《二次函数中的符号问题》
二次函数中的符号问题
符号问题在数学竞赛中的应用
了解符号问题在数学竞赛中的常见考点，应用技巧和解题思路，提升数学竞 赛的得分。
负导数的影响
负导数导致抛物线开口向下，影 响函数的增减性。
对称轴的意义
对称轴确定了抛物线的对称性质， 影响函数的对称性。
方程组和符号
等于号
等于号用于表示方程组中的等 式，解决方程问题。
不等号
不等号用于表示方程组中的不 等式，解决不确定问题。
集合符号
交集、并集、补集符号在方程 组中的应用，理解问题的集合 关系。
函数的性质与符号
奇偶性
函数的奇偶性通过符号判断，帮助分析函数的对称性。
周期性
函数的周期性通过符号表示，查找规律和解决周期问题。
全域性
函数的定义域和值域，利用符号确定函Βιβλιοθήκη 的特性。不等式解法中的符号应用
了解不等式解法中，符号的应用技巧和常见错误，通过示例演示解决问题的思路。
数学符号在实际应用中的重要性
二次函数中的符号问题
探索二次函数中的符号问题，包括基本概念、符号的含义和使用方法，符号 对图像、方程组和函数性质的影响，以及在不等式解法和数学竞赛中的应用。
基本概念及定义
解析二次函数的基本概念，明确符号的含义和使用方法。应用示例和图像展 示，加深理解。
图像和符号的关系
正导数的影响
正导数导致抛物线开口向上，影 响函数的增减性。
二次函数中的符号问题
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题
二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题一选择题1.如图所示，抛物线的图象则下列结论正确的是（）A a<0，b<0，c＞0，b2＜4acB a<0，b>0，c<0，b2＜4acC a<0，b>0，c＞0，b2>4acD a>0，b<0，c＞0，b2>4ac2.如图a＜0，c＞0那么y＝ax2＋bx＋c的图象是（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（）A l个 B 2个 C 3个 D 4个4.二次函数y=mx2+2mx-（3-m）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A m＜3B m＞3C m＞0D 0＜m＜35.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( )6.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如右图所示，若y<0，则x的取值范围是（）A −1<x<4B -1<x<3C x<-1或x>4D x<-1或x>37.在某次投篮中，球的运动路线是y=-0.2x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离为( )A 3.5mB 4mC 4.5mD 4.6m8.若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A h=0 B h=±16 C h=±4 D h=49.如果二次函数y=ax2+m的值恒大于0，那么必有（）A a＞0，m取任意实数B a＞0，m＞0C a＜0，m＞0D a，m均可取任意实数10.已知a-b+c=0，9a+3b+c=0，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点可能在( )A 第一或二象限B 第三或四象限C 第一或四象限D 第二或四象限11.抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③﹣a+b+c ＞0；④b2﹣2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12.物线y=ax2+bx+c(a≠0)全部图象都在x轴下方，则( )A a>0，b2-4ac≥0B a>0，b2-4ac<0C a>0，b2-4ac≥0D a<0，b2-4ac<0二填空题13.若二次函数y=(a-1)x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a=________14.不论x取什么实数，y=2x2-6x+m的图象都在x轴的上方，那么m的取值范围是________；y=mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝15.二次函数y＝x2-(m-4)x+9的图象的顶点在y轴上，则m＝16.二次函数y＝x2＋2kx＋8的顶点在x轴上，则k＝17.已知抛物线y＝x2－2（k+1）x＋16的顶点在x轴上，则k的值为______18.抛物线y＝x2－(m－4)x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，其顶点坐标为______19.已知抛物线y＝x2+2（m－3）x＋1的顶点在x轴上，则m＝______顶点坐标是_________20.平移抛物线y = x2+2x-8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式21.如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________22.把抛物线y=2(x+1)2向下平移______单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为523.抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____________,若将它旋转180后得新的抛物线,其解析式为____________________24.把y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有b=_____，c=_____三解答题25.