易腐物品库存最优订货决策模型
易腐商品定价模型及其粒子群解法
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粒子群优化解法
粒子群优化 （’2=>)?@A BC2=3 DE>)3)FA=， 算法和遗传 ’BD ）
算法类似， 也是一种基于群智能方法的演化计算技术。 ’BD 算
;. ， 他们从鸟群 法 最 早 由 GA++A6H 和 IJA=K2=> 于 &LL# 年 提 出 ,#，
捕食行为的模型中得到启示， 通过使粒子 （潜在的解） 在解空间 中追随最优粒子进行搜索实现全局优化。 和遗传算法相比 ’BD 算法没有复杂的交叉和变异操作， 因而具有简单、 容易编程实 现的优点， ’BD 算法一提出立刻引起学者们的广泛关注并被应 用到很多领域。 接下来的部分尝试将其引入论文模型的求解过 程以快速有效地获得问题满意解。
文章编号 4""!B:884B （!""# ） "%B"!8"B"8
文献标识码 G
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该模型基于以下假定： 假定 4 ：易腐商品必须在界定的时间内被 销 售 或 利 用 ， 任 何在期末没有售出的商品只能以很低的价格处理掉。 引起这一 易腐食品具有较短的保质期。 （! ） 时装等季 特性的原因有： （4 ） 节性商品会由于过时和高库存成本而逐渐贬值。 （8 ） 更新换代 快的电子类产品随着更优替代品的出现而逐渐贬值。 假 定 !： 销售期内改变系统内存货量是很困难的， 只能通 过系统外资源以昂贵的代价实现。 假 定 8： 顾客需求服从一个受顾客造访率、 顾客感知价值 以及定价影响的负二项分布。 假 定 %： 销售期内的顾客造访人数是外生变量， 不受单一 产品价格的影响。该假定基于两点考虑： （4） 顾客造访往往取决于 其购买习惯。 （!） 促销战略往往针对一系列产品而非某单一产品。
易腐商品最优订货批量与定价及其粒子群优化解
2005年3月 系统工程理论与实践 第3期文章编号：1000-6788(2005)03-0046-06易腐商品最优订货批量与定价及其粒子群优化解田志友，蒋录全，吴瑞明（上海交通大学管理学院，上海 200030）摘要：对易腐商品的订货批量与定价问题进行了研究.基于一种负二项分布的离散需求函数，推导了易腐品利润最大化模型.由于模型中涉及多个随机变量的概率分布，常规函数极值法对此具有极大局限性，故首次将粒子群优化算法引入该领域，并提出两种不同的求解思路：1)枚举法.利用粒子群算法依次计算不同订货批量下的最大化利润，然后根据边际分析法确定最优订货批量及相应定价；2)二维寻优法.将利润视为订货量与定价的二维函数，利用粒子群算法对其进行二维演化寻优.算例分析表明：两种方法均可有效获得问题的满意解，当订货量波动范围较小时，枚举法效果更优.关键词：易腐商品；订货批量；定价；需求分布；粒子群优化算法中图分类号：F830 文献标识码：AOptimal Order Quantity and Pricing for Perishable Commodities and Solutions with Particle Swarm OptimizationTIAN Zhi-you, JIANG Lu-quan, WU Rui-ming(School of Management, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China)Abstract: The problem of ordering policies and optimal pricing for perishable commodities ismainly studied. According to a kind of demand distribution, which can be represented as a negativebinomial distribution, the profit maximization model of those products is deduced. Since themodel involves several different stochastic distributions, which are difficult for the normalfunction optimization methods to solve, the particle swarm optimization (PSO) algorithm isintroduced for the first time to settle it, and two different solving processes are proposed,one can be called enumerative method, which will calculate the optimal price and maximum profitfor each possible orders, and then find the ultimate optimal solution by marginal analysis. Theother is two-dimensional search, which can determine the optimal order quantity and pricesimultaneously with PSO technique. At the end a numerical example is studied and the two methodsare compared, the results indicate that: both can obtain satisfactory solutions effectively,and when the bounds for possible orders are relatively small, the first is preferred.Key words: perishable commodities； order quantity; pricing；demand distribution; particleswarm optimization1 引言易腐商品是指那些必须在有限时间内售出，否则将发生质变，必须清仓处理的商品.狭义的易腐商品主要是指生鲜食品，广义来说，凡是超过正常销售期后市场价值有明显降低的商品均可归属易腐品的类别，如时装服饰，电子消费品，客房,机票等服务.由于这些商品保质期或市场需求周期比较短，或具收稿日期：2004-04-26资助项目：国家自然科学基金（70371075）作者简介：田志友(1974—)，男，河北石家庄人，博士研究生，主要研究方向：指数化评价，系统复杂性, Email: totzy@第3期 易腐商品最优订货批量与定价及其粒子群优化解 47 有较高的保存成本，持续时间越长则利润损失越大，因此，销售者需要在销售期初，综合考虑市场需求的波动、顾客的消费偏好，以及此类商品的销售期长短，制定合理的采购批量和售价，以确保实现其利润最大化目的.关于随机需求条件下易腐商品的订货量与定价问题，文献[1-4]给出了较为详尽的评述和一些共性结论，如：不同时段内顾客的到达服从不同质的随机分布，一般设为泊松分布；在同一时段内，顾客的感知价值是相互独立的，并服从某种同质概率分布；这种感知价值将随时间延续而不断降低，并且不同时段内的需求分布有可能发生质变.在满足上述假设条件下，通过经验数据可以获得销售期内的期望需求，进而可以在利润最大化原则下制定出相应的最优定价和最优订货批量.由于在订货与定价过程中，顾客的到达、对商品价值的感知等均具有不同形式的概率分布，往往导致有效需求的分布形式比较复杂，常规函数极值算法不易获得问题的解析解.本文将在文献[4]研究基础上，重点针对单一时段条件下最优订货批量与定价问题，推导易腐商品的利润最大化模型，并首次将粒子群优化算法引入该模型的求解过程，提出了两种不同的求解思路，以便互相印证，有效地获得单阶段最优订货批量与最优定价.2 建模2.1变量定义在对易腐商品最优订货批量与定价问题研究中，所涉及的若干变量及其含义如下：s ——易腐商品的订货量；t——正常销售期；ω——正常销售期内单位商品的定价；φ——超过正常销售期后的单位商品处理价；c——单位商品的综合成本(包括存储、运输、采购、处理等费用)；πs (ω)——订货量为s ，定价为ω时销售者的期望收入；R s (ω)——订货量为s ，定价为ω时销售者的期望利润，R s (ω)= πs (ω)-sc ；n——正常销售期内到访顾客的总人次，∞=,,2,1,0"n ;m——正常销售期内，定价为ω时的商品需求；P ω(m )——正常销售期内，定价为ω时，商品需求为m 的概率分布.2.2 需求分布与常见商品的需求分布相似，易腐商品的需求函数也应该满足如下两个条件.1) 需求与价格呈反方向变动，即00()(), 0,1,...,; 0k km m P m P m k ωω+∆==≤=∞∆>∑∑.2) 当价格趋向于无穷时，期望需求趋向于0，即lim (|)0E m ωωω→∞=，其中，(|)E m ω表示定价为ω时的期望需求.此外，影响易腐商品需求量的主要因素还包括：销售期t 内的到访顾客人数n ，以及所有到访顾客中可能会发生购买行为的人数m 等.关于顾客的到达，常见研究中均假设销售期t 内到访顾客的总人次n 属于系统外生变量，与定价无关，并服从参数为λ的泊松分布[3]，即：()(|), 0,1,2,...,!n tt e P n n n λλλ−==∞ (1) 考虑到不同时段内顾客到达率λ具有较大波动性，可假设λ服从参数为(α, β)的gamma 分布，即：(1)/1(), 0()g e αλβαλλλαβ−−=≤<∞Γ (2) 之所以选择gamma 分布，是因为到达率λ是一个非负取值的随机变量，并且，当参数α或β取某固定值时，原来的gamma 分布将相应地转化为2χ分布或指数分布.因此，选择gamma 分布可以涵盖较多的λ的变动情况[4].在所有到访顾客中，只有那些对商品的感知价值超过定价的顾客才会发生购买行为.设第i 位到访顾48 系统工程理论与实践 2005年3月 客的感知价值为X i ，0≤X i <∞，根据Gallego 等人的研究[3]，可以认为所有到访顾客的感知价值(X 1, X 2, …, X n )均为独立同分布的连续随机变量，概率密度设为f (x ).