天津市郊县六校2016届高三上学期期中联考数学文试卷
【数学】2016-2017年天津市六校联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．22．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12D．244．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．（5分）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．11．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•=．12．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．13．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小．14．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．18．（13分）已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）20．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．2016-2017学年天津市六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2【解答】解：∵z=====1+2i，∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．故选：D．2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．（5分）某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4 B．8 C．12D．24【解答】解：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为6，斜边上的高为2，底面三角形面积为：S=，三棱锥的高是h==2，它的体积v==××6×=4，故选：A．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA 上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣【解答】解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．5．（5分）设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若=（n∈N*），则=（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质和求和公式可得：=====．故选：C．6．（5分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．设a=f（），b=f（），c=f（）则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=log x．∴a=f（）=f（﹣）=﹣f（）∈（﹣1，0），b=f（）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，c=f（）=f（）=1；∴b＜a＜c，故选：B．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0） C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：由f（x）=x﹣sinx，可得f'（x）=1﹣cosx≥0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，由f（﹣4t）＞f（2mt2+m），可得﹣4t＞2mt2+m，即2mt2+4t+m＜0，当m=0时，不等式不恒成立；当m≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m∈（﹣∞，﹣），故选：A．8．（5分）设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．解得：x=+，（k∈Z）．∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，∴＜+＜，（k∈Z），解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．由题意：ω∈N*且ω≤15，当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，即5，8，9，11，12，13；14，15．故选：C．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f（x）=x•e x在极值点处的切线方程为y=﹣．【解答】解：函数f（x）=x•e x的导数为f′（x）=e x+xe x，由f′（x）=0，可得x=﹣1，当x＞﹣1时，f′（x）＞0；当x＜﹣1时，f′（x）＜0．可得x=﹣1为极小值点，极值为﹣．在极值点处的切线斜率为0．可得在极值点处的切线方程为y+=0，即为y=﹣．故答案为：y=﹣．10．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若a5+2a10=0，则的值是．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），由a5+2a10=0，得，∵a1≠0，∴．则===．故答案为：．11．（5分）在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D为BC边上的点，且•=0，若=，则（+）•=8．【解答】解：∵•=0∴AD⊥BC又∵AB=AC=4，∠BAC=120°∴D为BC的中点，且∠BAD=60°，AD=2∴（+）•=2•==2×4×cos60°+22=8故填空：8．12．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9．【解答】解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：913．（5分）在正三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小90°．【解答】解：如图，取A1B1的中点D，连接BD，C1D若，B 1A⊥BD，B1A⊥C1D，BD∩C1D=D∴B1A⊥面C1DB，而C1B⊂面C1DB∴B1A⊥C1B，故答案为90°14．（5分）设0＜a≤1，函数f（x）=x+﹣1，g（x）=x﹣2lnx，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是[2﹣2ln2，1] ．【解答】解：求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，2]，g′（x）＜0，x∈（2，e]，g′（x）＞0，∴g（x）min=g（2）=2﹣2ln2，令f'（x）=0，∵0＜a＜1，x=±，当0＜a≤1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f（1）=a≥2﹣2ln2，∴2﹣2ln2≤a≤1，故答案为[2﹣2ln2，1]．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f（x）=sin（2x﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤kπ+，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，kπ+]，k∈Z；（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2x﹣）=1，∴2C﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA代入得：b=3a，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a2﹣7=3a2，解得：a=1，则b=3．16．（13分）福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？【解答】解：设每月调进空调和冰箱分别为x，y台，总利润为z（百元）则由题意得目标函数是z=6x+8y，即y=x+平移直线y=x，当直线过P点时，z取最大值由得P点坐标为P（4，9）将（4，）代入得z max=6×4+8×9=96（百元）即空调和冰箱每月分别调进4台和9台是商场获得的总利润最大，总利润最大值为9600元17．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，∴S===2，△BCM===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM18．（13分）已知单调递增的等比数列{a n}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n•log2a n，其前n项和为S n，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n ≥2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的{a n}首项为a1，公比为q．由题意可知：，解得：或，∵数列为单调递增的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）b n=a n•log2a n =n•2n，∴S n=b1+b2+…+b n=1•21+2•22+…+n•2n，①2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2，若（n﹣1）2≤m（S n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）•2n+1+2﹣n﹣1]=m[（n﹣1）•2n+1+1﹣n]对于n≥2恒成立，即=对于n≥2恒成立，∵=，∴数列{}为递减数列，则当n=2时，的最大值为．∴m≥．则实数m得取值范围为[，+∞）．19．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值；（3）证明：（n∈N，n＞1）【解答】解：（1）f'（x）=当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）递减；当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）递减，∵f（1）=0∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，当a＞0时，x∈（0，a）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（a+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）max=f（a）=alna﹣a+1令g（a）=alna﹣a+1∴g'（a）=lna∴g（a）的最小值为g（1）=0∴alna﹣a+1≤0的解为a=1；（3）由（2）知：lnx＜x﹣1 x＞1∵=＜=∴++…+＜++…+=．20．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=8，S4=40．数列{b n}的前n 项和为T n，且T n﹣2b n+3=0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和P n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n=4n，∵T n﹣2b n+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3=0，两式相减，得b n=2b n﹣1，（n≥2）则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n 为偶数时，P n =（a 1+a 3+…+a n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b n ）=．当n 为奇数时， n=1时，P 1=c 1=a 1=4，（法一）n ﹣1为偶数，P n =P n ﹣1+c n =2（n ﹣1）+1+（n ﹣1）2﹣2+4n=2n +n 2+2n ﹣1， （法二）P n =（a 1+a 3+…+a n ﹣2+a n ）+（b 2+b 4+…+b n ﹣1）=．∴．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xfxfx第21页（共21页）①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a ->，则()m f p =．x <O -=f (p) f(q) ()2b f a -0x x <O -=f(p)f (q) ()2b f a -0x。
2016年天津市蓟县高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞03．（5分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]4．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．5．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）6．（5分）曲线y=x2+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．9 C．10 D．157．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．10．（5分）若m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是．11．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．12．（5分）已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为．13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．14．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜（1）求tan2α的值；（2）求cosβ16．（13分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R．（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．①求f（x）的最小正周期和单调区间；②用五点法作出其简图；③求f（x）在区间[﹣，]上最大值和最小值．18．（13分）设函数f（x）=x．（1）求f（x）的极值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（1）求cosC；（2）若，且a+b=9，求c．20．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．2015-2016学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选：D．2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，故选：D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．[﹣4，1]B．[﹣4，0）C．（0，1]D．[﹣4，0）∪（0，1]【解答】解：由得﹣4≤x＜0或0＜x≤1，故选：D．4．（5分）已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故选：B．5．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）e x的，∴f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函数f（x）的递增区间是（2，+∞），故选：A．6．（5分）曲线y=x2+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（）A．﹣9 B．9 C．10 D．15【解答】解：∵y′=2x当x=1得f′（1）=2所以曲线在（1，12）处切线方程为y﹣12=2（x﹣1）即2x﹣y+10=0，令x=0可得y=10故选：C．7．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴==﹣又∵AM=1∴=∴=﹣故选：A．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），即函数的周期是8，则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），f（80）=f（0），f（﹣25）=f（﹣1），∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），故选：A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根据正弦定理得：=，则AB===．故答案为：10．（5分）若m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是．【解答】解：令m=cosα，n=sinα，x=cosβ，y=sinβ，则mx+ny=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）≤，当cos（α﹣β）=1时，取得最大值．故答案为：．11．（5分）已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．12．（5分）已知x，y∈R+，x+y=1，则+的最小值为3．【解答】解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：14．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜（1）求tan2α的值；（2）求cosβ【解答】解：（1）由cosα=，0＜α＜得：sinα=，从而tanα=4…（3分）∴tan2α==﹣…（7分）（2）由0＜β＜α＜得0＜α﹣β＜，∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）=…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=…（15分）16．（13分）已知函数f（x）=e x﹣kx，x∈R．（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f′（x）=e x﹣e．…2分令f′（x）=0 解得x=1，f′（x）与f（x）的关系如下表：故单调减区间为：（﹣∞，1），单调递增区间为：（1，+∞）…..6分当x=1时f（x）取得极小值为f（1）=0…..8分（Ⅱ）若f（x）在区间[0，2]上单调递增，则有在f′（x）=e x﹣k≥0上[0，2]恒成立，即k≤e x，…．…..10分而e x在[0，2]上的最小值为1，故k≤1…12分17．（13分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．①求f（x）的最小正周期和单调区间；②用五点法作出其简图；③求f（x）在区间[﹣，]上最大值和最小值．【解答】解：①f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．∴f（x）的最小正周期T==π．令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ．解得﹣+kπ≤x≤+kπ．令+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ．∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，+kπ]，减区间是[+kπ，+kπ]，k ∈Z．②列表：+）作出函数图象如图：③∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴当2x+=﹣时，f（x）取得最小值﹣1，当2x+=时，f（x）取得最大值2．18．（13分）设函数f（x）=x．（1）求f（x）的极值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x．可得f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2）令f′（x）=0解得x=1，x=2…..2分…..6分当x=1时，f（x）取得极大值为，当x=2时取得极小值为f（2）=2﹣a…..8分（2）由上表可知当f（2）＞0 或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根．解得a＜2 或a＞．…12分．19．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．（1）求cosC；（2）若，且a+b=9，求c．【解答】解：（1）∵，∴又∵sin2C+cos2C=1解得．∵tanC＞0，∴C是锐角．∴．（2）∵，∴，由（1）知ab=20．又∵a+b=9∴a2+2ab+b2=81．∴a2+b2=41．∴c2=a2+b2﹣2abcosC=36．∴c=6．20．（14分）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．（1）求a，b的值；（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；（3）证明：f（x）≤2x﹣2．【解答】解：（1）函数f（x）=x+ax2+blnx的导数为．由已知条件得，解得 a=﹣1，b=3．（2）f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）知f （x ）=x ﹣x 2+3lnx ．令 f′（x ）=0解得 ．当x=时，取得最大值；当x=e 时，取得最小值 f （e ）=e ﹣e 2+3．（3）设g （x ）=f （x ）﹣（2x ﹣2）=2﹣x ﹣x 2+3lnx ，，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0，当x ＞1时，g′（x ）＜0， 则g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减． 即有x=1处取得极大值，且为最大值0 故当x ＞0时，g （x ）≤0， 即f （x ）≤2x ﹣2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a aa M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。
