北京金雨教育教师1对1有关线段最值问题Y

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中考数学专题讲练线段最值问题一(解析版)

线段最值问题（一）一．两点之间线段最短两点之间，线段最短经常结合三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和圆来求解线段或者线段和的最大最小值问题。

解题的关键是找到定点和定长的线段，然后利用上述知识找到临界位置，求出最值.1.两点之间，线段最短：A 和B 两点之间，线段AB 最短.2. AB a =，BC b =（a b >），则当点C 在D 点时，min AC AB AC a b =-=-，当点C 在点E时，max AC AB BC a b =+=+二．垂线段最短垂线段最短是直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短的简称，如图，线段AB 外一点C 与线段上各点的连线中，垂线段CD 最短.一．考点：两点之间线段最短，垂线段最短二．重难点：两点之间线段最短，垂线段最短三．易错点：1．利用两点之间线段最短求解最值时要找到定点和定线段，然后再找到临界位置求解；2．利用垂线段最短求解最值时关键是找准定点和动点所在的线段或直线．题模一：两点之间线段最短例1.1.1 在RtABC 中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6．（I ）如图①，将线段CA 绕点C 顺时针旋转30°，所得到与AB 交于点M ，则CM 的长=__；（II ）如图②，点D 是边AC 上一点D 且3，将线段AD 绕点A 旋转，得线段AD ′，点F 始终为BD ′的中点，则将线段AD 绕点A 逆时针旋转__度时，线段CF 的长最大，最大值为__．【答案】（1）6（2）150；63+【解析】（Ⅰ）如下图①所示：∵将线段CA绕点C顺时针旋转30°，∴△AMC 为等腰三角形，AM=MC∵∠BAC=30°，∴△MBC为等边三角形，∴AM=MB=CM又∵BC=6，∴AB=2BC=12，∴CM=6故答案为：6（2）∵在RtABC中，∠ACB=90°，BAC=30°，BC=6，∴AB=12取AB的中点E，连接EF、EC，EF是中位线，所以12 EF AD=∴CF的最大值为63EC EF+=，即：当将线段AD绕点A逆时针旋转150度时，线段CF的长最大，最大值为63+例1.1.2如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动，点B在∠xOy的平分线上移动．则点C到原点的最大距离是（）A．23B．26C．3D．2【答案】A【解析】如图，当OC垂直平分线段AB时，线段OC最长．设OC与AB的交点为F，在OF上取一点E，使得OE=EA，∵△ABC为等边三角形，边长为2，OC⊥AB∴33AF=BF=1，∵∠BOC=∠AOC=22.5°，∴∠EOA=∠EAO=22.5°，∴∠FEA=∠FAE=45°，∴AF=EF=1，2∴OC=OE +EF +CF=123例1.1.3 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是（）A ． 23B ． 3C ． 2D ． 31【答案】D【解析】 AC 的中点O ，连接AD 、DG 、BO 、OM ，如图．∵△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，∴AD ⊥BC ，GD ⊥EF ，DA=DG ，DC=DF ，∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC ，DA DC =DG DF， ∴△DAG ∽△DCF ，∴∠DAG=∠DCF ．∴A 、D 、C 、M 四点共圆．根据两点之间线段最短可得：BO ≤BM+OM ，即BM ≥BO ﹣OM ，当M 在线段BO 与该圆的交点处时，线段BM 最小，此时，22BC OC -2221-3OM=12AC=1，则BM=BO ﹣31．例1.1.4 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，连结AM 、CM ．（1）当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；（2）当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．【答案】（1）见解析（2）见解析（32【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M 点落在BD 的中点时，AM CM +的值最小．……………………………1分（2）如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时AM BM CM ++的值最小．……………………………2分理由如下：∵M 是正方形ABCD 对角线上一点又AB BC =，BM BM =∴△ABM ≌△CBM∴BAM BCM ∠=∠……………………………3分又BE BA BC ==∴BEC BAM ∠=∠在EC 上取一点N 使得EN AM =，连结BN又∵EB AB =∴△BNE ≌△ABM……………………3分又∵60EBN NBA ∠+∠=︒即60NBM ∠=︒∴△BMN 是等边三角形．∴BM MN ＝……………………………4分根据“两点之间线段最短”，得EN MN CM EC ++=最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM BM CM ++的值最小，即等于EC 的长．……………………………5分（3）过E 点作EF BC ⊥交CB 的延长线于F设正方形的边长为x，则3BF，2xEF=……………………………6分在Rt△EFC中，解得2x=（舍去负值）．2．……………………………7分例1.1.5正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH ⊥BF所在直线于点H，连接CH．（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是______；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【答案】（1）CH=AB；（2）成立，见解析（3）323【解析】（1）如图1，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵点E是DC的中点，DE=DF，∴点F是AD的中点，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．如图2，连接BE，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，∵AD=CD，DE=DF，∴AF=CE，在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE，∴∠1=∠2，∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC，∴CH=BC，又∵AB=BC，∴CH=AB．（3）如图3，∵CK≤AC+AK，∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，∴∠KDF=∠HDE，∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，在△DFK和△DEH中，∴△DFK≌△DEH，∴DK=DH，在△DAK和△DCH中，∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，∵AB=3，∴AK=3，2，∴CK=AC+AK=AC+AB=323，即线段CK长的最大值是323例 1.1.6在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN= ，NM 与AB 的位置关系是；（2）当4＜BD ＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM 与AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（2）连接ME ，在点D 运动的过程中，当BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．【答案】（110（2）见解析【解析】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，∴CD=2，∴22AC CD 5，∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴210∵N 为ED 的中点，∴AN=1210 ∵M 为AB 的中点，∴AM=122 ∵∠CAB=∠DAN=45°，∴∠CAD=∠MAN ，∴△ACD ∽△AMN ，∴∠AMN=∠C=90°，∴MN ⊥AB ， 10（2）①补全图形如图2所示，②（1）中NM 与AB 的位置关系不发生变化，理由：∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAB=∠B=45°，∴∠CAN+∠NAM=45°，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，∴AD=AE ，∠DAE=90°，∵N 为ED 的中点， ∴1452DAN DAE ∠=∠=，AN ⊥DE ， ∴∠CAN+∠DAC=45°，∴∠NAM=∠DAC ，在Rt △AND 中，cos AN AD=∠DAN=cos45°=22，同理=22， ∴AC AM AB AN=，∵∠DAC=45°﹣∠CAN=∠MAN ， ∴△ANM ∽△ADC ，∴∠AMN=∠ACD ，∵D 在BC 的延长线上，∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°，∴∠AMN=90°，∴MN ⊥AB ；（2）连接ME ，EB ，过M 作MG ⊥EB 于G ，过A 作AK ⊥AB 交BD 的延长线于K ，则△AKB 等腰直角三角形，在△ADK 与△ABE 中，AK AB KAD BAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADK ≌△ABE ，∴∠ABE=∠K=45°，∴△BMG是等腰直角三角形，∵BC=4，∴2，2，∴MG=2，∵∠G=90°，∴ME≥MG，∴当ME=MG时，ME的值最小，∴ME=BE=2，∴DK=BE=2，∵CK=BC=4，∴CD=2，∴BD=6，∴BD的长为6时，ME的长最小，最小值是2．例 1.1.7如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）M（﹣125，5125）（3）①见解析②PA+PC+PG的最小值为19P的坐标（﹣919123）【解析】分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=AM NQAC QC求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴3930c b c =⎧⎨--+=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩， ∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x 2﹣2x+3，令y=0，则﹣x 2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（﹣23，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到2130k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得3535k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线CE 为y=﹣35x+35，由2335523y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或1255125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点M 坐标（﹣125，5125）．（3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，3在RT △QCN 中，3CN=7，∠QNC=90°，∴22QN NC +19∵sin ∠ACM=AM NQ AC QC =， ∴657 ∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ， ∴1219619∴22AC AM -1419， ∴PC=CM ﹣819 ∴CK=2819，123，∴OK=CK﹣CO=9 19，∴点P坐标（﹣919123）．∴PA+PC+PG的最小值为19P的坐标（﹣919123）．题模二：垂线段最短例1.2.1如图，边长为10的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是．【答案】 2.5【解析】取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD=12 BC，∴CD=CG，又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×10=5，∴EG=12AG=12×5=2.5， ∴DF=2.5．例1.2.2 如图，⊙O 2P 是直线y=﹣x+6上的一点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为（）A ． 3B ． 4C ． 62D ． 21【答案】B【解析】 ∵P 在直线y=﹣x+6上，∴设P 坐标为（m ，6﹣m ），连接OQ ，OP ，由PQ 为圆O 的切线，得到PQ ⊥OQ ，在Rt △OPQ 中，根据勾股定理得：OP 2=PQ 2+OQ 2，∴PQ 2=m 2+（6﹣m ）2﹣2=2m 2﹣12m+34=2（m ﹣3）2+16，则当m=3时，切线长PQ 的最小值为4．例1.2.3 在平面直角坐标系xOy 中，定义点P （x ，y ）的变换点为P ′（x+y ，x ﹣y ）．（1）如图1，如果⊙O 的半径为2①请你判断M （2，0），N （﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O 的位置关系；②若点P 在直线y=x+2上，点P 的变换点P ′在⊙O 的内，求点P 横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O 的半径为1，且P 的变换点P ′在直线y=﹣2x+6上，求点P 与⊙O 上任意一点距离的最小值．【答案】（1）①变换点在⊙O 上；变换点在⊙O 外；P 横坐标的取值范围为﹣2＜x ＜0； ②﹣2＜x ＜0（2310﹣1 【解析】（1）①M （2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则2222+2，所以点M （2，0）的变换点在⊙O 上；N （﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则2231+102，所以点N （﹣2，﹣1）的变换点在⊙O 外；②设P 点坐标为（x ，x+2），则P 点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则22(22)(2)x ++-∵点P′在⊙O 的内， 22(22)(2)x ++-2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x ＜0，即点P 横坐标的取值范围为﹣2＜x ＜0；（2）设点P′的坐标为（x ，﹣2x+6），P （m ，n ），根据题意得m+n=x ，m ﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P 点坐标为（m ，﹣3m+6），∴点P 在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，过O 点作OH ⊥AB 于H ，交⊙O 于C ，如图2，则A （2，0），B （0，6），∴2226+10 ∵12OH•AB=12OA•OB ， ∴210310 ∴310﹣1，即点P 与⊙O 310﹣1．例1.2.4 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ ，DC 的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为直线DC上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）对角线PQ与DC不可能相等；（2）PQ的长最小为4；（3）PQ的长最小为5；（4）PQ 2（n+4）．【解析】问题1：过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=2，BE=AD=1，∴CE=BC-BE=2，∴2∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PB=x，则AP=2-x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2-x）2+1=8，化简得x2-2x+3=0，∵△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．问题3：如图2′，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，即ADCH=PDCQ=12，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴G是AB上一定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=22（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ 2（n+4）．随练1.1如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．32B．2C．813D．1213【答案】B【解析】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，∴22+BO BC，∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2．∴PC最小值为2．随练1.2如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，①当∠EAC=90°时，求PB的长；②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．【答案】（1）见解析2565（2）①②PB313【解析】（1）欲证明BD=CE，只要证明△ABD≌△ACE即可．（2）①分两种情形a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．由△PEB∽△AEC，得PB BE=，由此即可解决问题．b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．解法类似．AC CE②a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．分别求出PB即可．（1）证明：如图1中，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．（2）①解：a、如图2中，当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴225AE AC+同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴25b、如图3中，当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴225AE AC+同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴65，2565综上，②解：a、如图4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）∵AE⊥EC，∴2222AC AE--=213由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，3∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴PB=BD﹣31．b、如图5中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）∵AE⊥EC，∴2222--=AC AE213由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB=∠AEC=90°，3∴∠ADP=∠DAE=∠AEP=90°，∴四边形AEPD是矩形，∴PD=AE=1，∴3．综上所述，PB313．随练1.3如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值= cm．【答案】（1）①（﹣39）；②631）（2）12【解析】（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，3所以点C的坐标为（﹣39）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°3∴3x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（3x）2+（6+x）2=122，解得：x=631），∴滑动的距离为631）；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），过C 作CE ⊥x 轴，CD ⊥y 轴，垂足分别为E ，D ，如图3：则OE=﹣x ，OD=y ，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB ，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE ∽△BCD ， ∴CE AC =CD BC ，即CE 63=3CD ∴y=3，OC 2=x 2+y 2=x 2+3）2=4x 2，∴取AB 中点D ，连接CD ，OD ，则CD 与OD 之和大于或等于CO ，当且仅当C ，D ，O 三点共线时取等号，此时CO=CD+OD=6+6=12，第二问方法二：因角C 与角O 和为180度，所以角CAO 与角CBO 和为180度，故A ，O ，B ，C 四点共圆，且AB 为圆的直径，故弦CO 的最大值为12．随练1.4 如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是''',,B C D ，则'''BB CC DD ++的最大值为______，最小值为______。

