高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)
高二数学北师大版选修1-2(陕西专用)课件3.1.2 类比推理
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练 1 若数列{an}为等差数列,且 am=x,an=y(m≠n),则 am+n=
������������-������������ . ������-������
现已知数列{bn}是各项均大于 0 的等比数列,且 bm=x,bn=y(m≠n),则类比等 差数列,你能得到什么结论? 解:等差数列中的积与等比数列中的乘方相对应,等差数列中的商与等 比数列中的开方相对应.故类比得到的结论是 bm+n=
������1 +������2 +������3 +…+������������ (n∈N+)也是 ������
1
2
2.合情推理 (1)推理方式:根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事 实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果. (2)常见的合情推理有归纳推理与类比推理
1
2.
������������ 1
2+ 2+
������������2 1 ������������
.
1 ������������2
������������
������������
2+
,故猜想正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练 2 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面 积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们 的体积比为 . 解析:由题意知,在平面上,两个相似的正三角形的面积比是边长比的平 方.由类比推理知:体积比是棱长比的立方.即可得它们的体积比为 1∶8. 答案:1∶8
1 .2
2020北师大版高中数学选修1-2：第三章 类比推理
异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连
线所在直线的斜率之积为定值 − ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双 曲线之间的类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征, 同时要注意平面几何图形之间的差异,进行合理类比,实际类比的 结果往往都是通过计算得到的.
1.2 类比推理
-1-
目标导航
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
知识梳理
1.类比推理
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础 上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具 有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比 推理
=
������1������1 ������������
,
试在立体几何
中写出类似的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解:
如图,在三棱锥 S-ABC 中,D,E,F 分别是侧棱 SA,SB,SC 上的点,
若
SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,则
������������-������������������ ������������-������������������
的面积公式为
弧长×半径 2
,
即S扇
=
������������ .
2
答案:C
1234
2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数
高中数学第三章推理与证明3.2分析法课件北师大版选修1-2
2.分析法证题的书写格式 用分析法书写证明过程时的格式为： “要证……, 只需证……, 只需证……, … 由于…显然成立(已知,已证…), 所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.
第三章——
推理与证明
§3 综合法与分析法
3.2 分析法
[学习目标]
1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点. 2.会用分析法解决问题. 3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识点一 分析法的定义
从 求证的结论 出发,一步一步地探索保证前一个结论成立 的充分条件,直到归结为这个命题的 条件,或者归结为定义、 公理 、 定理等,这种思维方法称为分析法.
1 2 34
1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( A)
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.；②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法.
其中正确的语句有( C )
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
知识点三 综合法和分析法的综合应用
在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用： 根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q′；根 据 结 论 的 结 构 特 点 去 转 化 条 件 , 得 到 中 间 结 论 P′. 若 由 P′可以推出Q′成立,即可证明结论成立.
题型一 用分析法证明不等式
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB), 只需证BC⊥平面SAB, 只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC), 由SA⊥平面ABC可知,上式成立.∴AF⊥SC.
反思与感悟 立体几何问题证明中,由于垂直、平行关系 较多,不容易确定如何在证明过程中使用条件,因此利用综 合法证明比较困难.这时,可用分析法.
高中数学 第三章 推理与证明本章知识体系课件 北师大版选修1-2
＝ax1(ax2－x1－1)＋x23＋x12－xx1＋1 1. 因为 x2－x1>0，又 a>1，所以 ax2－x1>1. 而－1<x1<x2，所以 x1＋1>0，x2＋1>0. 所以 f(x2)－f(x1)>0. 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
【例 4】 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、 lga2、lga4 成等差数列．又 bn＝a12n，n＝1,2,3，….
类比是高中数学学习的重要思维，它是通过两个已知 事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其 他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结 论．类比推理还可以培养创新精神和创造力．下面我们一 起来探讨常见的类比．
【例 1】 (1)如图所示的三个图形是由若干盆花组成 的形如三角形的图案，每条边(包括顶点)有 n(n>1)盆花，每 个图案花盆总数为 Sn，按此规律推断，Sn 与 n 的关系式是 _______n}，归纳该数列的通项公式； (3)求 a10，并说明 a10 表示的实际意义； (4)已知 an＝9 900，问 an 是数列的第几项？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
【解析】 (1)当 m＝2 时，表示一个 2 行 3 列的士兵 方阵，共有 6 人，依次可以得到当 m＝3,4,5，…时的士兵 人数分别为 12,20,30，….故所求数列为 6,12,20,30，….
