2019高中数学仿真模拟试题三理201808280117
2019年新课标高考理科数学仿真模拟试卷3含答案
2019年新课标高考理科数学仿真模拟试卷三1．已知全集，集合，或，那么集合等于A．B．或C．D．【答案】D【解析】全集，集合，或，，，故选：D．2．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )A．B．C．D．2【答案】C【解析】∵(1＋i)z＝2i，∴z＝＝=1＋i.∴|z|＝＝.故答案：C3．已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点在幂函数的图象上，∴,解得,∴,且在上单调递增,又,∴,故选A.4．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，显然时的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设，在递增，，，可得，故选：B．5．设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设：的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},设：的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1},由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有综合得m∈，故选D.6．已知等比数列的前n项和为，且，，则A．B．C．D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．7．已知抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点为（1，0）.则直线MF:,与抛物线联立得,解得x=2或，即∴故选：A.8．袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有和、“谐”、“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率。
利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“和”、“谐”、“校”、“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题随机数的前两位1,2只能出现一个，第三位出现另外一个,∴满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为.故选：C9．设函数的最小正周期为，且，则（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】A【解析】∵最小正周期为得，又为偶函数，所以,∵,k=-1,,当,即,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，故选：A.10．将函数（为自然对数的底数）的图象绕坐标原点顺时针旋转角后第一次与轴相切，则角满足的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线y=kx与相切，切点为又，解即tan故选：B11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，线段交左支于点.若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设=m,，由双曲线定义得又A所以AB=2m+2a,,∴,即，解m=解得e=故选：B.12．已知函数，其中为自然对数的底数，则对于函数有下列四个命题：命题1：存在实数使得函数没有零点命题2：存在实数使得函数有个零点命题3：存在实数使得函数有个零点命题4：存在实数使得函数有个零点其中，正确的命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时，有.单调递减；单调递增..由题画出f(x)图像如图所示：令t=则a==,h(t)图像如图：当a>时，y=a与y=无交点，所以t=无解，故命题1正确；当a=-2时，y=-2与y=交点为横坐标为t=-1或t=2,此时t=-1和t=2分别与y=f(x)有一个交点，即t=有两个零点，命题2正确；当a=0时，y=0与y=交点横坐标为t=0或t=1,,此时t=0或t=1分别与y=f(x)有2个交点，即t=共4个零点，命题3正确；当0<a<y=a与y=交点有两个，横坐标均满足0<t<1，此时t与y=f(x)分别有3个交点，即t=有6个零点，故命题4正确故选：D.13．若x，y满足，则的最小值为____【答案】2【解析】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由可得．平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由解得，所以点A的坐标为．所以．故答案为2．14．在的展开式中常数项等于___【答案】9【解析】二项式的展开式的通项为，∴中的常数项为．故答案为9．15．已知双曲线的左右焦点分别为、，点在双曲线上，点的坐标为，且到直线，的距离相等，则___【答案】4【解析】由题意得，点A在双曲线的右支上，又点的坐标为，∴．画出图形如图所示，，垂足分别为，由题意得，∴为的平分线，∴，即．又，∴．故答案为4．16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___【答案】【解析】如图，设，则,在和中，分别由余弦定理可得，两式相加，整理得，∴．①由及正弦定理得，整理得，②由余弦定理的推论可得，所以．把①代入②整理得，又，当且仅当时等号成立，所以，故得．所以．即面积的最大值是．故答案为．17．的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.（1）求角的大小和的长；（2）设的角平分线交于，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，∴sin C+cos（A+B）＝0，又A+B＝π﹣C，∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，∵C∈（0，π），∴C，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，解得：BD＝1，（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，∴∠DBC，∴S△DBC BD•BC，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠BCE＝∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE，S△CED，可得：，∴S△BCE S△CED，∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，∴S△CED（2）＝23．18．如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.19．如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.20．某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）每株“相近”的株数的最大值为5.（3）的分布列为：一株产量的期望为【解析】（1）由题意得：，，∴，，所以，，所以.（2）设每株的产量为，根据题意：，解得，令，解得，所以每株“相近”的株数的最大值为5.（3）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，当时，，由题意得：，，，，所以的分布列为：所以，所以一株产量的期望为.21．已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析【解析】（1）的定义域为，，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以函数的极小值为，无极大值.（2），当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，综上，，故在单调递增，故只须证明，即证，由，可知，故，即证，，，也就是，，，.不妨设，，即证，，即证，设，，故在单调递增.因而，即，因此结论成立.22．选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.23．已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由得，所以，即. （2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号. 所以.。
2019届高三数学下学期三模试题理(含解析)
2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，，，，X的分布列为：，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连，，，，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，，，，，，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y 轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵kBM=，kAQ=-，∴kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，，；（2）由（1）得，当时，，，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间是，，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，，，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中且两两不相等．(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2(Ⅱ)记．若，证明：；(Ⅲ)若，求的最小值.【答案】(Ⅰ)②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到②或只得到③给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.综上：，，，所以．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．取得到的数列为：下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.。
