概率论§4.1 数学期望
概率论 数学期望
0 . 0779
E ( Y ) 2732 . 15 , 即平均一台收费
2732 . 15 .
13
例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方 案有如下两种： (1) 分别化验每个人的血, 共需化验 n 次； (2) 分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若 结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则 对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时 k 个人的血需化验 k + 1 次. 设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且 每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪 一方案较经济.
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
记作 E( X ), 即
E( X )
xf ( x)dx
数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是随机变量
6
例1 甲、乙两选手进行打靶，击中环数 为X1,X2，它们的分布律为
X1 pk X2 pk 7 0.2 7 0.3 8 0.3 8 0.5 9 0.4 9 0.1 10 0.1 10 0.1
数学期望的概念源于此
4
数学期望的定义
设 X 为离散 随机变量. 其分布律为
P( X xk ) pk ,
k 1
k 1,2,
若无穷级数 xk pk 绝对收敛, 则称
其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即
E ( X ) xk p k
k 1
5
定义
设连续型随机变量X 的密度为 f (x) 若广义积分
20
E 例9 设 X 服从参数为 的泊松分布，求 X 。
解：已知泊松分布律为：
PX k
数学期望的原理及应用
数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。
具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。
数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。
具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。
数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。
例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。
2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。
通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。
3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。
例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。
4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。
游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。
5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。
通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。
6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。
通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。
总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
概率论——数学期望
概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。
在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。
设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。
则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。
每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。
需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。
因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。
这正是数学期望的统计意义所在。
数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。
它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。
数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
4.1数学期望
k 1 p kx k 1 x1 p
1 p
11
k p x k 1
'
x 1 p
1 p (1 x) 2
x 1 p
常见 r.v. 的数学期望
分布
参数为p 的 0-1分布 B(n,p) P()
E (Y ) g ( x) f ( x)dx
16
3、 r.v.函数的数学期望 3.2、二维r.v.函数Y=g(X)的数学期望 定理4.1（3）设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij , i, j 1,2, Z = g(X ,Y ),
21
k 2
3、 r.v.函数的数学期望
例8. 设 X ~ E( ), 求 E( X2 ) .
解:由于 可得：
e x , x 0 f ( x) 。 0, 其它
EX x f ( x)dx x e
2 2 2 0 0
x
dx
2
2
22
§4.1随机变量的数学期望
5
§4.1随机变量的数学期望
例1 设X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) .
解
X 0 1
pk 1 p p
E( X )= 0×（1-p）+1×p=p
6
§4.1随机变量的数学期望
例2： 解 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
E ( X ) kC p (1 p)
若级数 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛 , 则 i , j 1
数学期望的定义
pk
(1
p)(n1)k
np
k 0
2、若X ~ B ( 1 , p ), 即 X ~ 10 p
1 p
则 E(X) p
12
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
三、常用离散型随机的变量数学期望
3、 X ~ Possion (), 即 P( X k) k e , k 0,1, ,
则
E( X ) k p(1 p)k1 p kqk1
k 1
k 1
p
qk
k 1
q
p
1
q
q
q
p
(1
1 q)2
1 p
.
(q 1 p)
某篮球运动员投篮命中率为50%，规定该运动员首 次投篮命中时即刻停止，则投篮次数 X 的平均值为2， 即平均每投篮 2 次才进1个球，正好也反映了命中率.
X
~
x1 p1
x2 p2
xk pk
若级数 xk pk 绝对收敛,则称其和为 X 的数学期望，
k 1
又称期望,均值或（加权）平均值，记作 E( X ), 即
E( X ) xk pk k 1
7
§4.1
随机变量的数学期望
2020/3/10
一、离散型随机变量的数学期望的定义
E(X) 0
E(Y ) 0
它们具有相同的数学期望，但是却是两 个完全不同的随机变量.
注：随机变量的概率分布，才是随机变量唯一 的本质特征.