天津2016届上学期期中郊县六校联考高三数学理科试卷(含答案)
天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学试卷（理）一、选择题（每小题5分，共40分．） 1. 设全集U=R,集合A={x|x 2-1<0},B={x|x(x-2)>0},则A∩(U ðB)= A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1} C.{x|0≤x<1} D.{x|-1<x<0} 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A.5B.10 C ．25 D ．10 3．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.794. 已知集合4{|log -1}A x x =<,{|2x B x =≤，命题p ：,23x x x A ∀∈<；命题q ：x B ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q5. 等比数列{}n a 中，01>a ，则“41a a <”是“53a a <” 的（ ） A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6. 已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f （﹣3），b=f （log 321），c=f （34），则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A DEA ．a ＜c ＜bB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a7. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，π2≤φ≤π的部分图象如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为8 B ．f (3)＝－12 C ．x ＝32是函数f (x )的一条对称轴D ．函数f (x )向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数8．已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ． [2,0]-B ．[4,0]-C ．[2,1]-D ． [4,1]- 二、填空题：每小题5分，共30分.9. 设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.10．已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，2312,21,3a a a 成等差数列，则1081311a a a a ++= . 11. 函数f （x ）=log a （2﹣ax 2）在（0，1）上为减函数，则实数a 的取值范围 .12．如图，在ABC ∆中，若2BE EA = ，2AD DC =，()DE CA BC λ=-，则实数13. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的结论:①f(x)的图象关于直线x=1对称;②f(x)是周期函数;③f(x)在[1,2]上是减函数;④f(x)在[0,1]上是增函数;⑤f(2)=f(0).其中正确结论的序号是________.14. 函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤)2()21()20(1612x x x x ，若关于x 的方程[f(x)]2+af （x ）+b=0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 . 三.解答题：本大题共6小题，共80分．15（本小题满分13分）已知函数f (x )＝sin(2ωx －π6)－4sin 2ωx ＋a (ω>0)，其图象的相邻两个最高点之间的距离为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设函数f (x )在[0，π2]上的最小值为－32，求函数f (x )(x ∈R )的值域． 16（本小题满分13分）等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件24,1,2,nnS n S == ， （1）求数列{}n a 的通项公式和n S ； （2）记12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17（本小题满分13分）ABC ∆中A,B,C 所对的边分别为a,b,c,)2cos ,2(cos ),2,1(2AA ==且1=⋅．（1）求A 的大小；（2）若322==+a c b 求ABC ∆的面积并判断ABC ∆的形状．18（本小题满分13分）数列{}n a 满足)(66,2211*+∈++==N n a a a a n n n ， 设)3(log 5+=n n a c ．（1）求证：{}n c 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设nn n n a a a b 61612+--=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：41-<n T ．19（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.20（本小题满分14分）已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，g (x )＝e x e x .(1)若函数f (x )在区间(0，12)上无零点，求实数a 的最小值；(2)若对任意给定的x 0∈(0，e]，在(0，e]上方程f (x )＝g (x 0)总存在两个不等的实根，求实数a 的取值范围．天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学(理)答题纸二、填空题：（每小题5分，共30分）9、10、11、12、13、14、三、解答题15题（本小题满分13分）16题（本小题满分13分）17题（本小题满分13分）18题（本小题满分13分）19题（本小题满分14分）20题（本小题满分14分）天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学(理)参考答案1-4：CBAC 5-8：ACDB9、4910、27 11、（1，2]12、1313、①②⑤14.)41,21(--15、解：(1)f(x)＝32sin2ωx－12cos2ωx－4×1－cos2ωx2＋a＝32sin2ωx＋32cos2ωx－2＋a＝3sin(2ωx ＋π3)＋a －2. …………3分由已知得函数f (x )的周期T ＝π，即2π2ω＝π，…………4分∴ω＝1，f (x )＝3sin(2x ＋π3)＋a －2. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得 k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z )．…………7分 (2)当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，…………8分 ∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. …………10分 这时f (x )的最小值为a －72.由已知得，a －72＝－32，∴a ＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π3)，……12分 ∴f (x )的值域为[－3，3]．…………13分 16.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d , 由24n n S S =得：1214a aa +=，…………2分 所以2133a a ==，且212d a a =-=，…………3分 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- …………4分2(121)2n n n S n +-==…………6分（2）由12n n n b a -=⋅，得1(21)2n n b n -=-⋅所以12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅ ， ……①…………7分231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ， …… ②………8分① -②得211222222(21)2n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅ …………9分212(1222)(21)21n nn -=++++--⋅- 2(12)(21)2112n n n -=--⋅--(23)23n n =--∙-…………12分∴(23)23n n T n =-∙+…………13分 17.（1） 1=⋅n m ，∴1cos cos 2cos 11cos 22cos 22cos 222=+=++-=+=⋅A A A A AA ，2分1cos 21cos -==∴A A 或, …… 4分 ),0(π∈A ,3π=∴A ． …… 6分（2）由题意知3=a ，)cos 1(2)(cos 22222A bc c b A bc c b a +-+=-+=,)3c o s 1(2)32()3(22π+-=∴bc ，3=∴bc ， …… 9分 43323321sin 21=⨯⨯==∴∆A bc S ABC , …… 11分由⎩⎨⎧==+332bc c b ，得3==c b ，3=a ，∴ABC ∆为等边三角形． ……… 13分18、解：（1）由2166,n n n a a a +=++得 515log (3)2log (3)n n a a +∴+=+，即 12n n C C +=，{}n C ∴是以２为公比的等比数列……………分4（2） 又15log 51C == 12n n C -∴=即 15log (3)2n n a -+=， 1235.n n a -∴+= 故125 3.n n a -=-…………… 分8 （3……………分13 19.(1) 函数()f x 的定义域为(1,)-+∞………………1分当14a =-时，21()ln(1)(1)4f x x x x =-++>- 11(2)(1)()212(1)x x f x x x x +-'=-+=-++ 解()0f x '>得11x -<<；解()0f x '<得1x >故()f x 的单调递增区间是(11)-，，单调递减区间是(1)+∞，………………3分（2）因为函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以1()201f x ax x '=+≤+对[1)x ∀∈+∞，恒成立即12(1)a x x ≤-+对[1)x ∀∈+∞，恒成立………………5分 22111111112(1)42()2(1)2222x x x -=-≥-=-++-+- 14a ∴≤-……………………7分 (3)因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()0f x x -≤恒成立， 即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设2()ln(1)(0)g x ax x x x =++-≥， 只需max ()0g x ≤即可 由1[2(21)]()2111x ax a g x ax x x +-'=+-=++ ①当0a =时，()1x g x x '=-+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0)+∞，上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立 …………………………………………………9分 ②当0a >时，令[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+， 解得0x =或112x a =- 1)当1102a -<，即12a >时，在区间(0)+∞，上()0g x '>，则函数()g x 在(0)+∞，上单调递增，故()g x 在[0)+∞，上无最大值，不合题设。
天津市六校2016届高三数学(理)上学期期末联考试题(含答案)
2015-2016学年度第一学期末六校联考高三数学(理)试卷第Ⅰ卷 选择题 (共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于.A M N ⋃ .B M N ⋂.C ()U C M N ⋂ .DM C N ⋂2.若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则y x z 2+=的最小值为.A 3 .B 4 .C 7 .D 2 3. 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A 2.B21.C 1 .D 1- 4. 如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为.A π 3.πB .C π22.D 2π5.在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，54cos =A ,2=b ,面积3=S ，则a 为 .A 53 .B 13 .C 21 .D 176. 给出下列命题：①若m b a ,,都是正数，且bam b m a >++，则b a <； ②若)('x f 是)(x f 的导函数，若0)(',≥∈∀x f R x ，则)2()1(f f <一定成立； ③命题"012,"2<+-∈∃x x R x 的否定是真命题；④“1||≤x ，且1|≤y |”是“2||≤+y x ”的充分不必要条件. 其中正确命题的序号是A.①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④(第4题图)7. 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 与抛物线)0(22>=p px y 的交点为A 、B ，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 .A 12+ .B 3 .C 2 .D 28. 已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()811f x x =--，且对任意的实数122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦（*N n ∈，且2n ≥），都有()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程|log |)(x x f a =有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为 A．B． C ．()2,10 D ．[]2,10第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上) 9.若复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则b =_____. 10.若n x x )13(32-展开式中各项系数和为128,则展开式中31x 系数是 . 11. 若函数2x y =与)0(>=k kx y 图象围成的阴影部分的面积29，则=k . 12.若某几何体的的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .13.圆O 中,弦,7,2==AC AB 则⋅的值为 . 14.已知实数c b a ,,满足0,222≠=+c c b a ,则ca b2-的取值范围是 .三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知函数1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f ωωω,且)(x f 的周期为2 . （Ⅰ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21x 时，求)(x f 的最值； （Ⅱ）若41)2(=παf ，求)32cos(απ-的值. (第12题图)正视图侧视图俯视图16. (本小题满分13分)在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a .公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn b a c 2=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．17. (本小题满分13分)如图,三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AC AB SA ===，AC ⊥AB ， D ，E 分别是AC ，BC 的中点， F 在SE 上，且2SF FE =． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面SBC ；（Ⅱ）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角G AF E --的大小为30︒？若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分)椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的焦距为4，且以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴，斜率为k 的直线l 经过点)1,0(M ，与椭圆C 交于不同两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 19. (本小题满分14分)已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+.（Ⅰ）若3112-=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11a +21a +…+na 13<. 