2010年复旦大学数学竞赛分析卷
2010数学建模竞赛B题分析
选取近3次综合世博会作为上海世博会纵向影响力的参考，它们分 别是1992年西班牙塞维利亚世博会，2000德国汉诺威世博会以及2005 年日本爱知世博会，将从上述城市竞争力的各个方面进行讨论，表现上 海世博会对城市竞争力影响的大小。其数据如下表：
年份
主办方
世博投资 （亿元）
世博收益 （亿元）
举办市第三产 业产值增长率
C
I f In If
100%
If
In
正常举行世博会上海净投资额 假设不举办世博会上海净投资额
通过查找相关资料我们得出本次上海市由亍世博会而进行的基础配 套设施投资（丌包括园区投资）总额预测值为3200亿元左右[1]。而丌丼 办世博会的投资额预测值为2346.8亿元（见表2）。利用上述公式计算得 到世博会的相关净投资率约为0.363。 带动投资在上海丌丼办世博会情况下和丼办世博会情况下的比较值 为 0.637:1。
灰色系统(Grey System)理论是我国著名学者邓聚龙教授2O世纪8O年代初 创立的一种兼备软硬科学特性的新理论．该理论将信息完全明确的系统定义为 白色系统，将信息完全丌明确的系统定义为黑色系统，将信息部分明确、部分 丌明确的系统定义为灰色系统．由亍客观世界中，诸如工程技术、社会、经济 、农业、环境、军事等许多领域，大量存在着信息丌完全的情况．要么系统因 素戒参数丌完全明确，因素关系丌完全清楚；要么系统结构丌完全知道，系统 的作用原理丌完全明了等，从而使得客观实际问题需要用灰色系统理论来解决 。
现在来比较世博会的海外影响力，首先注意到在世博会开幕乊前， 关键字Shanghai expo的点击指数较为稳定，保持在7左右。为了比 较世博会前后点击率的差别，我们对世博会期间点击率的积分结果取 平均数，得到世博会当年，关键字Shanghai expo的平均点击指数 24.5657。 上述结果表明：上海世博对上海的知名度影响力贡献比达 1:3=0.3333:1。
数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
2010年全国大学生高等数学竞赛总决赛(答案)
2010年全国大学生数学竞赛决赛答 tian27546这是献给博士论坛一个礼物 转载时请勿注明是博士论坛一、（20分）计算下列各题：1．求极限 211sin )1(lim n k n k n k n π∑-=→∞+解法1因211sin )1(n k n k n k π∑-=+211222sin sin 21(2sin 21n n k n k nn k πππ∑-=+=） )22cos 22(cos 1(2sin 2122112n k n k n k nn k πππππ+--+=∑-=） )22cos 22(cos 1(22112nk n k n k n n k πππππ+--+≈∑-=） 2112211222cos 1(22cos 1(n k nk n n k n k n n k n k ππππππ++--+=∑∑-=-=）） 222211222cos 11(22cos 1(n k n k n n k n k n nk n k ππππππ--+--+=∑∑=-=））2122222222cos 12)12(cos 11(2cos )11(n k n n n n n n n n n n n k πππππππ-+--+-+=∑-=） 21222222)12(cos 2)12(cos 12(2cos )11(nk n n n n n n n n n k ππππππ-+---+=∑-=）（*） 而2122)12(cos n k n k π-∑-=212222sin 2)12(cos22sin 21n n k nn k πππ∑-=-=])1(sin [sin2sin2121222n k n k nn k πππ--=∑-= 2222sin 2sin )1(sinn n n n πππ--=222sin2)2(sin 2cos n n n n πππ-=（**） 将（**）代入（*），然后取极限，得原式]2sin2)2(sin2cos2)12(cos 12(2cos )11([lim 222222n n n nn n n n n n n n n ππππππππ-+---+=→∞）]2)2(sin 2cos 2)8)12(1(12()11([lim 22342222n n n n n n n n n n n ππππππ-+----+=∞→） ]2)2(sin 2cos 2)21(12()11([lim 2232222n n n n n n n n n n ππππππ-+---+=∞→） )]48)2(2)2()(81(2)21(12()11([lim 633222232222nn n n n n n n n n n n πππππππ----+---+=∞→）)]482)(81(2)21(12()11([lim 33222232222n n n n n n n n n n n ππππππππ---+---+=∞→） 65π=上式中含2n 的项的系数为0121=+-πππ，含n 的项的系数为0)2(111=-++πππ，常数项系数为656824ππππππ=-=--解法2 Step 1因∑-=112sin n k n k π211222sinsin 22sin 21n nk nn k πππ∑-==)22cos 22(cos2sin2122112n k n k nn k πππππ+--=∑-=)2)12(cos2(cos2sin21222n n n n πππ--=故)2)12(cos 2(cos 2sin 21lim sinlim 222112n n n nn k n n k n ππππ--=→∞-=→∞∑)2)12(cos2(cos1lim222n n n n n πππ--=→∞nn n n n 2sin 2)1(sin2lim22πππ-=→∞n n n n n 22)1(2lim22πππ-=∞→2π= Step 2因222)12(cosn k nk π-∑=22222sin 2)12(cos22sin21n n k nnk πππ∑=-=])1(sin [sin2sin212222nk n k nnk πππ--=∑= 2222sin 2sinsin n n n n πππ-=2222sin 2)1(sin 2)1(cos nn n n n πππ-+=因此∑-=112sin n k n k nk π211222sin sin 22sin 21n n k n k n n k πππ∑-== ]2)12(cos 2)12(cos [2sin 212112112n k n k n k n k nn k n k πππ+--=∑∑-=-= ]2)12(cos 12)12(cos [2sin 21222112n k n k n k n k nnk n k πππ----=∑∑=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=∑-=2122222)12(cos 12)12(cos 12cos 12sin 21n k n n n n n n n nn k ππππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=∑=222222)12(cos 12)12(cos 2cos 12sin 21n k n n n n nnnk ππππ(*) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21nn n n n n n n n n n ππππππ 于是∑-=→∞112sin lim n k n n k nk π⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=→∞2222222sin 2)1(sin 2)1(cos 2)12(cos 2cos 12sin 21lim nn n n n n n n n n n n ππππππ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---=→∞n n n n n n n n n n 22)1(sin2)1(cos 8)12(11lim 224222πππππ）（ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+-++-=∞→n n n n n n n n n n n 2)48)1(2)1()(8)1(1211lim 6332422222ππππππ（⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++-=∞→)24)1(1)(81211lim 52322222n n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)241()(81211lim 2222222n n n n n n n n ππππ（ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-=∞→)2411)(81211lim 2222222n n n n n n n ππππ（ ）（222222282411211lim n n n n n n n ππππ---++-=→∞ ）（22222228242lim n n n n n ππππ--=∞→62ππ-=3π=原式6532πππ=+=2．计算⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz ，其中 ∑为下半球面222y x a z ---= 的上侧, 0>a .解 记1∑为平面 222,0a y x z ≤+= 的上侧，2∑为下半球面 222y x a z ---= 的下侧，Ω是由1∑和2∑所围成的立体，则422222211)(adxdy a dxdy a dxdy a z axdydz ay x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑∑===++π，设,sin ,cos θθr y r x ==则⎰⎰∑+∑++212)(dxdy a z axdydz ⎰⎰⎰Ω+++=dxdydz a z a )220(⎰⎰⎰Ω+=dxdydz a z )32(⎰⎰⎰≤+---+=2222220)32(a y x y x a dz a z dxdy⎰⎰≤+---+=22222202]3[a y x y x a dxdy az z⎰⎰≤+--+++-=222)3(222222a y x dxdy y x a a y x a ⎰⎰≤≤≤≤-++-=πθθ2002222d d )3(ar r r r a a r a⎰-++-=a r r r a a r a 02222d )3(2π ⎰-++-=ar r a a r a 022222)d()3(π⎰-++-=22122d ))(3(a u u a a u a π223222)(42a u a a uu a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=π274a π=⎰⎰∑++++2222)(zy x dxdya z axdydz⎰⎰⎰⎰∑∑+∑+++++-=12122)(1)(1dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a 227333a a a πππ-=+-=3．