如图，抛物线y＝ax2+bx＋c确定a，b，c，b2-4ac，a+b+c，a-b+c的符号26.抛物线y＝ax2+bx＋c的图像如图，对称轴是直线x＝－1确定a,b,c，Δ及a－b＋c 的符号27.已知抛物线y＝ax2+bx+c的一段图象如图所示．（1）确定a、b、c的符号；（2）求a+b+c的取值范围．28.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1= －1, x2= 3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大.正确的说法有_____________29.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系（如图所示）．（1）请你直接写出O、A、M三点的坐标；（2）一艘小船平放着一些长3米，宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，问这些木板最高可堆放多少米（设船身底板与水面在同一平面）？30.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点M（1，—2）、N（—1，6）.（1）求二次函数的关系式；（2）把Rt△ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.二次函数a、b、c、△符号问题及相关问题答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.B8.C9.B 10.C 11.D 12.D11.分析（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），把点（﹣1，0）代入解析式，结合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，结合a＜0，故可求出a+c＞0；（3）画草图可知c＞0，结合a﹣b+c ＝0，可整理得﹣a+b+c＝2c＞0，从而求得﹣a+b+c＞0；（4）把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0则c﹣2a＞0，故可得出（c+2a）（c﹣2a）＞0，即b2﹣2ac﹣5a2＞0，进而可得出结论．解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），所以原式可化为a﹣b+c＝0 ①，又因为4a+2b+c＞0 ②，所以②﹣①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，即2a+c＞0，∴a+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y＝ax2+bx+c（a＜0）当x＝2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a﹣b+c＝0，∴﹣a+b﹣c＝0，两边同时加2c得﹣a+b﹣c+2c＝2c，整理得﹣a+b+c＝2c＞0，即﹣a+b+c＞0；（4）∵过（﹣1，0），代入得a﹣b+c＝0∴b2﹣2ac﹣5a2＝（a+c）2﹣2ac﹣5a2＝c2﹣4a2＝（c+2a）（c﹣2a）又∵4a+2b+c＞04a+2（a+c）+c＞0，即2a+c＞0①，∵a＜0，∴c＞0则c﹣2a＞0②，由①②知（c+2a）（c﹣2a）＞0，所以b2﹣2ac﹣5a2＞0，即b2﹣2ac＞5a2,综上可知正确的个数有4个．故选：D．13.2 14.m＞9／2，2 15.4 16.±22 17.3或-5 18.（0，-4） 19.4或2，（1,0）或（-1,0） 20.y=x2+2x 21.k＜-9／8 22. 25／2 23.（-2,0），y=3（x+2）2 24.3，725. a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0，a+b+c＞0，a-b+c＜026.a＜0，b＜0，c＞0，△＞0，a-b+c＞027.解：（1）根据抛物线开口向上，则a＞0，∵对称轴在x轴正半轴可知﹣＞0，∴b＜0，又与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，故a＞0，b＜0，c＜0；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），（0，﹣1），∴a﹣b+c＝0，c＝﹣1，即a﹣b＝1，a＝b+1，∴a+b+c＝b+1+b﹣1＝2b，∵b＜0，∴2b＜0，∵a＞0，∴b+1＞0，∴b＞﹣1，2b＞﹣2，故，﹣2＜a+b+c＜0．28.①②④29.解：（1）解：如图，O（0，0）．∵OA为6米，∴A（6，0），又∵BM的对称轴，BM为3米，∴M（3，3）．综上所述，O（0，0），A（6，0），M（3，3）．（2）设抛物线的关系式为y＝a（x﹣3）2+3，因为抛物线过点（0，0），所以0＝a（0﹣3）2+3，解得a＝﹣，所以y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x，要使木板堆放最高，依据题意，得B点应是木板宽CD的中点，把x＝2代入y＝﹣x2+2x，得y＝，所以这些木板最高可堆放米．30.解：（1）∵M（1，﹣2），N（﹣1，6）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴，解得二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+1．（2）Rt△ABC中，AB＝3，BC，＝5，∴AC＝4，4＝x2﹣4x+1，x2﹣4x﹣3＝0，解得（负值不合题意舍去），∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移（1+）个单位．。
二次函数符号问题
o
x
△>0.
