高考数学第九章数列第65课通项与求和2教案
数列的通项与求和教学方法和教学手段
数列的通项与求和教学方法和教学手段在数学中，数列作为一种重要的数学概念，具有广泛的应用和研究价值。
常常需要确定数列的通项公式和求和方法，在教学过程中，教师需要采用恰当的教学方法和教学手段来帮助学生理解和掌握数列的通项与求和。
一、数列通项的教学方法和教学手段1. 直接法：对于一些简单的数列，可以直接通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式。
例如等差数列(1, 3, 5, 7, 9...)的通项公式为an = 2n-1，等比数列(2, 4, 8, 16, 32...)的通项公式为an = 2^n。
在教学过程中，教师可以通过多举一些示例，引导学生通过观察规律来总结数列的通项公式，培养学生的数学思维能力和归纳总结能力。
2. 递推法：对于一些较为复杂的数列，可以通过递推的方法来确定数列的通项公式。
递推法的基本思想是通过前一项和通项公式推导出后一项，从而得到数列的通项公式。
例如斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5...)的通项公式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
在教学中，教师可以引导学生通过不断迭代计算，观察数列的变化规律，最终确定数列的通项公式。
3. 数学归纳法：对于一些复杂的数列，可以采用数学归纳法来证明和确定数列的通项公式。
数学归纳法是一种数学推理方法，通过证明基础情况成立，并通过假设前n项成立来证明第n+1项成立。
在教学过程中，教师可以通过引导学生分析数列的特点，确定归纳假设，并逐步进行数学归纳法的证明过程。
二、数列求和的教学方法和教学手段1. 直接求和法：对于一些简单的数列，可以通过直接求和的方法来计算数列的和。
例如等差数列的和公式为Sn = n(a1+an)/2，等比数列的和公式为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中n为项数，an为首项，q为公比。
在教学过程中，教师可以引导学生根据数列的特点，将求和公式变形为更容易计算的形式，培养学生的运算能力。
高中数学数列通项教案
高中数学数列通项教案教学内容：高中数学-数列的通项公式教学目标：1. 理解数列的概念和基本性质；2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式；3. 能够根据题目给出的数列，求出其通项公式；4. 能够利用数列的通项公式解决实际问题。
教学准备：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪等。
教学步骤：一、引入1. 引导学生回顾数列的定义和性质。
2. 提问：什么是数列？数列有哪些特点？二、讲解等差数列的通项公式1. 概念：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
2. 通过例题讲解如何求等差数列的通项公式。
三、讲解等比数列的通项公式1. 概念：等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)。
2. 通过例题讲解如何求等比数列的通项公式。
四、综合练习1. 老师出示一些题目，让学生尝试求解数列的通项公式。
2. 学生互相讨论，互相纠错。
五、拓展应用1. 老师出示实际问题，让学生利用数列的通项公式解决问题。
2. 学生展示解题过程并与老师讨论。
六、总结1. 总结本节课学习的内容，强调数列通项公式的重要性。
2. 鼓励学生多做练习，掌握数列的应用技巧。
七、作业布置1. 布置相关数列通项公式的练习题，加深学生对知识点的理解。
2. 鼓励学生独立思考和解题。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握等差数列和等比数列的通项公式，并且能够应用数列的通项公式解决实际问题。
在教学过程中，要注重引导学生思考、独立解题，培养其数学思维和解决问题的能力。
同时，要及时检查学生的学习情况，帮助他们解决学习难题，确保教学效果。
高中数学数列的求和教案
高中数学数列的求和教案
一、教学目标
1. 知识与技能：了解数列的基本概念与性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够熟练计算数列的和。
2. 过程与方法：通过理论学习和实际练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的方法。
3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
二、教学重点和难点
1. 等差数列、等比数列的求和公式的掌握和应用。
2. 解题方法的灵活应用和实际问题的转化。
三、教学内容
1. 数列的基本概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
四、教学过程
1. 导入：通过提出一个生活中的实际问题，引出数列的概念和重要性。
2. 讲解：介绍数列的基本概念和性质，重点讲解等差数列、等比数列的求和公式。
3. 实例讲解：通过几个具体的例题，讲解如何应用求和公式计算数列的和。
4. 练习：学生独立或分组完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 拓展：带领学生思考更复杂的数列求和问题，引导学生拓展思维。
6. 讲评：对学生的练习情况进行总结和讲评，指导学生做好巩固练习。
五、板书设计
1. 数列的概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
六、教学反思
通过本节课的教学，学生能够较好地掌握数列求和的基本方法和技巧，但是在应用中还存在一定的困难，需要通过更多的实践和练习加以巩固。
下节课可以通过更复杂的案例实践来提高学生的解题能力。
数列的通项与求和(教学案)
数列的通项与求和（教学案）【热身训练】1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则该数列的第6项为________．解析：由递推关系式a n ＋2＝a n ＋1－a n 以及对n 分别取1,2,3,4即可得到a 6＝－3.2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.解析：由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)可知，(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以{na n }为常数列，即a n ＝1n.3．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为________．解析：由等差数列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为等差数列，且首项为－2，公差为12，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前21项和为63.4．已知数列a n ＝4n2－1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 和为________．解析：因为1a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以由裂项法求和可得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为n2n ＋1.【热点追踪】在高考数学中，数列问题一直占有较大的分量，数列的通项与求和是研究数列问题的基本内容，涉及的内容和方法较多，也常融入以数列为压轴题的高考试题中，此时，数列的通项与求和往往作为解决此类压轴题的基础.（一）数列中的通项与求和基本问题 例1. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋2(n 为正整数)．(1)令b n ＝2na n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝n ＋1na n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求T n.令b n ＝2na n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝n ，所以a n ＝n2n .(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n，所以 T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ① 12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1②由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝1＋－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1 所以T n ＝3－n ＋32n变式1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －11－12＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1.又因为b 1＝1，所以b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1(n ＝1,2,3，…)．变式2：设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.求数列{a n }的通项公式．（二）数列中的常见的裂项求和问题例2. (2017·扬州期末)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围．解析：(1)因为A n ＝n 2，所以当n ≥2，a n ＝A n －A n －1＝2n －1，又a 1＝1符合a n ，所以a n ＝2n －1.故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列B n 是以2为首项，1为公差的等差数列．所以B n ＝n ＋1.(2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2，所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n－1)，所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1n－n ＋1－，即b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2nb 1n－b 1n ＋1－＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1－1所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1，所以1b 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121－1－12n ＋1－1＜13恒成立，即b 1＞3⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1－1，所以b 1≥3.变式1 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.变式2已知数列{a n }，{b n }中，a 1＝1，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)若a n ＝2n －1，求S n ；(2)若a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2. 解析：(1)当a n ＝2n －1时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14·12n ＝32n ＋2.所以，S n ＝38⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋…＋12n －1＝34－32n ＋2. (2)因1＝a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故a n ＞0,0＜a n a n ＋1≤1，于是0＜a 2na 2n ＋1≤1.所以，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1≥0，n ＝1,2,3，….所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ≥0.又，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a 2n a 2n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－a n a n ＋1·1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a n a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1·a n a n ＋1≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a n －1a n ＋1. 故S n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 2－1a 3＋ (2)⎛⎭⎪⎪⎫1a n－1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝2(1－1a n ＋1)＜2.所以，0≤S n ＜2. （三）有关等差数列的通项探究问题例3. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1)若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)求λ的值，使数列{a n }是等差数列．由归纳假设a k ＝2k －1，且S k ＝2k－1同时成立．则当n ＝k ＋1时，(S k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k ＋1，(S k ＋a k ＋1＋1)a k ＝(S k ＋1)a k＋1，(2k －1＋a k ＋1＋1)2k －1＝(2k －1＋1)a k ＋1，解得a k ＋1＝2k.从而S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k－1＋2k＝2k ＋1－1.(2)S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1由题意知λ＝0时，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝1，下面用数学归纳法证明a n ＝1.①n ＝1时，a n ＝1成立．②假设n ＝k 时，a n ＝1成立，即a k ＝1， 则有S k ＋1a k ＝(S k ＋1)a k ＋1， (S k ＋a k ＋1)＝(S k ＋1)a k ＋1S k ＝S k ·a k ＋1 a k ＋1＝1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝1也成立． 由①②易知，a n ＝1，所以为等差数列．变式1 已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋1a n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项a n .