离散数学 第六讲new
合集下载
离散数学6课件
注：真子集的符号化：BA (BA)∧(B A)。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
§6.1 集合的基本概念
5.空集(Def6.4)：不含任何元素的集合称为空集，记为Ø 注: 1. 空集的符号化：Ø ={x|x x }。 2. Th6.1 空集是一切集合的子集。（证明见教材P85）。 3. Cor 空集是唯一的。（证明见教材P85）。
§6.3 有穷集的计数
集合间的关系与运算的表示：文氏图(Venn Diagrams)
E
B
A
E
AB
E
AB
E
AB
A∩B=
E
AB
A∩B
A∩B=A
E
A
~A
A-B
E
AB
AB
A={a，b，…，z}
Z={0，-1，1，-2，2，…}
D={a，{a}，{a，b}}集合中的元素还可以是集合。
谓词表示法：用谓词来描述集合中元素的性质。
如：B={x | x∈R ∧(x-1=0)} 描述法
={x | F(x)∧G(x)}
谓词描述法
设F(x):x∈R ,G(x):x-1=0 .
集合的性质：
第六章Biblioteka 集合代数6.1 集合的基本概念 6.2 集合的运算 6.3 有穷集合的计数 6.4集合恒等式
§6.1 集合的基本概念
1.集合：将一些事物汇集到一起组成的整体，其中每个事物称为这个集合 的元素。
注：如果x是集合A的元素，则记为xA 。
集合的表示方法：列元素法和谓词表示法
列元素法：列出集合的所有元素或部分元素，可用于有限集和有一定 规律的无限集。如：
6.n元集：含有n个元素的集合。它共有2n个子集合。 例 6.1 设A={1,2,3},求A的所有子集合。 7.集合A的幂集(Def6.5)：由A的所有子集作为元素形成的集合。记为P(A)或2A 。
离散数学 第六章的 ppt课件
符号化表示为：B A x ( xB xA ) B ⊈ A x ( xB xA )
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
26
6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
26
6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
第六讲特征序列和线段
第六讲特征序列和线段特征序列和线段是离散数学和计算机科学中常用的概念和工具。
在这篇文章中，我将为您介绍特征序列和线段的定义、性质和应用。
一、特征序列特征序列是指一列经典特征的组合，它们通常用来描述一些对象或过程的特性。
特征序列的不同特征可以有不同的取值，比如布尔型、整型、浮点型等。
这些特征构成了一个有限长的序列，可以被表示为一个向量。
特征序列在计算机视觉、自然语言处理等领域中被广泛应用。
特征序列的性质：1.特征序列可以被表示为一个向量，便于计算和存储。
2.不同的特征序列可以通过一定的度量方法进行相似度比较，用来判断它们的相似程度。
3.特征序列可以通过一系列的计算和处理得到，比如特征提取、特征选择和特征降维等。
特征序列的应用：1.特征序列可以用来描述图像、视频和音频等多媒体数据的特征，用于图像识别、人脸识别和语音识别等任务。
2.特征序列可以用来描述文本的特征，比如词频、词性和句法结构等，用于文本分类、情感分析和机器翻译等任务。
3.特征序列可以用来描述网络和社交媒体数据的特征，比如用户行为和网络拓扑结构等，用于网络分析、社交推荐和信息检索等任务。
二、线段线段是指在数学和几何中定义的一段有限长的直线段。
线段有两个端点和一条连接两个端点的直线，可以表示为一个有序对。
线段的长度是端点之间的距离，可以根据勾股定理计算得出。
线段的性质：1.线段有方向性，可以表示为有向线段。
有向线段的长度是有方向的，可以通过加上一个负号来反转方向。
2.线段可以进行各种运算，比如加法、减法和乘法等。
这些运算可以根据线段的定义和性质进行计算得出。
3.线段可以通过一系列的变换和处理得到，比如平移、旋转和缩放等。
这些变换可以改变线段的位置、方向和长度。
线段的应用：1.线段可以用来描述物体的形状和轮廓，比如在计算机图形学中用来构造三维物体的表面和体素。
