启迪教育 圆总讲义2
启迪教育圆的面积讲义
圆的复习一、教学目标：1、 掌握圆中相关的公式以及合理利用公式2、 经过比较不同的物体学会观察物体间的不同特征，体会几何图形间的联系。
二、教学重点和难点：经过比较不同的物体学会观察物体间的不同特征，体会几何图形间的联系。
三、教学过程：一、 结合学生整理的知识要点归类二、组合图形例1 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=8厘米，∠ACB=90°, 以AB 为直径作半圆，弧AB 是过点C 。
求图中阴影部分的面积。
分析：阴影部分的面积就是一个半圆减去一个等腰三角形例2 如图，四边形ABCD 是一个正方形。
AB=8厘米，连接AB 和CD 相交于点O 。
以AB 为直径做圆。
求图中阴影部分的面积。
分析：方法一：一个圆减去一个正方形方法二：可看作为例一阴影面积乘以2例3如图，△ABC 是等腰三角形，AB=BC=8厘米，∠ABC=90°,分别以AB 、BC 为直径作两个半圆。
求图中阴影部分的面积。
分析：方法一：因为等腰直角三角形ABC 与阴影部分所表示的图形有同一条对 称轴BD ，阴影部分被分成为相同四等分，而其中的两份（也就是阴影部分的一半）等于求例1中的阴影部分的面积。
方法一图方法二：还可以通过旋转徒刑，把阴影部分化成例2的阴影部分，以BC 为直径的半圆围绕点B 旋转，使点C 和点A 重合，就可得例2的阴影部分，阴影部分的面积等于直径是8厘米的圆的面积减去对角线为8的正方形的面积。
方法二图小结：1、 求阴影部分面积用切割的方法2、 求阴影部分面积还可用旋转的方法3、 把问题化成已知的知识思考题：如图，以正方形ABCD 的四边为直径，在正方形内画四个半圆。
（1） 如果正方形的边长为8，那么阴影部分的面积是多大？ （2） 如果正方形的边长为a ，那么阴影部分的面积是多大？。
启迪教育经典一元二次方程讲义
1、 关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k-1=0的根的情况（ ）。
A 、有两个相等的实数根B 、有两个不相等实数根C 、有两个实数根D 、没有实数根2、 若A(－134，y 1)、B(－1，y 2)、C(53，y 3)为二次函数y=－x 2－4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3． 3、 下列3个图形中是位似图形的有（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 4、 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）5、 分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．6、 如图，已知二次函数 24y ax x c =-+ 的图像经过点A 和点B ．A ．B ．C ．D ． AB 第16题图 转盘A 转盘B 图21（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．7、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？8、如图△AOB中，∠AOB＝120°，BD，AC是两条高，连接CD，若AB＝4，则DC的长为（）A．3B．2 C．233D．433。
启迪教育初三圆全章讲义
圆的有关性质1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．圆的有关性质一、选择题1.下列结论中，正确的是（）A. 长度相等的两条弧是等弧B. 相等的圆心角所对的弧相等C. 圆是轴对称图形D. 平分弦的直径垂直于弦2.在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（）(A)C在⊙A 上 (B)C在⊙A 外 (C)C在⊙A 内 (D)C在⊙A 位置不能确定。
3.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( )(A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm4.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D延长CD到E，使DE=CD，则点E和⊙O的位置关系是（）A．点E在⊙O上 B．点E在⊙O外 C．点E在⊙O内 D．以上都有可能,4)的位置在5.在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3（）A ⊙O内B ⊙O上C ⊙O外D 不能确定6.△ABC中，∠C=900，AB=5，BC=3，以C为圆心，以2为半径作圆，则点B与⊙C的关系位置是（）（A）B在⊙C外（B）B在⊙C内（C）B在⊙C上（D）无法确定7.下列语句中正确的个数是（）①平行四边形的四个顶点在同一圆上；②矩形的四个顶点在同一圆上；③菱形的四个顶点在同一圆上；④正方形四边中点在同一圆上；A 1个B 2个C 3个D 4个8.已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CD⊥AB，垂足为D延长CD到E，使DE=CD，则点E和⊙O的位置关系是（）A ．点E 在⊙O 上B ．点E 在⊙O 外C ．点E 在⊙O 内D ．以上都有可能9. 如图，P(x ，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x ，y 都是整数，则这样的点共有 （ ）A ． 4个B ． 8个C ． 12个D ． 16个10. 如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，BC ＝a ，EF ＝b 、NH ＝c ，则下列各式中正确的是 （ ）A 、a ＞b ＞cB 、a ＝b ＝cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a11. 将一圆形纸片对折后再对折，得到图3，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( )二、填空题12. 如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么①点P 在⊙O 外⇔_________；②________⇔d =r ；③________⇔d ＜r ． 13. ⊙O 的半径为4 cm ，若线段OA 的长为10 cm ，则OA 的中点B 在⊙O 的___________，若线段OA 的长为6 cm ，则OA 的中点B 在⊙O 的___________； 14. ⊿ABC 中，∠C =090，AB =cm 4，BC =cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在⊙A ，点B 在⊙A ；15. 已知⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为R ，且方程x 2-2x+R=0有实根，则P 在⊙O 的______________。
启迪教育初三圆讲义12
双柏县2004年秋季学期教学质量监控检测初 三 数 学 试 卷（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共8个小题，每小题3分， 满分24分）1、2Sin60°cot30°= 。
2、已知x 1、x 2是方程x 2-2x-3=0的两根，则（x 1+x 2）x 1x 2= 。
3、已知方程712x y xy +=⎧⎨=⎩的解 。
4、若关于x 的方程2x 2－（4k+1）x ＋2k 2－1=0有两个相等的实数根， 则k=5、已知一次函数的图象经过点P （1，2），请你写出满足条件的一个 一次函数的解析式： 。
6、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=100°， 则∠BCD= 。
7、观察下列等式（式中的“！”是一种运算符号）D 1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1， 4！=4×3×2×1，…… 计算2005!2004!= 。
8、观察下列各式：1×3=12＋2×12×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；…… …… ……请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来。