2019届全国新高考原创仿真试卷(三)数学(理科)试题
2019届全国新高考原创仿真试卷（三）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题），分选择题和非选择题两部分。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M = [1，2], N = {0<322|--∈x x Z x }, 则M∩N =A. [1，2]B. (-1，3)C. {1}D. {1，2}2.复数i i iz (3+=为虚数单位）的共轭复数为 A.i 103101+ B. i 103101- C. i 103109+ D. i 103109- 3.已知抛物线2x y =，则其准线方程为 A. 41-=y B. 21-=y C. 1-=y D. 2-=y 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有 一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为 A.36 里 B.24 里 C.18里 D.12里5.下列有关命题的说法中错误的是A.设R b a ∈,则“a>b ”是“a|a| >b|b|的充要条件B.若q p ∨为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题C.命题：“若)(x f y =是幂函数，则)(x f y =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D.命题“**∈∈∀N n f N n )(,且n n f ≤)(”的否定形式是，“**∉∈∃N n f N n )(,00且00>)(n n f ”6.己知不等式0<1a 2++x x 的解集为(一2，-1)，则二项式62)1(xax -展开式的常数项是 A. -15 B. 15 C. -5 D. 57.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为 A. 12 B. 8 C. 6D. 48.若函数 )25sin()sin(3)(x x x f ωπωπ++-=,且||,0)(,2)(βαβα-==f f 的最小值是2π，则)(x f 的单调递增区间是 A. )](32,322[Z k k k ∈+-ππππ B. )](62,652[Z k k k ∈+-ππππ C. )](12,125[Z k k k ∈+-ππππ D. )](6,3[Z k k k ∈+-ππππ 9.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本)，己知每人只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为 A.48B.54C.60D.7210.己知点A(4,0), B(0,4),点P(x, y)的坐标x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥0124300y x y x ，则⋅的最小值为A. 25196-B.0C. 425D.-8 11.过双曲线12222=-by a x (a> 0,b > 0)的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，直线l 与双曲线交于点B,且|BF| = 2|AB|，则双曲线的离心率为 A.332 B. 2 C.3 D. 2 12.设函数)(x f 是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为)('x f ，且有0>)(')(x f x f +, 则不等式0>)2(4)2018()2018(2--++f x f x 的解集为 A. (-2020,0) B. (-∞,-2020) C. (-2016,0)D. (-∞,-2016)第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)
5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组
x
2
y
0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（ ）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（ ）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求 此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列
2019年高考数学三模试题 理(含解析)
2019高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．62．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数==+i是纯虚数，可得=0，≠0，解出即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，则=0，≠0，解得a=﹣2．故选：A．2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据[x]的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：根据题意，集合A={x|[x]=1}={x|1≤x＜2}=[1，2），集合B={1，2}，所以A∪B=[1，2]．故选：D．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．【解答】解：设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为﹣，即有切线的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=﹣，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为﹣=0．故选：A．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤，求出满足0≤y≤的区域面积，计算所求的概率值．【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω={（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy∈[0，4]转化为0≤y≤，如图所示；且满足0≤y≤的区域面积是：16﹣（4﹣）dx=16﹣（4x﹣4lnx）=4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P==．故选：C．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，∴y=g（|x﹣1|）的图象关于直线x=1对称．即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y．即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴，解得x=3，y=﹣2．则==．故答案为：14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 5 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值．【解答】解：展开式中通项公式为T r+1=••=•（﹣1）r•，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，…，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5．故答案为：5．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=，∵=2sin（A+C），∴2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，∴△ABC面积的S=．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB=22+12﹣2×2×1×cos60°=3．∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥CB．建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B′（0，1，2），M（0，0，1），∴，，设平面AB′M的一个法向量为．由，取x=1，得．∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量．∴cos＜＞=∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；根据列联表，计算K2==≈5.227＞5.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×==．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，从而可得△=4ln2a﹣4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+log a x，∴f′（x）=x﹣2+=，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f′（x）存在零点，∴△=4ln2a﹣4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f′（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣2+，f′（x0）=x0﹣2+=（x2+x1）﹣2+，又==（x2+x1）﹣2+，故（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，则g（t）＞g（1）=0，故不存在x0，使得f'（x0）=成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2019届全国新高考原创仿真试卷(三)数学试卷(理科)
