河北省定州中学2018届高中毕业班上学期期末考试数学试题+Word版含答案
河北省定州中学2017-2018学年高一承智班上学期期末考试数学试题 含答案 精品
河北定州中学2017—2018学年度高一上学期数学期末考试试题 一、单选题 1．已知函数()2|log ,0{ 21,0x x f x x x =+-≤，若函数()y f x m =-有四个零点,,,a b c d ，则a b c d的取值范围是（ ）A. [)0,2B. [)0,3C. [)1,2D. [)2,32．在正方体1111ABCD A BC D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）2133．形如()0,0by c b x c=>>-的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()21xx f x a++= (0a >且1)a ≠有最小值，则当1,1c b ==时的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 64．设函数()xf x a =， (0a >且1)a ≠在(),0-∞上单调递增，则()()12f a f +与的大小关系为A . ()()12f a f += B. ()()12f a f +> C. ()()12f a f +< D.不能确定 5．已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，且()()112f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()1f 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46．设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a ≥ B.112a << C. 12a ≥ D. 12a >7．已知函数()(](]1101,{ 22110xx x f x x +⎛⎫∈ ⎪=⎝⎭-∈-，，，， 若方程()20f x x m --= 有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11m -<< B. 112m -≤<- 或1m = C. 112m -<≤- D. 112m -<<- 或1m =8．己知函数()()12log 1,1{31,1x x f x x x-<=-≥，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()01，B. ()02，C. (]0,2 D. ()0+∞， 9．已知函数()12,0{ 21,0x ex f x x x x ->=--+≤，若方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围A. ()4,2--B. (4,--C. ()3,2--D. (3,--10．定义：对于一个定义域为D 的函数()f x ，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，恒有()12kx m f x kx m +<<+，则称()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道。
河北省定州中学2018届高中毕业班上学期期末考试数学试题(附答案)$830807
河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题一、单选题1．F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2．(导学号：05856255)如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC 为斜边AB 上的高，点P 在射线OC 上，则AP ·OP 的最小值为( )A.16 B. －16 C. 18 D. －183．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. ⎛-∞ ⎝⎦ B. ⎛-∞ ⎝⎦ C. ⎣⎦ D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭5．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝()[)[)2log 1,0,3{ 252,3,x x x x +∈--∈+∞,则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A. 10 B. 1－2a C. 0 D. 21－2a6．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是()A.C.D. 47．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且，若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是A. ()2,1--B. ()1,1-C. (1，2)D. (2，3) 9．已知函数()212,1{2,1x x f x x x x -≤=->若函数g(x)＝b －f (1－x)有3个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A. (－1,1)B. (－1,2)C. (11) D. (22)10．已知函数f (x )＝e x sin x (0≤x ≤π)，若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 340π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.341π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0,1)D. [1，e) 11．(2017·郑州市第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B. 8π27 C. π3 D. 2π912．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足 f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数11y x =+与函数f (x )的图象关于原点对称，则()11f x x =-，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题13．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是__________．14．已知实数a b 、满足12a -≤≤，且2021b a ≤-≤，则221643833a b ab a b ++-+的取值范围是__________．15．(2017·湖南省湘中名校高三联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)>f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．16．若对于任意的正实数,x y 都有2?ln y y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．设()()1xf x e a x =-+．（l ）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；（2）是否存在正整数a ，使得1n +3n +…+（2n ﹣1）n 1e <-（an ）n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 19．已知函数()()21xf x x e =-.（1）若函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，求()f a 的取值范围；（2）设函数()xg x e x p =-+，若存在[]01,x e ∈，使不等式()()000g x f x x ≥-成立，求p 的取值范围.20．已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．参考答案DDDBB BABDA 11．B 12．C 13．[1,9] 14．1,57412⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．()(),24,-∞-⋃+∞ 16．D17．（1）1；（2）见解析.（1）∵()()1x f x e a x =-+，∴()'x f x e a =-，∵0a >， ()'0xf x e a =-=的解为x lna =，∴()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-+=-，∵()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，∴ln 0a a -≥，∴ln 0a a ≤，∴1max a =．（2）设()1x t x e x =--，则()'1xt x e =-，令()'0t x =得： 0x =，在0x <时()'0t x <， ()f x 递减；在0x >时()'0t x >， ()f x 递增，∴()t x 最小值为()00t =，故1x e x ≥+，取2i x n =-， 1321i n =⋯-，，，， 得122i ie n n-≤-，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得1322nnn n ⎛⎫⎛⎫++⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212212nn n en ---⎛⎫+< ⎪⎝⎭()1223122111nn ee e ee -------++⋯+=-<∴()13212nn n nn n ++⋯+-<），故存在正整数2a =，使得()132nn n nn a n ++⋯+<⋅） 18．（1）30x y +-=（2）见解析（1）联立方程组()225{ 4x my m y x=++=，消去x得()244250y my m --+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==--因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-， 所以直线l 的方程为30x y +-=.（2）证明：因为()()212122254410x x m y y m m m +=+++=++，()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+所以()()()()12121122BP BQ x x y y ⋅=--+--， 即()][()12121212124BP BQ x x x x y y y y ⎡⎤⋅=-+++-++⎣⎦所以()()][()2225441018202440BP BQ m m m m m ⎡⎤⋅=+-++++---+=⎣⎦，因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点()1,2B . 19．（1）[)2,-+∞；（2）[),e -+∞.（1）由()20xf x xe '=>，得0x >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0a ≥，所以()()02f a f ≥=-， 所以()f a 的取值范围是[)2,-+∞.（2）因为存在[]01,x e ∈，使不等式()()000021xg x x e x ≥--成立，所以存在[]01,x e ∈，使()0023xp x e ≥-成立，令()()2xh x x e e =-，从而()min p h x ≥， ()()21xh x x e -'=，因为1x ≥，所以211x -≥， 0xe >，所以()0h x '>，所以()()2xh x x e e =-在[]1,e 上单调递增，所以()()min 1h x h e ==-，所以p e ≥-， 实数p 的取值范围是[),e -+∞.20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）a e >；（2） 见解析.（Ⅰ） ()f x 的定义域为R ， ()xf x e a '=-，（1）当0a ≤时， ()0f x '>在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数； （2）当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a <，∴()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 不合题意； 当0a >时， ()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞，又()00f e =>，当x →+∞时， ()f x →+∞，∴()f x 有两个零点12,x x ，则()()()m i n l n l n 1l n 0f x f a a a a a a ==-=-<，解得a e >； （2）由（Ⅱ）（1），当a e >时， ()f x 有两个零点12,x x ，且()f x 在()ln ,a +∞上递增， 在(),ln a -∞上递减，依题意， ()()120f x f x ==，不妨设12ln x a x <<． 要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-， 又12ln x a x <<，所以122ln ln x a x a <-<，而()f x 在(),ln a -∞上递减，即证()()122ln f x f a x >-，又()()120f x f x ==，即证()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >）．构造函数()()()22ln 22ln (ln )xx a g x f x f a x e ax a a x a e=--=--+>，()2220xx a g x e a a e=+->='，∴()g x 在()ln ,a +∞单调递增，∴()()ln 0g x g a >=，从而()()2ln f x f a x >-， ∴()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >），命题成立．。
河北省定州中学2018届高三上学期期末考试数学试题
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1．已知函数()()1,ln22xx f x e g x ==+，对任意a R ∈，存在()0,b ∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 1B. 212e -C. 2ln2-D. 2ln2+ 2．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A. 94-B. 94C. 274D. 274- 3．函数(),0{ 11,0xa x f x x e ==⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()()222330f x a f x a -++=有五个不同的零点，则a 的取值范围（ ）A. （1，2）B. 3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 331,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．已知函数()()()411,ln 22x f x eg x x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A.2ln213- B. 12ln23+ C. 1ln24+ D. 1ln24- 5．设是定义在R 上的偶函数，且f （x +2）=f （2﹣x ）时，当x ∈[﹣2，0]时， ()12xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，若（﹣2，6）在区间内关于x 的方程xf （x ）﹣log a （x +2）=0（a ＞0且a ≠1）有且只有4个不同的根，则实数a 的范围是（ ） A. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. （1，4）C. （1，8）D. （8，+∞） 6．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（ ）A. 3+B. 5-C. 1+D. 4-7．已知函数()201701{log 1sin x x f x x x π≤≤=>，，，若a 、b 、c 互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则a b c ++ 的取值范围是（ ）A. (1，2 017)B. (1，2 018)C. [2，2 018]D. (2，2 018)8．6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（ ）A.B.C.D.9．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意实数x ，都有()()26f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时， ()2112f x x +'< 若()()222129f m f m m +≤-+-，则m 的取值范围为（ ） A. [)1,-+∞ B. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,-+∞ 10．设函数()212xf x e x =-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 A. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B.C.D.12．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝()[)[)2log 1,0,3{252,3,x x x x +∈--∈+∞,则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A. 10 B. 1－2aC. 0D. 21－2a二、填空题13．设0a >，若对于任意的正数,m n ，都有8m n +=，则满足1141a m n ≤++，则a 的取值范围是__________．14．已知函数()2,2,{ 1, 3.x x x c f x c x x+-≤≤=<≤ 若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的取值范围是____． 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37915,34S a a =+=，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*11,n n a n N T t+∈<，则实数t 的取值范围为__________． 16．已知ABC ∆中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若5c o s 45c o s b A cB a+=，则222tancos 22cos sin tan 22A A A A B=⎛⎫- ⎪⎝⎭__________．三、解答题17．已知函数()()()2212ln 21f x x a x ax x a a R =-++++∈.（1）2a =-时，求()f x 在()0,2上的单调区间； （2）0x ∀>且1x ≠，2ln 211ax xa x x >+--均恒成立，求实数a 的取值范围. 18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， 若椭圆上一点P 满足124PF PF +=，且椭圆C 过点31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E '是点E 在x 轴上的垂足，延长EE '交椭圆C 于N ，求证： 2,N F F 三点共线． 19．设函数()sin xf x e a x =-.（1）当1a =时，证明： ()0,x ∀∈+∞， ()1f x >；（2）若[)0,x ∀∈+∞， ()0f x ≥都成立，求实数a 的取值范围. 20．（本小题满分13分）数列n A ： ()12,,,4n a a a n ≥ 满足： 11a =， n a m =， 10k k a a +-=或1()1,2,,1k n =- ．对任意,i j ，都存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中{},,,1,2,,i j s t n ∈ 且两两不相等． （Ⅰ）若2m =，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号； ①1,1,1,2,2,2； ② 1,1,1,1,2,2,2,2； ③ 1,1,1,1,1,2,2,2,2 （Ⅱ）记12n S a a a =+++ ．若3m =，证明： 20S ≥； （Ⅲ）若2018m =，求n 的最小值．参考答案DCDCD BDDCA 11．D 12．B 13．1a ≥ 14． 1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．()0,162 16．9217．