二、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，满分32分）9、点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A、（2，3）B、（2，－3）C、（－2，3）D、（－2，－3）10、方程x（x－2）=0的两根为（）A、x1=0，x2=－2B、x1=1，x2=2C、x1=0，x2=2D、x1=1，x2=－211、函数y=的自变量x的取值范围是（）A、x＞32B、x≤32C、x≥32D、x＜3212、P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB=BC=3，则PA的长是（）A、9B、3C、23D、1813、反比例函数1=-当x<0时，y随x的增大而yx（）A、增大B、减小C、不变D、可能增大也可能减小14、已知两圆的直径分别是12㎝和6㎝，圆心距为10㎝，则两圆的位置关系为（）A、外离B、外切C、相交D、内含15、在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，CB=4 ，则CosA的值是（）A、45B、35C、34D、4316、⊙O的直径为10㎝，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离为（）A、7cmB、8cmC、1cmD、7cm或1cm三、解答题（本大题共9个小题，满分64分）17、解方程：（本小题6分）222(1)6(1)7 11x xx x+++= ++18、（本小题7分）如图，已知，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为 B ，OC 平行于弦AD 。
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
九年级数学上册27.1圆的基本概念和性质(2)冀教版解析
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦 相等的弦所对的优弧和劣弧分别
； .
如图，在⊙O中，CD是直径， AB为弦，且 CD⊥AB，垂足为E．
将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪 些弧重合？由此你能得出什么结论？ C
·O
E
A
BDBiblioteka A DB DA C
B C
我们就得到下面的定理：
C
·O
E
A
B
D
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 两条弧．
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙O1， ⊙ O2及相等的两条弦AB,CD.把两张纸叠放在一起， 使⊙O1与⊙ O2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心 旋转适当的角度，使弦AB和弦CD重合.
A
B
C
O1
O2
D
你能发现哪两条弧重合，他们是等弧吗？
1.在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦 相等吗？ 2.在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对 的弦呢？
AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
A
E
B
·
O
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ABOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
赵洲桥的半径是多少？
问题 ：你知道赵洲桥吗?它是1300多年前我国隋 代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结 晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长) 为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你 能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
如图，⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点 E ， AE=BE．
1.你认为直径CD与弦AB垂直吗？为什么？
初中数学北京课改版九年级上册《第二十一章 圆 上 211 圆的有关概念 2》教材教案
5、上述各量间的联系：
教师板书表示方法；
优弧用3个字母表示，而劣弧只需2个字母；
体会概念间的联系：
教学过程
师生活动
若将整个圆360等分，你发现了哪些被等分的量？
圆被等分成360个等弧（我们称每一份弧为10的弧），圆心角被等分成了360个等角（每个角的度数为10）
你发现弧的度数与圆心角度数的关系了吗？
（3）同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做等弧。（不单只关注弧长还包括弯曲程度）
3、弦：（教师结合图形引导学生体会概念）
定义：联结圆上任意两点的线段叫做弦。
强调：
（1）经过圆心的弦称为直径；
（2）直径是一类特殊的弦，而不是所有的弦都是直径；
4、圆心角：（教师结合图形引导学生体会概念）
定义：顶点在圆心，且角的两边与圆相交得到的角称为圆心角。
弧的度数等于它所对的圆心角的度数，记做弧AB的度数为n，或弧AB是n度的弧。
学生思考这个关系仅适用于劣弧吗？优弧呢？教师点评，适合于所有的弧。
练习：P126
1、你发现了弧长与什么量有关了吗？（增）
2、能结合上述的分割过程，猜想并验证弧长公式吗？
师生共同形成：
弧长公式：体会公式的作用，在已知三个变量中的两个时，我们可以顺利求出另外的一个。
课题
21.1圆的有关概念-2
教学目标
1、学生理解弧、弦、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；
2、经历弧长公式的形成过程，能准确运用公式计算；
3、培养学生分析理解数学语言的能力与计算能力。
教学重点
与圆有关的概念，弧长公式的形成与应用
教学难点
类比概念间的联系
教学方法
引导探究式
教学手段
启迪教育初三期末复习讲义2
一．选择题1. 在下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是2. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A. 3(x ＋1)²＝2(x ＋1)B.02112=-+x xC. ax ²＋bx ＋c ＝0D. x ²－x(x ＋7)＝0 3. 下列计算正确的是（ ）A 、20=102B 、632=⋅C 、224=-D 3=-4. 如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，E 为DA 延长线上一点，若︵BAD 的度数为70°，则∠BAE 的度数为( )A ．140°B ．70°C ．35°D ．20°5. 如图，在平面直角坐标系中，A ⊙与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A ⊙于M 、N 两点，若点M 的坐标是(42)--，，则点N 的坐标为（ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(152)--．，D ．(1.52)-，6. 化简二次根式22a a a +-的结果是( ) （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 7. 正六边形的边心距等于6，则它的周长等于（ ） A. 324B. 34C.5512 D.55728. 若关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是( )（Ａ）k ＞－1 （Ｂ）k ≥－1 （Ｃ）k ＞－1且k ≠0 （Ｄ）k ≥－1且k ≠09. 毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买纪念品，每两个同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为( )A 、5人B 、6人C 、7人D 、8人 10. 