2019届全国新高考原创仿真试卷（三）数学（理科）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择A选项.2. 已知集合，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】联立解得，则有两个元素，真子集个数为故选3. 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：则（）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得故选4. 下列说法中，错误的是（）A. 若平面平面，平面平面，平面平面，则B. 若平面平面，平面平面，则C. 若直线，平面平面，则D. 若直线平面，平面平面平面，则【答案】C【解析】选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面内，该说法存在问题，由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】代入，，则直线单调递减，又函数存在最小值则且，解得故选7. 已知，则（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知：，则：，结合诱导公式有：，，据此可得：.本题选择C选项.8. 运行如图所示的程序框图，若输出的的值为250，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：，注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：当时,，结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. 现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了3场，各踢了4场，踢了2场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由通径公式可得：，则：，直线的方程为：，令可得：，则：，可得直线方程为，令可得：，据此有：，整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，三视图还原之后的几何体是两个全等的三棱柱和组成的组合体，其中棱柱的底面为直角边长为等腰直角三角形，高为，每个棱柱的表面积为：，两三棱柱相交部分的面积为：，据此可得，该几何体的表面积为：.本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. 已知函数，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以在单调递减，在单调递增，所以，则得令，，，在上，则单调递减，又，所以在单调递增，在单调递减，，所以，故选点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
2019届全国高考仿真模拟(三)数学(理科)试题
2019届全国高考仿真模拟(三)理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2018·郑州一模)设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U AB =ð（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,4 2.(2018·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z -=（ ）A ．20162B ．20162- C ．20162i D ．i -3.（2018·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4.（2018·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -= B ．22162x y -= C.2213y x -= D ．2213x y -= 5.（2018·咸阳市二模）如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC.22π D ．221π-6.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．3±3 D ．3- 7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．4B ．5 C.2 D ．3 8.（2018·海口市调研）cos104sin 80sin10-=（ ）A ．．3 9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，下列命题中正确的是（ ）A ．(),x y D ∀∈，21x y +≤-B ．(),x y D ∀∈，22x y +≥-C ．(),x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(),x y D ∀∈，22x y +≥10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83 B ．52C.3 D ．2 11.（2018·昆明市统测）设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,-+∞ D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45-B ．35- C.35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则向量12e e +与212e e -的夹角为 ． 14.（2018·东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ．15.（2018·海口市调研）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a = ．16.（2018·山西四校联考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=，当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （2018·成都市二诊）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n N na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是首项为2、公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19. （2018·邯郸模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △ 是边长为30CBD CDB ∠=∠=，E 为棱PA 的中点.（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，求二面角P BC E --的余弦值.20. （2018·河南九校联考）已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>点A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得3PQ AP=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. (2018·唐山市二模)设函数()()21ln 2x f x k x k x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2032f x k <-，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM △面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++≥++.数学试卷参考答案一、选择题1-5：AADCA 6-10：DABBA 11、12：DD 二、填空题 13.23π 14.丙 15.2 16.6π 三、解答题17.解析：（1）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴()2211nn n na =+-=+， 解得()21n a n n =+.（2）∵()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.∴11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18.解析:（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=， 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为311121111142634624p ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=. （2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，()11104624P ξ==⨯=，()121114043264P ξ==⨯+⨯=，()11121158046234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1112112026434P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=，ξ的分布列为()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解析：（1）证明：如图，取AB 的中点F ，连接EF 、DF ，∴//EF PB ，∵30CBD FDB ∠=∠=，ABC △为正三角形， ∴//DF BC ，∵EF DF ⊂、平面DEF ，PB BC ⊂、平面PBC ， ∴平面//DEF 平面PBC ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴//DE 平面PBC . （2）∵2PA PB ==， ∴PF AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， ∴PF ⊥平面ABCD ，且1PF =，连接DF ，分别取FB ，FD ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则点()A ，)B，)2,0C，()0,3,0D ，()0,0,1P ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭， 设平面BCP的法向量为(,m x y =， 则()0,2,0BC =，()BP =， ∴0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，0y =，1x =即(m =，设平面BCE的法向量为(,n a b =，122BE ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，∴13a =，0b =，∴13n ⎛= ⎝.∴57cos ,m n m nm n⋅<>==⋅ 20.