（1）单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,2；（2）{}1a ∈- （1）2a =-时， ()()212ln f x x x =--'，设()()h x f x ='， 当()0,2x ∈时， ()220x h x x='-<，则()h x 在()0,2上是单调递减函数，即则()f x '在()0,2上是单调递减函数，∵()10f '=∴12x <<时， ()0f x '<； 01x <<时， ()0f x '> ∴在()0,2上()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,2；（2）1x > 时， ()()2ln 211ax x a x x >+--,即2122+2a alnx x a x +>-+-； 01x <<时， ()()2ln 211ax x a x x <+--,即2122+2a alnx x a x+<-+-；设()()212220a g x alnx x a x x+=+--+>则()()()221212211x x a a a g x x x x-+++=+-'- 1a =-时， ()211a -+=，∵()()2210x g x x='-≥，∴()g x 在()0,+∞上单调递增∴1x >时， ()()10g x g >=； 01x <<时， ()()10g x g <=，∴1a =-符合题意;1a <-时， ()211a -+>， ()121x a <<-+时， ()0g x '<，∴()g x 在()1,21a --上单调递减，∴当()121x a <<-+时， ()()10g x g <=，与1x >时， ()0g x >矛盾；舍1a >-时，设M 为()21a -+和0中的最大值，当1M x <<时， ()0g x '<，∴()g x 在(),1M 上单调递减，∴当1M x <<时， ()()10g x g >=，与01x <<时，()0g x <矛盾；舍综上， {}1a ∈-18．（1）22:143x y C +=（2）见解析 （1）依题意， 1224PF PF a +==，故2a =，将31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入22214x y b +=中， 解得23b =，故椭圆22:143x y C +=； （2）由题知直线l 的斜率必存在，设l 的方程为()4y k x =-， 点()()()112211,,,,,E x y F x y N x y -，联立()224{3412y k x x y =-+=得()22234412x k x +-=， 即()222222121222326412343264120,0,,3434k k kx k x k x x x x k k-+-+-=∆>+==++， 由题可得直线FN 方程为()211121y y y y x x x x ++=--，又∵()()11224,4y k x y k x =-=-， ∴直线FN 方程为()()()()211121444k x k x y k x x x x x -+-+-=--，令0y =，整理得()212121221111212244488x x x x x x x x x x x x x x x -+--+=+=+-+- 2222222222641232242434343413232243283434k k k k k k k k k k --⨯-⨯+++===---++，即直线FN 过点()1,0，又∵椭圆C 的右焦点坐标为()21,0F ， ∴三点2,,N F F 在同一条直线上．19．(1)见解析(2)5ππ44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）证明：由1a =知()sin xf x e x =-，当[)0x ∈+∞，时， ()cos 0x f x e x =-≥'（当且仅当0x =时取等号）， 故()f x 在[)0+∞，上是增函数，又()01f =，故()0x ∀∈+∞，， ()()01f x f >=， 即：当1a =时， ()0x ∀∈+∞，， ()1f x >．（Ⅱ）解：当0a =时， ()e xf x =，符合条件；当0a >时，设1e x y =与2sin y a x =在点()00x y ，处有公切线0π02x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则00π04000e π{ tan 12e 4e x x asinx x x a acosx =⇒=⇒=⇒==，，故π402e a <≤；当0a <时，设1e x y =与2sin y a x =在点()00x y ，处有公切线03ππ2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 同法可得5π42e0a ≤<；综上所述，实数a的取值范围是5ππ44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．（1）②③．（2）详见解析（3）详见解析 （Ⅰ）②③．（Ⅱ）当3m =时，设数列n A 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意()11,2,3i q i ≥=．① 假设14q <，则有12s t a a a a +<+（对任意2s t >>）， 与已知矛盾，所以 14q ≥． 同理可证： 34q ≥．② 假设21q =，则存在唯一的{}1,2,,k n ∈ ，使得2k a =． 那么，对,s t ∀，有 112k s t a a a a +=+≠+（,,k s t 两两不相等）， 与已知矛盾，所以22q ≥．综上： 1324,4,2q q q ≥≥≥， 所以 3120ii S iq==≥∑．（Ⅲ）设1,2,,2018 出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q ≥≥， 220172,2q q ≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====， 1,3,4,5,,2016i q i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ．下面证明n B 满足题目要求．对{},1,2,,2026i j ∀∈ ，不妨令i j a a ≤，① 如果1i j a a ==或2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，所以符合条件； ② 如果1,2i j a a ==或2017,2018i j a a ==，由于120184,4q q ==，220172,2q q ==，所以也成立；③ 如果1,2i j a a =>，则可选取2,1s t j a a a ==-；同样的，如果2017,2018i j a a <=，则可选取1,2017s i t a a a =+=，使得i j s t a a a a +=+，且,,,i j s t 两两不相等；④ 如果12018i j a a <≤<，则可选取1,1s i t j a a a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得i j s t a a a a +=+，其中{},,,1,2,,i j s t n ∈ 且两 两不相等．因此n B 满足题目要求，所以n 的最小值为2026．。
【全国百强校】河北省定州市定州中学2018届高三(承智班)上学期期末考试数学试题(解析版)
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1. 已知函数，下列说法中错误的是（）A. 的最大值为2B. 在内所有零点之和为0C. 的任何一个极大值都大于1D. 在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】项，，又的最大值为，故项正确；项，，即是个偶函数，零点关于轴对称成对出现，在的零点之和为，故项正确；项，因为是偶函数，的极值点关于轴对称，并且有唯一最大值点时，也是极大值点，此时极值只要考虑时的情况即可，当时，，，记的解从小到大排列为，且，当时，，当时，的极大值点为，极大值为，，，令，则，设，令，得，当时，单调増，当时，单调减，也就是说的极大值都大于，故项正确，故选D.2. 已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.3. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记函数在上的最小值为:的定义域为..令，得或.①时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为②当时，的最小值为;③当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为.由①②③可知易知在上单调递减，且,故实数的取值范围为.故选C.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.4. 老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第1个盒子里面放的是梅花，第3个盒子里面放的是方片；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花，第3个盒子里放的是黑桃；小张说：第4个盒子里面放的是黑桃，第2个盒子里面放的是方片；小李说：第4个盒子里面放的是红桃，第3个盒子里面放的是方片；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（）A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花C. 黑桃或方片D. 黑桃或梅花【答案】A【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：（1）当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时，第3个盒子里面放的不是方片A，则小李猜对第4个盒子里面放的时红桃A ，小张猜对第2个盒子里面放的是方片A ，小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A ； （2）若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A ，则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A ，小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A ，小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第一个盒子只能是红桃A, 故选A.5. 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】作出函数的图象如图所示，故问题转化为的图象的交点个数问题，观察可知，的取值为1，2，3，故选D.6. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.或D.【答案】D【解析】设z=|3x ﹣4y +a |+|3x ﹣4y ﹣9|=5（），故|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|可以看作点P到直线m：3x﹣4y+a=0与直线l：3x﹣4y﹣9=0距离之和的5倍，∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a﹣1|=5，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴a≥6故选：D．点睛：本题类比点到直线距离公式，其几何意义为动点到直线m：3x﹣4y+a=0与直线l：3x﹣4y﹣9=0距离之和的5倍，从而把问题转化为直线与圆的位置关系问题.7. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，在线段上有且只有一个点满足，则椭圆的离心率的平方为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作图如下：，直线的方程为：椭圆整理得：设直线上的点则，令则由得,整理得：，又，，又椭圆的离心率故椭圆的离心率的平方为故选8. 已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，而且（为坐标原点），若与的面积分别为和，则最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】设直线的方程为，点，直线与轴交点为∴联立，可得，根据韦达定理得。
河北省定州中学2018届高三(承智班)上学期期末考试数学试题含答案
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1．已知函数()cos xf x ex π-=+，下列说法中错误的是（ )A. ()f x 的最大值为2B 。
()f x 在()10,10-内所有零点之和为0C 。
()f x 的任何一个极大值都大于1 D. ()f x 在()0,10内所有极值点之和小于552．已知球O 与棱长为4的正方形1111ABCD A BC D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 （ ） A 。
B 。
2⎤⎦C.⎡⎣ D.3．已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立,则实数m 的取值范围为( ） A 。
10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,+∞ C 。
()0,1 D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A ，梅花A ，方片A 以及黑桃A ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：小明说：第1个盒子里面放的是梅花A ，第3个盒子里面放的是方片A ；小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A ，第3个盒子里放的是黑桃A ; 小张说:第4个盒子里面放的是黑桃A ，第2个盒子里面放的是方片A ； 小李说：第4个盒子里面放的是红桃A ,第3个盒子里面放的是方片A ;老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．"则可以推测,第4个盒子里装的是（ ） A. 红桃A 或黑桃A B. 红桃A 或梅花A C. 黑桃A 或方片A D 。
黑桃A 或梅花A 5．已知函数()2441,2{32436,2x x f x x x x --≤=-+->，若在区间()1,+∞上存在()1,2,,i x i n =，使得()()04iif x k k x =<<，则n 的取值不可能为（ ）A 。
河北省保定市定州中学2018学年高二上学期期末数学试卷
2018-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷一、选择题1．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9]2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π3．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v4．若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数5．已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．6．函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）7．若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．18．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°9．若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）10．若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．eln211．设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2 D．t≤﹣2或t≥2或t=012．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．[，]∪{}D．[，）∪{}二、填空题13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．14．如图所示，程序框图的输出结果是．15．已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有种．16．设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题17．已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．2018-2018学年河北省保定市定州中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．如果函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，那么函数f（2x+3）的定义域为（）A．[﹣2，0]B．[1，9]C．[﹣1，3]D．[﹣2，9]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的定义域为[﹣1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤2x+3≤3，∴﹣2≤x≤0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．2．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．3．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．【解答】解：A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a，b平行或相交或是异面直线，则直线a不一定平行于直线b正确，故A正确，B．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B错误，C．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C错误，D．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则根据面面垂直的性质得l一定垂直于平面v，故D正确，故选：C【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面，之间平行和垂直的位置关系的应用，根据相应的判定定理是解决本题的关键．4．若命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为（）A．所有对数函数都不是单调函数B．所有的单调函数都不是对数函数C．存在一个对数函数不是单调函数D．存在一个单调函数都不是对数函数【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：所有的对数函数都是单调函数，则￢P为：存在一个对数函数不是单调函数．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．5．已知a＞0，b＞0，且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数的运算性质，我们易根据ab=1，进而化简函数g（x）的解析式，然后根据反函数的定义，判断出函数f（x）与g（x）的关系，然后对题目中的四个答案逐一进行比照，即可得到答案．【解答】解：∵ab=1g（x）=﹣log b x=log a x则函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）互为反函数故函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）与g（x）=﹣log b x（b＞0且b≠1）的图象关于直线y=x对称故选B．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，反函数的图象，其中利用对数运算性质，及反函数的定义，分析出函数f（x）与g（x）的关系，是解答本题的关键．6．函数y=的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣1＜x＜1，故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．7．若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0+==a3=1，解得a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用．8．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ，则tanθ=，θ∈[0°，180°）．∴θ=60°，故选：B．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．若函数f（x）=log2（x2﹣ax﹣3a）在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4]C．