广州二中开学初摸底考试数学测试卷(文科)
广东省高二上学期开学摸底考试数学试题与答案
广东省高二上学期开学摸底考试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合202x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（）A．{2xx ≤∣或3}x ≥B．{}23x x -<<C．{}02x x <≤D．{2xx ≤-∣或3}x ≥2．如果复数z 满足i 5z +=，那么复数z 可能是（）A．3z =-B．2iz =C．1z =D．33iz =-+3．设m，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列说法正确的是A．若//m α，//m β，则//αβB．若//m α，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C．若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥D．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ4．有一组样本数据：12,x x ，L ，8x ，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：12,x x ，L ，8x ，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A．众数B．中位数C．方差D．极差5．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知函数11()5x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，设5(cos ),sin ,tan 63a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A．a b c>>B．b c a>>C．b a c>>D．c a b>>7．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）．A．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，12AA =，1AC BC ==，点D 在上底面111A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为（）A．81π16B．6πC．243π64D．26π二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量()2,a m = ，()1,2b =- ，且()2a b b ⊥-，则下列说法正确的是（）A．3m =B．10a b ⋅=C．向量a 与b夹角是π4D．5a b -= 10．若0,0a b >>，则下列结论正确的有（）A．2222a b a b +≤+B．若142a b +=，则92a b +≥C．若22ab b +=，则34a b +≥D．若0a b >>，则11a b b a+>+11．如图所示，在正方体ABCD A B C D -''''中，M ，N 分别是B C ''，C D ''的中点，E 是线段B D ''上的动点，则下列判断正确的是（）A．三棱锥N MAE -的体积是定值B．过A ，M ，N 三点的平面截正方体所得的截面是六边形C．存在唯一的点E ，使得AE MN⊥D．AE 与平面AMN 所成的角为定值三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是．13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米．14．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC 的面积，且222()S a b c =--，则bc的取值范围.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15．已知定义在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－6π对称，当x∈2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)0,0,22A ππωφ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的表达式；(2)求方程f(x)＝22的解．16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成[)[)[)[)[)[],,15.5,16.516.5,17.5,17.5,18.518.5,19.519.5,20.5,20.,5,21.5六组进行统计，得到如图所示的统计图.（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；（2）从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率.17．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是PD ，PC ，BC 的中点．（1）求证：平面EFG ⊥平面PAD ；（2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥M EFG -的体积.18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos b C a c B =-．(1)若ABC 的外接圆半径为1，且1cos cos 8A C =-，求a c +；(2)若2b =，求锐角ABC 的面积的取值范围．19．如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对定义域内的任意x ，都有()()f x a f x +=-恒成立，那么称此函数具有“()P a 性质”.(1)已知()y f x =具有“()0P 性质”，且当0x ≤时，()()2f x x m =+，求()y f x =在[]0,1的最大值；(2)已知定义在R 上的函数()y h x =具有“()2P 性质”，当1x ≥时，()4h x x =-.若函数()()()2F x h x t h x t =-⋅+有8个零点，求实数t 的取值范围.广东省高二上学期开学摸底考试数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合,A B ，再按照集合的并集运算即可.【详解】202x x -≤+，则()()220x x -+≤，且20x +≠，解得22x -<≤，则集合{22}A xx =-<≤∣，{(3)0}{03}B x x x x x =-<=<<∣∣则A B ⋃={}23x x -<<2．D【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证.【详解】A.3z =-时，i 3i z +=-+A 错误；B.2i z =，则i 3i z +=+B 错误；C.1z =，则)i 11i 5z +=-=，故C 错误；D.33i z =-+，则i 34i 5z +=-+=，故D 正确.3．C【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.【详解】在A 中，若//m α，//n β，则//αβ或αβ⋂，故A 错误；在B 中，若//m α，n β⊥，m n ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若m α⊂，m β⊥，则由面面垂直的判断得到αβ⊥，故C 正确；在D 中，由//m α，n β⊥，//m n ，故//αβ或αβ⋂，故D 错误．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．4．D【分析】根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.【详解】对A：假设12,x x ，L ，8x 中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为2，那么众数为2和3；再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A 错误；对B：假设12,x x ，L ，8x 分别为：1,0,0,2,3,3,4,5-，满足平均数为2，其中位数为232.52+=；添加2以后，其中位数为2，中位数发生改变，故B 错误；对C：12,x x ，L ，8x 的平均数为2，方差()()()222112812228S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ；添加2以后，其平均数还是2，方差()()()()2222212811222229S x x x S ⎡⎤=-+-++-+-<⎣⎦ ，故方差发生改变；对D：若2是12,x x ，L ，8x 的最大值或最小值，因为其平均数为2，故这组数据都是2，其极差为0，添加2后，极差也是0；若2不是12,x x ，L ，8x 的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D 正确.5．A【分析】根据奇偶性和()2f 的符号，使用排除法可得.【详解】()f x 的定义域为R ，因为()e 12122e e 1sin()1sin sin 11e e x x xx x f x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎭⎝-⎝⎝⎭⎭1sin 1sin ()e e 2211x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，故CD 错误；又因为()2221sin 21e f ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2210,sin 201e -<>+，所以()20f <，故B 错误.6．B【分析】由题可得函数()f x 关于直线1x =，且在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又51cos 1,sin,tan 623πππ=-=，即得.【详解】∵函数1111,151()51,15x x x x f x x ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，∴函数()f x 关于直线1x =，且在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，又51cos 1,sin,tan 623πππ=-==∴13(1)(3),,22a f f b f f c f⎛⎫⎛⎫=-==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴a c b <<.7．C【分析】根据题意可讨论:1a a >时，可看出()f x 在()1,+∞上单调递增，而()f x 在(],1-∞上不是增函数，显然不合题意；01a <<时，可看出()f x 在()1,+∞上单调递减，从而得出1121114aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪--≥-⎪⎩，解出a的范围即可．【详解】解：①1a >时，()f x 在()1,+∞上是增函数；∴()f x 在R 上是增函数；显然()f x 在(],1-∞上不是增函数；∴1a >的情况不存在；②01a <<时，()f x 在()1,+∞上是减函数；∴()f x 在R 上是减函数；∴1121114aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪--≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤；综上得，实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．8．B【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为ABC 为等腰直角三角形，1AC BC ==，所以ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点1O，且12AO =，设11A B 的中点为E ，连接1O E ，则11//O E AA ，则1O E ⊥平面ABC ，设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，由球的性质可得O 在1O E 上，设1OO x =，02DE t t ⎛=≤≤ ⎝⎭，外接球的半径为R ，因为OA OD R ==即2742t x=-，又02t ≤≤，则718x ≤≤，因为2212R x =+，所以2813642R ≤≤所以三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为34π6π2⨯=.【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：（1）棱长为a 的正方体的外接球半径为2R a =；（2）长方体的长，宽，高分别为,,a b c，则其外接球的半径为R =（3）直棱柱的高为h ，底面多边形的外接圆半径为r，则其外接球的半径为R 五、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．BCD【分析】根据题意，由条件可得6m =，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】因为向量()2,a m =，()1,2b =- ，则()()()22,2,44,4a b m m -=--=- ，且()2a b b ⊥- ，则()()214240a b b m -=-⨯+=⋅-，解得6m =，故A 错误；因为()2,6a = ，()1,2b =- ，则21210a b ⋅=-+=，故B 正确；因为cos ,2a ba b a b⋅<>===⋅，则π,4a b <>= ，故C 正确；因为()3,4a b -=，则5a b -==，故D 正确；10．BCD【解析】对于选项A B C：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.【详解】对于选项A：若0,0a b >>，由基本不等式得222a b ab +≥，即()()2222a b a b +≥+，a b ≥=+，故2a b ≥+，当且仅当a b =时取等号；所以选项A 不正确；对于选项B：若0,0a b >>，11412a b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()11414522b a a b a a a b b b +=+⎛⎫⎛⎫⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当142a b+=且4b aa b =，即3,32a b ==时取等号，所以选项B 正确；对于选项C：由0,0a b >>，()22ab b b a b +=+=，即()24b a b +=，由基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22ab b +=且2a b b +=，即1a b ==时取等号，所以选项C 正确；对于选项D：()1111a b a b a b a b b a ab ab -⎛⎫+--=-+=-+ ⎪⎝⎭，又0a b >>，得10,10a b ab->+>，所以11a b b a+>+，所以选项D 正确；【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．AC【分析】利用N MAE A MNE V V --=，结合MNE 的面积为定值，点A 到平面MNE 的距离AA '为定值，可判断A；平面的基本性质作出面AMN 与BB '的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当E 为B D ''中点时，可得AE GH ⊥，进而判断C；E 到平面AMN 的距离一定，而AE 长度随E 运动会变化，结合线面角定义判断D.【详解】因为E 是线段B D ''上的动点，而12MN B D ''=且MN B D ''∥，所以MNE 的面积为定值，又点A 到平面MNE 的距离AA '为定值，N MAE A MNE V V --=，所以三棱锥N MAE -的体积是定值，A 正确；过A 作GH MN ∥分别交CD ，CB 的延长线于H ，G ，连接MG ，NH ，如图，F 为MG ，BB '的交点，K 为NH ，DD '的交点，所以截面为五边形AFMNK ，B 错误；E 在B D ''上运动，当AE GH ⊥时，AE MN ⊥，而A 为GH 中点，所以当E 为B D ''中点时，AE GH ⊥，故存在唯一的点E 使得AE MN ⊥，C 正确；由B D MN ''∥，MN ⊂平面AMN ，B D ''⊄平面AMN ，则B D ''∥平面AMN ，所以E 到平面AMN 的距离一定，而AE 长度随E 运动会变化，故AE 与平面AMN 所成的角不为定值，D 错误.【点睛】关键点点睛：本题A 选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到MNE 的面积为定值，从而得解.