解析：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y+=上，令0y =，得4x =±，所以4a =，所以c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以W 的方程为221164x y +=. （2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()224,1,164y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为4-为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+，所以214AP k=+. 因为圆心到直线AP的距离为d =，所以AQ ===， 因为1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-，代入得到222221433113111PQk k AP k k k +=-=-==-+++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=.21. 解析：（1）()()()()2111x k x k x x k k f x x k x x x+--+-'=+--==，（0x >）， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.（2）因为0k >，由（1）知()232f x k +-的最小值为()2233ln 222k f k k k k k +-=+--，由题意得23ln 022k k k k +--<，即31ln 022k k k +--<. 令()31ln 22k g k k k =+--，则()222113230222k k g k k k k -+'=-+=>， 所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，于是23ln 022k k k k +--<；- 11 - ()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23ln 022k k k k +-->. 故k 的取值范围为01k <<.22. 解析：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）， 所以普通方程为()()22344x y -++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得()()22cos 3sin 44ρθρθ-++=，化简可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=.（2）点(),M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积12cos 2sin 9924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+23.证明：（1）∵a b ≠，∴0a b -≠，∴2220a ab b -+>，∴22a ab b ab -+>，而a ，b 均为正数，∴0a b +>，∴()()()22a b a ab b ab a b +-+>+， ∴3322a b a b ab +>+成立.（2）∵a ，b ，c 都是正数，∴222222a b b c acb +≥，222222a b c a bca +≥，222222c a b c abc +≥，三式相加可得()()22222222a b b c c a abc a b c ++≥++，∴()()222222a b b c c a abc a b c ++≥++， ∴222222a b b c c a abc a b c++≥++.。
2019年高考数学理科(课标版)仿真模拟卷(三)(含新题附答案)
2018高考仿真卷·理科数学(三)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x+1)>0},B={x|y=x-1},则A∩B=()A.{x|x>0}B.{x|x≥1}C.{x|0<x≤1}D.R2.命题“∃x0∈R,x03−x02+1≤0”的否定是()A.∃x0∈R,x03−x02+1<0B.∃x0∈R,x03−x02+1≥0C.∀x∈R,x3-x2+1>0D.∀x∈R,x3-x2+1≤03.实数x,y满足x>y>0,则()A.1x >1yB.x−y<x-yC.1x>1yD.x2<xy4.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,m⊥β,则m∥αB.若m∥α,n⊥m,则n⊥αC.若m∥α,n∥α,m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m∥β,m⊂α,α∩β=n,则m∥n5.已知实数x,y满足x-y≤1,x+2≥0,x+2y≤1,则目标函数z=2x+y的最大值等于()A.-7B.-52C.2D.36.如图所示,函数y=3tan2x+π的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于()A.π4B.π2C.πD.2π7.已知正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O,P是线段BC上一点,则OP·CP的最小值为()A.-2B.-12C.-14D.28.函数f(x)=x cos x2(x∈[-2,2])的大致图象是()9.在△ABC中,∠B=2π,A,B是双曲线E的左、右焦点,点C在E上,若(BA+BC)·AC=0,则E的离心率为()A.-1B.3+1C.3-1D.3+110.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n项和的程序框图.执行该程序框图,输入m=10,则输出的S=()A.100B.140C.190D.25011.若锐角φ满足sin φ-cos φ=2,则函数f(x)=sin2(x+φ)的单调增区间为()A.2kπ-5π12,2kπ+π12(k∈Z) B. kπ-5π12,kπ+π12(k∈Z)C.2kπ+π12,2kπ+7π12(k∈Z) D. kπ+π12,kπ+7π12(k∈Z)12.已知函数f(x)=|log2x|,0<x≤2,log2(4-x),2<x<4,若f(a)≥f a+1,则a的取值范围是()。
2019-2020年高三仿真模拟数学理科试卷3含答案.doc
2019-2020年高三仿真模拟数学理科试卷3含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知全集U =R ，集合{|021}xA x =<<，3{|log 0}B x x =>，则U ()AB =（A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|01}x x << （D ）{|0}x x <（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>yx”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充分必要条 （D ）既不充分又不必要条件（3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （A ） 8 （B ） 4（C）（D（4）已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数 a 的值为 （A ）1 （B（C ）2 （D ）4（5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 （A ）120个 （B ）80个 （C ）40个 （D ）20个（6）点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是（A（B（C ）2 （D ）2（7）已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱1BB ，1DD 上的动点，且1BE D F λ==1(0)2λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值（A ）不存在 （B ）等于60︒ （C ）等于90︒ （D ）等于120︒（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为 正视图（A ）32 （B ）12（C ） 1 （D ）2 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）已知复数z 满足1iz i =-，则z = .（10）曲线C ：cos 1,sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数）的普通方程为 .（11）曲线233y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.(12)已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a = ；并归纳出数列{}n a 的通项公式n a = .(13)如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ， 已知30BPA ∠=，PA =1PC =，则PB = ；圆O 的 半径等于 ．(14)已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. （16）（本小题满分13分）为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ). （17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1CC 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.(18)（本小题满分13分）设函数2()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点. (19)（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2, 1)A，离心率为2．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅的取值范围；（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值． (20)（本小题满分14分）对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.图（1）（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则12()()f x f x ≠；（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.参考答案1. D 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =<=>，所以{}1U C B x x =≤，(){}0.U AC B x x =<2. B 【解析】 当0>>y x 时1>y x 成立，若1>yx，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形.3. C 【解析】侧视图应为矩形，高为4，宽为22=因此侧视图的面积为 4. A 【解析】由(1)0.5P X >=可知 1.a μ==5. C 【解析】分四种情形处理，当中间数依次分别为3,4,5,6时，相应“伞数”的个数分别为22222345,,,,A A A A 所以2222234540.A A A A +++=6. D 【解析】点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和转化为点P 到点(0,1)A -的距离与点P 到焦点()1,0F 的距离和，显然最小值为AF =7. C 【解析】在1AA 上取一点M ，使EM AB ∥，连结MF ，则MEF α∠=，同理可判断αβ=.在MFE ∆中，1,ME EF MF ===所以cos 2α=≥，所以min 45,α︒=因此()min 90.αβ︒+= 【易错点拨】在判断EF 与AB 所成的角α、BC 所成的角β时不能从图形直接判断为相等是本题解答的一个障碍，由三角函数值确定角也是较为容易出错的地方。
