高一数学2.2.1直线与平面平行、平面与平面平行的判定
2.2.1直线与平面平行的判定定理
D
C
A
M
B
例5:正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在 AE､BD上各有一点P､Q,且AP=DQ.
求证:PQ∥平面BCE. 分析:证明线面平行,可用线面平行的判定定理.
证明:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于 N,连结MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE=BD.
判定：如果平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此平面平 行.用符号表示为： a α ，b α且a∥b a∥α
线线平行线面平行
化归与转化的思想：
（1）化线面平行为线线平行
（2）化空间问题为平面问题
定理说明
1、线面平行的判定定理的数学符号表 示，其中三个条件缺一不可.
2、线线平行
3．要注意判定定理与性质定理的综合运用
A
D
O
F E
C
分析:连结OF, 可知OF为 △ABE的中位线,所以得到AB//OF.
证明:连结OF,
∵ O为正方形DBCE 对角线的交点,
∴BO=OE,
平面DCF
OF 平面DCF AB//平面DCF
AB//OF
A
D
O
F E
C
例3.四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，AD的中点.
线面平行
线线平行是条件的核心. 3、注意定理中文字叙述、符号语言、图 形表示的相互转换。
例1. 如图，空间四边形ABCD中，
E、F分别是 AB，AD的中点.
E
求证：EF∥平面BCD.
B
A F D
C
分析：要证明线面平行只需证明线线平行，即 在平面BCD内找一条直线 平行于EF，由已知 的条件怎样找这条直线？
2.2.1直线与平面、平面与平面平行的判定
由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD.
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题思想和方法？
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理；
线线平行
线面平行
反思2：能够运用定理的条件是要满足六个字： “面外、面内、平行”
a
b
a //
b // a
反思3：运用定理的关键是找平行线；找平行线又经常 会用到三角形中位线定理.
是否可以保证直线 a 与平面 平行？
a
b
直线与平面平行
平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b．
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a 与平面 相交吗？ 不可能相交
a
b
1.直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平
行，则该直线与此平面平行．
a
b
a
bபைடு நூலகம்
a
//
a // b
其中正确命题的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3.判断下列命题是否正确，若正确，请简述 理由，若不正确，请给出反例. (1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平 行于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α,
b ∥ α,那么a ∥ b ;( )
a
实例感受
在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕 着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公 共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以 平行的印象．
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
直线与平面平行
高中数学-直线与平面平行、平面与平面平行的性质
【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.
∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１ Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，
∴ＭＰ∥AD, MP=
ＮＱ＝
1 2
Ａ１Ｄ１.
1 2
AD,NQ∥A1D1，
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.
∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
∵MN AA1B1B，
∵CQ∥
∴CQ∥MN.
∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，
则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.
【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的 核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁， 线面平行的性质才能得以应用.
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如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
.
∴AC∥MN∥AC,且AC＝ 13ＡＣ.
∴AC∥平面ＡＢＣ.
同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.
又∵AC∩A′B′=A′,
∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.
1
1
（２）同理A′B′= AB3 , B=C BC3 ，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′
S△ABC =1：9.
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1.如何理解线面平行的性质定理？
表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一 边或平行四边形内的一条线段平行.
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2.如何理解两个平面平行的性质定理？
平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的 定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与 平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者， 是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往 转化为证明面面平行.
2.2.1直线与平面平行的判定
证明:如图所示,取 AB 的中点 G, 连接 FG、CG, ∵F、G 分别是 BE,AB 的中点,
1 ∴FG∥AE,FG= 2 1 CD= 2
AE,
AE,
又 AE=2a,CD=a,∴
而 AE∥CD,∴CD∥FG,CD=FG, ∴四边形 CDFG 为平行四边形,∴DF∥CG, 又 CG 平面 ABC,DF 平面 ABC, ∴DF∥平面 ABC.
直线与平面平行的判定
:(1)实例中你有什么发现,它们 的位置关系怎样? (直线 l 与平面平行) (2)为什么会有上述结论呢? (因为 l 始终平行于平面内的直线)
直线与平面平行的判定定理 (1)文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行,则该直线与此平面平行. (2)符号表示:a α ,b α ,且 a∥b a∥α . (3)图形语言:如图所示.