六、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.【详解】把这8个数据按从小到大的顺序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，825%2⨯=，所以这8人年龄的25%分位数是3032312+=．故答案为：31．13．【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心O 所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，由棱台的性质可知：外接球的球心O 落在线段12O O 上，设外接球的半径为R ，2OO h =，则13OO h =-，因为12O O 垂直于上下底面，所以22222OO O B R +=即2222h R +=，所以22211OO O A R +=即()(2223h R -+=，联立解得52h =，22533244R =+=,所以该方斗的外接球的表面积为33π.故答案为：33π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.14．【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得2cos 2sin A A =-，再根据同角关系式可得sin ,cos A A ，tan A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+出，结合条件可得tan C 的取值范围，进而即得.【详解】因为()222S a b c =--，且1sin 2S bc A =，所以()22sin bc A a b c =--，即222(2sin )b c a bc A +-=-，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，所以2cos 2sin A A =-，又22cos sin 1A A +=，所以221sin (1sin )12A A +-=，解得：4sin 5A =或sin 0A =，因为ABC 为锐角三角形，所以4sin 5A =，3cos 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==，因为πABC ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，由正弦定理得：sin sin cos cos sin sin sin b B A C A C c C C+==434cos sin 3555sin tan 5C C C C +==+，因为ABC 为锐角三角形，所以π02π02B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即π2π02A C C ⎧+>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩,所以ππ22A C -<<，所以π3tan 2cos an 4t =sin A AC A ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以140tan 3C <<，所以41650tan 15C <<，433555tan 53C <+<，故35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：35,53⎛⎫⎪⎝⎭.七、解答题（本大题共5个小题，共77分）15．【详解】试题分析：解：(1)当x ∈2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，A ＝1，4T ＝23π－6π，T ＝2π，ω＝1.且f (x )＝sin(x ＋φ)过点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则23π＋φ＝π，φ＝3π.f (x )＝sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.当－π≤x ＜－6π时，－6π≤－x －3π≤23π，f 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝sin 33x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－6π对称，则f (x )＝f 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即f (x )＝sin 33x ππ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝－sin x ，－π≤x ＜－6π.∴(2)当－6π≤x ≤23π时，6π≤x ＋3π≤π，由f (x )＝sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，得x ＋3π＝4π或34π，x ＝－12π或512π.当－π≤x ＜－6π时，由f (x )＝－sin x ＝2，sin x ＝－2，得x ＝－4π或－34π.∴x ＝－4π或－34π或－12π或512π.考点：三角函数的图像与解析式点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题．16．【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为x ，则()11621751814191320421218.4540x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）重量不小于19.5克的水果有6个，记为,,,,,a b c d E F其中重量不小于20.5克的水果有2个，记为,.E F 从,,,,,a b c d E F 中任取2个，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a E a F b c b d b E b F c d ()()()()(),,,,,,,,,c E c F d E d F E F ，共15种情况至少有1个水果的重量不小于20.5克的有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a E a F b E b F c E c F d E d F E F ，共9种情况则至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率93155P ==【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.17．【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出CD ⊥平面PAD ．在PCD 中根据中位线定理，证出//EF CD ，从而EF ⊥平面PAD ，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG ⊥平面PAD ；（2）根据线面平行判定定理，得到//CD 平面EFG ，推出三棱锥M EFG -的体积等于三棱锥D EFG -的体积．再由面面垂直的性质证出点D 到平面EFG 的距离等于正EHD ∆的高，算出EFG 的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D EFG -的体积，即可得到三棱锥M EFG -的体积．【详解】（1） 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥CD \^平面PAD ，又PCD Q V 中，E 、F 分别是PD 、PC 的中点，//EF CD ∴，可得EF ⊥平面PADEF ⊂ 平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD ；（2）//EF CD ，EF ⊂平面EFG ，CD ⊂/平面EFG ，//CD ∴平面EFG ，因此CD 上的点M 到平面EFG 的距离等于点D 到平面EFG 的距离，M EFG D EFG V V --∴=，取AD 的中点H ，连接GH 、EH ，则//EF GH ，EF ⊥ 平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，EF EH ∴⊥，而112,222EF CD EH PA ====,于是122EFH EFG S EF EH S =⨯== ，平面EFG ⊥平面PAD ，平面EFG ⋂平面PAD EH =，由题意知EH PA ∥,PAD 是正三角形，则,EHD △是正三角形，∴点D 到平面EFG 的距离等于正EHD △的高，即为2sin 60=因此，三棱锥M EFG -的体积13M EFG D EFG EFG V V S --==⨯=．18．【分析】（1）先由已知及正弦定理得到π3B =，然后据（1）的条件得到b =进一步可得到32ac =，最后使用余弦定理解出2a c +=；（2）先由已知及ABCABC S <≤u ∈⎝构造满足题目条件且面积等于u 的ABC ，即可得到ABC的面积的取值范围是3⎛ ⎝.【详解】（1）由()cos 2cos b C a c B =-及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B =-=-.故()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B B C C B B C A =+=+=，得2cos 1B =.所以1cos 2B =，知π3B =.记ABC 的外接圆半径为R ，则1R =，且1cos cos 8A C =-，故π2sin 21sin 3b R B ==⨯⨯=又有()1π1cos cos cos sin sin cos cos sin sin 238B AC A C A C A C ===-+=-=+，所以3sin sin 8A C =，即22332sin 2sin 4sin sin 4182ac R A R C R A C =⋅==⨯⨯=.故()()222222222π932cos 2cos 332b ac ac B a c ac a c ac a c ac a c ==+-=+-=+-=+-=+-，解得2a c +=.（2）我们已有π3B =，记ABC 的外接圆半径为R，则2π2sin 32sin 3b R B ===.ABC 是锐角三角形当且仅当π2π2ππ23A C A B A ⎧>⎪⎪⎨⎪>=--=⎪⎩，即ππ62A <<，故2π23A C A -=-的范围是ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.又因为2162sin ·2sin 4sin sin sin sin 3ac R A R C A C A C ==⨯=⎝⎭()()()()()()8881cos cos cos cos cos 3332A C A C A C B A C ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪⎝⎭.故由A C -的范围是ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，知()cos A C -的范围是1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以ac 的范围是8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.而11πsin sin 223ABC S ac B ac ac == ，所以ABC的面积的取值范围是3⎛ ⎝.19．【分析】（1）根据给定的性质，求出函数()f x 在[]0,1的解析式，再分类讨论求出最大值.（2）根据给定的性质，求出函数()h x 的解析式，并分析函数性质作出图象，令()h x m =，把函数()F x 的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解.【详解】（1）由()y f x =具有“()0P 性质”，得()()=f x f x -对x ∈R 恒成立，则函数()f x 是R 上的偶函数，当[]0,1x ∈时，[]1,0x -∈-，22()()()()f x f x x m x m =-=-+=-，则当12m ≤时，2max ()(1)(1)f x f m ==-；当12m >时，2max ()(0)f x f m ==，所以当12m ≤，最大值为()21m -；当12m >时，最大值为2m .（2）函数()y h x =具有“()2P 性质”，则(2)()h x h x +=-，即()(2)h x h x =-，而当1x ≥时，()|4|h x x =-，则当1x <时，21x ->，()(2)|2|h x h x x =-=+，于是()4,12,1x x h x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()h x 在(,2]-∞-上单调递减，函数值集合为[0,)+∞，在[2,1]-上单调递增，函数值集合为[0,3]，在[1,4]上单调递减，函数值集合为[0,3]，在[4,)+∞上单调递增，函数值集合为[0,)+∞，函数()y h x =的图象如图，令()h x m =，显然当0m <时，方程()h x m =无解，当0m =或3m >时，方程()h x m =有2个解，当3m =时，方程()h x m =有3个解，当03m <<时，方程()h x m =有4个解，函数2()()()F x h x t h x t =-⋅+有8个零点，则2()0t m tm t ϕ=-+=在(0,3)上有两个不等的实数根12,m m ，因此22Δ40(0)0(3)330032t t t t t t ϕϕ⎧=->⎪=>⎪⎪⎨=-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得942t <<，所以t 的取值范围为9(4,2.。
广州2初一新生分班(摸底)数学模拟考试(含答案)
广州2初一新生分班（摸底）数学模拟考试（含答案）初一新生(分班)摸底考试试卷数学班级____________ 姓名____________ 得分：____________一、选择题（每题3分，共18分）1. 在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅图的比例尺是（）A、145B、14500C、145000D、145000002. 一群孩子匀距坐成一个圆圈玩游戏，从大毛开始按顺时针方向数，数到二毛为第8个，而且大毛和二毛正好面对面坐，这群孩子一共有（）A、16人B、14人C、15人D、17人3. 甲数是840，____________乙数是多少？如果求乙数的算式是，那么横线上应补充的条件是（）A、甲数比乙数多13B、甲数比乙数少13C、乙数比甲数多13D、乙数比甲数少1 34. 如果甲堆媒的质量比乙堆媒少16，那么下列说法正确的有（）①乙堆煤的质量比甲堆煤多20%②甲、乙两堆煤质量的比是6：7③如果从乙堆煤中取出112给甲堆煤，那么两堆煤的质量就相同④甲堆煤占两堆煤总质量的5 11A、①②③B、①②④C、①③④D、②③④5. 把一个棱长为a的立方体切成两个长方体，这两个长方体表面积的和是（）A、8a2B、7a2C、6a2D、不能确定6. 在1至2000这些整数里，是3的倍数但不是5的倍数的数有（）A、666个B、133个C、799个D、533个二、填空题（每题3分，共36分）7. 找规律填数：1，2，4，7，11，____________8. 在0.37，37.7%，0.37，38中，最大的数是____________9. 被减数、减数、差相加得16，差是减数的3倍，这个减法算式是____________10. 在比例3：4中，如果前项加上a，要使比值不变，后项应加上____________11. 一个三角形三个内角的度数比是1：1：2，如果其中较短的边长为5厘米，则这个三角形的面积是____________平方厘米.12. 一种洗衣机连续两次降价10%后，每台售价1660.5元，这种洗衣机每台原价是____________元.13. 把3个长是7cm，宽是2cm的长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长是____________cm.14. 甲、乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为____________.15. 某市举行象棋比赛，每个选手都要和其他选手比赛一次，赢的得2分，输的得0分，赛平则各得1分，有三个人分别作了统计，结果所得总分分别为3781，3782，3783，如果以上三个结果中只有一个分数是正确的，那么正确的总分为____________.16. 把20以内的8个质数填在如图的八个“○”内，使A到B的三条线路上的四个数的和相等，那么这个和是____________.17. 绿化队分三组植树，第一组植的棵数是其他两组植的总数的5 13，第二组植的棵数是其他两组总数的13，第三组植了51棵。
广东省广州市数学高考摸底试卷(文科)