9
考研资料——概率论基础知识4
概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
第十讲(数学期望)
1 y x, x 1 x ，求 W 的 其它
1 )。 XY
4
Eg10：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产 品可获利 m 元，而挤压一件产品导致 n 元的损失，预测销售量 Y 服从指数分布，其概率密
1 y / e , y 0, 0. 度为： f ( y ) 0, y 0,
i i
i
g ( x) P ，其中 p
i
P{ xi }, i 1,2,
2. 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x) ，则 g ( ) 是连续型随机变量 若
g ( x) f ( x)dx <+ ，则称 g () 的数学期望为
学
E E[ g ( )] g ( x) f ( x)dx
教
备课时间： 章节 年 月 §4.1 日 课题
案
第 10 次课 数学期望 3 学时
1、理解数学期望的定义并且掌握它们的计算公式； 2、掌握数学期望的性质，会求随机变量函数的数学期望，特别是利用数学期望的性质 目的 要求 计算某些随机变量函数的数学期望。 3、熟记 0－1 分布、二项分布、泊松分布、正态分布、 均匀分布和指数分布的数学期望。
k 个人共化验 k 1 次. 试问用哪一种方法可减少化验次数？
Eg6：求泊松分布的数学期望。
3
Eg7：求均匀分布的的数学期望。 三、随机变量函数的数学期望 1. 是离散型随机变量 数学期望为：E =E[ g () ]= 教
g ( ) 是离散型随机变量若 g ( xi ) pi <+ ，则定义 的
概率论数学期望
概率论数学期望数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许与每一个结果都不成正比。
期望值就是该变量输入值的平均数。
期望值并不一定涵盖于变量的输入值子集里。
大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。
历史故事在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。
可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。
这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。
2022概率论与数理统计4-1
2022-11-5
lfb
19
第4.1节：数学期望
例：
已知 X ,Y 的联合密度：
f
x,
y
பைடு நூலகம்
12
y
2
,
0 y x 1
0, else
求E X ,E Y , E XY , E X 2 Y 2 的期望.
解： E X
xf x, ydxdy
1
dx
x x 12 y2dy 4
0
0
5
xf x dx
1 x kxadx
0
1 kxa1dx
0
a
k
2
0.75
f x dx 1
f x dx
1 kxadx
0
a
k
1
1
a a
k k
2 1
0.75 1
a k
2 3
2022-11-5
lfb
23
第4.1节：数学期望
8：已知X的概率密度为：
f
x
1
1
x
x0dx
0
1
2
1 x xdx 2 x 2 xdx
0
1
121 33
lfb
24
0
0
15
2022-11-5
lfb
20
第4.1节：数学期望 u 期望的性质
(1) E C C (2) E CX CE X (3) E X Y E X E Y (4) X ,Y相互独立 E XY E X E Y 注：不能由E XY E X E Y X ,Y相互独立
第4章 ——随机变量的数字特征
u数学期望（*****） u方差（*****） u协方差与相关系数（****） u大数定律与中心极限定理（****）
概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
4.1 数学期望
则，易知
将一个随机变量分解成若干个随机
变量之和，具有一定的普遍意义。
于是
四、数学期望的性质
作业:
习题 6(1), 7(1), 11, 15
（2）若 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为 f(x)，则Y的数
学期望为
三、随机变量函数的数学期望
前面的定理推广到二维以上的情形，即有下面的定理：
三、随机变量函数的数学期望
解：要求 E(X)和E(Y)，需先求出 X 和Y 的边缘分布。 关于 X 和 Y 的边缘分布分别为 因此
三、随机变量函数的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
例：按规定，某车站每天 8:00~9:00 和 9:00~10:00 之间都恰有一辆客车到 站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为 一旅客8:20到车站, 求他候车时间的 数学期望。 解：设旅客的候车时间为 X （以分计），则 X 的概率分布为
随机变量函数的数学期望
数学期望的性质
三、随机变量函数的数学期望
设X是一随机变量, g(x)为一实函数,则Y=g(X)也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X的分布求出g(X)的分布, 再按定义求出g(X) 的数学期望E[g(X)] , 但这种求法一般比较复杂. 一般地，我们有 下面的结论：
意味着, 如果乙进行很多次的射击, 那么, 所得分数的算术平均就接近0.5。
因此，乙的成绩远不如甲的成绩。