直线、平面 平行的判定及 其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
课前预习
栏 目 导 航
课堂探究
【课标要求】
1.通过直观感知、操作确认,归纳出直线与 平面平行的判定定理. 2.能运用直线与平面平行的判定定理证明 一些空间位置关系的命题.
【实例】 如图,一面墙上有一扇门,门扇的两 边是平行的,当门扇绕着墙上的一边转动时, 观察门扇转动的一边 l 与墙所在的平面位置 关系.
证明:如图所示,连接 AC1 交 A1C 于点 O,则 O 是 AC1 的中点,连接 OD, ∵点 D 是 AB 的中点, ∴OD∥BC1. 又∵OD 平面 CA1D,BC1 平面 CA1D, ∴BC1∥平面 CA1D.
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线面平行中“线线平行” 的构造
【例 3】 已知点 S 是△ABC 所在平面外的一点,G
学案5：2.2.1 直线与平面平行的判定~2.2.2 平面与平面平行的判定
2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定学习目标1．理解并掌握直线与平面平行的判定定理，明确定理中“平面外”三个字的重要性．2．能利用判定定理证明线面平行问题．基础知识直线与平面平行的判定定理文字______一条直线与此平面内的一条直线____，则该直线与此平面平行语言图形语言符号语言a____α，b____α，且a∥b a∥α作用证明直线与平面____归纳总结直线与平面平行的判定定理告诉我们，可以通过直线间的平行来证明直线与平面平行．通常我们将其记为“线线平行，则线面平行”．因此，处理线面平行转化为处理线线平行来解决．也就是说，以后要证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可．做一做如图所示，E，F分别为三棱锥ABCD的棱BC，BA上的点，且BE∶BC＝BF∶BA ＝1∶3.求证：EF∥平面ACD.重点、难点1．理解直线与平面平行的判定定理剖析：(1)此定理可以简记为：若线线平行，则线面平行．线线平行是条件，是平面问题，而线面平行是结论，是空间问题．这一定理体现了空间问题向平面问题转化的思想．(2)要证明平面外的一条直线和这个平面平行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可．(3)定理中的三个条件a∥b，a⊄α，b⊂α缺一不可．名师点拨在证明线面平行时，一定要说明一条直线在平面内，一条直线在平面外，这样才可得到结论．2．一条直线平行于一个平面内无数条直线，这条直线不一定平行于这个平面剖析：可通过举反例，明确直线与平面平行的判定定理的使用条件．例如：长方体ABCDA1B1C1D1中，在棱AB上任取一点E，过点E作EF∥AD交CD于点F，用同样的方法可以在平面AC内作出无数条与AD平行的直线，很明显直线AD平行于平面AC内这无数条直线，但是AD⊂平面AC.所以一条直线平行于一个平面内无数条直线，这条直线不一定平行于这个平面．判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：(1)直线a 在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两条直线a，b平行，即a∥b.这三个条件缺一不可．本例中不满足条件(1)．问题导学一、直线与平面平行的判定活动与探究1正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，G分别是BC，C1D1的中点，如图所示．求证：EG∥平面BB1D1D．迁移与应用1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，Q是A1C的中点，P是AB1的中点，则PQ与平面ABC的关系是________．2．如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点．求证：SA∥平面MDB．规律方法利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．二、平面与平面平行的判定活动与探究2如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB．迁移与应用1．已知三棱锥P－ABC，D，E，F分别是棱P A，PB，PC的中点，则面DEF与面ABC的位置关系是__________．2．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD 上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．规律方法两平面平行的判定定理是判定两平面平行的重要方法，在应用时，设法在一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行．可以利用平行四边形、三角形中位线及平行公理等得到平行线．三、线面平行与面面平行的综合活动与探究3已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E．迁移与应用在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，D1为B1C1边上的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，A1D1，BD1．求证：平面A1BD1∥平面ADC1．规律方法线线、线面、面面平行的判定关系可用下图示意：当堂检测1．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD2．若a，b，c，d是直线，α，β是平面，且a，b⊂α；c，d⊂β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β()A．平行B．相交C．异面D．不能确定3．已知平面α外不共线的三点A，B，C到平面α的距离都相等，则平面α与平面ABC的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上均不正确4．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则EO与图中平行的平面有__________．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是B1C的中点，N是BD的中点，则MN与平面ABB1A1的关系是________．参考答案基础知识平面外平行⊄⊂平行做一做证明：∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：结合E ，G 分别是BC ，C 1D 1的中点，在平面BDD 1B 1内找一条线与GE 平行．