线段的最大值与最小值的解题策略

A1
l A2
l
A1
A2
A3
图⑴ 【材料二】：数轴上任意两点 a、 b 之间的距离可以表示为
图⑵
a b.
【问题一】：若已知直线 l 上依次有点 A1 、 A2 、 A3 、……、 A25 共 25 个点，要确定一点
P，使它到已知各点的距离之和最小，则点
以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。
例 1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个点的坐标分别为 A 6,0 ， B 6,0 ，
1 C 0, 4 3 ，延长 AC到点 D, 使 CD= AC , 过点 D作 DE∥ AB交 BC的延长线于点 E.
2
（ 1）求 D点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线 DE的对称点 F, 分别连结 DF、EF，若过 B 点的
这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形 →转化题意 → 由果索因 → 画图说理
看数据的特殊性， 30°
课堂练习： 1如图，在△ ABC中， AC=BC=，2
∠ ACB=90。，D是BC边的中点，
P 点在 y 轴上运动的速度是它在
E是AB边上一动点，则 EC+ED的最小值是 _______直_ 线 GA 上运动速度的 2 倍．
不难知道，如果直线 l 上依次有 A1 、 A2 、 A3 、 A4 四个点，同样要确定一点 P，使它到各点的距离之和最小，则点 P 应取在点 A2 和 A3 之间的任何地方；如果直线 l 上依次有 A1 、A2 、
A3 、 A4 、 A5 五个点，则相应点 P 的位置应取在点 A3 的位置 .
（ 3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 F 始终为 BD

中考数学总复习——线段最值

线段最值线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有：1.轴对称模型，本讲主要涉及轴对称在四边形中的应用；2.线段运动问题.1、轴对称模型【练习1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．【练习2】如图，在锐角三角形ABC中，BC=,∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是___.【练习3】如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE,则DE 的最小值为________.M NA BCD【练习4】如图，当四边形PABN的周长最小时，a=_______.【练习5】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为_________.2、线段运动问题【练习1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（）A ．222B ．52C ．62D ．6【练习2】已知平行四边形ABCD 中，AC=10，BD=8，则AD 的取值范围是__________.【练习3】如图，将两张长为8cm,宽为2cm的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时菱形的周长有最小值8cm,那么菱形周长的最大值是___________cm.【练习4】如图，∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为( )AD.152MNOACD【练习5】如图，C为线段上BD一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD，连接AC、EC, 已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；(2)请问点C满足什么条件时, AC+CE的值最小？(3)根据(2)的最小值.。

2024年中考复习-11 几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)(解析版)

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接HG ，试问HG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DC =，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB 上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin 10ETA ∠=，根据45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC =，又∵AC BC⊥∴45ECA ∠=︒∵AE BE =，BE AE⊥∴45EBA ∠=︒∴45ECA ABE ∠=∠=︒∴FEB CAB∠=∠∵24AC BC ==，∴2BC =∴BF CF ==∴1tan 2CB CAB AC ∠==∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =-=（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD =，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DB BF BG =∴BD BG BC BF=又∵DBG CBF∠=∠∴DBC GBF∠=∠∴DBC GBF∽∴DC DB GF GB==∴DC =∴DM GF=在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB≌∴MGD FBG∠=∠∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒又∵90DGB ∠=︒∴180MGF ∠=︒∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD∠=︒∠=︒=∠∴D 在EB 上，∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ==∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒∴DN DB=∴3AB DN =，∵4AC =，2CB =∴AB =∴133DN AB ==，∴103AD ==，②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE =，12EH AB ==∴sin 10103AE ETA AT ∠==设FEB CAB α∠=∠=则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯=⨯．【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A，(2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D '' ，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______；(2)如图②，当点C '落在OB 上时，求点D ¢的坐标和BD '的长；(3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)．()，D为OB中点，B2,23()∴，D1,3()22132OD∴=+=，∵以点O为中心，逆时针旋转由（1）知60AOB ∠=︒，30GD O '∴∠=︒，112OG OD '∴==，D G '()1,3D ∴'-，()2,23B ，∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，此时M 在BO 的延长线上，()2,23B ，()222234OB ∴=+=，742BM OB OM ∴=+=+；即BM 最大值为742+；此时M 在线段OB 上，BM BM ∴最小值为427-；综上所述，BM 最大值为1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅ ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF = ，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ADE CDF ∴（） ≌．（2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅ ，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒，90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB CNB ∴≅ ，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△，BM AH ∴=，222AH AD DH =- ，DH ∴最大时，AH 最小，即点(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=．(2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．AD BC EG AD ⊥⊥ ，，90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=(22DF BF BD ∴=-=AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，点E 为GH 的中点，GE HE ∴=，在AGE 和KHE △中，12AE KE =⎧⎪∠=∠⎨，由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==，32CE CM ∴==，（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．∵点E为AD上的靠近点∴11633 AE AD==⨯在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，EG（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）343-；（3）存在，最小值为403米【分析】（1）证明C ABD BA ∽△△，利用相似三角形的性质得到994CBA ABD S S == ，即可得到ACD 的面积；（2）证明ABE BCF ∽△△，进一步得到90APB ∠=︒，则证明点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，连接,OP OC ，OC 交O 于点P '，进一求出3,34OP OP OB OC '====，则343CP OC OP ''=-=-，由CP OC OP ≥-，即可得到CP 的最小值；（3）证明,CBH EBC ∽得到2BC BE BH =⋅，则2AB BE BH =⋅，再证明,ABH EBA ∽得到120AHB EAB ∠=∠=︒，证明点H 在O 的劣弧 AB 上运动，求得90OBC ∠=︒，进一步求得403OH AO BO ===米，勾股定理可得803OC =米，记OC 与O 相交于点H '，则403OH OH '==米，求出403CH OC OH ''=-=米，由403CH OC OH '≥-=米，即可得到答案．【详解】（1）解：∵,BDA BAC ∠=∠B B ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴2439ABDCBA S BD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴994CBA ABD S S == ，∴ACD 的面积为945CBA ABD S S -=-= ，故答案为：5（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABE BCF ∠=∠=︒，∵65BE CF =，6,5AB BC ==，∴65BE AB CF BC ==，∴ABE BCF ∽△△，∴BAE CBF ∠=∠，∵90CBF ABP ∠+∠=︒∴90BAE ABP ∠+∠=︒∴()18090APB BAE ABP ∠=︒-∠+∠=︒∴点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，则1602BM AM AB ===米，题型二线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________．【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值；【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．在OAB 中，3OB =，将 120BOB '∴∠=︒，OB OB '==OBB OB B ''∴∠=∠，OBB OB B B OB '''∠+∠+∠=PA PB PC PA ∴++=+∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=∠=︒DCB BCA60本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进是边长为2的等边三角形．行探究．已知ABC(1)【动手操作】如图1，若D为线段BC上靠近点B的三等分点，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接CE，则CE的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E 三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值．（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC 的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABD ACE ≌△△，∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =+∴当点D 在线段BC 上时，∵DEC 为等边三角形，1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．又90AOB ∠=︒，∴四边形DMON 是矩形，∴90MDN ∠=︒，大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，求PC QD +最小时AP 的长；（3）如图3，在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点D 到AB 的距离为，动点E 、F 在AD 边上运动，始终保持3EF =，在BC 边上有一个直径为BM 的半圆O ，连接AM 与半圆O 交于点N ，连接CE 、FN ，求CE EF FN ++的最小值．如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA '∠=∠=∠=∠∴DA 垂直平分BB '，∴PB PB '=，（3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =∴四边形EFGC 是平行四边形，∴3GC EF ==，FG EC =，【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的 AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为；【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值；【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ===60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧 EF所对的圆心角为90︒， EF 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧 EF上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）41；（3）AP PQ +存在最小值，最小值为()20310m -．【分析】（1）连接OC 交O 于点1P ，则1CP是CP 的最小值，求出1CP 的长即可，（2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，作EF BC ∥，连接BC '，BP C P '+的最小值，即为BC '的长度，求出BC '即可，（3）连接AC ，作点A 关于BC 的对称点A '，连接PA '，A Q '，AA '，过A '作A N ED '⊥，分别交ED 、AC 的延长线于点N 、M ，分别延长AF ，DE 交于点O ，连接OQ ，OA '，当A Q '取得最小值时，AP PQ +的值最小，即A Q ''的长，求出A Q ''即可．解：（1）如图，连接OC 交O 于点1P ，连接OP ，点P 为半圆O 的AB上一点，∴当点P 与点1P 不重合时，CP OC OP >-，当点P 与点1P 重合时，1CP CP OC OP ==-，CP OC OP ∴≥-，CP ∴的最小值OC OP =-，BC 切半圆O 于点B ，90ABC ∴∠=︒，152OB OP AB === ，12BC =，2212513OC ∴=+=，CP ∴的最小值1358OC OP =-=-=，故答案为：8．（2）过P 作PH BC ⊥，如图，矩形ABCD 的面积是13553PBC S ∴=⨯⨯= 2PH ∴=，60ABC ∠=︒ ，AB BC ==ABC ∴ 是等边三角形，60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒ ，DE ACD MCD CAO ∴∠=∠=∠=AA M '∴ 和OA N '△都是直角三角形，四边形,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．∴HF DE =，CH BG =∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=∴3221BG CF ==；根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =∴32KS AK AS AP =-=，则tan ∠题型三面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．（2）如图所示，延长∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD D =，∠∴ABG ADF ≌∴AG AF DAF =，∠（3）把ADF △绕点A ∴33AG AF FAG =，∠∵60EAF ∠=︒，∴30EAG ∠=︒，本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值．,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据13tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒，即可求解；（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出4DEF S EM = ，进而根据（2）的方法得出3EM GH FH ==，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32163OF =-，即可求解．【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒，∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA=∠=∠，∴点H 在BC 的延长线上，∵四边形ABCD 是正方形∴90ADC ∠=︒，∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=，故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠，∵EM BC ∥，则EM AB ⊥，∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥，∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒，∵EM BC ∥，∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒，即180DFC DGH ∠+∠=︒，∴,,,D F H G 四点共圆；∴30GFH GDH ∠=∠=︒，又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形，FT CK∴=8DK CK DK FT ∴+=+=111()4222DEF EMD EMF S S S DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+= 同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ，可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH=∵2220-+=≥，∴FH x y =+≥当且仅当x y =时取得等于号，此时FC AE CH ==，设,,,D F H G 的圆心为O ，∵DC FH ⊥，FC CH =，∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF OF =︒=∵8OD OC +=即82OF +=解得：32OF =-∴232FH FC OF ===-∴48GH ==-，∴()44448192DEF S EM GH ===-=- ，即DEF 面积的最小为192-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值．问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =，并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．∴当点C 在C '的位置，即∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴2C B AB '==，∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180ADE ADC ∠+∠=∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，∴160302BE OB ==⨯=，（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______．问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴2AD a =∴2112224ABC S BC AD a a a =�创=∴24a =解得：4a =，故答案为：4．（2）如图所示，连接CD，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF∠=∠-∠=∠-∠=∠在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDFV V ≌∴DE DF =；（3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒，∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒-︒-︒=︒将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ，∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ，又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN b ==∴2PG PN ==∴21112224PQG S PG NQ b b =⨯=⨯⨯=∵四边形PEQF 的面积为∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =，在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ=⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌，同理可得PNQ PMQ≌则2PNQPEQF S S = 四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQ S = ，如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22128ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE =；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ，2,AB BC ==，点P 在 AD 上运动，求PBC 的面积的最大值；（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求2CQ AP =，过点B 作BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在CDE 内种植花卉，DEP 内修建老年活动区，BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的CDE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径．在Rt ABC △中，tan BC BAC AB∠=60BPC BAC ∴∠=∠=︒过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，延长连接P B P C ₂，₂，此时P BC ₂的面积最大．理由：在 AD 上任意另取一点P。

