．（本小题满分13分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>经过点)3,0(，离心率为21，左、右焦点分别为()10F c-，，()20F c ，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于A ，B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足AB CD=求直线l 的方程．解：（1）由题设知22212b c a b a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，解得2a =，b =1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=． （2）由（1）知，以12F F 为直径的圆的方程为221x y +=，所以圆心到直线l的距离d =1d <得m <()*所以CD ===()11,A x y ，()22,B x y ，由2212143y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m -+-=，由根与系数关系可得12x x m +=，2123x x m ⋅=-． 所以AB ==AB CD =1=， 解得3m =±，满足()*．所以直线l 的方程为123y x =-+或123y x =--． （2014四川文数）20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，离心（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，T 为直线3x =-上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q ．当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：（1）因为(2,0)F -，所以2c =，又e 3=所以a =2222b a c =-=， 即椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）如图所示，由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-．当0m =时，2x =-，此时()3,0T -，P ，Q 关于点F 对称，但DF TF ≠，故四边形OPTQ 不是平行四边形，与题意不符，故0m ≠．直线TF ：()2y m x =-+，令3x =-，得y m =，即()3,T m -，连接OT ，设O TP Q E =，则3,22m E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立方程222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22236my y -+=，即()223420m y my +--=，显然()2216830m m ∆=++>，令()11,P x y ，()22,Q x y ．则12243m y y m +=+，12223y y m -=+，则1222232E y y m m y m +===+，解得21m =． 此时PQ ====TF ==．所以四边形OPTQ的面积122S PQ TF =⨯⨯⨯== （2014天津文数）18．（本小题满分13分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B．已知12AB F =．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l与该圆相切于点M ，2MF = 解：（1）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c．由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b a c =-， 则2212c a =．所以，椭圆的离心率2e =． （2）由（1）知222a c =，22b c =．故椭圆方程为222212x y c c+=．设()00,P x y ．由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+uuu r ，()1,F B c c =uuu r． 由已知，有110F P F B ⋅=uuu r uuu r，即()000x c c y c ++=．又0c ≠，故有000x y c ++=．①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得200340x cx +=．而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．该圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径3r ==．由已知，有22222TF MF r =+，又2MF =故有22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23c =．所以，所求椭圆的方程为22163x y +=． （2014新课标1文数）20．（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C ：0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积．解：（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=，所以圆心为()0,4C ，半径为4．设(),M x y ，(),4CM x y =-，()2,2MP x y =--．由题设知0CM MP ⋅=，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=．（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3NOP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥．因为ON 的斜率为3，所以l 得斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+．又OM OP ==O 到l，PM =，所以POM △的面积为165．（2014新课标2文数）20．（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直．直线1MF 与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15M N FN =，求,a b ．解：（1）根据c =2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，223b ac =．将222b ac =-代入223b ac =，解得12c a =或2c a=-（舍去）．故C 的离心率为12．（2）由题意，知原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =，① 由15MN F N =得112DF F N =．设()11,N x y ，由题意知10y <， 则()11222c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，即11321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程为，得2229114c a b +=．②将①及c =()22941144a a a a-+=．解得7a =，2428b a ==．故7a =，b =． （2014浙江文数）22．已知ABP △的三个顶点都在抛物线2:4C x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =；（1）若3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP △面积的最大值．解：（1）由题意知焦点()0,1F ，准线方程为1y =-．设()00,P x y ，由抛物线定义知01PF y =+，得到02y =，所以()2P或()2P -．由3PF FM =，分别得23M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或23M ⎫⎪⎪⎝⎭． （2）设直线AB 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，点()22,B x y ，()00,P x y ．