广东省广州市数学高考摸底试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·齐齐哈尔模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·十堰模拟) 设i为虚数单位，则复数的共扼复数（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·济宁模拟) 在区间[0，8]上随机取一个x的值，执行如图的程序框图，则输出的y≥3的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·漳州模拟) 已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆O：x2+y2=7交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·武邑模拟) 等差数列{an}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A .B . 4C .D .6. （2分）如图，分别沿长方形纸片和正方形纸片的对角线、剪开，拼成如图所示的平行四边形，且中间的四边形为正方形.在平行四边形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）函数的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·包头期中) 如果x∈R，那么函数f（x）=cos2x+sinx的最小值为（）A . 1B .C .D . ﹣110. （2分）下列有关命题的说法正确的是（）①或;②命题“a、b都是偶数,则a＋b是偶数”的逆否命题是“a＋b不是偶数,则a、b都不是偶数”③是的充分不必要条件④若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真.A . ①④B . ②③C . ②④D . ③④11. （2分） (2020高一下·九龙坡期末) 在中，角、、的对边分别为、、，已知，， .若，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）=x（a﹣），曲线y=f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A . （﹣e2 ，+∞）B . （﹣e2 ， 0）C . （﹣，+∞）D . （﹣，0）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·咸阳期中) 函数y=（x+1）•（x﹣1）在x=1处的导数为________．14. （1分） (2017高二下·宜昌期末) 已知抛物线y2=2px的焦点F与双曲线﹣ =1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的焦点为K，点A在抛物线上，且|AK|= |AF|，则△AFK的面积为________．15. （1分）某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个．16. （1分）(2019·龙岩模拟) 已知向量，的夹角为，，，则 ________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2015高二上·邯郸期末) 已知函数f（x）=ax2+bx在x=1处取得极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）若（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）对于任意的x∈（0，+∞）成立，求实数m的取值范围．18. （10分） (2020高一下·九龙坡期末) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）的影响，对近4年的年宣传费和年销售量（）作了初步统计和处理，得到的数据如下：年宣传费（单位：万元）2345年销售量（单位：吨） 2.534 4.5参考公式：， .（1）求出关于的线性回归方程；（2）若公司计划下一年度投入宣传费6万元，试预测年销售量的值.19. （10分）以为直径的圆所在的平面为，为圆上异于和的任意一点，（1）求证：（2）设在上，且 ,过作平面与直线平行，平面与交于点，求的值20. （5分） (2016高二上·泉港期中) 已知椭圆C方程为（a＞b＞0），左、右焦点分别是F1 ，F2 ，若椭圆C上的点P（1，）到F1 ， F2的距离和等于4．（Ⅰ）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设点Q是椭圆C的动点，求线段F1Q中点T的轨迹方程；（Ⅲ）直线l过定点M（0，2），且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l 的斜率k0的取值范围．21. （10分） (2017高二下·如皋期末) 已知函数f（x）=e2x+1﹣2mx﹣ m，其中m∈R，e为自然对数底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≥n对任意x∈R都成立，求m•n的最大值．四、选做题 (共1题；共10分)22. （10分） (2017·厦门模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ=4cosθ．直线l与曲线C1相切．（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．（2）已知点Q（2，0），直线l与曲线C2：x2+ =1交于A，B两点，求△ABQ的面积．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、21-2、四、选做题 (共1题；共10分)22-1、22-2、。
广州二中应元学校初一新生分班（摸底）数学模拟考试（含答案）
广州二中应元学校初一新生分班（摸底）数学模拟考试（含答案）广州二中应元学校初一新生分班（摸底）数学模拟考试（含答案）初一新生入学摸底(分班)考试卷数学试卷一、精心选一选（3分×10=30分）1.的相反数是（）A. B. ﹣ C. 2 D. ﹣22.在3，2，﹣1，﹣4这四个数中，比﹣2小的数是（）A. ﹣4B. ﹣1C. 2D. 33.在0.01,0，-5，这四个数中，最小的数是（）A. 0.01B. 0C. -5D.4.下列各式可以写成a–b+c的是（）A. a–（+b）–（+c）B. a–（+b）–（–c）C. a+（–b）+（–c）D. a+（–b）–（+c）5.下列说法正确的是（）A. 分数都是有理数B. ﹣a是负数C. 有理数不是正数就是负数D. 绝对值等于本身的数是正数6.在“百度”中搜索“义乌”，能搜索到与之相关的网页约16300000，将这个数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.7.计算(－8)×3÷(－2)2得( )A. －6B. 6C. －12D. 128.有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（）A. |b|＞a＞﹣a＞bB. |b|＞b＞a＞﹣aC. a＞|b|＞b＞﹣aD. a＞|b|＞﹣a＞b9.下列说法中正确的个数有经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A.B.C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.|-2|的倒数是（）A. 2B. -2C.D.二、细心填一填（3分×8=24分）11.如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“﹣20元”表示__________．12.如图，数轴的单位长度为1，如果A、B两点表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是_____．13.比较大小：_________14.甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20米、﹣5米、和﹣10米，那么最高的地方比最低的地方高________米．15.一个多项式与的和是，则这个多项式是___________．16.如果实数a，b满足（a-3）2+|b+1|=0，那么=__________．17.三个互不相等的整数的积为15，则这三个数的和的最大值等于_______．18.正整数按图中的规律排列,请写出第18行,第20列的数字：_____．学|科|网...19.计算：（1）、（2）、20.先化简，再求值：（2x-1）2-(3x+1)(3x-1)+x(x+1)，其中x=-2.．数学试卷参考答案一、精心选一选（3分×10=30分）1.的相反数是（）A. B. ﹣ C. 2 D. ﹣2【答案】B【解析】因为只有符号不同的两个数是互为相反数,的相反数是,故选B.点睛:本题主要考查相反数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握相反数的定义.2.在3，2，﹣1，﹣4这四个数中，比﹣2小的数是（）A. ﹣4B. ﹣1C. 2D. 3【答案】A【解析】试题分析：比-2小的数只有-4．故选A．考点：有理数比较大小．3.在0.01,0，-5，这四个数中，最小的数是（）A. 0.01B. 0C. -5D.【答案】C【解析】【分析】正数比0大,负数比0小,正数大于负数,两个负数比较大小,绝对值较大的数本身就越小,根据有理数的性质比较有理数大小即可求解.【详解】在0.01,0，-5，这四个数中,根据有理数的性质可得:0.01>0>>-5,故选C.【点睛】本题主要考查有理数的性质,解决本题的关键是要熟练掌握有理数的性质.4.下列各式可以写成a–b+c的是（）A. a–（+b）–（+c）B. a–（+b）–（–c）C. a+（–b）+（–c）D. a+（–b）–（+c）【答案】B【解析】试题分析：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．解：选项A的结果为a?b?c，选项B的结果为a?b+c，选项C的结果为a?b?c，选项D的结果为a?b?c，故选B.5.下列说法正确的是（）A. 分数都是有理数B. ﹣a是负数C. 有理数不是正数就是负数D. 绝对值等于本身的数是正数【答案】A【解析】试题分析：A、有理数包含整数和分数，所以分数都是有理数，故此选项正确；B、当a是负数时，－a是正数，当a是0时，－a是0，故此选项错误；C、有理数包含正有理数、负有理数和0，所以有理数不是正数，有可能是负数，还可能是0，故此选项错误；D、绝对值等于本身的数是0或正数，故此选项错误．故选A．6.在“百度”中搜索“义乌”，能搜索到与之相关的网页约16300000，将这个数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表达形式是,进行解答即可.【详解】因为科学记数法的表达形式是,所以将16300000用科学记数法表示为,故选C.【点睛】本题主要考查科学记数法的正确表达形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的表达形式.7.计算(－8)×3÷(－2)2得( )A. －6B. 6C. －12D. 12【答案】A【解析】(－8)×3÷(－2)2=(－8)×3÷4=－8×3× =-6，故选A.8.有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（）A. |b|＞a＞﹣a＞bB. |b|＞b＞a＞﹣aC. a＞|b|＞b＞﹣aD. a＞|b|＞﹣a＞b【答案】A【解析】根据题意b是负数，|b|=-b，在数轴上标出-a和-b大致位置，根据数轴上右边的数比左边的数大，得-b>a>-a>b，即|b|＞a＞﹣a＞b．故选A．点睛：有理数比较大小时可以利用数轴进行比较，规则是数轴上左边的数小于右边的数.9.下列说法中正确的个数有经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A.B.C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】分析：根据垂线段、垂直、平行和直线相交进行判断即可．详解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；②连接直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；。
2022年广州二模数学文科试卷(含解析)
2022年广州二模数学文科试卷(含解析）2020年广州市一般高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2020.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“x ∃∈R ，2450x x ++≤”的否定是A ．x ∃∈R ，2450x x ++> B ．x ∃∈R ，2450x x ++≤ C ．x ∀∈R ，2450x x ++> D ．x ∀∈R ，2450x x ++≤ 2．假如函数()()ln 2f x x a =-+的定义域为(),1-∞，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3．关于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．=a b a bB ．+=+a b a bC ．()()=a b c a b cD ．2=a a a 4．若直线()1y k x =+与圆()2211x y ++=相交于A 、B 两点，则AB 的值为A ．2B ．1C ．12D ．与k 有关的数值5．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．3 6．执行如图1所示的程序框图，输出的S 值为A ．225B ．196C ．169D ．144（注：框图中的赋值符号“=”也能够写成 “←”或“﹕=”）7．若函数cos y xω=()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．98．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π9．已知01a <<，01x y <<≤，且log log 1a a x y =，那么xy 的取值范畴是A ．(20a ⎤⎦， B ．(]0a ， C ．10a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．210a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，10．某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情形如下表：A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为 ． 12．已知α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k+个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）图3图214．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BF FC 的值为 ．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情形，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估量高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．18．（本小题满分14分）如图4， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=． （1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时， 求BC 的长．PA B图4在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =-()0a a ∈≠R 且．（1）若()f x 在定义域上为增函数，求实数a 的取值范畴； （2）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．通过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．2020年广州市一般高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力对比评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查差不多知识和差不多运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题查差不多知识和差不多运算，表达选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．11．14π-12 13．36；3981 14．1415三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题要紧考查随机抽样、平均数、古典概型等基础知识，考查数据处理能力，本小题满分12分） 解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估量高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．………………………………………………3分（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8，因此任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，， ()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形．