2.线段可以用来描述路径和运动轨迹，比如在机器人导航和运动规划中用来规划机器人的运动路径。
离散数学讲义(第6章)
18
6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
26
离散数学微课版第六章课后答案
离散数学微课版第六章课后答案离散数学是一门重要的数学课程，它涉及数学中的许多基本概念，如逻辑、集合、函数和图论。
离散数学微课版第六章的主要内容是图论，图论是离散数学的重要组成部分。
本章主要讨论了图的基本概念、图的结构和图的表示方法。
图的基本概念是指图的元素，它由顶点和边组成。
顶点是图中的一个点，它可以是一个实体或一个抽象的概念，而边是两个顶点之间的关系。
图的结构是指图中顶点和边之间的关系，它可以是连通的、无向的或有向的。
连通的图中，任意两个顶点都有一条路径可以相连；无向图中，边的两个顶点之间没有方向性；有向图中，边的两个顶点之间有方向性。
图的表示方法有多种，其中最常用的是邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，它用来表示图中顶点之间的关系，如果顶点u和v之间有边，那么矩阵中的对应元素为1，否则为0；而邻接表则用一维数组来表示图中顶点之间的关系，它将每个顶点与其相邻顶点列出来，以此来表示图中的边。
离散数学微课版第六章课后答案是指离散数学微课版第六章的课后习题答案，其中包括了有关图的基本概念、图的结构和图的表示方法的习题。
答案可以帮助学生更好地理解图论的概念，并能够熟练地使用图的表示方法。
本章的课后习题答案可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
首先，学生需要了解图的基本概念，包括顶点和边，并能够识别连通图、无向图和有向图；其次，学生需要了解图的表示方法，包括邻接矩阵和邻接表，并能够熟练地使用它们。
离散数学微课版第六章课后答案的重要性在于，它可以帮助学生更好地理解图论，并能够熟练地使用图的表示方法。
此外，它还可以帮助学生更好地学习离散数学，掌握离散数学中的重要概念和方法，从而为今后的学习和应用打下坚实的基础。
《离散数学》第六章 集合代数上课讲义
元素a属于集合A，记作a∈A。 元素a不属于集合A ，记作a∉ A
(元素无次序、不重复)
集合的特征 ¾ 确定性 ¾ 互异性 {1,2,3,2,4} = {1,2,3,4} ¾ 无序性 {4,2,1,3 } = {1,2,3,4}
A
1 {2,3} {{4}}
本书规定： 1、集合元素都是集
2 3 {4}
A=B Ù A ⊆ B ∧ B ⊆ A
如果A和B不相等，则记作A≠B。
实例
判断A＝B？ 1.
2.{1,2,4}和{1,2,2,4} 3.{1,2,4}和{1,4,2} 4.{{1,2},4}和{1,4,2} 5.{1,3,5,…}和{x|x是正奇数}
真子集
定义6.3 设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A 的真子集。记作B⊂ A。 真子集的符号化表示为：
例如：设A={{1,2,3},{1,3,4},{1,4,5}}, B={{0}}, C={1,{2,3}}
则∩A={1}，∩B={0}和∩C=1∩{2,3}。 不难证明：若R ={A1，A2，… ，An}，则
∩R = A1∩A2∩ … ∩An 特别强调： φ不可以进行广义交运算。
集合运算的优先级：
对称差
定义6.9 A与B的对称差是 A⊕B＝（A∪B）-（A∩B） ＝（A-B）∪（B-A）
例: A＝{0,1,2}，B＝{2,3}， 则有 A⊕B＝{0,1}∪{3}＝{0,1,3｝
或A⊕B＝{0,1,2,3}-{2}= {0,1,3｝
文氏图（John Venn）
E AB
A∩B=∅
E AB
E AB
空集是一切集合的子集
定理6.1 空集是一切集合的子集． 证明：对于任何集合A，有子集定义有
(元素无次序、不重复)
集合的特征 ¾ 确定性 ¾ 互异性 {1,2,3,2,4} = {1,2,3,4} ¾ 无序性 {4,2,1,3 } = {1,2,3,4}
A
1 {2,3} {{4}}
本书规定： 1、集合元素都是集
2 3 {4}
A=B Ù A ⊆ B ∧ B ⊆ A
如果A和B不相等，则记作A≠B。
实例
判断A＝B？ 1.