现 设计一个容积为V 的圆柱体容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案；即高与的上下底直径之比为何值时所需费用最少？解 设圆柱体的底半径为r ，高为h ，则h r V 2π=，2rVh π=总造价为222r a rh b P ππ+=222r a rbVπ+=， 则2322242r r a bV r a r bV P ππ--=+-='，由0='P 知，解得312⎪⎭⎫⎝⎛=πa bV r ，312⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππa bV V h ， 因为是惟一的驻点，所以当3122323131222222:2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=Vab a bV V a bV a bV V h r ππππππ 时，所需费用最少.4．已知 x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，求)(x f 解 因x x x f 33cos sin 1)(+='，)21,41(∈x ，故 ⎰+=x xx x f d cos sin 1)(33⎰+-+=x x x x x x x d )cos )(sin cos sin cos (sin 122⎰+-=x x x x x d )cos )(sin cos sin 1(1⎰+-=x x x d )4sin()2sin 211(21π⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()22cos(211121ππ⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x d )4sin()4(2cos 211121ππ 令)4(21π+=x t ，则⎰+=t tt x f d 2sin )4cos 211(2)(⎰+=t tt t d cos sin )4cos 2(2⎰-+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 2(222⎰+=t t t t t d cos sin )2sin 2cos 3(222 ⎰+-=t tt t t t t d cos sin )cos sin 4)sin (cos 3(222222⎰-++=t t t t t t t t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3()cos (sin 22244222 ⎰-+++=t t t t t t t tt t t d cos sin )cos sin 2sin 3cos 3(cos sin 2sin cos 222442244⎰-+++=t t t t tt tan d tan )tan 2tan 33(tan 2tan 122424 令t u tan =，2u v =，则⎰-+++=u u u u u u x f d )233(212)(2424⎰-+++=224224d )233(2122u u u u u u ⎰-+++=v v v v v v d )233(212222⎰+-++=v v v v v v d )323(122222 令)()323(1222v R vAv v v v v +=+-++，则31=A ，)323(332336331)323(12)(22222+--+-++=-+-++=v v v v v v v v v v v v v v R )323(382+-=v v 因此⎰⎰+-+=323d 324d 62)(2v v vv v x f ⎰+-+=323d 324ln 622v v vv ⎰+-+=98)31(d 924ln 622v v v C v v +-+=32231arctan 3221924ln 62C v v +-+=2213arctan 32ln 62 C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C t t +-+=221tan 3arctan 32tan ln 6222C x x +-+++=221)82(tan 3arctan 32)82(tan ln 6222ππ 二、（10分）求下列极限1．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→e n n n n )11(lim解 设xx x f 1)1()(+=, 则))1ln()1(1()1()(21xx x x x x f x+-++=')1()1ln()1()(2x x x x x x f +++-= 原式=)(lim )1(lim010x f x e x x xx '=-+→→)()(lim )(lim 00x f x f x f x x '=→→)1()1ln()1(lim)(lim 20x x x x x x f x x +++-=→→20)1ln()1(limx x x x e x ++-=→22)1ln(lim 0e x x e x -=+-=→2．nnn n n c b a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→3lim 111，其中0>a ，0>b ，0>c 解 因300ln 3ln ln ln 3ln ln ln lim 33lim abc c b a c c b b a a x c b a x x x x x x x x =++=++=-++→→ 故 原式=333lim)13(1lim 10003lim abc ee c b a x c b a c b axxxx x x x x x x xx xx ===⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++→→→三、（10分）设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，求xx x x x f x tan )cos (sin lim 220++→ 解 设)(x f 在1=x 处可导，0)1(=f ，2)1(='f ，则xx x f x x f x x x x x f x x tan )1()cos (sin lim tan )cos (sin lim 220220+-+=++→→ 1cos sin )1()cos (sin lim 1cos sin lim tan lim 220220220-+-+-++=→→→x x f x x f x x x x x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim cos 111lim220020-+-+-+=→→→x x f x x f x x x x xx x x 1cos sin )1()cos (sin lim 2sin cos sin 2lim 212200-+-+-=→→x x f x x f x x x x x x 1cos sin )1()cos (sin lim 21cos 2lim sin lim 2122000-+-+-=→→→x x f x x f x x x x x x1cos sin )1()cos (sin lim 41220-+-+=→x x f x x f x 1)1()(lim 411--=→t f t f t )1(41f '=21= 四、（10分）设)(x f 在),0[+∞上连续，⎰+∞0d )(x x f 收敛，求⎰+∞→yy x x xf y 0d )(1lim.解 令⎰=xt t f x G 0d )()(，则因⎰+∞0d )(x x f 收敛，故)(lim y G y +∞→，不妨设R A y G y ∈=+∞→)(lim ，则[]}d )()(1{lim )(d 1lim d )(1lim0000⎰⎰⎰-==+∞→+∞→+∞→y yy y y y y x x G x xG yx G x y x x xf y)d )(1)((lim 0⎰-=+∞→yy x x G yy G ⎰+∞→-=yy x x G y A 0d )(1lim 0)(lim =-=-=+∞→A A y G A y五、（12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可微，且0)1()0(==f f ，1)21(=f ，证明：（1）存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得ξξ=)(f ；（2）存在()ξη,0∈使得1)()(+-='ηηηf f .证 （1）记x x f x F -=)()(，则函数)(x F 在]1,21[上连续，且1)1(-=F ，21)21(=F ，故由零点存在性定理知存在⎪⎭⎫⎝⎛∈1,21ξ使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f . （2）因x x x f x f e x d )1)()((⎰+-'--x e x xe x x f e x x f e x x x x d d d )(d )(⎰⎰⎰⎰----+-'-= x e e x x f e x x f e x x x x d d )(d d )(⎰⎰⎰⎰----++-=x x xe x f e --+-=)(故令x e x x f x F --=))(()(, 则函数)(x F 在],0[ξ上连续，在()ξ,0内可微，0)0(=F ,0)(=ξF ,x x e x x f e x f x F -----'='))(()1)(()(, 故由罗尔定理知,存在()ξη,0∈使得0)(='ηF , 1)()(+-='ηηηf f .六、设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某邻域内有一阶连续导数，且0)(lim 0>=→a x x f x ，证明级数∑∞=-1)1()1(n n n f 条件收敛. 