当定价为ω时，顾客感知价值的累积分布函数为F (ω)，并且满足：0()1 ; lim ()1F F ωωω→∞≤≤=.我们可以把销售期t 内的商品需求m 定义为：到达并愿意以当前定价购买一单位商品的潜在人次，即所有感知价值X i ≥ω的顾客人数.则潜在需求m 可以表示为一个服从二项分布的随机变量，分布概率为：()(|)[1()][()] , 0,1,2,...,.n m n m m P m n C F F m n ωωω−=×−×= (3)根据公式(1)-(3)，销售期t 内潜在需求m 的最终概率分布可以表示如下：001()(|)(|)()[1()]1 , 0,1,...,; 0,1,,;1[1()]1[1()]n m m m P m P m n P n g d t F C n m t F t F ωωλααλλλβωβωβω∞∞==+−=⎡⎤⎡⎤−=××=∞=∞⎢⎥⎢⎥+−+−⎣⎦⎣⎦∑∫" (4)可以看出，最终所得销售期内的需求m 服从一种负二项分布，其期望值为：()(1())E m t F w αβ=−.2.3 利润最大化模型当期初订货量为s 时，如果销售期t 内的潜在需求m ≥s ，则销售收入πs (ω)=s ω；如果m <s ，意味着部分商品将在销售期过后按处理价φ进行低价清仓，则此时的销售收入为：πs (ω)=m ω+(s -m )φ.综合两种情况，可得s 单位易腐商品在定价为ω时的期望收入为：10110010()()[()]() ()[()()()] ()()()s s m s m s s m m s m s P m m s m P m s s P m m P m s P m m P m s s m P m ωωωωωωωπωωωϕωωωϕϕωωϕ∞−==−−==−==++−=−++−=−−−∑∑∑∑∑ (5) 对应的销售利润为：1(1)0[1()]1()()()()()1[1()]1[1()]m s m s s m m t F R sc s c s m C t F t F ααβωωπωωωϕβωβω−+−=⎧⎫⎡⎤⎡⎤−⎪⎪=−=−−−−×⎨⎬⎢⎥⎢⎥+−+−⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑ (6) 则最优订货量s *和最优定价ω*就是如下最大化模型的解：10max ()()()()().. >; 0;s s m R s c s m P m s t s ωωωωϕωϕ−==−−−−>∑ (7)由于潜在需求m 和顾客达到人次n 均为离散取值随机变量，顾客对商品的感知价值则为连续分布随机变量，如采用求偏导数等常规函数极值法，将很难获得问题的解析解.下面我们选用粒子群优化算法，对模型(7)进行演化求解.3 粒子群优化求解粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO )是一种较新的全局优化方法，最早由Eberhart和Kennedy 博士于1995年提出[5].与遗传算法相比，粒子群算法没有交叉、变异等遗传操作，可调参数少，具有结构简单、运行速度快等特点，尤其适用于实数编码问题的求解.将其引入易腐商品最优订货批量与定价的求解过程，有利于快速有效地获得满意解.3.1 算法描述在粒子群算法中，待优化问题的每个潜在解均称为搜索空间中的一个粒子，每个粒子都用位置向量和速度向量来表示.其中，位置代表参数取值，速度表示各参数改进的方向和步长.算法首先通过随机初第3期 易腐商品最优订货批量与定价及其粒子群优化解 49 始化产生一群粒子，然后进行叠代寻优.在每一演化代中，粒子通过跟踪两个极值来不断更新自己：一个是粒子本身所找到的最优解，称为个体极值pBest ，另一个是整个种群目前为止所找到的最优解，称为全局极值gBest .然后根据下列公式来不断更新速度与位置：1()(Pr )2()(Pr )V w V c rand pBest esent c rand gBest esent =×+××−+××− (8) Pr Pr esent esent V =+ (9) 其中，V 是粒子速度，Present 是粒子当前位置，rand ()表示是(0, 1) 之间的随机数，c 1和c 2 被称作学习因子，通常，c 1 = c 2 = 2. w 表示加权系数，一般取值在0.1到0.9之间.叠代过程中，算法将根据粒子的适应度值不断更新pBest 与gBest 的取值，粒子在不断向全局最优转移的同时也不断向个体最优靠拢.当满足既定的终止规则，如达到预定演化代数、出现满足要求的满意解，或全局极值的改进步长小于指定阈值时，搜索过程结束，最后得到的gBest 就是最终的满意解[6].3.2 求解在利用粒子群算法求解模型(7)时，可以有两种不同的解题思路, 分别命名为枚举法和二维寻优法.3.2.1枚举法根据边际分析法，当边际收益不小于边际成本时，即：**11()()s s s s c πωπω−−−≥时，多订购一单位商品将增加销售商的净利润.因此，可以把利润视为价格ω的一元连续函数，利用粒子群算法依次计算不同订货量情况下所对应的最优定价与最大化利润，并将满足上述不等式的最大订货批量s *及其对应的定价*s ω作为最终解.设订货量的波动范围是：[s l , s u ]，求解流程描述如下.1) 令s =s l ;2) 利用粒子群算法求解一元连续函数10()()()()s s m R s s m P m ωωωωϕ−==−−−∑的最优订价*s ω与最大化利润*()s sR ω; 3) 判断：如果s<s u ，令s =s +1，转入步骤2)，否则继续;4) 令**()()s s s s R sc πωω=+，**11()()s s s s πωπω−−∆=−，然后确定满足c ∆≥的最大订货量s *及对应的*s ω; 5) 输出最终结果：[s *, *sω, *()s s πω, *()s s R ω]. 二维寻优法将利润R s (ω)视为订货量s 和定价ω的二元函数，利用粒子群算法在二维解空间进行演化寻优，从而同时确定最优订货量s *及最优定价ω*.求解过程如下：1) 个体解编码.每个粒子编码方式如下：p=[s, ω, v s , v ω, f ].其中，v s 和v ω,分别为s 和ω的运动速度，f 为该粒子的适应度值，即当订货量为s 、价格为ω时的销售利润;2) 粒子群初始化.设种群规模为popsize ，在订货量s 和价格ω的波动范围内随机取值popsize 组，作为初始种群，并随机初始化粒子的速度;3) 根据公式(6)，计算粒子的目标函数值;4) 根据公式(8)和(9)，更新粒子运动速度和所在位置;5) 更新当前演化代中的个体极值和全局极值;6) 检验终止规则.当满足指定规则时输出最终结果.否则，转入步骤3);7) 输出最优结果.最后一代种群中的gBest 即为满足利润最大化条件的最优解.4 算例分析设某种易腐商品的销售期t =1，单位成本c =6，超过正常销售期后的处理价φ=5.根据以往销售数据，销售期内顾客的到达率λ服从gamma 分布，参数为：α=3，β=2；顾客的感知价值X i 服从正态分布，分布参数为：µ=10，σ=1.则当订货量为s 、价格为ω时，利润函数为：10()(6)(5)()()s s m R s s m P m ωωωω−==−−−−∑ (10)50 系统工程理论与实践 2005年3月首先利用枚举法求解最优订货量与定价.算法参数设定如下：种群规模popsize=100；学习因子c1=c2=2；加权系数取固定值w=0.2.根据销售经验，设订货量s取值范围为[1，20]，售价ω取值范围为[c, 2c]，即[6, 12]；s和ω的速度取值范围分别为[0, 0.3]和[0，0.1]；算法终止规则为：当全局最优解改善程度小于0.01时终止运行.枚举法所得结果见表1.表 1 不同订货量情况下所对应的最优定价及最大化利润订货量s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10最优定价ω10.08 9.803 9.6039.4529.3359.2449.1719.114 9.069 9.033最大化利润R 3.38 5.877 7.6938.9449.72310.10910.1759.986 9.595 9.048订货量s11 12 13 14 15 16 17 18 19 20最优定价ω9.005 8.982 8.9658.9528.9418.9338.9278.923 8.92 8.917最大化利润R8.382 7.625 6.801 5.927 5.017 4.08 3.125 2.156 1.178 0.193从表1可以看出，当需求分布已知时，最大化利润将随订货量s增加而呈现先增后减趋势，而边际收益则持续下降.当边际收益等于边际成本时，所对应的最优订货量为7，最优定价为9.171，最大化利润为10.175.从图1中也可看出各变量的变动趋势.在二维寻优过程中，随着种群规模的增加，算法将逐渐收敛于全局最优，即订货批量为7，定价为9.17，这与枚举法所得结论是一致的.通过对算例的求解可以看出：枚举法的实质是在订货量s既定情况下，将利润视为价格ω的一元连续函数，利用粒子群算法进行一维优化，从而得到不同订货量下的最大利润与最优定价，然后根据边际分析，确定最优订货批量与定价.其特点是：准确度高，但效率较低，主要适用于订货量s波动范围较小的情况.二维寻优法的实质是将利润视为订货量和定价的二维函数，利用粒子群算法同时在s和ω所构成的二维解空间内寻找全局最优解,这种方法的特点是运行速度快，但容易停留在局部最优.因此，在实际操作中，建议同时采用两种方法，分别计算最优解，并互相印证，以便帮助销售者制定更为合理的采购与定价决策.5 结论1)在易腐商品订货量与定价研究中，最为关键的是准确估计销售期内的需求分布，而影响需求的主要因素包括：商品定价，顾客的到达情况，以及顾客对商品的感知价值.2)当其他参数不变时，对粒子群算法演化结果影响最大的参数就是种群规模.这是因为：粒子群算法是一种有导向的概率寻优方法，其探索未知空间的主要方式是通过跟踪全局极值和个体极值来实现的，增加种群规模有利于尽快发现全局最优.3)本文将整个销售期t视为一个完整阶段，并重点解决了最优订货批量与最优定价问题.