2.{1,2,4}和{1,2,2,4} 3.{1,2,4}和{1,4,2} 4.{{1,2},4}和{1,4,2} 5.{1,3,5,…}和{x|x是正奇数}
真子集
定义6.3 设A，B为集合，如果B⊆A且B≠A，则称B是A 的真子集。记作B⊂ A。 真子集的符号化表示为：
例如：设A={{1,2,3},{1,3,4},{1,4,5}}, B={{0}}, C={1,{2,3}}
则∩A={1}，∩B={0}和∩C=1∩{2,3}。 不难证明：若R ={A1，A2，… ，An}，则
∩R = A1∩A2∩ … ∩An 特别强调： φ不可以进行广义交运算。
集合运算的优先级：
对称差
定义6.9 A与B的对称差是 A⊕B＝（A∪B）-（A∩B） ＝（A-B）∪（B-A）
例: A＝{0,1,2}，B＝{2,3}， 则有 A⊕B＝{0,1}∪{3}＝{0,1,3｝
或A⊕B＝{0,1,2,3}-{2}= {0,1,3｝
文氏图（John Venn）
E AB
A∩B=∅
E AB
E AB
空集是一切集合的子集
定理6.1 空集是一切集合的子集． 证明：对于任何集合A，有子集定义有
离散数学第六章的课件
05 离散随机变量
随机变量的定义与性质
随机变量定义
随机变量是从样本空间到实数的可测 函数，用于描述随机现象的结果。
随机变量性质
随机变量具有可测性、可加性和可数 性等性质，这些性质在概率论和统计 学中具有重要应用。
离散概率分布
离散概率分布定义
离散概率分布描述的是随机变量取离散值时的概率规律，通 常用概率质量函数或概率函数表示。
离散概率分布性质
离散概率分布具有非负性、归一性和可数性等性质，这些性 质是离散概率分布的基本要求。
期望与方差
期望定义
期望是随机变量所有可能取值 的概率加权和，是描述随机变 量取值“平均水平”的重要指
标。
期望性质
期望具有线性性、可加性和正 定性等性质，这些性质在概率 论和统计学中具有重要应用。
方差定义
感谢您的观看
THANKS
方差是描述随机变量取值分散 程度的重要指标，是随机变量 与期望之差的平方的期望。
方差性质
方差具有非负性、归一性和可 加性等性质，这些性质是方差
的基本要求。
06 离散概率论的应用
蒙提霍尔问题
总结词
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题，涉 及到概率论中的独立性概念和组合数学。
详细描述
蒙提霍尔问题是一个经典的组合数学问题， 它涉及到概率论中的独立性概念。该问题问 的是，如果有n个盒子，每个盒子被选中的 概率是1/2，那么在最优策略下，选中至少 一个盒子的最有可能的盒子数是多少？这个 问题涉及到概率论中的独立性概念和组合数
学。
抓阉问题
要点一
总结词
抓阉问题是一个经典的离散概率论问题，涉及到概率论中 的随机性和独立性概念。
要点二
离散数学第六章PPT课件
对任意e∈E(G) , 若G – e仍连通，则说明G中含
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
2021/3/9
授课：XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
2021/3/9
授课：XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
2021/3/9
授课：XXX
9
树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课：XXX
8
树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
2021/3/9
授课：XXX
10
少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
2021/3/9
授课：XXX
14
§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
2021/3/9
授课：XXX
9
树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
2021/3/9
授课：XXX
8
树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
离散数学第六章课件
2018/11/12 4
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
2.格
定义6-1.1格：设<A,≤>是一个偏序集，如果 A中任意两个元素都存在着最大下界和最小上 界，则称<A，≤>是格。
以上5个图中，任何两个元素都有最小上界和最大下界
2018/11/12 5
格的判定
例6-1.1 判断下列偏序集是否是格？
e
e d
f b c
d
c
a b
2018/11/12 3
最小上界、最大下界
最小上界：设<A,≤>为一偏序集且BA，a为 B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y,则 称a为B的最小上界（上确界），记作LUB B
最大下界：若b为B的任一下界，若对B的所有 下界z，均有z≤b,则称b为B的最大下界（下确 界），记作GLB B 把具有两个元素集合{a,b}的最小上界（最大 下界）称为元素a,b的最小上界（最大下界）
2018/11/12 15
6.格相关的性质定理
定理6-1.1 在一个格<A，≤>，对于任意的a,b 结论很有用！！！ A，都有 a≤a∨b, b≤a∨b a∧b≤a, a∧b≤b
证明： a和b的并是a、b的最小上界，所以 a≤a∨b 同理 b≤a∨b 由对偶原理： a∧b≤a, a∧b≤b
子格判定
注意证明方法
例6-1.4：<s,≤>是一个格，任取a s,构造s的 子集：T={x|xs且x≤a},则<T,≤>是<s,≤>的 子格.