由2,4y kx m x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx m --=，于是216160k m ∆=+>，124x x k +=，124x x m =-，所以AB 的中点M 的坐标为()22,2k k m +．由3PF FM =得()()200,132,21x y k k m --=+-，所以0206,463,x k y k m =-⎧⎪⎨=--⎪⎩由2004x y =得214515k m =-+．由0∆>，20k …，得1433m -<…．又因为AB =，点()0,1F 到直线AB的距离为d =，所以48ABP ABF S S m ==-=△△． 记()321435133f m m m m m ⎛⎫=-++-< ⎪⎝⎭…．令()291010f m m m '=-+=，解得119m =，21m =．可得()f m 在11,39⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，在1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数．又1256492433f f ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当19m =时，()f m 取到最大值256243，此时k = 所以ABP △面积的最大值为135（2014重庆文数）21．（本小题满分12分）如图所示，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F △的面积为2．（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由．DF 2F 1Oyx解：（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，其中222c a b =-．由121F F DF =12DF ==．从而1221121222DF F S DF F F ===△，故1c =．从而12DF =，由112D F FF ⊥得222211292DF DF F F =+=，22DF =．∴122a DF DF =+=，故a =2221b a c =-=．所求椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）如图，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆2212x y +=相交，()111,,P x y =，(22,P x =是两个交点，10y >，20y >，11F P ，22F P 是圆C 的切线，且1122F P F P ⊥．由圆和椭圆的对称性，易知21x x =-，12y y =．由（1）知()11,0F -，()21,0F ，所以()11111,F P x y =+，()22111,F P x y =--．再由1122F P F P ⊥得()221110x y -++=由椭圆方程得()2211112x x -=+，即211340x x +=，解得143x =-或10x =． 当10x =时，1P ，2P 重合，此时题设要求的圆不存在． 当143x =-时，过1P ，2P 分别与11F P ，22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ． 设()00,C y ，由111CP F P ⊥，得1011111y y y x x -⋅=-+．而11113y x =+=，故053y =．故圆C 的半径11213CP ===2253239x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．。
广东省东莞市高三数学 小综合专题练习 解析几何 理
高三理科数学小综合专题练习——解析几何一、选择题1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k)y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是 A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或22．过点(2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3.双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝A. 3 B ．2 C ．3 D ．64．“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆31222y x +=1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43B ．±23C ．±22D ．±43二、填空题6.经过圆0222=++y x x 的圆心C ，且与直线x+y=0垂直的直线方程是___ .7.由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为___. 8．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是______.9．已知圆C 的参数方程为cos ,(1sin .x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为 . 10.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线y kx b=+不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线y kx b=+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N 在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．12．求过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在直线y＝0上的圆的标准方程．并判断点M1(2,3)，M2(2,4)与圆的位置关系．13．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋－1)＝0.(1)求证对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．14．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．15．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．16．已知直线l 过点P （1，1）， 并与直线l 1：x －y+3=0和l 2：2x+y －6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分，求： （1）直线l 的方程；（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程．17．已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： （1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；… （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程．18．已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等.】（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(,0)A -的距离减去点Q 到点,0)B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.19．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求12C C 、的标准方程；（2）请问是否存在直线l 满足条件：①过2C 的焦点F ；②与1C 交不同两点,M N 、且满足OM ON ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．知椭圆()22220y x C a b a b ：+＝1＞＞A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案一、选择题 1—5 CBAAA 二、填空题6．x-y+1=0 7. 31 8. 13-9. (1,1),(1,1)- 10. ①，③，⑤三、解答题11.解：(1)设点C(x ，y)，由题意得5＋x 2＝0，3＋y2＝0，得x ＝－5，y ＝－3.故所求点C 的坐标是(－5，－3)．