证 因 0)(lim>=→a xx f x ，故存在一个正数δ，使得当δ<-<00x 时，有 2)(aa x x f <-因此x x f a )(2<（δ<-<00x ），于是，当δ1>n 时， δ<-<010n ，nn f a 1)1(2<，n a n f 2)1(>，这表明级数∑∞=1)1(n n f 发散，即级数∑∞=-1)1()1(n n n f 发散.下证原级数收敛：由0)(lim0>=→a xx f x 知，0)(lim lim )(lim )0(000====→→→a x x f x x f f x x x ，0)(lim )0()(lim )0(00>==-='→→a xx f x f x f f x x由)(x f 在0=x 的某邻域内有一阶连续导数知，)(lim )0(0x f f a x '='=→，因此存在一个正数η，使得当η<-0x 时，有2)(aa x f <-' 因此)(20x f a '<<（),(ηη-∈x ）. 特别地，)(x f 在),0(η上单调增，于是当η1>n 时，)1()11(n f n f <+，且0)0()1(lim ==∞→f nf .最后由Leibniz 判别法知，原级数收敛.综上可知，原级数条件收敛.六、（14分）设1>n 为整数，⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，证明：方程 2)(n x F =在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内至少有一个根. 证 记!!2!11)(2n t t t t p nn ++++= ,)!!2!11()(2n t t t e t r ntn ++++-= ,则)()(t r e t p n t n -=,且当0>t 时,0)(>t p n , 0)(>t r n ,0)(>-t r e n t .记2)()(n x F x -=ψ，则⎰--=n n t t t r e nx 0d )(2)(ψ,因⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=-x n tt n t t t e x F 02d !!2!11)( ，故函数)(x ψ在],2[n n 上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛n n ,2内可微，且2)2()2(n n F n -=ψ⎰⎰<-=--=--20200d )(2d ))(1(nn t n n tt t r e n t t r e ,2d )()(0nt t p e n nn t -=⎰-ψ⎰⎰⎰⎰----+-=+--=202220d )(d )(d )(2d ))(1(n nn n t n t n n n t n n t tt p e t t r e tt p e nt t r e⎰⎰++-=---20202d )2(d )(n n n n t n tt n t p et t r e⎰⎰+++-=---20202d )2(d )!1(1nnn nt t t n t p e t e e n ξ ⎰⎰+-++-=+---202022d ))2((d )!1(1nnn nt nt t t n t r e e t e e n ξ ⎰⎰+---+-+-=202022d )!1(1d )!1(121nnnnt t t e e n t e e n n ξξ ⎰⎰--+-+-=2020d )!1(1d )!1(121n nt t t e e n t e e n n ξξ ⎰-+->202d )!1(22n nt t e e n n []202)!1(22nt ne e n n -++= )1()!1(222-+-=ne n n )!1(2)!1(222+++-=n n e n n )!1(22)!1(2222+-=+->n en n e n n n012>->n（若2>n ，则左边的两个不等式都成立） ()()⎰⎰-+-=-+=-=--101021d 121d 121)1()1(t te t t t e F ψ()[]⎰-++-=--101021d 1t e e t t t 032321)1(2111>-=--+-=--ee e 031)2(>->eψ01223!4223)3(1223144144314923232333>-=->⇒>⇒>>>e e e e ψ 01232452!522)4(2>->->->e e e ψ,0122212e e 12)(>->++->n n n n n e n n ψ 故由零点存在性定理知, 存在),2(n n ∈ξ使得0)(=ξψ, 即2)(nF =ξ.七、（12分）是否存在R 中的可微函数)(x f 使得53421))((x x x x x f f --++=? 若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.解 不存在假如存在R 中的可微函数)(x f 使得54321))((x x x x x f f -+-+=，则4325432)))((x x x x x f x f f -+-=''（， 若1)1(=f ，则025432)1))1(()]1[2<-=-+-=''='（（f f f f 矛盾。
复旦数学分析习题1
2. (1) 建立区间 [ a , b ] 与 [ 0, 1 ] 之间的一一对应； (2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 ( −∞,+∞) 之间的一一对应。 解（1） f : [a, b] → [0,1]
x y= x−a ； b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞ )
x 1 tan( x − )π = − cot(π x) 。 2
解
12.
一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 上层煤油液体高度为5厘米， 中层水液体高度 克／厘米 (图1.2.9)， 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间 的函数关系。
３
解
⎧78.4 x ⎪ P( x) = ⎨98 x − 98 ⎪1332.8 x − 11211.2 ⎩
。
Байду номын сангаас
8
第一章
习 题
集合与映射
1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = { a1，a2 ， ，an } 有 2 n 个子集。 解
k k 由 k 个元素组成的子集的个数为 C n ， ∑ Cn = (1 + 1) n = 2 n 。
k =0 n
⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。 证（1） 设 T 是一个无限集， 先取 a1 ∈ T 。 由于 T 是无限集， 必存在 a 2 ∈ T ，
（2）令
9.
证明：定义于 ( −∞,+∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。
证
显然
f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 是偶函数， 是奇函数，而 2 2 f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 。 + f ( x) = 2 2
数学分析习题集7复旦大学
∫
a
0
f ( x)dx +
∫0
b
f −1 ( y )dy ≥ ab
（ a > 0, b > 0 ） 。
lim ∫a | f h ( x ) − f ( x )| dx = 0 。
h→ 0
b
12．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ⎡
f ( x) g ( x)dx ⎤ ≤ ∫ f 2 ( x)dx ⋅ ∫ g 2 ( x)dx ； ⎥ a a ⎦
b b
2
2
( x)dx
} + {∫ g ( x)dx}
1 2 b 2 a
1 2
。
lim ∫ [ f ( x)] g ( x)dx
n →∞ a
{
b
} = max f ( x)
7.3
⑵ F(x) =
⑴ 6.
⑵
⎧ − 1, x为有理数, f (x) = ⎨ x为无理数; ⎩1,
x ≠ 0, ⎧ sgn(sin π x ), = ⑷ f (x) ⎨ x = 0. ⎩ 0,
1 在 f ( x)
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上满足 | f ( x ) |≥ m > 0 （ m 为常数） ，证明
⑴ lim⎜
n→∞
8.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5)
∫0 cos n xdx ; ∫0 ( a 2 − x 2 ) n dx ;
1 ∫0 x
π 2
π
⑵ ⑷
∫−π sin n x dx ;
∫0 x
e
1 2
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
刘雨林
2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
肖华勇
NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11
复旦大学2010级奖学金评定方案
2011-2012学年10级通信科学与工程系本科生奖学金评定细则（草案）一、根据《复旦大学本科优秀学生奖学金评定细则》和《复旦大学本科生奖学金评定条例》，制定本细则。
二、评定原则1、奖学金旨在鼓励褒奖在校学习阶段德、智、体、美全面发展的在校本科学生。
2、评定本着公平、公正、公开的原则进行，须由同学自行申请。
3、根据学生在该学年表现情况进行打分，按总分高低依次确定奖学金奖项。
4、若总分相同，优先考虑家庭经济困难学生；其次，优先考虑业务学习分数高者。
三、评定资格1、有下述任意情况者，不具备奖学金的申请资格：1）德育综合考评不合格者；2）当年度课程考核不及格者；3）因违反校纪校规受学校处分者；4）未通过当年度大学生身体素质测试者。
（因病或身体残疾等特殊原因除外）2、2011-2012学年若因公出国、出境交流休学一个学期以上（含一个学期）的学生不得申请奖学金；休学不足一学期，且回国参加相关考试者，需有教务部门认定其学习成绩，并经过院系奖学金评审小组审核通过方可参评奖学金。
四、评定细则总分100分，由综合素质分（20分）和业务学习（80分）两部分组成。