证明：对于任意的x,yT，必有x≤a,y≤a a是x,y的上界,最小上界≤任一上界 x∨y≤a x∧y≤x≤a 所以x∨yT， x∧yT <T,≤>是<s,≤>的子格
06离散数学课件资料
2024/7/3
离散数学
10
二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。
离散数学第六版讲解
离散数学第六版讲解
离散数学第六版主要研究一些不连续的数学问题，是研究离散量的结构及相互关系的学科，具有很强的抽象性。
离散数学的特征包括离散性、可构造性和抽象性。
离散性是指以离散量为研究对象，可构造性则是指在求解中注重过程与步骤，且步骤是有限的、有规则的，易于进行算法描述。
抽象性则体现在数值vs. 元素、运算vs. 关系以及研究推理的抽象性与形式化。
离散数学是计算机、软件专业本科生必修的专业基础课，一方面给后继课，如“数据结构”、“编译系统”、“操作系统”、“数据库原理”等提供必要的科学基础；另一方面，通过学习离散数学，培养和提高了同学们的抽象思维和逻辑推理能力，为大家今后继续学习和工作打下坚实的数学基础。
此外，网络上也有很多关于离散数学的讲解视频，如东北大学的《离散数学》课程、屈婉玲主讲的《离散数学》课程等。
这些视频可以帮助你更深入地理解离散数学的概念和应用。
以上内容仅供参考，建议查阅离散数学相关书籍获取更全面和准确的信息。
离散数学第六章 集合-自然数与自然数集
第二归纳法
若 n=0时命题成立， 假定当n 小于等于k 时命题成立，可以证明 n等于k+1 时命题也成立。
则对于一切自然数命题成立。
这种归纳方法又叫第二归纳法。
性质
①设n1,n2和n3是三个任意的自然数，若
n1∊n2,n2∊n3，则n1∊n3 。 ②设n1和n2是两个任意的自然数，则下述三个 式中有一个成立： n1∊n2, n1=n2, n2∊n1 ③设S是自然数集的任意非空子集，则存在 n0∊S ，使得n0∩S=Ø。
后继、前驱
对于任意两个自然数m和n， 如果m=n+，即 m=n∪{n}， 称m为n的后继，可以记为 m=n+1， 也称n为m的前驱，也可以记为 n=m-1。
自然数集 N
定义3 存在一个由所有自然数组成的集 合叫自然数集，记为
N
皮亚诺公设(Peano’s Axioms)
设N表示自然数集。则： 1．0∊N 2．如果n∊N，那么n+∊N ， 3．0不是任何自然数集的后继，即不存在自然数m∊N ，使得0=m+。 4．n和m均是自然数，如果n+=m+，那么n=m。 5．如S是N的子集，有性质 (1) 0∊S, (2) 如果n∊S，那么n+∊S ， 则有 S=N。
6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥原理
证明：对m用归纳法。 若m=n+，则 n∊m成立, 此时有n+=m 。 归纳假设对任意的m， 若n∊m，则n+=m，或者n+∊m之一成立。 考察m+=m∪{m}, 若n ∊m+={m}∪m， n ∊{m}∪m
n =m n+ =m+
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8
2 性质： (1) 设f : AB上，则f·A=IB· I f=f (函数的相等：①定义在相同的集合上 ②在定义域内任取一点，两个函数的函数值相等) 证明： ① f·A： AB上， IB· AB上 I f： ②对任意的a∈A, 有: (f·A)(a) = f(IA(a)) = f(a) I (IB· f)(a) = IB (f(a)) = f(a) ∴f·A=IB· I f=f
a A b B c C
26
1
若A本身就是一个笛卡尔积A1×A2× …×An， 那么A中元素在函数f作用下的像f((a1,a2,…,an))简 写为f(a1,a2,…,an).