证明：取BD 的中点F ，连接EF ，D 1F ．∵E 为BC 的中点， ∴EF 为△BCD 的中位线， 则EF ∥DC ，且EF ＝12CD ．∵G 为C 1D 1的中点， ∴D 1G ∥CD 且D 1G ＝12CD ，∴EF ∥D 1G 且EF ＝D 1G ，∴四边形EFD 1G 为平行四边形，∴D 1F ∥EG ．而D 1F ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1， ∴EG ∥平面BB 1D 1D ． 迁移与应用 1．PQ ∥平面ABC2．证明：连接AC 交BD 于点O ，连接OM ．∵M 为SC 的中点，O 为AC 的中点，∴OM ∥SA ． ∵OM ⊂平面MDB ，SA ⊄平面MDB ，∴SA ∥平面MDB ．活动与探究2 思路分析：(1)欲证E ，F ，B ，D 四点共面，只需证BD ∥EF 即可．(2)要证平面MAN ∥平面EFDB ，只需证MN ∥平面EFDB ，AM ∥平面EFDB 即可．证明：(1)连接B 1D 1，∵E，F分别是边B1C1和C1D1的中点，∴EF∥B1D1．而BD∥B1D1，∴BD∥EF．∴E，F，B，D四点共面．(2)∵MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD．而MN⊄平面EFDB，DB⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB．连接MF，∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MF AD．∴四边形MFDA是平行四边形．∴AM∥DF．∵AM⊄平面EFDB，∴AM∥平面EFDB．又AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面EFDB．迁移与应用1．平行2．证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP．∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC．又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC．∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC．又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC．活动与探究3思路分析：证明平面BDF中的BD与BF与平面B1D1E平行．证明：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG A1B1．又A1B1C1D1，∴EG C1D1．∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1E GC1．又BG C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E．又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E．又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E．又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E．迁移与应用证明：连接DD1．∵D是BC的中点，D1是B1C1的中点，∴DD1AA1，BD D1C1．∴AD∥A1D1，DC1∥BD1．又∵AD∩DC1＝D，BD1∩A1D1＝D1，∴平面A1BD1∥平面ADC1．当堂检测1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】平面P AD，平面PCD 5．【答案】MN∥平面ABB1A1。
高一数学必修二2.2.1直线与平面平行2.2.2平面与平面平行的判定导学案(解析版)
2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、课标解读1、通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理2、理解并掌握两平面平行的判定定理，让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定3、培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力4、让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感二、自学导引问题1：如果你手里拿着一支笔（看作一条直线），如何保证笔与桌面平行呢？有哪些方法？直线和平面平行的判定定理符号表示问题2：空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？问题3：两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？平面与平面平行的判定定理三、合作探究1.根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？2.若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一个平面内有一条直线与另一个平面有公共点，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？3.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？4.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？四、典例精析例1 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,M是线段EF的中点,求证:AM∥平面BDE.变式训练1 三棱柱111C B A ABC -中,E 为1AC 中点,F 为1CB 的中点.求证:EF ∥平面ABC例2 如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中.求证:平面11D AB ∥平面BD C 1变式训练2 在正方体1111D C B A ABCD -中,P N M ,,分别是11111,,D C C B C C 的中点,求证:平面MNP ∥平面BD A 1例3 如图所示,B 为ACD ∆所在平面外的一点,G N M ,,分别为BCD ABC ∆∆,的重心.(1) 求证:平面MNG ∥平面ACD(2) 求AD G MNG S S ∆∆:变式训练3 如图所示,a ∥α,αα∈D C B A ,,的另一侧的点，是,线段AC AB ,,AD 分别交α于G F E ,,,若5,4,4===AF CF BD ,则=EG ＿＿＿＿＿＿五、自主反馈1、判断下列说法是否正确？