由于顾客对易腐商品的感知价值将随时间的延续而不断缩减，不同时段内的需求分布有可能发生质变，而销售者也可以根据需求的波动、剩余库存量的多少等动态调整定价，以实现利润最大化目的.因此，对不同时段内、不同质需求条件下的最优定价与最优订货批量等问题，都还需要进一步的详细研究.第3期 易腐商品最优订货批量与定价及其粒子群优化解 51[1] Weatherford L R, Bodily S E. A taxonomy and research overview of perishable-asset revenue management: Yieldmanagement, overbooking, and pricing [J]. Operations Research,1992,40(5):831-844.[2] Wen Zhao, Yu-Sheng Zheng. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand [J].Management Science,2000,46(3):375-389.[3] Gallego G, Van Ryzin G. Optimal dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J]. Management Science,1994,40(2):999-1020.[4] Young H Chun. Optimal pricing and ordering policies for perishable commodities [J]. European Journal ofOperational Research.2003,144(1):68-82.[5] Kennedy, R C Eberhart. Particle swarm optimization [A]. Proceedings of the 1995 IEEE InternationalConference on Neural Networks [C].Perth,Australia, 1942-1948.[6] 侯志荣, 吕振肃. 基于MATLAB的粒子群优化算法及其应用[J].计算机仿真,2003,20(10):68-70.Hou Zhirong, Lv Zhensu. Particle swarm optimization with application based on matlab [J]. Computers Simulation, 2003, 20(10): 68-70. (In Chinese)﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ (上接第6页)[7] Engle R F, Manganelli S. CAViaR: Conditional autoregressive value at risk by regression quantiles[R]. NBER,Working Paper 7341, 1999.[8] Hamilton J D. Time Series Analysis[M].Princeton University Press, New Jersey,1994.[9] Hans F and Alexander S. Stochastic Finance, An Introduction in Discrete Time[M].Walter de Gruyter,2002.[10]Hansen B E.Testing for parameter instability in linear models[J]. Journal of PolicyModeling,1992,14(4):517-533.[11] Inclan C and Tiao G C. Use of cumulative sums of squares for retrospective detection of changes ofvariances[J]. J. Amer. Statist. Assoc,1994, 89(3):913-923.[12] Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk[M].Chicago: Irwin ProfessionalPublishing,1997.[13] Morgan J P. Risk Metrics Monitor[M]. 2nd Quarter,1996.[14] Koenker R, Bassett J. Regression quantiles[J]. Econometrica,1978,46(1):33-50.[15] Manganelli S, Engle R F. Value at risk models in finance[R]. working paper(75), European Central Bank,2001.[16] Schwert G W. Why does stock market volatility change over time?[J]. Journal of Finance,1988,XLIV(5):1115-1153.[17] Taylor S. Modeling Financial Time Series[M]. John Wiley and Sons, London, 1986.。
最优订货批量决策模型
excel应用技巧——最优订货批量决策模型(2009-05-14 21:41:07)转载标签：分类：专业写作订货成本储存成本材料成本采购成本规划求解美林公司每年需要甲乙丙丁四种材料，相关资料如下所示，问最优经济订货批量是多少？（附：若想进货时获得折扣机会，必须满足甲材料每次订货数量》=400，乙》=450，丙》=500.丁》=500）当我们在工作当中真正遇到这样一个问题时，我们的计算方法可能会有很多，但大多数都会很麻烦，这时候我们可能会需要一种很简便的方法，设计一种模型，不论数据如何变化我们都能以不变应万变，那么现在我就给大家介绍一种模型：要想做这个模型首先我们必须了解几个非常关键的点：1、采购这些材料我们需要计算那些成本？答案:采购成本、储存成本、订货成本2、这些成本是如何计算的？答案：采购成本=材料总需求量*单价*（1-折扣率）如果没有折扣率的话则用前两项直接相乘储存成本=（最优订货批量/2）*（1-每日耗用量/每日送货量）*单位储存成本订货成本=（材料总需求量/最优订货批量）*每次订货成本总成本=采购成本+储存成本+订货成本综合成本=A材料成本+B材料成本+C材料成本+D材料成本3、如何将这些公式合理设计人模型中？答案：（如图所示）我们可以先做这么一张表把要写的填上表格做好了如何编辑这些公式呢？其中紫色区域和绿色区域是我们所需要求解的区域，其他地方都是需要编写公式的具体公式我们在上面已经讲到了，现在我们具体讲一下：B17=采购成本=材料总需求量*单价*（1-折扣率)=B4*B10*(1-B9)选中向后填充至E17B18=（最优订货批量/2）*（1-每日耗用量/每日送货量）*单位储存成本=(B16/2)*(1-B8/B7)*B6选中向后填充至E18B19=（材料总需求量/最优订货批量）*每次订货成本=B4/B16*B5选中向后填充至E19B20=总成本=采购成本+储存成本+订货成本= B17+B18+B19选中向后填充至E20B21=综合成本=SUM(B20:E20)B22=最佳订货次数=总需求量/最优订货批量=B4/B16选中向后填充至E22B23=最佳订货周期(月)=12/最佳订货次数=12/B22B24=经济订货量占用资金=（最佳订货批量/2）*单价=B16/2*B10到这里我们已经把全部要写的公式都填写完毕了最后进行规划求解：1、选中目标单元格C212、执行工具---规划求解---弹出目标单元格就是要求综合成本----C21可变单元格就是要求的最优订货批量B17---E17约束条件见上（填入）到这里我们所有工作都做好了点击求解点确定即可最终完成。
供应链管理中的库存优化模型
供应链管理中的库存优化模型在供应链管理中，库存优化是一个关键的问题。
库存的过多或过少都会对供应链的效率和成本产生负面影响。
因此，开发和应用适用的库存优化模型对于提高供应链的效率和降低成本至关重要。
本文将介绍供应链管理中常用的库存优化模型，并探讨其应用和优势。
一、经典的库存优化模型1. EOQ模型经济订货量（EOQ）模型是最经典的库存优化模型之一。
该模型通过平衡订货成本和存储成本，确定最优的订货量，以达到库存成本最小化的目标。
EOQ模型假设需求是稳定且可预测的，并且不考虑供应链中其他因素的影响。
尽管如此，EOQ模型仍然是许多企业在库存管理中的基础。
2. 需求预测模型需求预测模型是一种通过分析历史数据和市场趋势来预测未来需求的方法。
在供应链管理中，准确的需求预测对于库存优化至关重要。
常用的需求预测模型包括移动平均法、指数平滑法和回归分析法等。
通过合理地预测需求，企业可以更好地规划库存，避免库存过剩或不足的问题。
3. 安全库存模型安全库存模型是一种用于补充需求不确定性和供应不稳定性的库存管理方法。
安全库存是指为应对意外情况而额外保留的库存量。
安全库存模型通过考虑供应链中的不确定性因素，如供应延迟和需求波动，来确定合适的安全库存水平。
这有助于降低供应链中的风险，并确保库存水平能够满足客户需求。
二、现代的库存优化模型1. 基于动态规划的模型基于动态规划的模型是一种将时间因素考虑在内的库存优化方法。
该模型通过建立数学模型，考虑不同时间点的需求和供应情况，以最小化总体库存成本。
动态规划模型能够更精确地预测需求和优化库存，但同时也需要更多的计算资源和数据支持。
2. 基于供应链协同的模型基于供应链协同的模型是一种将供应链各环节的信息共享和协同考虑在内的库存优化方法。
该模型通过建立供应链中各参与方的合作机制和信息交流平台，实现库存的共享和优化。
供应链协同模型能够提高供应链的响应速度和灵活性，降低库存水平和成本。
三、库存优化模型的应用和优势1. 应用库存优化模型广泛应用于各个行业的供应链管理中。
易变质性产品生产商和销售商库存协调模型
易变质性产品生产商和销售商库存协调模型
王圣东 , 周永务 , 甘犬财
0 引 言
供应商和销售商之间的协调问题是供应链管
① 收稿日期 : 2007 - 03 - 19; 修订日期 : 2007 - 11 - 19.