变式2 已知数列{a n }满足a 1＝1， a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a nn －1－a n －1n －2＝3n －n －.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．把上面n －1个等式左右两边分别相加，得a n －1n －1－a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1n －1，整理，得a n ＝2n －5.当n ＝2时，满足． 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件．当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0.令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f ，f化简得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得，n ≤1或n ≥5.所以满足条件的k 存在，k 的最小值为5.【乘热打铁】1．若数列{a n }满足a n －(－1)na n －1＝n (n ≥2)，S n 是{a n }的前n 项和，则S 40＝________.解析：当n ＝2k 时，即a 2k －a 2k －1＝2k ①，当n ＝2k －1时，即a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1 ②，当n ＝2k ＋1时，即a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1③，①＋②得a 2k ＋a 2k －2＝4k －1，③－①得a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…＋79)＝10＋＋2＝440.2．若数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝1a n ＋1，则a 25＝________.3．已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________.解析：利用数列中S n 与a n 的关系求解a n .由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1得3S 2n －2(S n＋1－S n )·S n ＝(S n ＋1－S n )2，整理得S 2n ＋1＝4S 2n ，又数列{a n }各项为正，故S n ＞0，所以S n ＋1＝2S n ，即S n ＋1S n ＝2为常数，所以数列{S n }是以S 1为首项，2为公比的等比数列，故S n ＝2·2n －1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，n ＝1不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝12n －1，n ≥2. 4．若数列{a n }中不超过f (m )的项数恰为b m (m ∈N *)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f (m )是数列{a n }生成{b m }的控制函数．已知a 2＝2n ，且f (m )＝m ，则{b m }的前m 项和S m ＝________. 解析：当m 为偶数时，则2n ≤m ，则b m ＝m 2；当m 为奇数时，则2n ≤m －1，则b m ＝m －12；所以b m ＝⎩⎪⎨⎪⎧m －12，m 为奇数，m 2，m 为偶数. 当m 为偶数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝12(1＋2＋…＋m )－12×m 2＝m 24；当m 为奇数时，则S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝S m ＋1－b m ＋1＝m ＋24－m ＋12＝m 2－14；所以S m＝⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－14，m 为奇数，m 24，m 为偶数.。
高中数学数列求和教案模板
高中数学数列求和教案模板
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握数列求和的基本方法，能够运用公式求解数列求和问题。
2. 过程与方法：培养学生分析问题、归纳规律和运用公式求解问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生坚持不懈、勇于探索的学习态度。
二、教学重点和难点：
1. 掌握等差数列求和公式和等比数列求和公式。
2. 解决实际问题中的数列求和问题。
三、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的实际问题引入数列求和的概念，引起学生兴趣。
2. 提出问题：给学生几道数列求和的练习题，让学生自己尝试解答。
3. 教学讲解：介绍等差数列求和公式和等比数列求和公式，讲解求解数列求和的基本方法。
4. 拓展练习：让学生做一些更复杂的数列求和题，巩固所学知识。
5. 实际应用：引导学生应用所学知识解决实际问题，提高学生的综合应用能力。
6. 总结：对本堂课所学内容进行总结，巩固学生的学习成果。
四、课堂作业：
1. 完成课堂练习题。
2. 设计一个与生活相关的数列求和问题，并用公式解决。
五、教学反思：
1. 教学过程中是否引入了生活实例，激发了学生的学习兴趣？
2. 是否根据学生的实际情况，调整了教学内容和难度？
3. 学生能否掌握数列求和的基本方法和公式，是否能够独立解决数列求和问题？
六、板书设计：
1. 等差数列求和公式：Sn = n(a1 + an)/2
2. 等比数列求和公式：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)
七、教学反馈：
通过课堂练习和作业的批改，及时了解学生对数列求和知识的掌握情况，做好巩固和拓展工作。
等差数列的通项与求和公式教案
等差数列的通项与求和公式教案一、引言等差数列是数学中常见而重要的数列之一。
在学习等差数列时，了解其通项与求和公式是十分关键的。
本教案旨在帮助学生全面理解等差数列的通项与求和公式，并能够熟练运用于实际问题中。
二、基本概念1. 等差数列：数列中任意两个连续的项之差都相等，这个公差称为等差数列的公差，通常用d表示。
2. 通项：等差数列中第n项的公式，我们称其为通项，通常用an 表示。
3. 求和：等差数列前n项和的公式，我们称其为求和公式，通常用Sn表示。
三、等差数列的通项公式要找到等差数列的通项公式，我们首先要知道数列的首项和公差。
我们可以通过观察数列中的规律或者已知的条件来确定首项和公差。
1. 已知首项和公差的情况下：设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d2. 已知任意两项的情况下：设第m项为am，第n项为an，等差数列的通项公式为：an = am+ (n - m)d四、等差数列的求和公式针对等差数列的前n项和，我们可以通过求和公式进行计算，而无需逐项相加。
1. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = (n/2) * (a1 + an)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (a1 + a1 + (n - 1)d)= (n/2) * (2a1 + (n - 1)d)2. 根据求和公式，我们可以计算等差数列的前n项和。
五、案例分析下面通过一个具体的案例来帮助学生理解等差数列的通项与求和公式的应用。