(1) 如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行 ( )(2) 若一条直线a 和一个平面内的一条直线b 平行，则直线a 和这个平面平行( )(3) 若平面α外一直线a 与内α一直线b 平行，则a 与 α 平行 ( )2.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明： （1）已知平面α，β和直线m ，n ，若α⊂m ,α⊂n ,β//m ,β//n ,则βα//；（2）一个平面α内两条不平行的直线都是平行与另一个平面β，则βα//.3.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）（A ）α内有无穷多条直线都与β平行（B ）直线α//a ，β//a ，且直线a 不在α内，也不在β内（C ）直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//b（D ）α内的任何直线都与β平行4.如图，长方体1111ABCD A BC D -中，(1)与AB 平行的平面是 (2)与1AA 平行的平面是(3)与AD 平行的平面是5.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面AMN //平面EFDB .答案2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定例1 证明：OE O BD AC 连接设,=是矩形的中点，分别为ACEF EF AC M O ,, OE AM AOEM //∴∴是平行四边形，四边形 BDE AM BDE OE 平面平面⊄⊂,BDE AM 平面//∴例2 证明：设11111,O C A D B O AC BD == 为平行四边形四边形由1111,//B BDD DD BB ∴= BD C D B D B BD 11111//,//平面∴∴AO O C AO O C AO O C 111111//四边形，，且又∴= BD C AO OC AO 1111//,//平面为平行四边形，∴∴ BD C D AB 111//平面平面∴例3 证明：（1）连接BG BN BM ,,H F P CD AD AC ,,,,于并延长交的重心分别为BCD ABD ABC G N M ∆∆∆,,,, 则有2===GH BGNF BNMP BM连接PF MN PH FH PF //,,,有ACD MN ACD PF 平面，平面又⊄⊂ACD MG ACD MN 平面同理平面//,//∴ACD MNG M MN MG 平面平面//,∴=(2)9:1:=∆∆AD C MNG S S变式训练1. 略2.证明：连接11D B111111//,,D B PN C B C D N P ∴的中点分别是 BD PN BD D B //,//11∴又BD A BD BD A PN 11,⊂⊄平面BD A MN BD A PN 11//,//平面同理平面∴BD A PMN N PN MN 1//,平面平面又∴= 3.920自主反馈答案1.（1）错 （2）错 （3）对2.（1）错误 （2）正确3.D4.略5.略。
高一数学必修二2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定练习题(解析版)
2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行C.如果一个平面内任意一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行D.若果两个平面平行于同一条直线,那么这两个平面平行2.下列命题中,正确的个数为 ( )①若a ∥b ,α⊂b ,则a ∥α②若a ∥α,b ∥α,则a ∥b③若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α④若a ∥α,α⊂b ,则a ∥bA.0B.1C.2D.33.已知三条互相平行的直线c b a ,,中，,,βα⊂⊂c b a 、则两个平面βα,的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（ ）A.都平行B.都相交C.在这两个平面内D.至少和其中一个平面平行5.下列说法正确的是 （ ）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行③过平面外两点不能作平面与已知平面平行④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行A. ①③B. ②④C. ①②D. ②③④二、填空题6.若直线b a =A ，a ∥α，则b 与α的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿7.若直线a b a 满足，与平面βα,∥b ,a ∥α,b ∥β,则平面α与平面β的位置关系是 ＿＿＿＿＿＿＿＿8.过平面外一点有＿＿＿条直线与已知平面平行,过平面外一点有且只有＿＿＿个平面与已知平面平行.9.正方体1111D C B A ABCD -中,的平面与过的中点，则为E C A BD DD E ,,11的位置关系是＿＿＿＿＿＿三、解答题10.正方体1111D C B A ABCD -中个，F E N M ,,,分别为棱11111111,,,D C C B D A B A 的中点。
2.2.1直线与平面平行的判定
2.2.2《平面与平面 平行的判定》
复习回顾：
2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ （1）平行 （2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示： ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ b P a 图形表示：
变式:在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 若 M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN// 平面EFDB。
D1
F
M
B1
N
A1
C1
E
线面平行
线线平行
面面平行
D A B C
第一步：在一个平面内找出两条相交直线； 第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
变式2:
A
F
D
E
O
C
AB 平面DC F O F 平面DC F AB //平面DC F AB //O F
反思~领悟：
1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.