20. (本小题满分14分)已知函数x ax x h ln 2)(+-= （Ⅰ）当1=a 时，求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程； （Ⅱ）令)(2)(2x h x a x f +=，已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且2121>⋅x x ，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的A SBEFD(第17题图)2015-2016学年度第一学期期末六校联考高三数学(理)答题纸二、填空题（每题5分，共40分）9.__________________.10.__________________.11.__________________.12._______________ . 13.__________________. 14.__________________. 三、解答题（共80分） 15.（本题13分）16.（本题13分）17.（本题13分）AS BCE F D18.（本题13分）19.（本题14分）20.（本题14分）2015-2016学年度第一学期期末六校联考高三数学(理)参考答案 一选择题(每小题5分): CABC BDBA 二填空题: (每小题5分) 9.32-. 10. 21 11.3 12.215+ 13. 23 14.]33,33[- 三解答题:15. (1）x x x f ωω2sin 32cos )(+=)62sin(2πω+=x ………………1分,2=T ∴ 2πω=………………2分)6sin(2)(ππ+=∴x x f ………………3分2121≤≤-x ππππ3263≤+≤-∴x 1)6sin(23≤+≤-∴ππx …………4分 2)6sin(23≤+≤-∴ππx ………………5分当21-=x 时,)(x f 有最小值3-,当31=x 时,)(x f 有最大值2. …………6分 （2）由41)2(=παf ，所以41)62sin(2)62sin(2=+=+∙παππαπ 所以81)62sin(=+πα----------------------------------8分而81)26sin()26(2cos )23cos(=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-απαππαπ--------------10分 所以1)23(c o s2)23(2c o s )32c o s (2--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-απαπαπ------------12分即32311)62(sin 2)32cos(2-=-+=-πααπ------------------------13分16.解：（Ⅰ）由,15,252==S a 得n a n =------------3分公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．所以n n b 23⋅=------------6分 （Ⅱ）n c ==．------------7分则．令．则．------------9分两式作差得：==．------------11分∴．故．------------13分17. （1）由2AC AB SA ===，AC AB ⊥，E 是BC的中点，得AE =因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥． ------------2分 在Rt SAE △中，SE =13EF SE ==． 因此2AE EF SE =⋅，又因为AEF AES ∠=∠，所以EFA EAS △∽△，则90AFE SAE ︒∠=∠=，即AF SE ⊥． ------4分因为SA ⊥底面ABC ，所以SA BC ⊥，又BC AE ⊥， 所以BC ⊥底面SAE ，则BC AF ⊥．又E BC SE =⋂，所以AF ⊥平面SBC ． --------------6分 (向量法请酌情给分)（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =()10(≤≤t以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直线坐标D xyz -，则(0,0,0)A ，(0,0,2)S ，(1,1,0)E ，(1,,0)G t ．由2SF FE =得222(,,)333F ．F 所以)0,1,1(=，)32,32,32(=AF ，)0,,1(t =设平面AFG 的法向量为),,(111z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323211111ty x z y x ，取1y =得)1,1,(--=t t m ．--------------9分 设平面AFE 的法向量为),,(222z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AF n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0032323222222y x z y x ，取1y =，即)0,1,1(-=．--------------11分 由二面角G AF E --的大小为30︒，得23||||30cos 0==n m ， 化简得22520t t -+=，又01t ≤≤，求得12t =． 于是满足条件的点G 存在，且12DG =． --------------13分18.解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………2分又以双曲线1422=-x y 的实轴为短轴 ∴b=2………………………… 4分∴标准方程为14822=+y x ………………………………………5分 （2）设直线l 方程：y=kx+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由⎪⎩⎪⎨⎧=++=148122y x kx y 得064)21(22=-++kx x k∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2216k+- ……………………7分由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ⋅＜0………………………………9分 ∴（x 1 -2）（x 2-2）+ y 1y 2＜0即x 1x 2-2（x 1+x 2）+4+k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＜0…………………… 10分 ∴222221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-⋅-++-⋅+＜0…………… 12分 ∴k ＜81……………………………………… 13分 19.解：（1）22122(1)n n n a a +=+-= 2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-212112121144334,1133n n n n n n a a b b a a +-+----===--…………………………3分1112.33b a =-=所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，124.3n n b -=⨯………5分（2）由（Ⅰ）可知1212112114(21)3333n n n n a b ---=+=⨯+=+，……………………7分 21212221212(1)(21)1(21).33n n n n n a a ---=+-=+-=- ………………8分所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)31(21).(21)3nn n n k a n k ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=-⎪⎩………………9分（3） ∴22122111212,2.3333n n n n a a --=⋅-=⋅+ 21221222121222122122121221212113321213(22)222213(22)3(22)222122n nn n n n n n n n n n n n n n n n na a ----------+=++-⨯+=⋅+--⨯+⨯+=≤⋅+-⋅ 21211322n n-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………………11分 当n ＝2k 时，1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223211(1)111122331222212k k -⎛⎫≤++++=⨯ ⎪⎝⎭-23332k =-<当n ＝2k －1时，1111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<1234212111111k k a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<3 ∴1 a 1 ＋1a 2 ＋…＋1 a n ＜3．…………14分 20．（1）xa x h 12)('+-= 1=a 时x x x h ln 2)(+-= x x h 12)('+-= 2ln 4)2(+-=h 23)2('-=h )(x h 在))2(,2(g 处的切线方程为0142ln 223=--+y x …3分（2）)0(1212)(2>+-=+-='x x ax ax x a ax x f0120)(2=+-⇔='ax ax x f ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆211204421212a x x x x a a ，所以21<<a ．…6分（3）由0122=+-ax ax ，解得aa a a x a a a a x -+=--=2221,， ∵21<<a ，∴2211112+<-+=a x ． 而)(x f 在),(2+∞x 上单调递增，∴)(x f 在]2,221[+上单调递增． …7分 ∴在]2,221[+上，2ln 2)2()(max +-==a f x f ． …8分 所以，“存在]2,221[0+∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 恒成立”等价于“不等式2ln 2)1()1()1ln(2ln 22++-->+++-a a m a a 恒成立”， 即，不等式012ln )1ln(2>+-+--+m a m a a 对任意的a （21<<a ）恒成立． …9分 令12ln )1ln()(2+-+--+=m a m a a a g ，则0)1(=g ．1221211)(2+---=--+='a a m a m a m a a a g ． …10分①当0≥m 时，0122)(2<+---='a a m a m a a g ，)(a g 在)2,1(上递减． 0)1()(=<g a g ，不合题意．②当0<m 时，1)211(2)(+++-='a m a m a a g ． 若)211(1m +-<，记)211,2min(mt --=，则)(a g 在),1(t 上递减． 在此区间上有0)1()(=<g a g ，不合题意． 因此有⎪⎩⎪⎨⎧≤--<12110m m ，解得41-≤m ，所以，实数m 的取值范围为]41,(--∞．…14分。
天津市滨海新区六所重点学校2016届高三联考数学试卷(文科) 含解析
2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（文科）一。
选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的。
1．已知全集U={0，1，2,3，4｝，集合A={1，2，3｝，B={2,4}，则(∁U A）∪B为(）A．{1，2，4}B．{2，3，4｝C．{0，2，3,4}D．｛0，2，4｝2．“x＜4”是“|x﹣2｜＜1"成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．阅读如图的程序框图,当程序运行后,输出S的值为（）A．57 B．119 C．120 D．2474．设实数p在[0，5]上随机地取值，使方程x2+px+1=0有实根的概率为（）A．0。
6 B．0。
5 C．0。
4 D．0。
35．若，则a，b,c大小关系为(）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c6．将y=sin2x+cos2x的图象向右平移个单位后，所得图象的解析式是（）A．y=sin2x﹣cos2x B．y=cos2x﹣sin2xC．y=cos2x+sin2x D．y=cosxsinx7．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为() A．4 B．C．D．8．设函数f(x）=｜2x﹣1|,函数g(x）=f（f（x））﹣log a（x+1),（a＞0，a≠1）在[0，1］上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为(）A．（1,) B．(1，2）C．(，2）D．(2，+∞）二。
填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.把答案填在答题纸的相应横线上. 9．已知i为虚数单位,复数z满足z（2﹣i）=5i，则z等于________．10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________cm311．如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B、C 两点，，则AC=________．12．已知各项不为0的等差数列{a n｝满足，数列｛b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11的值等于________．13．已知实数a，b满足a＞b，且ab=2，则的最小值是________．14．已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°，点E，F分别在边BC、DC 上，．若，则实数λ的值为________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲、乙原料数，每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示．产品所需原料原料A产品（1吨)B产品(1吨）现有原料（吨）甲原料（吨） 4 5 200 乙原料(吨) 3 10 300 利润（万元）7 12问:在现有原料下，A、B产品应各生产多少吨才能使利润总额最大？利润总额最大是多少万元?16．在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．(Ⅰ）求角C；(Ⅱ）若且sinA=2sinB，求△ABC的面积．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．(Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ)求证:CD⊥DE;（Ⅲ）求FC与平面ABCD所成角的正弦值．18．设数列｛a n｝的前n项的和为S n，点（n，S n）在函数f(x)=2x2的图象上,数列{b n｝满足：b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n)=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列｛a n}和{b n｝的通项公式;（Ⅱ）设，求证：数列{c n}的前n项的和（n∈N＊）．19．椭圆C: +=1（a＞b＞0）的左、右顶点的坐标分别为A（﹣2,0），B（2,0)，离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆C的两焦点分别为F1、F2，点P是椭圆C的上顶点，求△PF1F2内切圆方程；（Ⅲ）若直线l:y=k(x﹣1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点,求证：直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．20．已知函数f（x）=kx2，g（x）=lnx（Ⅰ）求函数的单调递增区间；(Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）求证：．2016年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一。
2016届天津市六校高三上学期期末联考语文试卷(带解析)
绝密★启用前2016届天津市六校高三上学期期末联考语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：108分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、依次填入下列序号处的标点符号，正确的一项是我国的石拱桥有悠久的历史①水经注②里提到的③旅人桥④大约建成于公元二八二年⑤可能是有记载的最早的石拱桥了⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ A 。
“ ” 《试卷第2页，共11页》 ， 。
B ，《 》 “ ” 。
！ C 。
《 》 “ ” ， 。
D ，“ ” “ ” 。
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2、下列各句中，没有语病的一句是A ．外交部发言人华春莹就2名日本人因间谍嫌疑被中方逮捕表示，中方有关部门正在依法对相关案件进行调查，有关情况已向日方进行了通报。
B ．屠呦呦表示，希望诺贝尔奖的到来能激励新机制的产生，让年轻人有一个更好的科研环境，来充分发挥他们的能力，创造出更多的科研成果。
C ．专家调查表明，越是经济发达和比较开放的民族，如白族、壮族、纳西族等，人口受教育程度越高，使用双语的人数也很高。
D．青年旅行社的导游给我们详细地介绍了阿坝州的风景名胜，羌、藏民族的历史变迁、民风民俗、饮食习惯和服饰特点等。
3、选出填入句子划线处最恰当的一组词语（1）林丰正在致辞中说道：“非常感谢各位专家的有关闽南文化研究的书籍，希望能同大家一起共同探讨闽南文化的丰厚底蕴。
”（2）伟大的思想对有思想的心灵有意义，伟大的行动能够造福所有人类。
（3）在新的环境下，我们对于行情的理解也要变化，不能，用旧的思维模式来指导自己的操作。
（4）“__________”，在北美的沙漠中，我是一株水土不服的故园里的橘树，我的诗篇不过是些苦涩的果实。
20多年的怀乡梦，终于在1975年的夏天变成事实”A．惠赠只/而墨守成规胡马依北风，越鸟巢南枝B．敬赠只/而固步自封羁鸟恋旧林，池鱼思故渊C．惠赠不只/而且墨守成规胡马依北风，越鸟巢南枝D．敬赠不只/而且固步自封羁鸟恋旧林，池鱼思故渊4、选出下列词语字形完全正确的一组A．绪论坐落赔不是陈言务去知书达理B．惊蛰博得谐奏曲故弄悬虚计日程功C．凑和扫描发祥地清泌肺腑阿谀曲从D．腹泄猩红笑嘻嘻绝不罢休启迪心智5、选出下列加横线字读音全部正确的一组A．哨卡（qiǎ）跂（qǐ）望准噶（gé）尔内外夹（jiá）攻B．棱（léng）柱坎坷（kě）一服（fù）药封妻荫（yìn）子C．着（zháo）装症（zhēng）结闷（mèn）葫芦间（jiàn）不容发D．相（xiàng）扑哈（hǎ）达应（yìng）用题风尘仆仆（pǔ）试卷第4页，共11页第II 卷（非选择题）二、作文（题型注释）6、阅读下面的文字，根据要求作文。
天津市六校(宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中