一、离散型随机变量的数学期望
解：设X 代表每件产品上的疵点数，则
（2）设Y代表产品的价值，则 Y 的概率分布为：
一、离散型随机变量的数学期望
（2）设Y代表产品的价值，则 Y 的概率分布为： 所以产品价值的平均值为
概率论与数理统计：数学期望
前面讨论了随机变量的分布函数，分布函数能全面地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，一方面，求分布函数有时是困难的；另一方面，有时不需要了解全貌，只需了解随机变量的某些特征或某个侧面就可以了，例如分布的中心，只要知道它的这方面的特征就够了，这时可以用一个或几个实数来描述这个侧面，这种实数就称为随机变量的数字特征.在这些数字特征中最常用的数字特征有：数学期望，方差，协方差，相关系数和矩等，本章将着重介绍这些常用的数字特征， 要求理解数学期望与方差的定义，掌握它们的性质与计算；理解独立于相关的概念；会求协方差与相关系数；了解高阶矩的概念.§4.1 数学期望先看一个例子，某年级有100名学生，17岁的有2人，18岁的有2人，19岁的有30人，20岁的有56人，21岁的有10人，则该年级学生的平均年龄为7.19100)102156203019218217(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯或 22305610171819202119.7100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 我们称这个平均值是数17、18、19、20、21的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。
而1718192021195++++=是把这五个数的地位或权重看得相同。
对于一般随机变量，其平均值定义如下：4.1.1离散型随机变量的数学期望定义4.1 设离散型随机变量X 的分布律为{},1,2,i i P X x p i ===, 若1i i i xp ∞=<+∞∑,则称1i i i x p ∞=∑为随机变量X 的数学期望,简称期望或均值,记为()E X , 即()E X =1i i i x p ∞=∑. 若级数1i i i xp ∞=∑发散,则称随机变量X 的数学期望不存在.注 （1）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个实数，它由分布唯一确定；（2）离散型随机变量的数学期望)(X E 在数学上解释就是X 加权平均，权就是其分布列；（3）级数∑∞=1)(i i i x P x 绝对收敛保证了级数的和不随各项次序的改变而改变，这是因为i x 的顺序对随机变量并不是本质的.（4）离散型随机变量的数学期望)(X E 是一个绝对收敛的级数的和. 引例 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为Y X ,，且分布如下：试比较他们的射击水平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C k1 n1
pk
1
(1
p)( n1)( k 1)
k 1
np( p 1 p)n1 np
8
(3) 泊松分布 X～P()
X的分布律为 P{X k} k e (k 0,1, 2,L )
k!
E(X )
k k e
e
k1
0 0.15 0.15 1 0.45 0.25
解: E(XY)=010.15+020.15 +110.45+120.25
=0.95 21
例3 设(X, Y)在区域A上服从均匀分布，其中
A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。
求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。
y
解： 由题设可知
6
常见离散型分布的期望
(1) (0-1)分布（即两点分布） X～B(1, p) 随机变量X取0与1两个值，其概率分别为 1-p和p，分布律为
X0 1 P 1p p
数学期望 E(X)=0(1p)+1p = p
7
(2) 二项分布 X～B(n, p)
X的分布律为
P(X=k)=Ck n
pk
(1
0x
(X ,Y )的概率密度为
2 f (x, y) 0
(x, y) A 其它
x y 1 0
0
0
1
E(X )
xf (x, y)dxdy dx x 2dy
1 1x
3
E(-3X+2Y)=
0
dx
0
2(3x 2 y)dy 1
则称积分 xf (x)dx 为X 的数学期望。
通常记为E(X)
即 E(X )
xf (x)dx
11
常见连续型分布的期望
(1) 均匀分布 X～U (a,b)
X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
0,
a xb 其它
由定义可知 X 的数学期望为
E(X ) xf (x)dx
bx
ab
a
b
dx a
=
2
12
(2) 指数分布
X的概率密度为
ex ,
f (x)
x0
0,
x0
( 0)
由定义可知 X 的数学期望为
E( X ) xexdx
0
利用定积分公式
=
1
0
x n e ax dx
n! a n 1
13
(3) 正态分布 X～( ,2)
性质5（有界性）若 a X b，则有aE(X )b
性质6
|E(X)|E(|X|)
性质7 （柯西-许瓦兹不等式） 若E(X2)，E(Y2)均存在，则E(XY)存在，且有
[E(XY )]2 E(X 2 )E(Y 2)
24
性质8 设随机变量X与Y相互独立，则有 E(XY)=E(X)E(Y)
k0 k !
k1 (k 1)!
令i=k1 可得 E( X ) e i
i0 i!