（﹣∞，4）∪[2，+∞）D．[﹣4，4）【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣ax﹣3a，则得函数f（x）=log2t，由条件利用复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：令t=x2﹣ax﹣3a=﹣﹣3a，则由题意可得函数f（x）=log2t，函数t在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数且t＞0恒成立．∴，求得﹣4≤a＜4，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题．10．若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）A．0 B．1 C．2 D．eln2【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的解析式，求出函数值即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（e）=lne=1，∴f（f（e））=f（1）=21=2．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．11．设奇函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1．当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）≤t2﹣2at+1，对一切a∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围为（）A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣2或t≥2C．t≤0或t≥2 D．t≤﹣2或t≥2或t=0【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，只需要比较f （x）的最大值与t2﹣2at+1即可．由于函数在[﹣1，1]最大值是1，由此可以得到1≤t2﹣2at+1，因其在a∈[﹣1，1]时恒成立，可以改变变量，以a为变量，利用一次函数的单调性转化求解．【解答】解：奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，在[﹣1，1]最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣1，1]令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣1，1]当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（1）≥0，解得t≥2当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣1）≥0，解得t≤﹣2综上知，t≥2或t≤﹣2或t=0故选D．【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查函数的奇偶性，单调性与最值，考查一个恒成立求参数的问题，此类题求解的关键是解题中关系的转化，本题借助单调性确定最值进行转化，这是不等式型恒成立问题常用的转化技巧．12．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，] C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a 的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，故选：C．【点评】本题考查了方程的解个数问题，以及参数的取值范围，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，以及数形结合的思想，属于中档题．二、填空题13．点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为（﹣1，﹣1）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题．14．如图所示，程序框图的输出结果是3．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值．【解答】解：x=1，y=1，x≤4，得：x=2，y=2，x+y=4≤4，得：x=4，y=3，x+y=7＞4，输出y=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了程序框图，当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．15．已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，则从集合P到集合Q的映射共有9种．【考点】映射．【分析】运用分步计数原理求解．【解答】解：集合P中的元素a在集合BQ中有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），集合P中的元素b在集合Q中也有3种不同的对应方式（﹣1，0，1三选一），根据“分步计数原理（乘法原理）”，集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9，故答案为9．【点评】本题主要考查了映射的概念，以及两集合间构成映射个数的确定，可用列举法，也可用乘法计数原理，属于基础题．16．设函数f（x）=，a∈R，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=﹣x2在（﹣∞，a）递增，y=x3在[a，+∞）递增，要使y=f（x）与y=b的图象有两个交点，可得，可得a＜﹣1．实数a的取值范围为：（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题17．（2018秋•定州市校级期末）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）=﹣1，由此可得m的取值范围．min【解答】解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．18．（2018秋•定州市校级期末）某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的对立事件是ξ=0，由此能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，再由P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，列出方程组，能求出p，q．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P=1﹣P（ξ=0）=1﹣=．∵P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，p＜q，∴，解得p=，q=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=3）=，P （ξ=1）=++=，P （ξ=2）=+=，∴Eξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．19．（2018秋•定州市校级期末）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=AA 1=4，AB=3，AB ⊥AC ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥平面ABC 1；（Ⅱ）求二面角A ﹣BC 1﹣A 1的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ，得AB ⊥平面ACC 1A 1，从而A 1C ⊥AB ，又A 1C ⊥AC 1，由此能证明A 1C ⊥平面ABC 1．法二：以A 为原点，以AC 、AB 、AA 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，利用向量法能证明A 1C ⊥平面ABC 1．（Ⅱ）求出平面A 1BC 1的法向量和平面ABC 1的法向量，利用向量法能求出二面角A ﹣BC 1﹣A 1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA 1⊥AB ，又AB ⊥AC ， ∴AB ⊥平面ACC 1A 1，…（2分）∴A 1C ⊥AB ，又AC=AA 1=4，∴A 1C ⊥AC 1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；…证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，0，4），C1（4，0，4），∴，，，…∵，且，…∴，且，∴A1C⊥平面ABC1；…（6分）解：（Ⅱ）∵，，设平面A1BC1，则，取y=4，得；…（8分）由（Ⅰ）知，为平面ABC1的法向量，…（9分）设二面角A﹣BC1﹣A1的大小为θ，由题意可知θ为锐角，∴．…（11分）即二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2018届河北省定州市定州中学高三上学期期末考试数学试题(解析版)
河北定州中学2017—2018学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1. （）B. C.【答案】D【解析】令y=e a，则a=lny，令可得则，，显然，（b-a）′是增函数，观察可得当时，（b-a）′=0，故（b-a）′有唯一零点．故当y=时，b-a取得最小值为2+ln2; 故选D.2. ）【答案】C【解析】设等比数列的公比为q（q＞1），1+（a2-a4）+λ（a3-a5）=0，可得λa8+λa9=a8，（t＞0），q2=t+1，则设f（t）当t＞时，f（t）递增；当0＜t＜时，f（t）递减．可得处，此时f（t）取得最小值，且为a8+λa9故选C.3. 若关于（）A. （1，2）【答案】D【解析】作出f(x)的图象如图所示．，则原方程化为由图象可知，若关于x的图象有3个不同的公共点时才满足条件．综上得故实数的取值范围为D．点睛：对于已知函数的零点个数（或方程根的个数）求参数取值范围的问题，常借助于函数的图象求解，解题时根据条件构造出两个函数，并在同一坐标系内作出它们的图象，根据两个图象公共点的情况，确定出所求参数的范围或取值，这种解法体现了数形结合在数学解题中的应用．4. ）B. C.【答案】C【解析】，是增函数，在上递减，在上递增，，即的最小值为 C.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的最值即可.5. 设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x）时，当x∈[﹣2，0]时，2，6）在区间内关于x的方程xf（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）B. （1，4）C. （1，8）D. （8，+∞）【答案】D时，R上的偶函数，若在4个不同的实数解，则函数1∴的范围是 D.点睛：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题.6. 的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A）【答案】B【解析】设|AF1|=|AB|=m，则|BF1，|AF2|=m-2a，|BF2，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴，∴∴|AF2|=（m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=m2，∵∴4c2=×8a2，∴e2故选B.7. 若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，的取值范围是（）A. (1，2 017)B. (1，2 018)C. [2，2 018]D. (2，2 018)【答案】D【解析】作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选D．8. 6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图（1）所以，A正确；如图（2）所示，B正确；如图（3）所示，C正确，故选D．9.）B. D.【答案】C上是减函数，又，等价于C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数求参数范围, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.10.B.D.【答案】A点睛：用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略（1）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．（2）有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)<0，则f(x－b)<f(a)．11. F1，F2，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为C. D.【答案】D选D.性质、点的坐标的范围等.12. 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)则关于x的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为()A. 10B. 1－2aC. 0D. 21－2a【答案】B【解析】由题意，当x≥0时，f(x)则函数g（x）共有5个零点x1＜x2＜x3＜x4＜x5，x1+x2=-10，x4+x5=10，x∈[-3，0）时，f（x）=-log2（1-x），令-log2（1-x）+a=0，则x3=1-2a，∴关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1-2a，故选B．点睛：本题关键是先根据解析式作出函数f(x)的图象，函数g（x）的零点转化为函数f(x)由对称性可得交点之和.二、填空题13. ，都有，则满足__________．当且仅当，即时等号成立，所以只需，即.点睛：解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使所以把条件构造为而解决问题.14. ____则实数的取值范围是____．【答案】(1).【解析】c=0时，f（x）=x2+x=（[-2，-）递增，可得f（-2）取得最大值，且为2，最小值为当0＜x≤3时，f（x）递减，可得f（3）则f（x）∈,综上可得f（x∵函数y=x2+x在区间[-2，上是减函数，在区间（-，1]上是增函数，∴当x∈[-2，0）时，函数f（x）最小值为f（最大值是f（-2）=2；由题意可得c＞0，∵当c＜x≤3时，f（x）[当f（x）的值域是(1). . (2).15. 已知等差数列的前项和为__________．【答案】.的公差为，即，显然，，当且仅当时，等号成立，所以所以点睛：数值最值的求解方法如下：1的最大值，可通过解不等式组的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2的特点，借助函数图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的差值的正负确定数列的单调性．16. ，．【答案】.点睛：本题主要是熟练应用正弦定理进行边角转化，利用二倍角公式，切化弦公式进行化简即可得解.三、解答题17.（1（2.【答案】的单调增区间是，单调减区间是【解析】试题分析：（1）的范围，（2即设分两种情况研究函数的单调性，并求出的最值，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1，时，∴的单调增区间是；时，，∵;0中的最大值，当∴18.，过点的直线与椭圆交于两点（1）求椭圆（2【答案】见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得方程；（2，令，可得直线. 试题解析：（1，故椭圆（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为，联立，方程为又∵椭圆的右焦点坐标为，∴三点19. 设函数.（1（2.【答案】(1)见解析学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...学#科#网...值范围.试题解析：（1（当且仅当，（2；时，设综上所述，实数a的取值范围是点睛：本题利用分类讨论解决不等式恒成立，关键是从函数图象入手分析，对于两条曲线的位置关系，在交点处有公切线是临界状态，注意计算的准确性.20.，其中（Ⅰ）写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；②③（Ⅱ）（Ⅲ）【答案】（1）②③；（2）见解析；（3的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，至少出现4次，2至少出现2（Ⅲ）设同（Ⅱ）的证明，可得：，，┄，，，我们再构造数列：解析：（Ⅰ）对于①，，对于条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到② 或只得到③ 给[ 1分]，有错解不给分．时，设数列，由题意两不相等），所以（Ⅲ）同（Ⅱ）的证明，可得：，，┄，，则可选取，则可选取的最小值为点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．。
2018届河北省定州中学高三上学期毕业班第二次月考数学试题 Word版含解析
高四第一学期第2次考试数学试题一、选择题1. 已知函数为增函数，则的取值范围是（）【答案】A【解析】∵函数f(x)=(2x−1)e x+ax2−3a(x>0)为增函数，∴f′(x)=(2x+1)e x+2ax⩾0,化为，令,则，可得：时,函数g(x)取得极大值即最大值,.∴.∴a的取值范围是.本题选择A选项.2. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】结合题意可知：，则：，即：，当时，，当时，，且时，，据此可得：，据此可得：，本题选择C选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．3. 若关于方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：令,由题设,即,解之得,故应选D.考点：二次函数的图象和性质的运用.4. 直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A. B.C. D.【答案】D【解析】如图所示：过点D作,翻折过程中，当时，三棱锥体积最大，此时，又，所以，所以.，，所以. 所以.此时，.表面积为.故选D.点睛：解本题的关键是明确何时体积最大，从空间角度，我们可以想象抬的“越高”体积越大，借助于辅助线DO即可说明.5. 已知定义域为的函数的导函数为，且满足，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，∵f(x)−2f′(x)−4>0，∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增，∵f(0)=−1,∴F(0)=1，∴不等式f(x)+2>e2x等价为不等式等价为F(x)>F(0)，解得x>0，故不等式的解集为(0,+∞)，本题选择A选项.6. 设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】令 ,则,所以为上单调递减奇函数,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为 （ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知CA ,CB ,CD 两两垂直，所以补形为长方形，三棱锥与长方体共球，，求的外接球的表面积，选C【点睛】求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。
河北省定州中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含答案