理协调问题研究的一个重要分支 , 它主要讨论供 应商如何提供激励方案来影响销售商的订购行 为 ,从而提高供应商的利润和整条供应链的绩效 问题 . 这一类问题的研究主要是基于供应商在制
αp,α ≥ 1;
D 为生产商提供的折扣率 ; dp为在有折扣时 , 生产商的单位产品批发价
格 , d 为折扣系数 ;
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1 2 1
①
( 1. 解放军电子工程学院数学教研室 , 安徽 合肥 230037; 2. 华南理工大学工商管理学院 , 广东 广州 510641 )
摘要 : 本文基于如下假定 : 1 ) 生产商的生产率为有限值且采取两阶段生产供货模式 ; 2 )生产的产品具有易变 质性 . 在此假定下 ,建立了单生产商单销售商生产销售协调模型 . 讨论了如何利用价格折扣策略来激励销售 商的订货行为 . 在保证销售商利润不减的前提下 ,给出了求解使得生产商利润达到最大化的最优价格折扣算 法 ,同时给出了生产商的最优供给批量和销售商的最优订货批量 . 最后 ,用数值实例来验证模型的求解过程 . 关键词 : 库存 ; 生产 ; 易变质产品 ; 量折扣 中图分类号 : O227 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 - 5781 ( 2010 ) 02 - 0251 - 07
电子商务模式下易腐农产品的定价与库存联合决策
电子商务模式下易腐农产品的定价与库存联合决策作者：张名扬郭健涛于欣格来源：《预测》2021年第04期摘要：随着互联网的高速发展，电子商务平台已经成为越来越多产品的主要销售渠道。
新冠肺炎疫情发生以来，人们减少外出，生鲜电商平台订单量激增。
生鲜产品由于易腐的特性，其在销售和库存管理等方式上区别于普通产品，因此研究电商平台下易腐农产品的定价与库存联合决策十分必要。
本文通过探讨电子商务平台与线下销售的不同，抽象出电子商务平台的特点，考虑网络扩散效应以及在线评论对消费者购买意愿的影响，又结合了农产品易腐的特性，构建了两阶段的需求函数。
通过单一定价与动态定价两种策略，分别探讨了定价不受腐败程度影响以及随腐败程度变化的两种模式下零售商的最优决策。
数值模拟对比了两种定价方式的优劣，为管理者提供决策建议。
关键词：易腐农产品;电子商务平台;定价与库存管理中图分类号：F713.365文献标识码：A文章编号：1003 5192（2021）04-0032-06doi：10.11847/fj.40.4.32Abstract：With the rapid development of the Internet， e commerce platforms have become the main sales channel for more and more products. Since the outbreak of COVID 19， people have reduced going out， and the volume of fresh food e commerce platform has surged. The perishable nature of fresh products makes it different from ordinary products in terms of sales and inventory management. Therefore， it is necessary to study the pricing and inventory decisions of agricultural perishable products on e commerce platforms. By discussing the differences between e commerce platforms and offline sales to abstract characteristics of e commerce platform， a two stage demand function is constructed taking into account the perishable characteristics of agricultural products， the network diffusion effect of e commerce platforms and the influence of online reviews on consumers’ willingness to purchase. The optimal decisions of retailers under two pricing strategies， fixed pricing and dynamic pricing， are explored separately. Numerical simulation methods are used to compare the advantages and disadvantages of the two pricing strategies， so as to provide managers with recommendations for decision making.Key words：agricultural perishable products; e commerce platform; pricing and inventory management1 引言随着互联网的高速发展，电子商务平台已经成为越来越多产品的主要销售渠道。
不确定需求下易腐产品的生产配送优化模型(精)
在同一框架下研究了易腐产
品的生产调度和带时间窗的车辆路径问题。 鉴于以上事实， 必须制定一个综合的生产调度和运输路 线，使得供应商既能保证提供新鲜的产品， 同时满足客户的需
作者简介 ： 李娜 （１９８０唱 ） ，女 ， 河南南阳人 ， 博士研究生 ， 主要研究方向为物流与供应链管理 （１１ ｎｎ４９ ＠ ｙａｈｏｏ ． ｃｎ ） ； 王首彬 （ １９７９唱 ） ， 男 ， 讲师 ， 博 士研究生 ，主要研究方向为系统建模与仿真 ．
０ 引言
易腐商品在生产和交付过程中易变质，越来越多的供应商 采用准时生产和交付的战略来满足零售商的订单，以减少由于 易腐产品变质而造成的利润损失。 易腐产品一旦生产出来，其 价值就会在运输过程中或交货后不断衰减。 产品供应商的收 入取决于产品收到时的状况， 因此，易腐产品的运输严重影响 供应商的收入。 产品快速和持续衰减的特性使得供应商推迟 生产的时间并尽可能加快运送的速度。 此外，易腐产品必须在 允许的交付时间或者时间窗以内被送到， 如果迟到，可能会招 致罚款损失。 在本文的研究中， 供应商生产生鲜产品 ， 然后销售给零 售商，零售商的需求数量为随机量， 并且在车辆到达零售商 的时候才能确定。 如果供应数量比实际的需求数量少 ， 会造 成缺货损失成本； 如果供应数量比实际的需求数量多 ， 多余 的产品会由于有腐坏率而造成腐坏成本。 假设易腐产品的 变质速度是给定，并且是固定的 。 本文将在同一个框架下考 虑易腐产品生产调度和带有时间窗的车辆路径问题。 供应 商决定生产数量、 开始生产的时间和运送路线 ， 以求最小化 成本。
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计 算 机 应 用 研 究 产品调度约束：
＾ ｔ ｋ，Ｎ ≤ ｔ ｋ ＋１，１ ｋ ＝ １，…， Ｋ － １ ＾ ｔ Ｋ，Ｎ ≤ ｌ０
库存控制的基本模型和库存控制的方法
库存控制的基本模型和库存控制的方法库存控制是企业管理中非常重要的一项工作，它涉及到企业的物流、生产计划、资金运作等多个方面。
库存控制的目标是实现库存的合理化管理，既要确保生产和销售的顺利进行，又要降低库存管理成本，提高资金周转率和利润率。
在实际操作中，库存控制常常采用一些基本模型和方法。
1.定量模型：定量模型主要关注库存水平的决策，通常采用一些定量分析方法和数学模型进行求解。
其中较为常见的模型有：EOQ（经济订货量）模型、EPQ（经济生产量）模型、ABC（库存分类）模型等。
-EOQ模型是库存管理中最常用的模型之一，它基于一系列假设，通过计算经济订货量来决定最优的订货批量，从而实现最低的库存总成本。
该模型假设需求稳定、存货成本固定、采购成本恒定等。
-EPQ模型是在EOQ模型的基础上引入了生产批量的概念，适用于生产环境下的库存管理。
该模型考虑了生产成本和订货成本，通过计算经济生产量来实现最低的库存总成本。
-ABC模型是根据存货金额或交易频率将存货分为A、B、C三类，采取不同的库存控制策略。
A类存货金额较高或交易频率较高，需要精确控制；B类存货金额和交易频率居中，需要较精确控制；C类存货金额较低或交易频率较低，可以采用一些简化的控制策略。
2.定时模型：定时模型主要关注库存更新的时机，通过设定库存更新的时间间隔和方法来实现库存的控制。
其中常见的模型有：固定时间点重新订货法、周期盘点法等。
- 固定时间点重新订货法又称为P系统（Periodic Review System），它是根据固定的时间点对库存进行盘点，然后根据需求量和补货时间确定订货量。
该模型适用于需求变化较为平稳的情况，通过集中管理库存以降低成本。
-周期盘点法是根据固定的周期对库存进行盘点，例如每个季度、半年或年终进行库存盘点。
通过这种周期性的盘点，企业可以更好地掌握库存情况，并及时进行调整。
1.安全库存法：安全库存法是通过设定一定的安全库存量来应对需求的波动或供应的不确定性。
基于(r,Q)策略的易腐品MM1N排队库存系统
基于（r，Q）策略的易腐品M/M/1/N排队库存系统作者：张鹤来源：《现代商贸工业》2019年第33期摘要：基于（r，Q）订货策略研究了易腐品的M/M/1/N库存模型。
假设顾客的达到时间间隔，服务时间，易腐品寿命，进货时间都服从指数分布，首先，利用拟生灭过程理论得到了系统的稳态平衡条件，然后利用矩阵几何解得到了系统的稳态概率，从而得到了一些系统的性能指标，最后，利用系统的性能指标得到成本函数，再利用遗传算法求解了模型的最优库存策略。
关键词：易腐品；（r，Q）策略；拟生灭过程；矩阵几何解；遗传算法中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/ki.16723198.2019.33.1031 引言易腐性产品是指那些必须在有限时间内售出，否则将发生变质、损坏、挥发、过期且必须进行清仓处理的商品，其显著特点是在储存和流通的过程中其数量会因为变质、挥发、失效等而逐渐减少。
如生鲜食品，水果，蔬菜，牛奶，鲜花，药品等，存储过程中随存储时间的增加，商品会因为发生腐烂、变质等原因使得数量减少。
目前我国的易腐性产品在流通过程中造成的各种损失非常大，每年易腐产品造成的各种损耗之和高达千亿。
所以对易腐品库存系统的分析是很重要的，易腐品的库存问题也引起了广大学者的关注。
Schwarz等研究了分别基于随机订购策略，（r，Q）策略，（s，S）策略，等待空间有限或无限的排队库存系统，给出了每个系统的平稳分布。
Sivakumar研究了基于（s，S）策略的顾客源有限的易腐品库存系统，在稳态情况下，给出了库存水平和需求量的联合概率分布。
推导了各种系统性能指标，并用数值方法对结果进行了说明。
Manuel等研究了基于（s，S）策略的等待空间有限的两类顾客的易腐品库存系统，给出了系统的各种性能指标以及成本函数并求解。
Ravichandran研究了基于（s，S）策略具有马尔可夫需求，Erlangian寿命和损失销售的连续盘点易腐库存系统，给出了系统的性能指标以及成本函数。
易腐性商品两阶段最佳订价策略PPT资料优秀版
• 提出兩階段銷售模式的概念期能使零售商獲取最大利益 • 限制：不考慮競爭者的存在、同類型產品的替代效果、不考慮做二次
訂購、缺貨所造成的商譽損失
系統描述
易腐性商品兩階段最佳訂價策略 Optimal Two-Stage Pricing Policy for Perishable Commodities.
易腐性商品銷售問題概述
• 流行性商品：功能不會隨時間經過而衰減，但因時尚潮流或社會趨勢 的改變而使其不再具有以往的價值
• 衰退性商品：受有效期限制，一旦過期只剩殘餘價值並喪失原有功能 • 易腐性產品須考量發放策略來解決存貨問題，事際存貨均為後進先出 • 本研究於固定期問內，針對單一產品執行兩階段銷售模式，以一機率
Optimal Two-Stage Pricing Policy for Perishable Commodities. 關鍵詞：易腐性商品、訂價策略、兩階段銷售模式 第一階段：代表新鮮產品或是新品
易腐性商品兩階段最佳訂價策略 Optimal Two-Stage Pricing Policy for Perishable Commodities.