案例：某商场每天销售的商品数量呈等差数列，第一天销售10件，公差为5，求第30天的销售数量以及前30天的销售总量。
解析：根据已知条件，可得首项a1为10，公差d为5。
根据通项公式，我们可以计算得到第30天的销售数量为：a30 = a1 + (n-1)d= 10 + (30-1) * 5= 155根据求和公式，我们可以计算出前30天的销售总量：S30 = (n/2) * (a1 + an)= (30/2) * (10 + 155)= 30 * 165= 4950六、总结等差数列的通项与求和公式在数学中有着广泛的应用。
数列的通项与求和-教案
数列的通项与求和一、教学目标⑴理解数列通项与前n 项和的关系；⑵掌握利用⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n s s n s a n n n求数列通项公式的方法； ⑶学会用分类讨论的思想分析数列。
重点：学会利用数列通项与前n 项和的关系求数列通项公式。
难点：如何利用数列通项与前n 项和的关系解决条件是n s 与n a 关系的问题。
二、教学过程⑴知识点回顾等差数列：=n a ；=n s 。
等比数列：=n a ；=ns 。
已知前n 项和n s 求通项na 公式： ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n s s n s a n nn ⑵例题及变式训练一、已知sn 表达式：例1：已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－n 2＋n (n ∈N*)．求{an}的通项公式； 解：n ＝1时，a 1＝S 1＝0.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋n+(n －1)2－(n －1)＝－2n ＋2.经验证，a 1＝0符合a n ＝－2n ＋2故a n ＝－2n ＋2【变式】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋n +1(n ∈N *)．求{a n }的通项公式； 解：n ＝1时，a 1＝S 1＝1.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋n+1+(n －1)2－(n －1)-1＝－2n ＋2.经验证，a 1＝1不符合a n ＝－2n ＋2故1,122,2nn a n n ⎧=⎨+≥⎩＝－巩固练习1：已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： S n ＝n 2－3n ；解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－3n )－[(n －1)2－3(n －1)]＝2n －4，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝2n －4.三、已知an 与Sn 的关系求通项an【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝4a n －3,n ∈N *.求{a n }的通项公式． 解 n=1时由a 1＝S 1＝4a 1－3得a 1＝1n ≥2时1111434344n n n n n n n n n s a s a a s s a a ----=-=-=-=-做差得3a n ＝4a n-1 143n n a a -=即所以数列{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 11143n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭巩固练习2：已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和32n n S a -=，（1）求证数列{a n }为等比数列（2）求数列{a n }的通项公式． 解 当n ＝1时，a 1＝S 1 ＝123a -，∴a 1＝3.当n ≥2时，1132n n S a -=－－，作差得a n ＝S n －S n －1＝122n n a a -- ∴解得a n =2a n -1 .21=-n n a a ∴数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列．∴11123--⨯==n n n q a a四：小结11,2n n n s a s s n -⎧=⎨-≥⎩ , n=1一、已知sn 表达式求an （注意并项问题）二、已知an 与sn 关系式1、转化为an 的递推关系2、转化为sn 的递推关系五、课后练习：已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和21()2n n S a +=， （1）求证数列{a n }为等差数列（2）求数列{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1 ＝2112a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a 1＝1. 当n ≥2时，2111()2n n S a +=－－，作差得 a n ＝S n －S n －1＝221(1)(1)4n n a a -+-+ ∴整理得（a n +a n -1）(a n -a n -1-2)=0.由于{a n }>0∴a n -a n -1-2=0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝2n-1。
数列的通项与求和经典教案
数列的通项与求和经典教案数列等差数列 等比数列定义 数列{a n }的后一项与前一项的差a n －a n －1为常数d数列{a n }的后一项与前一项的比1-n na a为常数q （q ≠0）专有名词d 为公差 q 为公比通项公式 a n =a 1+（n －1）d a n =a 1·q n －1前n 项和S n =()22)1(11na a d n n na n +=-+ S n =()qq a n--111一、 利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差或公比代入公式即可求出通项例1 等差数列的前n 项和记为nS ，已知10203050a a ==，，求通项na ．解： 101930a a d =+=∵， ①2011950a a d =+=， ②②－①，得10202d d ==，．代入①，得112a =． 210na n ∴=+．例3．等差数列{}na 是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}na 的通项公式.解：设数列{}na 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255aS= ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、 由{}na 的前n 项和n S 与n a 间的关系，求通项利用 11(1)(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩， ≥此处应注意1nnn a S S -=-并非对所有的n *∈N 都成立，而只对当2n ≥且为正整数时成立，因此由n S 求na 时必须分1n =和2n ≥两种情况进行讨论．1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}na 的通项公式。
高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式
高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式高中数学教学备课教案数列与数列的通项公式导言：数列是数学中常见而重要的概念，它具有广泛的应用和重要意义。
数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值。