天津市六校（宝坻一中、静海一中、杨村一中、芦台一中、蓟县一中、四十七中）2017届高三数学上学期期中联考试题 文一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.复数31i z i+=-（其中i 为虚数单位）的虚部为( ) A ．1- B ．i - C ．2i D ．2 2.设变量,x y 满足条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数3z x y =+的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A．． C． D．4.如图，空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ===，，，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 中点，则MN =( )A ．121232a b c -+ B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 5.设,n n S T 分别是等差数列{},{}n n a b 的前n 项和，若*()21n n S n n N T n =∈+，则66a b =( ) A ．513 B ．919 C ．1123 D ．9236.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，12()l o g f x x =.设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =， 则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c << C. c b a << D ．c a b <<7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()s i n f x x x =-，若不等式2(4)(2)f t f m t m ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A．(,-∞ B．()C ．(),0(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞8.设*N ω∈且15ω≤，则使函数sin y x ω=在区间,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调的ω的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.函数()x f x x e =⋅在极值点处的切线方程为___________.10.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51020a a +=，则2010S S 的值为 . 11.在ABC △中，120BAC ∠=，4AB AC ==，D 为BC 边上的点，且0AD BC ⋅=，若3CE EB =，则()AB AC AE +⋅= . 12.设,x y 均为正数，且111112x y +=++，则xy 的最小值为 . 13.在正三棱柱111ABC A B C-中，1AB ==1AB 与1C B 所成角的大小为________．14．设01a <≤，函数()1,()2ln a f x x g x x x x=+-=-，若对任意的[]11,x e ∈，存在[]21,x e ∈都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是________．三．解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本题13分）已知函数()()21cos cos 0,R 2f x x x x x ωωωω=-->∈的图像上相邻两个最高点的距离为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若ABC ∆三个内角A B C ，，的对边分别为a bc ，，，且c =()0f C =，sin 3sin B A =，求a b ，的值. 16.（本题13分）某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：百元）问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？17.（本题13分）如图，四棱锥P A B C-中，PA ⊥平面,//,3,A B C D A D B C A B A D A C P A B C M =====为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．（1）证明：MN//PAB 平面；（2）求四面体N BCM -的体积．18.（本题13分）单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2l o g n n n b a a =⋅，其前n 项和为n S ，若2(1)(1)n n mS n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m的取值范围．19.（本题14分）已知函数)(1ln )(R a x x a x f ∈+-=.（1）求)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 在),0(+∞上恒成立，求所有实数a 的值；（3）证明：ln 2ln3ln 4ln (1)(,1)34514n n n n N n n -+++⋅⋅⋅+<∈>+.20.（本题14分） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24840a S ==，． 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且230n n T b -+=，N n *∈．（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数， 求{}n c 的前n 项和n P ．2016-2017学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷答题纸二．填空题（每小题5分，共30分）9. 10. 11. _________________12. 13. 14.__________________ 三．解答题（本大题共6小题，共80分）15. （本题13分）16. （本题13分）18. （本题13分）20. （本题14分）2016-2017学年度第一学期期中六校联考高三数学文科试卷参考答案一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.D2.C3.A4.B5.C6.B7.A8.C二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 10. 11. 8 12.9 13.90° 14.三．解答题（本大题共6小题，共80分）15.（本题13分）（1）由题意可得:又因为函数图像上相邻两个最高点的距离为所以有,令即：所以函数的单调增区间为：（2）由正弦定理得：又由余弦定理得：整理得：解得：16.（本题13分）解:设每月调进空调和冰箱分别为台，总利润为（百元）则由题意，得.............6分目标函数是，...........9分画图，得的交点是（百元） ..........12分答：空调和冰箱的月供应量为4台和9台，才能使商场获得的总利润最大，总利润的最大值为9600元 ...........13分17．（本题13分)（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即，又，即，故四边形为平行四边形，于是，..........3分因为平面平面，所以平面..........6分（2）因为平面为的中点，所以到平面的距离为，..........8分取的中点，连结，由得：，由得到的距离为，故，..........11分所以四面体的体积 ..........13分18．（本题13分）由题意可知：，又因为所以．，解得或（舍）∴ ..........4分（2）由（1）知，，①-②得..........7分若对于恒成立，则， ..........9分令，则当，..........11分当，单调递减，则的最大值为，..........12分故实数的取值范围为．..........13分19．（本题14分）（1）.当时，，∴减区间为，当时，由得，由得，∴递增区间为，递减区间为...........4分（2）由（1）知：当时，在上为减函数，而，∴在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，，令，依题意有，而，且，∴在上递减，在上递增，∴，故.....9分（3）由（2）知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立.令，则有，即，整理得，当时，分别有，叠加得，即得证. ..........14分20.解：（Ⅰ）由题意，，得．…………3分，，，两式相减，得数列为等比数列，．…………7分（Ⅱ）．当为偶数时，=．……10分当为奇数时，（法一）为偶数，……12分（法二）．……………12分……………14分。
2016年天津市六校联考高三文科上学期数学期中考试试卷
2016年天津市六校联考高三文科上学期数学期中考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 复数（其中为虚数单位）的虚部是A. B. C. D.2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为A. B. C. D.3. 某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. B. C. D.4. 已知四面体，，，，点在棱上，，为中点，则A. B.C. D.5. 设，分别是等差数列，的前项和，若，则A. B. C. D.6. 已知是周期为的奇函数，当时，．设，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.7. 已知定义在上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是A. B.C. D.8. 设且，则使函数在区间上不单调的的个数是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 函数在其极值点处的切线方程为．10. 设是等比数列的前项和，若，则的值是．11. 在中，，，为边上的点，且，若，则．12. 设，均为正数，且，则的最小值为．13. 在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为．14. 设，函数，，若对任意的，存在都有成立，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为．（1）求函数的单调递增区间；（2）若三个内角，，的对边分别为，，，且．，，求，的值．16. 福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大?总利润的最大值为多少元?17. 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明： 平面；（2）求四面体的体积．18. 已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项.（1）求数列的通项公式．（2）设，其前和为，若对于恒成立，求实数的取值范围．19. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；（3）证明：．20. 等差数列的前项和为，且，．数列的前项和为，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）设为奇数为偶数，求数列的前项和．答案第一部分1. D 【解析】因为，所以复数（其中为虚数单位）的虚部是．2. B3. A 【解析】由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是一个直角三角形，斜边为，斜边上的高为，底面三角形面积为：，三棱锥的高是，它的体积．4. B 【解析】连接，如图所示，四面体中，，，，点在棱上，，所以，又为中点，所以；所以．5. C【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：．6. B 【解析】因为是周期为的奇函数，当时，．所以，，；所以．7. A 【解析】因为定义在上的奇函数满足：当时，，所以，且，即函数在上为增函数，因为是奇函数，所以函数在上也是增函数，即函数在上为增函数，则不等式等价为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，若，则不等式等价为，即，不满足条件，若，则要使对任意实数恒成立，则即得．8. C 【解析】根据正弦函数图象及性质：对称轴方程为．解得：．因为函数在区间上不单调，所以，解得：．由题意：且，当时，，此时没有正整数可取；当时，，此时可以取：；当时，，此时可以取：，；当时，，此时可以取：，，；当时，，此时可以取：，；所以且，在区间上不单调时，可以取个数，即，，，，，，，．第二部分9.【解析】因为，所以函数的极值点为，相应的极值为．所以函数在其极值点处的切线方程为．10.【解析】设等比数列的公比为，由，得，因为，所以，则11.【解析】因为，所以，又因为，，所以为的中点，且，，所以12.【解析】因为，均为正数，且，所以，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号．13.【解析】如图，取的中点，连接，，若，，，，面，所以面，而面，所以．14.【解析】由，可得，，，，，所以，由得：，令，因为，，当，在上单调增，所以，所以．第三部分15. （1）由题意可得又因为函数图象上相邻两个最高点的距离为，所以有，所以，所以令，，即，，即所以的单调递增区间为．（2）由（1）知，即，因为，所以，所以．由正弦定理得，可得，又，所以，由余弦定理可得整理可得解得16. 解：设每月调进空调和冰箱分别为，台，总利润为（百元），则由题意得即目标函数是，即，平移直线，当直线过点时，取最大值由得点坐标为．将代入得（百元），即空调和冰箱每月分别调进台和台时商场获得的总利润最大，总利润最大值为元．17. （1）由已知条件，得．取的中点，连接，．因为为的中点，所以，，所以．又，所以，且，故四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以 平面．（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为．取的中点，连接．因为，所以，．因为，所以点到的距离为，故．所以四面体的体积．18. （1）设单调递增的等比数列的公比为，因为是，的等差中项，所以，即，又，即，所以（舍去）或，所以，所以 .（2）由（1）知，所以 .所以得所以，，恒成立.所以，恒成立，所以，恒成立.令（），因为又因为，所以，所以，所以数列是递减数列，所以 .所以 .19. （1），，当时，，递减；当时，时，，递增；时，，递减．（2）由（）知，当时，递减，因为，所以在上不恒成立，当时，时，，递增；时，，递减；所以，令，所以，所以的最小值为，所以的解为．（3）由（）知：，当时，，故，因为，所以．20. （1）由题意，得所以．，当时，，当时，，，相减得，，得，所以的通项公式为．（2）为奇数为偶数．当为偶数时，当为奇数时，（法一）为偶数，．（法二）．所以，为偶数为奇数．。
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷 【答案版】
2015~2016学年天津高三上学期理科六校联考期中数学试卷未分组选择爱智康1.A. B. C. D.答 案解 析原 文设全集，集合，，则（）．B ，或，，∴．故选．1.【答案】BU =R A ={x −1<0}∣∣x 2B ={x |x (x −2)⩾0}A ∩(B )=∁U {x |0<x <2}{x |0<x <1}{x |0⩽x <1}{x |−1<x <0}A ={x |−1<x <1}B ={x |x ⩾2x ⩽0}B ={x |0<x <2}∁U A ∩B ={x |0<x <1}∁U B 2.A. B. C. D.答 案解 析设，，向量，，且，，则（）．B ∵向量，，且，，则有，，解得， ，故．故有．故选x y ∈R =(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c |+|=a b 5√10−−√25√10=(x ,1)a =(1,y )b =(2,−4)c ⊥a c //b c 2x −4=0−4−2y =0x =2y =−2+=(3,−1)a b |+|==a b 9+1−−−−√10−−√爱智康原 文2.【答案】B3.A. B. C. D.答 案解 析原 文设，则（）．A 由，两边平方得：，即，则．故选．3.【答案】Asin (+θ)=π413sin 2θ=−79−191979sin (+θ)=sin cos θ+cos sin θ=(sin θ+cos θ)=π4π4π42√2131+2sin θcos θ=292sin θcos θ=−79sin 2θ=2sin θcos θ=−79A 4.A. B. C. D.答 案解 析已知集合，，命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（ ）．C ∵，∴命题，为真命题；∵，令，．A ={x |lo x <−1}g 4B ={x |⩽}2x 2√p :∀x ∈A <2x 3x q :∃x ∈B =1−x 3x 2p ∧q ¬p ∧q p ∧¬q ¬p ∧¬qA ={x |lo x <−1}={x 0<x <}g 4∣∣∣14p :∀x ∈A <2x 3x B ={x |⩽}={x x ⩽}2x 2√∣∣∣12f (x )=+−1x 3x 2(x )=3+2x f ′x 2爱智康原 文 在，上为增函数，在上为减函数．又，，∴当时，，即命题，为假命题．∴为真命题．故选．4.【答案】C f (x )(−∞,−)23(0,)12(−,0)23f (−)=−<0232327f ()=−<01258x ⩽12f (x )<0q :∃x ∈R =1−x 3x 2p ∧¬q C 5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答 案解 析等比数列中，，则“”是“”的（）．A在等比数列中设公比为，则由，得，∵，∴，即．由“”得，即，∴或．∴“”是“”的充分不必要条件．故选．{}a n >0a 1<a 1a 4<a 3a 5q <a 1a 4<a 1a 1q 3>0a 1>1q 3q >1<a 3a 5<a 1q 2a 1q 4>1q 2q >1q <−1<a 1a 4<a 3a 5A原 文5.【答案】A6.A. B. C. D.答 案解 析原 文已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则、、的大小关系是（ ）．C ，，，∵，，∴．∵在上是增函数，∴，故选．6.【答案】Cf (x )R (0,+∞)a =f (−)3√b =f ()log 312c =f ()43a b c a <c <b b <a <c b <c <a c <b <aa =f (−)=f ()3√3√b =f ()=f (2)log 312log 3c =f ()430<2<1log 31<<433√>>23√43log 3f (x )(0,+∞)a >c >b C 7.A.B.C.D.函数的部分图象如图所示，其中，两点之间的距离为，那么下列说法正确的是（）．函数的最小正周期为 是函数的一条对称轴函数向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数f (x )=2sin (ωx +φ)A B 5f (x )8f (3)=−12x =32f (x )f (x )答 案解 析原 文D 设两点的水平距离为，则，解得，∴函数的最小正周期为，故错误．由周期为可得，可得，代入点可得，可取，∴，∴，故错误；令可得，，令可得，故错误；又向右平移一个单位长度后所得的函数为 为偶函数，故正确．故选．7.【答案】DAB d +=d 24252d =33×2=6A 6ω=π3f (x )=2sin (x +φ)π3(0,1)1=2sin φφ=5π6f (x )=2sin (x +)π35π6f (3)=−1B x +=kπ+π35π6π2x =3k −1k ∈Z 3k −1=32k =∉Z 152C f (x )=2sin (x +)π35π6y =2sin (x −+)=2sin (x +)=2cos x π3π35π6π3π2π3D D 8.A. B. C. D.答 案解 析已知函数，若恒成立，则的取值范围是（）．C 当时，恒成立，则此时．当时，的取值为，，f (x )={−+2x ,x ⩽0x 2ln(x +1),x >0|f (x )|⩾ax −1a [−2,0][−2,1][−4,0][−4,1]x >0ln(x +1)>0a ⩽0x ⩽0−+2x x 2(−∞,0]|f (x )|=−2x x 2填空原 文，时，左边右边，取任意值都成立．时，有即，综上，的取值为．故选．8.【答案】C−2x ⩾ax −1(x ⩽0)x 2x =0>a x <0a ⩾x +−21xa ⩾−4a [−4,0]C 9.答 案解 析原 文设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则．由已知得，所以，所以．9.【答案】a >0y =x √x =a y =0a 2a =49S ====∫a0x √23x 32|a 023a 32a 2=a 1223a =494910.答 案解 析已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则．设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，∴，即．解得，或（舍去），{}a n 3a 112a 32a 2=+a 11a 13+a 8a 1027{}a n q 3a 112a 32a 2=3+2a 3a 1a 2=3+2q a 1q 2a 1a 1=3+2q q 2q =3q =−1原 文∴，故答案为．10.【答案】===27+a 11a 13+a 8a 10(+)a 8a 10q 3+a 8a 10q 3272711.答 案解 析原 文函数在上为减函数，则实数的取值范围．由题意可得，故函数在上为减函数，且，再根据在上为减函数，故有，求得，故答案为．11.