河北定州中学高二期末数学试题考试时间120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．若复数1z i =-，i 为虚数单位，则2zz-=（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．12．下列四个命题中真命题的个数是（ ）①“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件②命题“R x ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“R x ∃∈，sin 1x >”③命题:p [)1,x ∀∈+∞，lg 0x ≥，命题:q R x ∃∈，210x x ++<，则p q ∨为真命题 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则ˆb 为（ ）A. 5B. 15C. 10D. 204.若原命题为：“若12,z z 为共轭复数，则12z z =”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）A. 真真真B. 真真假C. 假假真D. 假假假5. 用1a ， 2a ，…， 10a 表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如图所示的程序框图，若分别输入i a 的10个值，则输出的1ni -的值为（ ）A.35 B. 13 C. 710 D. 796．设p 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=， 1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若15PF =，则2PF =（ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 97. 在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22241m x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（ ） A.35 B. 15 C. 14 D. 348. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线L 过F 且与C 交于A, B 两点.若|AF|=3|BF|,则L 的方程为（ ）A. 11y x y x =-=-+或B. ))11y x y x =-=-或C. ))11y x y x =-=-或D. ()()1122y x y x =-=--或 9. 若函数()()11xf x e a x =--+在()0,1上递减，则a 的取值范围（ ） A. ()1,e ++∞ B. [)1,e ++∞ C. ()1,e -+∞ D. [)1,e -+∞10.21,F F 是椭圆1925:22=+y x C 的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，且到左焦点1F 的距离为6，过1F 做21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足为,M 则OM 的长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()2'31f x x <-，不等式()3312x x f x x x -+≤≤-+的解集为{|11}x x -≤≤，则()()11f f -+=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 已知)0(21ln )(2>+=a x x a x f ，若对任意两个不等的正实数21x x 、都有2)()(2121≥--x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.[)+∞,1B.()+∞,1C.()1,0D.(]1,0Ⅱ卷二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.13．已知方程22141x y m m +=--（m 是常数）表示曲线C ,给出下列命题： ①曲线C 不可能为圆；②曲线C 不可能为抛物线； ③若曲线C 为双曲线，则1m <或4m >； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则512m <<． 其中真命题的编号为 ．14．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为_________________．15.已知是抛物线 的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．16..函数f （x ）=e x+x 2+x+1与g （x ）的图象关于直线2x ﹣y ﹣3=0对称，P ，Q 分别是函数f （x ），g （x ）图象上的动点，则|PQ|的最小值为解答题：本大题共6小题，共70分。
河北省定州市2018学年高二上学期期末考试理数试题 含
河北省定州市2018-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“5x >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．即不充分也不必要条件 2. 曲线22y x x =-在点()1,1处的切线方程为（ ）A ．20x y -+=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．320x y --=3.双曲线22143x y -=的一个焦点到渐近线的距离为 （ ）A ．1BC ．24.在空间直角坐标系中,,A B C 三点的坐标分别为()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-，若AB CB ⊥，则λ= （ ）A ．3B ．1 C.3± D ．3- 5. 执行图中程序框图，若输入1232,3,7x x x ===，则输出的T 值为（ ）A ．3B ．4 C.113D ．5 6. 如图，一个正六角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，直到全部露出水面为止，记时刻t 薄片露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．7. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E F 分别为1CC 和1BB 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为 （ ）A ．0B D ．198. 在平面直角坐标系中，已知定点((0,,A B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．2212y x += B ．()22102y x x +=≠C. 2212y x -= D ．()22102x y y +=≠9. 任取k ⎡∈⎣，直线()2y k x =+与圆224x y +=相交于,A B 两点，则AB ≥的概率为（ ）A ．12 B 13D10. 执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是 （ ）A ．100i <B ．100i ≤ C.99i < D ．98i <11. 如图动直线:l y b =与抛物线24y x =交于点A ，与椭圆2212x y +=交于抛物线右侧的点,B F 为抛物线的焦点，则AF BF AB ++的最大值为（ ）A．．2 D． 12. 设函数()()()sin cos 02016xf x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A ．()2018211e e e πππ-- B ．()100911e e e πππ--C.()1008211e e eπππ-- D ．()2016211e e eπππ--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为 ． 14. 若命题“0x R ∃∈”，使得“()200110x a x +-+≤”为真命题，则实数a 的范围为 ．15. 定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为 ．16. 如图，过椭圆()222211x y a b a b+=>>上顶点和右顶点分别作圆221x y +=的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且经过点12,,F F ⎛ ⎝是椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆上运动，求12PF PF 的最大值.18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x (吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽祥，获得了某年100位居民毎人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[)[)[)0,0.5,0.5,1,...,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x (吨)，估计x 的值(精确到0.01)，并说明理由.19. 如图四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BCE ∆为等边三角形，ABE ∆是以A ∠为直角的等腰直角三角形，且AC BC =.（1）证明: 平面ABE ⊥平面BCE ； （2）求二面角A DE C --的余弦值.20. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为h ，半径为r ，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且2h r ≥，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为4千元，设该容器的建造费用为y 千元.（1）求y 关于r 的函数关系，并求其定义域； （2）求建造费用最小时的r . 21. 已知()2249:14M x y ++=的圆心为()221,:14M N x y -+=的圆心为N ,一动圆与圆M 内切，与圆N 外切. （1）求动圆圆心P 的轨方迹方程；（2）设,A B 分别为曲线P 与x 轴的左右两个交点，过点()1,0的直线l 与曲线P 交于,C D 两点，若12AC DB AD CB +=，求直线l 的方程.22. 已知函数()()221x x f x x e=-- .（1）求函数的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ,证明122x x +>.河北省定州市2018-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5: BDCCB 6-10: ADBCA 11-12：DD二、填空题13.18 14.1a ≤-或3a ≥ 15.{}|1x x >16.⎛⎝ 三、解答题17. 解：(1) 由题意，得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以椭圆C 的方程是2214x y +=.(2) 由均值定理1212PF PF PF +≥.又4a =，所以121244PF PF PF ≥⇒≤,当且仅当12PF PF =时等号成立，所以12PF PF 的最大值为4.18. 解：(1) 由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1,频率=(频率/组距)* 组距,()0.50.080.160.30.520.30.120.080.041a ∴⨯++++++++=，解得0.4a =.(2) 由图，不低于3吨的人数所占比例为()0.50.120.080.040.12⨯++=,∴全市月圴用水量不低于3吨的人数为1100.1213.2⨯=(万).(3) 由图可知，月圴用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=.即0073的居民用水量小于2.5吨，同理，0088的居民用水量小于3吨，故2.53x <<.假设月圴用水量平均分布，则()0.80.730.52.50.5 2.730.3x -÷=+⨯≈(吨).19. 解：(1) 设O 为BE 的中点，连接AO 与CO ，则,AO BE CO BE ⊥⊥.设2AC BC ==,则2221,,90AO CO AO CO AC AOC ==⇒+=∠=,所以AO CO ⊥，故平面ABE ⊥平面BCE .(2) 由（1）可知,,AO BE CO 两两互相垂直，设OE 的方向为x 轴正方向，OE 为单位长，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz.则()()()()()0,0,1,1,0,0,,1,0,0.A E C B OD OC CD OC BA -=+=+=,所以()()()()(),1,3,0,1,0,1,1,3,0,1,0,1D AD AE EC CD ==-=-=.设(),,n x y z =是平面ADE 的法向量，则00n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即00xx z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,所以可取(3,1,n =-,设m 是平面DEC 的法向量，则0m EC m CD⎧=⎪⎨=⎪⎩,同理可取(3,1,m =,则1cos ,7n m n m n m<>==,所以二面角A DE C --的余弦值为17.20. 解：(1) 由容积为72π立方米，得322272272233r rr h h r r πππ=+⇒=-≥,解得03r <≤,又圆柱的侧面积为2722223r rh r rππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，半球的表面积为22r π，所以建造费用2288163r y r ππ=+，定义域为(]0,3. (2) ()3222718'16'3233r r y rr ππ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又03r <≤，所以'0y ≤，所以建造费用2288163r y r ππ=+，在定义域(]0,3上单调递减，所以当3r =时建造费用最小. 21. 解：(1) 设动圆P 的半径为r ，则71,22PM r PN r =-=+两式相，得4PM PN MN +=>，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点，焦距为2实轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=.(2) 当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，则()()331,,1,,2,0,2,022C D A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则9622AC DB AD CB +=+≠，当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-,设()()()()1122,,,,2,0,2,0C x y D x y A B -,朕立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=,则有()22121222438,3434k k x x x x k k -+==++，()()()()112222112,2,2,2,AC DB AD CB x y x y x y x y +=+--++--()()21212121282282211x x y y x x k x x =--=----()()222212122102482222834k k x x k x x k k +=-+++-=++.由已知，得22102481234k k++=+,解得k =故直线l 的方程为)1y x =-.22. 解：(1)()()()()11'2112,'01x x x f x x x f x x e e -⎛⎫=--=-+=⇒= ⎪⎝⎭, 当(),1x ∈-∞时,()'0f x <;当()1,x ∈+∞时,()'0f x >,所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2) ()()110,01f f e=-<=,不妨设12x x <，又由（1）可知12201,1,21x x x <<>-<，又函数()f x 在(),1-∞上单调递减，所以121222x x x x +>⇔>-等价于()()122f x f x <-，即()()1202f x f x =<-.又()()222222221x x f x x e---=--，而()()2222210x x f x x e=--=，所以()()22222222222222222x xx x x x x e x e x x f x e e e e -------=-=,设()()22x x g x xe x e -=--，则()()()2'1x x g x x e e -=--，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，而()10g =，故当1x >时，()0g x >.所以而2220xx e e->恒成立，所以当1x >时,()()222222222222222220x xx x x x x e x e x x f x e e e e-------=-=>,故122x x +>.。
河北省定州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
定州市2017～2018学年度第一学期期末教学质量监测高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. C. D.【答案】D【解析】故选2. ( )D.【答案】C【解析】角的终边上有一点3. ( )A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】AAC中点与BD中点相同,即四边形形,选A4. 下面四个不等式中不正确的是( )【答案】B【解析】所以B错,选B.5. 2倍，纵坐标保持不变，再将所得( )【答案】D【解析】2倍，再向左平移选D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.. 函数是奇函数是偶函数6. ( )C.【答案】C【解析】当综上的取值范围是7.【答案】A，选A8. 如图，中，，若在边上存在点，使B. 12 D. 8【答案】D【解析】,选D9. 图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量与收支差额销售额－投入的费用)的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为赢，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是( )A. 实行的措施可能是减少广告费用B. 实行的措施可能是提高商品售价C.【答案】B【解析】起点不变，所以投入的费用不变，扭亏为盈变快了，所以可能是提高商品售价，选B.点睛：有关函数图象识别问题，由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．( )B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，当故选11. 设函数( )B. C.【答案】B【解析】画出函数时由图象可知符合题意，故12.( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为定义在上的偶函数，所以又在时为增函数，则点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中将不等式化简，借助函数在对称性可得到自变量取值范围。