2018-2019年最新高考总复习数学(理)高考仿真模拟试题及答案解析
第2题图2018年高三年级模拟考试（一） 数学（理）试卷本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．复数i1i+在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．右面的程序框图输出S 的值为A ．16B ．32C ．64D ．1283．若非空集合,,A B C 满足AB C =，且A 不是B否是k ≤4开始 k =1，S =1 S =S ·2k k =2k输出S结束第4题图的子集，则“x C ∈”是“x A ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．24 B ．20+42C ．28D ．24+ 425．已知{}n a 是首项为2且公差不为0的等差数列，若136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前9项和等于A ．26B ．30C ．36D ．406．若不等式组3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．37B ．73C ．34D.437．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线C DE BOA 第11题图1x =-垂直相交于点B ，||||PB PA =，则cos APB ∠的值为A ．12B ．13C．12-D ．13-8．若定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：x D ∀∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”．已知()21g x x =-，()3f x x b =+ ，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥恒成立，则实数b 的取值范围是A ．(10⎤-∞-⎦，B ．1010⎡⎤-⎣⎦， C．310⎡⎤-⎣⎦，D ．)10⎡+∞⎣，第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．） 9．261()x x+的展开式中含3x 项的系数为______．（用数字作答） 10．在△ABC 中，60A ∠=︒，1AC =，△ABC 的面积为3，则BC的长为 ．11．如图，圆O 的直径4AB =，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若30ABC ∠=︒，则AD 的长为______.12．若a ,b ,c 是单位向量，且0⋅=a b ，则()()-⋅-a c b c 的 最大值为 ．第14题图13．已知函数2()log f x x =.若0b a ＜＜,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是 ．14．图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数，纵坐标表示黑圈的个数）．比如第一行记为(0,1)，第二行记为(1,2)，第三行记为(4,5)，照此下去，第四行中白圈与黑圈的“坐标”为 ，第n(n ∈N *)行中白圈与黑圈的“坐标”为________．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 15．（本小题13分）已知函数()()cos sin cos f x x x x =-． (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数)(x f 的最大值和最小值．……………………………第1行 …………………第2行 ............ ......... (3)……………………………甲 乙F E16．（本小题13分）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温．（Ⅰ）指出最高气温与最低气温的相关性；（Ⅱ）比较最低气温与最高气温方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）在[8:00，23:00]内每个整点．．时刻的温差（最高气温与最低气温的差）依次记为t 1，t 2，t 3，…，t 16，求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率．17．（本小题14分）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，EF ∥AB ，EFEA ⊥，22AB EF == ，90AED ∠=︒，AEED =，H 为AD 的中第16题图点．（Ⅰ）求证：EH ∥平面FBD ； （Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角--B FD P 的大小为3π？若存在求出BP 的长，若不存在请说明理由.18．（本小题13分） 已知函数21()()axf x x x e a=--(a ≠0)． （Ⅰ）当12a =时，求函数()f x 的零点； （Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）当0a >时，若02)(≥+ax f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围．19．（本小题14分） 已知椭圆M :2222x y +=. （Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）设O 为坐标原点，,,A B C 为椭圆M 上的三个动点，若四边形OABC 为平行四边形，判断ABC ∆的面积是否为定值，并说明理由．20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足11a =，1n n n a a p +-=，其中N n *∈, p 是不为1的常数.（Ⅰ）证明：若{}n a 是递增数列，则{}n a 不可能是等差数列； （Ⅱ）证明：若{}n a 是递减的等比数列，则{}n a 中的每一项都大于其后任意()N m m *∈个项的和；（Ⅲ）若2p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式．理科数学参考答案一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1 2 3 4 5 6 7 8 ADABCBDD二、填空题（共6个小题，每小题5分，共30分） 9. 20； 10.13； 11.1；12.12+；13.()3+∞，； 14.()1314， , -1-1313+122n n -（，）．三、解答题（共6个小题，共80分） 15. 解：（Ⅰ）因为()()cos sin cos f x x x x =-()11sin 2cos 2122x x =-+ ……………………………………………4分21sin 2242x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ………………………………………………6分 所以函数)(x f 的最小正周期22T ππ==． ……………………………7分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ……………………8分所以当244x ππ-=，即4x π=时，函数)(x f 取得最大值0， (10)分 当242x ππ-=-，即8x π=-时，函数)(x f 取得最小值2122--． ……………………………12分所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为0和2122--．……………………………13分16. 解：（Ⅰ）最高气温与最低气温之间成正相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．……………………………3分（Ⅱ）由图可以看出，最高气温曲线波动较小，因此最高气温方差小于最低气温方差．……………………………7分（Ⅲ）由图可得下表：整点时刻800:900:1000:1100:1200:1300:1400:1500:最高气温101112131313132123最低气温46810210311131210温差65431232131223整点时刻1600:1700:1800:1900:2000:2100:2200:2300:最高气温1123121086543最低气温865432231232温差14365431232131……………………………10分由表可知，连续两个整点时刻（基本事件）共有15个：（800:，900:），（900:，1000:），（1000:，1100:），（1100:，1200:），（1200:，1300:），（1300:，1400:），（1400:，1500:），（1500:，1600:），（1600:，1700:），（1700:，1800:），（1800:，1900:），（1900:，2000:），（2000:，2100:），（2100:，2200:），（2200:，2300:）．其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于3 ”的事件（记为A）共有3个：（1100:，1200:），（1500:，1600:），（2000:，2100:）． 