【答案】f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1)a (1,2]a >0t =2−ax 2(0,1)t >0f (x )=lo (2−a )g a x 2(0,1){a >12−a ×1⩾01<a ⩽2(1,2](1,2]12.答 案解 析如图，在中，若，，，则实数．∵，，∴△ABC =2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−=λ(−)DE −→−CA −→−BC −→−λ=13=2BE −→−EA −→−=2AD −→−DC −→−原 文，，∵， ，∴，故答案为．12.【答案】=AE −→−13AB −→−=AD −→−23AC −→−=−=−DE −→−AE −→−AD −→−13AB −→−23AC −→−=λ(−)=λ(−−)=λ−2λDE −→−CA −→−BC −→−AC +AB −→−−−−−AC −→−AB −→−AC −→−λ=13131313.答 案解 析定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，给出下列关于的判断：①是周期函数；②关于直线对称；③在上是增函数；④在上是减函数；⑤．其中正确的序号是 ．①②⑤∵定义在上的偶函数满足，∴，∴是周期为的函数，则①正确．又∵，∴的图象关于对称，②正确，R f (x )f (x +1)=−f (x )[−1,0]f (x )f (x )f (x )x =1f (x )[0,1]f (x )[1,2]f (2)=f (0)R f (x )f (x +1)=−f (x )f (x )=−f (x +1)=−[−f (x +1+1)]=f (x +2)f (x )2f (x +2)=f (x )=f (−x )y =f (x )x =1原 文为偶函数且在上是增函数，∴在上是减函数，又∵对称轴为．∴在上为增函数，，故③④错误，⑤正确．故答案应为①②⑤．13.【答案】①②⑤f (x )[−1,0]f (x )[0,1]x =1f (x )[1,2]f (2)=f (0)14.答 案解 析已知函数是定义域为的偶函数．当时，，若关于的方程，， 有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是．依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值．要使关于的方程，，有且只有个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（），且，此时，则．y =f (x )R x ⩾0f (x )={(0⩽x ⩽2)516x 2+1(x >2)()12x x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6a (−,−)∪(−,−1)529494f (x )(−∞,−2)(0,2)(2,0)(2,+∞)x =±254x =00x +af (x )+b =0[f (x )]2a b ∈R 6t =f (x )+at +b =0t 2t 1t 21=t 154∈(1,)t 254−a =+t 1t 2a ∈(−,−)5294解答原 文），，此时同理可得，综上可得的范围是．故答案为．14.【答案】2∈(0,1]t 1∈(1,)t 254a ∈(−,−1)94a (−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)529494(−,−)∪(−,−1)52949415.（1）答 案解 析（2）答 案解 析已知函数，，其图象的相邻两个最高点之间的距离为．求函数的单调递增区间．． ．由已知得函数的周期即，所以，．由，得∴的单调增区间为：． 在区间上的最小值为，求函数，的值域． ．当f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2(ω>0)πf (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )=sin (2ωx −)−4ωx +a π6sin 2=sin 2ωx −cos 2ωx −4×+a 3√2121−cos 2ωx 2=sin 2ωx +cos 2ωx −2+a 3√232=sin (2ωx +)−2+a 3√π3f (x )T =π=π2π2ωω=1f (x )=sin (2x +)−2+a 3√π3−+2kπ⩽2x +⩽+2kπ(k ∈Z )π2π3π2−+kπ⩽x ⩽+kπ(k ∈Z )5π12π12f (x )[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12f (x )[0,]π2−32f (x )x ∈R [−,]3√3√原 文时，，，这时 的最小值为：，由已知得，，，所以函数，函数f的值域．15.【答案】（1） ．（2） ．x ∈[0,]π2⩽2x +⩽π3π34π3sin (2ωx +)∈[−,1]π33√2f (x )a −72a −=−7232a =2f (x )=sin (2x +)3√π3(x ∈R )(x )[−,]3√3√[−+kπ,+kπ](k ∈Z )5π12π12[−,]3√3√16.（1）答 案解 析（2）答 案解 析在等差数列中，，前项和满足条件，，，，求数列的通项公式和．，．设等数列的公差为，由得：，所以，，∴是以为首项，为公差的等差数列，∴，，故，．记，求数列的前项和．．由，得，，①，②②{}a n =1a 1n S n =4S 2n S nn =12⋯{}a n S n =2n −1a n =S n n 2{}a n d =4S 2n S n=4+a 2a 1a 1=3a 2d =−=2a 2a 1{}a n 12=1+2(n −1)=2n −1a n ===S n (+)⋅n a 1a n 2(1+2n −1)⋅n 2n 2=2n −1a n =S n n 2=⋅b n a n 2n −1{}b n n T n =(2n −3)⋅+3T n 2n =⋅b n a n 2n −1=(2n −1)⋅b n 2n −1=1+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 21222n −22n −12=2+3⋅+5⋅+⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅T n 22232n −12n原 文①得： ．故．16.【答案】（1） ，．（2） ．−=−1−2×−2×⋯−2×+(2n −1)⋅T n 21222n −12n=−1−2(++⋯+)+(2n −1)⋅21222n −12n=−1−2×+(2n −1)⋅2(1−)2n −11−22n =−1+4(1−)+(2n −1)⋅2n −12n=−1+4−2⋅+(2n −1)⋅2n 2n=3+(2n −3)⋅2n =(2n −3)⋅+3T n 2n =2n −1a n =S n n 2=(2n −3)⋅+3T n 2n 17.（1）答 案解 析（2）答 案解 析 中，，，所对的边分别为，，，,，且．求的大小． ．∵ ，，且，∴，∴或，∵，∴．若，求的面积并判断的形状．，为等边三角形．由题意知，∵ ，△ABC A B C a b c =(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n A A =π3=(1,2)m =(cos 2A ,)n cos 2A 2⋅=1m n ⋅=cos 2A +2=2A −1+1+cos A =2A +cos A =1m n cos 2A 2cos 2cos 2cos A =12cos A =−1A ∈(0,π)A =π3b +c =2a =23√△ABC △ABC =S △ABC 33√4△ABC a =3√=+−2bc cos A =−2bc (1+cos A )a 2b 2c 2(b +c )2原 文∴，∴，∴，由，得，∵，∴为等边三角形．17.【答案】（1） ．（2） ，为等边三角形．3=12−2bc (1+cos)π3bc =3=bc sin A =×3×=S △ABC 12123√233√4{b +c =3√bc =3b =c =3√a =3√△ABC A =π3=S △ABC 33√4△ABC 18.（1）答 案解 析（2）答 案解 析数列满足，．设，求证是等比数列．证明见解析．由，得，∴，即，∴是以为公比的等比数列．求数列的通项公式．．又，∴，即，∴{}a n =2a 1=+6+6(n ∈)a n +1a 2n a n N ∗=lo (+3)C n g 5a n {}C n =+6+6a n +1a 2n a n +3=a n +1(+3)a n 2lo (+3)=2lo (+3)g 5a n +1g 5a n =2C n +1C n {}C n 2{}a n =−3a n 52n −1=lo 5=1C 1g 5=C n 2n −1(+3)=log 5a n 2n −1（3）答 案解 析原 文．故 ．设，数列的前项和为，求证：．证明见解析．∵，∴．又，∴．18.【答案】（1）证明见解析．（2） ．（3）证明见解析．+3=a n 52n −1=−3a n 52n −1=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n{}b n n T n <−T n 14=−=−b n 1−6a n 1+6a 2n a n 1−6a n 1−6a n +1=−+−+⋯+−T n 1−6a 11−6a 21−6a 21−6a 31−6a n 1−6a n +1=−=−−1−6a 11−6a n +1141−952n >01−952n <−T n 14=−3a n 52n −119.（1）答 案解 析已知函数．当时，求函数的单调区间． 的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，，∴解得，解得．f (x )=a +ln(x +1)x 2a =−14f (x )f (x )(−1,1)(1,+∞)a =−14f (x )=−+ln(x +1)(x >−1)14x 2(x )=−x +=−f ′121x +1(x +2)(x −1)x +1(x )>0f ′−1<x <1(x )<0f ′x >1（2）答 案解 析（3）答 案解 析∴的单调递增区间是，单调递减区间是．若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围．．因为函数在区间上为减函数，∴对恒成立，即对恒成立．∴．当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．．∵当时，不等式恒成立，即恒成立，设，只需即可．由，①当时，，当时，，函数在上单调递减，∴成立②当时，令，∵f (x )(−1,1)(1,+∞)f (x )[1,+∞)a a ⩽−14f (x )[1,+∞)(x )=2ax +⩽0f ′1x +1∀x ∈[1,+∞)a ⩽−12x (x +1)∀x ∈[1,+∞)a ⩽−14x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a (−∞,0]x ∈[0,+∞)f (x )−x ⩽0a +ln(x +1)−x ⩽0x 2g (x )=a +ln(x +1)−x (x ⩾0)x 2g ⩽0(x )max (x )=2ax +−1=g ′1x +1x [2ax +(2a −1)]x +1a =0(x )=−g ′x x +1x >0(x )<0g ′g (x )(0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a >0(x )=0g ′原 文，∴解得． ）当，即时，在区间上，则函数在上单调递增，∴在上无最大值，不合题设．）当时，即时，在区间上．在区间上．∴函数 在区间上单调递减，在区间上单调递增，同样在无最大值，不满足条件．③当时，由，故，∴，∴函数在上单调递减，∴成立，综上所述，实数的取值范围是．19.【答案】（1） 的单调递增区间是，单调递减区间是．（2） ．（3） ．x ⩾0x =−112a 1−1<012a a >12(0,+∞)(x )>0g ′g (x )(0,+∞)g (x )[0,+∞)2−1⩾012a 0<a ⩽12(0,−1)12a(x )<0g ′(−1,+∞)12a(x )>0g ′g (x )(0,−1)12a (−1,+∞)12a g (x )[0,+∞)a <0x ⩾02ax +(2a −1)<0(x )=<0g ′x [2ax +(2a −1)]x +1g (x )[0,+∞)g (x )⩽g (0)=0a (−∞,0]f (x )(−1,1)(1,+∞)a ⩽−14(−∞,0]20.（1）答 案已知函数，．若函数在区间无零点，求实数的最小值． ．f (x )=(2−a )x −2(1+ln x )+ag (x )=e x e xf (x )(0,)12a =2−4ln2a min解 析（2）答 案解 析 ．令，；，，则，①当时，在上为增函数，在上为增函数，结合图象可知，若在无零点，则，即，∴，∴．②当时，在上，，，∴，∴在上无零点．由①②得．∴．若对任意给定的，在上方程总存在两个不等的实根，求实数的取值范围．． ，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．又因为，，，所以，函数在上的值域为．∵，∴．f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x m (x )=(2−a )(x −1)x >0h (x )=2ln x x >0f (x )=m (x )−h (x )a <2m (x )(0,)12h (x )(0,)12f (x )(0,)12m ()⩾h ()1212(2−a )×(−1)⩽2ln 1212a ⩾2−4ln22−4ln2⩽a <2a ⩾2(0,)12m (x )⩾0h (x )<0f (x )>0f (x )(0,)12a ⩾2−4ln2=2−4ln2a min ∈(0,e]x 0(0,e]f (x )=g ()x 0a a ∈(−∞,2−]3e −1(x )=−x =(1−x )g ′e 1−x e 1−x e 1−x x ∈(0,1)(x )>0g ′g (x )x ∈(1,e](x )<0g ′g (x )g (0)=0g (1)=1g (e)=>0e 2−e g (x )(0,e](0,1]f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x (x )=2−a −=f ′2x (2−a )x −2x原 文①当时，，∴在单调递减，且，不符合题意，②当时，令，，i）当时，即当时，，不符合题意．ii）时，即当时，令，则．令时，则，又∵当时，，∴要使在上总存在两个不相等的实根，需使即下证：当时，恒成立，设，，则，当时，，时，．∴．∴恒成立，又∵，∴．综上，得 ．20.【答案】（1） ．（2） ．a ⩾2(x )<0f ′f (x )(0,e]f (1)=0a <2(x )=0f ′x =22−a⩾e 22−a2−⩽a <22e (x )<0f ′<e 22−a a <2−2e (x )>0f ′<x <e 22−a (x )<0f ′0<x <22−ax ∈(0,)∩(0,)22−a e a −32f (x )=(2−a )(x −1)−2ln x >a −2−2ln =1e a −32f (x )=g ()x 0(0,e]{f ()⩽022−a f (e)⩾1{a +ln(2−a )−ln 2⩽012a ⩽2−3e−1a ⩽2−3e −1a +ln(2−a )−ln2⩽012t (x )=x +ln(2−x )−ln 212x ⩽2−3e −1(x )=+=t ′12−12−x x 2(x −2)x ∈(−∞,0)(x )⩾0t ′x ∈(0,2−)3e −1(x )<0t ′t (x )⩽t (0)=0a +ln(2−a )−ln2⩽0122−>2−2e 3e −1a ⩽2−3e −1a ∈(−∞,2−]3e −1=2−4ln2a min a ∈(−∞,2−]3e −1。
2016年天津市郊县六校联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年天津市郊县六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．32．（5分）命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）=ln，则函数f（x）的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5分）已知0＜a＜b＜1，e是自然对数的底数，则正确的是（）A．B．3b＜3a C．（lga）2＜（lgb）2D．log a3＞log b3 5．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．166．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）的导函数是f′（x），当x≠0，f′（x）+＞0，若a=2f（2），b=，比较a，b，c的大小（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c7．（5分）对函数f（x）=的表述错误的是（）A．最小正周期为πB．函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）C．f（x）在区间上递增D．点是f（x）的一个对称中心8．（5分）已知α，β是三次函数f（x）=+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的范围（）A ． B．（0，1） C ．D．（﹣1，0）二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x≤3}则A∪B=．10．（5分）已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为．11．（5分）已知a＞0，b＞0，b=，若y=3a+27b，则y的最小值．12．（5分）如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体的体积为．13．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=，，则的值为．14．（5分）已知f（x）=，若|f（x）|＞ax，在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．（13分）两种大小不同的钢板可按下表截成A，B，C三种规格成品：某建筑工地至少需A，B，C三种规格的成品分别为6，6，8块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用总钢板张数最小，最小值是多少？16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=8，b﹣c=2，cosA=﹣和sinB（Ⅰ）求△ABC的面积S△ABC（Ⅱ）的值．17．（13分）如图所示，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E、G、H分别是BC、C1D1、AA1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D1H与A1B所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG∥平面BB1D1D．18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值．20．（14分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n （3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．2015-2016学年天津市郊县六校联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵=i（a，b∈R），其中i为虚数单位，∴a+i=bi﹣2，∴a=﹣2，b=1．则a+b=﹣2+1=﹣1．故选：A．2．（5分）命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，则p是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵命题p：x＞4；命题q：4＜x＜10，∴q⇒p，反之不成立，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）函数f（x）=ln，则函数f（x）的零点所在区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：函数f（x）=ln在（0，+∞）上为增函数，又∵f（1）=ln﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）上有一个零点，故选：B．4．（5分）已知0＜a＜b＜1，e是自然对数的底数，则正确的是（）A．B．3b＜3a C．（lga）2＜（lgb）2D．log a3＞log b3【解答】解：∵0＜a＜b＜1，∴，3a＜3b，（lga）2＞（lgb）2，lga＜lgb＜0，可得即＞．故选：D．