2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、 梯形的中位线、平行线的判定等来完成。 3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平 行”，缺一不可。
归纳小结，理清知识体系
1.判定直线与平面平行的方法：
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； （2）判定定理：（线线平行
线面平行）；
a b a // a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.
2.2.1 直线与平面平行的判定2.2. 2 平面与平面平行的判定
§2.2.1 直线与平面平行的判定§2.2.2 平面与平面平行的判定一、课前准备复习1：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 复习2：两个平面的位置关系有_______和_______.二、新课导学探究一：直线与平面平行的判定定理讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？实例1：如图左，一面墙上有一扇门，门的两边是平行的.当门绕着墙上的一边转动时，观察门转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？实例2：如图右，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是平行的.问题：上述两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？新知1：直线与平面平行的判定定理：反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？探究二：两个平面平行的判定定理讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?新知2：两个平面平行的判定定理：反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？※ 典型例题例1 空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .练习1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E,F 分别是PB,PC 的中点，证明：EF //平面P AD练习2 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .例2 已知正方体1111ABCD A B C D -，求证：平面11AB D ∥1CB D .练习1 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中S 是11D B 的中点，E,F ,G 分别是BC,DC,SC 的中点，求证：（1）直线EG//平面11D B DB ；（2）平面EFG//平面11D B DB三、总结提升※ 学习小结1. 直线与平面平行的判定定理的核心是线线平行⇒线面平行；平面与平面平行的判定定理的核心是线线平行⇒面面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※ 知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)判定平面与平面平行通常有5种方法⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行1. 正方形ABCD 与正方形ABEF 交于AB ，M 和N 分别为AC 和BF 上的点，且AMFN =，如图所示.求证：MN ∥平面BEC .。
(2)2.2.1直线与平面平行的判定定理
教学过程
（一）直线与平面平行的性质定理
已知一条直线与平面平行，通过观察实物，或通过计算机演示动态图象，在平面内找出这条直线的平行线。
在学生进行充分探究之后，教师给出规范的证明过程。
（二）例题与练习 例题:P59例3，
动手操作：在木块上面画出地面的平行线。
由于看不见底面，所以找到一个平面。
让学生感受到性质定理中所提到的平面的作用，然后再进行论证。
P59例4，
首先根据题意画出图形，然后根据图形写出已知、求证，再综合运用公理4和直线与平面平行的性质定理，条理清晰地写出证明过程。
练习:如右图，b ∥c ，求证：a ∥b ∥c （学生板演） （三）小结与作业
线面平行的判定定理和性质定理，在逻辑上有不同的顺序， 即判定定理：线线平行→线面平行； 性质定理：线面平行→线线平行。
作业：P62—5、6题。
高中数学必修2课件2.2.1直线和平面平行与平面和平面平行的判定
2
一、直线和平面 1.直线和平面的位置关系： ①直线在平面内 —— 如果一条直线和一个平面有两个 公共点，那么这条直线就在这个平面内. ②直线和平面相交—— 一条直线和一个平面有且只有 一个公共点，叫做直线与平面相交. 这个公共点叫做直线与平面的交点。 ③直线和平面平行 —— 一条直线与一个平面没有公共点 叫做直线与平面平行。 a
P b
a
a
线线平行，则面面平行
8
4.结论： 平行于同一平面的两个平面平行.
// , // //
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法
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⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
11
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小结:
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线线平行，则线面平行 直线和平面平行的判定: 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行。
l // m, l , m
l
l //
m
12
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法 ⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
D
C
又EF 平面BCD, BD 平面BCD，
EF // 平面BCD
5
二、两个平面 1.两个平面的位置关系: 两个平面平行—— 如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行. 两个平面相交—— 有一条公共直线.