所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于3︒的概率31()155P A ==． ……………………………13分17.（Ⅰ）证明：连结AC 交BD 于O ，连结HO ，FO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 是BD 的中点， 又H 是AD 中点， 所以//OH AB ，12OH AB =． 而//EF AB ，12EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FBD ，EH ⊄平面FBD ，OE FD CABH所以//EH 平面FBD ． (5)分（Ⅱ）证明：因为AE ED =，H 是AD 的中点，所以EHAD ⊥．因为//AB EF ，EF EA ⊥， 所以AB EA ⊥． 因为AB AD ⊥， 所以AB⊥平面AED ，因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD ．9分（Ⅲ）解：HE ，AD ，OH 两两垂直，如图．建立空间直角坐标系H －xyz ．则()100A ，，，0()10D -，，， ()011F ，， ()010O ，，，0()12C -，，设点()20()02P m m <≤，，，于是有()1,1,1DF =，(),1,1FP m =-． 设平面PDF 的法向量(),,x y z =n ，则PxyzOE FDC A BH00n n DF FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即00x y z mx y z ++=⎧⎨+-=⎩，．令1z =，得21x m =-，11m y m --=-． 所以21,,111n m m m --⎛⎫=⎪--⎝⎭． 平面BDF 的法向量()1,1,0OA =-． 所以cos 3n nOA OA π⋅=⋅ ，即()2221110,,11112212111m m m m m m --⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭=--⎛⎫⎛⎫⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，．所以1m =-．所以点P 的坐标为()120-，，，与点C 的坐标相同． 所以2BP BC ==． ……………………………14分18.解：(Ⅰ)令)(=x f ， 即0)1(2=--ax e ax x ． (1)分因为0>ax e ,所以012=--ax x ． ……………………………2分a41+=∆,因为0>a ,所以0>∆.所以方程012=--ax x 有两个不等实根：212a a a x a ++=，222a a ax a-+=．所以函数)(x f 有且只有两个零点212a a ax a++=和222a a a x a-+=. ………3分(Ⅱ)()()21ax f x a x x e a ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭． …………………………4分令()0f x '=，即()210a x x a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2x a=-或1x =． ………………5分当0a >时，列表得：x2(,)a-∞-2a- 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '+ 0 － 0 + ()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增……………………………6分 当0a <时，（1）若2a <- ，则21a -<，列表得 x2(,)a-∞-2a - 2(,1)a- 1 (1,)+∞()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………7分（2） 若20a -<<，则 21a->，列表得 x(),1-∞1 21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a-2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '－ 0 + 0 － ()f x单调递减极小值单调递增极大值单调递减……………………………8分综上，当0a >时，()f x 单调递增区间为2(,)a -∞-，(1,)+∞，单调递减区间为2(,1)a -；当2a <-时，()f x 单调递增区间为2(,1)a -，单调递减区间为2(,)a-∞-，(1,)+∞；当20a -<<时，()f x 单调递增区间为21,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(),1-∞，2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． ……………………………9分(Ⅲ)因为0a >，所以当2x a <-时，有20x >， 2x a->，0a >， 所以210x x a-->，从而()0f x >． ……………………………10分当2x a≥-时，由（Ⅱ）可知函数在1x =时取得极小值1(1)0a f e a=-<．所以，()11af e a=-为函数()f x 在R 上的最小值． ……………………………11分由题意，不等式02)(≥+ax f 对x R ∈恒成立，所以得021≥+-ae aa ，解得2ln 0≤<a ．所以a的取值范围是(]0,ln2． …………………………………………13分19. 解：（Ⅰ）椭圆M 的标准方程为：2212x y +=所以2a =，1b =，1c =． 所以椭圆M的离心率22c e a ==. ……………………4分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），此时AC 垂直平分OB ．所以23(,)22A ，23(,)22C -，(2,0)B ． 3AC =，2OB =所以OAC ∆的面积1122OAC S AC OB ∆=⋅632=22411=⨯⨯⨯. …………6分②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=，()()222216421220k m k m ∆=-+->，122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，122221my y k +=+．……………………9分因为四边形OABC 为平行四边形， 所以()12122242211,2km m k OB OA OC x x y y k ⎛⎫=+=++= ⎪+⎝+⎭-，． 所以22422121km m B k k -⎛⎫⎪⎝++⎭，， 代入椭圆方程，化简得D ACOBxy22214k m +=. …………………10分因为AC ()()221212x x y y =-+-2212121()4k x x x x =++-= 21k +()222242242121m km k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭-22222212121k k m k ++-=+261=2k m+. …………………11分点O到AC的距离d =21m k+. …………………12分 所以OAC ∆的面积2OACS AC d ∆1=⋅226162241m k m k1+=⨯⋅=+. 综上，OAC ∆的面积为定值64. ……………………………13分因为OAC ∆的面积等于ABC ∆的面积， 所以ABC ∆的面积为定值64. …………………………………………14分20. 解：(Ⅰ)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=. (1)分由于11a =，所以21a p =+，231a p p =++.假设数列{}n a 是等差数列，那么1a ，2a ，3a 成等差数列. 所以2132a a a =+，因而20p p -=，解得1p =或0p =. (2)分由已知1p ≠，当0p =，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故p 的值不存在.所以数列{}n a 不可能是等差数列. ………………………………………………3分(Ⅱ) 因为{}n a 是递减数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.因为11a =，所以21a p =-，231a p p =--. 因为数列{}n a 是等比数列，所以22(1)1p p p -=--，得12p =或0p =（舍去）. 则212a =，公比1q 2=，故11()2n n a -=. (4)分设12m n n n n <<<<…，那么11n n +≤，22n n +≤，…，mn m n +≤（1m ≥）．因为111122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221122n n +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1122)n mn +⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1212111111222222mn n n n n n m+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……．……………5分因为12111(11111121122222212mn n n mn n m ++++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-)... (6)分而11111111022222n m n m n a -+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即11122nm n a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以12111222n n n mn a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….即:数列{}n a 中的每一项大于其后任意()m m N *∈个项的和. ……………………7分(Ⅲ)由于{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，所以2122210n n n n a a a a +--+->．①因为22122n n ->，所以212221n n n n a a a a +-->-. ②由①②知，2120n n a a +->，因此()2221222nn n n a a +-==-.③……9分因为{}2n a 是递减数列，同理得，2210n n a a --<，故()212122122n n n n a a ----=-=-.④由③④可知，()12nn n a a +-=-. ……………………11分因此()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()211222n -=+-+-++-()()()()112122112333nn n⎡⎤⋅-----⎣⎦===---.所以数列{}n a 的通项公式为()()2133nna n N *-=-∈. ………………………13分。