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷一、单选题1．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，点P在射线OC 上，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）4．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣2a sin x在区间上是单调递增函数，则a的取值范围为（）A．B．C．D．5．（5分）定义在R上奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝，则关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10B．1﹣2a C．0D．21﹣2a6．（5分）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A．B．8C．D．47．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，则m+n＝（）A．6B．8C．10D．128．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝t（t∈R）恰有5个不同的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．（1，2）D．（2，3）9．（5分）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝b﹣f（1﹣x）有3个零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1﹣，1）D．（2﹣，2）10．（5分）已知函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），若函数y＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．[0，1）D．[1，e）11．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．（5分）关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）的一个周期为T＝2；②若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称；③函数y＝f（x+1）与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝2对称；④若函数y＝与函数f（x）的图象关于原点对称，则f（x）＝，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题13．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动（包括端点，且满足＝，则的取值范围是．14．（5分）已知实数a、b满足﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1，则的取值范围是．15．（5分）（2017•湖南省湘中名校高三联考）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f（x﹣2）是偶函数，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则实数m的取值范围为．16．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．三、解答题17．设f（x）＝e x﹣a（x+1）．（l）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）是否存在正整数a，使得1n+3n+…+（2n﹣1）n（an）n对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l的方程为x＝m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2＝4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．19．已知函数f（x）＝2（x﹣1）e x．（1）若函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增，求f（a）的取值范围；（2）设函数g（x）＝e x﹣x+p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g（x0）≥f（x0）﹣x0成立，求p的取值范围．20．已知f（x）＝e x﹣ax（a∈R）（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：x1+x2＜2lna．2017-2018学年河北省保定市定州中学毕业班高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e＝．故选：D．2．【解答】解：由＝﹣，设||＝t，t≥0，则•＝﹣•＝t2﹣1×t×cos＝t2﹣t＝﹣；所以，当t＝时，•取得最小值为﹣．故选：B．3．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．4．【解答】解：由题意得，，，即2a在[]上恒成立，设，则，再令p（x）＝﹣cos x+x sin x，则p′（x）＝2sin x+x cos x，∵p′（x）＞0在[]上恒成立，∴上为增函数，∴＝，∴h′（x）＜0在[]上恒成立，∴上为减函数，∴2，即实数a的取值范围为，故选：A．5．【解答】解：由题意，函数g（x）共有5个零点x1＜x2＜x3＜x4＜x5，x1+x2＝﹣10，x4+x5＝10，x∈[﹣3，0）时，f（x）＝﹣log2（1﹣x），令﹣log2（1﹣x）+a＝0，则x3＝1﹣2a，∴关于x的函数g（x）＝f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1﹣2a，故选：B．6．【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱，底面是平行四边形（两相邻边分别为2，4），侧棱垂直于底面，且侧棱柱等于4，由俯视图易知，底面平行四边形边2上的高为，故该几何体的体积是V＝2××4＝8，故选：B．7．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣9x2+29x﹣30，∴f（x）＝（x﹣3）3+2（x﹣3）+3，∴函数f（x）关于（3，3）对称∵实数m，n满足f（m）＝﹣12，f（n）＝18，∴[f（n）+f（m）]＝3，根据对称性，得（m+n）＝3，解得m+n＝6．故选：A．8．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数，f（x）的函数图象关于原点对称．作出函数f（x）的图象如图所示：由图象可知t∈（﹣1，1），设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，根据二次函数的对称性可知：x1+x2＝﹣6，﹣1＜x3＜1，x4+x5＝6，∴x1+x2+x3+x4+x5＝x3∈（﹣1，1）．故选：B．9．【解答】解：函数f（x）＝，当1﹣x≤1，即x≥0时，f（1﹣x）＝1﹣2|x﹣1|，当1﹣x＞1，即x＜0时，f（1﹣x）＝（1﹣x）2﹣2（1﹣x）＝x2﹣1；∴f（1﹣x）＝；令g（x）＝0，得f（1﹣x）＝b，函数g（x）的零点就是函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象的交点横坐标；作出函数y＝f（1﹣x）与y＝b的图象，如图所示；不妨设x1＜x2＜x3，令x2﹣1＝1，解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）；由图可知，﹣＜x1＜0，且x2+x3＝2，∵x1+x2+x3＝2+x1，﹣＜x1＜0，∴2﹣＜x1+x2+x3＜2，∴x1+x2+x3的取值范围是（2﹣，2）．故选：D．10．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点等价于y＝f（x）的图象与y＝m的图象有两个交点，∵函数f（x）＝e x sin x（0≤x≤π），∴可得时，f′（x）≥0，x时，f′（x）≤0，∴f（x）在[，π）递减，在（0，]递增．故函数f（x）图象如下：由图象可知：0≤m．故选：A．11．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x＝2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）＝πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π＝∴圆柱的最大体积为，此时r＝，故选：B．12．【解答】解：对于①，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3+x），则f（x）＝f（x+2），∴f（x）的一个周期为T＝2，①正确；对于②，若函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（3﹣x），则f（x）＝f（4﹣x），即f（2+x）＝f（2﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，函数y＝f（a+x）与函数y＝f（b﹣x）的图象关于直线x＝对称，∴函数y＝f（x+2）的图象与函数y＝f（3﹣x）的图象关于直线x＝＝1对称，∴③错误；对于④，设点P（x，y）是函数y＝f（x）的图象，与P关于原点对应的点为（﹣x，﹣y），且在函数y＝的图象上，∴﹣y＝，得y＝，即f（x）＝，④正确；综上，正确命题的序号是①②④，是3个．故选：C．二、填空题13．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB＝3，AD＝1，所以A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1）；设M（3，b），N（x，1），（0≤x≤3），根据题意得，b＝，所以＝（x，1），＝（3，b），所以•＝3x+＝1+x（0≤x≤3），所以1≤1+x≤9，即的取值范围是[1，9]．故答案为：[1，9]．14．【解答】解：由﹣1≤a≤2，且0≤b﹣2a2≤1作出可行域如图，令t＝a+，联立，解得，联立，得8a2+3a﹣3t＝0，由△＝9+96t＝0，解得t＝．由图可知，当直线t＝a+过点（2，9）时，t有最大值为14．∴t的取值范围为[，14]．∵＝，且t＝a+，∴＝3t2﹣|t|＝．当0≤t≤14时，3t2﹣t∈[]；当时，3t2+t∈[，0]．取并集得：的取值范围为：．故答案为：．15．【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，且f （x﹣2）是偶函数，则f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称．则函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递减，若对一切实数x，不等式f（2sin x﹣2）＞f（sin x﹣1﹣m）恒成立，则|2sin x﹣2﹣（﹣2）|＜|sin x﹣1﹣m﹣（﹣2）|恒成立，即|2sin x|＜|sin x+1﹣m|恒成立．令t＝sin x∈[﹣1，1]，可得2|t|＜|t+1﹣m|，平方可得3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0，即f（t）＝3t2+（2m﹣2）t﹣1﹣m2+2m＜0在区间[﹣1，1]上恒成立，则有，解可得m＜﹣2，或m＞4，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．16．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t＝，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）＝（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）＝﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）＝﹣lne+﹣1＝0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）＝e，若f（t）＝（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．三、解答题17．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵a＞0，f′（x）＝e x﹣a＝0的解为x＝lna．∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣a（lna+1）＝﹣alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴a max＝1．（2）设t（x）＝e x﹣x﹣1，则t′（x）＝e x﹣1，令t′（x）＝0得：x＝0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）＝0，故e x≥x+1，取x＝﹣，i＝1，3，…，2n﹣1，得1﹣≤e﹣，即（）n≤，累加得（）n+（）n+…+（）n＜++…+＝＜．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（2n）n，故存在正整数a＝2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜•（an）n．18．【解答】解：（1）联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4（2m+5）＝0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8m﹣20因为A为线段PQ的中点，所以，解得m＝﹣1，所以直线l的方程为x+y﹣3＝0．（2）证明：因为，，所以，即所以，因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B（1，2）．19．【解答】解：（1）由f'（x）＝2xe x＞0，得x＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a≥0，所以f（a）≥f（0）＝﹣2，所以f（a）的取值范围是[﹣2，+∞）．（2）因为存在x0∈[1，e]，使不等式成立，所以存在x0∈[1，e]，使成立，令h（x）＝（2x﹣e）e x，从而p≥h（x）min，h'（x）＝（2x﹣1）e x，因为x≥1，所以2x﹣1≥1，e x＞0，所以h'（x）＞0，所以h（x）＝（2x﹣e）e x在[1，e]上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，所以p≥﹣e，实数p的取值范围是[﹣e，+∞）．20．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，…（1分）（1）当a≤0时，f'（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上为增函数；…（2分）（2）当a＞0时，令f'（x）＞0得x＞lna，令f'（x）＜0得x＜lna，∴f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna）；…（4分）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在R上为增函数，f（x）不合题意；当a＞0时，f（x）的递增区间为（lna，+∞），递减区间为（﹣∞，lna），又f（0）＝e＞0，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）有两个零点x1，x2，则f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna）＜0，解得a＞e；…（7分）（2）由（Ⅱ）（1），当a＞e时，f（x）有两个零点x1，x2，且f（x）在（lna，+∞）上递增，在（﹣∞，lna）上递减，依题意，f（x1）＝f（x2）＝0，不妨设x1＜lna＜x2．要证x1+x2＜2lna，即证x1＜2lna﹣x2，又x1＜lna＜x2，所以x1＜2lna﹣x2＜lna，而f（x）在（﹣∞，lna）上递减，即证f（x1）＞f（2lna﹣x2），…（9分）又f（x1）＝f（x2）＝0，即证f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna）．构造函数，…（10分），∴g（x）在（lna，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（lna）＝0，从而f（x）＞f（2lna﹣x），∴f（x2）＞f（2lna﹣x2），（x2＞lna），命题成立．…（12分）。
河北省保定市定州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
定州市2018- 2019学年第一学期期末考试高一数学试题一、单选题：本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数y =定义域是（ ）A. (1,2]B. (1,2)C. (2,)+∞D.(,2)-∞【答案】B 【解析】 要使log 1x y -=1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，即函数log 1x y -=的定义域是()1,2，故选B.2.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |y ＝ln(x －2)}，则(C R B )∩A ＝( ) A. {x |－2≤x <1} B. {x |－2≤x ≤2} C. {x |1<x ≤2} D. {x |x <2}【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合A,再求函数定义域得集合B,最后根据集合补集以及交集定义求结果.【详解】集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}， 则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C. 【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=u u u rA 3144 AB AC-u u u r uu u rB.1344AB AC-u u u r u u u rC.3144AB AC+u u u r u u u rD.1344AB AC+u u u r u u u r【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC=+u u u v u u u v u u u v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC=+u u u v u u u v u u u v，之后将其合并，得到3144BE BA AC=+u u u v u u u v u u u v，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC=-u u u v u u u v u u u v，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1113124444BA BA AC BA ACu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=++=+，所以3144EB AB AC=-u u u v u u u v u u u v，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.4.设函数()2010x xf xx-⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x+<的x的取值范围是（）A. (]1-∞-，B. ()0+∞，C. ()10-，D.()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5.要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A. 向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B. 向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2π个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移2π个单位，再向上平移1个单位 【答案】B 【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B. 6.设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则（ ） A. a +b ＞0，ab ＞0 B. a +b ＞0，ab ＜0C. a +b ＜0，ab ＞0D. a +b ＜0，ab ＜0 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数性质以及对数运算，判断出,a b ab +的符号.【详解】由于0.20.222log 0.3log 10,log 0.3log 10a b =>==<=，所以0ab <. 由于0.30.30.30.30.30.30.30.30.3log 2log 0.2log 0.411log 0.2log 2log 2log 0.2log 2log 0.2a b ++=+==⋅⋅，其中0.30.30.3log 20,log 0.20,log 0.40<>>，所以0a b +<.故选：D【点睛】本小题主要考查对数运算以及对数性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.7.已知平面向量a r 与b r 的夹角为23π，若1)a =-r，2a b -=r r b r （ ）A. 3B. 4C.D. 2【答案】A 【解析】分析：根据题设条件2a b -=r rb r 的方程，即可求解结果.详解：由题意，1)a =-r且向量a r 与b r的夹角为23π，由2a b -=r r 222222444442cos 523a b a b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=r v vv v r v v ， 整理得2120b b v v+-=，解得3b =r ，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8.已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-，则2sin sin cos 1ααα++等于A.115 B.25C.85D.75【答案】D 【解析】 【分析】先由条件得到1tan 3α=，然后将2sin sin cos 1ααα++添加分母后化为用tan α表示的形式，代入后可得所求值．【详解】sin 3cos 22cos sin αααα+=-∵， 1tan 3α∴=，2222sin sin cos sin sin cos 11sin cos αααααααα+++=+=+∴22tan tan 71tan 15ααα++=+． 故选D ．【点睛】关于sin ,cos αα的齐次式在求值时，往往化为关于tan α的式子后再求值，解题时注意“1”的利用．9.已知函数()()213log 3f x x ax a =-+在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A. (－∞，2] B. [2，＋∞) C. 1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 1,22⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】D 【解析】令2()3t g x x ax a ==-+，易知13()log f t t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在[1,)+∞上单调递减，则()t g x =在[1,)+∞单调递增，且()0t g x =>，即12130aa a -⎧-≤⎪⎨⎪-+>⎩，所以212a a ≤⎧⎪⎨>-⎪⎩，即122a -<≤；故选D.10.