本节课我们将学习数列的基本概念，了解数列的分类以及数列通项公式的推导与应用。
一、数列的基本概念在开始学习数列之前，首先要明确数列的概念和特点。
1.1 数列的定义数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列用大写字母表示，如A、B、C等。
数列中的每一项称为数列的项，用小写字母和下标表示，如a1、a2、a3等。
1.2 数列的分类根据数列的规律和特点，数列可以分为等差数列和等比数列。
1.2.1 等差数列等差数列是指数列中任意两项之间的差都相等的数列。
等差数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an=a1+(n-1)d。
1.2.2 等比数列等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式可以通过以下方式推导得到：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
二、数列的通项公式的推导与应用数列的通项公式是数列中每一项与项号之间的关系式，它能够帮助我们更方便地求解数列中的各项数值，下面我们以等差数列和等比数列为例进行推导。
2.1 等差数列通项公式的推导考虑一个等差数列a1，a2，a3，...，an，...，根据等差数列的定义可得：a2-a1 = a3-a2 = ... = an-an-1 = ... = d设等差数列的首项为a1，公差为d，n为项号，我们来推导等差数列的通项公式。
根据题设，可得：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d...an = a1 + (n-1)d由此可得，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
数列的通项与求和教案
数列的通项与求和教案数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按照一定规律排列的数构成。
在数列中，通项和求和是两个基本的概念和问题。
本教案将介绍数列的通项和求和的概念及求解方法，以帮助学生更好地理解和应用相关知识。
一、数列的通项数列的通项是指根据数列中的位置n，通过一个公式或规律来表示数列中的第n项。
通项是数列的核心概念，它不仅能描述数列中的每一项，还可以帮助我们求解其他与数列相关的问题。
在数列的通项的求解中，最常见的情况是等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与前一项之间的差值都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与前一项之间的比值都相等的数列。
设数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项。
二、数列的求和数列的求和是指将数列中的所有项相加得到的结果。
数列的求和可以帮助我们更好地理解数列的性质，进一步推导出一些重要的结论。
同样地，在数列的求和中，最常见的情况是等差数列和等比数列。
1. 等差数列的求和对于等差数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (n/2) * (a₁ + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
2. 等比数列的求和对于公比不为1的等比数列，我们可以通过以下公式求解其前n项和Sn：Sn = (a₁ * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
三、练习与应用在学习了数列的通项和求和的概念及求解方法后，学生可以通过多做题目来加深对相关知识的理解和掌握。
可以安排一些练习题，帮助学生在熟练掌握数列的通项和求和求解方法后，能够灵活应用于实际问题中。
例如，给定一个等差数列的首项a₁为2，公差d为3，求该数列的第10项和前10项的和。
高中数学数列求和的教案
高中数学数列求和的教案
教学目标：学生能够理解数列的概念，能够通过已知数列的通项公式求和，并能够通过数列的性质推导出求和公式。
教学重点和难点：数列的求和公式的推导及应用。
教学准备：
1. 知识点讲解：数列、等差数列、等比数列、通项公式、求和公式。
2. 教学工具：黑板、彩色粉笔、课件、习题。
教学步骤：
Step 1：引入
通过引入一个简单的数列例子开始本节课的教学，让学生理解数列的概念和特点。
Step 2：等差数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等差数列的性质和通项公式，引导学生通过对数列进行分组求和，推导等差数列求和的公式。
2. 给出练习题让学生尝试应用等差数列求和公式进行计算。
Step 3：等比数列求和公式的推导及应用
1. 讲解等比数列的性质和通项公式，引导学生通过求和两个等比数列的公式，推导等比数列求和的公式。
2. 给出练习题让学生尝试应用等比数列求和公式进行计算。
Step 4：总结与拓展
1. 总结本节课所学内容，强化数列的概念和求和公式的应用。
2. 给出拓展练习题，加深学生对数列求和公式的理解和应用能力。
Step 5：作业布置
布置作业，要求学生完成相关练习题并检查答案。
教学反馈：通过课堂练习和作业检查，检查学生对数列求和公式的掌握情况并及时进行反馈。
教学延伸：引导学生进一步理解数列的性质和应用，拓展更多数列求和的相关知识。
教学评价：通过课堂教学和作业完成情况评估学生对数列求和公式的掌握情况，及时调整教学方法和内容，帮助学生提高数学能力。
高中数学数列求和方法教案
高中数学数列求和方法教案
目标：学生能够熟练掌握数列求和的基本方法并应用于实际问题中。
教学内容：
1. 数列的概念及常见数列的表示方法
2. 等差数列求和公式的推导及应用
3. 等比数列求和公式的推导及应用
4. 各种数列求和的实际应用问题解题
教学步骤：
1. 引入问题：通过展示一段数列并让学生猜测下一个数的规律，引出数列求和的概念。
2. 探究数列求和方法：介绍等差数列和等比数列的定义，推导相应的求和公式并演示应用。
3. 练习：让学生通过练习题巩固所学知识，强化数列求和的运算技巧。
4. 实际应用：设计几个实际问题，让学生运用所学方法解决数列求和问题。
5. 总结：总结本节课学习的内容，强调数列求和方法的重要性和实际应用。
教学资源：教材、练习题、黑板、彩色粉笔
评估方式：开展小测验或出一些综合性问题让学生自主解答，检测他们对数列求和方法的
掌握程度。
拓展延伸：让学生自行搜索一些其他类型的数列求和方法，并进行分享，拓展学生的数学
思维。
教学反思：及时寻找学生在数列求和方法中的困难点并进行讲解，促进学生的学习效果。
注：本教案仅作参考，教师可根据实际情况灵活调整教学内容和步骤。
高中数学备课教案数列的通项与求和
高中数学备课教案数列的通项与求和【高中数学备课教案】数列的通项与求和一、引言数列作为高中数学重要的内容之一，是初步学习数学分析的重要基础。
在高中数学学习中，掌握数列的通项公式和求和公式是必须掌握的基本知识。
本文将从数列的定义、数列的分类、数列的通项公式和数列的求和公式四个方面进行论述。
二、数列的定义数列是指由一列数字构成的有序集合。
其中，每一项的数值均可用公式表示出来，称为数列的通项公式。
数列的一般表示形式为：$$a_1,a_2,...,a_n,...$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值。
三、数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列两类。
1. 等差数列一般地，如果一个数列的相邻两项之差等于同一个常数$d$，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。
2. 等比数列一般地，如果一个数列的相邻两项之比等于同一个常数$q$，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。