8
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b>0, c=0,
o
x
△>0.
9
火眼金睛
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 的符号：
y
a>0, b<0, c>0,
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a· 12＋b· 1＋c＞0， 故 a＋ b＋ c＞ 0；
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
①a____0 ＜ ， ②b_____0, ＜ ③c_ ＞ __0， ＞ ， ④b2-4ac_____0 -2 -1 0 1
⑤a+b+c_____0, ＜
⑥2a+b_ ＜__0.
2.已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象右图，5
①3a-b = ② ＞
0, 0.
----达标 5 ~ 10 ----优秀 13 ----NO.1
小 结 一
a的符号： 由抛物线的 开口方向确定 b的符号： 由抛物线的对称轴的位置 确定
C的符号： 由抛物线与
y 轴的 交点位置 确定:
7
由抛物线与 x 轴交点 个数 决定 的符号：
火眼金睛
二次函数中的符号问题
3
数形结合 双壁辉映
二次函数的学习
4
y
Y=ax² (a>0)
0
x
5
Y
Y=ax² +bx+c(a>0) Y=ax² +bx+c (a>0)
0 0
X x
X=-b/2a
6
y
Y=ax²(a<0)
0 x
7
y
Y=ax² +bx+c (a<0)
0 x
X=-b/2a
8
三、二次函数 y=ax² +bx+c（a≠0） 的图象特征与a 、 b、c的关系。
15
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、2a
x
＜0
3、△=b² -4ac＞0 4、C＝0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
柑 坳 中 学
二次函数中的符号问题
1
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
4a . 当a>0时，抛 轴是 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称 2 . 二次函数y=ax b b 4ac b 2
9
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
二次函数的符号问题的
(三)由函数图象上的点的坐标求函数解析式
求下列条件下的二次函数的解析式: 1.已知一个二次函数的图象经过点（0，0）， （1，﹣3），（2，﹣8）。 2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3）， 且图象过点（－3，－2）。 3.已知二次函数的图象与x轴交于(-1,0)和(6,0),并且 经过点(2,12)
x 0时
x=h时 ymin=0
x=h时 ymin=k
b 4ac b 2 x 时，ymin 2a 4a
b 4ac b 2 x 时，ymax 2a 4a
y y x x
x 0时
y max 0 y max c
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 增 减 性 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
三、待定系数法求二次函数的解析式
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为 ∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1.
的图像如图所示，
∵A(-1,0)与 B关于 x=1对称， ∴B（3，0）。
∵A(-1,0)、B（3，0）和
C（1，4）在抛物线上，
∴ 即：
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。 解法二：顶点式 的图像如图所示，
开启
智慧
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 C、4个 B、3个 D、5个
y
-1 o
1
x
观察与思考
独立 作业
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ ） D
二次函数中的符号问题优秀课件
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
根据图像可得： 1、a＜0
2、- b ＝-1 2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＞0
-1 o 1 x
13
再想一想：
5.(06.芜湖市)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+c（a<0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，
则ac的值是 -2 .
