最新24-平面曲线的曲率汇总
曲线的曲率计算公式
曲线的曲率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲线是几何学中一个非常重要的概念，它描述了平面或空间中的一条连续的曲线。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，它可以帮助我们了解曲线在某一点的弯曲程度，从而对曲线的形状和性质进行分析。
曲线的曲率计算公式是用来计算曲线在某一点的曲率的数学公式。
曲率的定义是曲线在某一点处的弯曲程度，可以理解为曲线在该点处的切线的弯曲程度。
曲线的曲率计算公式可以用不同的数学方法来推导，其中最常用的是微积分的方法。
在微积分中，曲线的曲率可以用导数来表示。
具体来说，对于平面曲线上的一点P(x, y)，曲线在该点处的曲率可以用下面的公式来表示：\[k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]k表示曲率，y'和y''分别表示y关于x的一阶和二阶导数。
这个公式可以帮助我们计算出曲线在某一点处的曲率，从而了解曲线在该点处的弯曲情况。
曲线的曲率计算公式是数学分析中的一个重要概念，在几何、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以更深入地了解曲线的形状和性质，从而帮助我们解决各种实际问题。
曲线的曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们了解曲线的曲率和弯曲情况，从而对曲线进行全面的分析。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，其计算公式是曲率计算的基础。
在数学、物理、工程等领域，曲率计算公式被广泛应用，用于描述曲线轨迹的弯曲程度，研究曲线的性质和特征。
本文将介绍曲线的曲率计算公式及其应用。
一、曲线的曲率定义我们来定义曲线的曲率。
在平面几何中，曲线的曲率是指曲线某一点处的切线方向改变的速率。
更直观地说，曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率的数值越大，说明曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率的数值越小，说明曲线在该点处的弯曲程度越小。
第七节平面曲线的曲率
为半径的圆为 L 在点 M 的曲率圆.
为曲率半径.
二、曲率
1．曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路 弯度大，车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害 的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害，于 是 2. 定义： 1 k
2 y 0 . 4 x 例3 一工件内表面截线为 ，用砂轮磨 削其内表面，半径多大合适？ 解：砂轮半径 抛物 y 线上各点处曲率半径 2 y 0 . 4 x 的最小者，才不会破 坏工件内表面， 由例2 知抛物线在顶点处曲 曲率半径最小. 率最大， y 0.8 x ， y 0.8 x O 0.8 k (0,0) 0.8 ， 32 (1 0) 1 k 1.25 ， 所以砂轮半径不能大于1.25.
( x0 a ) [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
(5)
(6)
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) ] f ( x0 ) 0
从(6)式解出:
1 [ f ( x0 )]2 f ( x0 ) f ( x0 )
第七节 平面曲线的曲率
讲解方法一：
一、曲率圆
1、实际问题： 一质点作曲线运动， 考察 y 运动在某点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的情形. 局部情形时， 可用圆周曲线来替代这点 附近的曲线 L ， 这样就可 以用圆周运动的知识来析 o 这点处的曲线运动.
D
y f ( x)
L
M
x0
x
再代入(5)式解出：
1 [ f ( x 0 )] x 0 f ( x 0 ) f ( x0 )
代入(2)式解出：
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
谢金云(2)《平面曲线的曲率》教案和说课设计
平面曲线的曲率第一部分：教案（P1-6）第二部分：说课稿（P7-11）2009年12月《平面曲线的曲率》教案课题：平面曲线的曲率课时：2课时（90分钟）教学目标：认知目标：1、理解曲率的概念和曲率公式的实际应用；2、了解曲率圆和曲率半径的概念；3、掌握曲率计算公式的推导过程及公式的实际应用，真正体会微积分和导数在数学中的重要地位。
能力目标：激发学生的数学学习兴趣，加强数学建模的能力，掌握归纳总结的数学思想方法，培养学生联系实际学习的意识，增进数学应用的眼光，提高学生的主观能动性情感目标：培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，培养团结协作的意识。
教学重点：曲率的概念，曲率计算公式的实际应用。
教学难点：利用曲率计算公式解决实际应用问题。