如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定二．填空题：11. 当x____________时，二次根式32-x 有意义．12. 在一个不透明的盒子里装有5个黑球，3个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 . 13. 若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是___________．·DCOBA14. 如图，△ADC 的外接圆直径AB 交CD 于点E, 已知∠C= 650，∠D=470， ∠CEB ＝ ．15. 如图2，ABC △的顶点坐标分别为(36)(13)A B ，，，，(42)C ，．若将ABC △绕C 点顺时针旋转90，得到A B C '''△，则点A 的对应点A '的坐标为 ．16. 如图，AB 、AC 与⊙O 相且于B 、C ，∠A=50°，点P 是圆上异于B 、C的一动点，则∠BPC 的度数是 。
启迪教育内外角讲义
三角形的内角与外角（一）填空1．三角形的三个外角和等于 ______ ．2．如图3-4，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D= ______ ．3．如图3-5，已知BE∥CD，∠1＝95°，∠2＝28°，则∠CAB＝ ______ ．4．如图3-6，已知AD，DE，AB，BC都是线段，∠1=27°，∠2=95°，∠3=38°，则∠4= ______ ．5．如图3-7，∠α= ______ ．6．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成如图3-8所示的图形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F＝ ______ ．7．如图3-9，在△ABC中，已知AD平分∠A交BC于D，∠B=66°，∠C=54°，那么∠ADC= ______ ．8．如图3-10，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D= ______ ．（二）选择9．三角形的三个外角中，钝角最多有［］．A．1个； B． 2个；C．3个； D．以上答案都不对．10．锐角三角形中任意两角之和必大于［］．A． 120°； B． 110°；C． 100°； D．90°．11．如图3-11，已知l1∥l2，则下列式子中等于180°的是［］．A．α＋β＋γ； B．α＋β－γ；C．β＋γ－α； D．α－β＋γ．12．如图3-12，已知△ABC的角平分线CD，BE相交于F，且∠A＝60°，那么∠DFE的值为［］．A． 80°； B． 100°；C． 120°； D．140°．13．如图3-13，在△ADE中，引线段EB与EC，则下列各角度间的关系正确的是［］．A．∠A＋∠1＋∠6＝∠D＋∠3＋∠5；B．∠1＋∠4＝∠D＋∠3；C．∠5＋∠A＝∠2＋∠6；D．∠A＋∠4＋∠6＝∠2＋∠7＋∠5．14．如果△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足3∠A＞5∠B，3∠C≤2∠B，则这个三角形是［］．A．钝角三角形； B．直角三角形；C．锐角三角形； D．任意三角形．（三）计算15．已知△ABC中，∠A＝2∠B，∠C＝∠A＋∠B＋12°，求∠A，∠B，∠C的大小．16．已知△ABC中，∠A＝105°，∠B－∠C＝15°，求∠C的大小．17．如图3-14，已知DF⊥AB，∠A=40°，∠D=43°，求∠1的大小．18．如图3-15，已知△ABC中，∠B=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠D的大小．19．如图3-16，已知△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角平分线交于D，∠D=30°，求∠A的大小．20．如图3-17，已知∠A=27°，∠CBE＝96°，∠C=30°，求∠ADE的大小．21．如图3-18，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=155°，∠B=∠C，求∠EDF的大小．22．如图3-19，已知AB∥CD，∠1=∠F，∠2=∠E，求∠EOF的大小．23．如图3-20，已知△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，CE 平分∠ACB交AB于E，求∠CDF的大小．24．如图3-21，已知∠A=15°，∠ABC=90°，∠ACB= ∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG，求∠F的大小．25．已知：如图3-22，△ABC中，BD⊥CA，CE⊥AB，D，E为垂足，BD和CE交于点H．求证：∠ABD=∠ACE．26．已知：如图3-23，D是△ABC的∠C的外角平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC＞∠B．27．已知：如图3-24，在△ABC中，AD是∠A的平分线，CD⊥AD于D．求证：∠ACD＞∠B．28．已知：如图3-25，△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求．。
启迪教育初三圆讲义10
圆的复习1学习目标：1、回顾本章的知识点及知识结构2、通过练习提高对整章的解题能力 学习过程：一、回顾本章知识点及知识结构 1、圆的基本元素： 弦： 劣弧： 优弧： 圆心角：2、 圆的对称性：（1）在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦_______.（2）在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_______，所对的弦________.（3）在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧____. （4）垂径定理：练习：（1）如图23.1.5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵，∠1＝45°，求∠2的度数. （2）⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°.求∠C 度数.(第2题)（第3题）图23.1.5（3） 如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数. 3、 圆周角a) 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角） b) 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．c) 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等．练习： （1）如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠CAB ＝∠CBA ，∠COB 与∠COA 相等吗？为什么？（第1题）（第2题）（2）如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1＝∠2＝∠3，弦AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？（3） 使用曲尺检验工件的凹面，成半圆时为合格.如图所示的三种情况中，哪种是合格的？哪种是不合格的？为什么？（第3题）练习(1)已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系.(2)已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆只有一个公共点，求圆心到直线l的距离.(3)如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O与直线AB有怎样的位置关系？