线段和最值问题思路

线段和最值问题思路
一、问题识别
在解决线段和最值问题时，首先需要识别出问题中的线段和最值条件。

这通常涉及到对题目的仔细阅读和解析，明确问题的目标和限制条件。

二、转化问题
一旦识别出问题中的线段和最值条件，需要将这些条件转化为数学语言。

这可能涉及到将问题转化为几何图形或者代数表达式，以便更好地理解和求解。

三、数形结合
在解决线段和最值问题时，需要充分利用数形结合的思想。

通过绘制几何图形或者图表，将问题中的数量关系转化为几何关系，以便更好地观察和求解。

四、选取代表元
在处理代数问题时，通常需要选取一个代表元来简化问题。

在解决线段和最值问题时，也可以通过选取代表元来简化计算和推理过程。

五、应用定理
在解决线段和最值问题时，需要熟练掌握和应用相关的数学定理和公式。

这些定理和公式可能是几何、代数或三角函数等方面的知识，需要根据问题的具体情况来选择和应用。

六、求解最值
在找到合适的代数表达式或几何图形后，需要使用适当的数学方法来求解最值。

这可能涉及到求导数、使用基本不等式或者进行代数运算等技巧。

七、验证答案
在得到答案后，需要对答案进行验证。

这可能涉及到对答案进行反向推导或者重新计算，以确保答案的正确性和合理性。

八、总结方法
最后，需要对解决问题的方法进行总结。

这包括总结使用的数学知识和技巧，以及在解决问题过程中遇到的困难和解决方案。

通过总结方法，可以加深对问题的理解，提高解决问题的能力和数学素养。

中考数学专题讲练线段最值问题二

线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′，把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__．【答案】（2，﹣6）【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3），直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可；设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，．故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值．【答案】（1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】（1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）．将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】（1）①见解析②8（2）6+【解析】该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==，且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】见解析【解析】此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1；当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1；当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3，此时P （-12m ，-24m -2m +1）；当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3，此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】（1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩，解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩，故抛物线的解析式为：21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1；（2）当y=0，0=12x 2﹣x ，解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2，则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ，解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩，解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2，故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（），故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】（1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2．（2）．（3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】（1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度；（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。

中考数学线段最值问题常见的解题方法及步骤.doc

中考数学线段最值问题常见的解题方法及
步骤
类型一、运用“两点之间线段最短”模型
类型二、运用“垂线段最短”模型
类型三、建立函数模型探究
运动问题中的一些量是有关联的，运动中总隐含有常量和变量，可以通过函数来捕捉运动中的各个量，建立函数模型来准确刻画量与量之间的关系．
“模型思想”新课程标准新增的核心概念，“模型思想”作为核心概念之一，第一次以“基本数学思想”的身份出现．这意味着“建立数学模型”这一意识和要求被明显强化，模型思想作为一种基本的数学思想更是会与目标、内容、考查紧密关联。

所以，我们要深刻体会模型思想，了解数学模型的“形成—建立—求解”全过程，在过程中体会和掌握数学中常用的、重要的基本模型．。

初中数学线段最值问题解题技巧

初中数学线段最值问题解题技巧【最新版2篇】目录（篇1）1.线段最值问题的基本概念和类型2.利用垂线段最短解决线段最值问题3.线段最值问题在生活中的应用4.解题技巧和方法总结正文（篇1）初中数学线段最值问题是数学学科中的一个重要内容，它涉及到解析几何、代数方程、数学建模等多个方面，而解决线段最值问题也是初中数学教学中的一个重要环节。

目录（篇2）1.线段最值问题的基本概念和分类2.垂线段最短的定理及证明3.垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用4.求线段最值问题的其他解题技巧正文（篇2）初中数学线段最值问题解题技巧一、线段最值问题的基本概念和分类线段最值问题是初中数学中的一个重要题型，主要涉及求解线段的长度问题。

线段最值问题可以分为两类：一类是求线段的最大值，另一类是求线段的最小值。

在解决这类问题时，需要掌握一些基本的几何知识和数学技巧。

二、垂线段最短的定理及证明在解决线段最值问题时，经常会用到垂线段最短的定理。

这个定理的表述如下：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

为了证明这个定理，我们可以作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，并连接 CP"和 DP"。