…………………………………………………7分其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，， ()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种．……………………10分因此抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=153． ………………12分 17．（本小题要紧考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC∠为△ABC的内角，因此3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，因此点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ， 在△ABC中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，因此sin A =．因此2R ==，即3R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，OB R==，703522BCBD===，因此OD==………………………………………………………11分3=．因此点O到直线BC的距离为m．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，因此点O为△ABC外接圆的圆心．……………………5分连结OB，OC，过点O作边BC的垂线，垂足为D，…………………6分由（1）知3BACπ∠=，因此3BOC2π∠=．因此3BODπ∠=．…………………………………………………………………………………………9分在Rt△BOD中，703522BCBD===，因此3535tan tan603BDODBOD===∠．…………………………………………………………11分因此点O到直线BC的距离为m．……………………………………………………………12分18．（本小题要紧考查空间直线与平面的位置关系和几何体的体积运算等基础知识，考查空间想象能力等，本小题满分14分）（1）证明：因为90PAB PAC∠=∠=，因此PA AB⊥，PA AC ⊥．………………………………1分因为AB AC A=，因此PA ⊥平面ABC ．…………………………………………………………2分因为BC ⊂平面ABC，因此BC PA ⊥．………………………………………………………………3分因为90ACB ∠=，因此BC CA ⊥．……………………………………………………………………4分因为PA CA A=，因此BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………5分因为BC ⊂平面PBC，因此平面PBC ⊥平面PAC ．………………………………………………6分（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥， 因此PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分 因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x <<，……………8分因此AC ==9分 因为13P ABC ABC V S PA -=⨯△16=………………………………………………………………………………10分=()224162x x +-≤⨯…………………………………………………………………………11分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =时等号成立．………………………………………………………13分因此当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分方法2：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ， 因此PA是三棱锥P ABC-的PAB高．………………………………………………………………………7分因为90ACB ∠=，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，……………………………………………………8分则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．……………………………………………9分因此112cos 2sin sin 222ABC S BC AC θθθ=⨯⨯=⨯⨯=△．………………………………………10分因此13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=． ………………………………………………………………………………11分 因为02πθ<<， 因此当4πθ=，P ABCV -有最大值13． …………………………………………………………………12分 现在2cos4BC π==………………………………………………………………………………13分因此当三棱锥P ABC-的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分19．（本小题要紧考查等差数列、裂项法求和等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………2分 解得11,3.a d =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………………………………3分因此()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-． 因此数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ． …………………………………………………4分（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ……………………………………………5分因此数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133131n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．……………………………………………………………………………7分假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列， 则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分 即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．………………………………………………………………………………9分因此224361m n m m =-++．因为0n >，因此23610m m -++>．即23610m m --<． 因为1m >，因此113m <<+<． 因为*m ∈N ，因此2m =．…………………………………………………………12分现在22416361m n m m ==-++．……………………………………………………13分 因此存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =． ………………………14分 20．（本小题要紧考查函数的单调性和最值等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力等，本小题满分14分）数学资源网 ://shuxue2020 解：（1）因为函数2()2ln f x x a x =-，因此函数()f x 的定义域为(0,)+∞．……………………………………………………1分 且2()2af x x x'=-．…………………………………………………………………2分 若()f x 在定义域上是增函数， 则2()20af x x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立．…………………………………………3分 即2a x ≤在(0,)+∞上恒成立，因此0a ≤． ………………………………………4分 由已知0a ≠，因此实数a 的取值范畴为(),0-∞．……………………………………5分 （2）①若0a <，由（1）知，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数．因此函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =．…………………………6分②若0a >，由于(2222()x x x a f x x x--'==， 因此函数()f x在区间(上为减函数，在区间)+∞上为增函数．……7分1≤，即01a <≤时，)[1,2]⊂+∞，函数2()2ln f x x a x =-在区间[1,2]上为增函数，因此函数()f x 在[1,2]的最小值为(1)1f =．…………………………………9分（ⅱ）若12a <≤，即14a <≤时，函数2()2ln f x x a x =-在区间()1,a 为减函数，在(),2a 上为增函数，因此函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为()ln f a a a a =-．…………………11分（ⅲ）若2a >，即4a >时，()[1,2]0,a ⊂，函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，数学资源网 ://shuxue2020因此函数()f x 在[1,2]的最小值为(2)42ln 2f a =-． ………………………13分 综上所述，当1a ≤且0a ≠时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(1)1f =． 当14a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]的最小值为()ln fa a a a =-．当4a >时，函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为(2)42ln 2f a =-．………………14分21．（本小题要紧考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．………1分整理，得24x y =．因此轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，依照抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．因此动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………3分 由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， AB CDOxylE则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……………4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………5分 由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………6分 因此BAD CAD ∠=∠．……………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB，可知BAD ∠45=．………………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………10分 因此)()00042AB x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得02AC =+．………………………………11分因此△ABC的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BCk =， 直线BC的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到AB 的距离等于，可知BAD ∠45=．…………………………………8分数学资源网 ://shuxue2020由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，因此CAB ∠90=，即AC AB ⊥． 由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 因此1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分 因为02AB ==-，同理02AC =+． …………………………………………………………11分 以下同方法1．。
广州市第二中学新高一入学考试数学模拟试卷
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2020-2021学年广州市第二中学新高一入学考试数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）．
1．（3分）−13的绝对值是（ ）
A ．13
B ．−13
C ．3
D ．﹣3 【解答】解：|−13|=13．
故选：A ．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．直角三角形
B ．正五边形
C ．正方形
D ．平行四边形
【解答】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C ．
3．（3分）如图，CD 是圆O 的直径，AB 是圆O 的弦，且AB ＝10，若CD ⊥AB 于点E ，则
AE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
【解答】解：∵CD ⊥AB ，CD 是直径，
∴AE ＝EB =12AB ＝5，。
广东省广州市第二中学2023~2024学年九年级下学期开学考试数学试题
广东省广州市第二中学2023~2024学年九年级下学期开学考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．
C．D．
二、填空题
三、解答题
17．解方程：222(3)9x x -=-
18．如图，在ABC V 中，点D E ，分别是边AB AC ，上的点，180BDE C ∠+∠=︒．求证：ADE ACB △△∽．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC V 的三个顶点的坐标分别为()()()1,1,3,1,1,4A B c ---．
(1)将ABC V 绕点B 顺时针旋转90︒后得到11A BC V ，请在图中画出11A BC V ；
(2)直接写出11,A C 的坐标．
20．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A 、B 、C 、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A 、B 、C 、D 表示）
21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，
CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC ．
（1）求证：AC 平分∠DAO ；
（2）若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°，。
广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