5、切线切线：切线的性质：判定切线的方法：切线长：切线长的性质：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．练习1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC的三个内角的度数.(第1题)2、△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S.3、角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两相切，则此三个圆的半径分别为______________________.4、 角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最大的内角为______________.5、 △ABC 的面积为4平方厘米，周长为10厘米，求△ABC 的内切圆半径.6、试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置.关于圆的计算：1、 弧长和扇形的面积计算：2、 圆锥的侧面积和全面积：练习：1、钟面上的分针的长是5厘米，经过20分钟时间，分针在钟面上扫过的面积是多少平方厘米？分针外端点扫过的弧长是多少？2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米，高都为4米.它们两者的侧面积相差多少？侧面积的比值为多少？3、如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，求该圆锥的侧面积和全面积.（第6题）。
启迪教育讲义圆
1.已知：如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，求⊙O的半径。
2.已知：如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，⊙O的半径为3，∠PCB=30°.（1）求∠CBA的度数；（2）求PA的长.A3. 已知：如图，，且交⊙于点B ，E 为⊙上一点，AE 交OC 于点D ，且 CE ＝CD 。
求证：CE 是⊙的切线。
4. 已知：如图，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长．5. 已知：如图，四边形ABCD 外切于⊙O,E 为一个切点，AD ‖BC, （1）求证：AO ⊥BO（2）若AO=6,BO=8，求OE 的长B6. 已知：如图，点B 在⊙O 上，点P 在⊙O 外，PB 与⊙O 交于A 点，PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，PA ＝A O ＝O B ＝1 (1)求∠P 的度数；(2)求DE 的长.7. 已知：如图，BC 是⊙O 的直径，A 是弦BD 延长线上一点，切线DE 平分AC 于E 。
求证（1）AC 是⊙O 的切线；（2）若AD ∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O 的直径。
8. 已知：如图，BC 是⊙O 的直径，A 是弦BD 延长线上一点，切线DE 平分AC 于E 。
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AD ∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O 的直径；（3）求EDC sin 的值；9. 已知：如图，EB 是⊙O 的直径，A 是BE 的延长线上一点，过A 作⊙O的切线AC ，切点为D ，过B 作⊙O 的切线BC ，交AC 于点C ，若EB=BC=6，求：AD 、AE 的长．CBE10.已知：如图，CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED．（1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明；（2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．11.已知：如图，在△ABC中，BC=9，CA ＝12，BA=15，∠ABC的平分线BD交AC于点 D，ED⊥DB交AB于点E．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）设⊙O是△BDE的外接圆，求证：AC是⊙O的切线．12.已知：如图，⊿ABC内接于⊙O，且BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC于E，AB＝6，AC＝8.（1）求CD的长。
教育学原理讲义
教育学原理第一章 教育学概述一、教育学的研究对象教育现象和教育问题，揭示教育规律二、教育学的研究任务1、揭示教育规律2、科学地解释教育问题3、沟通教育理论和实践三、教育学的产生与发展1.教育学的萌芽2.独立形态教育学的产生与发展：①对象方面，教育问题已经成为一个专门的研究领域，1623年英国哲学家培根首次在科学分类中将教育学划分出来，意味着教育问题已经成为一个专门的研究领域②概念和术语方面③研究方法方面④结果方面，出现了系统的教育学著作，如夸美纽斯的《大教学论》（近代第一本教育学著作）、赫尔巴特的《普通教育学》（1806年出版，标志教育学已经成为一门独立学科）⑤组织方面，产生了专门的教育研究机构,1776康德年在哥尼斯堡大学开始讲授教育学，这是教育学列入大学课程的开端3.二十世纪以来教育学的发展(简答)出现了分化与综合两大趋势表现在①教育学研究的问题领域日益扩大②教育学研究基础和研究模式的多样化③教育学日益分化，形成了初步的教育学科体系④教育学研究与教育实践的关系日益密切⑤教育学加强了自身反思，形成了教育学的元研究⑥教育学的若干基本问题⑦教育学的理论性与实践性、本土化与国际化、科学性与价值性关系问题四、20世纪以来主流的教育派别1.实验教育学代表人物德国的梅伊曼、拉伊等；基本观点①反对思辩教育学；②提倡将实验心理学的研究方法和成果应用到教育研究；③提出教育实验提出假设、进行实验和确证三个基本阶段；④主张用实验、统计和比较的方法探索儿童的心理发展特点及其智力发展水平，提出将实验数据作为教育改革的基本依据2.文化教育学代表人物德国的狄尔泰、斯普朗格和利特等基本观点①人是一种文化的存在，教育的对象是人，因此教育是一种历史文化过程②教育研究既不能采用思辩的方法也不能采用实验的方法，而只能采用精神/文化科学的方法即理解和解释的方法③教育的目的就是通过文化培养完整人格，教育的主要方法是“唤醒”和“陶冶”3.实用主义教育学代表人物：杜威、克伯屈等基本观点①教育即生活②教育即经验的改造③学校即社会④课堂组织应以儿童的经验为中心；师生关系要以儿童为中心；教学过程要重视学生自己的独立发现和体验，尊重学生发展的差异性 评价主动性,系统地位.教师主导作用4、马克思主义教育学代表观点①教育是一种社会历史现象，在阶级社会中有阶级性②教育起源于生产劳动 ④教育与生产劳动相结合,不仅是发展生产力的重要方法，也是培养全面发展的人的唯一方法③教育的根本目的是要促进学生的全面发展⑤教育受社会的制约，但有其独立性并反作用于社会5.批判教育学代表人物：美国的鲍尔斯、金蒂斯、阿普尔、法国的布厄迪尔代表观点①资本主义学校教育是维护现实社会的不公平、造成社会差别和对立的根源②学校教育的功能就是再生产出占主导地位的社会政治意识形态、经济结构与文化关系③教育现象不是中立的和客观的，而是充满利益纷争的④教育理论要采取批判的态度和方法6.制度教育学代表人物乌里等基本观点①教育学研究要以教育制度作为优先目标②教育制度造成教育实践中的官僚主义、师生和行政人员疏离的主要原因③教育的目的是帮助完成预想的社会变迁，这就要求要做制度分析④教育制度的分析不仅要做显性的分析，也要对隐形的教育制度作分析第二章 教育的产生与发展一、教育的概念1.“教育”定义的类型美国教育学家谢弗勒探讨了三种定义方式，即“描述性定义”“纲领性定义”和“规定性定义”，任何一种教育的定义都是这三种定义的结合；广义的教育是凡是能增进人们的知识和技能，影响人们的思想品德的所有活动；狭义的教育是指学校教育，指教育者根据一定的社会或阶级的要求，有目的有计划有组织地对受教育者身心施加影响，把他们培养成为一定社会或阶级所需要的人的活动；更狭义的教育指思想教育活动2.教育的内涵和外延从内涵来说，本质 无论何种教育的定义都承认教育是一种培养人的活动；从外延来说，可以根据不同的标准来对教育进行分类；二、教育的结构与功能1.教育的结构（1）教育活动的结构内①教育者，是指能够在一定社会背景下促使个体社会化和社会个体化活动的人②受教育者，是指教育活动中从事学习的人；不同人有着不同的学习目的；不同人有不同的学习背景或基础；不同人在学习中遇到的问题和困难不同；不同人对于自身学习行为反思和管理意识与能力不同③教育影响，是形式（教育手段、教育方法、教育组织）形式和内容（教育内容、教育材料）的统一（2）教育系统的结构。