16
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两 个交点，则a可取的值为 ；
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
4、C＝0
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得： 1、a＞0
2、- b ＞0
o
x
2a
3、△=b²-4ac＝0
4、C＞0
8
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、- 2 a ＝0
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
根据图像可得：
1、a＜0
b
2、-
＝1
2a
3、△=b²-4ac＞0 4、C＜0
二次函数a,b,c 的符号判断问题
二次函数的符号问题1.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y 1），（1，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）2.如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(-3，0)和(-2，0)之间，有四个结论：①b 2-4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③2c -b =4；④方程ax 2+bx +c -2=0有两个不相等的实数根．其中正确结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个3．二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象如图，其对称轴为x =-1，有下面五个结论：①b ＞0；②24b ac -＞0；③c=-3a ；④4a -2b+c ＞0；⑤对于图象上的两个不同的点(m ,n )、(-1,k )，有n k >.其中正确结论有()A .2个B .3个C .4个D .5个4.抛物线2y ax bx c =++图象如图所示，给出下列四个结论：①abc >0；②2a b c ++=；③12a >；④b ＜1.其中正确的结论是（????）（A ）①②??（B ）②③??（C ）②④??（D ）③④5.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为（ ）6.小轩从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有（ ）7.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0; ②b ＜a ＋c; ③4a ＋2b+c>0④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＜m(am ＋b)（m≠1的实数）其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿8.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab ＜0，②b 2＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论的个数是（ ）9.对于对称轴为x =-1的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，有下面五条信息：①2c =；②b =2a ；③24b ac -＞0；④3a +b +c ＜0；⑤当x ＜-3时，y ＜0.其中正确信息的个数为()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；0>；④242a b at bt ->+（为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（）．A.4个B ．3个C ．2个D ．1个11.（2016中考）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3；③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个。
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A．当a＝1时,函数图象过点(－1,1)B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示,则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限,则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示,则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示,对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2,0)和点B ,交y 轴负半轴于点C ,且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0,其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,其部分图象如图2－ZT －7所示,则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示,则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论：2①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0)；④当1＜x＜4时,有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(－1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,－2),小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时,x2＞5－1.以上结论中,正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为－1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时,△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.(1)根据图象确定a,b,c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB,BC＝4,求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c,若a＞0,b＜0,c＜0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点,请说明理由；若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下,则a＜0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b＞0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点,则b2－4ac＞0,所以C选项的关系式正确；当x＝1时,y＞0,即a＋b＋c＞0,所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y＝bx的图象上,当x＝1时,y＝b,即公共点的坐标为(1,b)．又点(1,b)在抛物线上,得a＋b＋c＝b,即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0,一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限,故b＞0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1,所以b<0,所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点,所以b2－4ac>0,所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知,当x＝1时,y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a＋b ＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时,y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1,所以b ＝－2a,所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知,正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中,当x ＝0时y ＝c,∴C(0,c),∴OC ＝－c.