然后，通过证明 CP=CP"，DP=DP"，我们可以得出 PP"是所有线段中最短的。

具体证明过程如下：作点 P 关于直线 AB 的对称点 P"，连接 CP"，DP"。

易知 CP=CP"，DP=DP"。

根据连点之间线段最短可得，PP"≤CP"，PP"≤DP"。

所以，PP"是所有线段中最短的。

三、垂线段最短定理在求线段最值问题中的应用1.求线段最值问题中的应用在求线段最值问题时，我们可以利用垂线段最短的定理来解决。

下面通过一个例子来说明：如图，ABC 是等边三角形，边长为 6，点 E 是对称轴 AD 上一点，将点 E 绕点 C 逆时针旋转 60 得到点 F。

北京金雨教育教师1对1代数几何综合学生版

代数几何综合题的解题方法代数、几何综合题是指需综合运用代数、几何这两部分知识解题的问题，是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样. 代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了将大题分解为小题，复杂问题简单化的能力；考查了对代数几何知识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析与解决问题的能力.题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数中的方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代数、几何综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 这类题目往往是中考的压轴题.解题方法：解这类题目时应从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连接代数与几何的桥梁关键点.灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等.例1. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图1-1.Q图1-1如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26 cm，宽为x cm，分别回答下列问题：(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．例2. 如图2-1，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处．（1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．点拨：（1）由轴对称的性质，可知∠FBD =∠ABD ，FB=AB ，可得四边形ABFD 是正方形，则可求点E 、F 的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E 、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.图2-1例3. 已知：如图3-1，在R t A C B △中，90C ∠= ，4cm A C =，3cm B C =，点P 由B 出发沿B A 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？（2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把R t A C B △的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图3-2，连接PC ，并把PQC △沿Q C 翻折，得到四边形PQP C '，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP C '为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．AQCPB图3-1A Q CPBP '图3-2代数几何综合题专题训练一、选择题1．如图24－1，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，若△AOC 为等腰三角形，则下列各式成立的是( )．图24－1 A ．c ＋b ＋1＝0B ．c ＋b －1＝0C ．c －b －1＝0D ．c －b ＋1＝02．如图24－2，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象经过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是( )．图24－2A ．1B ．－1C ．2D ．－23．(2009兰州)如图24－3，点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O →C →D →O 的路线做匀速运动．设运动时间为t (秒)，∠APB 的度数为y (度)，则下列图象中，表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( )．图24－3二、填空题4．(2009福州)如图24－4，已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数xy 16=(x ＞0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数)，分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分)，则这个五个橄榄形的面积总和是______(用含π的代数式表示)．图24－45．如图24－5①，矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝24cm ；直线PQ 从AB 出发，以1cm/s 的速度向DC 作匀速运动，PQ 与AD 、BC 分别交于P 、Q ；点M 从点C 出发，沿C →D →A →B →C 方向逆时针运动，点M 与PQ 同时出发，当点M 运动到D 后改变速度；当点M 与Q 相遇后，点M 与直线PQ 均停止运动．图24－5②是点M 运动的路线长y (cm)与运动时间t (s)的函数关系图象．图24－5(1)点M 在CD 上运动的速度为______cm/s ，M 点改变速度后的速度为______cm/s ；(2)y 关于运动时间t 的函数关系式为______，P 、M 的相遇时间是______(s)，M 、Q 相遇的时间是______(s )； (3)当0≤t ＜8时，△PQM 的面积S 关于运动时间t 的函数关系式为__________，当S ＝60cm 2时，t 的值为______； (4)当PM ＝QM 时，此时的时间为______s ．二、解答题6．如图24－6，在平面直角坐标系中，Rt △AOB ≌Rt △CDA ，且A (－1，0)、B (0，2)，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点C ．图24－6(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P ，Q ，使四边形ABPQ 是正方形?若存在，求点P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．7．已知：二次函数c bx x y ++=221的图象经过点A (－3，6)，并与x 轴交于点B (－1，0)和点C ，顶点为P ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设D 为线段OC 上的点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标．8．已知：抛物线y ＝x 2＋(2n －1)x ＋n 2－1(n 为常数)．(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上，位于x 轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C ． ①当BC ＝1时，求矩形ABCD 的周长；②矩形ABCD 的周长是否存在最大值?如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由．9．如图24－7，对称轴为直线27x 的抛物线经过点A (6，0)和B (0，4)．图24－7(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E (x ，y )是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求□OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求变量x 的取值范围； ①当□OEAF 的面积为24时，请判断□OEAF 是否为菱形?并说明理由；②是否存在点E ，使□OEAF 为正方形?若存在，求出点E 的坐标；若不存在请说明理由．10．如图24－8，直线A B 交x 轴于点A (2，0)，交抛物线y ＝a x2于点B (1，3)，点C 到△OAB 各顶点的距离相等，直线AC 交y 轴于点D ．图24－8(1)求直线OC 及抛物线的解析式；(2)当x ＞0时，在直线OC 和抛物线y ＝ax 2上是否分别存在点P 和点Q ，使四边形DOPQ 为特殊的梯形?若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．11．(上海)已知：如图，24－9①∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB上，且满足⋅=ABADPC PQ① ② ③图24－9(1)当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时(如图24－9②所示)，求线段PC 的长； (2)在图24－9①中，连结AP ，当23=AD ，且点Q 在线段AB 上时，设点B ，Q 之间的距离为x ，y S S PBCAPQ=∆∆，其中S △APQ 、S △PBC 分别表示△APQ 和△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(3)当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时(如图24－9③所示)，求∠QPC 的大小．12．(哈尔滨)如图24－10①，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为(－3，4)，点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．图24－10(1)求直线AC的解析式；(2)连结BM，如图24－10②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角?并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．13．(温州)如图24－11，在平面直角坐标系中，点)2,0(0,3(CA．动点D以每秒1个单位长度的速度B3(),),2,3从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．图24－11(1)求∠ABC的度数；(2)当t为何值时，AB∥DF?(3)设四边形AEFD的面积为S，求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围．14．把一张宽AD＝2的矩形纸片ABCD，如图24－12①那样折叠，折叠后的点A落在CD边上．现将矩形纸片放在如图24－12②所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A′，与AD、AB的交点分别为E、F，EF交x轴于点G，过点A′作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T．设DA′＝x，点T的纵坐标为y，求y与x之间的函数关系式．①②图24－1215．如图24－13①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为(8，0)，点B的标为(0，6)．点F在对角线AC上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E．设四边形BCFE的面积为S1，四边形CDGF的面积为S2，△AFG的面积为S3．图24－13(1)试判断S1、S2的关系，并加以证明；(2)当S3∶S2＝1∶3时，求点F的坐标；(3)如图24－13②，在(2)的条件下，把△A E F沿对角线A C所在的直线平移，得到△A′E′F′且A′、F′两点始终在直线AC上．是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5∶4?若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．16．(武汉)如图24－14①，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋b 经过A (－1，0)，C (3，2)两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．① ②图24－14(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线y ＝kx －1(k ≠0)将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；(3)如图24－14②，过点E (1，－1)作E F ⊥x 轴于点F ．将△A E F 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ (点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应)，使点M 、N 在抛物线上，求点M 、N 的坐标．17．已知：如图24－15，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．图24－15(1)求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；(2)将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与(1)中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)对于(2)中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。

几何中的线段最值问题

C
C B'
C
C
D E F' B
F'' C D E B A
C
E O D
B'
F B
A
E
C
D
F
F''A F' C E
F
D
B'
C
E
O
D
A
E
F
D
B
F' B
A F''
E
F
D
B
E
A
O D
F
B
A
F
A
F
B
A
F
B
拓展应用二： 2. 如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( B )
拓展应用一：
1.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P
是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小为 2 5 ．
拓展应用一： 2.已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等分点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P 的位置.2 2
A.（0，0） C.（
2 2
B.（
2 ） 2
，
D.（

，
2 ） 2
二、综合提升：
1.已知：如图,⊙O的半径为1，圆心O到直线L的距离为2， 1 点A为L上的动点，则点A到圆上的最小距离为______;
变式训练：若过点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB的长度的最小值为( C ) A．1 C． 3 B． 2 D．2

线段最值问题讲义

线段最值专题线段最值问题是指在一定的条件下，求线段长度的最大值或最小值.求线段最值问题的基本方法有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；2.几何定理(公理)法：应用几何中的不等量性质、定理：（1）斜边大于直角边；（2）两点之间线段最短；（3）垂线段最短；（4）三角形任意两边之和大于第三边.3.数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系. 【例1】角平分线模型：如图，在锐角三角形ABC 中，BC ＝，∠ABC ＝45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM ＋MN 的最小值是________.BCAN【例2】将军饮马模型（1）A 、B 是直线l 同侧两点，是在l 上找一点P 使得PA+PB 最小.（2）如图②，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接BP ，则PB ＋PE 的最小值是________；（3）如图③，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值.模型拓展（4）如图④，某人从A 地到河边l 饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a ，最后回到营地B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短？DB AClaAB图① 图② 图③ 图④【例3】如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、E C.已知AB ＝5，DE ＝1，BD ＝8，设CD ＝x .（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出的最小值.AB费马点【例4】在已知△ABC 所在平面上求一点F ，使它到三角形三顶点的距离之和为最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题中所求的点被人们称为“费马点”.（1）如图①，当△ABC 三内角均小于120°时，F 在△ABC 内部，此时∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°；（2）如图②，当△ABC 有一角(不妨设为∠A )≥120°时，点F 与点A 重合.ABCB C A(F)B图① 图② 图③ 对于（1）给出分析与证明：即当∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°时，F A ＋FB ＋FC 的值最小. 如图③，将△AFC 绕点A 逆时针旋转60°得△AF ′C ′，连接FF ′，则△AFC ≌△AF ′C ′，AC ′＝AC ，FC ＝F ′C ′，F A ＝F ′A. ∵∠F AF ′＝60°，F A ＝F A ′， ∴△F AF ′为等边三角形.∴F A ＝F ′A ＝FF ′，F A ＋FB ＋FC ＝FB ＋FF ′＋F ′C ′， ∵∠AFB ＝∠BFC ＝∠CF A ＝120°，∠AFF ′＝60°， ∴B 、F 、F ′、C ′在一条直线上， ∴FB ＋FF ′＋F ′C ′＝BC ′的值最小，即F A ＋FB ＋FC 的值最小.【拓展】由费马点到多边形的最短连接，可类比提出如下问题：（1）四边形的费马点如何确定？（2）将正方形的四个顶点用线段连接，怎样的连接最短？一、小题专练1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝1，∠B ＝60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC ＋PD 的最小值为________.2.如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角△ACD 和△BCE ，则DE 的最小值为________.3.如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a ＝________.CBBAE（第1题）（第2题）（第3题）4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为边BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为__________5.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为__________6.在直角坐标系中，已知两点A (－8，3)、B (－4，5)，以及两动点C (0，n )、D (m ，0)，则当四边形ABCD 的周长最小时，比值mn为__________ EDBCA PM CDA（第4题）（第5题）（第6题）7.若P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则点P 叫做△ABC 的费马点. （1）如图①，若点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC ＝60°，P A ＝3，PC ＝4，则PB 的值为________；（2）如图②，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′连接BB ′.求证：BB ′过△ABC 的费马点P ，且BB ′＝P A ＋PB ＋P C.B CDAB'AB图① 图②8.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长.NEBAM。

+2024年九年级数学中考2轮专题复习专题1+线段最值问题

专题一：线段最值问题(1)班级：姓名：使用日期：评价：【模型一】利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”求最值.类型一一动一定求最值模型解读：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短.典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE△AC于点E，PF△BC于点F，BC＝15，AC＝20，则线段EF长的最小值为.类型二两定一动求最值模型解读：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值.方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA ＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF的长.典例2 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，P为线段BD上的一个动点，求MP＋1/2PB的最小值.类型三两动一定求最值模型解读：如图△，P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小.要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图△，作点P关于OB的对称点P'，作P'M△OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可.典例3 如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，BC＝8，AD是△BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，求PC＋PQ的最小值.典例4 如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AB＋BC＝8，tanA＝3/4，O，D分别是边AB，AC上的动点，求OC＋OD的最小值.学以致用1. 如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，M是射线OC上一动点，则PM长的最小值为（）A. 3B. 5C. 7D. 102.如图，菱形ABCD的周长为24，△ABD＝30°，P是对角线BD上一动点，Q是BC的中点，则PC＋PQ的最小值是（)A. 6B. 3√3C. 3√5D. 6√33.如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为对角线BD上一动点，ME△BC于点E，MF△CD 于点F，连接EF，则EF长的最小值为3.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M，N分别是BD，BC上的动点，连.接MN，CM，则CM＋MN的最小值是专题一：线段最值问题(2)班级：姓名：使用日期：评价：【模型二】利用“两点之间线段最短求最值”求最值.1.“一线两点”型(一动＋两定)类型一异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．模型解读：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．类型二同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．模型解读：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.类型三同侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.类型四异侧差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．模型解读：将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．例题△△△【问题提出】（1）如图△，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图△，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，△ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出△CDM周长的最小值；【问题解决】（3）如图△所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，△C＝△D＝90°，AD ＝70m，CD＝60m，BC＝110m，在AB的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口．为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）．请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？2.“一点两线”型(两动＋一定)问题：点P是△AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 周长最小．模型解读：要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．例题△△△（1）如图△，在等边△ABC中，BC＝4，点P是BC上一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN．△当点P与点B重合时，线段MN的长是，当AP的长最小时，线段MN的长是；△如图△，PM，PN分别交AB，AC于点D，E．当PB＝1时，求线段MN的长；（2）如图△，在等腰△ABC中，△BAC＝30°，AB＝AC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当△PQR的周长最小时，求△PQR+△PRQ的度数．3.“两点两线”型(两动＋两定)问题：点P，Q是△AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．模型解读：要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．例题△△△如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在AB上，且AE＝1，点F，G 分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为△EBC的外心．（1）求点M到AB的距离；（2）若EF△FG，且FC＝2BF，求DG的长；（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值．学以致用1.如图，已知菱形ABCD的边长为4，△ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为．2.如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为．3.如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN 周长的最小值为．4.如图，正方形ABCD内接于△O，线段MN在对角线BD上运动，若△O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为．。