注：判断一个关系是否是函数，主要看 1. 像的存在性 2. 像的唯一性
例：书P56 例1— 3
2
性质：定义在AB上的不同的函数有#B#A种。 证明：f={(a1,?), (a2,?), …,(an,?)} ?可取B中的任一元素，共有#B种不同的取法. ∴共有#B×#B× …×#B= #B#A种不同的取法 ∴共有#B#A种不同的函数 例：书P57 例6 证明：mn<2 m×n , nm< 2 m×n (m,n为自然数)
(1)满射 (2)既不内射，又不满射 (3)内射 (4)双射 (5) 双射
0 0 -1 1 1 2 -2 3 2 4
21
2 (1) (2) (3) (4)
设A、B是集合，且#A=3，#B=4，则 可定义多少种A B的函数？ 可定义多少种A B的内射函数？ 可定义多少种A A的双射函数？ 可定义多少种BA的满射函数？
9
(2) 可结合性： f : AB上， g : BC上, h : CD上, 则 (h· f = h· f) g)· (g· 证明：① h· : BD , (h· f : AD g g)· g· : AC , h· f) : AD f (g· ②对任意的a∈A, 有: ((h· f )(a) = (h· g)· g)(f(a)) = h(g(f(a))) (h· f))(a) = h((g· (g· f)(a))=h(g(f(a))) ∴(h· f = h· f) g)· (g·
12
证明(2) 设任一元素c∈C, ∵g是满射 ∴必存在某 一b ∈ B, 使得g(b)=c, 又∵ f也是满射 ∴必存在某 一a ∈ A, 使得f(a)=b, ∴有(gf)(a) = g(f(a)) = g(b) = c ∴对C中任一元素c，在A中都存在一个a, 使得 (gf)(a) = c ∴ gf是满射 f g
c
C
18
(2) h内射 (反证) 假设h不是内射, 则存在ci,cj∈C 且ci≠cj, 有h(ci)=h(cj)=d ∵g是满射 ∴有bi, bj, 使g(bi)=ci, g(bj)=cj, 又∵g是内射 ∴ bi ≠ bj ∴由复合函数的定义有：hg(bi)=h(g(bi))=h(ci)=d hg(bj)=h(g(bj))=h(cj)=d ∴hg不是内射，与hg是双 射矛盾 ∴ h是内射 g h d bi ci bj cj
6
例：书P57 例7— 9 四、恒等函数： IA：A上的恒等关系，IA={(a, a)|a∈A}, 则IA是一个函数，且是一个双射函数，称IA是 集合A上的恒等函数。
7
§3.2 函数的复合
一、函数的复合： 1 定义：设f1: AB上, f2: BC上, 则f1对f2的复 合记为：f2· f1： AC上, f2· f1={(a,c)|a∈A, c∈C, 且存在一个b∈B, 使 f1(a)=b, f2(b)=c} 即: (f2· f1)(a) = f2(f1(a)) = f2(b) = c 例：书P59 例1— 3
4
二、函数的相等 设 f: AB上, g: CD上,若①A=C；②B=D； ③对任一a∈A, 均有f(a)=g(a), 则称函数f 与g相等。 记为f=g
三、三种特殊的函数
5
设f: AB上, 若ai≠aj, 有f(ai)≠f(aj), 则称f是内射； (不允许多对一，像源唯一，#A≤#B) 若Rf=B, 则称f是满射； (B中每个元素均有像源，#B≤#A) 若f既是内射，又是满射，则称f是双射(一一映射) (#A= #B)
B
C
D
19
作业：P85 2， P86 9,10,15 P88 36 习题： 1 判断下列函数哪些是内射、满射、双射？ (1) g: R {-1,0,1} -1 , x<0 0 , x=0 1 , x&h: R R , h(x)=x2 : B (其中B≠ ) : f: I Z 2|i|-1, x<0 f(i) = 2|i| , x≥0 (2) (3) (4) (5)
· · · · B
· · ·
A
24
3 设f : AB 上函数， g : BC上函数，若gf是 满射，且g是内射，则f是满射。
25
3 设f : AB 上函数， g : BC上函数，若gf是 满射，且g是内射，则f是满射。
证明：在B中任取一点b, ∵ g 是BC上函数 ∴必有c∈C, 使g(b)=c. 又∵ gf 是AC上的满射， ∴必有a∈A, 使 gf(a) = c ∴g (f(a)) = g(b) ∵ g 是内射 ∴f(a) = b ∴ 对任意b ∈ B ,必有a ∈ A ,使f(a)=b ∴f是满射 f g