1. 第一階段之期間長度 t 且滿足0< t < 1 ，第二階段之期間長度 1 - t 2. 在賣期開始前賣方就必須事先決定訂購量 3. 銷售期間不考慮做二次訂購 4. 期初訂購量為 s 單位且滿足顧客需求率 5. 季節性或易腐性產品的生命週期是已知且和其它變數獨立 6. 賣期結束後不可有買賣行為，且以單一的低價格φ批發 7. 各個期間的價格於賣期開始前就告知，價格不可議價 8. 同質性產品之間不會有替代效果、互補效果以及產品間的相關性產生 9. 消費者主觀價值分配已知且為常態
易腐物品库存数学模型研究综述
易腐物品库存数学模型研究综述作者：王玉珍徐立来源：《经济研究导刊》2019年第30期摘要：对易腐物品库存模型的研究现状进行讨论，包括微分方程模型、规划模型和随机模型。
在微分方程模型的讨论中，分别在引入提前时间、库存时间滞后、库存发生短缺以及库存发生折损四种情况下对微分方程模型进行优化;规划模型讨论不同动态规划方法下的易腐物品库存管理;随机模型从库存研究中的不确定因素对库存模型进行优化。
通过对三种模型的分类讨论，以期為冷链物流库存模型研究提供借鉴。
关键词：易腐物品;库存模型;研究综述中图分类号：F224; ; ; ; 文献标志码：A; ; ; 文章编号：1673-291X（2019）30-0184-02在实际生活中，易腐物品的功效和价值在库存和销售环节中，会随着时间的流逝而快速下降。
由于易腐物品所表现的普遍性和与众不同的特征，使得易腐物品的库存模型成为研究的一个热点，易腐物品的库存研究也可以为冷链库存研究提供借鉴。
本文就微分方程模型、规划模型以及模糊数学模型进行了分类讨论。
一、微分方程模型易腐物品库存问题最早可追溯到Whitin[1]，他第一个研究了时尚物品在库存周期末发生过时的情况。
其后，Ghare和Schrader[2]发展了具有指数衰减率的库存模型，他们通过下面的微分方程表示衰减过程，建立了一个库存模型：其中，？兹是常数衰减率，I（t）表示在时刻t的库存水平，D（t）表示在时刻t的需求。
从此以后，人们开始广泛地研究易腐物品的库存系统。
1.引入提前时间情况。
吕大义[3]根据最大熵原理得出在提前时间内需求为正态分布，尝试把订货量、设置成本和提前时间视为决策变量进行讨论，并把庄博仁等[4]的模型推广到易腐物品库存模型和极小极大自由分布模型，为了达到利润最大化目标，在风险库存策略下，建立起库存模型，采用了直接法，对模型近似求解，从而得到最优补货的定价策略。
通过对算例模型的模拟和灵敏度分析我们发现，补货提前期对易腐蚀品定价策略影响最大，其次是单位的仓储成本，两者对定价策略起着决定性影响。
易变质新产品定价与补货联合决策模型
易变质新产品定价与补货联合决策模型张金隆;吴翔;徐浩轩【摘要】This paper examines the effects of product diffusion, repeat purchase, and deterioration on the firm's pricing and replenishment decisions in the context of new products. This study constructs a demand evolution function by introducing repeat purchase rate into the Bass model with price effects,formulates a joint pricing and dynamic lot sizing model for new products with deterioration,designs the algorithms,and gives a numerical analysis.The results suggest the necessity of joint pricing and replenishment decisions.The optimal price shows a U shape relationship between product diffusion speed and repeat purchase rate,and increases with consumer initiative level,but decreases with deterioration.%考虑新产品情境下,产品扩散,重复购买和产品变质特征对企业定价与补货决策的影响.将重复购买率引入包含价格效应的Bass模型构建了需求演化函数,从而建立了易变质新产品定价与动态批量补货联合决策模型,设计了求解算法,并给出了算例分析.结果显示,定价与补货联合决策是必要的.最优价格与产品扩散速度及重复购买率呈先减小后增大的U型关系.最优价格随着消费者主动购买意愿的增加而增大,随着产品易变质程度的增加而减小.【期刊名称】《系统工程学报》【年(卷),期】2018(033)001【总页数】11页(P79-89)【关键词】易变质产品;产品扩散;定价;动态批量补货【作者】张金隆;吴翔;徐浩轩【作者单位】华中科技大学管理学院,湖北武汉430074;华中科技大学现代管理信息研究中心,湖北武汉430074;武汉工商学院现代物流与商务湖北省协同创新中心,湖北武汉430065;华中科技大学管理学院,湖北武汉430074;华中科技大学现代管理信息研究中心,湖北武汉430074;华中科技大学管理学院,湖北武汉430074;华中科技大学现代管理信息研究中心,湖北武汉430074【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言企业通常采购并存储产品以满足未来需求.然而在存储过程中很多产品因为变质腐烂或挥发等因素产生数量损耗,例如蔬菜、水果、牛奶、药品、汽油及血液等产品.在中国或其它发展中国家,果蔬类产品变质比例常常达到15%以上[1,2].产品变质问题往往导致企业库存成本大幅上升.因此,企业需要将产品变质作为库存管理的重要考虑因素.Ghare等[3]首先研究了易变质产品库存决策问题.Goyal等[4]和Bakker 等[5]从需求类型和产品变质建模两个层面对易变质产品运作管理方面的研究进行了综述.易变质特性使库存决策进一步复杂化,因此供应链协调或者跨部门协作变得十分必要.当产品供给有限或者产品需求依赖于供给时,供应商和零售商需要进行协调.例如,王圣东等[6]和曹宗宏等[7]分别在生产率有限和缺货量影响需求的情形下讨论了供应链协调问题.当产品需求依赖于价格决策时,企业则需要同时考虑定价与补货决策.文献[8-14]研究了多产品,非立即变质,随机需求,时变需求,延时付款等诸多情境下的定价与库存联合决策问题.在通常情形下,产品需求均依赖于产品价格.价格与补货决策若未能充分协调,易变质产品容易积压,变质从而造成较大的成本损失.因此,易变质产品定价与库存联合决策问题是企业运作实践中广泛存在的难题.现有文献研究易变质产品库存决策时几乎都以成熟产品为研究对象[4,5],而极少考虑新产品.技术发展加速了产品开发和更新换代速度,从而极大地缩小了产品生命周期.随着区域间贸易的加深,许多产品不断进入新的市场.例如医药行业开发并推出新药品的速度显著加快,近年来生鲜电子商务的兴起也使得进口食品和地方特色食品迅速进入新的市场.因此新产品情境下的易变质产品运作管理问题,具有显著的现实意义并有待更深入的研究.在易变质新产品情境下,产品需求呈动态性且依赖于价格决策.首先,易变质新产品通过大众媒体和口碑两个渠道传播,采纳者的数量随着产品扩散过程逐渐增加[15].产品演化过程导致了需求的动态性,因而企业适合采取动态批量补货策略进行库存控制.此外,新产品扩散过程依赖于产品价格[16]的特征使得定价与补货联合决策十分必要.因此,本文从产品扩散视角考虑易变质产品的定价与动态批量补货联合决策问题.易变质新产品例如药品和生鲜蔬果等,大多具有重复购买特征.易变质新产品的需求由两个部分组成：尝试性购买,以及重复性购买[17].在不同情境下,企业的关注程度可能有所偏重.例如,企业在新产品导入和成长期可能更加关注尝试性购买,以借由口碑效应扩大新产品的知名度.因此,大多数Bass模型[15,16]考虑耐用品且主要关注产品扩散过程,而并没有纳入重复购买特征.相反,企业在市场成熟期则可能更加关注源自忠诚顾客的重复性购买[17].企业价格决策也影响易变质新产品扩散过程,从而同时影响尝试性购买和重复性购买.因此,本文同时考虑尝试性购买和重复性购买这两个部分,并在产品扩散模型中引入价格决策和重复购买率来进行需求建模[17,18]. 本文使用包含价格效应的Bass模型来刻画新采纳者数量的动态演化过程,并引入重复购买率构建易变质新产品的需求函数.每期需求由新采纳者的尝试性购买以及累积采纳者的重复性购买构成.易变质产品在订购时通常质量良好,但其变质速率随着存储时间的增加而增大.故本文假定变质速率是存储时间的函数[19],而非库存量的函数或简单的时变函数[5].结合需求函数与变质速率,建立了易变质新产品定价与动态批量补货联合决策模型.最后进行了算法设计和算例分析,并讨论了企业应该如何根据产品扩散、重复购买以及产品变质特征调整定价与补货决策.结果显示,定价与补货联合决策是必要的.