∵OB＝OC,∴B(－c,0)．∵A(－2,0),∴－c,－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0,∴a ＝12,②正确；∵－c,－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c ＋(－2)＝－b12,即2b －c ＝2,①正确；把B(－c,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c,即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0,∴ac －b ＋1＝0,∴ac ＝b －1,③正确；∵抛物线开口向上,∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧,∴－b2a ＜0,∴b ＞0,∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C,∴c ＜0.∴a ＋bc＜0,④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,∴－b2a＝－2,∴4a －b ＝0,故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,∴另一个交点位于(－1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方,∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a.∵当x ＝－3时,y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0,故③正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a,∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数,a ＜0,∴a(t ＋2)2≤0,∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0,∴at 2＋bt≤4a－2b,即4a －2b≥at 2＋bt,∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2,故⑤错误．综上所述,正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下,∴a＜0.∵函数图象过点(0,1),∴c＝1.∵函数图象过点(1,0),∴a＋b＋c＝0,∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知,当x＝－1时,应有y＞0,∴a－b＋c＞0,∴a＋(a＋1)＋1＞0,∴a＞－1,∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a＜0,b＞0,c＞0,故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根,即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(－2,0)；④根据函数图象,当1＜x＜4时,有y2＜y1；⑤当x＝1时,y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c,∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知,a ＞0,且抛物线经过点A(－1,0),B(0,－2),对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a >0，即a －b ＝2,b ＜0,故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2,将其代入0＜a ＜2中,得0＜b ＋2＜2,即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时,因为a ＞0,b ＜0,故有a ＝－b.又a －b ＝2,可得a ＝1,b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2,当y ＝0时,即有x 2－x －2＝0,解得x 1＝－1,x 2＝2, 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A,B 的横坐标分别为－1,3,∴AB ＝4,对称轴为直线x ＝－b2a＝1,∴b ＝－2a,即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知,当x ＝1时,y ＜0,即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1,0),∴a －b ＋c ＝0,而b ＝－2a,∴a ＋2a ＋c ＝0,即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时,b ＝－1,c ＝－32,抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E,∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32,得y ＝12－1－32＝－2,∴点D 的坐标为(1,－2),∴AE ＝2,BE ＝2,DE ＝2,∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形,∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形,则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC,当AB ＝BC ＝4时,∵BO ＝3,△BOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－7,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时,∵AO ＝1,△AOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－15,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝153； 当AC ＝BC 时,在△AOC 中,AC 2＝1＋c 2,在△BOC 中,BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC,∴1＋c 2＝c 2＋9,此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述,正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a<0, ∴a,b 同号,即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB,BC ＝4,∴点A 的坐标为(0,－1),点B 的坐标为(－3,0),点C 的坐标为(1,0)．把A,B,C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0,b ＜0,c ＜0,∴b 2－4ac ＞0, ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0)． ∵x 1·x 2＝ca ,a ＞0,c ＜0,∴x 1·x 2＜0,∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上．。
二次函数中的符号问题(十分经典)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
④、 y a(x h)2 k(a 0)
(顶点式)
⑤、y ax2 bx c(a 0)
(一般式)
⑥、y a(x b )2 4ac b2 (a 0)
2a
4a
4
练习1
实数根，则抛物线 y 2x 2 的 顶x 点n在（ ）
A、第一象限 C、第三象限
B、第二象限 D、第四象限
2、不论自变量取什么实数，函数 y 2x2 6x m 的值总是正数，你认为m的取值范围是 __________
3、如果二次函数 y x 2 4x c 的图像与x轴 最多有一个交点，则c的取值范围是 ________
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y x
y x
思考：3、4题的特征是什么？
练习4