5．（5分）公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7则b6b8=（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：由等差数列的性质：2a3﹣a72+2a11=0得∵a72=2（a3+a11）=4a7∴a7=4或a7=0（舍去）∴b7=4∴b6b8=b72=16故选：D．6．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）的导函数是f′（x），当x≠0，f′（x）+＞0，若a=2f（2），b=，比较a，b，c的大小（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），因为当x≠0，f′（x）+＞0，所以，则当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上递增，因为，所以，则，即b＜c＜a，故选：C．7．（5分）对函数f（x）=的表述错误的是（）A．最小正周期为πB．函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）C．f（x）在区间上递增D．点是f（x）的一个对称中心【解答】解：函数f（x）===sin（2x+）．函数的周期为：π，A正确；函数y=sin2x向左平移个单位可得到f（x）=sin2（x+）=sin（2x+），B正确；由，可得，f（x）在区间上递增，C 正确；x=时，函数f（x）=1，点是f（x）的一个对称中心，不正确，D错误；故选：D．8．（5分）已知α，β是三次函数f（x）=+2bx的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则的范围（）A． B．（0，1） C．D．（﹣1，0）【解答】解：因为函数有两个极值，则f′（x）=0有两个不同的根，即△＞0，又f′（x）=x2+ax+2b，又α∈（0，1），β∈（1，2），所以有，即．的几何意义是指动点P（a，b）到定点A（1，1）两点斜率的取值范围，做出可行域如图，B（﹣1，0），D（﹣3，1）．由图象可知当直线经过AB时，斜率最大，此时斜率为k==，直线经过AD时，斜率最小，此时斜率为k=0，所以0＜＜．故选：A．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．（5分）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x≤3}则A∪B=（﹣1，3] ．【解答】解：集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣＜x＜2}=（﹣1，2），集合B={x|1＜x≤3}=（1，3]，∴A∪B=（﹣12，）∪（1，3]=（﹣1，3]．故答案为：（﹣1，3]．10．（5分）已知函数f（x）=那么不等式f（x）≥1的解集为（﹣∞，0]∪[3，+∞）．【解答】解：∵函数在x＞0时为增函数，且故当[3，+∞）时，f（x）≥1∵函数在x≤0时为减函数，又知=1，故当（﹣∞，0]时，f（x）≥1故答案为（﹣∞，0]∪[3，+∞）11．（5分）已知a＞0，b＞0，b=，若y=3a+27b，则y的最小值2．【解答】解：a＞0，b＞0，b=，即为a+3b=1，y=3a+27b≥2=2=2．当且仅当a=，b=时取得最小值2．故答案为：2．12．（5分）如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为2，底面三角形的边长为2，故底面面积S==3，故圆柱的体积V=2×3=6，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径R=×2×=1，故球的体积为：故组合体的体积为：，故答案为：13．（5分）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=，，则的值为．【解答】解：如图，，，=（）•=（）•=+==．故答案为：．14．（5分）已知f（x）=，若|f（x）|＞ax，在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（﹣2，0）．【解答】解：作出函数y=|f（x）|及y=ax的图象如图，由图可知，当x∈[﹣1，1]时，要使|f（x）|＞ax恒成立，则﹣2＜a＜0．故答案为：（﹣2，0）．三、解答题：（本大题6小题，共80分）15．（13分）两种大小不同的钢板可按下表截成A，B，C三种规格成品：某建筑工地至少需A，B，C三种规格的成品分别为6，6，8块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用总钢板张数最小，最小值是多少？【解答】解：设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y．约束条件为：，作出可行域如图所示：令z=0，作出直线l：y=﹣x，平行移动直线l，发现在可行域内，经过直线2x+y=6和直线x+2=6的交点A（2，2）可使z取最小z min=2+2=4．答：要截得所需三种规格的钢板，截第一种钢板和第二种钢板各自两张，使得所用张数最小，最小值是4张．16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=8，b﹣c=2，cosA=﹣和sinB（Ⅰ）求△ABC的面积S△ABC（Ⅱ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵由，可得，…（1分）∴由，可得：，…（3分）∴…（5分）∴由得…（7分）（Ⅱ）∵，…（11分）∴==．…（13分）17．（13分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、G、H分别是BC、C1D1、AA1、的中点．（Ⅰ）求异面直线D1H与A1B所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG∥平面BB1D1D．【解答】解：（Ⅰ）连接D1C和CH，∵A1D1B1C1BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠HD1C或其补角为异面直线D1H与A1B所成的角，…（3分）∴设正方形边长为2，则在△D 1HC中，，根据余弦定理，则异面直线D1H与A1B所成的角的余弦值为…（7分）（Ⅱ）证明连接BD与AC交于点O，连接D1O，OE，GE，∵，∴，∴四边形OEGD1是平行四边形，…（9分）∴，GE⊄面BB 1D1D，D1O⊂面BB1D1D∴EG∥面BB1D1D…（13分）18．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=5，S15=225．数列{b n}是等比数列，b3=a2+a3，b2b5=128（其中n=1，2，3，…）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列c n前n项和T n．【解答】解：（I）公差为d，则，∴故a n=2n﹣1（n=1，2，3，…）．设等比数列b n的公比为q，则，∴b3=8，q=2∴b n=b3•q n﹣3=2n（n=1，2，3，…）．（II）∵c n=（2n﹣1）•2n∵T n=2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n2T n=22+3•23+5•24+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1作差：﹣T n=2+23+24+25+…+2n+1﹣（2n﹣1）•2n+1==2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）•2n+1=2+2n+2﹣8﹣2n+2n+2n+1=﹣6﹣2n+1（2n﹣3）∴T N=（2n﹣3）•2n+1+6（n=1，2，3，…）．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值∴lna=a﹣1，解得a=1…（5分）（Ⅱ），于是有在（0，3]上恒成立，所以，当x0=1时，取最大值，所以；（Ⅲ）∵…（9分）①若，即，则当时，有f'（x）≥0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．②若，即，则函数f （x）在上单调递增，在上单调递减，∴．③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f （x）在上单调递减，则．综上得，当时，f（x）max=1﹣ea+a；当时，f（x）max=﹣lna﹣1+a；当a≥e时，．…（14分）20．（14分）已知数列{a n}中，a1=a，a2=2，数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=n （3a1+a n），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若T n是数列{b n}的前n项和，且对一切n∈N*都成立，求实数m取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2S n=n（3a1+a n），S1=a1=a，∴2a=4a，所以a=0．…..（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴．∴．=na n．∴（n﹣1）a n+1∴当n≥2时，．∴，…，，∴．∴a n=2（n﹣1），n≥2．∵a1=a=0满足上式，∴a n=2（n﹣1），n∈N*．…..（6分）（Ⅲ）当n≥2时，．…..（7分）又b1=2，∴T n=b1+b2+…+b n=…..（9分）==所以．…..（10分）因为对一切n∈N*都成立，即对一切n∈N*都成立．∴．…..（12分）∵，当且仅当，即n=1时等号成立．∴．∴∴．…..（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a x x x x x x <>==><<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
天津市六校2016-2017学年高二第二学期期中联考数学试卷文
2016-2017学年度第二学期期中六校联考高二数学(文)试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则AB = （ ） A ．}1{ B ．}4,1{C ．}2,1{D ． }2,1,0{ 2. 已知函数()f x 定义域为R, 命题p ：()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈--< 则p ⌝是( )A . ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈-->B ． ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∃∈--≥C. ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∀∈--≥D. ()121212,,()()()0x x R f x f x x x ∃∈--<3.设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“022<--x x ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4． 已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过点（ ）A ．(2,2)B ．．(1,2) D 5.已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则A.x y z <<B.z x y <<C. y z x <<D. z y x <<6.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有(2)()f x f x +=-，且当[0,2)x ∈时，2()l o g (1f x x =+），则(2015)(2018)f f +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知函数2()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为（ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3)8．设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若3x y a b ==，( ) A ．．二、填空题（填空题答案写在答题纸上，每题5分，共30分）9．计算复数：32i i -=+（i 为虚数单位） 10.数列{}n a 的第一项11a =，且nn n a a a +=+11(1,2,3...)n =，这个数列的通项公式n a = 11．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则不等式2)(≤x f 的解集是 12.若函数()|2|f x x a =+在区间),3[+∞上是增函数，则a 的取值范围是13．给出下列命题：①若0ab >，a b >，则11a b< ； ，则22b a >；③若a b >，c d >，则a c b d ->-；④对于正数.,,m b a 若b a <，则其中真命题的序号是：_________．14．已知偶函数()f x ，且当[]1 0x ∈-，时，()2f x x =，若在区间[]1 3-，内，函数()()()log 2a g x f x x =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（解答题要写出必要的推理证明过程或必要的语言叙述）15．（本题满分13分） 已知复数3()z bi b R =+∈，且(13)i z +⋅为纯虚数．（1）求复数z ；（2，求复数w 的模。
数学---天津市六校联考2016-2017学年高一(上)期中试卷(解析版)
天津市六校联考2016-2017学年高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共8小题，每题4分共32分）1．（4分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣32．（4分）设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤5}，B=x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则图中阴影表示的集合为（）A．{﹣1} B．{2} C．{3，4，5} D．{3，4}3．（4分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣3）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4且x≠3}C．{x|1≤x≤4且x≠3}D．{x|x≥4}4．（4分）已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（4分）设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（4分）函数y=2x-1+x﹣1的零点为x0，则x0∈（）A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）7．（4分）已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）8．（4分）已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），则x1的最小值为（）A．log23 B．log32 C．1 D．2二．填空题（本大题共6小题，每题4分共24分）9．（4分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B为．10．（4分）设函数f（x）=，则f（2）=．11．（4分）已知定义域为[a﹣4，2a﹣2]的奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2，则f（a）+f（b）的值为．12．（4分）若幂函数在（0，+∞）上是增函数，则m=．13．（4分）已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b=．14．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．三.解答题（本大题共5题）15．（12分）已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值范围．16．（12分）设集合A={x|（x﹣2m+1）（x﹣m+2）＜0}，B={x|1≤x+1≤4}．（1）若m=1，求A∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值集合．17．（13分）已知函数f（x）=+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，3）、（2，3）两点．（I）求a，b的值，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（II）证明：函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．18．（13分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一．选择题（本大题共8小题，每题4分共32分）1．C【解析】∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1∴a=﹣2故选C【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是由集合之间的关系得出参数所满足的方程或不等式，从而解同参数的取值范围，集合中参数的取值范围问题，是集合知识综合运用题，需要运用集合中的相关知识综合判断，正确转化，考查了推理判断能力及转化的思想2．A【解析】阴影部分为B∩（C R A），而A={x∈N|1≤x≤5}，B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴B∩（C R A）={x|x=﹣1}，故选A．【点评】本题考查集合的基本运算和韦恩图，真确理解韦恩图表达的集合是解决本题的关键．3．B【解析】要使f（x）有意义，则：；解得1＜x≤4，且x≠3；∴f（x）的定义域为{x|1＜x≤4，且x≠3}．故选B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的定义域，并清楚x0中的x≠0．4．B【解析】log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键．5．B【解析】∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=ln，由，求得﹣1＜x＜1，可得它的定义域为（﹣1，1）．再根据f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），可得它为奇函数．在（0，1）上，ln（1﹣x）是减函数，﹣ln（1+x）是减函数，故函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）是减函数，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．6．B【解析】设f（x）=2x﹣1+x﹣1，∵，，即，∴函数的零点．故选B．【点评】本题考查函数零点的存在性．掌握零点存在性定理并能运用是关键．属于基础题．7．C【解析】令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．8．B【解析】x≤0，f（x）≥1∵存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），∴﹣1≥1，∴≥2，∴x1≥log32，∴x1的最小值为log32．故选：B．【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．二．填空题（本大题共6小题，每题4分共24分）9．{﹣2，1，}【解析】集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则2a=，即有a=﹣2，b=．则A∪B={﹣2，1，}．故答案为：{﹣2，1，}．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集和并集的运算，考查运算能力，属于基础题．10．19【解析】函数f（x）=，∵2＜6，∴f（2）=f（2+3）=f（5）；又5＜6，∴f（5）=f（5+3）=f（8）；8＞6，∴f（8）=3×8﹣5=19．