教学方法：引导探究法（Enlightment）、分层次教学法（Delamination）、任务驱动法（Assignment）。
教学工具：木杆、多媒体课件教学。
教学过程：一、引入：前面我们已经学习了导数的应用，例如函数极值、最值的求解，函数单调性的判断及函数图像的描绘等，我们体会了导数的重要性，曾有人说微积分和导数是最伟大的人类心智成就之一，足以可见它们在人类生产生活中的应用之广泛，今天我们要继续学习导数的另一个应用——“平面曲线的曲率”，这个内容虽然是个选修内容，可是对于我们工程机械专业的学生来说是个不得不学的内容，所以我们接下来就来探讨有关平面曲线的曲率的问题。
二、新课讲解：（一）引入课题：（5分钟）操作实验，并布置任务。
感性认识“直”——“弯”——“最弯之处”：取一根笔直的木杆，当它放置于桌面上时，它很明显时直的，没有弯曲。
当它的两端各受另一个向上的外力时，它马上会开始弯曲，在这个过程中，有的地方弯曲程度大，有的地方弯曲程度小，随着力度的增大，竹片会断裂，很明显我们可以得出结论：断裂处就是弯曲得最厉害的地方。
当然弯曲的时木杆，断裂了也没什么关系，但若是因荷载作用而弯曲变形的船体结构中的钢梁，我们是不能让它们断裂的，所以我们必须找到那个最容易断裂的地方，然后给它加固，或者我们要采取一些什么样的措施来防止因为弯曲而容易断裂的铁路铁轨的问题呢？在数学领域里，我们用曲率来描述曲线的弯曲程度，因此今天我们就来探讨“平面曲线的曲率”的问题。
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
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大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率
第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
曲率及其计算公式
应用
通过空间曲率计算公式，可以了 解空间曲线在某一点的弯曲程度 ，对于分析三维几何图形、优化 航天器轨道等方面具有重要意义
。
曲率计算公式的应用
工程设计
在工程设计中，曲率计算公式常 用于分析曲线形状的合理性，如 道路设计、桥梁工程等。
物理研究
在物理研究中，曲率计算公式可 用于描述粒子运动的轨迹、电磁 场的分布等。
解释
该公式表示平面曲线在某一点的曲率，其中y''表示该点处曲线的二阶导数，y'表示该点 处曲线的导数。
应用
通过曲率计算公式，可以了解平面曲线在某一点的弯曲程度，对于分析几何图形、优化 道路设计等方面具有重要意义。
空间曲线的曲率计算公式
曲率计算公式
对于空间曲线，曲率K由下式给 出：K = |(3*[(x''*y''*z'' +
相对曲率
相对曲率是描述曲线或曲面在某一点的方向性弯曲程度的量，它等于该点的主曲率与次曲率的比值。相对曲率在 几何学和物理学中有重要的应用，例如在分析力学和电磁学等领域中，相对曲率可以帮助我们更好地理解和描述 物体的行为。
曲率在物理学中的应用
光学
在光学中，曲率是描述光学元件（如 透镜和反射镜）的弯曲程度的量。透 镜的曲率决定了光线通过透镜的折射 方向和聚焦点，反射镜的曲率决定了 反射光的方向。
曲率等于曲线在该点的切线的 斜率的倒数，即曲率 = 1/斜率 。
当曲率为正时，表示曲线在该 点向外凸出；当曲率为负时， 表示曲线在该点向内凹进。
曲率在几何学中的重要性
曲率是几何学中重要的概念之一，它在曲线和曲面理论中扮演着重要的角 色。
曲率在曲线和曲面分析、微分几何等领域中有着广泛的应用，如曲线拟合 、曲面重建等。
曲线的曲率
于是
三、曲率的计算公式
又由式（3-14）可知 的表达式（3-13），有
设曲线由参数方程
，从而，根据曲率 (3-17)
给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法，求出 y′及y″，代入式（3-17）便得
（3-18）
三、曲率的计算公式
【例4】
求抛物线y=x2的曲率K及K|x=0． 解 y′=2x,y″=2，把y′,y″代入式（3-17）得
下面利用曲率来对铁路的弯道进行分析. 铁路弯道的主要部分是圆弧状的，如图3-22中的弧AB. 设半径为R，则圆弧上每点的曲率为1/R.如果火车由直线轨 道直接进入圆弧轨道行驶，在直线与圆弧的联结点的曲率 将由零突然上升到1/R，轨道的弯曲就有一个跳跃，这样就 会影响火车的平稳运行，甚至出现脱轨.因此，在直线与圆 弧之间必须接入一缓冲曲线。
曲线的曲率
一、曲率的概念
我们知道不同的曲线弯曲程度是不一样的. 例如，半径较小的圆弧曲线弯曲得比半径较大的 厉害，而同一曲线的不同部分也有不同的弯曲度， 如抛物线y=x2在顶点附近弯曲得比远离顶点的 部分厉害．这都要求我们对曲线的弯曲程度给出 定量的刻画.
一、曲率的概念
在图3-17中可以看出，弧段
二、弧微分
设x,x+Δx为(a,b)内两个邻近的点，它们在曲线y=f(x)上的 对应点为M,M′，并设对应于x的增量Δx，弧s的增量为Δs，那 么
二、弧微分
二、弧微分
【例2】
求抛物线y=2x2－3x+1的弧微分. 解 由弧微分公式（3-们通过曲率的定义，根据式（3-14）导出计算曲率 的公式．
2.4.4平面曲线的曲率
o
x
证 如图
1 y3 y K 6 Rl x 2
(1 y )
3
2
y
R
l
B
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率k0 0.
