2018届高考数学(文)一轮总复习检测第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
高考数学一轮复习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入
答案：5
5．已知复数 z＝1－3＋3ii2，则|z|＝________. 解析：z＝1－3＋3ii2＝－2－3＋2 i 3i ＝－2－3＋2 i3－i2－＋22＋23i3i＝－ 43＋14i，
答案：8
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解析：由题意知xx2－－11≠＝00， 得 x＝－1.
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解析：当 m»＝第1 五时级，z1＝3－2i，故 z1＝z2；反之当 z1＝z2 时， 有mm22＋ ＋mm＋ －14＝ ＝－ 3，2， 解得 m＝1 或 m＝－2.所以 m＝1 是 z1＝ z2 的充分不必要条件．
以 1 为半径的圆上.yx表示圆上的点与原点连线的斜率．
设过原点的直线为 y＝kx，由直线与圆相切，得 k|22＋k| 1＝1，
解得
k＝±
3 3.
故所求yx的取值范围为－ 33， 33.
答案：A
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2018高考数学(文理通用版)一轮复习检测第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1讲 Word版含答案
第四章第一讲组基础巩固一、选择题．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量，，均有：－<＋；②对任意两向量，，－与－是相反向量；③在△中，＋－＝；④在四边形中，(＋)－(＋)＝；⑤－＝．．①②③．②④⑤．②③④．②③[解析]①假命题．∵当＝时，－＝＋.∴①不成立．②真命题．∵(－)＋(－)＝＋(－)＋＋(－)＝＋(－)＋＋(－)＝(－)＋(－)＝，∴－与－是相反向量．③真命题．∵＋－＝－＝，∴③成立．④假命题．∵＋＝，＋＝，∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠．∴该命题不成立．⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．．对于非零向量，，“＋＝”是“∥”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[解析]若＋＝，则＝－，所以∥；若∥，则＝λ，＋＝不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．．(·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中，有定点，，，，，，，则＋等于( )．．．．[解析]如图，取点，由向量加法的平行四边形法则有＋＝＝.故选．[解法总结]()进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量．()向量的线性运算类似于多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用．运用上述法则可简化运算．．(·武汉武昌区调研)设为平行四边形对角线的交点，为平行四边形所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于( )．．．．[解析]因为是平行四边形对角线、的交点，所以＋＝，＋＝，所以＋＋＋＝，故选．．(·内蒙古鄂尔多斯市一中期末考试数学试题)如图，△为等腰三角形，∠＝∠＝°，设＝，＝，边上的高为.若用，表示，则表达式为( )．－．＋．－．＋[解析]因为在三角形中，由∠＝∠＝°，所以＝，因为＝＋，所以＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故选．[点拨]本题主要考查了向量的三角形法则、向量加减混合运算及其几何意义的综合应用，解答中根据所给的三角形是等腰三角形和角的度数，得到三角形是一个含有°角的三角形，有边之间的关系，把要求的向量从起点出发，绕着三角形的边到终点，根据三角形之间的关系得到结果，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力．．(·上海市杨浦区控江中学期中数学试题)已知点，，，是直角坐标系中不同的四点，若＝＝λ(λ∈)，＝μ(μ∈)，且＋＝，则下列说法正确的是( )．可能是线段的中点．可能是线段的中点．、可能同时在线段上。
2018届高三数学文一轮复习课件：4-4 数系的扩充与复数的引入 精品
解析：设复数 z＝a＋bi，a，b∈R，则 z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，a，b∈R，
a2－b2＝3，
a＝2， a＝－2，
则2ab＝4， a，b∈R，解得b＝1 或b＝－1， 则 z＝±(2＋i)，故|z|＝ 5。
答案： 5
【微练 2】(1)若复数 z 满足 iz＝2＋4i，则在复平面内，z 对应的点的坐标是
()
A．(2,4)
B．(2，－4)
C．(4，－2)
D．(4,2)
(2)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则 z1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i
D．－4－i
解析：(1)由 iz＝2＋4i，得 z＝2＋i 4i＝2＋i·4－i·i－i＝4－2i，故 z 对应点的 坐标为(4，－2)。
D．既不充分也不必要条件
(2)若 a＋bi＝1＋5 2i(i 是虚数单位，a，b∈R)，则 ab＝( A )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(3)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为 z ，则|(1－z)·z |＝( A )
A. 10
B．2
C. 2
D．1
x2－1＝0， 解析：(1)由纯虚数的定义知：x＋1≠0， ⇒x＝1，选 C。 (2)a＋bi＝1＋5 2i＝1－2i，所以 a＝1，b＝－2，ab＝－2。 (3)依题意得(1－z)·z ＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z |＝|－3＋i|＝ －32＋12＝ 10。
z 4．(2015·山东卷)若复数 z 满足1－i＝i，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
浙江版2018年高考数学一轮复习(讲练测)：专题5.5数系的扩充和复数的引入(讲)有解析