广东省广州市第二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．2024的倒数是（ ）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024- 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）AB C D 3．已知一组数据：1，3，5，x ，6，这组数据的平均数是4，则众数是 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．34．如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，OA ＝2，AB ＝1，点O 点为圆心，OB 为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P 所表示的数是（ ）A ．2.2 BC ．D 5．如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点D 、E ，测量得16DE =米，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．30米B ．32米C ．36米D ．48米6．一次函数34y x =-+的图象不经过第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四7．如图，ABCD Y 的周长为30cm ，ABC V 的周长为27cm ，则对角线AC 的长为（ ）A ．27cmB ．17cmC ．12cmD ．10cm8．如图，在平行四边形ABCD 中，AD AB >，以点A 为圆心，AB 为半径画弧与AD 交于点F ，然后以大于12BF 为半径，分别以B ，F 为圆心画弧交于点G ，连接AG 交BC 于点E ，若6BF =，4AB =，则AE 的长为（ ）A B ．C ．5 D ．109．已知A 、B 两地相距600米，甲、乙两人同时从A 地出发前往B 地，所走路程y （米）与行驶时间x （分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．甲每分钟走100米B ．甲比乙提前3分钟到达B 地C ．两分钟后乙每分钟走50米D ．当2x =或6时，甲乙两人相距100米10．已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是一次函数22024y ax x =+-图象上不同的两个点，若记m =()()1212x x y y --，则当0m >时，a 的取值范围是（ ）A ．2024a <B ．2024a >C ．2a <-D ．2a >-二、填空题11x 的取值范围是．12=．13．已知△ABC 的三边长分别为5、12、13，则△ABC 的面积为．14．甲、乙、丙三人进行射击测试，他们成绩的平均数相同，方差分别是2 2.5s =甲，2 1.0s =乙，2 4.5s =丙，则这3位同学发挥最稳定的是．15．如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是 ．16．如图，四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．给出以下结论：①矩形DEFG 是正方形； ②CE ；③CG 平分DCF ∠； ④CG CE =．其中正确的序号为．三、解答题17．解方程：()2142x x x -=-．18．如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD CB =，AE CF =．求证：B D ∠=∠．19．先化简，再求值：a b a b b a ab +⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中2023a =，2024b =． 20．如图，在矩形ABCO 中，延长AO 到D ，使DO AO =，延长CO 到E ，使EO CO =，连接AE ED DC AC 、、、．(1)求证：四边形AEDC 是菱形；(2)连接EB ，若460AE AED =∠=︒，，求EB 的长．21．某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)本次调查数据的中位数是；(2)抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少?(3)若该校共有2000个学生，请根据统计数据，估计该校学生一周课外阅读时间不少于3小时的人数．22．有煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度() F o ，右侧是摄氏温度()C o ．已知华氏温度y 与摄氏温度x 之间满足一次函数关系，小明通过观察温度计，得到如下表所示的数据．(1)请根据表格提供的数据求出一次函数解析式；(2)根据解析式，求出华氏温度为0F o 时对应的摄氏温度（结果保留一位小数）；(3)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？请说明理由．23．如图，直线3y x =+与坐标轴分别交于点A ，C ，直线BC 与AC 关于y 轴对称．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)若点(),2P m 在ABC V 的内部（不包含边界），求m 的取值范围；(3)O 为坐标原点，若过点O 的直线将ABC V 分成的两部分面积之比为1:2，求该直线的解析式．24．如图1，正方形ABCD 的边长为4，点E 是边BC 上一动点（不与端点重合），连接AE ．(1)当1BE =时，求ABE V 的周长；(2)将ABE V 沿AE 折叠得到AME △，延长AM 交射线DC 于点F ．①如图2，当E 为BC 中点时，求CF 的长；②当点E 在BC 边上运动的过程中，小方同学认为AF CE CF ++的长度是一个定值，而小程同学认为AF CE CF +-的长度才是一个定值，你认为谁说的对呢？说出你的理由． 25．已知直线()():1311l y k x k k =++-≠-．(1)当k 为何值时，直线l 经过原点？(2)若直线l 不经过原点，设直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，当k 为何值时，2OA OB =，并求出此时AOB V 的面积；(3)定义：在平面直角坐标系中，若某个点到x 轴、y 轴的距离之和为2，则称该点为“元元点”，如点()1,1，()0,2，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭都是“元元点”．若直线l 上至少有一个“元元点”，求k 的取值范围．。
广东广州届高三年级第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
广东广州市届高三第二次模拟考试数学（文）试题Word版含答案）年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学）.4本试卷共6页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A ． B. C ． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是1 / 1。
新高二开学摸底考试卷(广东专用)数学(解析版)
高二开学摸底考试卷（广东专用）（解析版）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试范围：4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合202x A xx -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=（）A ．{2xx ≤∣或3}x ≥B ．{}23x x -<<C ．{}02x x <≤D ．{2xx ≤-∣或3}x ≥A ．3z =-B ．2i z =C ．1z =D ．33iz =-+故选：D3．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥D ．若//m α，n β⊥，//m n ，则//αβ【答案】C【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.【详解】在A 中，若//m α，//n β，则//αβ或αβ⋂，故A 错误；在B 中，若//m α，n β⊥，m n ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若m α⊂，m β⊥，则由面面垂直的判断得到αβ⊥，故C 正确；在D 中，由//m α，n β⊥，//m n ，故//αβ或αβ⋂，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题．4．有一组样本数据：12,x x ，L ，8x ，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：12,x x ，L ，8x ，2，那么这两组样本数据一定有相同的（）A ．众数B ．中位数C ．方差D ．极差变化，故D 正确.故选：D.5．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致是（）A．B．C ．D ．5 ⎪⎝⎭63⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．a b c >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．c a b>>7．已知函数()2,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）．A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦111的底面是等腰直角三角形，1，，点D 在上底面111A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为（）A ．81π16B ．6πC ．243π64D ．6π【答案】B 【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【详解】因为ABC 为等腰直角三角形，1AC BC ==，所以ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点1O ，且122AO =，设11A B 的中点为E ，连接1O E ，则11//O E AA ，则1O E ⊥平面ABC ，设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，由球的性质可得O 在1O E 上，设1OO x =，202DE t t ⎛⎫=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭，外接球的半径为R ，因为OA OD R ==，所以()2222222x x t ⎛⎫+=-+⎪ ⎪⎝⎭，即2742t x =-，又202t ≤≤，则718x ≤≤，因为2212R x =+，所以2813642R ≤≤所以三棱锥D ABC -外接球表面积的最大值为34π6π2⨯=.故选：B.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量()2,a m =，()1,2b =- ，且()2a b b ⊥- ，则下列说法正确的是（）A ．3m =B ．10a b ⋅=C ．向量a 与b夹角是π4D ．5a b -=A ．2a b ≤+B ．若142a b +=，则92a b +≥C ．若22ab b +=，则34a b +≥D ．若0a b >>，则11a b b a+>+【答案】BCD【解析】对于选项A B C ：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D ：利用作差法判断即可.【详解】对于选项A ：若0,0a b >>，由基本不等式得222a b ab +≥，（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.-''''中，M，N分别是B C''，C D''的中点，E是线段B D''上的动11．如图所示，在正方体ABCD A B C D点，则下列判断正确的是（）-的体积是定值A．三棱锥N MAEB．过A，M，N三点的平面截正方体所得的截面是六边形⊥C．存在唯一的点E，使得AE MND．AE与平面AMN所成的角为定值F面为五边形AFMNK ，B 错误；E 在B D ''上运动，当AE GH ⊥时，AE MN ⊥，而A 为GH 中点，所以当E 为B D ''中点时，AE GH ⊥，故存在唯一的点E 使得AE MN ⊥，C 正确；由B D MN ''∥，MN ⊂平面AMN ，B D ''⊄平面AMN ，则B D ''∥平面AMN ，所以E 到平面AMN 的距离一定，而AE 长度随E 运动会变化，故AE 与平面AMN 所成的角不为定值，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题A 选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到MNE 的面积为定值，从而得解.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某科技攻关青年团队共有8人，他们的年龄分别是29，35，40，36，38，30，32，41，则这8人年龄的25%分位数是．四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为平方分米．【答案】33π【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心O 所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，由棱台的性质可知：外接球的球心O 落在线段12O O 上，设外接球的半径为R ，2OO h =，则13OO h =-，因为12O O 垂直于上下底面，所以22222OO O B R +=即()2222h R +=，()214．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c S 为ABC 的面积，且222()S a b c =--，则c 的取值范围.四、解答题（本大题共5个小题，共77分）15．已知定义在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－6π对称，当x∈2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)0,0,22A ππωφ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的表达式；(2)求方程f(x)＝2的解．(1);(2)∴分成[)[)[)[)[)[],,15.5,16.516.5,17.5,17.5,18.518.5,19.519.5,20.5,20.,5,21.5六组进行统计，得到如图所示的统计图.（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；（2）从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率.平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；-的体积.（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M EFG，已知．(1)若ABC 的外接圆半径为1，且1cos cos 8A C =-，求a c +；(2)若2b =，求锐角ABC 的面积的取值范围．，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“()P a 性质”.(1)已知()y f x =具有“()0P 性质”，且当0x ≤时，()()2f x x m =+，求()y f x =在[]0,1的最大值；(2)已知定义在R 上的函数()y h x =具有“()2P 性质”，当1x ≥时，()4h x x =-.若函数()()()2F x h x t h x t =-⋅+有8个零点，求实数t 的取值范围.令()h x m =，显然当0m <时，方程当3m =时，方程()h x m =有3个解，当函数2()()()F x h x t h x t =-⋅+有2Δ40t t ⎧=->。
广州市二模文科数学习题及答案
奥密★启用前型：A试卷类2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔二〕文科数学2021．4本试卷共5页，23小题，总分值150分。
考试用时120分钟。
本卷须知：1．答卷前，考生务势必自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案。
写在本试卷上无效。