（一）综合素质分（20分）（以百分制评分，再折算为20分制）1、思想道德素养（20分）评定方式：自行申报后，由奖学金评定小组评分，最终由辅导员进行调整。
1）政治思想（12分）（1）对党的基本路线的认识、态度；（4分）（2）参加政治理论和形势任务课学习的情况；（4分）（3）思想上进，向党组织靠拢，积极参加党、团组织生活；（4分）（4）形势与政策课缺席一次扣2分。
2）道德素养（8分）（1）良好的道德修养，正确的生活理念，积极的学习态度；（2分）（2）尊敬师长，尊老爱幼，尊重他人，礼貌待人，关心他人，团结同学；（2分）（3）关心集体，有很强的集体荣誉感，为班级发展贡献自己的力量；（2分）（4）遵守学校各项规章制度，维护社会公德，正确的是非观念。
（2分）2、寝室文明卫生（10分，每学期5分）（此项累计不能够超过10分）评定方式：以学期为单位，根据宿舍管理员打分对男、女寝室分别排名。
复旦大学2009～2010学年《高等数学C上》第一学期期末考试试卷及答案
A卷
_ _
一、 计算下列各题：（6×5 分）
1
x
x
1、 lxim0 3e x1 2 ；
2
2、 lim
n
1 n
en n
n1 2
en n
；
3、设 f ( x) 存在，求 lim f ( x h) f ( x h) 2 f ( x) ；
cab
2 0 1
1 0 0
七、已知 A 0 3 0 ，B 0 1 0 。若 X 满足 AX 2B BA 2X ，求
2 0 2
0 0 0
X 3 。（6 分）
八、设有线性方程组
x1 x1
x1
a1 x2 a2 x2 a3 x2
a12 x3
a
2 2
x
3
a
2 3
x
3
a13
a
3 2
cab
0 0 0 七．（6 分） X 3 0 1 0 。
0 0 1
1 a1 a12 a13 1 1 1 1
八．（10 分）1）证明：A 1 a2
1 a3
a22 a32
a23 a33
a1 a12
a2 a22
a3 a32
a4 a43
(ai a j ) 0 ，
1 ji4
1 a4 a42 a43 a13 a23 a33 a43
r( A) 4 而 r(A) 3 r( A) r( A) 所以，原线性方程组无解。
2 1
2）通解为 x
x (1)
1
0
1
，
R。
2 1
xf ( x) f ( x) 3a x 2 （ a 为常数），且假设 y f (x) 与 x 1, y 0 所围成的图 2
复旦大学2009～2010学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案
复旦大学2009～2010学年第一学期期末考试试卷A 卷一. （本题共20分，每小题5分）1.求x x y 2sin 2=的二阶导数 ;2.计算23422x dx x x +++⎰ ;3.计算⎰+∞+0211dx e x ;4.求x x )dt t (x x sin 1ln lim 22tan 020⎰+→.二. （本题共20分，每小题5分）1.求矩阵的秩; ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=51041482212121221A2.设矩阵B ,A 满足2B A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312021321A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解 T )3(T )2(T )1(1)2,2,(3,3)1,1,(2,2)1,2,(1,-=-=-=x ,x ,x ,试求方程组b A =x 的通解。
4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f 00e d 0c b a A 为正交阵，求f ,e ,d ,c ,b ,a 。
三. （本题10分）求⎰-=πxdx t x t f 0sin )(在]2,0[π上的最大值和最小值。
四. （本题10分）设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=-++=+-+125233212224321432143214321x x x x b x x x x x ax x x x x x x ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。
五. （本题10分）设A 是一个实三阶方阵，其特征值为2,1,1-，证明: A 可逆，且 )A 2A I (21A 21-+=-六. （本题10分）设有一个质量为m 的均匀细棒放在xoy 平面的第一象限，细棒两端的坐标分别是2),0(),0,2(，有一个单位质量的质点位于坐标原点，求细棒对这质点的引力。
七. （本题12分）设线性空间⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R a,b,c c b b a V （1）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0001321βββ，说明321,,βββ是V 的一组基； （2）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321ααα，求出基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵；（3） 定义线性变换A 为：A 211)(ββα+=，A 322)(ββα+=，A 33)(βα=，求出A 在基321,,βββ下的表示矩阵。
2010年高教社杯全国大学生数学建模竞赛上海赛区获奖名单
谢航
魏一搏
谭立宇
16
2
A
A152
上海交通大学
董樑
盛晢
胡嘉杰
17
2
A
A343
上海交通大学
邓磊
叶文高
陈子成
18
2
A
A168
上海交通大学
张玮桦
邓念晨
陈易韦
19
2
A
A258
上海交通大学
张逸炜
杨锡灿
李铎
20
2
B
B108
上海交通大学
魏皖宁
顾志岳
吴狄
21
2
B
B052
上海交通大学
吴俊
李巍峰
王弘鸣
22
2
B
29
2
B
B005
华东师范大学
赵雨菲
陈小姣
陈雨琪
30
2
B
B174
华东师范大学
常河
施鸣骞
冯楠
31
2
A
A089
华东理工大学
王乐
练成
杜梦杰
李义龙
32
2
B
B027
华东理工大学
商晨菲
林鹏
汤俊杰
苏纯洁
33
2
B
B095
华东理工大学
何丹丹
毛丹菲
漆云飞
刘朝晖
34
2
B
B023
华东理工大学
王傲野
林万山
卫志翔
苏纯洁
35
2
A
A215
张建才
韩荣华
殷辉
数模指导组
92
2
复旦大学第三版数学分析答案
一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分）1．当 = 时，分式的值为零.2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为．3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)．5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形．6．计算．7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是．8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1，•则AD=______．9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴，且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分）11．下列运算中，正确的是A． B． C． D．12．下列说法中，不正确的是A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差13．能判定四边形是平行四边形的条件是A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是A．1 B．2 C．3 D．415．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形16．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的A．平均数是11 B．中位数是10 C．众数是10.5 D．方差是3.917．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为A.15cmB.20cmC.25cmD.12cm18．已知，反比例函数的图像经过点M（k+2,1）和N(-2, )，则这个反比例函数是A. B. C. D.19．如图所示，有一张一个角为600的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是A.邻边不等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形20．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均次数甲 35 169 6.32 155乙 35 171 4.54 155某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大。
2010首届全国大学生数学类决赛试题含答案
1 <d . m
又由于 lim f ( x + n) = 0 ，故对于每一个 x j ，存在一个 N j ，使得 f ( x j + n) <
e ，只要 n > N j ， 2
这里的e 是前面给定的.令 N = max{N1 ,L, N m } ，那么 f ( x j + n) < 其中 j = 1, 2,L , m . 设 x Î [0,1] 是任意一点，这时总有一个 x j 使得 x Î [ x j , x j +1 ] . 由 f ( x) 在 [0, +¥) 上一致连续性及 x j +1 - x j < d 可知， f ( x j + n) - f ( x + n) < 另一方面，我们已经知道 f ( x j + n) < 这样，由后面证得的两个式子就得到
1
利用
òa
2
dx 1 x = arctan + C ( a > 0) , + x2 a a
第 5 页，共 11 页
又得 æ u arctan ç 2 è 1- u 1 - u2 ö ÷ ø du + 4 æ u arctan ç 2 è 1- u 1 - u2 ö ÷ ø du .