四、数列的通项公式和求和公式1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$d$表示公差。
2.等差数列的求和公式设等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$项，则该等差数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$其中，$a_n$表示数列的第$n$项。
3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$其中，$a_1$表示数列的第一项，$q$表示公比。
4.等比数列的求和公式设等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$项，则该等比数列的前$n$项和为：$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$q\neq 1$。
数列的通项与求和教案
数列的通项与求和教案引言:数列是数学中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
了解数列的通项和求和公式对于解决各种问题具有重要意义。
本文将介绍数列的概念，探讨数列的通项和求和公式的推导方法，以及对应用数列求和的实例分析。
一、数列的概念与分类数列是由一列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数称为该数列的项，每个数列都有一个确定的首项和通项。
根据数列中的项与项之间的关系不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和其他类型的数列。
二、等差数列的通项与求和公式等差数列是一种最简单、最常见的数列。
在等差数列中，每一项与前一项的差值（公差）保持不变。
等差数列的通项和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
三、等比数列的通项与求和公式等比数列是一种与等差数列相似但乘法关系更加密切的数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值（公比）保持不变。
等比数列的通项和求和公式如下：通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
求和公式：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
四、其他类型数列的通项与求和公式除了等差数列和等比数列，还存在其他类型的数列。
这些数列可能没有明确的通项公式，但仍然可以通过计算求得前n项和。
对于这类数列，需要根据具体情况进行分析和计算。
五、数列的应用实例数列在实际应用中有许多重要的应用，例如金融领域的复利计算、物理学中的运动问题等。
下面通过一个实例来说明数列的应用：例：某人每天存钱，第一天存1元，从第二天开始，每天存的钱都比前一天多10元。
到第30天时，共存了多少钱？解：根据题意可以得知，这是一个等差数列，首项a1=1，公差d=10，共有30项。
高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第65课通项与求和2 Word版含解析
第65课 通项与求和(2)1. 等差、等比数列的前n 项和公式(C 级要求).2. 非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法(B 级要求).1. 阅读：必修5第42～44页、第55～57页.2. 解悟：①等差数列和等比数列求和公式形式的联系与区别；②体会课本中推出等差数列和等比数列求和公式的方法；③整理数列求和的常用方法.3. 践习：在教材空白处，完成第47页第1题(4)、第57页第4题(2)、第62页第12题.基础诊断1. 设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的前4项和为 58.解析：设等比数列{a n }的公比为q.因为a 2，a 4，a 3成等差数列，所以2a 4＝a 2＋a 3，所以2a 2q 2＝a 2＋a 2q ，化为2q 2－q －1＝0(q ≠1)，解得q ＝－12.因为a 1a 2a 3＝－18，所以a 31·q 3＝－18，解得a 1＝1，所以数列{a n }的前4项和为1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58.2. 在数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若数列{a n }的前n 项和S n ＝2 0172 018，则n ＝ 2 017 .解析：因为a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以n n ＋1＝2 0172 018，解得n ＝2 017. 3. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝ 2n ＋1－2＋n 2 .解析：S n ＝2（1－2n ）1－2＋n （1＋2n －1）2＝2n ＋1－2＋n 2.4. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫（n ＋1）·⎝⎛⎭⎫12n 的前n 项和T n ＝ 3－n ＋32n .解析：由a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫12n ，得T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n①，12T n＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1②，由①－②得12T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1，所以T n ＝3－n ＋32n .范例导航考向❶ 分组求和法例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和. 解析：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .因为a 1＝1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2) 由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ). 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝22n ＋1＋n －2.已知数列{a n }的通项公式a n ＝2×3n －1＋(－1)n ×(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n .解析：S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]×(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]×ln3.当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln3＝3n ＋n2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln3 ＝3n －n －12ln3－ln2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln2－1， n 为奇数.【注】 分组转化法求和的常见类型： (1) 若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{a n }的前n 项和.