高等数学(ii1) ( 第3次 )

第1次作业
一、计算题（本大题共48分，共 8 小题，每小题 6 分）
1.
求函数的定义域
2.
求曲线上点处的切线方程与法线方程？
3.
求的导数。

4.
计算
5.
求不定积分
6.
应用分部积分法求
7.
讨论函数在处的可导性?
8. 欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？
二、证明题（本大题共12分，共 2 小题，每小题 6 分）
1.
证明：不存在。

2.
证明函数单调减少。

三、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分）
1.
______
2.
则
3.
函数的定义域为，则的定义域为 ______ 4.
设则______
5.
= ______
6.
设则______
7.
＝ ______
8. 函数，若在处连续，则＝ ______
9.
已知则______
10.
设为连续函数，为的原函数，则= ______
答案：
一、计算题（48分，共 8 题，每小题 6 分）
1.
参考答案：
欲使原函数有意义，必须
且,解得
且,
故，原函数的定义域为：
解题方案：
定义域是使得函数有意义的集合
评分标准：
2.
参考答案：
解：因为，所以；
即在处切线斜率为，法线的斜率为；所以切线方程是：；
法线的方程为：。

解题方案：
先求斜率，再代入求解
评分标准：
3.
参考答案：
解：
解题方案：
利用乘法的求导法则
评分标准：
4.
参考答案：
解：
解题方案：
牛顿-莱布尼兹公式
评分标准：
5.
参考答案：
解：
解题方案：
基本求积公式和不定积分的性质
评分标准：
6.
参考答案：
解：
故：
解题方案：
分部积分法
评分标准：
7.
参考答案：
解：在处：
，
，
从而函数在处不连续，因此不可导。

在处；首先函数在该点连续（可以不证明）
，，从而函数在处可导。

（左右导数相等）
解题方案：
评分标准：
先看是否连续，在连续的情况下，求左右导数，看是否相等
8.
参考答案：
答：设土地的长为米，则宽为米，设需要材料为，则：
，令，则，即长为18米，宽12米。

解题方案：
找函数关系，再求极值和最值
评分标准：
二、证明题（12分，共 2 题，每小题 6 分）
1.
参考答案：
证明：
而
所以不存在。

解题方案：
计算左右极限
评分标准：
2.
参考答案：
证明：，故单调递减。

解题方案：
求一阶导数，证明一阶导数小于0
评分标准：
三、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分）
1.
参考答案：
解题方案：
观察得出结果即可
评分标准：
2.
解题方案：
运用夹逼定理
评分标准：
3.
参考答案：
解题方案：
定义域是使得函数有意义的实数集，那么的取值应该在内
评分标准：
4.
参考答案：
解题方案：
利用求导公式和性质
评分标准：
5.
参考答案：
解题方案：
不定积分的概念和微分的定义
评分标准：
6.
参考答案：
解题方案：
求导数，然后将导函数代入函数
评分标准：
7.
解题方案：
评分标准：
8.
参考答案：
解题方案：
求出左右极限，令其和函数值相等，即可得到结果评分标准：
9.
参考答案：
解题方案：
利用对数求导方法
评分标准：
10.
参考答案：
解题方案：
凑微分
评分标准：。