启迪教育四边形讲义2
1.1 等腰三角形学习目标：1、能证明等腰三角形的性质定理和判定定理2、了解分析的思考方法3、经历思考、猜想，在对操作活动的合理性进行证明的过程中，不断感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径。
学习重点：等腰三角形的性质定理与判定定理的证明。
学习难点：正确书写证明过程。
学习方法：探索、发现、猜想、证明、应用。
学海导航：一、情境创设你能用刻度尺画一个等腰三角形，并画出它的顶角平分线吗？你能证明你的画法正确吗？ 二、探索活动等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角 ，（简称“ ”） 1、已知：如图 求证： 证明：是否有其它不同的证法，大家相互交流。
2、如图△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上一点。
（1）若BD=DC ，求证AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC 。
（2）若AD 平分∠BAC ，求证BD=DC ，AD ⊥BC 。
（3）若AD ⊥BC ，求证BD=DC ，AD 平分∠BAC 。
定理：等腰三角形的 、 、 互相重合。
3、思考探索，如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？DCBACBA等腰三角形的判定定理： 。
（简称“ ”） 三、例题学习例：（1）已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC ，求证：AB=AC 。
证明：（2）已知：如图，AB=AC ，AD ∥BC ，求证：AD 平分∠EAC 。
（3）已知：如图，AB=AC ，AD 平分∠EAC ，求证：AD ∥BC（4）△ABC 中，∠BAC=108°，AB=AC ，点D 在BC 上且△ABD 是等腰三角形，求∠ADB 的度数。
四、课内练习 1、P17：1，2，3。
2、等腰三角形的一个外角是80°，则这个等腰三角形底角度数只能为（ ）A.180°B. 40°C. 100°或40 °D. 80°3、等腰三角形的底边长为5cm,一腰中线分三角形周长为两部分，若两部分之差为2cm ，则腰长为（ ）A.7cmB.3cmC.7cm 或3cmD.以上答案都不对 五、中考链接1、△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 上一点，E 在AC 上，AD=AE ，且∠BAD=30°， 则∠CDE 度数为（ ）A.15°B. 25°C. 30°D.45 °2.、等腰三角形腰上的高与底边所成的角与顶角的关系为（ ）A.2倍B.21倍C.31倍 D.无法确定 3、给出四组条件E 21DCBA E DCBA①已知两腰 ②已知底边与顶角 ③已知底角与顶角 ④已知底边与底边上的高，其中能确定一个等腰三角形形状，大小的有（ ）A. ①和②B. ③和④C. ②和④D. ①和④4、如图,等腰三角形一腰上中线把这个三角形周长分为20cm 和36cm,求这个三角形各边的长。
启迪教育初三圆讲义7
圆（2）一、知识点2、切线——经过是圆的切线。
切线长性质：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线。
4、弧长：L= S扇形= = C扇形=圆锥：S侧= ，S全= 圆柱：S侧=二、巩固练习1、已知直角三角形的两条直角边分别为5、12，则它的外接圆半径为，内切圆半径为。
2、在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，若I是△ABC的内心，则∠AIB= ，若I是△ABC的外心，则∠AIB= °。
3、一个点到一个圆的最短距离是3㎝，最长距离是6㎝，则圆的半径为㎝。
4、已知两圆的半径分别是2和5，圆心距是d，由下列条件确定d的取值范围：若两圆外切，则；若两圆外离，则；若两圆内含，则；若两圆相交，则；若两圆内切，则。
5、两圆的半径之比为3：5，当两个圆内切时，圆心距为6㎝，则两圆外切时，两个圆的圆心距为㎝。
6、已知⊙A⊙B的半径分别是方程X2-7X+12=0的两个根，若AB=8，则这两个圆的位置关系。
7、两圆的圆心坐标分别为（0）和（0，1），半径分别为3和5，则两圆位置。
8、⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长为，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系。
9、两圆相切，圆心距为10㎝，其中一圆半径为6㎝，则另一个圆的半径为㎝。
10、如图，PA与PB分别切⊙O于A、B两点，C是 AB上任意一点，过C作⊙O的切线交PA及PB于D、E两点，若PA=5㎝，则△PED的周长㎝，若在⊙O上任取异于A、B的一点F，则∠AFB= °。
11、如图，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F是切点，若∠BOC=105°，AB=4㎝，则∠BAC= °∠OBC= °BC= ，AC= ，内切圆半径= ，外接圆半径= ，BO= 。
C AF（10题）（11题）12、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是。
13、如图，△ABC内接于⊙O，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线。
启迪教育初三圆讲义2
圆5．用一张面积为S 的矩形纸片，将对边重合围成圆柱，能得到一高一矮两种圆柱，它们的侧面积分别为S 1、S 2，那么S 、S 1、S 2的数量关系为 （ ） A 、S=S 1=S 2 B 、S 1<S<S 2 C 、S<S 1<S 2 D 、S 1<S 2<S8．1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是 （ ） A 、Rsin20° B 、Rsin40° C 、2Rsin20° D 、2Rsin40° 10．如图，在半径为2cm 的⊙O 内有长为32cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为（ ） A 、60° B 、90° C 、120° D 、150°11．如果⊙O 1和⊙O 2的半径分别是r 1=5cm ，r 2=2cm ，O 1O 2=7cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的公切线共有（ ）A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、4条 20．半径分别为4cm 和5cm 的两圆相交，它们的公共弦长为6cm ，则这两圆的圆心距等于 。
25．（10分）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并加以证明，你添加的条件是 。
证明：26．（10分）如图在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆。
求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。
