溧阳市埭头中学09届高三数学12月月考试卷(12月14日)

溧阳市埭头中学09届高三数学12月月考试卷（12月14日）
一 填空题（将正确答案写在题目的空格中．．．．．．
，每小题5分共70分） 1． 函数x x y 2cos 32sin +=的最小正周期是 ．
2． 直线l 经过点)1,2(-，且与直线0532=+-y x 垂直，则l 的方程是 ．
3． 复数z 满足i i i z 73)2(+=-，则复数z 的模等于 ．
4． 抛物线x y 42=上一点A 到焦点的距离为5，则点A 到x 轴的距离是 ．
5． 在直角A B C ∆中, 90=∠C , 30=∠A ,1=BC ,D 为斜边AB 的中点，则
⋅= ．
6． 已知全集R U =,集合{|l g (2)1}A x x =-<,{2|20}B x x x =--<，则
B C A U = ．
7． 若椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．
8．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为 ．
9． 知实数x,y 满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大
值和最小值分别是 ．
10．已知函数)1(+x f 为奇函数，函数)1(-x f 为偶函数，且==)4(,2)0(f f 则 ．
11．数列{}n a 中，),,2(112,1,21
121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+则其通项公式为=n a ．
12．若不等式0241≥--+a x x 在[]2,1上恒成立，则a 的取值范围为 ．
13．已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PAB ∆，
PAC ∆，PBC ∆的面积分别为1.5cm 2,2cm 2,6cm 2,
则过P 、A 、B 、C 四点的外接球的表面积为 cm 2．
14.已知)0,0(121>>=+n m n
m ，当mn 取得最小值时，直线22+-=x y 与曲线1||||=+n
y y m x x 交点个数为 个．
二 解答题（共5个小题，共74分，必须写出必要的文字说明和解答过程，不写解字扣1分，不总结扣1分）
15.(本小题满分14分)
已知A （3，0）、B （0，3）、C （ααsin ,cos ）.
（1） 若1-=∙，求)4sin(π
α+的值；
（2） 若13||=+OC OA ，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.
16.(本小题满分14分)
已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈．
（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；
（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．
17.(本小题满分16分)
如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；（2）求三棱锥D －AEC 的体积；
（3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段
CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .
18.(本小题满分16分)
已知点M 在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上,以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .
（1）若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；
（2）若圆M 与y 轴相交于B A ,两点，且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.
19. (本小题满分16分)
数列}{n a 满足.27),2,(12231=≥∈++=-a n N n a a n n n
（1）求21,a a 的值；
（2）记*))((2
1N n t a b n n n ∈+=，是否存在一个实数t ，使数列}{n b 为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{n a }的前n 项和S n .
部分题目参考答案
一 填空题
1．π 2．0423=++y x 3．50 4．4
5．－1 6．（2，12）
7．552 8．︒150 9．2
2,104 10．－2 11．n 2 12．0≤a 13．26π 14．2
二 解答题
16．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，
∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.
（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立，
∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立；
当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴1
3
a ≤-. 当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，
. 17．（1）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //
∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥…………2分
又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥
∴BCE AE 平面⊥ 又BCE BE 平面⊂ ∴BE AE ⊥………… 5分 (2)31==--ADC E AEC D V V ×22×3
42= ………………………………8分 （3）在三角形ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点,在三角形BEC 中过G 点作GN ∥BC
交EC 于N 点,连MN,则
由比例关系易得CN ＝CE 3
1 ……………………………… 10分
MG ∥
AE MG ⊄平面ADE, AE ⊂平面ADE, ∴MG ∥平面ADE
同理, GN ∥平面ADE ………………………………12分
∴平面MGN ∥平面ADE
又MN ⊂平面MGN ∴MN ∥平面ADE
∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点………………14分
19. 解：（1）由12227,27323++==a a 92=∴a
122921++=∴a
21=∴a …………………………4分
（2）假设存在实数t ，使得}{n b 为等差数列。

则112+-+=n n n b b b
)(21)(21)(2121111t a t a t a n n n n n n +++=+⨯∴++-- t a a a n n n ++=∴+-1144
1222
12441++++--⨯=∴+t a a a n n n n n 1=∴t
∴ 存在t=1，使得数列}{n b 为等差数列。

…………………………9分
（3）由（1）、（2）知：2
5,2321==
b b 又}{n b 为等差数列。

2
1+
=n b n 12)12(12)21(1-⋅+=-⋅+=∴-n n n n n a ………………11分 12)12(1271251231210-⨯+++-⨯+-⨯+-⨯=∴-n n n S n n n -⨯+++⨯+⨯+=-122)12(27253 n n S n n 22)12(272523232-⨯+++⨯+⨯+⨯=∴ n n S n n n +⨯+-⨯++⨯+⨯+⨯+=-∴-2)12(222222223132
n n n n
+⨯+---⨯+=2)12(2
12121 12)21(-+⨯-=n n n
12)12(+-⨯-=∴n n S n n …………………………14分。