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A.15B.5C.5D. 1【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-=，从而确定选项. 【详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=， 解得215a =，即a =，所以2a b a a -=-=B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.11.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D.[1，+∞） 【答案】C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 12.设函数f （x ）12453kx sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中k 是正整数，若对任意实数a ，均有{f （x ）|a ≤x ≤a +1|＝{f （x ）|x ∈R }，则k 的最小值为（ ） A. 5 B. 6C. 15D. 16【答案】D 【解析】 【分析】根据(){}(){}|1|f x a x a f x x R ≤≤+=∈，判断出函数()f x 的最小正周期1T ≤，由此列不等式，求得k 的取值范围，进而求得正整数k 的最小值.【详解】由于(){}(){}|1|f x a x a f x x R ≤≤+=∈，所以函数()f x 的最小正周期1T ≤，所以2π5π125k k=≤，5πk ≥，由于k 是正整数，所以k 的最小值为16. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题：本大题4个小题，每题5分，共20分．13.函数f (x )＝(m 2－m －1)9541mm x --是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足1212()()f x f x x x -->0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断． 上述结论正确的是________(填序号)． 【答案】① 【解析】 【分析】首先利用幂函数的定义求出m ，之后结合题中所给的条件，判断出函数的单调性，从而得到相应的结果.【详解】依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015.∴函数f (x )＝x 2 015在R 上奇函数，且为增函数． 由a ＋b >0，得a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.【点睛】该题考查的是有关幂函数的定义以及解析式的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有幂函数的定义，函数单调性的判断，利用条件，将问题转化，注意需要等价转化. 14.已知函数()()2ln 11f x x x =+-+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2- 【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()()()()2222f x f x ln1x 1ln1x 1ln 122x x x x +-=+-+++++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题. 15.设点O 为的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且323OD DE +=u u u r u u u r，则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．【答案】6 【解析】试题分析：∵点D E ，分别为边AC BC ，的中点，∴2OA OC OD u u u r u u u r u u u r +=，2AB DE =u u u r u u u r，∴33322OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r ，2DE AB OB OA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，∴1332322OD DE OA OB OC u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r +=++=，∴236OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．考点：向量的模．【思路点睛】本题考查了平面向量加法的几何意义；首先，根据向量的加法法则（三角形法则），用OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，表示出OD DE u u u r u u u r ，，然后再，根据用OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，表示出OD DE u u u r u u u r ，取寻找23OA OB OC ++u u u r u u u r u u u r 与32OD DE +u u u r u u u r的关系，据此即可求出结果．16.已知1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是___________． 【答案】12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先求()f x 的对称轴，再由相邻两对称轴一个在x π=左侧，一个在x 2π=右侧，联立求解即可.【详解】()12sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭的对称轴方程为,62x k k z ππωπ+=+∈, 即,3k x k z ππωω=+∈.()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(),2ππ,则122ππω⨯>, 1ω<,故114ω<< 又由()3123k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩解得134k 36k ω++≤≤则1233ω<<. 【点睛】本题考查三角函数图像和性质的应用，将题设条件转化为相邻两对称轴与区间(),2ππ的关系是解题关键.属中档题.三、解答题，本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数y =的定义域为A ，函数y ＝log 2（x ﹣a +1）的定义域为B ， （1）若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； （2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) a ＜﹣6 (2) a ≥4 【解析】【分析】利用偶次方根被开方数为非负数及解一元二次不等式求得集合A ，利用对数的真数大于零求得集合B .（1）根据A 是B 的子集列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）根据A B =∅I 列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】由题意得：21﹣4x ﹣x 2≥0，解得：﹣7≤x ≤3，∴定义域A ＝{x |﹣7≤x ≤3}x ﹣a +1＞0，解得：x ＞a ﹣1，∴定义域B ＝{x |x ＞a ﹣1}（1）∵A ⊆B ，∴a ﹣1＜﹣7，∴a ＜﹣6∴a 的取值范围为a ＜﹣6（2）∵A ∩B ＝∅，∴a ﹣1≥3，∴a ≥4，∴a 的取值范围为a ≥4【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元一次、一元二次不等式的解法，考查根据集合包含关系、集合交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.18.函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<<（1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.【答案】（1）1x =-±2）14a =【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域确定x 的范围，再根据对数运算法则得2231x x --+=，解方程即可得到答案；（2）函数可转化为()()()log 13a f x x x =-+= ()223a log x x --+ ()214a log x ⎡⎤=-++⎣⎦，定义域为31x -<<；由底数 01a <<可知，当()214x -++取最大值时，函数()f x 取最小值，即41a log =-，解得a 的值.【详解】解：（1）要使函数有意义，则有1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得：31x -<< 函数可化为()()()log 13a f x x x =-+ ()223a log x x =--+ 由()0f x =，得2231x x --+=即2220x x +-=，()13,1--Q()0f x ∴=的解为1x =-±（2）函数化为：()()()log 13a f x x x =-+= ()223a log x x --+ ()214a log x ⎡⎤=-++⎣⎦31x -<<Q ()20144x ∴<-++≤01a <<Q ()2144a a log x log ⎡⎤∴-++≥⎣⎦ 即()min log 4a f x =由log 41a =-，得14a -=，14a ∴=. 【点睛】本题考查对数的运算、对数函数和二次函数的图象与性质，求解与函数相关的问题时要注意定义域先行的原则，仔细审题注意从所求到已知之间的等价问题转化.【此处有视频，请去附件查看】19.已知向量211(1,2),(2,1),(1),a b x a t b y a b k t ==-=++=-+r r r u r r r r $，k ，t 为实数. （Ⅰ）当k =－2时，求使//x y r u r 成立的实数t 值；（Ⅱ）若x y ⊥r u r ，求k 的取值范围.【答案】（1）t=1（2）1122k -≤≤ 【解析】【分析】(1)根据向量平行坐标表示列方程解得结果（2）根据向量垂直列方程的函数解析式，再求函数值域的结果.【详解】解：()()(22221)(1,2)1(2,1)21,3x a t b t t t =++=++-=--+r r r 111221(,)y a b k t k t k t=-+=---+r r r （1）当//x y r r 时()()2221122130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫---+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简，得320t t +-=．∴ t=1（2）若x y ⊥r r 则0x y ⋅=r r ，即()()2212212130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫----+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理，得21t k t =+1122k ∴-≤≤． 【点睛】本题考查向量平行于垂直关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知函数f （x ）21x a x bx +=++是奇函数，x ∈（﹣1，1）． （1）求实数a 和b 的值；（2）求证：函数f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（3）若对于任意的t ∈（0，1），不等式f （t 2﹣2t ）+f （﹣k ）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1) a ＝b ＝0 (2)证明见解析 (3) [0，+∞）．【解析】【分析】（1）利用()00f =求得a ，利用()()f x f x -=-求得b .（2）任取1211x x -<<<，计算()()120f x f x -<，由此证得()f x 在()1,1-上递增. （3）利用()f x 的单调性和奇偶性化简()()220f t t f k -+-<，结合二次函数的性质求得k 的取值范围.【详解】(1)∵f （x ）21x a x bx +=++是奇函数，x ∈（﹣1，1）， ∴f （0）＝a ＝0，f （x ）21x x bx =++， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）对任意的x ∈（﹣1，1）都成立，∴2211x x x bx x bx -=--+++， ∴﹣bx ＝bx 即b ＝0，故a ＝b ＝0，(2)由(1)f （x ）21x x =+， 设﹣1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）﹣f （x 2）12221211x x x x =-++()()22112221221211x x x x x x x x +--=++，()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴()()()()12122212111x x x x x x --++＜0，即f （x 1）＜f （x 2），函数在（﹣1，1）上单调递增，(3)∵t ∈（0，1），f （t 2﹣2t ）+f （﹣k ）＜0恒成立，∴f （t 2﹣2t ）＜﹣f （﹣k ）＝f （k ），∴t 2﹣2t ＜k ，∵t ∈（0，1），而y ＝t 2﹣2t 在（0，1）单调递减，∴﹣1＜t 2﹣2t ＜0，∴k ≥0，故k 的范围为[0，+∞）．【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.21.将函数f （x ）＝sin x cos （x 3π+）的图象向右平移3π个单位，得到函数g （x ）的图象， （1）求g （x ）的最小正周期及单调递减区间．（2）求x ∈[6π，2π]时函数g （x ）的最大值和最小值． 【答案】(1) 最小正周期为π；单调递减区间为[k π512π+，k π+1112π]，k ∈Z ．(2) 最大值为12．最小值为 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x 解析式，然后求得图像向右平移3π个单位后函数()g x 的解析式.根据()g x 的解析式求得()g x 的最小正周期和单调递减区间.（2）利用三角函数最值的求法，求得()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【详解】（1）将函数f （x ）＝sin x cos （x 3π+）＝sin x （12cos x sin x ）14=sin2x cos2x 12=sin （2x 3π+）3π个单位，得到函数g （x ）12=sin （2x 3π-）-的图象， 故g （x ）的最小正周期为22π=π； 令2k π2π+≤2x 3π-≤2k π32π+，求得 k π512π+≤x ≤k π+1112π， 可得函数g （x ）的单调递减区间为[k π512π+，k π+1112π]，k ∈Z ．（2）x ∈[6π，2π]时，2x 3π-∈[0，23π]，故当2x 3π-=0时，函数g （x ）取得最小值为当2x 32ππ-=时，函数g （x ）取得最大值为12-． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数图像变换，考查三角函数最小正周期、单调递减区间、在闭区间上的最大值和最小值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知a =r （2cos x ，1），b =r sin x +cos x ，﹣1），函数f （x ）a =r •b r． （1）若f （x 0）65=，x 0∈[4π，2π]，求cos2x 0的值； （2）若函数y ＝f （wx ）在（3π，23π）是单调递增函数，求正数w 的取值范围； （3）f （x ）43=在[0，3π]上有两个不等实根x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）的值．【答案】(1) (2) （0，14]；(3)2 3． 【解析】【分析】 利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换的指数，求得()f x 的表达式.（1）由()065f x =，求得026sin x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而求得026cos x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用002266cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合两角差的余弦公式，求得02cos x 的值. （2）求得()y f x w =的表达式，利用233x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求得24263636w w wx πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，，这个区间是区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得正数w 的取值范围.（3）由03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求得12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.根据12,x x 的对称性，求得12,x x 的关系式，由此化简()12cos x x -，求得()12cos x x -的值.【详解】()22122226f x a b cos x x cos x sin x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭r r . （1）()0062265f x sin x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴03265sin x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵042x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴0272636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， ∴04265cos x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴002266cos x cos x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 00226666cos x cos sin x sin ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-+⨯=（2）()226y f wx sin wx π⎛⎫==+⎪⎝⎭， ∵y ＝f （wx ）在（3π，23π）是单调递增函数，且w ＞0， ∴由233x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得，24263636w w wx πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，， ∴2236242362w k w k ππππππππ⎧+≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ， ∴313124w k k w ≥-⎧⎪⎨≤+⎪⎩，k ∈Z ， ∵w ＞0，∴w 的取值范围为（0，14]； （3）03x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， ∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，∴f （x ）∈[1，2]， 又f （x ）43=在[0，3π]上有两个不等实根x 1，x 2， ∴12222662x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴123x x π=-，∴()12223cos x x cos x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 2223sin x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭226sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()22f x =23=． 【点睛】本小题主要考查三角函数恒等变换，考查三角函数单调区间、三角函数方程的根等问题的求解，考查向量数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.。