15
证明(2) 对于任意的c∈C, ∵gf是满射 ∴必存在 某一a∈ A, 使得 c=(gf)(a) = g(f(a)) 而f(a) ∈B, 记 b=f(a) ∈B, 从而有c=g(b) ∴ 对任一c∈C, 都存在b∈B, 使得g(b)=c ∴g是满射 f g a f(a) c b A B C
16
3
证明：左边：m= #B, n=#A, 则mn: AB上的不同 的函数个数，而2 m×n为AB上的不同的关系个 数。 即：关系 : AB上：2#A× #B 函数f: AB上: #B#A ∴ mn<2 m×n 同理可证： nm< 2 m×n 一一对应：500名乒乓球运动员进行淘汰赛，总 共需进行多少场比赛？
证明(3) ∵gf是双射 ∴ gf既是内射，又是满射 ∴由(1)、(2)可得结论正确。 例：P61 例6 f : AB上， g : BC上, h : CD上, gf和hg都 是双射，证明：f、g、h都是双射。 证明： gf双射f内射，g满射 hg双射g内射，h满射 只需证：f满射，h内射
第三章
函数
§3.1 函 数 一、定义：设: AB上，若对所有的a∈A,均 有b∈B, 使得a b, 而且b是唯一的，这样的就称 为AB上的函数，又称映射。记为f: AB上. f的定义域Df=A , f的值域Rf B, B称为f 的值域包 Rf通常记为f(A), 则 f(A)={b|b∈B, 存在a∈A, 使f(a)=b} 称b是a的像，a是b的像源，a也称自变量
17
证明(1) f满射： 对任意b ∈ B ∵g是函数 ∴有g(b)=c 又∵gf是满射 ∴ 对于c必存在a∈A， 使得gf(a)=c 即：gf(a)=g(b) ∴g(f(a))=g(b) ∵g是内射 ∴必有f(a)=b ∴ 对任意的b∈B,必有a∈A,使f(a)＝b ∴f 是满射 f g
a
A
b
B
a A
b
c
B
C
13
证明(3) ∵f和g都是双射，因此它们既是内射，又 是满射，由(1)和(2)知：gf既是内射又是满射， ∴ gf是双射 定理: (1)若gf是内射，则f是内射； (2)若gf是满射，则g是满射； (3)若gf是双射，则f是内射，g是满射。
14
证明(1) 假设f不是内射, 则必存在两个元素 ai,aj∈A, ai ≠ aj ,而f(ai)=f(aj)=b, 则由复合函数的 定义知： (gf)(ai) = g(f(ai)) = g(b) (gf)(aj) = g(f(aj)) = g(b) (gf)(ai) = (gf)(aj) , 与gf是内射矛盾 ∴ f是内射
22
(1) #B#A=43=64 (2) P43=4×3×2=24
· · · A
· · · A
· · · · B
4个中任取 3个，与A 中的3个元 素配对
(3) 3!=6
· · · A
元素1：3种选择 元素2：2种选择 元素3：1种选择
23
(4) 若将B中的2个元素“合并” 成1个元素，则可认为是3 3 个元素的双射函数，共有3!种. 而4个元素“合并”成3 个元素的 2 方法共有C4 =6 2 ∴共有C4 · 3！=36
10
推论：f : A上，f· 2, 记f· · = fn f=f f·f · 例：书P60 例4 幂等函数： f : A上，若f2=f，则称f是幂等函数。 n 若f是幂等函数，则f =f (用数学归纳法证明)
11
3 定理： (1) 若f和g都是内射，则gf也是内射； (2) 若f和g都是满射，则gf也是满射； (3) 若f和g都是双射，则gf也是双射； 证明(1) 设ai, aj ∈A, 且ai ≠ aj ,∵f是内射 ∴f(ai) ≠ f(aj) , 又∵ g是内射 ∴ g(f(ai))≠g(f(aj)) 因此 (gf)(ai)≠ (gf)(aj) ∴ gf是内射
2 性质： (1) 设f : AB上，则f·A=IB· I f=f (函数的相等：①定义在相同的集合上 ②在定义域内任取一点，两个函数的函数值相等) 证明： ① f·A： AB上， IB· AB上 I f： ②对任意的a∈A, 有: (f·A)(a) = f(IA(a)) = f(a) I (IB· f)(a) = IB (f(a)) = f(a) ∴f·A=IB· I f=f
a A b B c C
26
1
若A本身就是一个笛卡尔积A1×A2× …×An， 那么A中元素在函数f作用下的像f((a1,a2,…,an))简 写为f(a1,a2,…,an).