所以得f（2）=19．故答案为：19．【点评】本题考查了对函数的定义域和解析式的理解和带值计算能力．属于基础题．11．0【解析】根据奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[a﹣4，2a﹣2]，可得a﹣4+（2a﹣2）=0，求得a=2，故条件为奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[﹣2，2]，∴f（0）=b+2=0，求得b=﹣2，∴f（x）=2016x3﹣5x，∴f（a）+f（b）=f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查奇函数的定义和性质，属于基础题．12．﹣1【解析】∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴，解得m=﹣1．故答案为﹣1．【点评】熟练掌握幂函数的定义和单调性是解题的关键．13．或3【解析】当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．【点评】本题考查对数函数的性质以及分类讨论的思想方法．分类讨论函数的单调性是正确解决本题关键．属于易错题．14．1﹣2a【解析】∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3满足：log（1﹣x3）=﹣a，解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．【点评】本题考查了分段函数性质，图象以及应用，考查了函数的零点与函数的交点问题，属于中档题．三.解答题（本大题共5题）15．解（1）∵f（x）=+lg（3x﹣9）∴4﹣x≥0且3x﹣9＞0，即x≤4且x＞2，则A={x|2＜x≤4}（2）B={x|x﹣a＜0，a∈R}={x|x＜a}，由A∩B≠∅，因此a＞2，所以实数a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及并集及运算和子集的概念，属于基础题．16．解集合B={x|0≤x≤3}．…（1分）（1）若m=1，则A={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0≤x＜1}．…（4分）（2）当A=∅即m=﹣1时，A∩B=A；当A≠∅即m≠﹣1时，（ⅰ）当m＜﹣1时，A=（2m﹣1，m﹣2），要使得A∩B=A，A⊆B，只要，所以m的值不存在．（ii）当m＞﹣1时，A=（m﹣2，2m﹣1），要使得A∩B=A，A⊆B，只要，∴m=2．综上所述，m的取值集合是{﹣1，2}．【点评】本题考查集合的运算与关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．17．解（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过（1，3）、（2，3）两点∴，得a=2，b=1，∴函数解析，定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，又∵，∴函数f（x）是奇函数；（II）设任意的，且x1＜x2，∵=∵，∴x2﹣x1＞0，且2﹣x1x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间上单调递增．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性．判断奇偶性注意定义域要关于原点对称，这是必要条件；证明单调性问题关键是第二步作差，正确变形是关键．18．解（1）∵函数f（x）=（a＞0且a≠1），∴a=2时，，∵f（x）≤5，∴当x≤2时，﹣x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；当x＞2时，3+log2x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．综上，不等式f（x）＜5的解集为{x|1≤x≤4}．…（7分）（2）∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），∴当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，解得x≤2，∴x=2时，f（x）=﹣x+6=4；当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，当0＜a＜1时，x≤a，由x＞2，得a≥2，无解；当a＞1时，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．…（14分）【点评】本题考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的定义、对数的性质及运算法则、不等式性质的合理运用．19．解（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1⇒t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对∀a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0．【点评】本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．。
2016-2017学年天津市蓟县高三(上)期中数学试卷(文科)
2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1. 已知全集，集合，，则集合A. B.C. D.2. 不等式的解集是（）A.B.C.D.3. 设，则使函数的定义域是，且为奇函数的所有的值是（）A.，B.，C.，D.，，4. 已知，，则等于（）A. B. C. D.5. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程是（）A. B.C. D.6. 设，，，且，则（）A. B. C. D.7. 函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.8. 在中，，，则等于（）A. B. C. D.二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分1. 函数的值域为________．2. 函数的单调递增区间是________．3. 已知函数，的部分图象如图，则________．4. 已知，，，则的最小值是________．5. 已知集合，为整数集，则集合的子集个数为________．6. 如图，切圆于点，交圆于、两点，且与直径交于点，，，，则________．三.解答题：本大题共6道小题，共80分1. 在中，，，（1）求，，的值（2）设，求的面积．2. 已知函数在与时都取得极值．（1）求，的值；（2）函数的单调区间及极值．3. 设的内角，，所对边分别为，，，且，，．（1）求，的值；（2）求的值．4. 设的导数满足，，其中常数，．（1）求曲线；（2）设，求函数的极值．5. 设函数，其中．（1）当时，求曲线在点（）处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值．6. 已知函数在处取得极值，其中，，为常数．（1）试确定，的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．7. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数的图象与直线只有一个公共点，求实数的取值范围．8. 设函数，（1）求函数的单调区间；（2）若，求不等式的解集．参考答案与试题解析2016-2017学年天津市蓟县高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据交集的含义求、再根据补集的含义求解．【解答】解：，；所以，故选2.【答案】D【考点】其他不等式的解法【解析】将“不等式”转化为“不等式组”，有一元二次不等式的解法求解．【解答】解：依题意，不等式化为，解得，故选3.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】分别验证，，，知当或时，函数的定义域是且为奇函数．【解答】解：当时，的定义域是，且为奇函数；当时，函数的定义域是且为奇函数；当时，函数的定义域是且为非奇非偶函数．当时，函数的定义域是且为奇函数．故选．4. 【答案】A【考点】两角和与差的正切公式同角三角函数基本关系的运用【解析】先根据的值求出，然后根据两角和与差的正切公式可得答案．【解答】解：已知，则，∴，故选．5.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求的方程，根据已知条件中：“切线与直线垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．【解答】解：设与直线垂直的直线为：，即曲线在某一点处的导数为，而，∴在处导数为，将代入，得，故的方程为．故选．6.【答案】D【考点】不等式的概念【解析】对于、、可举出反例，对于利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：、，但是，故不正确；、，但是，故不正确；、，但是，故不正确；、∵，∴，成立，故正确．故选：．7.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】将选项中各区间两端点值代入，满足（，为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为，，所以零点在区间上，故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积的运算向量的加法及其几何意义【解析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【解答】解：∵，∴，∴故选．二．填空题：本大题共6道小题，每小题5分，共30分1.【答案】【考点】函数的值域【解析】由题意可知为分段函数，分别求出和时的函数值域求并即可；【解答】解：由题意知，当时，；当时，；综上所述，；故答案为：．2.【答案】，【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】由可求得，利用可求其递增区间．【解答】解：∵，∴，∴由得：或；∴的单调递增区间为，．故答案为：，．3.【答案】【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出，确定的值，根据求出的值，图象经过确定的值，求出函数的解析式，然后求出即可．【解答】解：由题意可知，所以，函数的解析式为：，因为函数过所以所以，图象经过，所以，，所以，所以则故答案为：4.【答案】【考点】基本不等式【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：∵，∴∴（当且仅当时等号成立）则的最小值是故答案为：．5.【答案】【考点】集合的表示法【解析】化简，从而确定子集的个数．【解答】解：∵集合，为整数集，∴，∴集合的子集个数为：．故答案是：．6.【答案】【考点】与圆有关的比例线段【解析】首先根据题中圆的相交弦定理得，再依据直角三角形的勾股定理用表示出，最后结合切割线定理求得一个关于线段的方程式，解此方程即可．【解答】解：如图，由相交弦定理可知，．在直角三角形中，设由切割线定理可知．故填：．三.解答题：本大题共6道小题，共80分1.【答案】解：，，．（2）由正弦定理知，∴，∴．【考点】正弦定理正弦定理的应用【解析】（1）根据，的值可分别求得，的值，继而根据利用两角和公式求得的值．（2）先根据正弦定理求得的值，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：，，．（2）由正弦定理知，∴，∴．2.【答案】解：（1）函数，，计算得出：，．（2）当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；当，，则在单调递增；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值．综上，在，上单调递增，上单调递减，极大值为，极小值为．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）首先对求导，与求出与值；（2）直接利用导函数判断原函数的单调性即可；【解答】解：（1）函数，，计算得出：，．（2）当，，则在上单调递增；当，，则在上单调递减；当，，则在单调递增；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值．综上，在，上单调递增，上单调递减，极大值为，极小值为．3.【答案】解：（1）∵①，，，∴由余弦定理得：，整理得：②，联立①②解得：；（2）∵，为三角形的内角，∴，∵，，，∴由正弦定理得：，∵，即，∴为锐角，∴，则．【考点】余弦定理同角三角函数间的基本关系两角和与差的正弦公式正弦定理【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，将与的值代入，利用完全平方公式变形，求出的值，与的值联立即可求出与的值即可；（2）先由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，再由，及的值，利用正弦定理求出的值，进而求出的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵①，，，∴由余弦定理得：，整理得：②，联立①②解得：；（2）∵，为三角形的内角，∴，∵，，，∴由正弦定理得：，∵，即，∴为锐角，∴，则．4.【答案】解：（1）由题意得，，∵，，∴，解得，，则；（2）由①得，，∴，∴，由得或，∴当时，；当或时，∴在上递增，在和上递减，即当时，取到极小值，当时，取到极大值．【考点】导数的运算法则【解析】（1）根据求导公式和法则求出，由条件列出方程组求出、的值，代入后求出；（2）由①求出并化简，根据求导公式和法则求出，求出的根后，由导数与函数单调性的关系求出的单调区间，由极值的定义求出函数的极值．【解答】解：（1）由题意得，，∵，，∴，解得，，则；（2）由①得，，∴，∴，由得或，∴当时，；当或时，∴在上递增，在和上递减，即当时，取到极小值，当时，取到极大值．5.【答案】解：（1）当时，∴，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，即（2）：对函数求导数，得，令，得，，或当，，当时，，当时，，当时，，∴函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值．当，，当时，，当时，，当时，．∴函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出曲线在点（）处的切线方程，（2）先求函数的导数，令导数等于，得到函数的极值点，再判断极值点两侧导数的正负，如果左侧导数为正，右侧导数为负，取得极大值，如果左侧导数为负，右侧导数为正，取得极小值．【解答】解：（1）当时，∴，∴，，∴曲线在点（）处的切线方程为，即（2）：对函数求导数，得，令，得，，或当，，当时，，当时，，当时，，∴函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值．当，，当时，，当时，，当时，．∴函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值．6.【答案】解：（1）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由知，令，解得当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（3）由知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为【考点】利用导数研究函数的极值函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）因为时函数取得极值得求出，然后令导函数求出即可；（2）解出导函数为时的值讨论的取值范围时导函数的正负决定的单调区间；（3）不等式恒成立即的极小值，求出的解集即可．【解答】解：（1）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（2）由知，令，解得当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为（3）由知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为7.【答案】解：（1）当时，令，解得或，令，解得所以的单调递增区间为，，的单调递减区间为（2）因为函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，即，则其图象与轴只有一个交点，，令，所以，，可列表：∴在处取得极小值，在取得极大值要使的其图象和轴只有一个交点，只需或，解得或【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）先求原函数的导数，根据求得的区间是单调增区间，求得的区间是单调减区间，即可；（2）将题中条件：“函数的图象与直线只有一个公共点，”等价于“的其图象和轴只有一个交点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使的其图象和轴只有一个交点，得到关于的不等关系，从而求实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，令，解得或，令，解得所以的单调递增区间为，，的单调递减区间为（2）因为函数的图象与直线只有一个公共点，所以方程只有一个解，即，则其图象与轴只有一个交点，，令，所以，，可列表：∴在处取得极小值，在取得极大值要使的其图象和轴只有一个交点，只需或，解得或8.【答案】解：（1）∵∴由，得，因为当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间是：单调减区间是（2）由，得：，故：当时，解集是：；当时，解集是：；当时，解集是：．【考点】函数的单调性及单调区间简单复合函数的导数不等式【解析】（1）对函数进行求导，当导数大于时是单调递增区间，当导数小于时是原函数的单调递减区间．（2）将代入不等式即可求解．【解答】解：（1）∵∴由，得，因为当时，；当时，；当时，；所以的单调增区间是：单调减区间是（2）由，得：，故：当时，解集是：；当时，解集是：；当时，解集是：．。
天津市2016届高三(上)数学(文)期末考试试卷
2015-2016学年度第一学期 高三数学（文）期末试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！ 参考公式：● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ． ● 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=．● 柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 锥体体积公式：13V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：24πR S =, 其中R 表示球体的半径． ● 球体体积公式：34π3V R =，其中R 表示球体的半径． ● 方差公式：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- 第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8题，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）i 是虚数单位，432ii+-=（A ）12-i（B ）12+i（C ）12-+i（D ） 12--i（2）已知集合{1,0,1,2,3}M =-和{|21}N x x k k ==-∈N ，，则M N =（A ）{}|13x x -≤≤（B ）{}3,1,1,3,5--(第6题图)（C ）{}1,1,3-（D ）{}1,1,3,5-（3）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，511a =，12186,S = 则8a =（A ）18 （B ）20（C ）21 （D ）22（4）执行程序框图，该程序运行后输出的k 的值是（A ）6（B ）5（C ）4 （D ）3（5）已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数k 值为（A ）13-（B ）119（C ）11 （D ） 19（6）一个俯视图为正方形的几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的体积为 （A ）2 （B ）43（C ）23 （D ）13（7）已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为(5,0)，则它的渐近线方程为（A ） 43y x =± （B）y x = （C ）23y x =± （D ）34y x =±（8）下列四个条件中，p 是q 的充要条件．．．．的是 （A ） :p a b >，22:q a b >（B ） 22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab < （C ） 2:0p ax bx c ++>，2:0c bq a x x-+> （D ）:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点第（4）题第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。