第05节 数系的扩充和复数的引入【考纲解读】扩充1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i ，规定：i 2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念形如：a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ①当b ＝0时，复数a ＋bi 为实数； ②当b≠0时，复数a ＋bi 为虚数；③当a ＝0且b≠0时，复数a ＋bi 为纯虚数． 3.复数相等的充要条件a ＋bi ＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔ a ＝c 且b ＝d ，特别地，a ＋bi ＝0⇔ a ＝b ＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)． 对点练习：【2017浙江台州4月一模】已知复数的实部为1，则_________，__________．【答案】 1【解析】，实部 ，所以 ， .2．复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 对点练习：【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--，【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==.对点练习：【2017浙江,12】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab= ． 【答案】5，2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1 复数的有关概念及性质 【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋ni(m ，n ∈C)，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数；(3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋yi ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A. 【1-2】(1)i 是虚数单位，若复数a －103－i(a∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)若3＋bi 1－i ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.【答案】（1）D ；（2）3.【解析】(1)复数a －103－i ＝a －10（3＋i ）10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi ＝(1－i)(a ＋bi)＝(a ＋b)＋(b －a)i ，根据复数相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ， ∴a ＋b ＝3.故填3. 【领悟技法】（1）2i 1=-中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋ni ，如果m ，n ∈C(或没有明确界定m ，n ∈R)，则不可想当然地判定m ，n ∈R. (3)对于a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b≠0. 【触类旁通】【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 【答案】A【变式二】已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =+的模等于（ ）A B C D【答案】B 【解析】设2i a i -+bi =,则b abi i -=-2,故⎩⎨⎧-==-12ab b ,解之得21=a ,则i z 21+=,故3||=z ,应选B. 考点2 复数的几何意义 【2-1】【2017浙江模拟】当时，复数在平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】<m<1，则3m －2>0，m －1<0，点在第四象限．【2-2】已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sinA －cosB)＋(sinB －cosA)i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A即sinA －cosB ＞0.同理可得，sinB －cosA ＞0.故选A. 【领悟技法】 复数的几何意义(1) (其中a ，b ∈R)．(2)||z 表示复数z 对应的点与原点的距离．(3)||z 1－z 2表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离． 【触类旁通】【变式一】已知i 为虚数单位，在复平面内，复数321ii-+对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D 【解析】()()()()3213215=1112i i i ii i i -⋅---=++⋅-，在第四象限.【变式二】复数22iz i-=+（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【解析】因5435)2(222i i i i z -=-=+-=，故543iz +=在第一象限，应选A ． 考点3 复数的代数运算 【3-1】复数()()232i i z i--=的实部与虚部之和为（ ）A ．-3B ．4C ．3D ．-11 【答案】D 【解析】【3-2】【2017浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( )A. 12i -B. 12i +C. 12i --D. 12i -+ 【答案】B【解析】设z a bi z a bi =+∴=-，所以()22332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=+ ，所以33,21,2a b a b ==∴== ，所以选B.【领悟技法】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 【触类旁通】【变式一】【2017浙江高考模拟】已知复数1iz i+=，其中i 为虚数单位，则z = （ ）A.12B.2 D.2【答案】C.【解析】由题意得，1z i =-，∴||z =，故选C.【变式二】【2016高考新课标3理数】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C)i (D) i -【答案】C【易错试题常警惕】易错典例：已知复数3412iz i+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．25i - B ．25i C ．45 D ．25易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错． 正确解析：34112125i i z i +-==+，所以1125i z +=，虚部为25，选D. 温馨提醒：1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n(z≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0. 2.注意利用共轭复数的性质22|z |||zz z ==，将zz 转化为||z 2，即复数的模的运算，常能使解题简捷．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
【高考数学】2018年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套课件：5.4数系的扩充与复数的引入
五年考题统计 2013 全国Ⅰ,文 2 2013 全国Ⅱ,文 2 2014 全国Ⅰ,文 3 2014 全国Ⅱ,文 2 2015 全国Ⅰ,文 3 2015 全国Ⅱ,文 2 2016 全国Ⅱ,文 2 2016 全国Ⅰ,文 2 2016 全国Ⅲ,文 2 2017 全国Ⅰ,文 3 2017 全国Ⅱ,文 2 2017 全国Ⅲ,文 2