(2)点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，点N 的坐标是(1,0)，直线MN 的方程是y －0－52－0＝x －10－1，即5x －2y －5＝0.12. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可．因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上．由k AB ＝4－21－3＝－1，AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.又圆心在直线y ＝0上， 因此圆心坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝0的解，即圆心坐标为(－1,0)．半径r ＝－1－12＋0－42＝20，所以得所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝因为M 1到圆心C(－1,0)的距离为2＋12＋3－02＝18，|M 1C|<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C|＝2＋12＋4－02＝25>20，所以M 2在圆C 外．13. 解：(1)将圆的方程整理为(x 2＋y 2－a(－4x ＋2y ＋0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a)2＋(y ＋a)2＝5a 2－5(a －2)2，所以圆心为(2a ，a)，半径为5|a －2|. 若两圆外切，则2a －02a －02＝2＋5|a －2|， 即5|a|＝2＋5|a －2|，由此解得a ＝1＋55. 若两圆内切，则2a2＋a 2＝|2－5|a －2||，即5|a|＝|2－5|a －2||，由此解得a＝1－55或a ＝1＋55(舍去)． 综上所述，两圆相切时，a ＝1－55或a ＝1＋55. 14. 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2，于是，4＋p 2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x.(2)∵点A 的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴k FA ＝43.又MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x ，解方程组),1(34),432(-=-=-x y x y 得 .54),58(==y x ∴N )54,58(.15. 解：(1)由e ＝2⇒c a ＝2⇒c 2＝2a 2⇒a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝6得：m 2＝3. 当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF 2→＝(23－3，－3)∴MF 1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0，∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2.(3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6.16. 解：（1）依题意可设A )n ,m (、)n 2,m 2(B --，则⎩⎨⎧=--+-=+-06)n 2()m 2(203n m ， ⎩⎨⎧=+-=-023n m n m ，解得1m -=，2n =．即)2,1(A -，又l 过点P )1,1(，易得AB 方程为03y 2x =-+．（2）设圆的半径为R ，则222)554(d R +=，其中d 为弦心距，53d =，可得5R 2=，故所求圆的方程为5y x 22=+．17．解：（1）设点A ′的坐标为（x′，y′）。
2014年广东省东莞高三一模文数试题及答案
东莞市2014届高三第一学期调研测试数学（文科）2013-2014学年度第一学期高三调研测试文科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共5小题，作答4小题，每小题5分，共20分．） 11. )4,3[ 12.327(,)2413. 4=i （2分）；4924<≤s （3分） 14.2215. 3三、解答题（本大题共6小题，共80分.） 16.（本小题满分12分）解：(1) 依题意得，x x f sin 2)(+=⋅=. …………2分 ]2, 0 [π∈x ，∴]1 , 0 [sin ∈x , …………3分∴函数)(x f 在区间]2, 0 [π上的最大值为3. …………5分（2）由514)(=A f ，得54sin =A ； …………7分由1331)(=B f ，得135sin =B . …………8分 ∴由正弦定理得2552sin sin ==B A b a . …………10分 又77a b += ，∴52a =. …………12分17．（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图知，得分在[50，60）之间的频数为2， …………1分 由频率分布直方图知，得分在[50，60）之间的频率为0.008×10=0.08，………2分 ∴比赛场次共有2250.08=场． …………3分 又∵得分在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4， …………4分∴频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4100.01625÷=. …………6分 （2）将[80，90）之间的4个得分编号为1，2，3，4，大于90分的2个得分编号为5， 6， …………7分则在不低于80分的比赛场次中任取两场的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个， …………9分其中，至少有一场得分在[80，90）之间的基本事件有14个， …………10分 ∴所求概率1415P =. 故至少有一场得分在[)80,90之间的概率是1415. …………12分18．（本小题满分14分）证明：(1) 取CE 的中点G ，连结FG BG 、． …………1分∵F 为CD 的中点， ∴//GF DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB ． …………２分 又12AB DE =，∴GF AB =． …………３分 ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ． …………４分 ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴//AF 平面BCE ． …………５分 （2）∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥． …………６分 ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． …………７分 又CD DE D = ，故AF ⊥平面CDE ． …………８分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………10分 解：（3）∵AB ⊥平面ACD ，∴AB 是三棱锥B ACF -的高． …………11分ABCDEF（第18题图）G∵△ACD 为等边三角形，且22AD DE AB ===,∴1AB =.…………12分∴13A BCFB ACF ACF VV S AB --∆==⨯ …………13分1132ACD S AB ∆=⨯21121324=⨯⨯⨯⨯= …………14分19．（本小题满分14分）解：(1)由题意可得： .0221=-++n n S a ① ∴2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② ①─②得()11122022n n n n n a a a a a n ++-+=⇒=≥， …………3分 又121221111,2222a a a a a a =+=⇒=∴= ， …………5分 ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，且.211-⎪⎭⎫⎝⎛=n n a …………6分（2）由（1）知.2122112111--=--=n n n S …………8分 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列，则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列, …………9分 则2139325393725221,42824248S S S λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+=+++⇒+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得.2=λ …………11分此时，222222+=++=+⋅+n n S n S nn nn λλ，所以 ()()()112222122212222n n n n S n S n n n --⎛⎫⎡⎤++-+-+=+--+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦，…13分故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++nn n S 2λλ成等差数列. …………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）设点(,)A x y ，则由题可知：)1(211±≠-=+⋅-x x y x y ， …………2分 化简可得：()22112y x x +=≠±， …………4分 所以点A 的轨迹Q 是以()0,1-和()0,1为焦点，长轴长为B 、C 两点）. …………5分 （2）因为不过点B 、C 的直线l 与轨迹Q 只有一个公共点，且公共点在第一象限，所以可设直线l 方程为y kx b =+，其中0,0k b <>，则直线l 与两轴的交点分别为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭、()0,b .…………6分由2212y kx by x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222220k x kbx b +++-= …………7分∵不过点B 、C 的直线l 与轨迹Q 只有一个公共点，()()222244220k b k b ∴∆=-+-=，即222b k =+， …………8分所以三角形面积21222b k S b k k+⎛⎫=⨯-⨯= ⎪-⎝⎭ …………9分12k k -⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭ …………11分 当且仅当12k k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即k =l 与两坐标轴围成的三角形面积取得…………12分 此时2224b k =+=，2b =，经检验知：符合题意.∴直线l的方程为2y =+…………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()()x f x ax b e =+，∴()()x f x ax a b e '=++. …………1分∴()0(0)0(0)1f a b e f be '⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，解得1,1a b ==-. …………３分经检验可知，1,1a b ==-时，函数()f x 在0x =处取得极值．∴()()1x f x x e =-. …………4分 （2）证明：①假设0>x 时，函数)(x f 存在增值区间],[n m . ∵0x >时，()0xf x xe '=>，所以函数)(x f 在区间()0,+∞是增函数. …………5分∵函数)(x f 存在增值区间],[n m ，则()()()11()11mnf m m e m f n n e n ⎧=-=+⎪⎨=-=+⎪⎩，问题转化为方程()110x x e x ---=有两个不相等的正根，即函数()()11x h x x e x =---在()0,+∞上有两个不同的零点. …………7分又()1xh x xe '=-，易证()1xh x xe '=-在区间()0,+∞是增函数.………8分∵(0)10,(1)10h h e ''=-<=->，∴在区间()0,1存在0x 使得0()0h x '=，∴当00x x <<时，()0h x '<；当0x x >时，()0h x '>，∴()()11xh x x e x =---在区间()00,x 上是减函数，在区间()0,x +∞上是增函数. …………10分 ∵()()0020h x h <=-<，∴()h x 在区间(]00,x 上不存在零点.而()()()()200230h x h e h x ⋅=-<，∴()h x 在区间()0,x +∞上仅有一个零点，故函数()()1xh x x e x =--在()0,+∞上仅有一个零点，与假设矛盾．故当0,()x f x >时函数不存在“增值区间”． …………12分 解：②函数()2y f x =+存在“增值区间”， …………13分[]0,1是它的一个“增值区间”. …………14分。
广东东莞2019高三数学(文)小综合专项练习：解析几何
广东东莞2019高三数学（文）小综合专项练习：解析几何东莞一中老师提供【一】选择题1、假设抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，那么p 的值为 A 、2-B 、2C 、4-D 、4 2、假设焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21,那么=m AB 、32C 、83D 、233、通过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A.10x y ++=B.10x y +-=C.10x y -+=D.10x y --=4.设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，那么C 的圆心轨迹为A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆 5.双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的22221y x a b +=〔0a b >>〕焦点与顶点，假设双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，那么椭圆的离心率为 A 、13B 、12C、2【二】填空题6.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，那么该抛物线的方程是、7.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在xG 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为、 8.双曲线22221x y a b-=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y -=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。
9.圆心在xO 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，那么圆O 的方程是10.以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =,那么弦AB 的中点到准线的距离为______. 【三】解答题11.圆C ：224x y +=.〔1〕直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，假设||AB =求直线l 的方程；〔2〕过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.12.过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q 、〔1〕当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； 〔2〕当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值、13.平面上两定点M 〔0，－2〕、N 〔0，2〕，P 为平面上一动点，满足||||MN PN MN MP ⋅=⋅.〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕假设A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且λ=〔λ∈R 〕.分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明ABNQ ⋅为定值。
