人教B版高中数学必修1创新设计课件2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

2．用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，使 f(a)f(b)<0 . a＋b (2)求区间(a，b)的中点，x1＝ 2 . (3)计算 f(x1)． ①若 f(x1)＝0，则 x1就是函数的零点 ； ②若 f(a)· f(x1)<0，则令 b＝x1(此时零点 x0∈( a，x1 ))； ③若 f(x1)· f(b)<0，则令 a＝x1(此时零点 x0∈( x1，b ))．
[思路探索] 用二分法求零点的步骤完成．
解 因为 f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以存在 x1∈(1,2)，使 f(x1)＝0. 用二分法逐次计算，列表如下：
端点(中点)坐标 端点或中点函数值 f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0 (1,2) 1＋2 x1 ＝ ＝1.5 2 f(1.5)＝－2.625<0 (1.5,2) (1.5,1.75) 取区间
自学导引 1．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间
的两个端点 逐步逼近为零点 ，进而得到零点近似值的方法叫 做二分法．由函数的零点与相)若 f(a)· f(b)>0，且函数在[a，b]上连续且单调，则函数 y ＝f(x)在(a，b)内一定没有零点； (3)若 f(a)· f(b)>0，且函数在[a，b]上不单调，则零点情况不 确定．
2．二分法 (1)二分法的实质就是通过选取中点将区间一分为二逐次逼 近． (2)在没有公式可用来求方程根时，可联系相关函数，用二 分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解． (3)并不是所有的函数都可以用二分法求零点，二分法只能 求出函数的变号零点．不变号零点则不能用二分法求解．
1.5＋2 x2 ＝ ＝1.75 f(1.75)≈0.234 4>0 2 1.5＋1.75 x3 ＝ ＝ 2 1.625 f(1.625)≈－1.302 7<0
(1.625，1.75)
端点或中点 端点(中点)坐标 函数值 1.625＋1.75 x4 ＝ ＝1.687 5 f(1.687 5)≈ 2 1.687 5＋1.75 －0.561 8<0 x5 ＝ 2 f(1.718 ＝1.718 75 75)≈－ 1.718 75＋1.75 x6 ＝ 2 0.170 7<0 ＝1.734 375 f(1.734 1.718 75＋1.734 375 x7 ＝ 375)≈0.030 2 09>0 ＝1.726 562 5 f(1.726 562
2 1 1 ＝ ＋2x 在( ，8)上恒大于零，所以该方程在( ，8)上不存在零 x 2 2 点． (2)令 f(x)＝x3－x－1， ∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0， ∴f(－1)· f(2)<0，∴f(x)＝x3－x－1 在[1,2]上存在零点．
题型二 二分法求函数零点近似解 【例 2】 求函数 f(x)＝x3＋2x2－3x－6 的一个为正数的零点 (精确度 0.01)．
(4)继续实施上述步骤，直到区间 [an，bn] ，函数的零点总 位于区间 [an，bn] 上， 当 an 和 bn 按照给定的精确度所取的近似 值相同时，这个相同的近似值就是函数 y＝f(x)的近似零点，计 算终止．这时函数 y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．
试一试：若二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0，有两根，其中 一根在区间(－1,0)内，如何求 m 的取值范围？ 提示 令 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则函数与 x 轴有两个交 点，一根在(－1,0)内，则 f(－1)· f(0)<0，可求得 m 的取值范围． 想一想：函数 f(x)在区间[a，b]上连续，若 f(a)· f(b)>0，函 数在[a，b]上一定有零点吗？ 提示 不一定，可能没有零点，也可能有一个不变号零点， 也可能有多个变号零点．
名师点睛 1．函数 f(x)在区间[a，b]上的零点 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，并且有 f(a)· f(b)<0，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有 零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x) ＝0 的根． (1)应用该方法只有判定在(a，b)上至少存在一个变号零点， 但不能判断零点的个数．
题型一 判断函数零点所在区间 【例 1】 用“二分法”求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2,3] 内的实根，取区间中点为 x0＝2.5，那么下一个有根的区间是 ________．
[思路探索] 属于“二分法”思想判断区间．
解析 令 f(x)＝x3－2x－5，可知 f(2)＝－1，f(3)＝16.因为 45 f(2.5)＝ >0，显然下一个有根的区间为(2,2.5)． 8
2．4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
【课标要求】 1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变 号零点的存在． 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的 过程作出程式化的步骤． 【核心扫描】 1．二分法的原理．(重点、难点) 2．二分法求变号零点结束条件的判断．(难点)
答案：(2,2.5)
规律方法 函数 f(x)在[a，b]内连续，f(a)· f(b)<0，则在[a， b]上一定有一变号零点．
【训练 1】 判断下列方程在区间上是否存在零点． 2 (1) ＋2x＝0 x 1 x∈( ，8) 2
(2)x3－x－1＝0 x∈[－1,2] 2 1 65 解 (1)令 f(x)＝ ＋2x，则 f( )＝5>0，f(8)＝ >0，且 f(x) x 2 4
(4)用二分法求方程解的理论依据是：函数在某一个单调区 间上有正值和负值，则必有零值．要想判断出某根所在区间我 们需先画出方程所对应的函数的图象，除此之外，还应注意所 找的区间应是函数的单调区间．如果方程所对应的函数的图象 很难画出， 我们可以将方程化为 f(x)＝g(x)的形式(其中 f(x)， g(x) 的图象容易画出)，作出函数 f(x)，g(x)的图象，此时，两个函数 图象的交点的横坐标就是方程的解．可以通过图象找出根所在 的大体区间，再用二分法求解．