[精品]2019届高三数学下学期测试(三模)试题 理(含解析)
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2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。
【2019高考模拟试题 全国卷】2018-2019学年度模拟测试(三)附答案+答题卡
【2019高考模拟试题 全国卷】绝密★启用前【2019高考模拟试题 全国卷】2018-2019学年度模拟测试（三）数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）1.已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+,,01,01a x y x y x 若目标函数y ax z 2-=的最大值为1.则实数a 的值是A. 12-B.3C.12+ D.12.已知全集2018={|0}2019x U R A x x -=≥-，，则U C A =（ ）A ．{|20182019}x x ≤≤B ．{|20182019}x x <<C ．{|20182019}x x <≤D ．{|20182019}x x ≤< 3.已知|a |=|b |=1，且a ⊥b ，则2a +b 在a +b 方向上的投影为 A. 223 B. 22 C. 233 D. 234.已知函数)12lg()(a xx f +-=为奇函数，则使0<)(x f 的x 的取值范围是 A.(－∞,0) B. (－1,0) C.(0,1) D. (－∞,0)∪(1,+∞) 5.已知集合A ={2|1x x >}，Z 为整数集，U =R ，则【2019高考模拟试题 全国卷】答案第2页，总17页A. φ=Z AB. R Z A =C. C U {}1,0,1-=Z AD. C U {}0=Z A 6.已知等差数列{a n }的公差d =－2, S n 为数列{a n }的前n 项和，若1110S S =,则a 1=A.18B.20C.22D.24 7.已知复数20182019120192018i z i+=+-，则2018z=（ ） A ． 22018B ．21009C ．1D8.已知数列{a n }的前n项和为S n , 首项321-=a ,且满足)2(21≥=++n a S S n n n ,则2018S 等于 A. 20172016- B. 20182017- C. 20192018- D. 20202019-9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A.10B.43C.83D.16310.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N ，连结MF 2，NF 2，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). 5 D.6 11.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A.－2i B.2i C.2 D. －2【2019高考模拟试题 全国卷】12. 已知当(1,)x ∈+∞时，关于x 的方程ln (1)1x x k xk+-=-有唯一实数解，则距离k 最近的整数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【2019高考模拟试题全国卷】答案第4页，总17页第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）13.已知双曲线C：22221(0)x ya ba b-=>>的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与双曲线C的一条渐进线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M，N两点，若11||2||NF MF=，则双曲线C的渐进线方程为．14.函数y＝sin2x＋2cos x在区间[－23π，a]上的值域为[－14，2]，则a的取值范围是__.15.已知数列{a n}是等比数列，28,1286354=+-=⋅aaaa,且公比q为整数，则公比q=16.定义在R上的函数)(xf满足：)1(+xf与)1(-xf都为偶函数，且x∈[-l，l]时，f(x)=,[1,0],1ln,(0,1],xe xxx-⎧∈-⎪⎨∈⎪⎩，则2sin)()(xxfxgπ-=在区间[-2018，2018]上所有零点之和为▲ .三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）17.假设某士兵远程射击一个易爆目标，射击一次击中目标的概率为23，三次射中目标或连续两次射中目标，该目标操作，停止射击，否则就一直独立地射击至子弹用完.现有5发子弹，设耗用子弹数为随机变量X.（1）若该士兵射击两次，求至少射中一次目标的概率；（2）求随机变量X的概率分布与数学期望()E X.18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若14mS-=-，0mS=，214mS+=（2m≥，且*m N∈）．【2019高考模拟试题 全国卷】（1）求数列{a n }的通项；（2）求数列{}3(6)2n n m a -+⨯的前n 项和． 19.(本小题满分12分） 已知数列{a n }满足411=a ,当2≥n 时，n n n n na a a a )1(211-=+--. （1）若n nn a b )1(1-+=,求证：数列{b n }为等比数列； （2）若nn a nc =，求数列{c n }的前n 项和n S . 20.（1）计算：43213161(38log log ---；（2）已知b a ==7lg ,5lg ，试用a ，b 表示49log 28. 21.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； (Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数. 附：65.8.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，【2019高考模拟试题 全国卷】答案第6页，总17页()220.9544P Z μσμσ-<<+=.22.已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋b .(1)若b ＝－1，函数y ＝f (x )在x ∈[2,3]上有一个零点，求a 的取值范围； (2)若a ＝b ，且对于任意a ∈[2,3]都有f (x )＜0，求x 的取值范围．【2019高考模拟试题全国卷】试卷答案1.D2.C解：全集，或，．故选：C．3.A∵∴∴在方向上的投影为故选A4.B5.C∵集合∴集合，∵为整数集∴，，，故选C【2019高考模拟试题 全国卷】答案第8页，总17页6.B7.B，，则，故选：B ．8.D9.C结合三视图，还原直观图，得到三棱锥P-ABC 即为该几何体，结合题意可知AB=4，AC=2，高h 为2，故体积为，故选C 。
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普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(三)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2017·郑州一模)设全集{}4U x N x *=∈≤，集合{}1,4A =，{}2,4B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,4C ．{}1,3,4D ．{}2,3,42.(2017·保定市一模)设z 为复数12z i =-的共轭复数，则()2016z z-=（ ）A ．20162B ．20162- C ．20162i D ．i -3.（2017·河南八市质检）已知函数()2f x x x x =-+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0,+∞B ．()f x 是偶函数，递减区间是(),1-∞-C ．()f x 是奇函数，递增区间是(),1-∞-D ．()f x 是奇函数，递增区间是()1,1-4.（2017·太原一模）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点坐标为()2,0，则双曲线方程为（ ）A ．22126x y -= B ．22162x y -= C.2213y x -= D ．2213x y -= 5.（2017·咸阳市二模）如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A ．21π-B ．2πC.22π D ．221π-6.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，且()1f α=，0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3± C.3 D ．3-7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有坦厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自信，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ）A ．4B ．5 C.2 D ．3 8.（2017·海口市调研）cos104sin80sin10-=（ ）A ．．39.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，下列命题中正确的是（ ）A ．(),x y D ∀∈，21x y +≤-B ．(),x y D ∀∈，22x y +≥-C ．(),x yD ∀∈，23x y +≤ D ．(),x y D ∀∈，22x y +≥10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ）A ．83 B ．52C.3 D ．2 11.（2017·昆明市统测）设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.()1,-+∞ D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．