最优价格与产品扩散速度及重复购买率呈先减小后增大的U型关系,随着消费者主动购买意愿的增加而增大,并随着产品易变质程度的增加而减小.2 易变质新产品定价与动态批量补货联合决策模型2.1 问题描述与模型假设企业在计划周期T内销售新产品,或者将现有产品推广到新市场.第t(1≤t≤T)期产品需求dt取决于新产品扩散过程,且受价格P影响.消费者每次最多购买一个单位的产品,且可能有重复购买行为.已知在参考价格P0下,消费者重复购买率为λ.企业在第t(1≤t≤T)期初检查库存水平,并决定是否需要订货vt以及具体订货量zt.产品具有易变质的特征,且变质率与库存存放时间相关.企业进行产品定价P与补货决策z=(z1,z2,...,zT),以最大化利润π.根据研究的实际问题,作如下基本假设：1)不允许缺货.2)补货的提前期为0,亦即瞬时补货.3)产品在补货进入库存之前质量完好,在存储过程中才发生变质.产品变质率与在存储时间正相关.4)需求取决于产品扩散过程、重复购买以及价格决策.2.2 需求演化过程在新产品扩散过程中,需求取决于扩散过程、重复购买行为和价格决策.首先考虑扩散过程和价格决策对新采纳者数量的影响,继而引入重复购买率构建需求函数.在Bass模型[15]中,新产品扩散过程取决于两个传播渠道的影响：1)大众媒体传播渠道如广告等的影响,称为创新的或外部影响,用创新系数p表示;2)口碑传播渠道的影响,称为模仿的或内部影响,用模仿系数q表示.本文采用Bass模型的离散形式,产品扩散过程可以表述为其中 m为市场容量,nt为第t期新采纳者的数量,而为第t-1期末的累积采纳者数量. 在第0期末,所有消费者都尚未产生购买行为.因此,第1期的新采纳者数量为pm.因此,第t期新采纳者的数量为实际上,企业的营销决策如价格等也会影响产品的扩散过程.因此若将价格因素考虑在内,则Bass模型可扩展为[16]其中函数g(P)用来刻画价格决策对产品扩散速率的影响,且现有文献大多选用指数函数形式[16].因此,将价格对产品扩散速率的影响表示为其中参数µ衡量了价格效应的大小.当价格P=P0时,g(P)=1.因此,创新系数p与模仿系数q刻画了企业在价格为P0下的新产品扩散过程.采取以上建模方式,非常便于在实际情形中对参数进行估计.由于最初的Bass模型并没有将价格因素考虑在内,因此依据Bass[15]给出的估计方法所得到的产品扩散参数其实是基于特定价格条件的.因此,本文将特定价格条件P0引入Bass模型进行价格效应建模.当企业准备推出新产品时,大多会根据类似产品的价格和销售记录来对新产品扩散参数进行估计.因此,上式在实践中更富于直观含义和操作意义.式(4)可以重新表述为上式类似于计量经济学中的双对数模型,因此价格效应参数µ则衡量了产品扩散速度在价格P0附近的弹性：当价格变化一定百分比(以来衡量)时,产品扩散速率对应变化的百分比.当µ越接近于1时,则价格P0越接近于最优价格.考虑价格效应之后每期新采纳者数量为消费者在购买易变质产品时大多具有重复购买行为.当2≤t≤T时,第t期的产品需求源于两个部分：新采纳者的尝试性购买,以及累积采纳者的重复购买.假设基本重复购买率为λ,并将其定义为价格为P0时的重复购买率.重复购买意愿与信任,消费习惯,消费者满意度,使用价值,享乐价值等诸多因素有关[20].Orbach和Fruchter[21]以及Danaher等[22]提供了从历史销售数据中分离出尝试性购买并估计重复购买率的方法.然而当企业推出易变质新产品时,并无可用的历史销售数据.此时企业可以采用如下方法[16]估计扩散参数(创新系数p,模仿系数q,以及市场容量m)和重复购买率：挑选相似产品,并根据环境条件,市场结构,消费者行为,营销组合策略,以及产品创新本身五个方面来衡量这些相似产品和新产品的相似性;根据历史购买记录分别估计这些相似产品的扩散参数和重复购买率;以相似性为权重,对相似产品对应参数的估计值进行加权求和来得到新产品的参数估计值.企业需要关注如何提高重复购买率,以及重复购买率对企业决策的影响.本文仅考虑后者.此外,本文将对重复购买率做敏感性分析,考虑重复购买率变化时企业的价格与补货决策应如何变化,以及企业的利润会有何种变化.价格决策同时影响新采纳者的数量和累积采纳者的重复购买行为,所以价格P下的实际重复购买率可以表示为λe-µ(P/P0-1).当价格极低的时候,最多导致累积采纳者全部进行重复购买.因此,实际重复购买率为min{λe-µ(P/P0-1),1}.所以需求函数为式(6)和式(7)共同刻画了新产品需求演化过程,并将重复购买行为和价格决策纳入其中.2.3 定价与动态批量补货联合决策模型在不允许缺货的情况下,企业既可以通过补货来满足当期需求,也可以通过上一期库存来满足当期需求.记第t期补货的固定订购成本kt,单位补货成本为ct,单位库存持有成本为ht.补货数量记为zt,是否补货记为vt,且vt=1代表在第t期有补货行为.第i期订购的易变质新产品在第t期的库存持有量为yit.企业进行定价与动态批量补货联合决策时,目标函数为企业利润等于总收益减去总成本.而总成本由每期的的固定订购成本ktvt,可变补货成本ctzt,以及库存持有成本其中函数b(t)表示产品变质速率.通常情形下或者假定产品变质速率恒定,即b(t)=θ;或者假定产品变质速率可变且服从Weibull函数[4],即b(t)= αβtβ-1.在产品变质速率恒定的假设下,则在第1期初订购的产品在第t期的变质率可以表示为α=1-e-θt.在现实情况下,变质速率很少保持恒定,也并非简单地与时间相关[19].变质速率大多情形下与补货时期有关,也就是与库存存放时间有关.例如对于牛奶,蔬果等易变质产品而言,企业采购到的通常是新鲜产品.在库存中存储越久,变质的可能性也就越大.将补货时期纳入考虑,则第i期订货的农产品在库存第t期初到构成.现有文献通常假定t时刻库存变化量取决于库存数量和需求速率[4]第t期末的变质率可以表示为当t=i时,ait=aii=1-e-θ为补货后存放第1期的变质率.对于1≤i≤t≤T,若企业在第t期的补货数量zt＞ 0,则说明企业在第t期有补货行为,记vt=1;否则记vt=0.第t的需求被第i期补货所满足的部分为rit,而第i期订购的易变质产品在第t期的库存持有量为yit.所以第t期的库存水平为第1期初的补货数量为z1,其中被用于满足当期需求的部分为r11,而剩余的部分y11=z1-r11全部作为库存.因此,第1期初的库存量为y11.这些库存在第1期末(或第2期初)时,由于产品变质的原因,仅剩下(1-a11)y11.第2期初的补货数量为z2,其中被用于满足当期需求的部分为r22,因此剩余的部分y22=z2-r22则全部作为库存.在第1期补货,且持有至第2期初的库存量为(1-a11)y11.其中用于满足第2期初的需求的部分为r12,因此剩余部分y12=(1-a11)y11-r12继续作为库存持有.因此,第2期初的库存量为y12+y22.第3期的情形依次类推.因此,易变质新产品定价与动态批量补货的联合决策模型为约束条件(11)表示,第t期采购zt个单位易变质产品,其中被用于满足当期需求的为rtt,因此剩余的部分则全部作为库存持有.约束条件(12)表示,第i期采购的易变质产品且一直持有到第t-1期初的部分,在第t期初的时候由于产品变质的原因,仅仅剩下(1-ai,t-1)yi,t-1.其中第i期采购的易变质产品在第t-1期的变质率为ai,t-1.这部分库存,除了用于满足第t期需求的部分rit以外,剩下的被继续作为库存持有.约束条件(13)表示,第t期需求dt(P)必须被在此之前订购的易变质产品所满足,即不允许缺货.约束条件(14)表示,第t期需求由新采纳者的尝试性购买和累积采纳者的重复购买组成.约束条件(15)表示,第t期新采纳者数量由创新系数p,模仿系数q,市场容量m,重复购买率λ,以及产品价格P确定.约束条件(17)和条件(18)给出了第1期的新采纳者数量以及需求量.模型的决策变量为价格P,以及每期的补货数量zt.在联合决策模式下,企业同时制定价格和补货决策以最大化利润.定价与动态批量补货联合决策的关键在于理解需求函数.从定价决策视角来看,第t期的产品需求源于两个部分：新采纳者的尝试性购买,以及累积采纳者的重复购买.后者受重复购买率λ影响,且两者均取决于产品扩散参数(创新系数p,模仿系数q,市场容量m)和价格P.从补货决策视角来看,第t期的产品需求dt必须被当期补货和在此之前订购并作为库存持有的产品所满足.在库存持有过程中,同时也存在着产品变质.因此,产品需求连接了企业的定价与补货决策.3 算法设计当单位订购成本ct=c保持不变时,性质1给出了易变质新产品定价与补货联合决策模型中最优价格的上界和下界.性质1在易变质新产品定价与补货联合决策模型中,最优价格P∗满足c＜P∗＜P0[1+ln(mT)/µ].证明企业需要获取净利润.因此价格至少要大于单位订购成本,即P∗＞c.另一方面,企业定价不能太高,否则将无法获得需求.因此在整个计划周期内累积采纳者的数量至少大于零,即由于所以mTe-µ(P/P0-1)＞NT≥1,由此得到P∗＜P0[1+ln(mT)/µ].因此,对于易变质新产品定价与补货联合决策模型,最优价格P∗满足c＜P∗＜P0[1+ln(mT)/µ].现有文献针对定价与动态批量补货联合决策模型进行了一些研究,Van den Heuvel 和Wagelmans[23]提供了多项式复杂程度的算法.然而,相关文献均假设需求是价格的线性函数(d=a-bP),甚至进一步限定二者为正比关系(d=-bP).然而在本文模型中,需求与价格呈现非常复杂的关系.