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高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定课
[提示] (1)根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误． (2)有．若 α、β、γ 为三个不重合的平面，则 α∥β，β∥γ⇒α∥γ.
1．能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( ) A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且 AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b D [A 错误，若 b⊂α，a∥b，则 a∥α 或 a⊂α；B 错误，若 b⊂α， c∥α，a∥b，a∥c，则 a∥α 或 a⊂α；C 错误，若满足此条件，则 a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交；D 正确，a⊄α，b⊂α，a∥b 恰好是判定定理所 具备的不可缺少的三个条件．]
线面、面面平行的综合问题 [探究问题] 观察下面两个图形：
1．怎样证明平面 β 中的直线与平面 α 平行？ [提示] 利用线面平行的判定定理，只需在平面α中找到一条与 平面β中的直线平行的直线即可．
2．怎样证明两个平面平行？ [提示] 利用面面平行的判定定理，只需平面 β 中的两条相交直 线分别与平面 α 平行即可．
故四边形BDD1B1为平行四边形， ∴BD∥B1D1， 又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴BD∥平面AB1D1.
1．判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)； (2)判定定理法(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内． 2．证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质； (2)利用平行四边形的性质； (3)利用平行线分线段成比例定理．
【例 3】 已知底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD，点 E 在 PD 上，且 PE∶ED＝2∶1，在棱 PC 上是否存在一点 F，使 BF∥平面 AEC？ 证明你的结论，并说出点 F 的位置．
高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质
两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。
数学必修2(人教A版)2.2.1直线与平面平行的判定和2.2.2平面与平面平行的判定公开课教学课件 (共23张PPT)
AD1 D1B D1
平面AB1D1 // 平面C1DB
1．证明直线与平面平行、平面与平面平行的方法： （1）利用定义：没有公共点。
（2）利用判定定理．
线线平行 线面平行 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
小测：
如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E， F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.
④若 内有一条直线 平行，则 与 平行
a 与平面
×
a
命题错误
a
a //
a
a
（两平面平行）
（两平面相交）
b 与平面 ⑤若 内有两条直线 a ， 平行，则 与 平行
a // b
a
a∩b=P
a
b
b
b
P
a
（两平面平行） （两平面相交） （两平面平行） 两 种 情 况 命题错误 唯 一 命题正确
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
P
b
a
练 α与平面β平行的条件可 练5 4．平面 ．判断下列命题是否正确，正 D 以是（ ） 确的说明理由，错误的举例说明： （A）α内有无穷多条直线都与β平行.
（1）已知平面α ， β和直线m， n ，若 m α ,n α ,m// （B）直线a∥α ，a∥β ，且直 线a β ,n// β 则α β // β ； 不在 α内，也不在 内. 错误 （2）一个平面α内两条不平行直 （ C）直线 a α,直线b ，则 β, α 且 线都平行于另一平面 β a// β,b// α // β ；
2.2.1-2.2.2_直线与平面_平面与平面平行的判定定理
A1 D1 B1 C F B C1
所以EF//BD1 ，
E D
Hale Waihona Puke 又EF 平面ABC1D1 ， BD1 平面ABC1D1
所以BD1//平面ABC1D1
A
练习
P56 2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的 中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
a 即 b a // a // b
a
a //
b
(2)该定理作用：“线线平行线面平行”——空间问题“平面 化” (3)应用该定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线a平行.
例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过 另外两边的平面. 已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点. A 求证:EF//平面BCD. E D B F C
a , a // b , b // // a b A
b
P
a
线不在多， 重在相交！
(2)该定理作用：“线面平行面面平行” (3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一 平面内两条直线平行即可.
线线平行线面平行面面平行
例 正方体ABCD A 中，证明 1B 1C1 D 1 平面C1 BD / / 平面AB1D1 .
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
平行四边形对边平行是 常用的找平行线的方法.
练习
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1， A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证:平面AMN//平面EFDB. 练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分别是棱A1D1， A1B1，BC，CD的中点，求证：平面AMN//平面C1QP.