2 +
2 i(c+di≠0). 2 �����������-������������
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有 z1+z2= z2+z1 ,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
专题五
知识梳理
考点自测
④除法:������1 = ������+������i =
2
������
������+������i
(������+������i)(������-������i) (������+������i)(������-������i)
=
������������+������������ ������2 +������
1+������ 1-������
1.(1±i)2=±2i; 1-������ =i;1+������ =-i.
2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R). 3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*). 4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
(全国通用)2018高考数学一轮温习 第4章节 平面向量、数系的扩充与复数的引入讲义 文 新人教A版
全国卷Ⅱ·T14
及其应用
全国 卷·T15
复数的相 关概念及 其运算
全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅲ·T2
全国卷Ⅰ·T3 全国卷Ⅰ·T3 全国卷Ⅱ·T2 全国卷Ⅱ·T2
全国卷Ⅰ·T2 全国卷Ⅱ·T2
全国 卷·T2
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主 要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数 量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填 空题的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针 引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个 特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
考点
2016 年
2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
平面向量的线性
全国卷
运算
Ⅰ·T6
平面向量基本定 全国卷Ⅱ·T13 全国卷Ⅰ·T2
理及坐标运算
平面向量
全国卷Ⅰ·T13 全国卷Ⅰ·T20
全国卷Ⅰ·T13
的数量积
全国卷·T4
全国卷Ⅲ·T3 全国卷Ⅱ·T4
[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1) 向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结 合和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用． 2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面 向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用． 3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算， 属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1
答案：D
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 平面向量的线性运算[自主练透型] [例 2] (2017·武汉市武昌区调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内的任意一点， 则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( ) A.O→M B．2O→M C．3O→M D．4O→M
＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b 是不共线的两个非零向量，
k－λ＝0， λk－1＝0，
解得λk＝＝11，
或kλ＝＝－－11，，
又∵λ>0，∴k＝1.
第二十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
所以A→M＝12(A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12(A→B＋A→D＋12A→B)＝34 A→B＋12A→D.
答案：B
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
考向三 共线向量定理及其应用[互动讲练型] [例 3] 如图，在△ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， A→E＝23A→D，A→B＝a，A→C＝b.
第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[授课提示：对应学生用书第 068 页] 考向一 平面向量的有关概念[自主练透型] [例 1] 下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③向量A→B与向量C→D共线，则 A、B、C、D 四点共线； ④两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4.2
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得 3－ 22t2＋ 22t2＝5，即 t2－3 2t＋4＝0. 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2>0，故可设 t1、t2 是上述方程的两 实数根， 所以 t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4. 又直线 l 过点 P(3， 5)，A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.
第一页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[知识重温] 一、必记 4●个知识点 1．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①__任__意__一__点____
的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数：xy＝＝fgtt，. 并且对于 t 的每 一 个 允 许 值 ， 由 方 程 组 所 确 定 的 点 M(x ， y) 都 在 ② __这__条__曲__线__上____，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参 变数，简称③_参__数___.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标 间关系的方程叫做④_普__通__方__程___.