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象
是（ C ） y
y
o
判断的 （A）
x
技巧是 y
什么？
知识点三：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
中考数学二次函数a,b,c符号问题 讲解例题
二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <； （6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数） ；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 45、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤ 111- O xy。
二次函数符号问题姓名
(第1题) （第2题图） 4题xxx(C)(D)二次函数符号问题姓名一、选择题1．（2010福建福州）已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( D ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0ax 2a bx y +=的图象2.（2010 山东莱芜）不经过（D ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2010湖北荆门）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ）A ．ab ＜0B ．ac ＜C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根4.（2010湖北鄂州）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ C ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．45．（2010年贵州毕节）函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( C. )6．（2010 山东东营） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ B ）7．（2010甘肃兰州） 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 a b c y x ++=在同一坐标系内的图像大致为（D ）9．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ C ）x x x x第（10）题A ．天津）已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >③80a c +>④93a b ++其中，正确结论的个数是( D ) A . 1 B.2 C.3 D.411.已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 4 个．。
数学人教版九年级上册二次函数变号问题
2 8、已知：二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，下列结 论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ）
A、2个
C、4个
B、3个
D、5个 C
y
-1
o
1
x
9.（2013•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的 图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结 论： ①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④ 4a+2b+c＞O 其中正确的是（ ） A．①③ B．只有② C．②④ D．③④
4.（2013•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ D ） A．ac＞0 B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b﹣2a=0 D．x=3是关于x的方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 的一个根
5.（2013•烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一 部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）． 下列说法：①abc＜0；②2a- b=0；③4a+2b+c＜0； ④若（- 5，y1），（-2，y2）是抛物线上两点，则 y1＞y2． 其中说法正确的是（ C ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
a<0, b>0, c>0, o x
y a x b x c ( a 0 )
y y
2：如下图，满足b<0,c<0的 2 的大致图象是(
) y
D
y
o o x o x x
九年级数学二次函数中的符号问题(教案)
二次函数的符号问题教学目标：1．通过学习，掌握不同函数在同一坐标系中可能存在的大致图像2．通过主动探究的学习，提高学生的独立性，培养学生独立完成任务的意识3．通过分类讲解，提升学生自我认知能力，引导学生掌握二次函数a 、b 、c 与图像的关系重难点:能根据二次函数图像正确判断二次函数中系数的符号知识回忆：一、二次函数的概念一般地，如果y 与x 的关系满足：2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
二、二次函数的图象、开口方向及大小、对称轴、顶点坐标、增减性和最大最小值把二次函数2(,,0)y ax bx c a b c a =++≠是常数，解析式变化成()k h x a y +-=2的形式。
2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++ 新课知识：一、二次函数图像与系数a 、b 、c 关系技法：对于c bx ax y ++=2的图象特征与a 、b 、c 的关系为：①抛物线开口由a 定，上正下负；①对称轴位置a 、b 定，左同右异，b 为0时是y 轴；①与y 轴的交点由c 定，上正下负，c 为0时过原点。
1. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则a 、b 、c 的符号为〔 〕Ａ.0,0,0>>>c b a B.0,0,0=>>c b aC. 0,0,0=<>c b aD.0,0,0<<>c b a2. 假设a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为〔 〕3. 在同一直角坐标系内，二次函数()c x c a ax y +++=2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是〔 〕二、①的符号的判定ac b 42-的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，042>-ac b ；1个交点，042=-ac b ；没有交点，042<-ac b4. 以下图中⊿0<的是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕5. 不管x 为何值,函数()02≠++=a c bx ax y 的值恒大于0的条件是( )A.a>0,①>0;B.a>0, ①<0;C.a<0, ①<0;D.a<0, ①<0 O y x O y x y x O yx O . .三、含a 、b 的代数式符号的判定 由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号 6.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则①20a b +>①20a b +<①02b a-<①20a b -<①20a b ->中正确的___________.(请写出番号即可)7. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如下图，则以下说法不正确的是〔 〕A ．240b ac ->B ．0a >C ．0c >D ．02b a-< 四、含a 、b 、c 的代数式符号的判定当1=x 时，可确定c b a ++的符号，当1-=x 时，可确定c b a +-的符号当2=x 时，可确定c b a ++24的符号，当2-=x 时，可确定c b a +2-4的符号8. 如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P 〔3，0〕，则c b a +-的值为〔 〕A. 0B. －1C. 1D. 29. 