[1＋n＋21]·n＋1＝n2＋32n＋2.
【答案】
(1)Sn＝3n－3
n2＋3n＋2 (2) 2
[规律方法] 解答此类题目时，需要细心观察，寻找每 一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．如果 我们把(2)中每个图形的方格总数算出来，是很难找到其中 的规律的．
北师大版高中数学选修1-2课件3.1.1归纳与类比,归纳推理课件1
• [分析] 要在括号里填上适当的数，必须正确 地判断出每列数所具有的规律，为此必须进 行仔细的观察和揣摩．常用方法是对比自然 数列，奇数列，偶数列，自然数的平方列找 关系，分数可先理顺其分母(或分子)的规律， 等等．
• [解析] (1)考察相邻两数的差：
• 5－1＝4,9－5＝4，
• 13－9＝4,17－13＝4，
•
3＋4＋5＋6＋7＝25
•
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
•
……
• 照此规律，第五个等式应为________．
• [答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 ＝81
• [解析] 第1个等式有1项，从1开始；
• 第2个等式有3项，从2开始；
• 第3个等式有5项，从3开始；
• 第4个等式有7项，从4开始．
• [答案] B
• [方法规律总结] 通过一组平面或空间图形的 变化规律，研究其一般性结论，通常需形状 问题数字化，展现数字之间的规律、特征， 然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策 略是：
• 如图，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图 形中由n个正方形组成：
• 通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有 ________根；第n个图形中，火柴棒有 ________根．
• 可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号 里的数减去17等于4，所以应填入括号里的
(2)像(1)那样考虑难以发现规律，改变一下角度，把各数改 写为34，1，43，196，6247.
可以发现： 1÷34＝43，43÷1＝43， 196÷43＝43.6247÷196＝43. 后一个数是前一个数的43倍，按照这个规律，括号中的数应 是6247×43＝28516＝31831.
《3.1.2 类比推理》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品
由于两类不同对象具有某些 类似 的特征,在此基础上,根 _____
据一类对象的其他特征,推断 类似 的其 另一类对象也具有_____ 他特征,我们把这种推理过程 称为类比推理. 数列中的类比【技法点拨】
数列中的常见类比及解答策略
(1)数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列的类比.常见 的有：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等. (2)解答策略： ①等差数列的和 ②等差数列的差 类比 类比 等比数列的积； 等比数列的商.
【典例训练】 1.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列， a1=0，s，t是互不相等的正整数，则有(s-1)at-(t-1)as=0”. 类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是： “______________________________________”.
T8 1＋2＋ ＋11 12 66 4 22 T 4 38 12 T12＝ b12 q ＝ b q ， ＝ b 1 1 1 q ， ＝b1 q . T4 T8
T8 2 T12 T8 T12 ( ) ＝ T ， 4 即 T 故T4， ， 成等比数列. T T4 T8 4 8 T12 T16 同理可得 T8 ， ， 成等比数列. T4 T8 T12 T12 答案：T8 T4 T8
(3)由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的 类似特征，所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象 在某些方面具有类似特征. 2.类比推理的三个步骤 (1)寻找：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)推测：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜 想) ；
高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难 度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳 暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) ＝ x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2
式的方法,可求得 f(－5) ＋f(－ 4) ＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据 一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间 的推理.
(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图：
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考 类比推理的结论能作为定理应用吗？
答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格
的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.
n2＋2n－n nn＋1 所以 1＋2＋3＋„＋n＝ ＝ . 2 2
(教师用书)高中数学 3.1.1 归纳推理课件 北师大版选修1-2
【自主解答】 观察这三个不等式发现，第n个不等式 的右边分母为n，分子为2n－1.
故f(n)＝2n－ n 1.
【答案】
2n－1 n
解决这类问题的步骤如下： (1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代 数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．
§1 归纳与类比 1．1 归纳推理
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)通过实例了解归纳推理的概念． (2)能利用归纳推理进行一些简单的推理．
2．过程与方法 通过实例，使学生经历观察、发现、归纳的过程，理解 归纳推理，并体会归纳推理的意义和价值． 3．情感、态度与价值观 培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯．
数之间的关系；
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区
域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数．
【思路探究】 本题可从各个图形的顶点数、边数、区 域数之间的关系作定量观察分析入手，来归纳出它们之间的 关系．
【自主解答】 (1)②8 12 5 ③6 9 4 ④10 15 6 (2)观察：8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1. 通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间 的关系为V＋F－E＝1.