由于需求函数本身服从产品扩散模型的演化规律且受价格影响,需求函数甚至无法用确切的函数表达出来.因此,模型复杂程度远高于以上文献的设定.故本文设计了启发式算法.在易变质新产品定价与补货联合决策模型中,一旦价格P给定,则需求函数随之确定.此时原问题退化为易变质产品的动态批量补货模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最优解.当第t期的补货数量zt＞0时,则称第t期为补货期.企业在整个计划周期内每期是否进行补货的决策变量可简化为向量v=(v(1),v(2),...,v(T)),而补货数量记为z=(z(1),z(2),...,z(T)).一旦补货期向量v给定,便可以确定具体的补货数量z;反之亦然.因此,仅需考虑补货期向量v.并且,一旦给定价格P,即可通过Hsu[19]给出的算法求得最优补货期向量v.另一方面,一旦给定补货期向量v,则可以求得每期的补货数量z.显然,z是关于价格P的函数.因此,给定补货期向量v时,利润π=π(P)是价格的函数.因此,可以求解最优价格P以最大化利润函数.总而言之,一旦给定价格P,则易变质新产品的定价与补货联合决策模型退化成易变质产品的动态批量补货模型,并可以直接由Hsu[19]提供的算法求得最优解.而一旦给定补货期向量v,则易变质新产品的定价与补货联合决策模型退化成求解使得利润函数π(P)最大化的价格P.因此,本文设计迭代算法来求解易变质新产品定价与动态批量补货联合决策模型.算法步骤如下步骤1k=0,选取初始价格P0.步骤2 在给定需求d(P),通过Hsu[19]提供的算法求解得到最优补货决策vk.步骤3 若k＞0且vk=vk+1,则算法收敛,停止迭代.步骤4 在给定的补货决策vk下,求解最优价格Pk+1.步骤5k←k+1,并返回步骤2.易变质新产品定价与补货联合决策问题算法的收敛性由以下不等式所保证,即可以看到每次迭代都可以改善目标函数的结果,而当补货决策收敛时则算法停止.在步骤2中,给定需求时求解最优补货决策的Hsu[19]算法复杂度为O(T2);在步骤4中,给定补货决策时则采用经典启发式算法来求解最优价格.此外,步骤3中的收敛法则使得算法可以较快收敛.由于不允许缺货,故第r期的需求必定由之前的某期补货所满足.Air表示为了满足第r期一个单位的需求,第i需要订购的产品数量.当i=r时,定义A(j,r)=1.当1≤i≤r≤T 时,若第r期的需求由第i期的订购所满足,则产生的可变补货成本及库存成本之和记为T(i,r).满足从第1期到第r期的需求且最后一次补货在第i期时的最小总成本记为V(i,r),则可得到如下递归式其中式(21)表示,满足从第1期到第r期的需求且最后一次补货在第r期的总成本优化问题,可以转化为满足从第1期到第r-1期的需求的最优成本加上第r期补货所产生的成本k+T(r,r).式(22)表示,满足从第1期到第r期的需求且最后一次补货在第i期的总成本优化问题,可以转化为满足从第1期到第r-1期的需求且最后一次补货在第i期的最优成本V(i,r-1),加上用第i期订购满足第r期需求所需要的成本T(i,r).因此,易变质产品的动态批量补货问题算法(亦即Hsu[19]算法)如下：步骤1r=1,求得V(r,r)=V(1,1)=k+cd1.步骤2 对1＜r≤T,依据式(22)求得V(i,r),依据依据式(21)求得V(r,r).步骤3返回最优成本并由满足从第1到第r期需求的最优成本逐步求解补货数量zt(1≤t≤T).4 算例分析4.1 定价与补货决策设参照价格P0=30,单位补货成本c=15,固定补货成本k=7 200,单位持有成本h=5,变质参数θ=0.2.重复购买率λ=0.4,市场容量m=5 000,价格效应参数µ=-1,创新系数p=0.02,模仿系数q=0.4.表1给出了价格P=P0以及根据联合决策模型求解出来的最优价格P∗下的不同需求演化过程以及补货决策.在价格P=P0=30下,企业利润为96 840;而通过求解联合定价与补货决策模型得到最优价格P=P∗=31.9,此时企业利润为102 450,相对于前者利润提高5.79%.从表1来看,定价与动态批量补货联合决策情境下产品扩散更慢、需求更小,但单位产品利润更高.因此,定价与动态批量补货联合决策能够更好综合考虑收益和成本,从而提高利润.由于价格效应参数µ则衡量了产品扩散速度在价格P0附近的弹性,故当µ越接近于1时,则价格P0越接近于最优价格.通过对价格效应参数µ进行分析(见图1),也验证了这点：当价格效应参数µ逐渐增大时,P∗/P0的比值逐渐降低;当µ的值越接近1时,最优价格与参照价格的比值P∗/P0也越接近1.因此企业可以通过简单地变动价格并测试产品扩散速率对价格的弹性来确定合适的价格.然而,当产品扩散速率对价格的弹性等于1时,并不意味着企业达到了最优价格,而仅仅是接近最优价格.因此,企业还需要考虑补货和库存等方面的成本,而不仅仅是考虑收益的最大化.从这个层面上讲,企业的定价与补货联合决策是十分必要的.当企业进行产品定价时,还需要考虑诸多因素的影响,例如产品扩散参数、重复购买率、产品变质参数等.在Bass[15]模型中,创新系数p和模仿系数q共同决定了产品的扩散过程.然而,在产品扩散过程中,更适合用p+q和p/q来描述扩散过程的关键要素[24].其中p+q刻画了产品扩散速度,而p/q表征市场上消费者的主动购买意愿.因此,本文讨论产品扩散速度p+q、消费者主动购买意愿p/q、重复购买率λ和产品变质参数θ对价格决策的影响.在分析其中任何一个参数的影响时,均固定其它参数的取值不变.图2显示了最优价格P∗如何随着产品扩散参数(即产品扩散速度p+q及消费者主动购买意愿p/q)、重复购买率λ以及产品变质参数θ而变化.表1 价格P0及P∗下的需求演化及补货决策Table 1 Demand evolution and replenishment decisions under price P0and P∗P=P0 P=P∗t nt Nt dt zt nt Nt dt zt 1 100 100 100 316 94 94 94 292 2 137 237 177 0 127 221 162 0 3 186 423 281 788 169 390 252 701 4 246 669 415 0 222 612 368 0 5 318987 586 586 284 896 514 1 356 6 397 1 384 792 792 353 1 249 689 0 7 473 1 857 1 027 1 027 422 1 671 891 891 8 530 2 387 1 273 1 273 480 2 151 1 107 1 107 9 551 2 938 1 506 1 506 514 2 665 1 322 1 322 10 526 3 464 1 701 1 701 511 3 176 1 512 1 512 11 456 3 920 1 842 1 842 469 3 645 1 661 1 661 12 360 4 280 1 928 1 928 396 4 041 1 765 1 765图1 价格效应参数µ的敏感性分析Fig.1 Sensitivity analysis of price parameterµ4.2 结果分析从图2可知,当消费者主动购买意愿p/q程度不变时,最优价格与产品扩散速度p+q呈先减小后增大的U型关系.当产品扩散速度特别慢时,企业应制定较高的价格以保证单位利润;随着产品扩散速度增加,企业可以降低价格以促进产品扩散、增加需求.在此情形下,降低价格带来的需求增加效应大于单位利润降低带来的效应;而当产品扩散速度特别快时,企业则不必担心需求问题,从而适合提高价格.类似地,当其它因素不变时,最优价格与重复购买率λ也呈现先减小后增大的U型关系.当重复购买率极低时,企业制定较高的价格以保证单位利润;当重复购买率逐渐增大时,企业则可以降低价格以促进产品扩散,从而增加未来的重复购买数量;而当重复购买率非常高时,企业则可以提高价格以增加单位利润.因此,当产品扩散速度与重复购买率变化时,企业应权衡单位利润与销售量并据此调整价格水平.图2 相关参数对价格水平的影响Fig.2 Relevant parameters’inf l uences on price level与产品扩散的速度不同,消费者主动购买意愿p/q对最优价格的影响则较为简单：当消费者主动购买意愿增加时,最优价格随之增加.当消费者主动购买意愿增加的时候,意味着消费者剩余增加.所以消费者主动购买意愿在某种程度上体现了其保留价格,即愿意为产品支付的最高价格.当保留价格增加时,企业可以相应提高价格水平.因。
考虑路径腐败的可重复装货易腐品库存—路径模型
The Inventory Routing Model with Vehicle Multi-tours for Deteriorating Item as In-transit
Deterioration Occurring
作者： 贾涛 刘静 徐渝
作者机构： 西安交通大学管理学院,陕西西安710049
出版物刊名： 运筹与管理
页码： 1-7页
年卷期： 2012年 第5期
主题词： 运筹学 库存路径模型 改进的节约算法 多程回路 易腐品
摘要：研究了易腐品的订货、配送一体化策略。
