高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 基本逻辑联结词 1.2.1“且”与“或”学案 新人教B版选修2-1

1.2.1 “且”与“或”
1．了解“且”与“或”的含义．
2．能判断由“且”与“或”组成的新命题的真假．
1．“且”的含义及由“且”构成的新命题
(1)“且”的含义：逻辑联结词“______”与自然语言中的“______”“______”“______”相当．
(2)由“且”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“______”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作：p______q，读作“p且q”．
(3)“p且q”的真假：如果p，q______真命题，则p∧q是______命题；如果p，q两个命题中，______有一个是假命题，则p∧q是假命题．反过来，如果p∧q是______命题，则p，q一定______真命题；如果p∧q为______命题，则p，q两个命题中，______有一个是假命题．
【做一做1
p：16是2的倍数；q：16是8的倍数．
判断“且”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“且”命题的真值表进行判定．
2．“或”的含义及由“或”构成的新命题
(1)“或”的含义：逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“______”是相当的．
(2)由“或”构成的新命题：一般地，用逻辑联结词“______”把命题p，q联结起来，就得到一个新命题，记作：p______q，读作“p或q”．
(3)“p或q”的真假：如果p，q两个命题中，至少有一个是______，则p______q是真命题；只有当两个命题都为______时，p∨q是______命题．
【做一做2
p：菱形的对角线互相平分；q：菱形的对角线相等．
判断“或”命题的真假时，首先判断所给两个命题的真假，再利用“或”命题的真值表进行判定．
1．如何理解联结词“且”
剖析：“且”与集合中“交集”的概念有关，与A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”
意义相同，即“x∈A”与“x∈B”这两个条件都要满足．举一个与“且”有关的例子：电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启，相应的电路就叫与门电路．
2．如何理解联结词“或”
剖析：“或”与集合中“并集”的概念有关，与A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”意义相同，它是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的，既可以是x∈A且x B，也可以是x∈B且x A，也可以是x∈A且x∈B.这与生活中的含义不完全相同，例如：“你去图书馆或去游泳馆”，两者不可能同时发生；再如，日常生活中，我们认为“苹果是长在树上或长在地里”这句话是不正确的．
“且”与“或”只有用来联结两个命题时，才称其为逻辑联结词．如：命题“方程|x|＝1的解是x＝1或x＝－1”中的“或”就不是逻辑联结词．
题型一“p∧q”形式的命题及其真假的判定
【例1】分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”形式的新命题，并判断它们的真假：
(1)p：30是5的倍数；q：30是8的倍数．
(2)p：矩形的对角线互相平分；q：矩形的对角线相等．
(3)p：x＝1是方程x－1＝0的根；q：x＝1是x＋1＝0的根．
分析：用逻辑联结词“且”把命题p，q联结起来构成“p∧q”形式的命题；利用命题“p∧q”的真值表判断其真假．
反思：(1)写“且”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“且”命题时，后一个命题可省略主语．
(2)判断“且”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“且”命题的真假．
题型二“p∨q”形式的命题及其真假的判定
【例2】分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”形式的命题，并判断它们的真假：
(1)p：正多边形各边相等；q：正多边形各内角相等．
(2)p：线段中垂线上的点到线段两端点距离相等；q：角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
(3)p：正六边形的对角线都相等；q：偶数都是4的倍数．
分析：用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来构成“p∨q”形式的命题；利用命题“p∨q”的真值表判断其真假．
反思：(1)写“或”命题时，若两个命题有公共的主语，写成“或”命题时后一个命题可省略主语．
(2)判断“或”命题真假的方法和步骤：①先判断每一个命题的真假；②利用真值表判断“或”命题的真假．
题型三易错题型
【例3】(1)命题“等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边”是由“或”或“且”构成的新命题吗？若是，指出是哪种形式；若不是，说明理由．
错解：不是由“或”或“且”构成的新命题．理由：因为命题中不含有逻辑联结词“或”或“且”．
错因分析：没有注意到该命题是省略联结词“且”的命题．
(2)命题“不等式x2＞1的解集是{x|x＞1，或x＜－1}”的构成形式是“p∨q”吗？为什么？
错解：是；因为该命题中含有逻辑联结词“或”．
错因分析：没有注意到“或”联结的不是两个命题．
1下列命题的构成是“p∨q”形式的是( )
A．5既是奇数又是质数
B．6≤7
C．π不是有理数
D．2是4的约数并且是7的约数
2下列命题的构成不是“p∧q”形式的是( )
A．2是6的约数，也是8的约数
B．方程x2＝1的一个解是x＝1，另一个解是x＝－1
C．2和－2是方程x2－4＝0的根
D．函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数
3命题“方程|x|＝2的解是x＝±2”中，使用逻辑联结词的情况是( )
A．使用了逻辑联结词“或”
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”与“且”
D．没有使用逻辑联结词
4下列命题中既是“p∧q”形式的命题，又是真命题的是( )
A．15或20是5的倍数
B．1和2是方程x2－3x＋2＝0的根
C．方程x2＋2＝0有实数根
D．有一个角大于90°的三角形是钝角三角形
5命题“集合A是集合A∪B的子集或是集合A∩B的子集”是__________命题(填“真”或“假”)．
答案：
基础知识·梳理
1．(1)且并且及和(2)且∧(3)都是真至少真都是假至少真假假假
【做一做1】分析：由“且”命题的定义写出新命题：16是2的倍数且是8的倍数；因命题p，q都是真命题，故新命题是真命题．
解：p∧q：16是2的倍数且是8的倍数．新命题是真命题．
2．(1)或者(2)或∨(3)真命题∨假假真
真真假
【做一做2】分析：由“或”命题的定义写出新命题：菱形的对角线相等或互相平分；因命题p是真命题，q是假命题，故新命题是真命题．
解：p∨q：菱形的对角线相等或互相平分．新命题是真命题．
典型例题·领悟
【例1】解：(1)p∧q：30是5的倍数且是8的倍数；
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
(2)p∧q：矩形的对角线互相平分且相等．
由于命题p和q都是真命题，故命题p∧q是真命题．
(3)p∧q：x＝1是方程x－1＝0的根且是方程x＋1＝0的根．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∧q是假命题．
【例2】解：(1)p∨q：正多边形各边相等或各内角相等．
由于命题p是真命题，命题q是真命题，故命题p∨q是真命题．
(2)p∨q：线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等或角平分线上的点到角的两边的距离不相等．
由于命题p是真命题，命题q是假命题，故命题p∨q是真命题．
(3)p∨q：正六边形的对角线都相等或偶数都是4的倍数．
由于命题p是假命题，命题q是假命题，故命题p∨q是假命题．
【例3】(1)正解：所给命题可改写为“等腰三角形顶角的平分线垂直且平分底边”，也就是“等腰三角形顶角的平分线垂直底边且等腰三角形顶角的平分线平分底边”，故该命题是由“且”构成的新命题．
构成形式：p∧q.
(2)正解：不是；因为“或”在此不是联结的两个命题．
随堂练习·巩固
1．B 2.B
3．D 命题“方程|x|＝2的解是x＝±2”可以写成“方程|x|＝2的解是x＝2或x＝－2”，其中的“或”不是联结的两个命题，故没有使用逻辑联结词．选D.
4．B 命题“1和2是方程x2－3x＋2＝0的根”可写成“1是方程x2－3x＋2＝0的根且2是方程x2－3x＋2＝0的根”，此命题是用“且”联结的两个命题构成的新命题，故是“p ∧q”形式的命题；又两个命题都是真命题，故该命题是真命题．从而选B.
5．真。