抛物线在顶点处的曲率 最大.
K
y (1 y )
2
3 2
说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t )
dy yt , dx xt
2
d y dy dt xt yt xtyt yt 2 3 dx dt dx xt ( xt )
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
a
b
a x
例
铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图), 使曲 率连续地由零过渡 1 到 ( R为圆弧轨道 R 的半径).
K | cos x |
3 2 2
K
y (1 y )
2
3 2
例 抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ? 解 y 2ax b,
曲线的弯曲程度
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
K
y
, 满足方程组
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
R
T
C
M (x, y)
o
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
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M M (x)2 (y)2
MM
x
y
y
f (x) M
B
A M y
x
oa x
bx
x x
M M 1 (y)2
MM
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
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ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
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说明:
(1)
若曲线由参数方程
x y
x(t) y(t)
曲率详细讲解
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a O
ax
最大.
b
K 最大
f (t) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
f (t) (a2 b2)sin 2t
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(, )
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asin t ; y bcost ;
x acost y bsin t
故曲率为
K
xy xy ( x2 y 2 )32
(a2
ab
sin
2
t
b2
cos
2
t
)
3 2
K 最大
f (t) a2 sin2 t b2 cos2 t 最小
求驻点:
f (t) 2a2 sin t cost 2bcost sin t (a2 b2)sin 2t
第七节
第三章
平面曲线的曲率
曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关
主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式
三、 曲率圆与曲率半径
M M M
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一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
s M M M M x M M x
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 y
D(, )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
曲率k的计算公式推导
曲率k的计算公式推导引言。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将推导出曲率k的计算公式，通过对曲线的微小段进行分析，从而得到曲率的定义和计算方法。
曲率的定义。
在二维平面上，曲线可以用参数方程表示为：\[ \begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \]其中t为参数，f(t)和g(t)分别表示曲线在x和y方向上的函数。
曲线在某一点处的切线可以用曲线的一阶导数表示：\[ \frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)} \]曲线的曲率可以用切线的变化率来描述，即曲线在某一点处的曲率可以表示为切线的旋转速率。
为了得到曲率的具体定义和计算方法，我们需要对曲线进行微小段的分析。
微小段的曲率计算。
假设曲线在参数t处的切线方程为：\[ y = mx + c \]其中m为斜率，c为截距。
我们可以将曲线在参数t处的微小段表示为：\[ \begin{cases} x = f(t) + \Delta x \\ y = g(t) + \Delta y \end{cases} \]其中\(\Delta x\)和\(\Delta y\)为微小段的长度。
曲线在参数t处的微小段的切线方程可以表示为：\[ y = m(f(t) + \Delta x) + c \]对上式进行展开并忽略高阶无穷小量，得到：\[ \Delta y = m\Delta x \]微小段的曲率可以表示为切线的旋转速率，即微小段的曲率可以表示为切线的旋转角度与微小段长度的比值。
我们可以通过计算微小段的切线角度来得到曲率的计算公式。
微小段的切线角度可以表示为切线的斜率与x轴正方向的夹角。
假设微小段在参数t处的切线角度为\(\theta\)，则有：\[ \tan(\theta) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = m \]微小段的曲率可以表示为切线角度的变化率，即微小段的曲率可以表示为切线角度关于参数t的导数。
曲线的曲率
f (t ) = b2 + (a2 − b2 )sin2 t 最小(大)
因此当 t = 0 或π 时, f (t)取最小值 , 从而 K 取最大值
Kmax
=
a b2
,
这说明椭圆在点( ± a , 0) 处曲率最大.
类似地, 当t = π 或 3π 时, 22
y b
K
取最小值
Kmin
=
b a2
,
−a
即椭圆在点K(=0,
注 1o 当 y′ << 1 时, 有曲率近似计算公式 K ≈ y′′ .
2° 若曲线方程为 x = ϕ ( y), 则
K=
x′′ 3.
(1 + x′2)2
K=
y′′
3
(1 + y′2 )2
3°
若曲线由参数方程
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x(t) y(t )
给出,
则通过
计算可得
K=
x′ y′′ − x′′ y′ 3.
通常用三次抛物线
y
=
1 6 Rl
x 3，x
∈ [0,
x0 ]作为
缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度 .
验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率为零 ,
y
并且当 l 很小 ( l << 1) 时，
R
R
R
在终端A 的曲率 近似为 1 .