(2) 通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ， n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.(3) 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 考向❷ 错位相减法求和例2 已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1) 求{a n }和{b n }的通项公式；(2) 求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *).解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12. 因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q >0，所以q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 所以a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2) 设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ， 故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×（1－4n ）1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8，所以T n ＝3n －23×4n ＋1＋83，所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，b 1q ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29，所以a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9×⎝⎛⎭⎫29n －1.(2) 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ，② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.【注】 错位相减法求和时的注意点：(1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形；(2) 在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.考向❸ 裂项相消法求和例3 已知数列{b n }的前n 项和为T n ，b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2.证明：对任意的n ∈N *，都有T n <564. 解析：因为b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2， 所以T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2] ＝116[1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2]<116×⎝⎛⎭⎫1＋122＝564， 故对任意的n ∈N *，都有T n <564.已知函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017解析：由f (4)＝2，可得4α＝2，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，所以S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.【注】 (1) 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ，裂项后可以产生连续相互抵消的项；(2) 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.自测反馈1. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝ 1 008 .解析：因为a n ＝n cos n π2，当n ＝2k －1，k ∈N *时，a n ＝a 2k －1＝(2k －1)cos （2k －1）π2＝0；当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k cos k π＝2k ·(－1)k ，所以S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝0＋(－2＋4－6＋…－2 014＋2 016)＝1 008.2. 若数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项和S 100＝ －200 . 解析：S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3. 在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝4，则数列{a 2n }的前n 项和 S n ＝ 4n －112.解析：因为a 4＝a 1q 3＝4，a 1＝12，所以q ＝2，所以a n ＝12×2n －1＝2n －2，所以a 2n ＝4n －2，所以数列{a 2n }是以14为首项，4为公比的等比数列，所以S n ＝ 14（1－4n ）1－4＝4n －112.4.11＋2＋12＋3＋…＋1n ＋n ＋1＝.解析：原式＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1.1. 数列求和先看通项公式，根据通项公式的特点选择相应的方法.2. 在利用等差、等比数列的求和公式时，要数清项数，公比如果是字母，需对它进行分类讨论.3. 你还有那些体悟，写下来：。
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通项与求和（2）一、教学目标1、 熟练掌握等差、等比数列的求和公式，会把一些特殊数列转化为等差、等比数列来求和2、 掌握非等差、等比数列求和的常用方法：裂项相消、错位相减、倒序相加 二、基础知识回顾与梳理1、 已知等差数列{}n a 的通项公式12+=n a n ，则{}n a 的前n 项和n S =_______,设2n S nnb =，则数列{}n b 的前n 和=n T ______________．【教学建议】本题主要是帮助学生复习等差、等比数列的前n 项和公式，教学时建议（1）让学生说出公式中字母的含义（2）教师引导学生观察等差数列的通项公式和前n 项和公式的特征以及等比数列的通项公式和前n 项和的特征（3）教学时特别强调公比为1的等比数列的前n 项和，如：求和：n x x x ++++Λ21 2、 已知数列11111,2,3,424816，...,请写出此数列的一个通项公式n a = ； 由此，该数列的前n 项和n S = .【教学建议】本题主要是让学生明白数列求和先看数列的通项，考察学生的观察能力，把通项转化为等差的通项与等比的通项的和与差，从而把和转化为等差与等比数列的和与差．帮助学生复习数列求和的一种常用方法———分组求和法.教学时强调要注意等差、等比数列的基本量． 3、 求和=+⋅++⋅+⋅+⋅)1(1431321211n n Λ ． 【教学建议】本题主要是帮助学生复习裂项相消法，本题的通项既非等差，也非等比，也不是等差加减等比，教学时建议（1）可以引导学生如何将此题无限项的和转化为有限项的和，发现通项的特点。