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xy＝＝tt，－a (t 为参 数)过椭圆 C：xy＝＝32csionsφφ， (φ 为参数)的右顶点，求常数 a 的值．
解析：直线 l 的普通方程为 x－y－a＝0， 椭圆 C 的普通方程为x92＋y42＝1， ∴椭圆 C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线 l 过(3,0)， 则 3－a＝0，∴a＝3. 答案：3
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
【高三数学试题精选】2018高三数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入一轮复习题有解析
2018高三数学第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
一轮复习题有解析
5 c 05限时规范特训
A级基础达标
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A 若a b＝0，则a＝0或b＝0
B 若λa＝0，则λ＝0或a＝0
c 若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D 若a b＝a c，则b＝c
解析当a b＝0时，a与b也可能垂直，故选项A是假命题；
当a2＝b2时，|a|＝|b|，故选项c是假命题；
当a b＝a c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题，选B 答案B
2．[2018 江门市模拟]若四边形ABcD满足AB→＋cD→＝0，(AB→－AD→) Ac→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．菱形
c．矩形 D．正方形
解析由AB→＋cD→＝0知，AB→＝Dc→，
即AB＝cD，AB∥cD
∴四边形ABcD是平行四边形．
又(AB→－AD→) Ac→＝0，
∴DB→ Ac→＝0，即Ac⊥BD，
因此四边形ABcD是菱形，故选B
答案B
3．[2018 四川模拟]设a、b都是非零向量，下列四个条中，使a|a|＝b|b|成立的充分条是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
c．a∥b D．a＝2b。
专题5-5 数系的扩充和复数的引入讲-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版 含解析 精品
第05节数系的扩充和复数的引入【考纲解读】扩充【知识清单】1．复数的有关概念及性质1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．2．复数的概念形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．①当b＝0时，复数a＋bi为实数；②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．3.复数相等的充要条件a ＋bi ＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔ a ＝c 且b ＝d ，特别地，a ＋bi ＝0⇔ a ＝b ＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)．对点练习：【2017浙江台州4月一模】已知复数错误！未找到引用源。
的实部为1，则错误！未找到引用源。
_________，错误！未找到引用源。
__________． 【答案】 1 错误！未找到引用源。
【解析】错误！未找到引用源。
，实部错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
.2．复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)．2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．对点练习：【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(31)-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【答案】A3.复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i (z 2≠0)．2. 22|z |||zz z ==.对点练习：【2017浙江,12】已知a ，b∈R，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab= ． 【答案】5，2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==【考点深度剖析】从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．【重点难点突破】考点1 复数的有关概念及性质【1-1】下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋ni(m ，n ∈C)，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋yi ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A.【1-2】(1)i 是虚数单位，若复数a －103－i(a∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3(2)若3＋bi 1－i ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.【答案】（1）D ；（2）3.【解析】(1)复数a －103－i ＝a －10（3＋i ）10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3.故选D.(2)由已知得3＋bi ＝(1－i)(a ＋bi)＝(a ＋b)＋(b －a)i ，根据复数相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ， ∴a ＋b ＝3.故填3. 【领悟技法】（1）2i 1=-中的负号易忽略.（2）对于复数m ＋ni ，如果m ，n ∈C(或没有明确界定m ，n ∈R)，则不可想当然地判定m ，n ∈R.(3)对于a ＋bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b≠0.【触类旁通】【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 【答案】A【变式二】已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数2z a =的模等于（ ）A 【答案】B 【解析】设2i a i -+bi =,则b abi i -=-2,故⎩⎨⎧-==-12ab b ,解之得21=a ,则i z 21+=,故3||=z ,应选B.考点2 复数的几何意义【2-1】【2017浙江模拟】当错误！未找到引用源。