注：判断一个关系是否是函数，主要看 1. 像的存在性 2. 像的唯一性
例：书P56 例1— 3
2
性质：定义在AB上的不同的函数有#B#A种。 证明：f={(a1,?), (a2,?), …,(an,?)} ?可取B中的任一元素，共有#B种不同的取法. ∴共有#B×#B× …×#B= #B#A种不同的取法 ∴共有#B#A种不同的函数 例：书P57 例6 证明：mn<2 m×n , nm< 2 m×n (m,n为自然数)
(1)满射 (2)既不内射，又不满射 (3)内射 (4)双射 (5) 双射
0 0 -1 1 1 2 -2 3 2 4
21
2 (1) (2) (3) (4)
设A、B是集合，且#A=3，#B=4，则 可定义多少种A B的函数？ 可定义多少种A B的内射函数？ 可定义多少种A A的双射函数？ 可定义多少种BA的满射函数？
9
(2) 可结合性： f : AB上， g : BC上, h : CD上, 则 (h· f = h· f) g)· (g· 证明：① h· : BD , (h· f : AD g g)· g· : AC , h· f) : AD f (g· ②对任意的a∈A, 有: ((h· f )(a) = (h· g)· g)(f(a)) = h(g(f(a))) (h· f))(a) = h((g· (g· f)(a))=h(g(f(a))) ∴(h· f = h· f) g)· (g·
12
证明(2) 设任一元素c∈C, ∵g是满射 ∴必存在某 一b ∈ B, 使得g(b)=c, 又∵ f也是满射 ∴必存在某 一a ∈ A, 使得f(a)=b, ∴有(gf)(a) = g(f(a)) = g(b) = c ∴对C中任一元素c，在A中都存在一个a, 使得 (gf)(a) = c ∴ gf是满射 f g
c
C
18
(2) h内射 (反证) 假设h不是内射, 则存在ci,cj∈C 且ci≠cj, 有h(ci)=h(cj)=d ∵g是满射 ∴有bi, bj, 使g(bi)=ci, g(bj)=cj, 又∵g是内射 ∴ bi ≠ bj ∴由复合函数的定义有：hg(bi)=h(g(bi))=h(ci)=d hg(bj)=h(g(bj))=h(cj)=d ∴hg不是内射，与hg是双 射矛盾 ∴ h是内射 g h d bi ci bj cj
6
例：书P57 例7— 9 四、恒等函数： IA：A上的恒等关系，IA={(a, a)|a∈A}, 则IA是一个函数，且是一个双射函数，称IA是 集合A上的恒等函数。
7
§3.2 函数的复合
一、函数的复合： 1 定义：设f1: AB上, f2: BC上, 则f1对f2的复 合记为：f2· f1： AC上, f2· f1={(a,c)|a∈A, c∈C, 且存在一个b∈B, 使 f1(a)=b, f2(b)=c} 即: (f2· f1)(a) = f2(f1(a)) = f2(b) = c 例：书P59 例1— 3
4
二、函数的相等 设 f: AB上, g: CD上,若①A=C；②B=D； ③对任一a∈A, 均有f(a)=g(a), 则称函数f 与g相等。 记为f=g
三、三种特殊的函数
5
设f: AB上, 若ai≠aj, 有f(ai)≠f(aj), 则称f是内射； (不允许多对一，像源唯一，#A≤#B) 若Rf=B, 则称f是满射； (B中每个元素均有像源，#B≤#A) 若f既是内射，又是满射，则称f是双射(一一映射) (#A= #B)
B
C
D
19
作业：P85 2， P86 9,10,15 P88 36 习题： 1 判断下列函数哪些是内射、满射、双射？ (1) g: R {-1,0,1} -1 , x<0 0 , x=0 1 , x&h: R R , h(x)=x2 : B (其中B≠ ) : f: I Z 2|i|-1, x<0 f(i) = 2|i| , x≥0 (2) (3) (4) (5)
· · · · B
· · ·
A
24
3 设f : AB 上函数， g : BC上函数，若gf是 满射，且g是内射，则f是满射。
25
3 设f : AB 上函数， g : BC上函数，若gf是 满射，且g是内射，则f是满射。