I = 4ò 令
¥
R
dxdy dxdy 与 I e = òò ，定义 I = lim+ I e . R e ®0 e 1 - xy 1 - xy
(1) 证明 I = å
1 ； 2 n n =1 x+ y ì u= ï ï 2 í y x ïv = ï 2 î
(2) 利用变量替换
计算积分 I 的值，并由此推出
2010全国大学生数学建模竞赛获奖名单(本科组初稿)
2010全国大学生数学建模竞赛获奖名单（本科组初稿）本科组一等奖（210名，按赛区序号排列，赛区内按学校笔画排列）序号赛区学校参赛队员指导教师1 北京中央财经大学陈博武玉婷孙砚培2 北京中国人民大学卜文凯时昱旻杨亚旭韩丽涛3 北京中国人民大学陈柯兴开楠祝晨琪韩丽涛4 北京中国地质大学（北京）刘洋廷刘鑫磊郑梦天郑勋烨5 北京北京大学田成喆于晨露范爱琳指导小组6 北京北京大学程诚黄辰刘瑞恺指导小组7 北京北京大学匡宇明吕桐龚任飞指导小组8 北京北京大学杨颖程锴周瑾指导小组9 北京北京工业大学鹿思珩刘昊淼史海波数模指导组10 北京北京师范大学陶雨萌林梦西肖牧指导小组11 北京北京师范大学朱茵仪鲁珵王情指导小组12 北京北京邮电大学任峰陈雯张国波贺祖国13 北京北京邮电大学赵丽红尚秋里王占孔贺祖国14 北京北京邮电大学赵若君薛潇剑王璟尧袁健华15 北京北京邮电大学徐佳祥张引黄海龙贺祖国16 北京北京航空航天大学刘文佳覃贝贝于楠彭临平17 北京北京航空航天大学叶峰周润楠邹贤青彭临平18 北京北京航空航天大学牛宝龙康志新全拥孙海燕19 北京北京航空航天大学佘昌洋齐毅叶子豪孙海燕20 北京北京航空航天大学姜亚中淡志强吕晓帆冯伟21 北京北京理工大学于腾飞陈勇波高原徐厚宝22 北京北京理工大学朱俊杰王斌斌李毅彬房永飞23 北京对外经济贸易大学于淼吴羽乔周霁颖指导小组24 北京对外经济贸易大学吴卓宴邱珍琦朱箫笛指导小组25 北京首都医科大学邵毅刘冬鑫欧阳涣堃指导小组26 北京清华大学韩科航周伟国王小雪指导小组27 北京清华大学孙立君汪利徐悟指导小组28 北京装甲兵工程学院王磊刘厚璋傅文君齐紫微29 天津天津农学院李建忠田金歌王姣姣穆志民30 天津军事交通学院陈虹睿伍恒王立思鞠涛31 河北东北大学秦皇岛分校郑晓云李春侯鹏庆指导教师组32 河北华北电力大学周振甄钊王彬彬33 河北防灾科技学院贺子龙余坤曹京津何珊珊34 山西山西大学张骁张连敏李明宇李顺勇35 山西山西大学刘俊伶薛波王译梧刘桂荣36 山西太原理工大学陈涛程景冷冬王彩贤37 山西太原理工大学范岳樊留根姚金磊安润玲38 内蒙古内蒙古大学王恩奇邓会敏杜增义马壮39 辽宁大连海事大学毋岩斌赵宝强王嘉宁张运杰40 辽宁东北大学田涧任龙元河清何雪浤41 辽宁东北大学黄小雨周小琨陈美希王琪42 吉林长春师范学院吴斯胡晓倩敖晶吴登峰43 吉林长春理工大学王天也刘文民朱宝金成丽波44 吉林长春理工大学王昕妍舒文敏蒲睿李卫明45 吉林长春理工大学彭京蒙刘健王慧超李卫明46 吉林长春理工大学周宇艇郝贺梁帅蔡志丹47 吉林吉林大学姜富春苏丽娟侍骏超吕显瑞48 吉林吉林大学冯海兵江浩亮师宪伟史少云49 吉林吉林大学周天伟孟晨王晨吕显瑞50 吉林吉林医药学院刘海涛冯俊惠张苗苗齐德全51 黑龙江哈尔滨工业大学周鑫张叶红解奉龙李道华52 黑龙江哈尔滨工业大学金平徐妍妍陈浩辰尚寿亭53 上海上海交通大学车宇航王泽宇闫程远54 上海同济大学张森叶子熊彼德郝朝洋55 上海复旦大学陆俊巍厉传斌赵晟曹沅56 上海复旦大学艾里•热孜克李可嘉王晨阳曹沅57 上海复旦大学李天原朱涵彭镇曹沅58 上海复旦大学徐仚刘苒孙宁曹沅59 上海复旦大学曹原范敏杰方乐恒曹沅60 江苏东南大学黄菲宋爽卜昕阳数模教练组61 江苏东南大学羌波董荻莎袁颖数模教练组62 江苏江苏大学冯亦倬任文婷万根顺教练组63 江苏江南大学李磊苏欢欢王猛数模教练组64 江苏河海大学徐晓军金罗斌朱鹏张学莹65 江苏河海大学唐少将狄克罗斌丁根宏66 江苏南京大学言浩马骏王宁欣教练组67 江苏南京大学钱行强闰伟钱煜教练组68 江苏南京大学杨霄蔺璐媛付怀龙教练组69 江苏南京大学彭宇王晓亮姚秋爽教练组70 江苏南京大学陈秦波成松豪杜变教练组71 江苏南京师范大学张艳汤晓萌谢起予72 江苏南京财经大学马健杜泽宇施庭肖丽华73 江苏南京邮电大学李宁騛邱煜淳李建蕊孔告化74 江苏南京邮电大学王睿洪翠云王春路许立炜75 江苏南京邮电大学张伟张玮王富广闫庆伦76 江苏南京信息工程大学舒宏武陈凤娇傅洋77 江苏南京理工大学刘迎刘文慧张利强肖伟78 江苏常熟理工学院曹进鞠美凤宗耀东数模教练组79 江苏解放军理工大学许晓明高枫越张驭龙80 浙江中国计量学院戚立才洪露陈小军数模组81 浙江中国计量学院余舒婷章苹文一章数模组82 浙江中国计量学院王彬清张权耀刘雨数模组83 浙江杭州电子科技大学罗云岗林潮阳杨雅萌数模组84 浙江浙江大学马宇斌莫璐怡杨琦数模组85 浙江浙江大学陈鑫磊丁玫李子健数模组86 浙江浙江大学曹臻罗丁胡晨玥数模组87 浙江浙江大学刘胡世阳杨家程程功数模组88 浙江浙江工业大学何伟王绍楠陈聪数模组89 浙江浙江工业大学金超方佳盈胡晓馨数模组90 浙江浙江工业大学丁洁女温彩哨钟雷数模组91 浙江浙江师范大学孟佶贤谢杰高艳东数模组92 浙江浙江师范大学张旭丹陈余康陈聪数模组93 浙江温州大学瓯江学院金莹陈伟敏许明明徐徐94 安徽中国科学技术大学冯荻兰菲李天骄张峰95 安徽安徽大学阮骥范文萍罗小兵章飞96 安徽安徽师范大学魏子翔胡益清韩熙轩张琼97 安徽安徽建筑工业学院李淼吴红奎章龙教练组98 安徽蚌埠学院吴文健陶璇赵红敏张迎秋99 安徽解放军炮兵学院彭浩宇肖鑫冯宝龙王伦夫100 福建泉州师范学院黄伟菁杨玲玲陈世军杨昔阳101 福建厦门大学林奕徐梦露沈忱谭忠102 福建厦门理工学院宁亦杼林明阳梅玉陈玉成103 江西江西师范大学刘维张丽阳春燕教练组104 江西江西理工大学项淋飞万芸李一帆教练组105 江西南昌大学郭慧君江长云周慧教练组106 江西南昌大学科学技术学院杨献祥陈臣许梦婷教练组107 山东山东大学崔金杰王军肖佃艳数模组108 山东山东大学刘浩东苏绍清滕斌数模组109 山东山东大学许荣华秦彦齐孙开元数模组110 山东山东大学威海分校戚睿骅张静源董方丽曹祝楼111 山东山东大学威海分校郭翰橙朱文涛何勇杨兵112 山东山东科技大学王宗炎虞鑫栋宋婉莹张玉林113 山东山东科技大学邱健李丽荣刘培龙王新赠114 山东中国石油大学(华东) 尚林源吴立金李琦周生田115 山东中国海洋大学孟繁龙马瑞松王成亮数模组116 山东中国海洋大学高源靳光震王博数模组117 山东青岛理工大学王维曹帅张文亮数模组118 山东青岛理工大学刘雷雷王一凡孟令娜数模组119 山东青岛理工大学王欢高合盟贾言安数模组120 山东青岛理工大学张雪辛金龙李清杰数模组121 山东海军航空工程学院青岛分院胡光潮赵大玮郑良波曹华林122 河南河南师范大学梁广颖潘逸飞杨云飞指导教师组123 河南河南科技大学袁志凯许雪敏胡磊李培峦124 河南解放军信息工程大学马蓁薛峰杨京指导教师组125 河南解放军信息工程大学杨绪魁秦记东魏星指导教师组126 河南解放军信息工程大学徐一夫韩洁张驰指导教师组127 河南解放军信息工程大学张辉杨帆卫彦伉指导教师组128 湖北三峡大学陈杨焦晓晖胡昌志指导教师组129 湖北三峡大学刘乐军陈晓东敖行指导教师组130 湖北三峡大学付志龙辜继明李美莹指导教师组131 湖北三峡大学叶润森陈腾飞齐紫航指导教师组132 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2010年复旦千分考数学试题
2010年复旦大学自主招生考试数学试题一．选择题：（每题5分，共155分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分）1．设函数()1x y f x e ==+，则其反函数()1x f y -=在坐标系xOy 中的大致图像是 ( )2．设()f x 是区间[],a b 上的函数，如果对任意满足a x y b <≤≤的x 、y 都有()()f x f y ≤，那么称()f x 是[],a b 上的递增函数，()f x 是[],a b 上的非递增函数应满足( )(A)存在满足x y <的x 、y ∈[],a b ，使得()()f x f y >； (B)不存在x 、y ∈[],a b 满足x y <，且()()f x f y ≤； (C)对任意满足x y <的x 、y ∈[],a b ，都有()()f x f y >； (D)存在满足x y <的x 、y ∈[],a b ，使得()()f x f y ≤．3．设α、β∈,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是( )(A)2,2⎡-⎣； (B)2⎡-⎣； (C)2⎡⎣； (D)2⎡⎣．4．设实数0,x y ≥≥0，且满足25x y +=，则函数()2,22f x y x xy x y =+++的最大值是( )(A)978； (B)19516； (C)；494 (D)252．5．设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形（其中正方形边长为1）分别为则该多面体的体积为( )(A)23； (B)34； (C)；45(D)56．6．在一个底面半径为12，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，再圆柱内空余的地方放入与实心球、圆柱的侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球的个数是 （ ） (A)32个； (B) 30个； (C)28个l ； (D) 26个．