R
l A( x0 , y0 )
O C( x0,0) x
证 如图, x的负半轴表示直道， y
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答： 直轨 AB的曲率：kAB = 0,
∴
曲率半径： ρ
曲率计算
3.5 曲率的概念及计算公式3.5.1 概念来源：为了平衡曲线的弯曲程度。
平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。
其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。
例：对于圆，。
所以：圆周的曲率为，是常数。
而直线上，所以，即直线“不弯曲”。
对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。
3.5.2 计算公式的推导：由于，所以要推导与ds的表示法，ds称为曲线弧长的微分（T5-28，P218）因为，所以。
令，同时用代替得所以或具体表示；1、时，2、时，3、时，（令）再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。
下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式。
3.5.3 曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。
几何意义（T5-29）如图为在该点做曲线的法线（在凹的一侧），在法线上取圆心，以ρ为半径做圆，则此圆称为该点处的曲率圆。
曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。
应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径（T5-30）解：由于：所以：，§3 平面曲线的弧长与曲率教学目标：掌握平面曲线的弧长与曲率教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． (2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学建议：(1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式． (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式． 教学过程：一、曲线弧长的概念设平面曲线),(B A C ，在其上从A 到B 依次取分点得曲线的一个分割T ：B P P PP A n ==,,,,210 用线段联结相邻的点得：n i P P i i ,,2,1,1 =-。
记∑=--≤≤==ni ii T i i ni P P s P P T 1111,max分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 对于平面曲线C 的无论怎样的分割T ，若极限ss T T =→0lim存在，则称曲线C 是可求长的，并称s 为曲线C 的弧长。
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解
x 0 1 , y0 1 ,
y x 1 2 xx 1 2 , yx12, 在点(1,1)处的曲率半径为
R
(1
y2
)
3 2
(122)23 125
y
2
2
曲率中心为
x0
y(1y2) y
12(122)4 2
y0
1 y2 y
1122 2
7 2
曲率中D(心 4, ： 7). 2
曲率圆的方程为
(x4)2(y7)2125 24
在M 点 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度
曲率中心的坐标
设曲y 线 f(x )方 ,f(x )程 存为 在
f(x0)0,则曲线在点 M(x0, y0)处的曲率
中心 D(, )的坐标为
x0
y(1y2), y
y0
1 y2 y
,
式 y 与 中 y 是 y f(x )在 M 处 点的 .
求抛 yx2 物 在(1 线 ,点 1 )处的 例5 曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .
,
2
,
3,
2
因a为 b, 故在各象限中
dk
d
的符号依次为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
+
+
由此当 可得:2当 , 32时 0,,k时 取 ,k最 取小 km最 in 值 kab大 m2ax b值 a2
在有些实际问题中 , 若 |y|1 , 则可 k|y 取 |.
k 1, R5. 5
O
M
O
M
曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率半径曲1率
24-平面曲线的曲率
例1 求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .
解 如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则
︵
s||M M ||R
O
R
M
M
k
1
R
故
lim
s0 s
lim 1 s0R R
即圆上点的曲率处处相同：
半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .
二、曲率的计算公式
y
k
y
(1
y2
3
)2
dy dx
和
d2 y dx2
:
dd ddxx y b aa cssio nin ,s dd yb a cbco osddt,2ddx2y2x2((aabacccooosst,))dd2y2ab2bssiin1n3,
k
y
(1
y2
3
)2
ab
(a2sin2b2co2s)23
令d d k3 (a a2s (a b 2 i2 n b 2)b s 2cic o n 2)o s 2 3 s0, 0,
4
yyxx402在(点 14x(20),x 00) 处0,的 yx曲 0k(率 112x为 )(1xy0y2)1223 ,12
故y24x在点 (00, 处 ) 的曲k 率 1 . 为
三、参数方程下曲率的计算公式
若 x y x y(()), x(),y()二阶,则 可导
d y y() , dx x()
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yf(x)
M
证 如图所示 , 曲线在
点M处切线的斜率
ytan 故 arctyan
M
ddx 11y2
dy dx
1
y
y
2
O
d1yy2 dx
x 又 ds 1y2dx
从而
k d
ds
y (1y2)23
例2 求直y线 axb上任意一点. 处
解 y a , y 0 ,
k
y (1y2)23
0
(xR).
d d2xy 2y()x((x)( )y3 )()x()
将它们代入曲率计算公式中即可得：
k|y[(x ()(x)(2 )) (y y(())x 2)(2 3])|
例3
椭 x a c , y 圆 o b ss ( a i b n 0 ) 上 , 哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .
解
利用参数方程求导法求出
直线上任意一点处的曲率均为零 . 俗话说 , 直线不弯曲 .
例4 求抛 y2 物 4x在 线 (点 00,处 ) 的 . 曲
解 如果 y 2 用 x,会出现导数的分母ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为零的情形 ,
但y24x与xy2 4
的图相形 同
,
而xy2与yx2的图形关于 yx
对称
4
4
, 故原问题可以转为求曲线
y
x2
在
点(0, 0)处的曲 . 率