证明：在B中任取一点b, ∵ g 是BC上函数 ∴必有c∈C, 使g(b)=c. 又∵ gf 是AC上的满射， ∴必有a∈A, 使 gf(a) = c ∴g (f(a)) = g(b) ∵ g 是内射 ∴f(a) = b ∴ 对任意b ∈ B ,必有a ∈ A ,使f(a)=b ∴f是满射 f g
15
证明(2) 对于任意的c∈C, ∵gf是满射 ∴必存在 某一a∈ A, 使得 c=(gf)(a) = g(f(a)) 而f(a) ∈B, 记 b=f(a) ∈B, 从而有c=g(b) ∴ 对任一c∈C, 都存在b∈B, 使得g(b)=c ∴g是满射 f g a f(a) c b A B C
16
3
证明：左边：m= #B, n=#A, 则mn: AB上的不同 的函数个数，而2 m×n为AB上的不同的关系个 数。 即：关系 : AB上：2#A× #B 函数f: AB上: #B#A ∴ mn<2 m×n 同理可证： nm< 2 m×n 一一对应：500名乒乓球运动员进行淘汰赛，总 共需进行多少场比赛？
证明(3) ∵gf是双射 ∴ gf既是内射，又是满射 ∴由(1)、(2)可得结论正确。 例：P61 例6 f : AB上， g : BC上, h : CD上, gf和hg都 是双射，证明：f、g、h都是双射。 证明： gf双射f内射，g满射 hg双射g内射，h满射 只需证：f满射，h内射
第三章
函数
§3.1 函 数 一、定义：设: AB上，若对所有的a∈A,均 有b∈B, 使得a b, 而且b是唯一的，这样的就称 为AB上的函数，又称映射。记为f: AB上. f的定义域Df=A , f的值域Rf B, B称为f 的值域包 Rf通常记为f(A), 则 f(A)={b|b∈B, 存在a∈A, 使f(a)=b} 称b是a的像，a是b的像源，a也称自变量
17
证明(1) f满射： 对任意b ∈ B ∵g是函数 ∴有g(b)=c 又∵gf是满射 ∴ 对于c必存在a∈A， 使得gf(a)=c 即：gf(a)=g(b) ∴g(f(a))=g(b) ∵g是内射 ∴必有f(a)=b ∴ 对任意的b∈B,必有a∈A,使f(a)＝b ∴f 是满射 f g
a
A
b
B
a A
b
c
B
C
13
证明(3) ∵f和g都是双射，因此它们既是内射，又 是满射，由(1)和(2)知：gf既是内射又是满射， ∴ gf是双射 定理: (1)若gf是内射，则f是内射； (2)若gf是满射，则g是满射； (3)若gf是双射，则f是内射，g是满射。
14
证明(1) 假设f不是内射, 则必存在两个元素 ai,aj∈A, ai ≠ aj ,而f(ai)=f(aj)=b, 则由复合函数的 定义知： (gf)(ai) = g(f(ai)) = g(b) (gf)(aj) = g(f(aj)) = g(b) (gf)(ai) = (gf)(aj) , 与gf是内射矛盾 ∴ f是内射
22
(1) #B#A=43=64 (2) P43=4×3×2=24
· · · A
· · · A
· · · · B
4个中任取 3个，与A 中的3个元 素配对
(3) 3!=6
· · · A
元素1：3种选择 元素2：2种选择 元素3：1种选择
23
(4) 若将B中的2个元素“合并” 成1个元素，则可认为是3 3 个元素的双射函数，共有3!种. 而4个元素“合并”成3 个元素的 2 方法共有C4 =6 2 ∴共有C4 · 3！=36
10
推论：f : A上，f· 2, 记f· · = fn f=f f·f · 例：书P60 例4 幂等函数： f : A上，若f2=f，则称f是幂等函数。 n 若f是幂等函数，则f =f (用数学归纳法证明)
11
3 定理： (1) 若f和g都是内射，则gf也是内射； (2) 若f和g都是满射，则gf也是满射； (3) 若f和g都是双射，则gf也是双射； 证明(1) 设ai, aj ∈A, 且ai ≠ aj ,∵f是内射 ∴f(ai) ≠ f(aj) , 又∵ g是内射 ∴ g(f(ai))≠g(f(aj)) 因此 (gf)(ai)≠ (gf)(aj) ∴ gf是内射