= e e =
9
常见离散型随机变量的数学期望
分布
概率 分布
数学 期望
参数为p 的 0-1分布
P( X 1) p P( X 0) 1 p
p
二项分布
P(X
k)
p)nk ,k
0,1,L
,n
n
E( X ) kCnk pk (1 p)nk
k0
n
k
n!
pk (1 p)nk
k1 k !(n k)!
n
np
(n 1)!
pk 1(1 p)(n1)(k 1)
k 1(k 1)!(n k)!
n
np
8
P( X
1)P(Y
1)
3 8
2
即 X 和Y 并不相互独立
27
例4 设X～ B(n, p)，求E(X)。
解: 这里利用数学期望的性质来求E(X)
在每次成功概率均为p的n次独立重复试验中
记
随机变量
Xi
1，第i次试验中A出现 0，第i次试验中A不出现
则X1,X2,…, Xn相互独立
1 x1
3
E(XY)=
xyf (x, y)dxdy
0
0
dx
x 2 ydy 1
1 1 x
1222
数学期望的性质
设 X ,Y 是随机变量，a, b, c是常数 ( 以下设所遇到的随机变量的数学期望存在)
性质1（保常数） 对于常数a，有 E(a)=a
17
定理 设Y是随机变量X的函数，即Y=g(X)，其中 g(x)是连续函数：
(1) 设X是离散型随机变量，分布律为
P(X = xk)= pk (k=1,2,…)
若 g(xk ) pk 绝对收敛，则有
k 1
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k 1
(2) 设X是连续型随机变量，概率密度为 f(x)。
X的概率密度为 f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
- x
2
由定义可 X 的数学期望为
E(X ) x
1
e dx
(
x )2 2 2
2
令 x t 可得
奇函数和偶
E(X )
1
t2
( t )e 2 dt
= 2
若 g(x) f (x)dx 绝对收敛，则有
E(Y ) E[g( X )] g( x) f ( x)dx
18
定理 设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数， 其中g为连续函数：
(1) 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为
P(X=xi，Y=yj)= pij ( i,j=1,2,…)
y j pij y j p• j
19
j1 i1
j 1
(2) 设(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为
f(x,y)。
若积分
g(x, y) f绝(x对, y)收dx敛dy，则有
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
第四章 随机变量的数字特征
§4.1 数学期望 §4.2 方差 §4.3 协方差和相关系数 §4.4 矩和协方差矩阵
1
引例：某大学一位教师给15位研究生上课， 期末考试成绩如下：
72，81，90，85，76，90，80，83 78，75，63，73，30，82，90
教学院长认为：试题太容易，因为得90分的就有 3人！
故 E( XY ) aibj pij aibj P( X ai )P(Y bj )
i, j
i, j
ai P( X ai ) bj P(Y bj )
i
j
E( X )E(Y )
25
若E(XY )=E(X)E(Y)，则X 和Y 不一定相互独立
pij Y -1
研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的平 均粒数及每粒的平均重量；
考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否 高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的 波动是否小。
3
由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值， 虽不能完整地描述随机变量，但能清晰 地描述随机变量在某些方面的重要特征，这些 数字特征在理论和实践上都具有重要意义。
且E(X)=0.1, E(X2)=0.9。 求对应于可能值x1, x2, x3的概率p1,p2,p3。
解: E(X)=(1)p1+0p2+1p3=0.1
X2 0 1
E(X2)=0p2+1(p1+p3)=0.9
P p2 p1+p3
并且 p1+p2+p3=1
计算可知 p1=0.4, p2=0.1, p3=0.5
性质2（保线性） E(aX + bY +c)= aE(X )+ bE(Y )+c
性质3（保加法）E(XY)=E(X) E(Y)
n
n
推广 : E[ Xi ] E( Xi )
i 1
i 1
23
性质4（单调性）若随机变量X 0 ，则有E(X )0 若X1X2，则有E(X1) E(X2)
0
X
-1
18 18
0
18
0
1
18 18
p• j
38 28
1
pi•
18 38
18 2 8
18 38
38 1
26
X Y -1
0
1
P
28 48
28
E(X ) E(Y ) 0; E( XY ) 0;
显然有 E( XY ) E( X )E(Y )
但是 P( X 1,Y 1) 1
特别的
E(X ) xf (x, y)dxdy xfX (x)dx
E(Y ) yf (x, y)dxdy yfY ( y)dy
20
例2 设随机变量(X,Y)的分布律如下: