A3第10讲 流体运动的描述

2、一维、二维和三维流动
以空间为标准，若各空间点的流动参数（主要是速度）是三个空间坐标和时
间变量的函数，
u
u
x,
y,
z,
t
，流动是三维流ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
若各空间点上的速度平行于某一平面，且流动参数在该平面的垂直方向无 变化，令z轴垂直于该平面，则
uz
0,
u y z
ux z
0
流动参数仅是两个空间坐标（x,y）和时间变量的函数
Dt
比较恒定流和非恒定流，前者欧拉变数中减去时间变量t，从而使问题的求解大 为简化。在实际工程中，多数系统正常运行时是恒定流，或虽然是非恒定流， 但流动参数随时间的变化缓慢，仍可近似地按恒定流处理。在上节举例的水箱 出流的例子中，水位H保持不变是恒定流，水位H随时间变化是非恒定流
第11讲 流动的分类
流线是一族等角双曲线。
y
x O
图3-12 流线和迹线
流线的走向由速度场给出，可取流线上任一点的速度方向来判定。已知速度 场向（程uxx；=yx==在0ac,yx,第便>, u0二可y）=象绘-uax限y出=:0（在流，x第线u<y一0图<,y0象。>沿0限y）轴（u负xx<>0方0朝，向xy轴，>0负指）方向ux向O>点0，朝。uxy根轴<0据正沿以方y轴上向负分，方析uy向，<0；按朝在流y轴y线轴负方上方 如将x轴看成平板，该流线图表示均匀平行流动受平板阻挡时，驻点附近的 流动图形。
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第三章 流体运动学 第10讲 流体运动的描述 新乡学院土木工程与建筑学院
第10讲 流体运动的描述
1、拉格朗日法——着眼点为流体质点
拉格朗日法把流体的运动，看作是无数个质点运动的总和，以个别质点作为观察对 象加以描述，将各个质点的运动汇总起来，就得到整个流动。
拉格朗日法为识别所指定的质点，用起始时刻的坐标（a，b，c）作为该质点的标志，
i
ux
u y x
uy
u y y
j
=0
此流动是均匀流。
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第三章 流体运动学 第12讲 流线 新乡学院土木工程与建筑学院
第12讲 流线
1、速流度线场 u的 概u 念x, y, z,t 是矢量场，对于矢量场
U1
可以用矢量线几何地描述。流线是速度场的矢
2
U2
量线，它是某一确定时刻，在矢量场中绘出的 1
ux x
故迁移加速度 u u 为正值
收缩管出流
该质点的加速度
ax
ux t
ux
ux x
若水箱有来水补充，水位H保持不变，质点速度不随时间变化，
当地加速度： ux 0
t
但仍有迁移加速度
ax
ux
ux x
第10讲 流体运动的描述
3、流体质点的加速度、质点导数
水箱里的水经收缩管流出
H
ux
x
等直径直管出流
第12讲 流线
3、迹线方程
例 图2；：（已2）知迹速线度方场程ux及=at,=u0y=时b过t, u（z=00，. 试0）求点：的（迹1）线流。线方程及t=0，t=1,t=2时的流线 【解】（1）由流线的微分方程式 dx dy dz 式中t是参变量，积分得：
ux uy uz
ay=btx+c 或 y bt x c a
若出水管时等直径的直管，且水位保持不变。则管内流动的水质点，既无当地 加速度，也无迁移加速度，ax 0 。
欧拉法描述流体的运动，质点的物理量，不论是矢量还是标量，对时间的 变化率称为该物理量的随体导数或质点导数，其表达式与加速度表示类同， 如物理量A=A（x,y,z,t）的随体导数。
DA A u A
其位移是起始坐标和时间变量的连续函数。
x x a,b, c,t
y y a,b, c,t
z
z
a, b,
c, t
a,b,c为质点的标示，称为拉格朗 日tx0==a变0,,y数x=,yb（,,zz所变=c处量。位）置, t=,即t0时t=刻t0一=0般时，
z
r0
c
bO a
r z
xy
式中 a,b,c,t称为拉格朗日变数
以t=2s，x=2，y=4，代入上式，得：ax=4m/s2 同理： ay=6m/s2 a ax2 a2y =7.21 m/s2
（2）因速度场随时间变化，或有时变导数
u
ux
i
u y
j
4
y
6x
i
6
y
9x
j
≠0
t t t
此流动是非恒定流。
（3）由式
u
u
0
u
u
ux
ux x
uy