2024年中考复习-13 二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题(解析版)

抢分秘籍13二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =-++++交x 轴于点()10A -，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．设()234P m m m -++，，则∴(2222PM PE ==∵202->，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥∵()10A -，，()40B ，，∴1OA =，OB OC ==∵45ACQ ∠=︒，OCB ∠∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠∴1442BG =，本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线是解题的关键．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即ON ∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =--(2)当32m =时，PD 取得最大值为928．此时315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭或()323,6212--【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =--；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x --=，解得=1x -或3，∴(3,0)B 设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=-⎩解得：113k b =⎧⎨=-⎩∴3y x =-则263n -=-，∴32n =，∴M ③当90MCN ∠=︒时，过点M∵90MCF NCO ∠+∠=︒，CNO ∠∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽，∴CF MF NO CO =，∴()3263n n n ---=，【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,4Q t ⎛- ⎝∴231133444PQ t t t ⎛⎫=---+-= ⎪⎝⎭∵AQE PQD ∠=∠，AEQ QDP ∠=∠∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，如图，二次函数213442y x x =--的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A -，，()80B ，，()04C -，，直线BC 的表达式为1y x 42=-；(2)线段MN 长的最大值为45；(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()46-，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得225MN PN PM PM =+=，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得25AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x --=，解得12x =-，28x =，令0x =，则4y =-，∴()20A -，，()80B ，，()04C -，，设直线BC 的表达式为4y kx =-，代入()80B ，得084k =-，解得12k =，∴直线BC 的表达式为1y x 42=-；∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠，∴4tan tan 8OC PNM OBC OB ∠=∠===∴2PN PM =，22MN PN PM =+=∴(2155244MN m m m ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =-+联立得241234412x x x ---+=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA MC ''+的最小值为．设直线AC 的解析式为y =将()0,2A ，()4,0C 代入y 240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y =由平移的性质可知，MA '∴MA MC ''+的值最小就是显然点M '在直线=2y -上运用，作出点C 关于直线=2y -得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y -对称的对称的点是点∴()4,4C ''-，∴()(min MA MC M A '''+=+设直线AC ''的解析式是：将点()0,2A ，()4,4C ''-代入得：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，二次函数与相似三角形综合，最短路径问题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转换思想是解题的关键，第二问的解题技巧是使用铅锤公式计算面积，第三问的技巧是转化成直角三角形的讨论问题，如果直接按相似讨论，则有四种情况，可以降低分类讨论的种类，第四问的技巧，是将点M 向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决．【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =-＋与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-＋的表达式；(2)当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值． OH PH ∴=，POH ∠连接BC ，4OC BC == ，42OB ∴=．22BP = ，22OP OB BP ∴=-=在OA 上方作OMQ ，使得4OC BC == ，BC ⊥45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP ∠=(SAS)CBP MOQ ∴△≌△CP MQ ∴=，1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB -的最大值．【答案】(1)24.y x x =-(2)()2,8B (3)()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯- 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解：抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+ 抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：y kx =55,k \=解得：k =∴直线OA 为：y =()2,2,Q ∴OAB BOQ ABQ S S S ∴=+ 12515,2y =-⨯=解得：8y =或4,y =-()()5,5,2,8,A B ()(2525AB ∴=-+设AB 为：y k x b '=+55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩'解得：1,10k b =-⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1图2图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．设直线BC 的解析式为5y kx =+代入点()50B ，得055k =+，解得∴直线BC 的解析式为y x =-+当2x =，253y =-+=，∴()23Q ，，∵点()10A -，，∵221526=+=AC ，设点M 的坐标为(24m m -+，∵顶点D 的坐标为()29，，∴()2945MH m m =--++=()22945GN n n n =--++=-由题意得H G MDN ∠=∠=∠∴90MDH NDG ∠=︒-∠=∠∴MDH DNG ∽△△，∴当20x -=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，，∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2L y ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．题型三胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A -、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N ，求AN 的最大值．设AC 的解析式为y kx b =+2302k b b ⎧-+=⎪∴⎨=⎪⎩，32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AC 的解析式为33y x =23AO = ，2CO =，3CO本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，含30︒的直角三角形三边关系，解直角三角形的应用，二次函数的最大值等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为y =-PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴，90AOC ∴∠=︒，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点，①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形；②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E ．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，OB =∴45OCB ∠=︒，∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∴1122PBCS PE OB =⨯⨯= 当32x =时，PBC 的最大面积为∴(),3E x x -+，∴(223PE x x x =-++--∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN =∴45OBC OCB ∠=∠=︒，3．（2023·山东济南·一模）抛物线()2122y x a x a =-+-+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值．设BC l ：y kx b =+，将()0,4，BC l ∴：4y x =-+，设21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则21PD y y m m =-=-++根据旋转得性质得出：OE ∵9494OF OC ⋅=⨯=，2OE OF OC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，题型四化简求值的解法【例1】（2024·四川广元·二模）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于原点O 和点()40A ，，经过点A 的直线与该函数图象交于另一点()13B ，，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数解析式及点C 的坐标．(2)点P 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，连接OP ，与BF 交于点G ，连接DG ．求四边形GDEF 面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q ，使得45BOQ ∠=︒若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．∵点()13B ，，∴13BN ON ==，．又点()40A ，，∴点()43M ，．∴3BM =．又MH BN =，ONB BMH ∠∠=∴()SAS OBN BHM ≌．∴OB HB =，且OB HB ⊥．∴45BOH ∠=︒．∴OH 与抛物线的交点Q 即为所求的点．∵1MH =，∴点()42H ，．本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴的交点为()()4,0,2,0A D -，与y 轴交点为C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线的A ~B 段上存在点P ，求五边形APBCD 面积的最大值ax M S ；(3)问该抛物线上是否还存在与点P 不重合的点Q ，使以A 、B 、C 、D 、Q 五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形APBCD 面积的最大值ax M S ，若存在，直接写出．．．．所有满足条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）解：由（2）可知，S 五边形由对称性可知，点P 与对称轴对称的点一定符合题意，即此时点∵抛物线解析式为238y x =-∴顶点坐标为2718⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴顶点与B 、C 组成的三角形面积为1．（2024·山东济南·一模）如图，直线132y x=-+交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线214y x bx c=-++经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点(),0P m顺时针旋转90︒得到线段O A''，若线段O A''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．设21,34M x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，令0y =，得2134y x x =-++解得：2x =-，或6x =，∴PO PO m '==，'='A O OA ∴(),O m m '，()3,A m m '+，当()3,A m m '+在抛物线上时，有解得，326m =-±，，与轴交于点1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC PB BC 、、，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF x ⊥轴于F ，若(),0M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．。

14 5线段的最大值与最小值的解题策略

14-5线段最大值与最小值的解题思路回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。

5、垂直线段最短一、两点之间线段最短、垂线段最短线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

????6,0?6,0BA xOy ABC，中，，三个点的坐标分别为1. 例如图，在平面直角坐标系1??AC30,4C,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点，延长AC到点D,使CD=E.2（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的b?y?kx分成周长相等的两个四边形，确定此CDFE直线将四边形b??kxy yP从直线与设直线的解析式；（3）G为y轴上一点，点y点在点，若P点，再沿GA到达Ay轴的交点出发，先沿轴到达G点的位试确定倍，G轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2（要求：简述确A点所用的时间最短。

置，使P点按照上述要求到达 G点位置的方法，但不要求证明）定看数据的特殊性，30°这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：简化图形→转化题意→由果索因→画图说理P点在y轴上运动的速度是它在如图，在△ABC中，AC=BC=2，1课堂练习：。

GA上运动速度的2倍．直线边的中点，是∠ACB=90BC，DE是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________P点在GH上运动速度等于它在°?2，BAC?45?AB4中，2在锐角，ABC△直线GA上运动速度．于点分别的平分线交BCN、MD，BAC?是和上的动点，则的最小值是__MN?BMABAD的最小值．GH+GA求分别是，若点P,Q的边长为4，∠DCB的平分线CE交DB于点E例2、如图2，正方形ABCD2422 C.4 D. A.2 B. ）则DQ+PQ的最小值（ CD和CE上的动点，a:探究下列问题为边作等边三角形ABC中，BC=ABD. ，AC=b，以AB已知:在△°，则，且∠ACB=60D1，当点与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3（1）如图 CD= ；°，则，且∠ACB=90D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6）如图（22，当点 CD= ；的最大值及相 CD且点D与点C位于直线AB的两侧时，求（3）如图3，当∠ACB变化, .应的∠ACB的度数C DCAB CABBAD D32 图图1 图二、三角形两边之和大于第三边其他两边是求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，在转化较难进则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

初中线段求值解题技巧

初中线段求值解题技巧
线段求值是初中数学中必须掌握的技巧之一，而更深入的线段题目也需要掌握这一技巧。

以下是一些线段求值解题技巧：
1. 定义线段
首先，你需要明确线段的定义。

线段是在两个点之间的一条直线，这两个点被称为线段的端点。

在解决线段求值问题时，你需要知道每个线段的两个端点。

2. 使用线段公式
线段公式是计算线段长度的公式，通常用于解决线段求值问题。

公式是：
AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
其中，AB表示线段的长度，(x1, y1)和(x2, y2)分别是线段的两个端点的坐标。

3. 注意点的坐标
在使用线段公式时，正确地标记出点的坐标非常重要。

如果你使用了错误的坐标，将导致错误的答案。

4. 解决实际问题
最后，你需要了解如何将线段求值技巧应用到实际问题中。

例如，你可能需要计算两个建筑物之间的距离，或者需要确定两个点之间的最短路径。

在这些情况下，线段求值技巧将非常有用。

总结
线段求值是数学中的基本技能之一，需要注意正确的坐标和使用
线段公式。

当你掌握了这些技巧后，你将能够解决各种实际问题。

专题01 函数与线段最值(解析版)