数学：2.2.1《直线和平面平行判定》(新人教A版必修2)30张幻灯片
教学过程
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知识回顾：
1、位置关系
（1）有无数个公共点
直线在平面内
（2）有且只有一个公共点 直线与平面相交
（3）没有公共点
直线与平面平行
教学过程
2、直线和平面位置关系的图形表示、符
号表示
a
a
a
α
α
A
α
a aA
a//
教学过程
D A
D A
C B
C B
随堂练习：
课本P56： 2. 如下图，正方体AC1中，E为DD1的中点，试判断BD1与
平面AEC的位置关系，并说明理由。
根据空间问题平面化的思
想，因此把找空间平行直
D1
C1 线问题转化为找平行四边
形或三角形中位线问题，A1这样自然想到了找中点。B1
平行问题找中点解决是个
B1 B
境
为了让学生更清楚地看到线
感
面平行与否的关键因素是什
知
么，使学生学在情境中，思
概
天在花情板理平中面，感悟在内心中，
念
学自己身边的数学，领悟空
间观念与空间图形性质
教学过程
1
创
设
情
境
感受生活中线面平行的例子
感 知 概 念
提出本节学习内容，
·
留下悬念，激发探 索求知欲望
球场地面
思考：如何判断一条直线与一个平面平行？
E
F
析 证明：连接BD
D
加
深 因为 AE=EB，AF=FD，
B
理
C
解 所以 EF//BD
又因为 E F 平B面 C ,BD D 平B面 C , D
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师：根据面面平行的判定 定理， 结论可 转化为 证面
AB1D 内有两条相交直线平行
于面 C1BD ，不妨取直线 D 1A、
所以 平面 AB1D1∥平面 C1BD.
点评：线线平行
线面平行 面
面平行 .
1 ． 如 图 ， 长 方 体 ABCD –
学生独立完成
A′B′C′D ′中，
答案：
1．（ 1）面 A′B′C′D ′，面
CC′DD ′；（2）面 DD′C′C，面
BB′C′C；（3）面 A′D ′B′C′，面
（ 1）与 AB 平行的平面是
例 1 已知：空
师：下面我们来看一个例
间四边形 ABCD ，
子（投影例 1）
E、 F 分别是 AB、 AD 的中点 .
求 证 EF ∥
师： EF 在面 BCD 外，要 证 EF∥面 BCD，只要证明 EF 与面 BCD 内一条直线平行即
启发学生 思维，培
平面 BCD .
可， EF 与面 BCD 内哪一条直 养 学 生 运
第一课时 直线与平面平行、平面与平面平行的判定
借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引 导、点拔 .
教学过 程
教学内容
师生互动
设计意图
1．直线和平面平行的重要性 2．问题（ 1）怎样判定直线与 平面平行呢？
教师讲述直线和平面的 重要性并提出问题：怎样判定 直线与平面平行？
BB ′C ′C.
2．直线 BD 1∥面 AEC.
.
3．（ 1）命题不正确；
（ 2）与 AA ′平行的平面是 .
（ 2）命题正确 .
（ 3）与 AD 平行的平面是 . 2．如图，正方体， E 为 DD 1 的中点，试判断 BD1 与平面 AEC 的位置关系并说明理由 .
∴直线 a 与平面 不相
交.
师：根据刚才分析， 我们
画龙点
1
典例分析 探索新知
得出以下定理………
睛，加深
师：定理告诉我们， 可以 对 知 识 理
通过直线间的平行，推证直线
解完善知
与平面平行 .这是处理空间位 识结构 .
置关系一种常用方法，即将直
线与平面平行关系（空间问
题）转化为直线间平行关系
（平面问题） .
教师投影例 2 并读题，学
生先独立思考，再讨论最后回 答.
生：由两个平面的位置关 系知①正确；由两个平面平行 的定义知②③正确；两个平面 相交，其中一个平面内有无数 条直线与另一个平面平行，故 ④⑤错误，选①②③
师（表扬），如果将条件 ⑤改为两条相交直线呢？
一方面复 习巩固已 学知识， 另一方面 通过开放 性题目培 养学生探 索知识的 积极性 .
2．直线和平面平行的判定定 理.
生 1：直线 a∥直线 b，所 以 a、 b 共面 .
平面外一条直线与此平面内 的一条直线平行，则该直线与此平 面平行 .
符号表示：
a
b
a
ab
生 2：设 a、b 确定一个平
面 ，且
A ，则 A 为
, 的公共点，又 b 为面
与 的公共直线， 所以 A∈ b，
即 a b = A，但 a∥ b 矛盾
证明：连结 BD.在△ ABD 中， 线平行？
用知识分
因为 E、F 分别是 AB、AD 的
生：连结 BD，BD 即所求 析 问 题 、
中点，
师：你能证明吗？
解决问题
所以 EF ∥ BD.
学生分析，教师板书
的能力 .
又因为 BD 是平面 ABD 与平 面 BCD 的交线， EF 平面 BCD ，
所以 EF ∥平面 BCD .
受，有利 定理的掌 握.
A′B′C′D ′平 行 . 此 时 ， 平 面
ABCD 平行于平面 A′B′C′D ′.
2
典例分析 随堂练习
例 3 已知正方
教师投影例题 3，并读题
体 ABCD –A1 B1C1D 1 证：平面 AB1 D1∥平 面 C1BD.
证明：因为 ABCD – A1B1C1D 1 为正方体，
（ 2）如图，直线 a 与平面 平
生：直线和平面没有公共
行吗？ 新课导入
点. 师：如图， 直线和平面平
行吗？ 生：不好判定 . 师：直线与平面平行， 可
复习巩固 点出主题
以直接用定义来检验，但“没
有公共点”不好验证所以我们
来寻找比较实用又便于验证 的判定定理 .
一．直线和平面平行的判定
教师做实验，学生观察并 通 过 实
二．平面与平面平行的判定 例 2 给定下列条件 ①两个平面不相交 ②两个平面没有公共点 ③一个平面内所有直线都平 行于另一个平面 ④一个平面内有一条直线平 行于另一个平面 ⑤一个平面内有两条直线平 行于另一个平面 以上条件能判断两个平面平 行的有 ①②③ 2．平面与平面平行的判定定 理： 一个平面内的两条相交直线 与另一个平面平行，则这两个平面 平行符号表示： a , b , a b p,a
D1B1，而要证 D 1A∥面 C1BD ， 证 AD 1 ∥ BC1 即可，怎样证 明？
学生分析，老师板书，然 巩 固 知
后师生共同归纳总结 .
识，培养
学生转化
面 C1BD 由直线与平面平行的判定定
化归能力
理得
D1 A∥平面 C1BD
同理 D 1B1∥平面 C1BD 又 D1 A D1 B1 D1
如图，借助长方体模型， 平面
借助模型 解决，一
ABCD 内两条 相交直 线 AC ， BD 分 别 与 平 面
方面起到 示范作 用，另一 方面给学
A′B′C′D ′内两条相交直线 A′C′， 生 直 观 感
B′D ′平行，由直线与平面平行 的判定定理可知，这两条直交 直 线 AC ， BD 都 与 平 面
2．问题 3：如图，如果在平 面 内有直线 b
线. 师投影问题 3，学生讨论、
与直线 a 平行，那
交流教师引导，要讨论直线 a
么直线 a 与平面
与平面 有没有公共点， 可转
探索新知
的位置关系如
何？是否可以保证直线 a 与平面
化为下面两个问题：（ 1 ）这 两条直线是否共面？（ 2 ）直
平行？
线 a 与平面 是否相交？来自1．问题 2：如图，将一本书 平放在桌面上，翻动收的封面，封
思考问题 . 生：平行
验，加深 理解 .通过
面边缘 AB 所在
师：问题 2 与问题 1 有什 讨 论 ， 培
直 线 与 桌 面所 在 平 面 具 有什
么区别？
养学生分
生：问题 2 增加了条件： 析 问 题 的
么样的位置关系？
平面外 . 直线平行于平面内直 能力 .