从而引出求和的一种常用方法——裂项相消法（2）注意通项裂项的等价性如：)111(21)2(1+-=+⋅n n n n （3）注意观察最终前后保留的项．4、求和：n n 223222132⋅++⋅+⋅+⋅Λ= ．【教学建议】本题主要是帮助学生复习错位相消法，教学时建议（1）引导学生观察通项的特点是等差⨯等比，引导学生如何从中得到等差数列或等比数列的求和，从而得到求和的一种常用方法——错位相减法；（2）教学时强调书写格式及步骤即先两边同乘公比再错位书写再相减，且注意尾巴不能漏减（3）相减之后要注意所产生的等比数列的项数不能数错（4）强调不能遗忘将左边的n S 前的系数移到右边来作为分母（5）最后的结果一定要化简到位．5、 【教学建议】本题主要是帮助学生复习回顾倒序相加法，教学时建议（1）可先回顾一下等差数列前n 项和的推倒过程；（2）明确用此方法的数列的特点：kn k n n n a a a a a a a a ----+==+=+=+Λ332211（),0*∈<<N k n k ．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并将解答过程写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分学生的解答，了解学生的思路及主要错误。
课前让学生板演在黑板上，课上让学生说明思路从而展现学生的错误，通过4条诊断练习，帮助学生将求和的问题系统化．掌握数列求和的思路以及数列求和的几种常用方法．2、诊断练习点评题1：等比数列}{n a 中，211=a ，44=a ，则数列{}2n a 的前n 项和 n S = ．答案为 1214-n 【分析与点评】本题应分析出{}2na 为等比数列，然后依据求和公式求数列的和．_______89sin 88sin ...3sin 2sin 1sin 22222=+++++题2求和1111122334(1)n n ++++=+L g g g _____________． 【分析与点评】观察通项的特点,形如11n n a a +形式，优先选择裂项相消法求和变式求和，要弄清裂项相消后剩下的项是什么？题3、数列1,1+2,1+2+22，1+2+3222+，，⋅⋅⋅1+2+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++-,222132n 的前n 项和为 ．【分析与点评】强调观察通项的特点，抓住通项对其求和，转化为等比与等差的分组求和的形式． 变式：已知数列{}n a ：,,434241,3231,21⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++,109103102101，那么数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+11n n n a a b 的前n 项和n s 为 题4：求和：123 (2482)n n++++=_____________． 【分析与点评】（1）问学生此题中通项的等差等比数列分别是什么，特别是等比数列的公比要明确（2）引导学生最好将数列的通项改写成等差与等比数列的乘积（3）学生板演，强调书写格式及最终结果． 3、要点归纳（1）数列求和首先看通项公式、根据通项公式的特点选择相应的方法，如果通项公式比较复杂，先对通项公式进行化简（2）数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、分项求和法；分组求和法的通项公式特点是等差+（-）等比；错位相减法的通项公式特点是等差⨯等比；裂项相消法中常用到一个公式1111()n()n k k n n k =-++ 及)(11n k n kn k n -+=++；分组求和法的特点是需对通项公式中的n 进行奇偶讨论．（3）注意在运用等差、等比数列的前n 项和公式时，公式中各个字母所代表的含义． 四、范例导析例1：已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，nS b n n =。
（1） 求证：数列}{n b 是等差数列； （2） 若77=S ，7515=S ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。
【教学处理】让学生板演，师生共同点评，找出问题。
【引导分析与精讲建议】本题第（1）问考查等差数列的定义及求和公式，注意n b 中n 是变量，d b ,1是常数；第（2）问的求和问题，先求出基本量，再利用公式法解决。
【备用题】已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1,2,3a a a 成等比数列，（1） 求数列{}n a 的通项；（2） 记2n an b n =+，求数列{}n b 前n 项的和n S ．对于（2），提问学生{}n b 通项有什么特点应选择什么样的方法．教学时建议补充变式题：若()()012n n a nn =⎧⎪=⎨≥⎪⎩，记2nan b n =+，求数列{}n b 前n n 项的和n S ．例2、 求和 （1）1111133557(21)(21)n n ++++⋅⋅⋅-+L ； （2）11321211+++++++n n Λ；（3）求和：n na a a a ++++Λ3232（其中a 为常数）．【教学处理】可以先让学生观察通项的特点选择方法，第（1）(2)问问学生如何化简通项公式，然后让学生上黑板板演，第（3）题提问学生应选择什么样的方法，然后请学生板演． 【引导分析与精讲建议】1、对于（1）问学生如何裂项？学生易错点在于没有将2n 看成整体灵活运用公式，会漏掉21． 2、对于第（2）题可引导学生用分母有理化的方法去裂项．3、（1）（2）两题对好班的学生可适当的延伸拓展为一般形式：如{}n a 为首项公差均不为0的等差数列， 求和13221111111+=++++=∑n n ni i i a a a a a a a a Λ．11322111111+=+++++++=+∑n n ni i i a a a a a a a a Λ，即裂项相消法适合于形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 、⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++11n n a a 的数列求和，其中{}n a 为等差数列，且首项不为0，公差不为0；裂项形式为)11(1111++-=n n n n a a d a a ，)(1111n n n n a a da a -=+++．4、对于裂项求和（1）（2）没有对最后前后保留的项设置难度，教学时建议补充变式题：)2(1531421311+⋅++⨯+⨯+⨯n n Λ． 5、让学生先做，在学生犯错的基础上进行分析讲解，学生会漏掉讨论1,0==a a 的情况。
培养学生当遇到有字母的题目要有讨论的意识且要不重不漏。
1≠a 时用错位相减法，此时要重点观察学生的书写格式及最终结果的最简化．例3、已知对于数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）由题设可知：14238a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，可解得：1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）由341a a q =，得公比2q =，故1112n n n a a q --==．（2（1） 如何求通项公式的常见类型。
让学生思考：要求等差数列数列的通项公式，需要求什么。
（2） 数列求和的关键是什么？ 【引导分析与精讲建议】（1）题干条件给了什么，如何理解“递增”，求等比数列的通项公式关键求什么？ （2）数列求和的关键点是什么？ 五、解题反思1、数列求和先看通项，根据通项的特点选择相应的方法（1）如果通项的特点是等差+（-）等比，那么选择分组求和法；（2）如果通项的特点是等差⨯等比，那么选择错位相减法；错位相减法重在算到底；（3）如果通项既非等差也非等比，也不是等差+（-）等比和等差⨯等比，则可以考虑裂项相消或倒序相加，根据题目的特点选择相应的方法．2、在利用等差、等比的求和公式时，要数清项数，公比如果是字母，需对它进行讨论． 4、裂项相消法中常用的公式1111()()n n k k n n k =-++，，)(11n k n kn k n -+=++，注意整体思想的运用．。