专题01 函数与线段最值1．如图1，在平面直角坐标系中，直线BC 分别与x 轴，y 轴交于(3,0)B ，C两点，抛物线2y ax bx =+B ，C 两点，与x 轴交于(1,0)A -．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式　y x =（2）点D 是x 轴下方抛物线上的一点，过点D 作y 轴的平行线交直线BC于点E ，当DE =D 的横坐标为m ，求m 的值；（3）如图2，在y 轴的正半轴上取点M ，在射线CB 上取点N ，连接MN ，点P 为MN 的中点，且CP =CM CN +的最大值．【解答】解：（1）将(1,0)A-，(3,0)代入2y ax bx =+-930a b a ì-ïí+=ïî．解得：a b ì=ïïíï=ïî．\抛物线的解析式为2y x x =令0x =，则y =(0,C \．设直线BC 的解析式为y kx n =+，\3k n +ìïí=ïî．解得：n k ì=ïí=ïî．\直线BC的解析式为y x =．故答案为：y x =-．（2）D Q 是x 轴下方抛物线上的一点，点D 的横坐标为m，2(D m \-．E Q 在直线BC 上且直线//DE y轴，(E m \．当0m >时，设直线DE 交x 轴于点F ，如图，则EF =-=，22DF=-=+．2DE DF EF \=-=+．DE =Q ，\2=．解得：1232m m ==．当0m <，设直线DE 交x 轴于点F ，如图，则EF =-=，22DF =-=+．22(DE EF DF \=-=++=-．DE =Q ，\2=解得：m =．m \=．综上，m 的值为：32．（3）(3,0)B Q ，3OB \=．(0,C Q ，OC \=在Rt OBC D 中，tan OB BCO OCÐ==Q 60BCO \Ð=°．Q 点P 为MN 的中点，且CP =\点P 的轨迹是在OCB Ð内部，以C CO ，CB 的交点．观察图形可以得出，当P 点接近边CO 和CB 时，CM CN +接近，由对称性可知，当CP 为OCB Ð的平分线时，CM CN +最大．\当CMN D 为等边三角形时，CM CN +最大．CMN D Q 为等边三角形，点P 为MN 的中点，CM CN \=，CP MN ^，60CNM Ð=°．在Rt CPN D 中，sin CP CNM CNÐ=．CP =Q ，2sin CP CN CNM\==Ð．CM CN \+的最大值为4．故答案为：4．2．如图，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴分别交于点A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点1(2，33)4a --在抛物线上．（1）求c 的值；（2）已知点D 与C 关于原点O 对称，作射线BD 交抛物线于点E ，若BD DE =，①求抛物线所对应的函数表达式；②过点B 作BF BC ^交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，以的长为半径作C e ，点T 为C e TF +的最小值．【解答】解：（1）Q 点1(2，33)4a --在抛物线上，23113(2422a a a c \--=×-´+，3c \=-；（2）①由题意得，(0,3)C -，Q 点D 与C 关于原点O 对称，(0,3)D \，BD DE =Q ，\点D 为BE 的中点，设点(,0)B m ，则点(,6)E m -，将点(,0)B m ，则点(,6)E m -代入抛物线22y ax ax c =-+，得22230236am am am am ì--=í+-=î，32am \=，4m =，解得38a =，\抛物线所对应的函数表达式为233384y x x =--；②如图，抛物线的对称轴交x 轴于点Q ，则132BQ AB ==，BQ OC \=，90FBQ OBC OBC OCB Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，OCB FBQ \Ð=Ð，又90FQB COB Ð=Ð=°Q ，()FQB BOC ASA \D @D ，BF BC \=，在Rt BOC D 中，4OB =，3OC =，5BF BC \====，在CB 上截取1CG =，则514GB =-=，QCG CT ==，CT CB =\CG CT CT CB=，又GCT TCB Ð=ÐQ ，GCT TCB \D D ∽，\CG CT TG CT CB TB ===，即TG =，\TF TG TF +=+，(1,4)F Q 为定点，\当点F ，T ，G TF +的值最小，最小值为线段GF 的长．在Rt GBF D 中，4GB =，5BF =，由勾股定理得，GF =3．已知点(3,4)A ，点B 为直线1x =-上的动点，设(1,)B y -．（1）如图1，若点(,0)C x 且13x -<<，BC AC ^，求y 与x 之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B 的坐标为(1,1)-时，在x 轴上另取两点E ，F ，且1EF =．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点A 作AE x ^轴于点E ．在BCD D 与CAE D 中，90BCD CAE ACE Ð=Ð=°-ÐQ ，90BDC CEA Ð=Ð=°，BCD CAE \D D ∽，::BD CE CD AE \=，(3,4)A Q ，(1,)B y -，(,0)C x 且13x -<<，:(3)(1):4y x x \-=+，2113(13)424y x x x \=-++-<<；（2）y 有最大值．理由如下：222113131(2)(1)1424444y x x x x x =-++=--+=--+Q ，又13x -<<Q ，\当1x =时，y 有最大值1；（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA¢，使1AA¢=，作点B关于x轴的对称点B¢，连接A B¢¢，交x轴于点E，在x轴上截取线段1EF=，则此时四边形ABEF的周长最小．(3,4)AQ，(2,4)A\¢，(1,1)B-Q，(1,1)B\¢--．设直线A B¢¢的解析式为y kx b=+，则241k bk b+=ìí-+=-î，解得5323kbì=ïïíï=ïî．\直线A B¢¢的解析式为5233y x=+，当0y=时，5233x+=，解得25x=-．故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为2 (5 -，0)．4．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,0)C ，直线y x m =+与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上．（1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ．①求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；②线段PE 的长h 是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x 值；若不存在，请说明理由？【解答】解：（1）Q 点(3,4)A 在直线y x m =+上，43m \=+．1m \=．设所求二次函数的关系式为2(1)y a x =-．Q 点(3,4)A 在二次函数2(1)y a x =-的图象上，24(31)a \=-，1a \=．\所求二次函数的关系式为2(1)y x =-．即221y x x =-+．（2）①设P 、E 两点的纵坐标分别为P y 和E y ．P EPE h y y \==-2(1)(21)x x x =+--+23x x =-+．即23(03)h x x x =-+<<．②存在．239(24h x =--+Q ，又10a =-<Q ，32x \=时，h 的值最大，最大值为94．5．已知，抛物线2:(C y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ¹的顶点为M ，与y 轴交于点C ．（Ⅰ）当1a =-时．①抛物线C 经过点(0,3)C 和(4,5)-，求抛物线C 的顶点坐标；②抛物线1C 与抛物线C 关于直线3x =对称，若点(1,0)，点(2,5)在抛物线1C 上，求抛物线C 的解析式；（Ⅱ）开口向下的抛物线C 经过点(2,0)A -，(0C ，，对称轴在y 轴右侧，交x 轴于点Q ，点P 为y 轴上一动点，当12PQ CP +时，求a ，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）①当1a =-时，抛物线的表达式为2y x bx c =-++，则35164c b c =ìí-=-++î，解得23b c =ìí=î，故抛物线的表达式为223y x x =-++；则抛物线的对称轴为2122(1)b x a =-=-=´-，当1x =时，2234y x x =-++=，故点C 的坐标为(1,4)；②由题意得，抛物线1C ，表达式中的1a =-，设1C 的表达式为2y x mx n =-++，则10425m n m n -++=ìí-++=î，解得87m n =ìí=-î，故抛物线的表达式为2287(4)9y x x x =-+-=--+．则该抛物线顶点坐标为(4,9)，Q 抛物线1C 与抛物线C 关于直线3x =对称，则抛物线C 的顶点坐标为(2,9)，故抛物线C 的表达式为2(2)9y x =--+；（Ⅱ）函数的大致图象如下：过点P 作QH AC ^于点H ，交y 轴于点P ，则点P 为所求点，理由：由点A 、C的坐标知，tan ACO Ð=30ACO Ð=°，60CAO Ð=°，则1sin 2PH PC ACO PC =Ð=，则12PQ CP QH +=，在Rt AHQ D中，3cos HQ AQ HAO ===Ð，故点Q 的坐标为(1,0)，即抛物线的对称轴为1x =，则1240b x a a c c ì=-=ïï-=íï=ïî，解得a b c ìïïïï=íïï=ïïî，a \=，b =．6．如图，反比例函数(0,0)k y k x x =¹>的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点(1,3)A 作AB x ^轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且3AB BD =．（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d MC MD =+最小，求点M 的坐标．【解答】解：（1）(1,3)A Q ，3AB \=，1OB =，3AB BD =Q ，1BD \=，(1,1)D \将D 坐标代入反比例解析式得：1k =；（2）由（1）知，1k =，\反比例函数的解析式为；1y x=，解：31y x y x =ìïí=ïî，解得：x y ì=ïíïîx y ì=ïíï=î，0x >Q，C \；（3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ¢，连接C D ¢交y 轴于M ，则d MC MD =+最小，(C \¢，设直线C D ¢的解析式为：y kx b =+，\1b k b =+ï=+î，\32k b ì=-ïí=-ïî，(32y x \=-+，当0x =时，2y =-，(0M \，2)-．7．如图，直线AB 与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(6,1)，AOB D 的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为　6y x=　；（2）求直线AB 的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段PA 与PB 之差最大时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）将点A 坐标(6,1)代入反比例函数解析式k y x =，得166k =´=，则6y x=，故答案为：6y x =；（2）过点A 作AC x ^轴于点C ，过B 作BD y ^轴于D ，延长CA ，DB 交于点E ，则四边形ODEC 是矩形，设(,)B m n ，6mn \=，6BE DE BD m \=-=-，1AE CE AC n =-=-，11(1)(6)22ABE S AE BE n m D \=×=--，A Q 、B 两点均在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，16132BOD AOC S S D D \==´´=，()()1163316322AOB AOC BOD ABE ODEC S S S S S n n m n m D D D D \=---=-----=-矩形，AOB D Q 的面积为8，1382n m \-=，616m n \=-，6mn =Q ，23830n n \--=，解得：3n =或13-（舍)，2m \=，(2,3)B \，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，则6123k b k b +=ìí+=î，解得：124k b ì=-ïíï=î，\直线AB 的解析式为：142y x =-+；（3）如图，根据“三角形两边之差小于第三边”可知：当点P 为直线AB 与y 轴的交点时，PA PB -有最大值是AB ，把0x =代入142y x =-+中，得：4y =，(0,4)P \．8．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点(2,0)A ，交y 轴于点5(0,)2B ．直线32y kx =-过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．（1）求抛物线214y x bx c =-++与直线32y kx =-的解析式；（2）设点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点（不与点A 、D 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，作DE y ^轴于点E ．