15．已知道半径为3cm 、4cm 的两圆外切，那么半径为6cm 且与这两圆外切的圆共有 个.4．两圆的半径分别为3和4，圆心距为6，这两个圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切 8．△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°14．一圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的侧面积为________2cm ；A B O A B O C D · AB ECD ·圆21．（本小题满分6分）已知：如图，圆内接四边形ABCD 的两边AB 、DC 的延长线相交于点E ，DF 过圆心O 交AB 于点F ，AB ＝BE ，连结AC ， 且OD ＝3，AF ＝FB ＝5，求AC 的长．9. 如图，ABCD 为圆内接四边形，若，则等于（ ）A.B.C.D.10. 如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离14. 如图，PA 切⊙O 于点A ，若，则⊙O 的半径是（ ）A 0.5B 1C 2 D419. 如果圆柱的高为4cm ，底面半径为3cm ，那么这个圆柱的侧面积是 8.如果两个圆的公切线有3条，那么这两个圆的位置关系是 （ ） A 、外离 B 、相交 C 、内切 D 、外切10.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P ＝50°，那么∠ACB 等于 （ ）11.如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于 （ ） A 、24πcm 2 B 、12πcm 2 C 、12cm 2 D 、6πcm 212.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，BC ＝a ，EF ＝b 、NH ＝c ，则下列各式中正确的是 （ ）A 、a ＞b ＞cB 、a ＝b ＝cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞aa b c A B C D E FO ·M NH G A B C O · P ABC·P圆14.如图，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，若PB ＝2，AB＝6，则PC ＝＿＿＿＿＿＿＿.24.已知，如图1，∠ACG ＝90°，AC ＝2，点B 为CG 边上的一个动点，连结AB ，将△ABC 沿AB 边所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F. ⑴ 当BC＝3判断直线FD 与以AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明.⑵ 如图2，点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 交于D 、H两点，连结AH ，当∠CAB ＝∠BAD ＝∠DAH 时，求BC 的长.9．如图，AC 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 切线，切点为C ，写出图中一对相等的角________. 10．两圆半径分别为2和5，若两圆相切，则圆心距为________.21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP ：PB =1：4，CD =8，求直径AB 的长.9、已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为6cm(如图)，则圆锥的侧面展开图的圆心角为___________度.14、若两圆的半径分别为3cm 、5cm ，圆心距为2cm ，则两圆的位置关系为( ) A 、外切 B 、相交 C 、内切 D 、内含7．如图，在⊙O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ， 则BC= cm, ∠ABD= °。
启迪教育暑期圆的讲义3
1四等定理圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 〖考查重点与常见题型〗1． 判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学 生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（ ） (A)相等的圆心角所对的弧相等 (B)平分弦的直径垂直于弦(C)长度相等的两条弧是等弧 (D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．顶点二、填空题1. 顶点在圆心的角叫做 角；2. 的距离叫做弦心距；3. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对的弦的 相等；4. 有4个命题：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧有可能是等弧．其中真命题是（ ）A ． ①③B ． ①③④C ． ①④D ． ①5. 下面说法正确的是 （ ）A.弦相等，则弦心距相等B.弧长相等的弧所对的弦相等C.垂直于弦的直线必平分弦D.圆的两条平行弦所夹6. 如图，⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点M ，N.且AB ＝CD ， 求证：∠AMN ＝∠CNM7. 已知：如图，在⊙O 中，弦AB=CD.求证：⑴弧AC=弧BD ；⑵∠AOC=∠BOD8. 已知：AC=BD ，求证：AB=CD9. 如图6，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。
DBCAOADCBA BCDO 图6EF2求证：∠D = ∠B10. 如图,BE 与DF 是⊙O 的两条直径,A,C 分别是 BD, EF 上的一点.求证:∠A=∠C.BO AD ECF11. 如图13，P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别与⊙O 相交于A 、B 、C 、D. (1)PO 平分∠BPD ；(2)AB =CD ；(3)OE ⊥CD ，OF ⊥AB ；(4)OE =OF .从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明，与同伴交流.ABPO EFCD12. 已知：如图，OE 是⊙O 的半径，F 是OE 上的任一点，AB 和CD 为过点F 的两条弦，且∠AFO=∠DFO ，求证：AB=CD 。
2-1 圆(教师版)2021-2022学年九年级数学上册讲义(苏科版)
第2章对称图形----圆2.1 圆课程标准课标解读1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）；2、掌握点和圆的三种位置关系；3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上1、理解圆的描述概念和圆的集合概念；2、理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；3、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；4、了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念.知识点01 圆的定义1.圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”【微点拨】①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.目标导航知识精讲圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.【微点拨】①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.【即学即练1】1．圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了圆特征中的（）A．圆是曲线图形B．同一圆中所有直径都相等C．圆有无数多条对称轴D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小【答案】B【分析】根据同圆的直径都相等即可解答．【详解】解：圆形的井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是利用了同一圆中所有直径都相等．故选：B．知识点02 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔d ＜ r ；点P在圆上⇔d = r ；点P在圆外⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.