7．给定平面向量(1，1)，那么平面向量1313-+⎝⎭是将向量(1，1) ( )(A)顺时针旋转60°所得； (B)顺时针旋转120°所得；(C)逆时针旋转60°所得； (D)逆时针旋转120°所得．8．在直角坐标系Oxy 中，已知点()12313131,0,,,22A A A ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭()41,0A -,513,22A ⎛-- ⎝⎭,613,22A ⎛- ⎝⎭，那么在向量(),1,2,3,4,5,6,i j A A i j i j =≠中，不同向量的个数有( )(A)9个； (B)15个； (C) 18个； (D) 30个 9．对函数[][]:0,10,1f →，定义()()()()()11,,n n f x f x f x ff x -=⋅⋅⋅=，1,2,3,,n =⋅⋅⋅满足()n f x x =的点x ∈[]0,1称为f 的一个n -周期点．现设()12,0;2122,1,2x x f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤则f 的一个n -周期点的个数是( )(A) 2n 个； (B) 22n 个； (C)2n个； (D) ()221n-个． 10．已知复数1213,33z i z i ==-，则复数12z z 的一个辐角是 ( ) (A)1312π； (B)1112π； (C)4π-； (D)712π-．11．设复数cos sin ,sin cos z i i αβωαβ=+=+，满足3z ω=，则()sin βα-=( ) (A)33或12-； (C)12±； (D)12或312．已知常数1k ，2k 满足12120,1k k k k <<=．设1C 和2C 分别是以()111y k x =±-+和()211y k x =±-+为渐近线且通过原点的双曲线，则1C 和2C 的离心率之比12e e 等于( )；； (C)1； (D)12k k ． 13．参数方程()()()sin 01cos x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩所表示的函数()y f x =( ) (A)图像关于原点对称； (B)图像关于直线x π=对称；(C)是周期为2a π的周期函数； (D)是周期为2π的周期函数．14．将同时满足不等式20x ky --≤，2360x y +-≥，()61000x y k +->≤的点组成的集合D 称为可行域，将函数1y x+称为目标函数．所谓规划问题就是求解可行域中的点(),x y 使目标函数达到在可行域上的最小值，如果这个规划问题有无穷多个解(),x y ，那么k 的取值为( )(A)1k ≥； (B)2k ≤； (C)2k =； (D)1k = ．15．某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量ω是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是 ( ) (A) y 是x 的函数； (B) z 是y 的函数；(C) ω是z 的函数； (D) ω是x 的函数． 16．对下于原命题“单调函数小不是周期函数”，下列陈述正确的是 ( ) (A)逆命题为“周期函数不是单调函数”； (B)否命题为“单调函数是周期函数”； (C)逆否命题为“周期函数是单调函数”； (D)以上三者都不正确． 17．设集合(){}(){},loglog 0,,aa A x y x y B x y x y a =+>=+<，如果A ∩B =∅，那么a 的取值范围是( )(A)∅； (B)0a >，且1a ≠； (C)02a <≤，且1a ≠； (D) 12a <≤．18．设集合x 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x ∈X ，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合 (1)Z,01n n n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭∈≥，(2){}\0R ，(3)1,0n Z n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈≥，(4)整数集Z 中，以0为聚点的集合有 ( ) (A)(2)、(3)； (B)(1)、(4)；(C)(1)、(3)； (D)(1)、(2)、(4) ．19．已知点()()()2,0,1,0,0,1A B C -，如果直线y kx =将△ABC 分割为两个部分，那么当k 等于多少时，这两个部分的面积之积最大？ ( ) (A)32-； (B)34-； (C)43-； (D)23-．20．已知()2sin cos f x x x x =，定义域()7,1212D f ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则其反函数()1f x -=( )(A) 1arccos 212x π⎛+ ⎝⎭；(B)1arccos 26x π⎛- ⎝⎭；(C) 1arcsin 212x π⎛-+ ⎝⎭；(D)1arcsin 226x π⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 与1l ，2l 都垂直的必要非充分条件是( )(A) l 是过点1P ∈1l 和点2P ∈2l 的直线，这里12PP 等于直线1l 和2l 间的距离；(B) l 上每一点到1l 和2l 的距离都相等； (C)垂直于l 的平面平行1l 和2l ；(D)存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行或重合．22．设ABC A B C '''-是正三棱柱，其底面边长和高都为1，P 是侧面ABB A ''的中心点，则P 到侧面ACC A ''的对角线的距离是( )(A)12；．23．在一个球面上画一组三个互不相交的圆，称为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，那么称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系，球面上具有不同的位置关系的三圆组有( ) (A)2种； (B)3种； (C)4种； (D)5种． 24．设非零向量()()()123123123,,,,,,,,a a a a b b b b c c c c ===为共面向量，()123,,x x x x =是未知向量，则满足0,0,0a x b x c x ===的向量x 的个数为( )(A)1个； (B)无穷多个； (C)0个； (D)不能确定． 25．在坐标平面上Oxy 给定点()()()1,2,2,3,2,1A B C ，矩阵211k ⎛⎫⎪-⎝⎭将向量OA ，OB ，OC 分别变换成向量OA '，OB '，OC '，如果联结它们的终点A '、B '、C '构成直角三角形，且斜边为B C ''，那么k =( )(A)2±； (B)2； (C)0； (D)0，2-．26．设集合A 、B 、C 、D 是全集X 的子集，A ∩B ≠∅，A ∩c ≠∅，则下列选项中正确的是 ( )(A)若D B 或D C ．则D ∩A ≠∅；(B)若D A ，则XD ∩B ≠∅，XD ∩C ≠∅； (C)若DA ，则X D ∩B ＝∅，XD ∩C ＝∅；(D)上述各项都不正确．27．已知数列{}n a 满足12a =，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则1nk k a ==∑( )(A) 122n n +-； (B)()1122n n +-+；(C)()221nn n +-； (D) ()122nn n -+． 28．复平面上圆周112z z i-=-+的圆心是 ( ) (A)3i +； (B)3i -； (C)1i +； (D)1i -．29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足2OP OP r *=，则称P 、P *关于圆周C 对称，那么，双曲线221x y -=上的点(),P x y 关于单位圆周C '：221x y +=的对称点P *所满足的方程是( )(A)2244x y x y -=+； (B)()22222x y x y -=+；(C)()22442x y x y -=+； (D)()222222x y x y-=+．30．经过坐标变换cos sin sin cos x x y y x y θθθθ'=+⎧⎨'=-+⎩，将二次曲线223560x y -+-=转化为形如22221x y a b ''±=的标准方程，则θ的值及二次曲线的类型是 ( ) (A)()6k k Z πθπ=+∈，椭圆；(B) ()26k k Z ππθ=+∈，椭圆；(C) ()6k k Z πθπ=-∈，双曲线；(D) ()26k k Z ππθ=-∈，双曲线． 31．设k 、m 、n 是整数，不定方程mx ny k +=有整数解的必要条件是( ) (A) m 、n 都整除k ； (B) m 、n 的最大公因子整除k ；(C) k 、m 、n 两两互质； (D) k 、m 、n 除1外没有其他公因子．