●教学建议 1．从学生熟悉的实例出发，引出归纳推理的概念；以 问题的形式启发学生思考如何进行归纳推理． 2．本节课应充分尊重学生的思维活动．在分组讨论的 过程中给学生想的时间、说的机会．
3．数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．本节 课主要培养学生观察、分析及在此基础上的猜想能力．引导 学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错．对 于几何习题，一般情况下，既可以从数字角度寻找规律，也 可以从几何图形角度出发，当然应该侧重于后者．
数学北师大版选修1-2知识导航 3.1.2类比推理 含解析
1.2 类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{a n}，其中a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{b n}，其中b15=1,类比等差数列{a n}有下列结论：___________.分析:在等差数列{a n}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{b n}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{a n}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+a n+1=0,a18-n+a n+2=0,a17-n+a n+3=0,…∴a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a n+a n+1+a n+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-n b n+1=b28-n b n+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…b n=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比.变式训练1.已知等差数列{a n }，公差为d,前n 项和为S n ，有如下性质： （1）通项a n =a m +(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q ∈N +,则a m +a n =a p +a q . (3)若m+n=2p,m 、n 、p ∈N +，则a m +a n =2a p . (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等差数列. 类比得出等比数列的性质.解:等比数列{b n },公比为q,前n 项和S n ,有如下性质: (1)通项a n =a m q n-m .(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q ∈N +,则a m ·a n =a p ·a q .(3)若m+n=2p,q 、m 、n ∈N +,则a m ·a n =a p 2. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等比数列.【例2】若射线OM 、ON 上分别存在点M 1、M 2与N 1、N 2，则三角形面积之比为212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON . 若不在同一平面内的射线OP 、OQ 和OR 上，分别存在点P 1、P 2，点Q 1、Q 2，点R 1、R 2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵22221111sin 21sin 212211ON M ON OM ON M ON OM S S N OM N OM ∠∙∠∙=∆∆=2221ON OM ON OM ∙∙，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P 1Q 1、Q 1R 1、P 1R 1、P 2Q 2、Q 2R 2、P 2R 2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP 与面QRO 所成的角为θ.OP 在面ORQ 内的射影为OP′，P 1、P 2的射影分别为P 1′、P 2′，则22211'''OP P P OP P P ==sinθ，且22112211OR OQ OR OQ S S R OQ R OQ ∙∙=∆∆.∴2122112211222111'31'31OP OP S P P S P P V V R OQ R OQ R Q OP R Q OP =∙∙=∆∆·2211OR OQ OR OQ ∙∙. ∴类似地有21222111OP OP V V R Q OP R Q OP =·2211OR OQ OR OQ ∙∙. 绿色通道要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式. 解:V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四个面的面积,r 为内切球半径),设△ABC 的三边与⊙O 分别切于D 、E 、F,则OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB 且OD=OE=OF=r. 连结OA 、OB 、OC,则S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC =21cr+21br+21ar=21(a+b+c)r. 类似地,三棱锥P —ABC 的内切球为球O,半径为r,则球心O 到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则V P —ABC =V O —ABC +V O —PBC +V O —PAC +V O —PAB=31S 1r+31S 2r+31S 3r+31S 4r =31(S 1+S 2+S 3+S 4)r. 【例3】若a 1、a 2∈R +，则有不等式22221a a +≥(221a a +)2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n 个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n 次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：3232221a a a ++≥(3321a a a ++)2，424232221a a a a +++≥(44321a a a a +++)2，…n a a a n 22221+++ ≥(n a a a a n ++++ 321)2.第二种类型：23231a a +≥(221a a +)3，24241a a +≥(221a a +)4，…221nn a a +≥(221a a +)n.第三种类型：3333231a a a ++≥(3321a a a ++)3，…na a a nn n n +++ 21≥(n a a a n +++ 21)n.绿色通道像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广. 变式训练3.设f(x)(x ∈［a,b ］)满足2)()(21x f x f +≤f(221x x +)(其中x 1、x 2为［a,b ］上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在［a,b ］上任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n , 则n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f(nx x x n+++ 21).【例4】设F 1、F 2分别为椭圆C ：22ax +22b y =1(a>b>0)的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1,23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P位置无关的定值，试写出双曲线2222by a x -=1具有类似特性的性质并加以证明.分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A （1，23）在椭圆上，因此221+22)23(b=1,b 2=3.∴c 2=a 2-b 2=1.∴椭圆C 的方程为42x +32y =1,焦点F 1（-1，0），F 2（1，0）.(2)设椭圆C 上的动点为K(x 1,y 1)，线段F 1K 的中点Q （x,y ）满足x=211x +-,y=21y,∴x 1=2x+1,y 1=2y.∴4)12(2+x +3)2(2y =1,即（x+21）2+342y =1为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m,n ），则点N 的坐标为（-m,-n ），其中2222b n a m -=1. 又设点P 的坐标为（x,y ），由k PM =mx ny --, k PN =m x n y ++,得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --.将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2,代入得k PM ·k PN =22ab .绿色通道类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法. 变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为圆心、r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球. (2)空间内不共面的4个点确定一个球. (3)球的表面积与体积可求.(4)在空间直角坐标中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。
高中数学 第三章 推理与证明 类比推理典例导航课件 北师大版选修1-2
a18－n＋an＋2＝0，
a17－n＋an＋3＝0，
……
∴a1＋a2＋…＋an
＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n.
∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. ∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，n∈N＋)．
2.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且 an>0，则数 列 bn＝ a1a2„an(n∈N*)也是等比数列”类比这一性质，你 能得到关于等差数列的一个什么性质？
解析： 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， 则 数 列 bn ＝
n
a1＋a2＋…＋an 是等差数列． n
通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； ⋮ (n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1. 将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋ n)＋ n，
4×(1＋2＋…＋n)＋n
∴13＋23＋„＋n3
nn＋1 1 1 4 4 ＝ n＋1 －1 －6× nn＋1· 2 n ＋ 1 － 4 × － n 4 6 2
1 2 ＝ n (n＋1)2. 4
1 3.设 f(x)＝ x ， 类比课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2 式的方法，求 f(－5)＋f(－4)＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6)的值． 1 解析： ∵f(x)＝ x ， 2＋ 2
1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝
1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
北师大版高中数学选修1-2课件3-1.2类比推理
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1.2 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义． 2.会用类比推理对具体问题作出判断.
1.了解类比推理的含义．(重点) 2.利用类比进行简单的推理．(重点、难点)
1．归纳推理的含义 根据一类事物中具部有分某事种物属性，推断该类事物中，将这种 推理每方一式个称都为有归这纳种推属理性．
2．归纳推理的特征 归纳推理是由到部，分由到整的体推理． 个别
一般
1．类比推理
(1)两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据 一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征， 我们把这种推理过程称为． 类比推理
(2)类比推理是两类事物之特间征的推理．即类比推理是由的推 理． 特殊到特殊
【正解】 在三棱锥V－ABC中，VA⊥VB⊥VC 则有S△VAB2＋S△VBC2＋S△VAC2＝S△ABC2
练考题、验能力、轻巧夺冠
区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个 别到个别的推理或是由一般到一般的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真 可假．
1．平面图形与空间几何体的类比方向
平面图形 二维平面
线 线段的长度
面积 两线的夹角
线垂直 线平行 三角形
圆
空间几何体 三维空间
面 相应面的面积 相应几何体的体积 两平面的二面角
1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试在 立体几何中，给出四面体性质的猜想．
解析： 如下图，在 Rt△ABC 中， cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.
于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想：三棱锥 P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′、PB′C′、PC′A′两两互相垂直 且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
高中数学第三章推理与证明3.1.2类比推理课件北师大版选修1_2
图 3-1-10
【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形
边上的高类比四面体以某一面为底面的高．
【自主解答】
1 phaa＝212BBCC··phaa＝SS△△PABBCC，同理，phbb＝SS△△APABCC，hpcc＝SS△△APABBC.
下列说法正确的是( ) A．由合情推理得出的结论一定是正确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论不能判断正误 【解析】 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论． 【答案】 B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________ 解惑：__________________________________________________________
＋1， n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1， … 22－12＝2×1＋1， 有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n， 所以 1＋2＋3＋…＋n＝n2＋22n－n＝nn2＋1. 类比以上过程试求 12＋22＋32＋…＋n2 的和．
【提示】 因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1， n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1， … 23－13＝3×12＋3×1＋1， 有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 所以 12＋22＋…＋n2 ＝13n3＋3n2＋3n－3n2＋2 5n＝2n3＋36n2＋n ＝nn＋162n＋1.
高中数学第三章推理与证明1.2类比推理课件北师大版选修1_2
1 2 34 5
解析 答案
2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是 A.若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
√C.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
D.“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 显然A，B，D不正确，只有C正确.