在一个供应商供应单一易腐品给多个零售商的联合决策的供应链中,假设各零售商的需求率已知,产品在运输途中和零售阶段均存在腐败,且不允许缺货,联合决策模型的目标是确定为每个零售商送货的配送路径、配送量以及配送周期以使得总成本最小。
通过建立数学模型,证明了目标函数的性质,而后设计了改进的节约算法,嵌套折半查找算法对问题求解,最后通过数值算例说明了模型的有效性,及控制运输过程腐败和节点腐败对于易腐品供应链管理的意义。
考虑保质期的非即时易腐品最优订购与定价决策
考虑保质期的非即时易腐品最优订购与定价决策张锐;林峰;贾涛【摘要】针对有保质期约束的非即时易腐品,零售商可以在产品非腐败阶段和腐败阶段进行差异化定价来调整市场需求.即零售商可以调整产品非腐败阶段的定价策略,使得非即时易腐品在进入腐败阶段之前全部售出;或者在产品腐败阶段降低零售价格以刺激市场需求.因此,在需求依赖价格的假设下,本文研究了零售商关于有保质期约束的非即时易腐品的最优订购与定价决策.通过分析零售商单位时间利润函数的理论性质,得到了零售商的最优订购与定价策略.基于线性和指数型两种需求函数形式进行数值算例,可以发现针对保质期较长或者非腐败阶段较长的易腐品,零售商会延长订货周期来增加销售收入.特别是在指数型需求函数情境下,当市场需求与零售价格高度相关时,零售商更有意愿降价来刺激销量,从而使得易腐品在非腐败阶段内销售完毕.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2019(028)005【总页数】9页(P26-34)【关键词】非即时易腐品;保质期;订购策略;定价决策【作者】张锐;林峰;贾涛【作者单位】西安交通大学管理学院,陕西西安 710049;西安交通大学管理学院,陕西西安 710049;西安交通大学管理学院,陕西西安 710049;过程控制与效率工程教育部重点实验室(西安交通大学),陕西西安710049【正文语种】中文【中图分类】F2530 引言许多产品，例如蔬菜、水果、药品等，在零售阶段会由于损坏、变质、碰撞、蒸发等发生腐败，从而导致产品数量减少。
根据Bakker等[1]的研究，易腐品基于贮藏特性可分为三种类别，包括(i)固定生命周期，(ii)随机生命周期，(iii)产品腐败率与其库存量减少速率相关。
由于产品易腐特性对于零售商订购策略有着直接的影响，因而易腐品已成为库存理论研究的一个重要分支。
基于需求率依赖于库存量，Hou[2]考虑资金的时间价值，建立了有限计划期内的易腐品库存模型。
Chan等[3]则在允许缺货情况下，研究了零售商关于易腐品的最优运作策略。
易腐物品库存数学模型研究综述
易腐物品库存数学模型研究综述【摘要】易腐物品是指易于变质、腐烂或失效的物品，对其库存进行有效管理至关重要。
本文从易腐物品库存管理的重要性出发，介绍了易腐物品库存数学模型的分类和构建方法，分析了影响模型效果的因素以及模型的优缺点。
随后，结合现有研究成果，展望了易腐物品库存数学模型的发展趋势，并提出了未来的研究展望。
易腐物品库存数学模型在提高库存管理效率和降低成本方面具有巨大潜力，但也面临着一些挑战和限制。
未来的研究应当针对这些问题展开，以进一步完善和优化易腐物品库存数学模型，促进物流管理的发展。
【关键词】易腐物品、库存管理、数学模型、研究综述、研究背景、研究意义、研究现状、构建方法、影响因素、优缺点、发展趋势、研究展望、总结。
1. 引言1.1 研究背景易腐物品的库存管理一直是供应链领域的研究热点之一。
随着现代物流技术的发展和物流网络的不断扩大，随之而来的是更加复杂多样的供应链环境和管理挑战。
易腐物品的特性决定了其在库存管理中具有更高的风险和挑战性，如易腐变、易碎、易失效等。
有效地管理易腐物品的库存成为了供应链管理中一项至关重要的任务。
在实际的供应链运营中，对易腐物品的库存管理常常需要借助数学模型来进行优化分析和决策制定。
这些数学模型可以帮助企业有效地控制库存水平、降低库存成本、提高供应链效率和客户满意度。
研究易腐物品库存数学模型的构建和应用对于提高企业的竞争力和运营效率具有重要意义。
针对易腐物品的库存管理问题，学术界和实践界已经开展了大量研究并取得了丰硕成果。
随着供应链环境的不断变化和技术的不断进步，易腐物品库存数学模型仍然面临着一些挑战和待解决的问题。
对易腐物品库存数学模型的研究具有重要的现实意义和发展价值。
1.2 研究意义易腐物品库存数学模型的研究意义主要体现在以下几个方面：1. 提高库存管理效率：通过建立有效的数学模型，可以帮助企业更好地掌握易腐物品库存情况，合理安排采购和销售计划，提高库存管理效率，减少库存成本。
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筇 ２ ５卷
第 ２期
荆 州师范学院学报（ 自然 科 学版 ）
ｊ ｕ ａ ｆ ｉｇ ｈ ｕＴｅｃ ｅｓＣ ｌ ｇ （ ｔｒ［ ｃｅｃ ） ｏ ｒ ｌ ｎ ｚ ｏ ａｈ ｒ ｏｔ ｅ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｎ ｏＪ ｅ
Ｖｏ ２ ２ 】 ５ Ｎ０ Ａ Ｄ ２ ｒ ００２
腐 物 品库存 模 型 ， 这个 模型 推导 了一个 有 明显 物理意义 的平 衡方程 ， 得 目标 函数可 以递 推计 算 而不 必知 对 使
道 状 态 概 率
易腐物 品库 存 因库存 物 品可能 失效 ， 且库 存物 品需要 花 费 ． 一般 存货 不 宜 过 多 ； 一方 面每 次 进 货需 要 另 附加 费用 ． 缺货 将损 失部 分 利润 ． 定 每次 进货除成 本外 需 要附加 费 ｃ ， 失效 一 个库存 品损 失 ｃ 元 ， 假 。 每 元 每 单位 时间＿ 个 库 存品 的保 管 费为 一 元， 每单 位 时间后供 一个 库 存品 的惩 罚 费 为 元 ， 此 费 用结 构 下 ， 在 再 给定库 存物 品 的失 效规 律 和需求 规律 ． 如何 合理 确定 订货 策略 是经理们 普遍 关心 的问题 ．
—
Ｓ 一 ， 库 存 水 平 恢 复 到 Ｓ 为 了 简 化 讨 论 ， 设 进 货 具 有 零 滞 后 （ 随 订 随 到 ） 这 时 ≤ 使 假 即 ，
１假 定 开 始 时
库存水 平 为 Ｓ． 令 （ ）表示 时刻 ｆ的库 存 水平 ， 然 ｌ ｔ 是状 态空 间 Ｅ ＝ ｝ Ｓ １ … ， ， １ … ， Ｉ ｔ 显 （） ｓ， ． １０， ， ｆ
２ 模 型 描 述
考 虑 库 存 物 品 的 寿 命 服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 ， 求 物 品按 一 般 更 新 过 程 到 达 ， 达 问 隔 分 布 为 Ｇ（ ， 需 到 ）
而均值 。 有 限 ， 。 允许 后供 ． 存 系统采取 连续 盘 点的 （ ｓ 库 ． ）订货 策略 ， 旦库 存水 平 降到 ｓ就 立 即进 货 Ｍ 一
作 者 简 介 耀 辉 （ ３ ）男 ， 教 授 ， 济 学 硕 十 ． 中科 技 大 学 在 职 博 士 ， 主 要 从 事 统 计 学 金 融 数 学 等 方 的 研 陈 Ｉ６ 一 ． 剐 ９ 经 华 现
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荆 州 师范 学 院学 报 （ 自然 科 学 版 ）
２０ ０ ２年 ４月
｛ （ ） ｙ（ ） ， ｔ ， ｆ ｝是 向 量 马 氏 过 程 （ ＶＭＰ ， 状 态 空 间 和 状 态 转 移 情 况 如 图 ｌ 图 中 。 表 示 系 统 完 好 ）其 （ 过 程 再 生 点 ： 过 程 具 有 马 氏 性 的 时 点 ） 根 据 状 态 转 移 图 可 列 出 偏 微 分 方 程 组 指 ．
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收 稿 日期 ：０ １ ０ ０ ２ ０ — ３— ３
２０ ０ ２年 ４ 月
易 腐 物 品 库 存 最 优 订 货 决 策 模 型
际 耀 辉
（ 州 师范 学 院 数学 系 荆 ４４２） ３０ ０
摘 要 考 虑 失 鼓 为 指 数 分 布 ， 求 按 一 般 更 新 过 程 到 达 的 易 腐 柏 品 库 存 模 型 ， 需 对这 个 模 型 推 导 了一 个 有 明 显 物 理 意 义 的 平 衡 方 程 ． 供 了模 型 寻 求 最 优 解 的 一 十 简 便 方 法 ， 得 目标 函 提 使 数 可 以递 推 计 算 而 不 必 知 道 状 态 概 率 关键词 库 存 ； 求 率 ； 货 量 需 订 Ａ 文 章 编 号 １０ ８ １ （ ０ ２ ０ —０ ０ —０ ０ ３ ０ ９２ ０ ）２ ０ ７ ４ 中 图 分 类 号 Ｆ ２ ２ ４０ 文献标 识码
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１ 引 言
关于 经典经 济 订货 量模 型 的扩展研 究 ， 近二 十年 来 引起 了人们 的普 遍 关 注１ 在 ｌ ， 而这 些 研 究 都投 然
雨 考 虑 易 腐 蚀 物 品 的 特 性 ． 文 在 文 献 ［ １ 的 基 础 上 ， 虑 失 效 为 指 数 分 布 ， 求 按 一 般 更 新 过 程 到 达 的 易 本 １］ 考 需
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