2018版高考一轮总复习数学文模拟演练 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-2 含答案 精品
(时间：40分钟)1．已知点A (－1,1)，B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 C解析 AB →＝(3，y －1)，a ＝(1,2)，AB →∥a ，则2×3＝1×(y －1)，解得y ＝7，故选C. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则m n＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12 答案 A解析 因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m n＝－2，故选A.3．已知在▱ABCD 中，AD →＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 答案 B解析 因为在▱ABCD 中，有AC →＝AB →＋AD →，AM →＝12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32bB ．12a －32b C ．32a －12b D ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b .5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(22，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则函数f (x )＝3x ＋|λ|x ＋1(x >－1)的最小值为( )A ．10B ．9C ．6D ．3答案 D 解析 ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝31＝3.f (x )＝3x ＋3x ＋1＝3(x＋1)＋3x ＋1－3≥2x ＋3x ＋1－3＝6－3＝3，当且仅当3(x ＋1)＝3x ＋1，即x ＝0时等号成立，∴函数f (x )的最小值为3，故选D.6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.7．已知点A (7,1)，B (1,4)，若直线y ＝ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.答案 1解析 设C (x 0，ax 0)，则AC →＝(x 0－7，ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－ax 0)．因为AC →＝2CB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝－x 0，ax 0－1＝－ax 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，a ＝1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.9．已知三点A (a,0)，B (0，b )，C (2,2)，其中a >0，b >0.(1)若O 是坐标原点，且四边形OACB 是平行四边形，试求a ，b 的值； (2)若A ，B ，C 三点共线，试求a ＋b 的最小值． 解 (1)因为四边形OACB 是平行四边形，所以OA →＝BC →，即(a,0)＝(2,2－b )，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.故a ＝2，b ＝2.(2)因为AB →＝(－a ，b )，BC →＝(2,2－b )， 由A ，B ，C 三点共线，得AB →∥BC →， 所以－a (2－b )－2b ＝0，即2(a ＋b )＝ab ， 因为a >0，b >0，所以2(a ＋b )＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即(a ＋b )2－8(a ＋b )≥0， 解得a ＋b ≥8或a ＋b ≤0.因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥8，即a ＋b 的最小值是8. 当且仅当a ＝b ＝4时，“＝”成立．10．如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个三等分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解 (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →， 故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，所以(2－λ)a －b ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫2a －53b . 因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2x ，－1＝－53x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，λ＝45，故λ＝45.(时间：20分钟)11．已知O 为坐标原点，且点A (1，3)，则与OA →同向的单位向量的坐标为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32答案 A解析 与OA →同向的单位向量a ＝OA→|OA →|，又|OA →|＝1＋32＝2，故a ＝12(1，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，故选A. 12．在平面直角坐标系中，O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →按逆时针旋转3π4后，得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)答案 A解析 解法一：设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，其中cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4＝(－72，－2)．解法二：将向量OP →＝(6,8)按逆时针旋转3π2后得OM →＝(8，－6)，则OQ →＝－12(OP →＋OM →)＝(－72，－2)．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，且满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝________.答案 13解析 由已知得，3OC →＝2OA→＋OB →，即OC →－OB →＝2(OA →－OC →)， 即BC →＝2CA →，如图所示，故C 为BA 的靠近A 点的三等分点，因而|AC →||AB →|＝13.14．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解 由N 是OD 的中点，得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.。
