最新人教版高中数学必修1第三章《待定系数法》

数学人教B必修1第二章2.2.3 待定系数法1．了解待定系数法的概念．2．掌握用待定系数法求函数的解析式．3．理解待定系数法的适用范围及注意事项．1．待定系数法的概念一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的______，可先把所求函数写为一般形式，其中______待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过__________来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．利用待定系数法解题的关键是依据已知条件，正确列出含有未知系数的等式．运用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．要判断一个问题是否能用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解，其基本步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【做一做1】若f(x)为一次函数，且满足f[f(x)]＝1＋2x，则f(x)的解析式为________．2．二次函数的三种表示形式(1)一般式：________________，其中____决定开口方向与大小，____是y轴上的截距，而__________是对称轴．(2)顶点式(配方式)：______________，其中______是抛物线的顶点坐标，______是对称轴．(3)两根式(因式分解)：________________，其中x1，x2是抛物线与x轴两个交点的______．【做一做2－1】已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式为() A．y＝－x2－4x－1B．y＝x2－4x－1C．y＝x2＋4x－1D．y＝－x2－4x＋1【做一做2－2】已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点，则这个二次函数的解析式为__________．确定二次函数解析式所需的条件剖析：二次函数解析式的求法有以下几种情况：(1)已知三点坐标，求解析式．可将函数解析式设为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．将点的坐标分别代入所设解析式，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c即可．(2)已知顶点坐标为(m，n)，可设y＝a(x－m)2＋n，再借助于其他条件求a.(3)已知对称轴方程为x＝m，可设y＝a(x－m)2＋k，再借助于其他条件求a与k.(4)已知最大值或最小值为n，可设y＝a(x－h)2＋n，再借助于其他条件求a和h.(5)二次函数的图象与x轴只有一个交点时，可设y＝a(x－h)2，再借助于其他条件求a 和h.(6)已知二次函数图象与x轴有两个交点x1，x2时，可设y＝a(x－x1)(x－x2)，再借助于其他条件求a.题型一用待定系数法求函数解析式【例1】求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．(2)已知二次函数y ＝f (x )的图象过A (0，－5)，B (5,0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的解析式．分析：对于(1)可设出一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，对于(2)可设出二次函数的顶点式或一般式，利用待定系数法求出解析式．反思：通过解决本题，我们可得出：利用待定系数法求函数的解析式的具体做法是先根据题目中给出的函数类型设出解析式的一般形式，再由已知条件列方程或方程组，然后求出待定系数即可．当已知函数的类型，如二次函数、一次函数、反比例函数等，可以设出所求函数的一般形式，如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，y ＝kx ＋b (k ≠0)，y ＝k x(k ≠0)等．设待定系数本着“宁少勿多”的原则进行，注意提炼解题过程，简化解方程的途径．题型二 已知函数图象求函数解析式【例2】如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．分析：由图象可知：①函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；②当x ≤1或x ≥3时，函数解析式可设为y ＝kx ＋b (k ≠0)；③当1≤x ≤3时，函数解析式可设为y ＝a (x －2)2＋2(a ＜0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)． 反思：由函数图象求函数的解析式，关键是观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数组成，然后针对不同区间上的函数，利用待定系数法求出相应的解析式．题型三 易错辨析【例3】已知f (x )是二次函数，不等式f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，且f (x )在区间[－1,4]上的其中一个最值为12，求f (x )的解析式．错解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 综上可知f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x 或f (x )＝－4825x (x －5)＝－4825x 2＋485x . 反思：在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万别出现增解或漏解现象．1若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋12已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最大值为2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象过点(3，－6)，则a ，b ，c 的值为( )A ．－2,4,0B ．4，－2,0C ．－4，－2,0D ．－2，－4,03已知f (x )＝x 2，g (x )是一次函数，且是增函数，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则g (x )＝__________.4已知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝kx ＋1(k ≠0)交于两点，其中一交点为(1,4)，则另一交点为______．5已知二次函数f (x )图象的对称轴是直线x ＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f (x )的解析式．答案：基础知识·梳理1．一般形式 系数 求待定系数【做一做1】f (x )＝－2x －2－1或f (x )＝2x ＋2－1 已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法．设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得k ＝－2，b ＝－2－1或k ＝2，b ＝2－1.2．(1)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) a c x ＝－b 2a(2)f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) x ＝h (3)f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) 横坐标【做一做2－1】A 设所求解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)．∵抛物线过点(－3,2)，∴2＝a ＋3.∴a ＝－1，∴y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.【做一做2－2】f (x )＝32x 2－32x ＋1 根据题意设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，然后将图象所经过的三个点的坐标分别代入方程，联立三个方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a ·02＋b ·0＋c ，4＝a ·22＋b ·2＋c ，10＝a ·32＋b ·3＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－32，c ＝1.故f (x )＝32x 2－32x ＋1. 典型例题·领悟 【例1】解：(1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (2)解法一：利用二次函数的顶点式．设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，把点A (0，－5)，B (5,0)的坐标代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝4a ＋k ，0＝9a ＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－9，a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －2)2－9，即f (x )＝x 2－4x －5.解法二：利用二次函数的一般式．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －5＝c ，0＝25a ＋5b ＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝－5，5a ＋b －1＝0.①② 又∵对称轴为x ＝2，∴－b 2a＝2. ∴b ＝－4a .③ 由①②③，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4，c ＝－5.因此所求函数的解析式为f (x )＝x 2－4x －5.【例2】解：设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)．因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)．同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)．当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．解法一：设函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)．由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1.所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．解法二：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0，1≤x ≤3)．因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝4，c ＝－2. 所以抛物线对应的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，－x 2＋4x －2，x －2， x <1，1≤x <3，x ≥3.【例3】错因分析：没有对a 的值进行检验，而出现错解现象．正解：根据f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，可设f (x )＝ax (x －5)． 又∵f (x )在[－1,4]上的其中一个最值为12，则有可能出现f (－1)＝12或f ⎝⎛⎭⎫52＝12，即6a ＝12或－254a ＝12，解得a ＝2或a ＝－4825. 当a ＝2时，满足题意；当a ＝－4825时，二次函数的图象开口向下，不符合f (x )＜0的解集是{x |0＜x ＜5}，故舍去．综上，所求解析式为f (x )＝2x 2－10x .随堂练习·巩固1．D 把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，b ＝1. ∴y ＝－x ＋1，故选D.2．A 由已知可设此二次函数为y ＝a (x －h )2＋2(a ≠0)．∵图象顶点在直线y ＝x ＋1上，∴2＝h ＋1，得h ＝1.又图象过点(3，－6)，∴－6＝a (3－1)2＋2.∴a ＝－2.∴y ＝－2(x －1)2＋2＝－2x 2＋4x .∴a ＝－2，b ＝4，c ＝0.3．2x －5 设g (x )＝kx ＋b (k ＞0)，则f [g (x )]＝g 2(x )＝(kx ＋b )2＝k 2x 2＋2kbx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，比较系数可得k ＝2，b ＝－5.∴g (x )＝2x －5.4．⎝⎛⎭⎫－14，14 将(1,4)的坐标分别代入y ＝ax 2与y ＝kx ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a ，4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，k ＝3.再联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2，y ＝3x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4或⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝14.5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f (x )的解析式． 解：设f (x )＝a (x ＋1)2＋k (a ≠0)．由题意，得f (1)＝13，f (2)＝28，则有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝13，9a ＋k ＝28， 解得a ＝3，k ＝1，所以f (x )＝3(x ＋1)2＋1.。