分形理论与技术4

一、关于分形的生长模型客观世界大量存在的实际物体的几何结构大都是具有无规则自相似的分形，然而这些分形结构是如何形成的呢？也就是说，物质粒子是如何一步一步堆砌起来而生长成分形结构？这些年来有不少人提出了一些无规则分形结构生长的模型，使得该问题得到了比较满意的解答。

关于无规则分形生长有基本物理机制、DLA 模型、DBM 模型等。

分形生长的基本物理机制： DLA 模型： DBM 模型：二、分形的计算机模拟由于计算机技术的发展，特别是计算机图形学的建立和发展，使得所有规则分形图案也都可以用构造相应的算法并通过计算机绘制出来，图形为分形理论的研究提供了最直观的几何图形，也可以从多姿多彩的分形图案中验证理论并总结出规律，不断丰富和完善分形理论。

用计算机绘制或模拟分形图也是研究分形的一个重要手段。

这里以规则分形为研究对象，介绍几种用计算机绘制分形的算法等。

（1）迭代函数系统的迭代算法迭代函数系统（Iteration Function System ，IFS ）是分形几何学的重要分支之一，它是由Barnsley 于1981年提出的一个分形结构系统，现已成为分形几何中的重要研究内容之一。

IFS 是以仿射变换为框架，根据几何对象的整体与局部具有自相似结构，经过迭代而产生的。

仿射变换是对图形所作的绕原点旋转、比例放大（缩小）及平移等操作（方向改变、大小改变、位置改变）的几何变换：（在数学中，线性映射(也叫做线性变换或线性算子)是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。

几何上，两个向量空间之间的一个仿射变换由一个线性变换加上一个平移组成）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''f e y x d c b a y x ，也可以记为t Ax x +=' 其中，f e d c b a ,,,,,为实数，此即为一个二维仿射变换。

有下述四种平面仿射变换具有明显的几何意义：（a ）缩放变换：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλ00A ；(b)伸长变换：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ001A ； (c)剪切变换：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101u A ；(d)旋转变换：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A 对应的仿射变换如下图示：另外，式中的f e ,表示Oxy 坐标系中的原点)0,0(被平移到),(f e 。

仿射变换的几何特性：（1）仿射变换的逆变换仍为仿射变换；（2）为线性变换，直线段经仿射变换后仍为直线段，并且保持线段上点的比例关系不变； （3）二平行直线变换后仍保持平行性；（4）任意平面图形经仿射变换后，其面积发生变化，为变换前的)(bc ad -倍，几何图形的全貌与局部，在上述仿射变换下，具有自相似结构，即若将图形局部放大会发现与原图是相似的。

也就是说，图形的局部是整体的一个小复制品。

因此，如果找到了描述图形过程的仿射变换，那末就可以把握住相应图形的构成要素，从而可以得到分形图案各个层次上的细节。

基于这一思想，Barnsley 得出了将图形简化为一系列仿射变换的一般过程，提出了IFS 。

这一算法被广泛应用在计算机生成图形及图像数据压缩等方面。

例如，有下列迭代函数：],1,0[)(3231)(312111∈=+===++n n n n n n n x x w x x x w x x于是，若从单位间隔]1,0[开始，则迭代函数)(1n x w 将单位间隔变换成间隔]31,0[，而)(2n x w 将单位间隔变换成间隔]1,32[。

再变换下去，]91,0[)(]31,0[1n x w ，]97,32[)(]31,0[2n x w ；(a) (b)(c) (d)]31,92[)(]1,32[1n x w ， ]1,98[)(]1,32[2n x w ，不断下去，变换的吸引子就是康托尔集合。

正像上式一样，对于给定的一个初始图像A ，通过N 个迭代函数N w w w ,,,21Λ，将A 变换成许多小的拷贝，那末这些变换的和集)()()()(21A w A w A w A W N Y ΛY Y =就产生了新的结构。

在一个变换过程中，不断重复应用若干变换公式的变换系统成为迭代函数系统。

IFS 迭代算法有两种：确定性迭代算法与随机迭代算法。

确定性迭代算法思路：（1）首先任意在平面上选择一个集合0A ，例如是矩形或单位圆等。

然后顺序使用每个仿射变换得到N j A w j ,,2,1),(0Λ=。

令)(011A wA jNj Y ==；再对1A 类似地顺序使用每个变换，得到2A 。

如此反复，将得到一个集合序列{}∞=0i i A ，且该序列一定收敛于该IFS 的吸引子。

具体步骤：（1）初始化，在计算机上任意给定一些点，设定最大迭代步数；（2）对这些点顺序计算他们经过各个),,2,1(,N j w j Λ=变换后的点集并保存。

（3）擦去屏幕上原来的点，显示由（2）计算出的点。

（4）返回到第（2）步，直到达到最大的迭代步数为止。

以希尔宾斯基三角形为例，进行算例说明，对应的IFS 映射见下表，所产生的迭代函数系统包0选取以为顶点的直角三角形，算法过程如下图所示。

第一次10A A ⇒迭代过程与结果：110111111)()()()(JJ I A w J K w J J w I I w ∆=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=== K J K A w K K w J J w K I w 110221212)()()()(∆=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=== 110313133)()()()(K II A w K K w I J w I I w ∆=⇒⎪⎪⎬⎫=== 21迭代过程（部分）与结果：220112111211)()()()(JJ I A w w J J w J J w I I w ∆=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=== 22103111211211)()()()(K I I A w w I I w K K w I I w ∆=⇒⎪⎭⎪⎬⎫=== 12202111211211)()()()(J J K A w w J K w J J w K K w ∆=⇒⎪⎭⎪⎬⎫===继续迭代，可知，该迭代函数系统的吸引子就是希尔宾斯基三角形。