45-B ．35- C.35 D ．45第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量1e ，2e 的夹角为60，则向量12e e +与212e e -的夹角为 ．14.（2017·东北四市一联）在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀”；乙说：“我得了优秀”；甲说：“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是 ．15.（2017·海口市调研）若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则a = ．16.（2017·山西四校联考）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1c o s c o s 2a Bb A c-=， 当()tan A B -取最大值时，角B 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （2017·成都市二诊）已知数列{}n a 中，11a =，又数列()2n n N na *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是首项为2、公差为1的等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不 超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时. （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19. （2017·邯郸模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △ 是边长为30CBD CDB ∠=∠=，E 为棱PA 的中点.（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）若平面PAB ⊥平面ABCD ，2PA PB ==，求二面角P BC E --的余弦值.20. （2017·河南九校联考）已知椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>A 在圆22:16O x y +=上.（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得3PQ AP=?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.21. (2017·唐山市二模)设函数()()21ln 2x f x k x k x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若k 为正数，且存在0x 使得()2032f x k <-，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）.（1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （2）已知()2,0A -，()0,2B ，圆C 上任意一点(),M x y ，求ABM △面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b 都是正数，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+；（2）已知a ，b ，c 都是正数，求证：222222a b b c c a abc a b c++≥++. 试卷答案一、选择题1-5：AADCA 6-10：DABBA 11、12：DD 二、填空题 13.23π 14.丙 15.2 16.6π 三、解答题17.解析：（1）∵数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴()2211nn n na =+-=+， 解得()21n a n n =+.（2）∵()211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.∴11111212231n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 18.解析:（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=， 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=，两人都付80元的概率为311121111142634624p ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=. （2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，()11104624P ξ==⨯=， ()121114043264P ξ==⨯+⨯=，()11121158046234612P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1112112026434P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=， ξ的分布列为()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19. 解析：（1）证明：如图，取AB 的中点F ，连接EF 、DF ，∴//EF PB ，∵30CBD FDB ∠=∠=，ABC △为正三角形， ∴//DF BC ，∵EF DF ⊂、平面DEF ，PB BC ⊂、平面PBC ， ∴平面//DEF 平面PBC ， ∵DE ⊂平面DEF ， ∴//DE 平面PBC . （2）∵2PA PB ==， ∴PF AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ， ∴PF ⊥平面ABCD ，且1PF =，连接DF ，分别取FB ，FD ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则点()A ，)B，)C，()0,3,0D ，()0,0,1P ，122E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCP 的法向量为(,m x y =，则()0,2,0BC =，()BP =，∴0m BC ⋅=，0m BP ⋅=，0y =，1x =即(m =， 设平面BCE的法向量为(,n a b =，12BE ⎫=⎪⎪⎝⎭，∴13a =，0b =，∴13n ⎛= ⎝.∴57cos ,14m n m nm n⋅<>==⋅， 因此所求二面角的余弦值为14. 20.解析：（1）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O xy +=上，令0y =，得4x=±，所以4a =，又离心率为2，所以2c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以W 的方程为221164x y +=. （2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线AP 的方程为()4y k x =+，与椭圆方程联立得()224,1,164y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩化简得到()2222143264160k x k x k +++-=，因为4-为方程的一个根，所以()21232414k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+，所以AP =.因为圆心到直线AP的距离为d =所以AQ ===，因为1PQ AQ AP AQAP AP AP-==-，代入得到222221433113111PQ k k AP k k k+=-=-==-+++， 显然23331k -≠+，所以不存在直线AP ，使得3PQ AP=. 21. 解析：（1）()()()()2111x k x k x x k k f x x k x x x+--+-'=+--==，（0x >）， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0k >时，()0,x k ∈，()0f x '<；(),x k ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 在()0,k 上单调递减，在(),k +∞上单调递增.（2）因为0k >，由（1）知()232f x k +-的最小值为()2233ln 222k f k k k k k +-=+--， 由题意得23ln 022k k k k +--<，即31ln 022k k k+--<. 令()31ln 22k g k k k=+--，则()222113230222k k g k k k k -+'=-+=>， 所以()g k 在()0,+∞上单调递增，又()10g =， 所以()0,1k ∈时，()0g k <，于是23ln 022k k k k +--<； ()1,k ∈+∞时，()0g k >，于是23ln 022k k k k +-->.故k 的取值范围为01k <<. 22. 解析：（1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），所以普通方程为()()22344x y -++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得()()22cos 3sin 44ρθρθ-++=，化简可得圆C 的极坐标方程：26cos 8sin 210ρρθρθ-++=.（2）点(),M x y 到直线:20AB x y -+=的距离为d =ABM △的面积12cos 2sin 9924S AB d πθθθ⎛⎫=⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以ABM △面积的最大值为9+23.证明：（1）∵a b ≠，∴0a b -≠，∴2220a ab b -+>， ∴22a ab b ab -+>，而a ，b 均为正数，∴0a b +>，∴()()()22a b a ab b ab a b +-+>+， ∴3322a b a b ab +>+成立. （2）∵a ，b ，c 都是正数，∴222222a b b c acb +≥，222222a b c a bca +≥，222222c a b c abc +≥， 三式相加可得()()22222222a b b c c a abc a b c ++≥++， ∴()()222222a b b c c a abc a b c ++≥++，∴222222a b b c c a abc a b c++≥++.。