ux y
dx
ux
dt
dy uydt
dz
uz
dt
时间t是自变量，x， y ，z是t的因变量
便可得到迹线的微分方程 dx dy dz dt
ux uy uz
流线和迹线是两个不同的概念，但恒定流流线不随时间变化，通过同一 点的流线和迹线在几何上是一致的，两者重合；
非恒定流，一般情况下流线和迹线不重合，个别情况，流场速度方向不随 时间变化，只速度大小随时间变化，这时流线和迹线仍相重合。
第12讲 流线
3、迹线方程
例 试3求:已：知（速1）度流场线ux方=a程x, ；uy=（-a2y）, u迹z=线0 式方中程y。≥0，a为常数。
解: 由uz=0及y＞0,可知流动限于oxy平面的上半平面
（1）由流线的微分方程式 dx dy dz 得，
ux uy uz
dx dy ax ay
积分得 Lnx=-lny+lnc xy=c
图3-9 圆管均匀流
第12讲 流线
2、流线方程
设某时刻在流线上任一点M（x, y, z）附近取微元线段矢量ds, 其坐标轴方向的 分量为dx、 dy、 dz, 根据流线的定义，过该点的速度矢量u与ds共线，满足
ds
u
0
即
i jk dx dy dz 0 ux uy uz
展开上式，得流线微分方程
即
dx adt , dy btdt
，得
dx dy dt a bt
式中t是自变量，积分得
x at c1
y
1 2
bt
2
c2
由t=0，x=0, y=0,确定积分常数c1=0,c2=0。消去时间变量t,得t=0时，过（0，0） 点的迹线方程：
y
b 2a2
x2
此 和迹（线图是3-1抛1a物）线。。本题uy是时间t的函数，流动是非恒定流，流线和迹线不重
Dt t
式例中如不At可压和缩流u 体，A密称度为的物随理体量导A的数时：变导DDt数和t位变u导 数 0
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第三章 流体运动学 第11讲 流动的分类 新乡学院土木工程与建筑学院
第11讲 流动的分类
欧拉法描述运动，各运动要素是空间坐标和时间变量的函数
，
如
u
u
x,
y,
y
x
当研究某一特定的流体质点时，起始点坐标a,b,c是常数，式（1）所表达的是该质
点的运动轨迹，将式（1）对时间求一阶和二阶导数，在求导的过程中a,b,c视为常 数，便得到该质点的速度和加速度。
速度
ux
x t
x a,b, c,t
t
uy
y t
y a,b, c,t
t
uz
z t
z a,b, c,t
z,t
。
在欧拉法的范畴内，按不同的时空标准，对流动进行分类。
1、恒定流和非恒定流
以时间为标准，各空间点的流动参数（速度、压强、密度等）皆不随时间变化， 这样的流动是恒定流，反之是非恒定流。对于恒定流，流场的方程为
u
u
x,
y,
z
p p x, y, z
x, y, z
或物理量的时间导数为零。 DA 0
解要求：出（流1）动从加速速度度场，看由，式u（x=9（）4，y-大6x家）回t ，忆u一y=下（我6y们-9x前）面t，讲u过z=的0。加该速流度动公是式一个二维流动，
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
=（4y-6x）+（4y-6x）×t×(-6t)+ （6y-9x）×t×4t
=（4y-6x）（1-6t2+6t2）=（4y-6x）
当地加速度或 时变加速度
迁移加速度或 位变加速度
流场的不均 匀性引起的
算子：
i
x
j
y
k
z
第10讲 流体运动的描述
3、流体质点的加速度、质点导数
水箱里的水经收缩管流出
若水箱无来水补充，水位逐渐降低，管轴线上质 点速度随时间减小，
H
当地加速度：u 为负值。
t
同时管道收缩质点速度随迁移而增大，
dx dy dz ux uy uz
v ds
z M
O
x
y
包是括空两 间个坐独标立x ，方y程，，z和式时中间ux、t的u函y、数u。z 因为流线是对某一时刻而言，所以微分方程中，时间t是参变量，在积分求流线 方程时将作为常数。
第12讲 流线
3、迹线方程
流体质点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：
若质点的迁移加速度为零，即 u u 0
流动是均匀流，反之，是非均匀流。在上一节举例的水箱出流的例子中，等直
径直管内的流动是均匀流，变直径管道内的流动是非均匀流；水位H保持不变的
等直径直管内的流动是恒定均匀流。