3．作答填空题和解答题时，一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新的答案；禁止使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生一定保持答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．会合 M 1,0,1,2，N xx 0或x 1，那么MIN中的元素个数为A．1B．2C．3D．42．假定a为实数，且(1ai)(a i)=2，那么a开始A．1B．0输入C．1D．2否是3x的值为3．履行如图的程序框图，假定输出y，那么输入2A．log231或2B．1log23或2C．1log23D．2x2y24．假定双曲线C:1a0,b0的一条渐近线方a2b2程为y 2x，那么C的离心率为A．6B．565 C．D．225．依据以下列图给出的2000年至2021年我国实质利用外资状况，以下结论正确的选项是实质利用外资规模实质利用外资同比增速A．2000年以来我国实质利用外资规模与年份负有关B．2021年以来我国实质利用外资规模逐年增大C．2021年我国实质利用外资同比增速最大D．2021年我国实质利用外资同比增速最大6．命题p:x R,x2x 1 0；命题q:x R，2x3x，那么以下命题中为真命题的是A．D．p q B．p q C．p qp q7．设x,y知足拘束条件1≤x≤1,3xy的取值范围是1≤x那么zy≤3,A．1,3B．1,3C．7,1D．7,3 8．假定函数 f x sin x的局部图象以下列图，那么 f x的单一递加区间是A．k,k(k Z)63B．k,k 5k Z)(36C．2k,2k(k Z)63D．2k,2k 5Z)(k369．设a n是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，假定a32a42a72a82，S721，那么a10A．8B．9C．10D．1210．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，那么该几何体的表面积是．18B．182C．16D．16211．直线l与曲线y x3x1有三个不一样交点Ax,y，Bx,y,Cx,y，112233且AB AC，那么3x i y i i1A．0B．1C．2D．312．体积为3的三棱锥PABC的极点都在球O的球面上，PA平面ABC，PA2，ABC120，那么球O的体积的最小值为A．77B．287 33C．1919D．761933二、填空：本共4小，每小5分，共20分．13．向量a与b的角，a2,b2，a b.414．函数fx e x x2的象在点1,f1的切点0,a，a.15．古希腊有名的达哥拉斯学派把1,3,6,10,⋯的数称“三角形数〞，而把1,4,9,16,⋯的数称“正方形数〞．如，能够任何一个大于1的“正方形数〞都能够看作两个相“三角形数〞之和，以低等式：①361521；②491831；③642836；④813645中切合一律的等式是．〔填写全部正确的号〕⋯⋯16．点P是抛物x24y上的点，点P到x的距离d，点P1是22d PP Px2y11上的点，当最小，点的坐．1三、解答：共70分．解答写出文字明、明程和演算步．第17～21必考，每个考生都必做答．第22、23考，考生依据要求做答．〔一〕必考：共60分．17．〔本小分12分〕△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsin2A asinB.〔1〕求A；〔2〕假定a2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.18．〔本小题总分值12分〕A药店方案从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂供给的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量A药店依据中药材的质〔单位：克〕作为样本，样本数据的茎叶图以下列图．量〔单位：克〕的稳固性选择药厂．1〕依据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不用说明原因)2〕假定将抽取的样本散布近似看作整体散布，药店与所选药厂约定中药材的购买价钱以下表：每件中药材的质量n〔单位：克〕购买价钱〔单位：元/件〕n155015≤n≤20an20100〔ⅰ〕预计A药店所购买的100件中药材的总质量；〔ⅱ〕假定A药店所购买的100件中药材的总花费不超出7000元，求a的最大值．19．〔本小题总分值12分〕如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，M,N分别是AB1和BC的中点．（1〕证明：MN∥平面AACC；12〕假定AA12,ABAC1，BAC90，求棱锥C1AMN的高．20．〔本小题总分值12分〕椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F2,0，短轴长为4.〔1〕求椭圆C的方程；2l:y=kx+32与椭圆C订交于不一样的两点M,N，点P为线段MN〔〕假定直线的中点，OP∥FM，求直线l的方程.21．〔本小题总分值12分〕函数 f x ax 1lnx.〔1〕假定函数f x 的极小值不大于k 对随意a 0恒成立，求k 的取值范围；〔2〕证明：n N *，11 1 21 3 L1 ne 2．222 232n〔此中e 为自然对数的底数〕〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题计分．22．〔本小题总分值 10分〕选修4－4：坐标系与参数方程x1t,1在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为2 (t 为参数).以坐标原点为y3t,2极点，以x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为212sin 2aa0．〔1〕求l 的一般方程和C 的直角坐标方程；〔2〕假定l 与C 订交于A ，B 两点，且 AB23，求a 的值．523．〔本小题总分值 10分〕选修4－5：不等式选讲函数 f x 2x 1 2x 1，不等式 f x ≤2的解集为M .〔1〕求M ；〔2〕证明：当a,b M时，a b a b≤1．。
2025届广东省广州市第二中学数学九上开学检测试题【含答案】
2025届广东省广州市第二中学数学九上开学检测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某同学的身高为1.6m ，某一时刻他在阳光下的影长为1.2m ，与他相邻的一棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度为()A ．5.3mB ．4.8mC ．4.0mD ．2.7m2、（4分）如图所示，已知A （12，y 1），B(2,y 2)为反比例函数1y x =图像上的两点，动点P(x ，0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．(12，0)B ．(1,0)C ．(32,0)D ．(52,0)3、（4分）若分式24x x-的值为0，则x 的值是（）A ．2或﹣2B ．2C ．﹣2D ．04、（4分）如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转120°得到△ADE ，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点D ，若∠BAC=35°，则∠CAE 的度数为（）A ．90°B ．75°C ．65°D ．85°5、（4分）如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上一点，AD AC =，过点D 作DE BC ⊥交AB 于E ，若ADE ∆是等腰三角形，则下列判断中正确的是（）A ．B CAD =∠∠B ．BED CAD ∠=∠C ．ADB AED ∠=∠D ．BED ADC∠=∠6、（4分）要使分式11x x +-有意义，x 的值不能等于（）A ．－1B ．0C ．1D ．±17、（4分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补8、（4分）已知一次函数y=kx+b （k≠0）图象经过第二、三、四象限，则一次函数y=﹣bx+kb 图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是_____．10、（4分）函数中，自变量x 的取值范围是________．11、（4分）在□ABCD 中，∠A +∠C =80°，则∠B 的度数等于_____________．12、（4分）已知2,4xy x y =+=+=___________.13、（4分）已知1a =+，1b =-，则代数式11a b+的值为________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）已知平面直角坐标系中有一点P （21m +，3m -）．（1）若点P 在第四象限，求m 的取值范围；（2）若点P 到y 轴的距离为3，求点P 的坐标．15、（8分）某商场销售A ，B 两款书包，己知A ，B 两款书包的进货价格分别为每个30元、50元，商场用3600元的资金购进A ，B 两款书包共100个.（1）求A ，B 两款书包分别购进多少个?（2）市场调查发现，B 款书包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y=-x+90(60≤x≤90)．设B 款书包每天的销售利润为w 元，当B 款书包的销售单价为多少元时，商场每天B 款书包的销售利润最大?最大利润是多少元?16、（8分）已知一次函数的图象过点（3，5）与点（﹣4，﹣9），求这个一次函数的解析式．17、（10分）已知：如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE ．求证：四边形BECF 是正方形．18、（10分）如图，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．（1）求四边形CEFB 的面积；（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在菱形ABCD 中,对角线AC=30，BD=60，则菱形ABCD 的面积为____________．20、（4分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，32BC =，AB =_______．21、（4分）如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是（5，0），双曲线(0)ky k x=>经过点C ，且OB•AC =40，则k 的值为_________．22、（4分）如果正比例函数的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于▲．23、（4分）如下图,用方向和距离表示火车站相对于仓库的位置是__________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，▱AOBC 的顶点A 、C 的坐标分别为A （﹣2，0）、C （0，3），反比例函数的图象经过点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）这个反比例函数的图象与一个一次函数的图象交于点B 、D （m ，1），根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．25、（10分）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 出发沿AD 方向向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿着CB 方向向点B 以3cm/s 的速度运动．点P 、Q 分别从点A 和点C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．（1）经过多长时间，四边形PQCD 是平行四边形？（2）经过多长时间，四边形PQBA 是矩形？（3）经过多长时间，当PQ 不平行于CD 时，有PQ=CD ．26、（12分）在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B【解析】试题分析：根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例可得：1.6:1.2=树高：3.6，则可解得树高为4.8m.考点：相似三角形的应用2、D【解析】求出AB的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【详解】∵把A（12，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1x得：y1=2，y2=12，∴A（12，2），B（2，12），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得：122122k bk b⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝，解得：k=-1，b=5 2，∴直线AB的解析式是y=-x+5 2，当y=0时，x=5 2，即P（52，0），故选D．本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度．3、A【解析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．【详解】∵分式24xx的值为0，∴x1﹣4=0，解得：x=1或﹣1．故选A．此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．4、D【解析】由题意可得∠BAE是旋转角为120°且∠BAC=35°，可求∠CAE的度数．【详解】∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转120°得到△ADE∴∠BAE=120°且∠BAC=35°∴∠CAE=85°故选D．本题考查了旋转的性质，关键是熟练运用旋转的性质解决问题．5、B 【解析】根据等腰三角形的性质得到,ADC C ∠=∠,ADE DAE ∠=∠根据垂直的性质得到90,B BED ∠+∠=90,ADC ADE ∠+∠=根据等量代换得到90,C DAE ADC ADE ∠+∠=∠+∠=又180,B DAE CAD C ∠+∠+∠+∠=即可得到90,B CAD ∠+∠=根据同角的余角相等即可得到BED CAD ∠=∠.【详解】AD AC =,,ADC C ∴∠=∠DE BC ⊥,90,BDE CDE ∴∠=∠=从而90,B BED ∠+∠=90,ADC ADE ∠+∠=ADE 是等腰三角形，,ADE DAE ∴∠=∠90,C DAE ADC ADE ∴∠+∠=∠+∠=180,B DAE CAD C ∠+∠+∠+∠=90,B CAD ∴∠+∠=BED CAD ∠=∠，故选：B.考查等腰三角形的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理，掌握同角的余角相等是解题的关键.6、C 【解析】根据分式有意义的条件：分母不等于0；【详解】解：要使分式11xx+-有意义，则x-10≠，故x1≠故选：C考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0；是解题的关键.7、A【解析】菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等互相平分.则菱形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直故选A8、A【解析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数y=﹣bx+kb系数的符号，判断出函数图象所经过的象限.【详解】∵一次函数y=kx+b经过第二，三，四象限，∴k<0，b<0，∴−b>0，kb>0，所以一次函数y=−bx+kb的图象经过一、二、三象限，故选：A.本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、30°或150°．【解析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得．【详解】如图1，∵四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE ，DC=DE ，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED ﹣∠AEB ﹣∠CED=30°；如图2，∵△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∴DE=DC ，∴∠CED=∠ECD ，∴∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=12×（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°，故答案为30°或150°．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键．10、x≤1【解析】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可.详解：∵二次根式有意义，被开方数为非负数，∴1-x≥0，解得x≤1.故答案为x≤1.点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键.11、140°【解析】根据平行四边形的性质可得∠A 的度数，再利用平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A =∠C ，AD ∥BC ，∵∠A +∠C =80°，∴∠A =40°，∵AD ∥BC ，∴∠A +∠B =180°，∴∠B =140°．故答案为：140°．本题主要考查了平行四边形的性质和平行线的性质，属于应知应会题型，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．12、【解析】将二次根式化简代值即可.【详解】===+=所以原式2=故答案为：本题考查了二次根式的运算，将二次根式转化为和已知条件相关的式子是解题的关键.13、【解析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】原式=a b ab +，当+1，-1时，原式=21=-故答案为：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)－12＜m ＜3；(1)点P 的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，-5）【解析】（1）根据题意得出1m +1＞0，m －3＜0，解答即可；（1）根据题意可知1m +1的绝对值等于3，从而可以得到m 的值，进而得到P 的坐标．【详解】（1）由题意可得：1m +1＞0，m －3＜0，解得：﹣12＜m ＜3；（1）由题意可得：|1m +1|=3，解得：m =1或m =﹣1．当m =1时，点P 的坐标为（3，－1）；当m =﹣1时，点P 的坐标为（﹣3，－5）．