高考一轮总复习数学(文科)练习第4章 第5节 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第五节数系的扩充与复数的引入
．复数的有关概念
()复数的概念：形如ɑ＋(ɑ，
∈)的数叫复数，其中ɑ，分别是它的实部和虚部．若＝，则ɑ＋为实数，若≠，则ɑ＋为虚数，若ɑ＝且≠，则ɑ＋为纯虚数．()复数相等：ɑ＋＝＋⇔ɑ＝，＝(ɑ，，，∈)．
()共轭复数：ɑ＋与＋共轭⇔ɑ＝，＝－(ɑ，，，∈)．
()复数的模：向量的模叫做复数＝ɑ＋的模，即＝ɑ＋＝．
．复数的几何意义
复数＝ɑ＋Ｆ―→一一对应复平面内的点(ɑ，)Ｆ―→一一对应平面向量＝(ɑ，)．
．复数的运算
()运算法则：设＝ɑ＋，＝＋，ɑ，，，∈
±＝(ɑ＋)±(＋)＝(ɑ±)＋(±)．
·＝(ɑ＋)(＋)＝(ɑ－)＋(＋ɑ)．
＝＝＋(＋≠)．
()几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则
进行．
如右图所示给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－．
．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()复数＝＋的虚部为.( )
()若＝ɑ＋(ɑ，∈)，当ɑ＝时，是纯虚数．( )
()复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
()复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
答案：()×()×()×()√
．实部为－，虚部为的复数所对应的点位于复平面的( )。
浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.5数系的扩充和复数的引入练20171128395
第05节数系的扩充和复数的引入A基础巩固训练1.已知集合A {1,i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）1B．i4A C．1i A．Ai 1i A D．|i | A【答案】C 【解析】1 i1(1)2i i i2i A,所以选项A错；i41A，所以选项B错；i A1i (1i )(1i)2，所以C正确；|i |1A，选项D错，故选C.2.如图，复平面上的点Z1,Z2,Z3,Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z，则复1数z i（i是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（）A．Z B．1Z C．2Z D．Z34【答案】B3.复数z 满足zi2i5，则z （）A．22i B．22i C．22i D．22i 【答案】D【解析】5z i 2 i5 zi 2 2i2 i，选 D.4.已知复数 z (1 i )(1 ai ) 是实数，则实数 a 的值为（）- 1 -A ．1B ．0C ．-1D ．1【答案】A 【解析】z (1 i )(1ai ) (1 a ) (1 a )i是实数，所以1a 0,a 1，选 A.5.已知i 是虚数单位，则 z = i 1- 2i在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】B 能力提升训练1. 6.已知 a 为实数，若复数 z (a29) (a 3)i 为纯虚数，则 ai 19 1i的值为 ()A.1 2i B ．1 2i C ．1 2i D ．1 2i【答案】B 【解析】2 9 0a因为复数 z (a 2 9) (a 3)i 为纯虚数，所以,a 3a 3 0，，所以a i 19 3i (3i )(1i )1 2i，故选 B ．1i1i 2 2.若复数 z 满足1iz 1i （i 为虚数单位），则 z（）A ． 2B ．2 2C ．2D ．1 【答案】D 【解析】1i 1i z1i 1i ,2z2i , zi , z 1.3.已知i 为虚数单位， aR ，若1ia为纯虚数，则复数 z (2a1) 2i 的模等于（ ）iA．2B．3C．6- 2 -D ． 11 【答案】D 【解析】 当 a1时， 1ii，故 z3 2i 11 .a i4.设复数 z 满足2 i z 5i （i 为虚数单位），则复数 z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】m 1 i 5.若复数1i2 是实数，则实数 m（）A ．1 2B ．1C ．3 2D ．2【答案】B 【解析】m1 i m (1i ) 1 i m1 1m 因为1 i 2(1 i )(1i )222i1m 是实数，所以20，即 m 1，故 选 B ．C 思维扩展训练1.已知复数 z 满足z i i 3i 5 ,则复数 z 在复平面上对应的点在（ ）3 210A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意，得10i 10i (2 i )z 3i 3i2 4i3i 2 i 2 i (2 i )(2 i ) ，其在复平面上对应的点为(2,1) ，位于第一象限，故选 A ．2.“m1”是“复数(1m2)(1m)i（其中i是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B.- 3 -【解析】3.复数z2i 3i 2的实部与虚部之和为（）iA ．-3B ．4C ．3D ．-11 【答案】D 【解析】 232(4 7 )7 4ii i iiz7 4iiii i i，∴复数z2i 3i 2的实部和虚部i是11.故选 D ．4.已知i 是虚数单位， aR ，复数zai z i ，若 1 3,21 2zz 是纯虚数，则 a12（ ）A ．3 B ． 322C ． 6D ．6 【答案】A 【解析】 复数 zai z i ，∴ z z 3 ai 1 2i 3 2a6 a i 1 3 , 2 1 21是纯虚数，232 a 0∴，解得 6 a 03a．故选：A ．25.如果复数2bi 12i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 （）A．-6 B．C．2233D．2【答案】B【解析】- 4 -。
【精品】2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(二十七)数系的扩充与复数的引入含解析