2010年名牌大学自主招生考试试题(1)详解适用高校：复旦大学选择题（每题5分，共155分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．[答案]A[解答]注意到反函数表达式中x 与y 没有互换，所以()1x f y -=的图像即()y f x =的图像． 2．[答案]A[解答]“任意”的否定是“存在”，“≤”的否定是“>”． 3．[答案] D[解答]依题意，()sin 1αβ+=，因为παβπ-+≤≤，所以2παβ+=．又因为,222πππβα⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦．所以0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， sin sin sin cos 2sin 1,24παβααα⎛⎫⎡⎤+=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．4．[答案]C[解答]因为520y x =-≥，所以502x ≤≤，消去y ，得()234924f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当32x =时，max 494f =．5．[答案] D[解答]该几何体是一个棱长为1的正方体截去一个角所得． 6．[答案] B[解答]如图，图(1)是圆柱的轴截面，图(2)是圆柱的底面． 设小实心球的半径为r ，则12222r r +=-，解得3222r -=． 所以AB 322=-，OA ＝OB ＝21-，且∠AOB ＝21arcsin2-， 因为1516212arcsin<<-，所以最多可以放30个小实心球．7．[答案]C[解答]因为向量()1311,1,,22a b ⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭的夹角60θ=︒，结合图像知选(C)． 8．[答案]C[解答]依题意，A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6是正六边形的6个顶点，其中模为1、2的向量各有6个，所以向量,12345,6,i j A A i j i j ≠（=，，，，）中，不同向量的个数为18． 9．[答案]C[解答]将x 写成二进制小数()1220.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，其中()210.111=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则由()f x 定义知，()()2320.n f x a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若()1220.n x a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅是()f x 的n -周期点，则()()12122220.0.n n n n a a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即x 在二进制下是以n 为周期的循环小数，这样的x 共有2n个．10．[答案]A[评注]1z 的辐角主值为3π，2z 的辐角主值为34π，则12z z 的辐角主值为3133412πππ+=． 11．[答案]C ．[解答]因为()()sin cos sin cos sin sin cos cos 2zwi ααββαβαβ=++-=， 所以sin cos sin cos sin sin cos cos 0ααββαβαβ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩因为()cos0αβ+=，所以()sin 1αβ+=±．又因为sin 2sin 2αβ+=()()sin cos αββα+-= ()()1cos 2βαβα-=-=±． 12．[答案]C[解答]依题意，设()()()2212211:10y x C a b ab---=>>，()()()2222211:10x y C B A A B ---=>>因为12,C C 都过原点，所以222211111a b A B -=-=，即22221111a Bb A+=+．又因为121k k =，所以1a B b A =，即11aB bA=，所以 1111a B b A +=+，且1111a B A b-=-，解得,a A b B ==，所以12e e =． 13．[答案]C[解答]当()()()22sin 2sin 2x x a a a t t a t t ππππ'=+=+-=+-+⎡⎤⎣⎦时，相对应的()()1cos 2y a t y π'=-+=，即()()2f x a f x π+=，所以()f x 是周期为2a π的周期函数．14．[答案]C [解答]1y x+表示可行域中一点(),x y 与点()0,1-连线斜率，当规划问题有无数多个解时，点()0,1-在直线20x ky --=上，所以2k =．15．[答案]B 16．[答案] D[解答]逆命题：如果一个函数不是周期函数，那么它是单调函数； 否命题：如果一个函数不是单调函数，那么它是周期函数； 逆否命题：如果一个函数是周期函数，那么它不是单调函数． 7．[答案] D[解答]当01a <<时，(){},01,0,0A x y xy x y =<<>>，A ∩B ≠∅，当1a >时，(){},1,0,0A x y xy x y =>>>．若A ∩B ＝∅，则曲线1xy =与x y a +=仅有一个交点或无交点，消去y ，得210x ax -+=，所以240a -≤，解得12a <≤． 18．[答案]A [解答] {}\0R 与1,0n Z n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∈≥中均存在以0为极限的非零实数列． 19．[答案] A[解答]当且仅当两部分面积相等时，这两部分的面积之积最大，此时直线y kx =过线段AC 上一点D ，且OA AD ⋅=，即34AD AC ==，所以13,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得32k =-． 20．[答案]A[解答]因为())1sin 2cos 21sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭cos 262x π⎛⎫-+⎪⎝⎭，且[]20,6x ππ-∈，所以()11arccos 2212f x x π-⎛=-+ ⎝⎭，331,122x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦．21．[答案]D[解答]12,l l 的公垂线与l 平行或重合． 22．[答案] C[解答]设P 在侧面ACC A ''上的射影为H ，则H 到侧面ACC A ''对角线的距离为2， 且34PH =，所以P 到侧面ACC A ''对角线的距离为14．23．[答案]A[提示]如图，不同的三圆组位置只有两种可能．24．[答案]B[解答]向量x 与a 、b 、c 都垂直，只需取x 与a 、b 、c 所在平面垂直，显然这样的x 有无穷多个． 25．[答案] B[解答]依题意，()()()22,1,43,1,4,1A k B k C k '''+++-，所以 ()()2,0,2,2A B k A C k ''''=+=--，因为A B A C ''''⊥，所以()()2200,2k k k +-+==±． 当2k =-时，A'与B'重合，不合题意舍去，所以2k =． 26．[答案]D[提示]利用文氏图构造反例． 27．[答案]B[解答]依题意，12312,222322nnn n kk a n an ===+++⋅⋅⋅+∑，且()23112222122nn n kk an n +==++⋅⋅⋅+-+∑．两式相减，得()()11231122222122n n n n k k an n ++==-+++⋅⋅⋅=-+∑．28．[答案] C[解答]设(),z x yi x y R =+∈．由11z z i -=-+，得()()()222211112x y x y ⎡⎤-+=-++⎣⎦． 化简，得()()22112x y -+-=．所以圆心为1i +．29．[答案]B[解答]设()()00,,:,,P x y OP y kx P x y *=，则 20211x k=-，()2011OP OP k x x *=+=，所以()2222111k x k +=-． 将y k x =代入上式化简，得()22222x y x y -=+． 30．[答案] B[解答]将cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-⎧⎨''=+⎩代入曲线方程后，得x y ''项的系数为224sin cos θθθθ+-，所以224sin cos 0θθθθ+-=，解得()26k k Z ππθ=+∈．且2x '项系数为223cos 5sin cos θθθθ+-，2y '项系数为223sin 5cos cos θθθθ++，代入得椭圆方程，得2266x y ''+=或22326x y ''+=．31．[答案]B[解答]设()(),,,,m n d m ad n bd a b N *===∈，则()mx ny ax by d k +=+=， 所以d 整除k ．。