综上所述：点P 的坐标为（3，﹣1）或（﹣3，-5）．本题考查了点的坐标，解题的关键是明确题意，求出m 的值．15、（1）A ，B 两款书包分别购进70和30个；（2）B 款书包的销售单价为70元时B 款书包的销售利润最大，最大利润是400元【解析】（1）此题的等量关系为：购进A 款书包的数量+购进B 款书包的数量=100；购进A 款书包的数量×进价+购进B 款书包的数量×进价=3600，设未知数，列方程求解即可.（2）根据B 款书包每天的销售利润=（B 款书包的售价-B 款书包的进价）×销售量y ，列出w 与x 的函数解析式，再利用二次函数的性质，即可解答.【详解】（1）解：设购进A 款书包x 个，则B 款为（100−x ）个，由题意得：30x+50(100−x)=3600，解之：x=70，∴100-x=100-70=30答：A ，B 两款书包分别购进70和30个.（2）解：由题意得：w=y(x−50)=−(x−50)(x−90)=-x 2+140x-4500，∵−1<0，故w 有最大值，函数的对称轴为：x=70，而60⩽x ⩽90，故：当x=70时，w 有最大值为400，答：B 款书包的销售单价为70元时B 款书包的销售利润最大，最大利润是400元.考核知识点：二次函数y=a （x-h ）2+k 的性质，二次函数的实际应用-销售问题.16、y=2x ﹣1．【解析】设一次函数的解析式是：y=kx+b ，把（3，-5）与（-4，9）代入即得到一个关于k ，b 的方程组，解方程组即可求解．【详解】解:设一次函数为()0y kx b k =+≠因为它的图象经过3,5-4-9（），（，），所以5=394k b k b +⎧⎨-=-+⎩解得：21k b =⎧⎨=-⎩所以这个一次函数为21y x =-本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确解方程组是关键．17、证明见解析【解析】先由BF ∥CE ，CF ∥BE 得出四边形BECF 是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF 是矩形，BE=CE 邻边相等的矩形是正方形．【详解】∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°，∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE ，∴四边形BECF 是正方形本题主要考查平行四边形及正方形的判定．18、（1）9；（2）BE ⊥AF ，理由详见解析；（3）；【解析】（1）根据题意可得△ABC ≌△EFA ，BA ∥EF ，且BA=EF ，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形AFBC 为平行四边形，所以S △EFA =S △BAF =S △ABC =3，即可求得四边形EFBC 的面积为9；（2））BE ⊥AF ，证明四边形EFBA 为菱形，根据菱形的性质即可证得结论；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ，已知∠BEC=15°，AE=AB ，根据等腰三角形的性质可得∠EBA=∠BEC=15°，由三角形外角的性质可得∠BAC=2∠BEC=30°，在Rt △BAD 中，AB=2BD ，设BD=x ，则AC=AB=2x ，根据三角形的面积公式S △ABC =12AC•BD列出方程，解方程求得x 的值，即可求得AC 的长.【详解】（1）由平移的性质得，AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ，∴四边形AFBC 为平行四边形，S △EFA =S △BAF =S △ABC =3，∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF ，由（1）知四边形AFBC 为平行四边形，∴BF ∥AC ，且BF=AC ，又∵AE=CA ，∴四边形EFBA 为平行四边形，又∵AB=AC ，∴AB=AE ，∴平行四边形EFBA 为菱形，∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ，∵∠BEC=15°，AE=AB ，∴∠EBA=∠BEC=15°，∴∠BAC=2∠BEC=30°，∴在Rt △BAD 中，AB=2BD ，设BD=x ，则AC=AB=2x ，∵S △ABC =3，且S △ABC =AC•BD=•2x•x=x 2，∴x 2=3，∵x 为正数，∴x=，∴AC=2．本题综合考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形及30°角直角三角形的性质等知识，熟练运用这些知识点是解决问题的关键.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=30，BD=60，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=1．故答案为：1．此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．20、1【解析】根据10°所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝10°，BC＝3 2，∴AB＝2BC＝1．故答案为：1．本题考查含10°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．21、12【解析】过点C作CD OA⊥于D，根据A点坐标求出菱形的边长，再根据菱形的面积求得CD，然后利用勾股定理求得OD，从而得到C点坐标，代入函数解析式中求解.【详解】如图，过点C作CD OA⊥于D，∵点A 的坐标为（5,0），∴菱形的边长为OA=5，12OABC S OA CD OB AC =⋅=⋅菱形,,∴15402CD =⨯,解得4CD =，在Rt OCD △中，根据勾股定理可得：3OD ==,∴点C 的坐标为（3,4），∵双曲线(0)k y k x =>经过点C ，∴3412k xy ==⨯=，故答案为：12.本题考查了菱形与反比例函数的综合运用，解题的关键在于合理作出辅助线，求得C 点的坐标.22、-2【解析】将（1，－2）代入得，—2=1×k ，解得k=－223、东偏北20°方向，距离仓库50km 【解析】根据方位角的概念，可得答案．【详解】解：火车站相对于仓库的位置是东偏北20°方向，距离仓库50km ，故答案为：东偏北20°方向，距离仓库50km ．本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是注意是火车站在仓库的什么方向．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）y=6x ；（2）当0＜x ＜2或x ＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．【解析】（1）根据平行四边形的性质求得点B 的坐标为（2，3），代入反比例函数的解析式ky x =即可求得k 值，从而求得反比例函数的表达式；（2）先求得m 的值，根据图象即可求解.【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=BC ，OA ∥BC ，而A （﹣2，0）、C （0，3），∴B （2，3）；设所求反比例函数的表达式为y=（k≠0），把B （2，3）代入得k=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）把D （m ，1）代入y=得m=6，则D （6，1），∴当0＜x ＜2或x ＞6时，反比例函数的值大于一次函数的值．本题主要考查了反比例函数点的坐标与反比例函数解析式的关系及平行四边形的性质，关键是熟练掌握凡是反比例函数图象经过的点都能满足解析式．解决第（2）问时，利用了数形结合的数学思想.25、(1)1s ；(2)132s；(3)3s.【解析】（1）设经过ts 时，四边形PQCD 是平行四边形，根据DP=CQ ，代入后求出即可；（2）设经过ts 时，四边形PQBA 是矩形，根据AP=BQ ，代入后求出即可；（3）设经过t （s ），四边形PQCD 是等腰梯形，利用EP=2列出有关t 的方程求解即可．【详解】（1）设经过t （s ），四边形PQCD 为平行四边形即PD=CQ 所以24-t=3t ，解得：t=1．（2）设经过t （s ），四边形PQBA 为矩形，即AP=BQ ，所以t=21-3t ，解得：t=132．（3）设经过t （s ），四边形PQCD 是等腰梯形．过Q 点作QE ⊥AD ，过D 点作DF ⊥BC ，∴∠QEP=∠DFC=90°∵四边形PQCD 是等腰梯形，∴PQ=DC ．又∵AD ∥BC ，∠B=90°，∴AB=QE=DF ．在Rt △EQP 和Rt △FDC 中，{PQ DC EQ DF ＝＝，∴Rt △EQP ≌Rt △FDC （HL ）．∴FC=EP=BC-AD=21-24=2．又∵AE=BQ=21-3t ，∴EP=AP-AE=t-（21-3t ）=2．得：t=3．∴经过3s ，PQ=CD ．此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解．26、（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32【解析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H ∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF ∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x ∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x +同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR ∴8－x=()11622x y ++化简得：y=－3x+10∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．。
2022-2023学年广东广州市第二中学初三一模数学试题及答案解析
广州市第二中学2022-2023学年初三年级第二学期第一阶段学情反馈数学试卷（满分120分）本试卷分选择题和非选择题两部分，共25小题，满分120分，考试时间120分钟．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共10小题，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 温州博物馆B. 西藏博物馆C. 广东博物馆D. 湖北博物馆2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B.C.D. 3. 下列运算正确的是（ ）．A. ()325a a =B. 23236a a a ⨯=C. 23235a a a +=D. ()122122a a ---=4. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（）的A. 16B. 12C. 10D. 85. 关于x 的一元二次方程240x x a ++=）A. 4B. 2±C. 2D. 6. 对于反比例函数5y x =-，不列说法错误是( )A. 图象经过点()1,5- B. 图象位于第二、第四象限C. 当0x <时，y 随x 的增大而减小 D. 当01x <<时，5y <-7. 如图，ABC 内接于⊙,46O C ∠=︒，连接OA ，则OAB ∠=（ ）A. 44︒B. 45︒C. 54︒D. 67︒8. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为（ ）A. 900900213x x ⨯=-+ B. 900900213x x ⨯=+- C. 900900213x x =⨯-+ D.900900213x x =⨯+-9. 若点()11.7,A y -，()22.1,B y ，310,3C y ⎛⎫⎪⎝⎭在二次函数()223y x =-+的的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）的A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 231y y y <<D. 321y y y <<10. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将 BC沿BC 翻折交AB 于点D ，再将 BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若 BEDE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（ ）A. 21.922.3α︒<<︒B. 22.322.7α︒<<︒C. 22.723.1α︒<<︒D. 23.123.5α︒<<︒第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共6小题，满分18分．）11. 据报道2023年广州市初中毕业生总数为156668人，将156668用科学记数法表示为______．12. 分解因式：24ab a -=_______.13. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育老师随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：一分钟跳绳个数（个）181184185186学生人数（名）2512则这组数据的中位数是______；众数是______．14. 某校数学兴趣小组开展“无人机测旗杆”的活动：已知无人机的飞行高度为30m ，当无人机飞行至A 处时，观测旗杆顶部的俯角为30︒，继续飞行20m 到达B 处，测得旗杆顶部的俯角为60︒，则旗杆的高度约为______ m ．（结果保留根号）15. 若点(),P m n 在二次函数222=++y x x 的图象上，且点P 到y 轴的距离小于2，则n 的取值范围是____________．16. 如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解不等式组()41313212x x x x ⎧+>+⎪⎨-≤+⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．18. 如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线交BC ，AD 于点E ，F ．求证：AOF COE ≌．19. 已知22212a a b A b b -⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭．（1）化简A；（2）若点(),P a b 为直线2y x =上一点，求A 的值．20. 绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A 、B 两种型号的颜料，若购买1盒A 种型号的颜料和2盒B 种型号的颜料需用56元；若购买2盒A 种型号的颜料和1盒B 种型号的颜料需用64元．（1）求每盒A 种型号的颜料和每盒B 种型号的颜料各多少元；（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A 种型号的颜料？21. 某单位食堂为全体职工提供了A ，B ，C ，D 四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）在抽取的240人中最喜欢A 套餐的人数为______，扇形统计图中“C ”对应扇形的圆心角的大小为______︒；（2）该单位全体职工共960名，请依据本次调查结果估计全体职工中最喜欢B 套餐的人数；（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，请用树状图或列表法求甲被选到的概率。
2017-2018学年广州市第二中学高二上学期开学考试数学试题
点睛 : 奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性
解决不等式和比较大小问题，若
f x 在 R 上为单调递增的奇函数，且
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f x1 f x2 0 ，则 x1 x2 0，反之亦成立 .
sin2 x
9．函数 y
的部分图象大致为（
）．
1 cosx
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
lg 3361 lg1080
93.28
x 1093.28 ，即 M 最接近 10 93 N
故选 D 点睛：本题主要考查了学生的转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就
是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点就是 要求学生熟练掌握对数运算公式。
3361 x 1080 时，两边取对数，
1 f x 2 1的 x 的取值范围是（
）．
A. 2,2
B. 1,1
C. 0,4
【答案】 D
【解析】 因为 f x 为奇函数且在
D. 1,3 , 单调递减，要使 1 f x 1成立，
则 x 满足 1 x 1 ，从而由 1 x 2 1得 1 x 3 ，即满足 1 f x 2 1成
立的 x 的取值范围为 1,3 ，选 D.