课时跟踪检测 (二十七) 数系的扩充与复数的引入一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i 解析：选B1－3i1－i＝－＋－＋＝4－2i2＝2－i ． 2．(2017·郑州检测)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0解析：选D 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D ．3．(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z|z |＝4－3i 5＝45－35i ． 4．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________．解析：原式＝12＋22＋－32＋2＝3＋－2－23i2i＝3＋i －3＝i ． 答案：i5．(2015·重庆高考)设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________．解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3． 答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A ． 3 B ． 5 C ． 6D ．7解析：选B 由(1－i)z ＝1得z ＝11－i ＝1＋i 2，则|2z －3|＝|－2＋i|＝5． 2．已知实数a ，b 满足(a ＋i)(1－i)＝3＋b i ，则复数a ＋b i 的模为( ) A ． 2 B ．2 C ． 5D ．5解析：选C 依题意，(a ＋1)＋(1－a )i ＝3＋b i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝3，1－a ＝b ，解得a ＝2，b＝－1，所以a ＋b i ＝2－i ，|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝5，选C ．3．(2016·福州二检)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋i －i 2i ＝0的复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得，2z i －[－i(1＋i)]＝0，则z ＝－＋2i＝－12－12i ，∴z＝－12＋12i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B ．4．已知复数z ＝1＋2i 1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．0解析：选A ∵z ＝1＋2i1－i＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝－z 2 0181－z＝1－i 2 0181－i ＝1－i 4×504·i 21－i＝1＋i ．5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．6．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________． 解析：∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6． 答案：67．已知复数z 满足z ＋2z －2＝i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝________． 解析：由z ＋2z －2＝i 知，z ＋2＝z i －2i ，即z ＝－2－2i 1－i ，所以|z |＝|－2－2i||1－i|＝222＝2．答案：28．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________．解析：1＋a i 2－i ＝＋a ＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ，∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12． 答案：－129．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________．解析：∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3． 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝3． 答案： 3 10．计算：(1)－1＋＋i 3；(2)＋2＋－2＋i； (3)1－i ＋2＋1＋i －2；(4)1－3i 3＋2．解：(1)－1＋＋i3＝－3＋i－i＝－1－3i ． (2)＋2＋－2＋i＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝－5＝15＋25i ． (3)1－i＋2＋1＋i －2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1． (4)1－3i 3＋2＝3＋－3＋2＝－i 3＋i＝－3－4＝－14－34i ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34 解析：选D 因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ， 所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ，又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝－34，故选D ．2．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________．解析：z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i ． 答案：12＋32i3．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13a ＋a －＋(a 2＋2a －15)i ．∵z 1＋z 2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3．∵a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3．。
2018版高考一轮总复习数学(文)模拟第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-4word版含答案
解 存在．设 z＝ a＋ bi( a， b∈ R，b≠0) ，
5
5
则 z＋ z＝ a＋ bi ＋ a＋ bi
5
5
＝ a 1＋ a2＋ b2 ＋ b 1－a2＋ b2 i.
5 又 z ＋ 3 ＝ a ＋ 3 ＋ bi 实 部 与 虚 部 互 为 相 反 数 ， z ＋ z 是 实 数 ， 根 据 题 意 有
1－ 解析 由 z
B． 1－i D．－ 1－ i
2
－ 2 －2i
－
＝ 1＋ i ，得 z＝
＝＝
1＋ i
1＋ i
＋
－ － ＝－ 1－ i.
5．设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数．若 z· z i ＋ 2＝ 2z，则 z＝ ( )
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A． 1＋i C．－ 1＋ i 答案 A
3ai ＝ 1＋ 3i.
根据复数相等的定义，得
a2＋ b2－ 3b＝ 1， － 3a＝ 3，
a＝－ 1， 解之得
b＝ 0
பைடு நூலகம்a＝－ 1， 或
b＝3.
∴ z＝－ 1 或 z＝－ 1＋ 3i.