探究：是否存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形？若存在请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN AD ^于点N ，设PMN D 的周长为l ，点P 的横坐标为x ，求l 与x 的函数关系式，并求出l的最大值．【解答】解：（1）214y x bx c =-++Q 经过点(2,0)A 和5(0,)2B ，\由此得12052b c c -++=ìïí=ïî，解得3452b c ì=-ïïíï=ïî．\抛物线的解析式是2135442y x x =--+，Q 直线32y kx =-经过点(2,0)A 3202k \-=，解得：34k =，\直线的解析式是3342y x =-，（2）设P 的坐标是2135(,442x x x --+，则M 的坐标是33(,)42x x -221353313(()44424242PM x x x x x \=--+--=--+，解方程21354423342y x x y x ì=--+ïïíï=-ïî得：8172x y =-ìïí=-ïî，20x y =ìí=î，Q 点D 在第三象限，则点D 的坐标是1(8,7)2--，由3342y x =-得点C 的坐标是3(0,)2-，31(7622CE \=---=，由于//PM y 轴，要使四边形PMEC 是平行四边形，必有PM CE =，即2134642x x --+=解这个方程得：12x =-，24x =-，符合82x -<<，当2x =-时，2135(2)(2)3442y =-´--´-+=，当4x =-时，21353(4)(4)4422y =-´--´-+=，因此，直线AD 上方的抛物线上存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形，点P 的坐标是(2,3)-和3(4,2-；（3）在Rt CDE D 中，8DE =，6CE =由勾股定理得：10DC ==，CDE \D 的周长是24，//PM y Q 轴，PMN DCE Ð=ÐQ ，PNM DEC Ð=ÐQ ，PMN CDE \D D ∽，\PMN PM CDE DC D =D 的周长的周长，即2134422410x x l --+=，化简整理得：l 与x 的函数关系式是：231848555l x x =--+，22318483(3)155555l x x x =--+=-++，305-<Q ，l \有最大值，当3x =-时，l 的最大值是15．9．如图，已知一次函数11y k x b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ．B 两点，与反比例函数22k y x=的图象分别交于C ．D 两点，点(2,3)D -，2OA =．（1）求一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x =的解析式；（2）直接写出210k k x b x+-…时自变量x 的取值范围．（3）动点(0,)P m 在y 轴上运动，当||PC PD -的值最大时，直接写出P 点的坐标．【解答】解：（1）Q 点(2,3)D -在反比例函数22k y x=的图象上，22(3)6k \=´-=-，26y x\=-；2OA =Q ，(2,0)A \-，(2,0)A -Q ，(2,3)D -在11y k x b =+的图象上，112023k b k b -+=ìí+=-î，解得134k =-，32b =-，3342y x \=--；（2）由图可得，当210k k x b x+-…时，4x -…或02x <…．（3）由33426y x y x ì=--ïïíï=-ïî，解得23x y =ìí=-î或432x y =-ìïí=ïî，3(4,)2C \-，作3(4,)2C -关于y 轴的对称点3(4,)2C ¢，延长CD ¢交y 轴于点P ，\由C ¢和D 的坐标可得，直线C D ¢为91542y x =-，令0x =，则152y =-，\当||PC PD -的值最大时，点P 的坐标为15(0,2-．10．如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，并且OA 、OC 的长满足：2|(6)0OA OC -+-=．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）把ABC D 沿AC 对折，点B 落在点1B 处，1AB 与x 轴交于点D ，求直线1BB 的解析式．（3）在直线AC 上是否存在点P 使1PB PD +的值最小？若存在，请找出点P 的位置，并求出1PB PD +的最小值；若不存在，请说明理由．（4）在直线AC 上是否存在点P 使||PD PB -的值最大？若存在，请找出点P 的位置，并求出||PD PB -最大值．【解答】解：（1）2|(6)0OA OC-+-= Q．OA\=6OC=，(0A\，，(6,0)C，Q四边形OABC为矩形，BC OA\==，(6B\，；（2）设直线AC的解析式为y kx b=+，把A、C坐标代入可得60bk bì=ïí+=ïî，解得kbì=ïíï=î，\直线AC的解析式为y=+由折叠的性质可知1AC BB^，\可设直线1BB的解析式为y m=+，把B点坐标代入可得m=+，解得m=-，\直线1BB的解析式为y=-（3）由（2）可知B和1B关于直线AC对称，如图1，连接BD交AC于点P，则1PB PB =，1PD PB PD PB BD \+=+=，\此时1PD PB +最小，由折叠的性质可知1B C BC OA ===，190AOD CB D Ð=Ð=°，在AOD D 和△1CB D 中，111AOD CB C ADC CDB AO B C Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，AOD \D @△1()CB D AAS ，AD DC \=，1OD DB =，设OD x =，则6DC AD x ==-，且OA =，在Rt AOD D 中，由勾股定理可得222AO OD AD +=，即222(6)x x +=-，解得2x =，624CD AD \==-=，在Rt BCD D中，由勾股定理可得BD ===综上可知存在使1PB PD +的值最小的点P ，1PB PD +的最小值为（4）如图2，连接PB 、PD 、BD ，当p 在点A 时||PD PB -最大，B 与1B 对称，1||||PD PB PD PB -=-，根据三角形三边关系1||PD PB -小于或等于1DB ，故1||PD PB -的最大值等于1DB ．16AB AB ==Q，4AD ==，12DB \=，\在直线AC 上，存在点P 使||PD PB -的值最大，最大值为：2．11．如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上．动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE OD ^，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ．（1）当13t =时，求直线DE 的函数表达式；（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当22OD DE +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标．【解答】解：（1）90ODC EDB ODC COD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，DOC EDB \Ð=Ð，同理得ODC DEB Ð=Ð，90OCD B Ð=Ð=°Q ，CDO BED \D D ∽，\CD CO BE BD=，即113113BE =-，得29BE =，则点E 的坐标为7(1,)9E ，设直线DE 的一次函数表达式为y kx b =+，直线经过两点1(3D ，1)和7(1,9E ，代入y kx b =+得13k =-，109b =，故所求直线DE 的函数表达式为11039y x =-+；（2）存在S 的最大值．COD BDE D D Q ∽，\CD CO BE DB =，即11t BE t=-，2BE t t =-，2211151(1)(2228S t t t =´´+-=--+．故当12t =时，S 有最大值58；（3）在Rt OED D 中，222OD DE OE +=，22OD DE +的算术平方根取最小值，也就是斜边OE 取最小值．当斜边OE 取最小值且一直角边OA 为定值时，另一直角边AE 达到最小值，于是OEA D 的面积达到最小值，此时，梯形COEB 的面积达到最大值．由（2）知，当12t =时，梯形COEB 的面积达到最大值，故所求点E 的坐标是3(1,)4．12．抛物线223y x x =-++交x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ．（1）如图1，直线12y x m =+过点A ，交抛物线于另一点:D ①直接写出m 的值和点D 的坐标；②平移直线12y x m =+，当直线过点C 时，此时交抛物线于另一点E ，求ADE D 的面积；（2）如图2，设直线12y x m =+交抛物线于点G 、H （点G 在点H 的左边），点P 是抛物线上一点，且在直线12y x m =+的上方，直线PG 、PH 交x 轴于点M 、N ，当PM PN =时，求点P 的坐标．【解答】解：（1）①Q 抛物线223y x x =-++交x 轴于点A 、B ，0y \=时，2023x x =-++，1x \=-或3x =，(1,0)A \-，Q 直线12y x m =+过点A ，10(1)2m \=´-+，12m \=，Q 直线12y x m =+交抛物线于另一点:D \2112223y x y x x ì=+ïíï=-++î，\10x y =-ìí=î或5274x y ì=ïïíï=ïî，5(2D \，7)4，即12m =，5(2D ，7)4；②设AD 交y 轴于F ，则1(0,)2F ，//CE AD Q ，1||2ADE ADC D A S S CF x x D D \==×-，157352228=´´=；（2）方法一：设1(G x ，21123)x x -++，2(H x ，22223)x x -++，2(,23)P t t t -++，联立22312y x x y x m ì=-++ïí=+ïî，消去y 并整理得：23302x x m -+-=，1232x x +=，过P 作PQ x ^轴于Q ，有PM PN =，则1222221122tan tan (23)(23)(23)(23)t x x t GPQ HPQ t t x x t t x x --Ð=Ð==-++--++-++--++，化简并整理得：1224x x t ++=，把1232x x +=代入得54t =，5(4P \，6316；方法二：设1(G x ，21123)x x -++，2(H x ，22223)x x -++，2(,23)P t t t -++，联立22312y x x y x m ì=-++ïí=+ïî，消去y 并整理得：23302x x m -+-=，1232x x +=，设直线:PM y kx a =+，则:PN y kx b =-+，与抛物线解析式联立得：12x t k +=-+，22x t k +=+，通过以上三个式子得54t =．5(4P \，6316．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，已知点(0,3)P -．（1）若抛物线的对称轴为直线2x =，①求该抛物线的解析式和顶点C 的坐标；②将抛物线2y x bx c =-++向上平移(0)n n >个单位长度，使顶点C 落在点E 处，平移后的抛物线与y 轴交于点D ．若CE CD =，求n 的值．（2）当6b …，03x ……时，函数值y 的最大值满足012y ……，求b 的取值范围．【解答】解：（1）①抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于(0,3)P -，3c \=-，Q 抛物线23y x bx =-+-的对称轴为直线2(1)2b b x =-=´-，\若过点C 的直线2x =是抛物线的对称轴，则22b =，解得：4b =，\抛物线的解析式为243y x x =-+-，2243(2)1y x x x =-+-=--+Q ，\顶点C 的坐标为(2,1)；②Q 将抛物线2y x bx c =-++向上平移(0)n n >个单位长度，使顶点C 落在点E 处，CE n \=，(0,3)D n -，(2,1)C Q ，2222(4)CD n \=+-，2222(4)n n \+-=，52n \=；（2）Q 抛物线23y x bx =-+-的对称轴为直线22(1)2b b b x a =-=-=´-，\当6b …时，32b x =…，Q 抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，\当03x ……时，取3x =，y 有最大值，933312y b b \=-+-=-最大值，Q 函数值y 的最大值满足012y ……，031212b \-……，解得：48b ……，又6b Q …，68b \……．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(1,0)-，且4OA OC OB ==，抛物线2(0)y ax bx c a =++¹图象经过A ，B ，C 三点．（1）求A ，C 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ^于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．【解答】解：（1）44OA OC OB ===，故点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,4)-；（2）抛物线的表达式为：2(1)(4)(34)y a x x a x x =+-=--，即44a -=-，解得：1a =，故抛物线的表达式为：234y x x =--；（3）直线CA 过点C ，设其函数表达式为：4y kx =-，将点A 坐标代入上式并解得：1k =，故直线CA 的表达式为：4y x =-，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，4OA OC ==Q ，45OAC OCA \Ð=Ð=°，//PH y Q 轴，45PHD OCA \Ð=Ð=°，设点2(,34)P x x x --，则点(,4)H x x -，22sin 434)PD HP PHD x x x x =Ð=--++=+，Q 0<，PD \有最大值，当2x =时，其最大值为此时点(2,6)P -．