11．已知函数 f x
x 2, x 1
{ x
2,x
，设 a 1
R ，若关于 x 的不等式 f
x
x
上恒成立，则 a的取值范围是（
）．
x a 在R
2
A. 2,2
B. 2 3,2
C. 2, 2 3
D. 2 3, 2 3
【答案】 A
【解析】 满足题意时 f x 的图象恒不在函数 y x a 下方， 2
2022-2023学年广东省广州二中九年级(上)开学数学试卷
2022-2023学年广东省广州二中九年级（上）开学数学试卷一.选择题（每小题3分，10小题，共30分）1．（3分）下列立体图形的表面展开图中，可以是轴对称图形，也可以是中心对称图形的是（）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．圆台2．（3分）下列事件调查：①某品牌轮胎的使用寿命；②高铁站检查入站成年人乘客的健康码；③审核稿件中的错别字；④估计鱼塘中养鱼的数量．适合用抽样调查的事件有（）A．一件B．两件C．三件D．四件3．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）4．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．春雨绵绵B．春光明媚C．春去夏来D．春耕秋收5．（3分）根据分数的基本性质，分式可以整理为（）6．（3分）下列各图中，当a∥b时，符合∠1=∠2+∠3关系的是（）7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）8．（3分）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（）9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx 与y=21x+k 的图象大致是（ ）10．（3分）如图，正方形ABCD 中，AB=4，延长DC 到点F （0＜CF ＜4），在线段CB 上截取点P ，使得CP=CF ，连接BF 、DP ，再将△DCP 沿直线DP 折叠得到△DEP ．下列结论： ①若延长DP ，则DP ⊥FB ； ②若连接CE ，则CE ∥FB ；③连接PF ，当E 、P 、F 三点共线时，CF=434-④连接AE 、AF 、EF ，若△AEF 是等腰三角形，则CF=424-其中正确有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题（每小题3分，6小题，共18分）11．（3分）若代数式 有意义，则x 的取值范围是_________．12．（3分）分解因式：a 2-3a=_________ ．13．（3分）有甲、乙两组数据，如表所示：两组数据的方差分别是S甲2、S乙2，则S甲2______S乙2（填“＜”、“=”或“＞”）．14．（3分）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是__________．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中摆放16个边长为1的正方形，直线l：y=kx将这16个正方形分成面积相等的两部分，则k的值是_____ ．16．（3分）如图，点O是菱形ABCD对角线交点，M是OD中点，E、F为对角线AC上的两动点，连接ME、BF，若AB=4，EF=3，∠ADC=120°，则ME+BF的最小值为___________．三、解答题（9小题，共72分）17．（4分）计算：18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，点E在AD上，且DE=DC．求证：△BDE≌△ADC．19．（6分）如图，边长为单位1的小正方形构成的网格图，△ABC各顶点都在格点上，直线a经过格点．（1）在网格图中画出△ABC关于直线a对称的△A′B′C′，点A、点B、点C的对称点分别为点A′、点B′、点C′；（2）在网格图中建立平面直角坐标系，要求点A（0，1），B（2，4），然后写出△A′B′C′各顶点的坐标：A′（____，____），B′（____，____），C′（____，____）．20．（6分）某学校在今年母亲节期间开展了“孝顺父母，从家务做起”活动，活动结束后随机调查了八年级部分学生一周在家做家务的时间，并将结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为_______人，被调查学生做家务时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；（2）请补全条形统计图；（3）若全校八年级共有学生1200人，估计八年级一周在家做家务的时间为5小时的学生有多少人？21．（8分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．22．（10分）如图，已知点A（-3，0），直线l1：y1=-x+3与x轴交于点B，点C（-1，m）在直线l1上．（1）直线AC的解析式为y2=kx+b,求出k、b的值；（2）根据（1）的图象在横线上填写自变量在第二象限内的取值范围：当________时，y1＞y2，当_______时，y1=y2，当______时，y1＜y2；1AB，求点M的坐标．（3）点M在直线l1上，MN∥x轴，交直线AC于点N，若MN=223.（10分）甲乙两队规划了一条南北向徒步训练路线，甲队自南向北行进，乙队反之，他们分别以不同的速度匀速前进，因装备问题，乙队推迟了10分钟出发．两队相遇、交换信息、休整了十分钟，之后继续按照原方向、各自原速度行进，都到达终点时停止计时，在整个过程中，甲、乙两队的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示．（1）徒步训练路线的长度是____米，乙的速度是________米/分；（2）乙到达终点后，甲还需______分钟到达终点B地；（3）直接写出整个过程中y与x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围．24．（12分）如图1，已知A（-6，0），B（0，8），∠BAO的角平分线交y轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）在角平分线AC上是否存在两点M、N，使得∠MBN=90°且BM=BN，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点P在x轴上，问：在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）已知△ABC，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC外侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形：△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，求证：△DEF是等边三角形；（2）如图2，若将（1）中“△ABC为等边三角形”改为“△ABC为直角三角形”，其它条件不变，则（1）的结论：“△DEF是等边三角形”是否仍然成立，并说明理由；（3）若△ABC为直角三角形，以AB、BC、CA为底边，向△ABC内侧方向分别作顶角为120°的等腰三角形；△ABD、△BCE、△CAF，连接DE、EF、FD，画出图形，并说明结论：“△DEF是等边三角形”是否成立．答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C B C CD B C D A C11.x≥212.a（a-3）13.<14.菱形815.5216.317.18.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，∴∠ABC=∠BAD，∴AD=BD，在△BDE和△ADC中，⎧BD＝AD∠EDB＝∠ADCDE＝DC∴△BDE≌△ADC（SAS）19.A'（1，0），B'（4，2），C'（6，0）20.解：（1）∵本次调查的学生总数为（6+4）÷20%=50（人），∵做家务4小时的人数是32%，∴50×32%=16（人），∴男生人数为16-8=8（人）；∴做家务6小时的人数为50-6-4-8-8-8-12-3=1（人），∴做家务3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，∴中位数是4小时，众数是5小时．故答案为：50，4，5；21.22.23.24.。
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广州市第二中学2017-2018学年高二级下学期开学摸底考试文 科 数 学命题：高二文科数学备课组本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1. 若集合{}0,1A =，{|2,}B y y x x A ==∈，则()R C A B ⋂（ ）A.{}0 B. {}2 C. {}2,4 D. {}0,1,22．若角α则sin α=（）3．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合，且其渐近线方程为340x y ±=，则该双曲线的标准方程为（）A.B.D. 4．实数,x y 满足条件402200+-≤-+≥≥⎧⎨⎪⎪⎩≥⎪⎪x y x y x y ，则A.5，则,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b << 6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305） A. 12B. 18 C. 24 D. 327.如图所示，函数()=y f x 的图象在点P 处的切线方程是5=-+y x ，2 D. 0 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A.7 B. 152 C. 233D. 476 9.若将函数()sin2cos2f x x x =+的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ）A.B.C. D. 10．已知函数f (x )=ax 2−4x ，则f (x )在[1,3]上不单调的充分不必要条件是a ∈（）A.[1,2] B. C.()1,2 11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.B. 4C.D.12.已知函数()ln (0)xf x e x x =>，使得方程()f x k =有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,e e ⎤⎦ B. ),ee ⎡+∞⎣C. [),e +∞ D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．平面向量a r 与单位向量b r的夹角为 60，)0,2(=a ，则|2|b a +=.14.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是.15.已知分别是内角的对边，4,5,6===a b c16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，,,a b c ABC ∆,,A B C3BC =，，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是_________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知等差数列{}n a 的前3项分别为1，a ，b ，公比不为1的等比数列{}n b 的前3项分别为4，22a +，31b +.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2，求数列{}n c 的前n 项和n S18．（本小题满分12分）设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S 满足（1）求角C 的值；（2）求sin cos B A -的取值范围.19．（本小题满分12分）.如图，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形． （1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若2PA BC =，三棱锥P ABC -的体积为1，求点B 到平面DCM 的距离．20．（本小题满分12分）某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损． (1)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(2)节目的播出极大激发了观众学习成语的热情,随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y(单位：小时)与年龄x (单位：岁)，并制作对照表(如下表所示)：由表中数据分析，x ，y 呈线性相关关系，试求线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．参考公式：1122211()(),().nni i iii i nn i i i i x x y y x ynx yb x x x nxa y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C ：，其左右焦点为1F ()1,0-及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且（1）求椭圆C 的方程；（2）记1GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．22．（本小题满分12分） 已知函数()()()R a x a ax x x f ∈+-+-=22ln 2.（1）当1-=a 时，求()x f 的单调区间和极值； （2）当1≥x 时，()0≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围.广州市第二中学2017-2018学年高二级下学期开学摸底考参考答案文 科 数 学一． 选择题二．填空题 13．3214. 8π15. 1 16.2π三．解答题17．（本小题满分10分） 解:（1）由题意，得()()221{22431a b a b =++=+………………2分解得1,{1a b ==（舍去）或3,{ 5,a b ==………………3分 所以等差数列{}n a 的公差为2d b a =-=，故()12121n a n n =+-=-，………………4分等比数列{}n b 的公比为，故11422n n n b -+=⋅=.………………5分（2）由（17分………………10分 18．（本小题满分12分）解:（1）由余弦定理得2221sin 2S ab C ===………………4分6分（28分………………12分 19．（本小题满分12分）解:（1）证明：在正AMB ∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故PA AB ⊥．………2分又PA AC ⊥，AB AC A =I ，,AB AC ⊂平面ABC ， 所以PA ⊥平面ABC ．…………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PA PC P PA PC ⊥=⊂I 平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………6分（2）设AB=x ,则1BC=AC=22x ， 三棱锥P ABC -的体积为3ABC 11V=S PA=138x ⋅⋅=，得x=2……………8分设点B 到平面DCM 的距离为h ．因为AMB ∆为正三角形，所以2AB MB ==．因为BC BC AC =⊥，所以1AC =．所以111111222224BCDABC S S BC AC ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯．因为D M =，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥．在ABC ∆中，112CD AB ==，所以111222MCD S MD CD ∆=⨯⨯==．因为MCD B BCDM V V --=，…………………10分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131，即113432h ⨯=⨯．所以2h =．故点B 到平面DCM的距离为2．…………………12分20．（本小题满分12分）解:（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．………………1分 令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ………………3分东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，………………5分 （2，41525i i i x y ==∑4215400i i x ==∑………………6分………………9分小时．………………11分 预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。
………………12分21．（本小题满分12分） 解:（1，所以2a =，………………2分 又因为1c =，所以23b =，………………3分所以椭圆C 的方程为4分 （2）假设存在直线AB ，使得12S S =，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．设AB 方程为()1y k x =+，将其代入，整理得()22224384120k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以6分 故点G 的横坐标为因为DG AB ⊥，所以 ………8分∵1Rt GDF ∆和Rt ODE ∆相似，∴若12S S =，则10分 整理得2890k +=，因此此方程无解，所以不存在直线AB ，使得12S S =.………………12分22．（本小题满分12分）解:（1）()()()()()01211222212>+-=+-+-=-+-='x xax x x x a ax a ax x x f ，……………1分 当1-=a 时，()()()xx x x f 112--='，令()0='x f ，解得21=x 或1=x ，故()x f ()11增区间为：0,,1,；减区间为：,122⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………3分所以()x f 在21=x 处取得极大值，极大值为2ln 4321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ； ()x f 在1=x 处取得极小值，极小值为()01=f . ……………4分（2）由（1）知()()()xax x x f 121+-='.①当0≥a 时，()0<'x f ，故()x f 在[)+∞,1单调递减，而()001≤=f 恒成立， 故满足()0≤x f 恒成立；..........6分②当1-≤a 时，当1≥x 时，()0>'x f 恒成立，故()x f 在[)+∞,1单调递增，而()01=f ，存在()+∞∈,10x ，使得()00>x f ，例如()02>f ，故不满足()0≤x f 恒成立；...................8分③当01<<-a 时，()x f 在↓⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1，↑⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1a ，令21a x =，则()2121ln 21232++----=⎪⎭⎫⎝⎛a a a a a f ，设()1,0∈-=a t ，()2121ln 223+--+-=tt t t t g ，()()()424232343213421432t t t t t t t t t t t t t g -+-=-++-=++--='， 显然当()1,0∈t 时，()0<'t g ，故()t g 在()1,0上单调递减，故()()01=>g t g ，所以012>⎪⎭⎫⎝⎛a f ，故不满足()0≤x f 恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围为0≥a ...............12分。