【微点拨】点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；PO=，则点P与O的位置关系是（）【即学即练2】2．已知O的直径为8，点P在同一平面内，6A．点P在O内B．点P在O上C．点P在O外D．无法判断【答案】C【分析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．【详解】解：⊙⊙O的直径为8，⊙⊙O的半径为4，⊙PO=6＞4，⊙点P在⊙O外．故选：C．知识点03 与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.【微点拨】直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.【微点拨】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.【微点拨】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.【微点拨】同圆或等圆的半径相等.5.圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.【微点拨】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.【即学即练3】3．对于圆周率 的研究，我国古代数学家们也做出了巨大贡献，如东汉初年的一本著作中就有“径一周三”的古率记载，这本著作是（）A ．《九章算术》B ．《海岛算径》C ．《周髀算经》D ．《孙子算径》【答案】C 【分析】根据数学史实解答即可． 【详解】解：历史上，对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题．在我国，东汉初年的《周髀算经》就有“径一周三”的古率记载． 故选C ．知识点04 确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； （3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆， △ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.外心的性质：外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【微点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【即学即练4】4．已知AB 是O 的弦，O 的半径为r ，下列关系式一定成立的是（ ） A ．AB r > B ．AB r <C ．2AB r <D ．2AB r ≤【答案】D根据“直径是最长的弦”进行解答即可． 【详解】解：若AB 是O 的直径时，2AB r =，若AB 不是O 的直径时2AB r <，无法判定AB 与r 的大小关系． 观察选项，只有选项D 符合题意． 故选D ．考法01 判断点和圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么： 点P 在圆内 ⇔d ＜ r ； 点P 在圆上 ⇔d = r ； 点P 在圆外 ⇔d ＞r.“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.【典例1】如图，线段OA 绕点O 旋转，线段OB 的位置保持不变，在AB 的上方作等边PAB △，若1OA =，3OB =，则在线段OA 旋转过程中，线段OP 的最大值是（ ）A．10 B ．4C ．25D ．5【答案】B 【分析】首先构造以OB 为边的等边⊙'OO B ，再证明'OBA O BP ，证明AO=O’P ，因为OA 的长度不变，所以动点A 在以O 为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P 的长度不变，O’不动，所以动点P 在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P 共线时，OP 最大，即可求得．能力拓展如图，以OB 为边作等边'OO B △，连接O’P ，⊙OB=O’B,⊙⊙PAB 为等边三角形， ⊙AB=BP,⊙1+⊙2=23∠+∠=60°, ⊙⊙1=⊙3，在⊙OBA 和'O BP 中'12OB OB AB BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙'()OBA O BP SAS⊙OA=O’P ，点A 在以O 为圆心，半径的1的圆上运动，P 在以O’为圆心，半径为1的圆上运动， 当O,O’,P 三点共线时，OP 最大， 此时OP''314OO O P ,故选：B ．考法02 已知圆内一点求过该点的最长弦直径是圆中最长的弦，我们可以将圆中的弦分为两类：一类是经过圆心的弦（即直径）；另一类是不经过圆心的弦，如图1，AB 是⊙O 中的任意一条不经过圆心的弦，连结OA ，OB ，根据三角形的三边关系都有OA+OB>AB ，即，直径的长大于非直径的弦长，所以直径是圆中最长的弦。
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圆的总复习考点1：圆的有关概念和性质 一、考点讲解：1．圆的圆的有关概念：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径． （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．3．三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 二、经典考题剖析：【考题1－1】如图1－3－l ，在⊙O 中，已知∠ACB ＝∠CDB ＝60度，AC ＝3，则△ABC 的周长是____________.【考题1－2】如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1．8。
m ，圆周角∠ACB=30º，则 ⊙O 的直径等于=_________cm ．三、针对性训练：(30 分钟)1．如图l-3-3，已知⊙O 中，MN 是直径，AB 是弦，MN ⊥BC ，垂足为C ，由这些条件可推出结论 （不添加辅助线，只写出1个结论）．图1－3－3N2．如图，学校有一个圆形花坛，现要求将它三等分，以便在上面种植三种不同的花，你认为符合设计要求的图案是_______________（将所有符合设计要求的图案序号填上）．3．如图1-3-4，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BAC＝35°，则∠ADC =_____度．B4．下列命题正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弦相等B ．等弦所对的弧相等C ．等弧所对的弦相等D ．垂直于弦的直线平分弦5．如图1－3－5，如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80º，则∠BOC=（ ）A.130ºB. 100ºC. 50ºD.65º 6．如图1－3－6，如图，在⊙O 中,AB 是弦，OC⊥AB，垂足为C ，若AB=16，OC=6，则⊙O 的半径OA 等于（ ）A 、16B 、12C 、10D 、87．如图1－3－7，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=( )A.100ºB. 110ºC. 120ºD.135º图1－3－4 图1－3－5①②③ ④图1－3－78．如图所示，AB 是OD 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，且AE=BF ，请你找出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．考点2：与圆有关的角一、考点讲解：1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2．圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角． 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．3．圆心角与圆周角的关系．