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解析 答案
3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体 的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
√C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析 正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个 面相切于各正三角形的中心.
梳理 合情推理的定义及分类 定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和 直觉 、已有的事实 和正 确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有 归纳 推理与 类比 推理.
[思考辨析 判断正误] 1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( √ ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( √ ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( × )
则 b2＝ac，即 c2－a2＝ac，可得 e2－e＝1，又由 e>1，则 e＝
5＋1 2.
解析 答案
达标检测
1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形
√C.平行四边形
B.梯形 D.矩形
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相 对的两条边互相平行，故选C.
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空
高中数学北师大版选修1-2第三章《归纳推理》ppt课件
出Sn的计算公式.
【解题提示】通过计算S1,S2,S3,S4的取值，发现它们的共
同点有：都是分数，分母为奇数的平方，分子比分母少1，据
此可猜想Sn的计算公式.
【解析】
7.20世纪60年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一 个自然数，如果它是偶数，就用2除它；如果是奇数，则将它 乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到一种结果， 试考查几个数并给出这一结果的猜想. 【解析】取自然数6，按角谷的做法有： 6÷2=3,3×3+1=10,10÷2=5,3×5+1=16,16÷2=8,8÷2=4 ,4÷2=2,2÷2=1,其过程简记为 6→3→10→5→16→8→4→2→1, 若取自然数7，则有 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16 →8→4→2→1,
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=( )
(A)f(x)
(B)-f(x) (C)g(x)
(D)-g(x)
【解析】选D.通过观察由g(x)=2x,g(x)=4x3,g(x)=-sinx,都
满足g(-x)=-g(x),可知选D.
【解题提示】对于多个等式的归纳，要分左、右两边分别
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C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
[方法规律总结 ]
运用类比推理要在合适的类比对象之间
进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等 与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比 )， 升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与 分解因数、等差数列与等比数列)等等．
找出三角形与四面体的相似性质，并用三角形的下列性质 类比四面体的有关性质： (1)三角形任意两边之和大于第三边；
5 ．医药研究中，研制新药初期，常用一些动物做药性、
药理试验，最后才做临床试验与应用，通过对动物的观察，得 出对人应用的一些结论，所用推理为______________________. [答案] 类比推理 [解析] 符合类比推理的方法，故应为类比推理．
课堂典例探究
事物的相似性与类比
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集 合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定 义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平 面上的圆与空间中的球进行类比．
2．特点 特殊 特殊 (1)类比推理是由__________ 到__________ 的推理． (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在 被研究的事物的特征，所以，类比推理的结果具有猜测性，不 一定可靠．
(3)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现
的功能．类比推理在数学发现中有重要作用． (4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚 定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类 对象在某些方面的类似特征．
推理．
3．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( ＝b”
)
A．若“a· 3＝b· 3，则 a＝b”类比推出“若 a· 0＝b· 0，则 a B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a· b)c＝ac· bc” a＋b a b C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“ c ＝c ＋c (c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
第三章
推理与证明
第三章
推理与证明
第三章 §1 归纳与类比
第2课时 类 比 推 理
课前自主预习
理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推
理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
类比推理 1.概念 类似 两类不同对象具有某些__________ 的特征，在此基础上， 根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他 特征，这类推理叫作类比推理(简称类比)． 类比推理是数学推理的一种重要形式，它的实质是根据两 对象之间的相似，把信息从一个对象转移到另外一个对象，类 比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法，也是一种探索解 题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法．这在事物规 律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用．
球的性质 球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连 线垂直于截面 与球心距离相等的两截面圆是等圆； 与球心距离不等的两截面圆不等，距 球心较近的截面圆较大 球的切面垂直于经过切点的半径； 经过球心且垂直于切面的直线必经过 切点 经过切点且垂直于切面的直线必经过 球心 球的表面积 S＝πd2 4 3 球的体积 V＝3πr
[解析] 对应关系： 弦
圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有
相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的 ↔ 截面圆， 大圆， 表面积， 球体积，
直径 ↔ 周长 ↔ 圆面积 ↔ 示：
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所
圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的 连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点的半 径； 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr2
类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式，目的是寻找事 物之间的共同或相似性质，它是一种似真推理．类比推理的结 论需要进一步证明其正确性，类比的性质相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间就越相关，从而类比得出的结论就越可 靠．
1.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比 对象较合适( A．三角形 C．平行四边形 ) B．梯形 D．矩形