河北省保定市定州中学2018学年高一上学期期末数学试卷
2018-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷（承智班）一、选择题1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，+∞）2．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．43．已知集合A={x|ln（x﹣1）≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣1，3]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．[1，2）4．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．5．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．6．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．37．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2）B．（，2）C．[，2）D．（，2]8．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或39．已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a10．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1} 11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]12．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．5二、填空题13．设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为．14．f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2018x+log2018x，则函数f（x）的零点的个数是．15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是．16．定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，f n（x）=f（f n（x）），对于函数﹣1f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得f n（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有f n（）=；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．三、解答题17．已知全集U=R，A={x|≤2x≤8}，B={x|x＞0}，C={x|m＜x＜m+2}（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A∩C=∅，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．19．2018年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？20．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（3）=1，（1）求f（1），的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．2018-2018学年河北省保定市定州中学高一（上）期末数学试卷（承智班）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合，集合B={y|y=2x，x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[﹣1，+∞）【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：，B={y|y=2x，x＜0}=（0，1），∴A∪B=（﹣1，1]．故选：A．2．若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【考点】函数的图象与图象变化．【分析】先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（5﹣2x1）…系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x2﹣1）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将5﹣2x1化为2（t﹣1）的形式，则2x1=7﹣2t，t=x2【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C3．已知集合A={x|ln（x﹣1）≤0}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B等于（）A．[﹣1，3]B．[﹣1，2]C．（1，2]D．[1，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|ln（x﹣1）≤0}={x|0＜x﹣1≤1}={x|1＜x≤2}，B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：C．4．已知函数f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质．【分析】首先对a分类讨论，a=0与a≠0两种情况；当a≠0，需要结合一元二次函数开口与对称轴分析；【解答】解：当a=0时，f（x）=﹣12x+5为一次函数，k＜0说明f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，满足题意；当a＞0时，f（x）为一元二次函数，开口朝上，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数，需满足：⇒0＜a≤当a＜0时，f（x）为一元二次函数，开口朝下，要使得f（x）在（﹣∞，3）上是减函数是不可能存在的，故舍去．综上，a的取值范围为：[0，]故选：A5．当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．6．下列命题中错误的个数为：（）①y=的图象关于（0，0）对称；②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；③y=的图象关于直线x=0对称；④y=sinx+cosx的图象关于直线x=对称．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性判断，①③，根据对称的定义判断②，根据三角函数的图象判断④【解答】解：①y=，f（﹣x）=+=+=﹣=﹣﹣=﹣（+）=﹣f（x），∴函数为奇函数，则图象关于（0，0）对称，故正确②y=x3+x+1的图象关于（0，1）对称；由题意设对称中心的坐标为（a，b），则有2b=f（a+x）+f（a﹣x）对任意x均成立，代入函数解析式得，2b=（a+x）3+3（a+x）+1+（a﹣x）3+3（a﹣x）+1对任意x均成立，∴a=0，b=1即对称中心（0，1），故正确③y=的图象关于直线x=0对称，因为函数为偶函数，故函数关于y轴（x=0）对称，故正确，④y=sinx+cosx=sin（x+）的图象关于直线x+=对称，即x=对称，故正确．故选：A7．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f （x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2）B．（，2）C．[，2）D．（，2]【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x ﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣log a x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴当x∈[2，4]时，（x﹣4）∈[﹣2，0]，∴f（x）=f（x﹣4）=x x﹣4﹣1；当x∈[4，6]时，（x﹣4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，∴函数y=f（x）与函数y=log a（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．故选：B8．已知集合A={1，a}，B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，若A∩B≠∅，则a等于（）A．2 B．3 C．2或4 D．2或3【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．【解答】解：∵B={x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}={2，3}，集合A={1，a}，若A∩B≠∅，则a=2或a=3，故选：D．9．已知a=40.3，b=8，c=30.75，这三个数的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据幂的运算法则与指数函数的图象与性质，对a、b、c的大小进行比较即可．【解答】解：a=40.3=20.6，b=8==20.75，且20.6＜20.75，∴a＜b；又c=30.75，且20.75＜30.75，∴b＜c；∴a、b、c的大小关系为：a＜b＜c．故选：C．10．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|1≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n的取值范围是（）A．[1，）B．[1，]C．[，2）D．[，2]【考点】数列的求和．【分析】通过函数f（x）满足f（x）=3f（x+2）可知函数向右平移2个单位时最大值变为原来的，进而可知数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，计算即得结论．【解答】解：：∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），∴f（x+2）=f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，又∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，∴a1=f（1）=1，∴数列{a n}是首项为1、公比为的等比数列，∴S n=∈．故选：A．12．若函数f（x）=，则f（f（2））=（）A．1 B．C．D．5【考点】分段函数的应用．【分析】直接利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（f（2））=f（22﹣3×2+1）=f（﹣1）==．故选：C．二、填空题13．设f （x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在[0，+∞）是增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（0，+∞）为单调增函数，易判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性，根据单调性的定义即可求得．【解答】解：由题意，x+1＞2或x+1＜﹣2，解得x＞1或x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．14．f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2018x+log2018x，则函数f（x）的零点的个数是3．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可知f（0）=0；再由函数零点的判定定理可判断在（0，+∞）上有且只有一个零点，再结合奇偶性可判断f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，从而解得．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；∵f（x）=2018x+log2018x在（0，+∞）上连续单调递增，且f（）＜0，f（1）=2018＞0；故f（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点，又∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，∴函数f（x）的零点的个数是3；故答案为：3．15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数是偶函数，把不等式转化成f（1）＜f（|lg|），就可以利用函数在区间[0，+∞）上单调递增转化成一般的不等式进行求解．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（1）＜f（lg）=f（|lg|）∵函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴|lg|＞1，即lg＞1或lg＜﹣1解得：x＞100或0＜x＜1所以满足不等式f（1）＜f（lg）的x的取值范围是（0，1）∪．故答案为：（0，1）∪．16．定义：f1（x）=f（x），当n≥2且x∈N*时，f n（x）=f（f n（x）），对于函数﹣1f（x）定义域内的x0，若正在正整数n是使得f n（x0）=x0成立的最小正整数，则称n是点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点，已知定义在[0，1]上的函数f（x）的图象如图，对于函数f（x），下列说法正确的是①②③（写出所有正确命题的编号）①1是f（x）的一个3～周期点；②3是点的最小正周期；③对于任意正整数n，都有f n（）=；④若x0∈（，1]，则x0是f（x）的一个2～周期点．【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象．【分析】根据已知中点x0的最小正周期，x0称为f（x）的n～周期点的定义，逐一分析四个结论的真假可得答案．【解答】解：f 1（1）=f （1）=0，f 2（1）=f （f 1（1））=f （0）=，f 3（1）=f （f 2（1））=f （）=1，故①1是f （x ）的一个3～周期点，正确；f 1（）=f （）=1，f 2（）=f （f 1（））=f （1）=0，f 3（）=f （f 2（））=f （0）=，故②3是点的最小正周期，正确；由已知中的图象可得：f （）=，故f 1（）=f （）=，f 2（）=f （f 1（））=f （）=，f 3（）=f （f 2（））=f （）=，…故③对于任意正整数n ，都有f n （）=，正确；④若x 0=1，则x 0∈（，1]，但x 0是f （x ）的一个3～周期点，故错误． 故答案为：①②③三、解答题17．已知全集U=R ，A={x |≤2x ≤8}，B={x |x ＞0}，C={x |m ＜x ＜m +2} （Ⅰ）求A ∩（∁U B ）；（Ⅱ）若A ∩C=∅，求实数m 的取值范围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）先求出集合A 和C U B ，由此能求出A ∩（∁U B ）．（Ⅱ）由A ∩C=∅，得m +2≤﹣1或m ≥3，由此能示出m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x |≤2x ≤8}={x |﹣1≤x ≤3}…， B={x |x ＞0}， ∴C U B={x |x ≤0}…A ∩（∁UB ）={x |﹣1≤x ≤0}．…（Ⅱ）∵A={x |﹣1≤x ≤3}，C={x |m ＜x ＜m +2}，A ∩C=∅，∴m+2≤﹣1或m≥3．∴m的取值范围为{m|m≤﹣3或m≥3}．…18．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f（﹣+x）=f（﹣﹣x），令g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）函数g（x）在区间（0，1）上有两个零点，求λ的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由f（0）=0可得c=0，由函数对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x）可得函数f（x）的对称轴为x=﹣，从而可得a=b，由f（x）≥x，可得△=（b﹣1）2≤0，进而得到答案．（2）由（1）可得g（x）的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理进行判断函数g（x）的零点情况．【解答】（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．∵对于任意x∈R都有f（﹣+x）=f（﹣﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x=﹣，即﹣=﹣，得a=b．又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，∴a＞0，且△=（b﹣1）2≤0．∵（b﹣1）2≥0，∴b=1，a=1．∴f（x）=x2+x．（2）解：g（x）=f（x）﹣|λx﹣1|=①当x≥时，函数g（x）=x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为x=，若≤，即0＜λ≤2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增；则函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，又g（0）=﹣1＜0，g（1）=2﹣|λ﹣1|＞0，故函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点．②若＞，即λ＞2，函数g（x）在（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．此时＜＜1，而g（0）=﹣1＜0，g（）=+＞0，g（1）=2﹣|λ﹣1|，（ⅰ）若2＜λ≤3，由于＜≤1，且g（）=（）2+（1﹣λ）•+1=﹣+1≥0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；（ⅱ）若λ＞3，由于＞1且g（1）=2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．综上所述，当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．19．2018年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0＜α＜），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【解答】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，又AB ﹣CD=2CE=2hcotα，AB +CD=，故CD=﹣hcotα． 设y=AD +DC +BC ，则y=﹣hcotα+=+（0＜α＜），由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=取最小值，u 可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率， 由于α∈（0，），点（﹣sinα，cosα）在曲线x 2+y 2=1 （﹣1＜x ＜0，0＜y ＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，那么α=，故当α=时，水渠中水的流失量最小．20．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（3）=1，（1）求f（1），的值；（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4﹣x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（1），的值；（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）令x=y=1，得f（1）=0，令x=3，，则，所以…（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，证明如下任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则，又x＞1时，f（x）＞0，所以，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．…（3）f（9）=f（3）+f（3）=2，…由（2）知函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增不等式f（kx）+f（4﹣x）＜2可化为f（kx（4﹣x））＜f（9），因为k＞0不等式故可化为，由题可得，0＜x＜4时，kx（4﹣x）＜9恒成立，…即0＜x＜4时，恒成立，0＜x＜4，y=x（4﹣x）∈（0，4]，所以所以…2018年2月19日。