15．如图所示，一次函数(0)y mx n m =+¹的图象与反比例函数(0)k y k x=¹的图象交于第二、四象限的点(2,)A a -和点(,1)B b -，过A 点作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC D 的面积为4．（1）分别求出a 和b 的值；（2）结合图象直接写出k mx n x+>中x 的取值范围；（3）在y 轴上取点P ，使PB PA -取得最大值时，求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AOC D Q 的面积为4，\1||42k =，解得，8k =-，或8k =（不符合题意舍去），\反比例函数的关系式为8y x=-，把点(2,)A a -和点(,1)B b -代入8y x =-得，4a =，8b =；答：4a =，8b =；（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式k mx n x+>的解集为2x <-或08x <<；（3）Q 点(2,4)A -关于y 轴的对称点(2,4)A ¢，又(8,1)B -，则直线A B ¢与y 轴的交点即为所求的点P ，设直线A B ¢的关系式为y cx d =+，则有2481c d c d +=ìí+=-î，解得，56173c d ì=-ïïíï=ïî，\直线A B ¢的关系式为51763y x =-+，\直线51763y x =-+与y 轴的交点坐标为17(0,)3，即点P 的坐标为17(0,)3．16．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A 、(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：2(1)(3)43y x x x x =--=-+；故二次函数表达式为：243y x x =-+；（2）①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则2AB PF==，则点P坐标为(4,3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点(4,3)P或(0,3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2,0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点横坐标为：22m+，即：222m+=，解得：2m=，故点(2,1)P-；故：点(4,3)P或(0,3)或(2,1)-；（3）直线BC的表达式为：3y x=-+，设点E 坐标为2(,43)x x x -+，则点(,3)D x x -+，()22134332D E AEBD S AB y y x x x x x =-=-+-+-=-+四边形，10-<Q ，故四边形AEBD 面积有最大值，当32x =，其最大值为94，此时点3(2E ，3)4-．17．如图，抛物线212y x bx c =-++的图象经过点(0,2)C ，交x 轴于点(1,0)A -和B ，连接BC ，直线1y kx =+与y 轴交于点D ，与BC 上方的抛物线交于点E ，与BC 交于点F ．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）求EF DF的最大值及此时点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M 为直线DE 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设(B B x ，)B y ，将(1,0)A -，(0,2)C 代入212y x bx c =-++中，得：1022b c c ì--+=ïíï=î，解得：322b c ì=ïíï=î，\抛物线的表达式为：213222y x x =-++，Q 点B 在x 轴上，0B y \=，将0B y =代入213222y x x =-++中，得：2132022B B x x -++=，解得：14B x =，21B x =-（不符合题意，舍去），(4,0)B \；（2）由题意知，点E 位于y 轴右侧，作//EG y 轴交BC 于点G ，//CD EG \，\EF EG DF CD=，Q 直线1y kx =+与y 轴交于点D ，(0,1)D \，211CD \=-=，\EF EG DF=，设直线BC 的解析式为(0)y mx n m =+¹，将(4,0)B ，(0,2)C 代入，得：402m n n +=ìí=î，解得：122m n ì=-ïíï=î，\直线BC 的解析式为122y x =-+，设点213(,2)22E t t t -++，则1(,2)2G t t -+，且04t <<，22213111(2)(2)2(2)222222EG t t t t t t \=-++--+=-+=--+，\21(2)22EF t DF =--+，102-<Q ，\当2t =时，EF DF 的值最大，最大值为2，此时点E 的坐标为(2,3)；（3）存在点M 和点N ，使得以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．设直线DE 的解析式为y kx b =+，将(0,1)D ，(2,3)E 代入，得：123b k b =ìí+=î，解得：11k b =ìí=î，\直线DE 的解析式为1y x =+，设(,1)M n n +，(4,0)B Q ，(0,1)D ，2222(4)(01)2617BM n n n n \=-+--=-+，2222(0)(11)2DM n n n =-+--=，2224117BD =+=，Q 以点B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，\分两种情况：BD 为边时或BD 为对角线，①当BD 为边时，MN DM BD ==（如图2)或MN BM BD ==（如图3)，22DM \=2217BM BD ==，即2217n =或2261717n n -+=，解得：n =0=（舍去）或3n =，M \或(M 或(3,4)M ，②如图4，当BD 为对角线时，设BD 的中点为Q ，则1(2,)2Q ，Q 四边形BMDN 是菱形，MN BD \^，12QB QD BD ==，222QD QM DM \+=，2222211(20)(1)(2)(1)222n n n \-+-+-++-=，解得：176n =，17(6M \，23)6，综上所述，点M 的坐标为或(或(3,4)或17(6，23)6．18．如图，抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P 为第四象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ^轴，垂足为C ，PC 交AB于点D ，求35PD AD +的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线215:324L y x x =--向右平移得到抛物线L ¢，直线AB 与抛物线L ¢交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L ¢的解析式．【解答】解：（1）Q 抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点(4,0)A ，点(0,3)B -，设直线AB 解析式为：3y kx =-，043k \=-，34k \=，\直线AB 解析式为：334y x =-①，2215151213(242432y x x x =--=--Q ，\抛物线顶点坐标为5(4，121)32-；（2）Q 点(4,0)A ，点(0,3)B -，4OA \=，3OB =，5AB \===，则3sin 5OB BAO AB Ð==，则3sin 5CD AD BAO AD =Ð=，则35PD AD PD DC PC +=+=为最大，当点P 为抛物线顶点时，PC 最大，故点P 的坐标为5(4，121)32-，则35PD AD +的最大值PC =为最大，最大值为12132；（3）设平移后的抛物线L ¢解析式为21121()232y x m =--②，联立①②并整理得：223252(0416x m x m -++-=，设点1(M x ，1)y ，点2(N x ，2)y ，Q 直线AB 与抛物线L ¢交于M ，N 两点，1x \，2x 是方程223252()0416x m x m -++-=的两根，1232(4x x m \+=+，Q 点A 是MN 的中点，128x x \+=，32()84m \+=，134m \=，\平移后的抛物线L ¢解析式为221131211133()2432242y x x x =--=-+．19．如图，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于点(1,0)B -、点(4,0)C 两点，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数22y ax bx =++的表达式；（2）连接AC 、AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作//MN AC ，交AB 于点M ，当AMN D 面积最大时，求N 点的坐标；（3）在（2）的结论下，若点Q 在第一象限，且tan 2CQN Ð=，线段BQ 是否存在最值？如果存在，请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）将(1,0)B -，(4,0)C 代入22y ax bx =++，得2016420a b a b -+=ìí++=î，解得：1232a b ì=-ïïíï=ïî，抛物线解析式213222y x x =-++．（2）过M 作MD BC ^于D ．设(,0)N n ，MD h =．//MN AC Q ，BMN BAC \D D ∽，2()BMN BACS h AO S D D =，2AO =Q ，12[4(1)]52BAC S D =´´--=，11(1)22BMN S MD BN h n D =´´=+，\21(1)2(25h n h +=，\225n h +=，AMN ABN MBN S S S D D D =-，1122BN AO BN h =×-×，122(1)(225n n +=+-，2135()524n =--+，当32n =，AMN S D 最大．此时点N 的坐标为3(,0)2．（3）解：BQ+如图：过点N 作NE BC ^交AC 于点E ，则CEN CAO Ð=Ð，tan tan 2CEN CAO \Ð=Ð=，以CE 为直径，点F 为圆心作圆F，可知点Q 在F e 上，CQN CEN Ð=Ð，当点B 、Q 、F 三点共线时，BQ 最小或最大．最小BQ BF FQ =-，==-最大BQ BF FQ =+，==+20．阅读理解：已知：对于实数0a …，0b …，满足a b +…，当且仅当a b =时，等号成立，此时取得代数式a b +的最小值．根据以上结论，解决以下问题：（1）拓展：若0a >，当且仅当a =　1　时，1a a+有最小值，最小值为；（2）应用：①如图1，已知点P 为双曲线4(0)y x x =>上的任意一点，过点P 作PA x ^轴，PB y ^轴，四边形OAPB 的周长取得最小值时，求出点P 的坐标以及周长最小值；②如图2，已知点Q 是双曲线8(0)y x x=>上一点，且//PQ x 轴，连接OP 、OQ ，当线段OP 取得最小值时，在平面内取一点C ，使得以O 、P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求出点C 的坐标．【解答】解：（1）由题意得：12a a +=…，故1a a+有最小值为2；此时1a a =，解得1a =±（舍去负值），故答案为1，2；（2）设点4(,P x x，则四边形OAPB 的周长4222()8PB AP x x =+=+=…，此时4x x=，解得2x =±（舍去负值），则点(2,2)P ，故答案为：(2,2)P ，周长最小8；（3）设点4(,P x x，则由题意得：22244(28OP x x x x=+=g …，当OP 最小时，4x x =，解得2x =±（舍去负值），故点(2,2)P ，当2y =时，82y x==，解得4x =，即点(4,2)Q ，则422PQ =-=，①当PQ 是边时，//PQ x Q 轴，\四边形OPQC 为平行四边形时，点C 在x 轴上，即2OC PQ ==，则点(2,0)C 或(2,0)-；②当PQ 是对角线时，设点C 的坐标为(,)x y ，由中点的性质得：11(24)(0)22x +=+且11(22)(0)22y +=+，解得64xy=ìí=î，故点(6,4)C．故答案为：(2,0)-、(2,0)或(6,4)．。

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利用三角形三边关系求线段最值问题
例1.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1．设CF kEF ，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．
求证：BE -DE =2CF ；
（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的
最大值．
B C A D E F B D E A F C B
A C 1图2图备图
D C B A A B C D A B C D
例2.已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；
（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；
（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
图1 图2 图3。