复旦大学高等数学B期末考试试卷2010-01（A）
复旦⼤学⾼等数学B期末考试试卷2010-01（A）复旦⼤学数学科学学院2009～2010学年第⼀学期期末考试试卷A 卷 ?B 卷课程名称：__⾼等数学B _________ 课程代码： MATH120003.01 __ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷姓名：学号：专业：(以下为试卷正⽂)（装订线内不要答题）注意：答题应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。
⼀、求极限（共18分）1. ??-+++∞→x x x x x lim （5分）2. 设()x f 可导，且()00=f ，()00≠'f ，求()()?→202lim x xx dtt f dtt f x。
（5分）3. ⽤⼀个积分来表⽰极限??+++∞→n n n 12111lim，并求此极限的值。
（8分）⼆、计算积分（15分）1.dx x x ?2ln 。
（5分）2.+dx x x112。
（5分）3.()-212/321arcsin dx x x。
（5分）（装订线内不要答题）三、设-=θθθθcos sin sin cos r r A ，其中0≠r ，求1-A 。
（7分）四、求直线?=+-+=-+-063201z y x z y x 在平⾯0=++z y x 上的投影。
（8分）五、设函数()x f ⼆阶可导，求复合函数()()()x f ln cos 的⼆阶导数。
（8分）六、试证明0>x 时，()x x x x <+<-1ln 22。
（8分）（装订线内不要答题）七、设()[]b a C x f ,∈'，()()0==b f a f ，且()?=badx x f 12，求()()?'badx x f x f x 。
（8分）⼋、求内接在⼀个半径为3的球内的最⼤圆柱体的半径和⾼。
（8分）九、考察函数()341x x y +=的单调性、凸性、极值、拐点，并画出其图像。
（10分）（装订线内不要答题）⼗、设()x x x f +-??+=1111ln ，1) 当+∞→x 时，⽤x 的幂函数表⽰它的等价⽆穷⼩量 2) 判断反常积分()dx x f ?∞+1的收敛性。
2010年大学生数学竞赛试题参考解答
6. 已知 u f ( x, y) 满足 r
u u u u ， 。 x, y ，这里 ( , r ) 为极坐标。求 y r x
u u u u u u cos sin r x y y y x r cos r x r x 解： ， 。 y r sin u u r ( sin ) u r cos u u ( y ) u x y y x x u u x x y y x u 2 xy u x 2 y 2 2 2 由条件知 ，解之得： ， . 2 y x y 2 x x y u ( y ) u x y y x
1 令 ( x) e x e x x 2 2 ，则 ( x) 为偶函数，且 (0) 0 。 2
1 6
（ ' x） e x e- x x ， ''( x) e x e x 1 。
显然， ''( x) 0 ， '( x) 单调增加。 x 0 时 '( x) '(0) 0 。
t2 1 4 dt t 3 3 。 2 6 0 3 1 t
2
4 故 S S1 S2 3 。 3
另解：利用曲线积分。由曲线积分可知 S
1 1 ydx xdy [ ] ， 2L 2 L1 L2
其中 L1 为红色曲线， L2 为线段 x 1 (2 y 0) 。
解：由条件知 F ( x) F ( x) x(1 x)e2 x 。 两边积分 F ( x) F '( x)dx x(1 x)e2 x dx 得
2010复旦 高校自主招生数学试题及解答
A.± 3 /2;
B. 3 /2，−1/2;
C. ±1/2;
D.1/2,− 3 /2.
12.已知常数 k1,k2 满足 0<k1<k2，k1k2=1.设 C1 和 C2 分别是以 y=±k1(x−1)+1 和 y=±k2(x−1)+1 为渐近线
且通过原点的双曲线.则 C1 和 C2 的离心率之比 e1 等于_______. e2
A.k≥1;
B.k≤2
C.k=2;
D.k=1.
15.某校有一个班级，设变量 x 是该班同学的姓名，变量 y 是该班同学的学号，变量 z 是该班同学的
身高，变量 w 是该班同学某一门课程的考试成绩.则下列选项中正确的是________.
A. y 是 x 的函数； B. z 是 y 的函数；C. w 是 z 的函数； D. w 是 x 的函数.
B.15 个；
C.18 个；
D.30 个
9.对函数 f:[0,1]→[0,1]，定义 f1(x)=f(x)，……，fn(x) =f(fn−1(x))，n=1,2,3,…….满足 fn(x)=x 的点 x∈[0,1]
称为
f
的一个
n−周期点.现设
f
(x)
2x,0 2 2x,
x
1 2
1, 2 x
C．垂直于 l 的平面平行于 l1 和 l2
D．存在与 l1 和 l2 都相交的直线与 l 平行
22.设 ABC−A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为 1，P 是侧面 ABB’A’的中心，则 P 到侧面 ACC’A’ 的对角线的距离是_____
A． 1 2
B． 3 4
C． 14 8
D． 3 2 8
复旦数分数学分析竞赛
数学竞赛参考解答 （数学分析部分）1．数列{}n a 满足1220++≤<n n n a a a ，证明：1n n a ∞=∑发散。
解：令11b a =，223b a a =+，34567b a a a a =+++，1122121n n n n b a a a --+-=+++ ，则数列{}n b 单调增加。
2．设110<<-a ，)0(211>+=-n a a n n ，问极限 )1(4lim n n n a -∞→是否存在？存在的话，求出极限值。
解：令 0cos ,22a ππθθ=-<<，则1cos 2a θ==，，cos 2n na θ==。
3．计算Fibonacci 数列的通项n a ：)2(,1,11121≥+===-+n a a a a a n n n 。
解：设1()nn n F x a x ∞==∑，则12()nn n xF x a x ∞-==∑，223()n n n x F x a x ∞-==∑，由此可得到2(1)()x x F x x --=，求2()1xF x x x=--幂级数展开中n x的系数。
答案为nnn a -= 4．设∑==nk kn k x x P 0!)(，证明：)()(1x P x P n n +有唯一实根。
解：+∞=±∞→)(lim 2x P n x ，所以)(2x P n 有最小值。
设0x 是最小值点，则 0)()('01202==-x P x P n n ，显然0x 不等于零。
)(2x P n 的最小值为0)!2()()(2001202>+=-n x x P x P n n n 。
由于0)()('212>=+x P x P n n ，可知)(12x P n +严格单调增加，所以)(12x P n +有唯一实根。
5．(1) 求⎰-=101)(dx x I αα关于),0[+∞∈α的最小值。
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1
f (x) dx = 1.
−1
证明
11
1
|x + y|f (x)f (y) dxdy ≥ |x|f (x) dx.
−1 −1
−1
三 (15%)、
定义
F (λ) =
√ 求 lim λ F (λ).
λ→+∞
R
e−λ(x2+1−cos x)
x sh x
dx,
λ > 0.
+∞
四 (15%)、 设 p > 1, f 在 (0, +∞) 连续且
|f (t)|p dt 收敛. 证明:
0
+∞ 0
1 x
x
p
|f (t)| dt dx
0
1 p
≤
p p−1
+∞
1
|f (t)|p dt p .
0
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五 (15%)、 设有可数个正数列 a(nk) : n, k ≥ 1 满足:
1.
a(nk) = 1,
n≥1
∀ k ≥ 1.
2. 记 N 为正整数集, 若对任何 A ⊂ N, lim
2010年复旦大学数学竞赛分析卷
学 校： 姓 名：Fra bibliotek院 系： 学 号：
专 业：
题目 1
2
3
4
5
6
7 总分
得分
一 (12%)、 证明:
e−2t = √1π
e +∞
−y−
t2 y
0
√dyy ,
∀ t > 0.
二 (13%)、 设 f 是 [−1, 1] 上的非负连续函数, 满足
1
xf (x) dx = 0,
lim f (y)
y→x−
y∈Q
存在. 证明: f 在任何点 x ∈ (0, 1] 上有左极限.
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k→+∞
a(nk) 存在.
n∈A
令
an
=
lim
k→+∞
a(nk).
证明:
an = 1.
n≥1
六(15%)、 设 an > 0, 且 an = 1. 证明
n≥1
F≡
an : A ⊂ N
n∈A
是一个闭集(注: A 可以取空集), 其中 N 为正整数集.
七(15%)、 设 f 是 [0, 1] 上的右连续函数， Q 是 [0, 1] 上的有理数集. 若 f 沿 着 Q 有左极限, 即 ∀ x ∈ (0, 1],