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．二、经典考题剖析：【考题2－1】如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是（ ） A ．60○ B ．45○ C ．30○ D ．15○【考题2－2】如图1－3－8，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上．如果∠P ＝50○ ，那么∠ACB 等于（ ）A ．40○B ．50○C ．65○D ．130○三、针对性训练：( 30分钟)1．如图1－3－9，已知AB 是⊙O 的直径，AD ∥ OC ，弧AD 的度数为80°，则∠BOC=_________.2．如图1－3-10，⊙O 内接四边形ABCD中，AB=CD 则图中和∠1相等的角有__________________.3．如图1－3－11，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在 A M B 上，则∠C 的度数是________. 4．如图l －3－12，四边形 ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=100°，则∠DAB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130°5．如图1－3－13，⊙O 的半径OC=5cm ，直线l ⊥OC，垂足为H ，且l 交⊙O 与A 、B 两点，AB=8cm ，则将l 沿OC 所在直线向下平移（ ）cm 时与⊙O 相切。
A. 1B. 2C. 3D. 86．如图1－3－14所示，直线AB 交圆于点A ，B ，点 M 的圆上，点 P 在圆外，且点M ，P 在AB 的同侧，∠AMB=50°．设∠APB=x °，当点P 移动时，求x 的变化范围，并说明理由.考点3：点与圆，直线与圆的位置关系 一、考点讲解：1．点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ． 2．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r.二、经典考题剖析【考题3－1】Rt △ABC 中，∠C=90°，∠AC=3cm ，BC ＝4cm ，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心1．3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，2．4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，2．5cm 长为半径的圆与AB 相交． 上述结论中正确的个数是（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个【考题1－2】已知半径为3cm ，4cm 的两圆外切，那么半径为6cm 且与这两圆都外切的圆共有______个． 三、针对性训练：( 15分钟)1．△ABC 中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C 为圆心，以r 为半径作圆，那么： ⑴ 当直线AB 与⊙C 相离时，r 的取值范围是____； ⑵ 当直线AB 与⊙C 相切时，r 的取值范围是____；⑶ 当直线AB 与⊙C 相交时，r 的取值范围是____.2．两个同心圆的半径分别为1cm 和2cm ，大圆的弦AB 与小圆相切，那么AB=（ ）A ． 3B ．2 3C ．3D ．43．在△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，CM 是中线，以C 为圆心，以3cm 长为半径画圆，则对A 、B 、C 、M 四点，在圆外的有_________，在圆上的有________，在圆内的有________. 图1－3－13l考点4：圆与圆的位置关系一、考点讲解：1．同一平面内两圆的位置关系：（1）相离．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．（2）若两个圆心重合，半径不同的两圆是同心圆.（3）相切．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．（4）相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．2．圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．3．设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则⑴两圆外离⇔d＞R+r；⑵两圆外切⇔d=R＋r；⑶两圆相交⇔R－r＜d＜R+r（R＞r）；⑷两圆内切⇔d=R－r（R＞r）；⑸两圆内含⇔d＜R—r（R＞r）．（注意：两圆内含时，若d＝0，则两圆为同心圆）二、经典考题剖析：【考题4－1】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3crn和5 cm，两圆的圆心距是6 cm，则这两圆的位置关系是（）A．内含 B．外离 C．内切 D．相交【考题4－2】已知相切两圆的半径分别为3cm和2cm，则两圆的圆心距是____cm．三、针对性训练：(30 分钟)1．已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有_________个．2．已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为________cm．3．已知两圆半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，则两圆的内公切线的长为_________cm．4．已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，圆心距为 1cm，那么两圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切5．两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（）A．d＞8 B．0＜d≤2C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞86．如图1－3－15，⊙O1和⊙O2外切于点A，直线BD切⊙O1于点B，交⊙O2于点 C、D，直线 DA交⊙O1于点 E．求证：（1）∠BAC=∠ABC+∠D（2）AB2=AC·AE．考点5：切线的性质和判定一、考点讲解：1．切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．3．切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．二、经典考题剖析：【考题5－1】如图1－3－16，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（）3344A B C D....4553【考题5－2】如图l－3－17，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（）A．70° B．40° C．50° D．20°三、针对性训练：( 20分钟)1．如图1－3－18，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面积为9π，求AB的长．2．如图l－3－19，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4，求⊙O的半径．考点6：弧长扇形的面积一、考点讲解： 1．弧长公式：180n R l π=(n 为圆心角的度数上为圆半径)2．扇形的面积公式S=213602n R lRπ=(n 为圆心角的度数,R 为圆的半径）．3．圆锥的侧面积S=πRl ,(l 为母线长，r 为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积．二、经典考题剖析：【考题6－1】如图1－3－21，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积为__________。