随机迭代系统：是一种随机地选取IFS 中仿射变换的方法。

确定性算法的原理简单明了。

但由于方法不考虑j w 的区别，而在迭代中对他们的使用处于平等的地位（没有考虑不同仿射变换的面积压缩比A det 的不同），执行起来比较浪费机时（如果某一个仿射变换的面积压缩比A det 特别小，那末该变换对初始集合0A 作用后，面积以几何级数缩小，由于计算机分辨率所限，很快会缩成一个点）。

所以通常IFS 的实现不采用确定性算法，而较多地使用随机迭代算法。

即随机迭代算法的思想为：为了使压缩能同步进行，使w 的作用次数与相应的A det 成正比。

“随机性”指迭代过程是不确定的，每一次究竟迭代哪一个规则，即),2,1(N j w j Λ=中具体哪一个，不是预先定好的，而是类似靠掷骰子的办法来决定。

也既是说，随机的从),2,1(N j w j Λ=I J1I 1J IJK1I1J 2I 2J ⇒1w I J1I 1J ⇒2w IJK 1I1J I J1I 1J ⇒3w IJ1I 1J中选一个迭代规则迭代一次，再从),2,1(N j w j Λ=中选一个迭代一次，依此类推，那么最终的生成图形是),2,1(N j w j Λ=中各个迭代规则的交集。

在随机迭代算法中，初始值不再是一个点集，而是任意一个点2000),(R x ∈=y x 。

然后，可以随机地选择IFS 函数),2,1(N j w j Λ=中一个进行变换，从而随机地确定出下一个点),(111y x =x 。

也就是新的点的选择是根据概率在),2,1(N j w j Λ=中选择一个进行的。

不断重复这一过程，就会产生一系列点{}Λ,,,210x x x ，这样就可以得到关于初始点0x 的一条轨迹，该轨迹收敛于原IFS 函数点吸引子。

具体算法：（1）设定一个起始点),(00y x 及总的迭代步数。

（2）以概率),,2,1(N j P j Λ=选取仿射变换j w 。

（3）以j w 作用于点),(00y x ，得到新的点左边),(11y x 。

（4）令1010,y y x x ==。

（5）将迭代次数大于某一值以后的点，在屏幕上打出),(00y x 。

（6）重复回到第（2）步，进行下一次迭代，直到迭代大于总步数为止。

关于这里的概率的选择：1,01=>∑=Nj j j P P ，通常取∑∑==--==Nj j j jjjj j j Nj jjj c b da cb d a P 11Det Det AA 。

即概率的大小应与仿射变换的图形压缩率成正比。

若出现0Det =j A ，则可取j P 为很小的正数（如0.001），同时对其它的概率做适当的调整，保证11=∑=Nj jP。

IFS 反问题：前面介绍了由给定的IFS 求其吸引子，反过来，如何从给出的分析图形而得到其IFS ？一种方法是找出原象0A 与第一次迭代后得到的1A ，分析两者的关系后可确定应由几个仿射变换确定该IFS 。

例如，科克曲线的原象0A 是线段]1,0[，1A 由四条折线组成，所以产生科克曲线的仿射变换应有4个。

如图示，令该4个仿射变换为4,3,2,1,)(=+=n w n n n t x A x第一个变换仅仅把原线段压缩三分之一，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00,3/1003/111t A 。

第二个变换把原线段先压缩三分之一，然后逆时针旋转ο60，再右移1/3即可，即13321234科克曲线的第一次变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03/1,6/16/36/36/160cos 60sin 60sin 60cos 3122t A οοοο。

第三个变换把原线段先压缩三分之一、顺时针旋转ο60，再右移1/2、上移6/3即可，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=6/32/16/3002/1,6/16/36/36/1)60cos()60sin()60sin()60(cos 3133t A οοοο 第四个变换把原线段先压缩三分之一，然后右移2/3，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03/2,3/1003/111t A关于拼贴定理（解决如何寻找一个IFS ，使得其吸引子贴近或看起来像给定的集合）及带产量的IFS（动态的分形），请参考有关教材。

（2）L 系统L 系统是植物学家林德迈耶尔（lindenmeyer ）于1968年为模拟生物形态而设计的，后来多位学者将它应用于计算机图形学，引起生物学界和计算机界人士极大兴趣。