10．已知复数
z＝ bi(
b∈R)
，
z－ 1＋
2 i 是实数，
i
是虚数单位．
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(1) 求复数 z； (2) 若复数 ( m＋ z) 2 所表示的点在第一象限，求实数
答案 解析
5 a
∵ a， b∈ R，且 1－ i ＝ 1－ bi ，则 a＝ (1 － bi)(1 － i) ＝ (1 － b) － (1 ＋ b)i ，∴
a＝ 1－ b， 0＝ 1＋ b，
a＝ 2， ∴
2018届高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业30 数系的扩充与复数
课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( )B ．1－2i D ．3－2i3＋2i. m 的取值范围B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( )A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i 1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，B ．－32D ．0＝⎝⎭a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：∵11＋i＝1－i －＋＝12－12i ，11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－2对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i＝2＋－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。
专题13 数系的扩充与复数的引入-2018年高考数学(文)考试大纲解读 【精品解析版】
（十九）数系的扩充与复数的引入1．复数的概念（1）理解复数的基本概念.（2）理解复数相等的充要条件.（3）了解复数的代数表示法及其几何意义.2．复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算.（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现.考查的方向可能以复数的基本概念、复数的四则运算为主要考点.考向一 复数的几何意义样题1 设i 为虚数单位，若复数i z -在复平面内对应的点为()1,2，则z = A ．2i -+B ．2i -C ．12i -+D ．12i -【答案】B【解析】由复数i z -在复平面内对应的点为()1,2，得12i iz =+-， 即()i 12i 2i z =-+=-，故选B ．样题2 (2017北京文科) 若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(–∞，1)B ．(–∞，–1)C ．(1，+∞)D ．(–1，+∞)【答案】B考向二 复数的四则运算样题3 (2017新课标全国I 文科) 下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1−i)C ．(1+i)2D ．i(1+i) 【答案】C【解析】由2(1i)2i +=为纯虚数，知选C ．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i)(+i)()+a b c d =ac bd -(+)i(,,,)ad bc a b c d ∈R .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.样题4 已知i 为虚数单位，则复数()221i 1i ++-的共轭复数是 A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】B。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-5.1
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
法二：原不等式可化为x－12＋x＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过 3 的点
的集合，数形结合知，当 x＝32或 x＝－32时，到12，－12两点的距
离之和恰好为 3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的
解集为x－32≤x≤32
(1)画出 y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1 的解集．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
[解析]
x－4，x≤－1， (1)f(x)＝3x－2，－1<x≤32，
－x＋4，x>32，
y＝f(x)的图象如图所示．
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向三 与绝对值不等式有关的参数范围问题 [互动讲练型] [例 3] (2016·课标全国Ⅲ，24)已知函数 f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)设函数 g(x)＝|2x－1|.当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3，求 a 的 取值范围．
证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由绝对值不等式的性质，得 |x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)| ＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1. 即|x＋5y|≤1.
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 绝对值不等式的解法[自主练透型] [例 2] (2016·课标全国Ⅰ，24)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x－ 3|.
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第五节数系的扩充与复数的引入
．复数的有关概念
()复数的概念：形如ɑ＋(ɑ，
∈)的数叫复数，其中ɑ，分别是它的实部和虚部．若＝，则ɑ＋为实数，若≠，则ɑ＋为虚数，若ɑ＝且≠，则ɑ＋为纯虚数．()复数相等：ɑ＋＝＋⇔ɑ＝，＝(ɑ，，，∈)．
()共轭复数：ɑ＋与＋共轭⇔ɑ＝，＝－(ɑ，，，∈)．
()复数的模：向量的模叫做复数＝ɑ＋的模，即＝ɑ＋＝．
．复数的几何意义
复数＝ɑ＋Ｆ―→一一对应复平面内的点(ɑ，)Ｆ―→一一对应平面向量＝(ɑ，)．
．复数的运算
()运算法则：设＝ɑ＋，＝＋，ɑ，，，∈
±＝(ɑ＋)±(＋)＝(ɑ±)＋(±)．
·＝(ɑ＋)(＋)＝(ɑ－)＋(＋ɑ)．
＝＝＋(＋≠)．
()几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则
进行．
如右图所示给出的平行四边形可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－．
．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()复数＝＋的虚部为.( )
()若＝ɑ＋(ɑ，∈)，当ɑ＝时，是纯虚数．( )
()复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )
()复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
答案：()×()×()×()√
．实部为－，虚部为的复数所对应的点位于复平面的( )。