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2014届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何东莞实验中学谢朝军老师提供一、选择题1．如果P （-4，0），Q （0，8）和R （x ，-4）三点共线，那么x = A.-2 B.2 C.6 D.-62. 若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是A.)3,6[ππB.)2,6(ππC.)2,3(ππD.]2,6[ππ3．已知点P （3，-1）和B （-1，2）在直线012=-+y ax 的两侧，则实数a 的取值范围是A.31<<aB.1<a 或3>aC.1<aD.3>a 4．若直线01=++by ax （0a >, 0b >）过圆012822=++++y x y x 的圆心，则ba 41+的最小值为A.8B.12C.16D.20 5．椭圆2255x ky +=的一个焦点是（0，2），那么k 等于A.－1B.1C.5D. －56．已知点)0,2()0,2(21F F 、-，动点P 满足2||||12=-PF PF ，当点P 的纵坐标是21时，点P 到原点的距离是 A.26B.23C.3D.27．在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21B.1C.2D.48. 已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段1F 2F 为边作正三角形12MF F ．若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 A.324+B.13-C.213+ D.13+9. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为,若直线222ba a x +-=与抛物线24y x =的准线重合,则该双曲线的方程是A ．22163x y -=B ．22163y x -= C ．22136x y -= D ．22136y x -= 10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线px y 22=（)0≥x 的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径是cm 60，灯深cm 40，则抛物线的焦点位置是 A.)0,245(B.)0,445(C.)0,845(D.)0,1645( 二、填空题11．若椭圆的焦点把其长轴三等分，则椭圆的离心率=e . 12．已知椭圆的焦点是)0,3()0,3(21F F 、-，离心率23=e ，若P 在椭圆上，且3221=⋅PF PF ，则21F PF ∆的面积为 . 13．双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程 是 .14．抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，焦点是双曲线的左顶点，则该抛物线的方程是 . 三、解答题15. 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由.16. 如图，点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥. （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上一点，M 到直 线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.17．已知抛物线x y C 4:2=，顶点为O ，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求证：⋅是一个与k 无关的常数；（2）求满足+=的点M 的轨迹方程.18. 过抛物线y px p 220=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别 交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）.（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y y y 12+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.2014届高三文科数学小综合专题练习-------解析几何参考答案一、选择题DBBCB ACDCC 二、填空题11. 31 12. 33 13．1922=-y x 14. x y 122-= 三、解答题15．解：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x .假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ） 由于CM ⊥ l ，∴k CM ⋅k l = -1 ∴k CM =112-=-+a b ，即a+b+1=0，得b= -a -1 ① 直线l 的方程为y-b=x-a ，即x-y+b-a=0 CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==，2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM+=，∴2222)3(9b a a b +=+--② 把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或. 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x-y-4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x-y+1=0， 故这样的直线l 是存在的，方程为x-y-4=0 或x-y+1=0.16.解：（1）由已知可得点)0,6(-A 、)0,4(F设 ),(y x P ，则),6(y x +=，),4(y x -= ∵ PF PA ⊥，∴ 0=⋅，即0)4)(6(2=+-+y x x .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+0)4)(6(12036222y x x y x ，。
4分 消去y 得018922=-+x x ，解得 23=x 或6-=x 。
5分 ∵66<<-x ，0>y ，∴ 23=x ，325=y ， ∴ 点P 的坐标为)325,23(． （2）易知，直线AP 的方程为：063=+-y x ． 设M 点的坐标是)0,(m ，点M 到直线AP 的距离为2|6|+m ， 由已知有：|6|2|6|-=+m m ． 又66≤≤-m ，∴2=m ．设椭圆上的点),(y x 到点M 的距离为d ，则)9520()2()2(22222x x y x d -+-=+-==15)29(942+-x .由于66≤≤-x ，∴ 当29=x 时，15min =d ．17．解：（1）设),4(),,4(222121y y B y y A ，l 过定点E （－1，0），则由E 、A 、B 三点共线，知 EA //EB .所以，,)14()14(122221y y y y +=+即21211)(4y y y y y y -=-. 因为21y y ≠，所以421=y y ，∴516)(21221=+=⋅y y y y . （2）设),(y x M ，则由+=，∴),4(),(22212221y y y y y x ++=. ∴24)(42)(4221212212221-+=-+=+=y y y y y y y y x .∵21y y y +=， ∴242-=y x ， 即842+=x y 又2424212221=>+=yy y y x ， 所以，点M 的轨迹方程为)2( 842>+=x x y ．18．解：（1）当y p =2时，x p=8． 又抛物线y px 22=的准线方程为x p=-2. 由抛物线定义得，所求距离为p p p8258--=()．（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-，故)(201010101x x y y px x y y k PA ≠+=--=．同理可得k py y x x PB =+≠22020()．由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-，即221020p y y py y +=-+. 所以y y y 1202+=-，故y y y 122+=-． 设直线AB 的斜率为k AB ，由y px 2222=，y px 1212=，相减得 ()()()y y y y p x x 2121212-+=-, 所以)(221211212x x y y px x y y k AB ≠+=--=．将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，是非零常数．。