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定州市2017～2018学年度第一学期期末教学质量监测高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.2.( )( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4.下面四个不等式中不正确的是( )5.2倍，纵坐标保持不变，再将所得图( )6.( )7.D.08.如图，B.12 D.89.图1销售额－投入的费用)的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为赢，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是( )A.实行的措施可能是减少广告费用B.实行的措施可能是提高商品售价C.10.( )11.( )0,212.( )二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的图象必不过第象限.14.方向相同的单位向量为.15.的值为.16.OD的最大值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(1)(2).18.(1)(2)19.(1)(2).20.(1)(2)求两个零点之间距离的最大值，值.21.(1)(2)22..(1)(2).定州市2017～2018学年度第一学期期末教学质量监测高一数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:DCABD 6-10:CADBA 11、12：BC二、填空题13.四三、解答题B=-17.(1,2(2,B=-(2)由(1)18.(1).19.(2)由(1)20.解：(1)(2)21.解：(1)(2)OD tOM=tl ì=ï22.解：(1)精品检测试卷。
定州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
定州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．1212． 若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．23． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A． B． C．1: D(1 4． 已知函数()cos()3f x x π=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）A ．向右平移2π个单位 B ．向左平移2π个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23π个单位5． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为（ ）A．B．C．D．6． 设命题p ：，则p 为（ ）A ．B ．C ．D ．7． 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则（ ）A ．B 2=ACB ．A+C=2BC ．B （B ﹣A ）=A （C ﹣A ）D ．B （B ﹣A ）=C （C ﹣A ）8． 已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）A ．M ＞N ＞PB ．P ＜M ＜NC ．N ＞P ＞M9． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．10．若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ） A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 11．点A是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．12．设集合A={x||x ﹣2|≤2，x ∈R}，B={y|y=﹣x 2，﹣1≤x ≤2}，则∁R （A ∩B ）等于（ ） A ．RB ．{x|x ∈R ，x ≠0}C ．{0}D ．∅13．已知集合A={y|y=x 2+2x ﹣3}，，则有（ ）A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A=BD ．A ∩B=φ14．已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)815．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ）A ．{x|x ＞3}B ．{x|﹣1＜x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}D ．{x|x ＜﹣1}二、填空题16．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1，=S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．17．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．18．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ； ①直线l 的倾斜角为α；②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值； ③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交； ④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．19．如图所示，在三棱锥C ﹣ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是 ．三、解答题20．已知：函数f （x ）=log 2，g （x ）=2ax+1﹣a ，又h （x ）=f （x ）+g （x ）．（1）当a=1时，求证：h （x ）在x ∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h （x ）有两个零点；（2）若关于x 的方程f （x ）=log 2g （x ）有两个不相等实数根，求a 的取值范围．21．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =na n ﹣n （n ﹣1）． （1）求证：数列{a n }为等差数列，并分别求出a n 的表达式；（2）设数列的前n 项和为P n ，求证：P n ＜；（3）设C n =，T n =C 1+C 2+…+C n ，试比较T n 与的大小．22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1xxe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．23．如图，四边形ABCD 与A ′ABB ′都是边长为a 的正方形，点E 是A ′A 的中点，AA ′⊥平面ABCD ． （1）求证：A ′C ∥平面BDE ；（2）求体积V A ′﹣ABCD 与V E ﹣ABD 的比值．24．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．25．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．定州市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =1112n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ． 2． 【答案】A【解析】解：函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a ，解得a=1，所以函数为：f（x ）=x 2+1，x ∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5． 故选：A ．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．3． 【答案】D 【解析】考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 4． 【答案】B【解析】试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数 ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 5． 【答案】D【解析】解：双曲线（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x联立方程组，解得A （，），B （，﹣），设直线x=与x 轴交于点D ∵F 为双曲线的右焦点，∴F （C ，0）∵△ABF 为钝角三角形，且AF=BF ，∴∠AFB ＞90°，∴∠AFD ＞45°，即DF ＜DA∴c ﹣＜，b ＜a ，c 2﹣a 2＜a 2∴c 2＜2a 2，e 2＜2，e ＜又∵e ＞1∴离心率的取值范围是1＜e ＜故选D【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a ，c 的齐次式，再解不等式．6． 【答案】A【解析】【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为特称命题的否定是全称命题，p 为：。
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河北定州中学2017-2018学年第一学期高四数学期末考试试题一、单选题1．F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为A.B. C. D. 2．(导学号：05856255)如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC 为斜边AB 上的高，点P 在射线OC 上，则AP ·OP的最小值为( )A.16 B. －16 C. 18 D. －183．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( ) A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B. 33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C. 33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数()ln sin f x x a x =-在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围为( )A. ⎛-∞ ⎝⎦ B. ⎛-∞ ⎝⎦ C. ⎣⎦ D. ⎫+∞⎪⎪⎣⎭5．定义在R 上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝()[)[)2log 1,0,3{252,3,x x x x +∈--∈+∞,则关于x 的函数g(x)＝f(x)＋a(0<a<2)的所有零点之和为( ) A. 10 B. 1－2aC. 0D. 21－2a6．如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是( )A.B.C. D.47．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(](]22log 1,1,00{ 173,,122x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且，若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是A. ()2,1--B. ()1,1-C. (1，2)D. (2，3) 9．已知函数()212,1{2,1x x f x x x x -≤=->若函数g(x)＝b －f (1－x)有3个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A. (－1,1)B. (－1,2)C. (11) D. (22)10．已知函数f (x )＝e xsin x (0≤x ≤π)，若函数y ＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 340π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.341π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [0,1)D. [1，e) 11．(2017·郑州市第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B. 8π27 C. π3 D. 2π912．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数11y x =+与函数f (x )的图象关于原点对称，则()11f x x =-，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题13．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是__________．14．已知实数a b 、满足12a -≤≤，且2021b a ≤-≤，则221643833a b ab a b ++-+的取值范围是__________．15．(2017·湖南省湘中名校高三联考)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，且f (x －2)是偶函数，若对一切实数x ，不等式f (2sin x －2)>f (sin x －1－m )恒成立，则实数m 的取值范围为________．16．若对于任意的正实数,x y 都有2?ln y y xx e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎤⎥⎝⎦C. 21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ D. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．设()()1xf x e a x =-+．（l ）若a ＞0，f （x ）≥0对一切x ∈R 恒成立，求a 的最大值；（2）是否存在正整数a ，使得1n +3n +…+（2n ﹣1）n <an ）n 对一切正整数n 都成立？若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．18．设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B . 19．已知函数()()21xf x x e =-.（1）若函数()f x 在区间(),a +∞上单调递增，求()f a 的取值范围；（2）设函数()xg x e x p =-+，若存在[]01,x e ∈，使不等式()()000g x f x x ≥-成立，求p 的取值范围.20．已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<．参考答案DDDBB BABDA 11．B 12．C 13．[1,9] 14．1,57412⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．()(),24,-∞-⋃+∞ 16．D17．（1）1；（2）见解析.（1）∵()()1x f x e a x =-+，∴()'x f x e a =-，∵0a >， ()'0xf x e a =-=的解为x lna =，∴()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-+=-，∵()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，∴ln 0a a -≥，∴ln 0a a ≤，∴1max a =．（2）设()1x t x e x =--，则()'1xt x e =-，令()'0t x =得： 0x =，在0x <时()'0t x <， ()f x 递减；在0x >时()'0t x >， ()f x 递增，∴()t x 最小值为()00t =，故1x e x ≥+，取2i x n =-， 1321i n =⋯-，，，， 得122i i e n n -≤-，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得1322nnn n ⎛⎫⎛⎫++⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 212212nn n en ---⎛⎫+< ⎪⎝⎭()1223122111nn ee e ee -------++⋯+=-<∴()13212nn n nn n ++⋯+-<），故存在正整数2a =，使得()132nn n nn a n ++⋯+<⋅） 18．（1）30x y +-=（2）见解析（1）联立方程组()225{4x my m y x=++=，消去x 得()244250y my m --+= 设()()1122,,,P x y Q x y ，则12124,820y y m y y m +==-- 因为A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得1m =-， 所以直线l 的方程为30x y +-=.（2）证明：因为()()212122254410x x m y y m m m +=+++=++，()()2222121212254416y y y y x x m =⋅==+所以()()()()12121122BP BQ x x y y ⋅=--+--，即()][()12121212124BP BQ x x x x y y y y ⎡⎤⋅=-+++-++⎣⎦所以()()][()2225441018202440BP BQ m m m m m ⎡⎤⋅=+-++++---+=⎣⎦，因此BP BQ ⊥，即以线段PQ 为直径的圆横过点()1,2B . 19．（1）[)2,-+∞；（2）[),e -+∞. （1）由()20xf x xe '=>，得0x >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0a ≥，所以()()02f a f ≥=-， 所以()f a 的取值范围是[)2,-+∞.（2）因为存在[]01,x e ∈，使不等式()()000021xg x x e x ≥--成立，所以存在[]01,x e ∈，使()0023xp x e ≥-成立，令()()2xh x x e e =-，从而()min p h x ≥， ()()21xh x x e -'=，因为1x ≥，所以211x -≥， 0xe >，所以()0h x '>，所以()()2xh x x e e =-在[]1,e 上单调递增，所以()()min 1h x h e ==-，所以p e ≥-， 实数p 的取值范围是[),e -+∞.20．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）a e >；（2） 见解析.（Ⅰ） ()f x 的定义域为R ， ()xf x e a '=-，（1）当0a ≤时， ()0f x '>在R 上恒成立，∴()f x 在R 上为增函数； （2）当0a >时，令()0f x '>得ln x a >，令()0f x '<得ln x a <，∴()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞；（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当0a ≤时， ()f x 在R 上为增函数， ()f x 不合题意； 当0a >时， ()f x 的递增区间为()ln ,a +∞，递减区间为(),ln a -∞，又()00f e =>，当x →+∞时， ()f x →+∞，∴()f x 有两个零点12,x x ，则()()()m i n l n l n 1l n 0f x f a a a a a a ==-=-<，解得a e >； （2）由（Ⅱ）（1），当a e >时， ()f x 有两个零点12,x x ，且()f x 在()ln ,a +∞上递增， 在(),ln a -∞上递减，依题意， ()()120f x f x ==，不妨设12ln x a x <<． 要证122ln x x a +<，即证122ln x a x <-， 又12ln x a x <<，所以122ln ln x a x a <-<，而()f x 在(),ln a -∞上递减，即证()()122ln f x f a x >-，又()()120f x f x ==，即证()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >）．构造函数()()()22ln 22ln (ln )xx a g x f x f a x e ax a a x a e=--=--+>，()2220xx a g x e a a e=+->='，∴()g x 在()ln ,a +∞单调递增，∴()()ln 0g x g a >=，从而()()2ln f x f a x >-， ∴()()222ln f x f a x >-，（ 2ln x a >），命题成立．。