二次函数2y ax bx c =++〔0a ≠〕的图象如下图，有以下4个结论：①0abc >；①b a c <+；①420a b c ++>；①240b ac ->；其中正确的结论有〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 抛物线c bx ax y ++=2的图象如下图，则以下结论正确的是〔 〕A ．0>++c b aB ．a b 2->C ．0>+-c b aD ．0<c –13 3 1 -1 O x =1 yx11. 抛物线c bx ax y ++=2中，b ＝4a ，它的图象如图，有以下结论：①0>c ； ①0>++c b a ①0>+-c b a①042<-ac b ①0<abc ①c a >4；其中正确的为〔 〕 A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①知识小结： 二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定： 〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；开口向下,则a ＜0．〔2〕b 和a 共同决定对称轴的位置.(由对称轴公式x=判断符号．)a,b 同号时,对称轴在y轴左侧;a,b 异号时,对称轴在y 轴右侧;简称左同右异〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；交点在y 轴负半轴,则c ＜0．交点在原点, c=0.〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．〔6〕由对称轴公式a b x 2-=，可确定b a +2的符号． 板书设计： 二次函数的符号问题复习 含a 、b 的代数式符号的判定a 、b 、c 与图像的关系 含a 、b 、c 的代数式符号的判定①的符号的判定 知识小结。
二次函数a,b,c,有关符号问题
《二次函数y=ax2 +bx+c中有关符号的判断》教学设计
课程名称：二次函数y=ax2 +bx+c中有关符号的判断
授课教师：郑慧
知识点：二次函数y=ax2+bx+c中a、b、c等符号归纳及简单的知识应用
预备知识:听本课之前需了解的知识：二次函数的一般式的概念及图像
教学类型:讲授型，练习型
适用对象:九年级学生
设计思路:九年级学生对二次函数的一般式y=ax2 +bx+c及其图像已经有所了解，本节课基于学生在已有知识的基础之上，对y=ax2+bx+c中a、b、c的作用进行归纳与总结，知道a可以决定开口方向及开口大小，a、b共同决定对称轴的位置（左同右异），c 决定抛物线与y轴的交点坐标的位置，以及b2 -4ac、a+b+c、a-b+c的符号等，让学生能够轻松掌握该知识点并加以应用。
教学过程
正文讲解
第一部分内容：
通过数形结合思想，给出y=ax2 +bx+c中a、b、c的具体作用，制作相应PPT进行简单描述；第二部分内容：
结合第一部分的内容，在归纳总结的已有知识的基础之上，对知识进行简单的迁移与应用。
第三部分内容：结束语
自我教学反思
本节课只是对于已有知识的一个归纳与简单的应用，所以听课的受众群体必须具备一定的基础知识，不太适合新学二次函数的学生，没有预留太多的思考时间给学生，同时本节课设计的知识点比较简单，没有做过多的拓展与延伸。
二次函数同侧异号
二次函数同侧异号二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
在二次函数中，同侧异号是指函数图像中两个相邻的系数（a、b 或 b、c）符号相反。
当二次函数的 a、b、c 中有两个符号相反时，我们可以得到一个同侧异号的二次函数。
这种函数的图像呈现出一种特殊的形态，具有一定的特点和性质。
同侧异号的二次函数在图像上表现为开口向上或向下的抛物线，并且抛物线的顶点处于 x 轴的左边或右边。
这是由于同侧异号的系数使得二次函数的一次项和常数项在同一侧，从而导致函数图像整体上偏向一侧。
具体来说，当 a、b、c 中有两个符号相反时，我们可以根据 a 的正负来确定抛物线的开口方向。
如果 a 大于 0，则抛物线开口向上；如果 a 小于 0，则抛物线开口向下。
同时，我们可以通过计算函数的顶点来确定抛物线的位置。
顶点的 x 坐标由公式 x = -b/(2a) 给出，而顶点的 y 坐标则可以通过将 x 带入函数中计算得到。
同侧异号的二次函数还具有一些其他的性质。
例如，当二次函数的系数 a 的绝对值较大时，抛物线的开口较为平缓；当 a 的绝对值较小时，抛物线的开口较为陡峭。
这是由于 a 的绝对值决定了二次函数图像的斜率。
同侧异号的二次函数还可以用来解决一些实际问题。
例如，通过构建一个同侧异号的二次函数模型，我们可以找到最大值或最小值的位置，从而优化某个问题的解决方案。
同侧异号的二次函数是一种特殊的函数形式，具有开口向上或向下的抛物线形态，并且抛物线的顶点偏向一侧。
通过研究同侧异号的二次函数，我们可以更好地理解和应用二次函数的性质。
无论是在数学领域还是在实际问题中，对同侧异号的二次函数有所了解都是非常有益的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 x -1 O 1
17
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析……
18
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
y M 1 B A x O 1
16
仔细想一想：
6.（06.浙江省）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上， 图象经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，每个考生只须选答一问，若两问都答， 则只以第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）． y
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0
c=0
4
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号：
19
）
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、
10
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
11
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
12
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c A、第一象限 y B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
13
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 B、3个 y
你还可想到啥？
6
利用以上知识主要解决以下几方面问题： （1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大 致位置；
（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关 a,b,c的代数式的符号；
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
8
快速回答：
a、b同号
a、b异号 b=0 简记为：左同右异
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
5
与x轴有一个交点
与x轴无交点
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
二次函数中的符号问题
永定中学 杨丽娟
y ax bx c(a 0)
2
1
二次函数中的符号问题
（a、b、c、△等符号）
2
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是
.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
.
3
归纳知识点：
C、2个
D、1个
o x=1
x
14
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0； ④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ） A、2个 B、3个
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
15
想一想：
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶 点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的范 围,并说明理由.