【精编】2016-2017年天津市六校联考高一(上)数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年天津市六校联考高一（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共8小题，每题4分共32分）1．（4分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣32．（4分）设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤5}，B=x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则图中阴影表示的集合为（）A．{﹣1}B．{2}C．{3，4，5}D．{3，4}3．（4分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣3）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4且x≠3} C．{x|1≤x≤4且x≠3} D．{x|x≥4} 4．（4分）已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．（4分）设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（4分）函数y=2x﹣1+x﹣1的零点为x0，则x0∈（）A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）7．（4分）已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）8．（4分）已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），则x1的最小值为（）A．log23 B．log32 C．1 D．2二．填空题（本大题共6小题，每题4分共24分）9．（4分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B为．10．（4分）设函数f（x）=，则f（2）=．11．（4分）已知定义域为[a﹣4，2a﹣2]的奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2，则f （a）+f（b）的值为．12．（4分）若幂函数在（0，+∞）上是增函数，则m=．13．（4分）已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b=．14．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．三.解答题（本大题共5题）15．（12分）已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x ﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值范围．16．（12分）设集合A={x|（x﹣2m+1）（x﹣m+2）＜0}，B={x|1≤x+1≤4}．（1）若m=1，求A∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值集合．17．（13分）已知函数f（x）=+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，3）、（2，3）两点．（I）求a，b的值，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（II）证明：函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．18．（13分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n ∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．2016-2017学年天津市六校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每题4分共32分）1．（4分）已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于（）A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+3}，且A⊆B，∴a+3=1∴a=﹣2故选：C．2．（4分）设全集U=R，A={x∈N|1≤x≤5}，B=x∈R|x2﹣x﹣2=0}，则图中阴影表示的集合为（）A．{﹣1}B．{2}C．{3，4，5}D．{3，4}【解答】解：阴影部分为B∩（C R A），而A={x∈N|1≤x≤5}，B={x∈R|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴B∩（C R A）={x|x=﹣1}，故选：A．3．（4分）函数f（x）=+lg（x﹣1）+（x﹣3）0的定义域为（）A．{x|1＜x≤4}B．{x|1＜x≤4且x≠3} C．{x|1≤x≤4且x≠3} D．{x|x≥4}【解答】解：要使f（x）有意义，则：；解得1＜x≤4，且x≠3；∴f（x）的定义域为{x|1＜x≤4，且x≠3}．故选：B．4．（4分）已知a=log0.60.5，b=ln0.5，c=0.60.5．则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log0.60.5＞1，ln0.5＜0，0＜0.60.5＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，故a＞c＞b，故选：B．5．（4分）设函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【解答】解：∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=ln，由，求得﹣1＜x＜1，可得它的定义域为（﹣1，1）．再根据f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x），可得它为奇函数．在（0，1）上，ln（1﹣x）是减函数，﹣ln（1+x）是减函数，故函数f（x）=ln （1﹣x）﹣ln（1+x）是减函数，故选：B．6．（4分）函数y=2x﹣1+x﹣1的零点为x0，则x0∈（）A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，）【解答】解：设f（x）=2x﹣1+x﹣1，∵，，即，∴函数的零点．故选：B．7．（4分）已知f（x）=log（x2﹣2x）的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【解答】解：令t=x2﹣2x＞0，求得x＜0，或x＞2，故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且f（x）=log（x2﹣2x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=x2﹣2x在定义域内的减区间为（﹣∞，0），故选：C．8．（4分）已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），则x1的最小值为（）A．log23 B．log32 C．1 D．2【解答】解：x≤0，f（x）≥1∵存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f（x1）=f（x2），∴﹣1≥1，∴≥2，∴x1≥log32，∴x1的最小值为log32．故选：B．二．填空题（本大题共6小题，每题4分共24分）9．（4分）已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B为{﹣2，1，} ．【解答】解：集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则2a=，即有a=﹣2，b=．则A∪B={﹣2，1，}．故答案为：{﹣2，1，}．10．（4分）设函数f（x）=，则f（2）=19．【解答】解：函数f（x）=，∵2＜6，∴f（2）=f（2+3）=f（5）；又5＜6，∴f（5）=f（5+3）=f（8）；8＞6，∴f（8）=3×8﹣5=19．所以得f（2）=19．故答案为：19．11．（4分）已知定义域为[a﹣4，2a﹣2]的奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2，则f （a）+f（b）的值为0．【解答】解：根据奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[a﹣4，2a﹣2]，可得a﹣4+（2a﹣2）=0，求得a=2，故条件为奇函数f（x）=2016x3﹣5x+b+2得定义域为[﹣2，2]，∴f（0）=b+2=0，求得b=﹣2，∴f（x）=2016x3﹣5x，∴f（a）+f（b）=f（2）+f（﹣2）=f（2）﹣f（2）=0，故答案为：0．12．（4分）若幂函数在（0，+∞）上是增函数，则m=﹣1．【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，∴，解得m=﹣1．故答案为﹣1．13．（4分）已知函数f（x）=log a x+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b=或3．【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，由题意有解得：a=，b=2，符合题意，此时a+b=；当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有，解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．综上可得：a+b的值为或3．故答案为：或3．14．（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为1﹣2a．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x满足：log（1﹣x3）=﹣a，3解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．三.解答题（本大题共5题）15．（12分）已知：函数f（x）=+lg（3x﹣9）的定义域为A，集合B={x|x ﹣a＜0，a∈R}，（1）求：集合A；（2）求：A∩B≠∅，求a的取值范围．【解答】解（1）∵f（x）=+lg（3x﹣9）∴4﹣x≥0且3x﹣9＞0，即x≤4且x＞2，则A={x|2＜x≤4}（2）B={x|x﹣a＜0，a∈R}={x|x＜a}，由A∩B≠∅，因此a＞2，所以实数a的取值范围是（2，+∞）．16．（12分）设集合A={x|（x﹣2m+1）（x﹣m+2）＜0}，B={x|1≤x+1≤4}．（1）若m=1，求A∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值集合．【解答】解：集合B={x|0≤x≤3}．…（1分）（1）若m=1，则A={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={x|0≤x＜1}．…（4分）（2）当A=∅即m=﹣1时，A∩B=A；当A≠∅即m≠﹣1时，（ⅰ）当m＜﹣1时，A=（2m﹣1，m﹣2），要使得A∩B=A，A⊆B，只要，所以m的值不存在．（ii）当m＞﹣1时，A=（m﹣2，2m﹣1），要使得A∩B=A，A⊆B，只要，∴m=2．综上所述，m的取值集合是{﹣1，2}．17．（13分）已知函数f（x）=+bx（其中a，b为常数）的图象经过（1，3）、（2，3）两点．（I）求a，b的值，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（II）证明：函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过（1，3）、（2，3）两点∴，得a=2，b=1，∴函数解析，定义域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，又∵，∴函数f（x）是奇函数；（II）设任意的，且x 1＜x2，∵=∵，∴x2﹣x1＞0，且2﹣x1x2＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间上单调递增．18．（13分）已知函数f（x）=（a＞0且a≠1）（1）若a=2，解不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的值域是[4，+∞），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0且a≠1），∴a=2时，，∵f（x）≤5，∴当x≤2时，﹣x+6≤5，解得x≥1，∴1≤x≤2；当x＞2时，3+log2x≤5，解得x≤4，∴2＜x≤4．综上，不等式f（x）＜5的解集为{x|1≤x≤4}．…（7分）（2）∵函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），∴当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，解得x≤2，∴x=2时，f（x）=﹣x+6=4；当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4，∴log a x≥1，当0＜a＜1时，x≤a，由x＞2，得a≥2，无解；当a＞1时，x≥a，由x＞2，得a≤2，∴1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．…（14分）19．（14分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n ∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1⇒t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对∀a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
天津市六校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
2016-2017学年度第一学期期中六校联考高一数学试卷宝坻一中 张国铭 杨村一中 崔立梅一. 选择题(本大题共8小题，每题4分共32 分)1.已知集合 A 二{0 ,1}, B 二{ _1,0, a 3},且 A? B,则 a 等于()7.已知f(x) RogMx 2 -2x)的单调递增区间是()2x8. 已知函数f (X ) = F 2 2x>° ,若存在为已(0,+比)，x 2w (q ,0】,使得l x +1, x^0f X 1二f X 2，则X 1的最小值为()(A) 1(B) 0 (C)-2(D)-32. 设全集U =R, A ={x • N |1乞x 乞5}, B = x • R|x 2 - x-2 = 0}，则图中阴影表示的集合为( )(A) { -1} (B){2}(C) {3,4,5} (D) {3,4}3. 函数 f x =-x • lg(x -1) • (x -3)° 的定义域为()(A) : x 1 ：： x _ 4』 (B): x 1 ：： x _ 4且 x =3:(C)「x1Ex 乞4 且 x=3? (D)1xx_4；(A ) a b c (B ) a c b (C ) cab (D ) c b a5.设函数 f(x)= l n(1-x) -1 n(1+x)，则 f(x)是()(A)奇函数，且在(0,1)上是增函数 B .奇函数，且在(0,1)上是减函数 6.函数y Wx-1的零点为X 。
，则3 ( )…0 (B)°，： (C)2，1 (D)(A)(1, =)(B)(2(C)(」：，0)(D)(A) log2 3 (B) log3 2 (C) (D) 2二.填空题(本大题共6小题，每题4分共24分)r1】9. 已知集合A={l,2a}, B={a,b},若A c B=]-,，则AU B为.1.4 J 7 ------------10. 设函数f(x)二3x-5,(x_6)，则f .I f(x+3),(x c6)11. 已知定义域为！a-4,2a-2]的奇函数f x = 2016x^5x b 2 ,则f a f b 的值为.212. 若幕函数y =(m2-m-1)x m‘心在(0,=)上是增函数，则m= .13. 已知函数f(x)=log a x+b(a>0，a^1)的定义域、值域都是11,2]，则a b = .[Iog2(x + 1),x"0,1)14. 已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若f(x)二127 ，则-x -3x —,x [1,：：) 2 2 关于x的方程f(x) • a = 0(0 :：: a <1)的所有根之和为.三.解答题(本大题共5题)15. ( 12分)函数f(x)「口」g(3x—9)的定义域为A,集合B =x -a ：0 ,a R?.(I) 求集合A;(II) 若A，B -一，求a的取值范围.16. (12 分)设集合 A = {x (x—2m+1 I x—m+2 0〉，B = <x 1 兰x+1 兰4〉.(I)若m =1 时，求ARB ;(I I)若A" B = A，求实数m的取值集合.17. (13分)已知函数f(x) =a bx(其中a , b为常数)的图象经过(1,3)、(2,3)两x占八、、・(I) 求a ,b的值，判断并证明函数f(x)的奇偶性；(II) 证明：函数f(x)在区间迈，二上单调递增.18. ( 13 分)已知函数 f (x) x 6，x " 2，(a . 0 且a=1)3 +log a x, X >2,(I) 若a =2，解不等式f(x)空5 ;(II) 若函数f(x)的值域是4，•::,求实数a的取值范围.19 . ( 14分)已知f(x)是定义在1-1,11上的奇函数，且f(1) =1，若m,n 1-1,1，m n = 0 时，有f (m) f (n)m +n(I) 证明f(x)在［-1,1】上是增函数；(II) 解不等式f(x2 -1) f(3-3x) ：：0 ;(III) 若f (x)乞t2-2at • 1对-l-1,1】,a・丨-1,11恒成立，求实数t的取值范围•2016-2017学年度第一学期期中六校联考高一数学答题纸选择题、填空题9、10、11、12、13、14、三、解答题15、16、17、18、19、2016-2017学年度第一学期期中六校联考高一数学答案、选择题C A B B B B C C•填空题：1 5 a 9. -2,1 10.19 11.0 12. -1 13.3 或14. 1-21 4 J 2三、解答题："4-xZ0 ‘X 兰415. 解：(I)要使函数f(x)有意义，只需满足」，解得彳，3X-9A0 'XA2即2 e x兰4，从而求出集合A = {x2v x兰4} 6 分(II)由(1)可得集合A = {x2v x兰4}，而集合B={xxva }若a兰2，贝U ，所以a 2，即a的取值范围是(2, •：：). 6 分16. 解：集合B = <x0 兰x 兰3〉.(I) 若m=1，则A={x-1v x<1}.则A「|B 二「X 0 岂x ：：：1〉 4 分(II) 当A W即m - -1 时，A p]B=A ；当A=_即m = -1时： 6 分当m ：： -1 时，A = (2m-1, m-2)，要使得A"B 二A,A- B ,丄2m -1 丄0—1只要m^5，所以m的值不存在；8 分[m-2 兰3 2当m •-1 时，A = (m-2 ,2m-1)，要使得A5 B ,□冷m—2-O 八只要=m = 2. 10 分[2m—1 兰3综上，m的取值集合是{-1 , 2} . 12 分17.解：(I) •••函数f (x)的图像经过(1,3)、(2,3)两点2•••函数解析式 f(x)=「x ，定义域(-：：，o )u (0 ,+：：)x22f ( -X ) ( -X )- - (— ' x) - - f (x)-X x2•函数解析式f(x) x 是奇函数7 分x(II)设任意的x 1、x 2［迈 ,r )，且 X i ：：: X 22(x 2一為)/、2 (x2- % ) = ( x2- x i)( 1)X j X 2X i X 22—^x 2=(x 2-为)——ii分MX ?T 为 _、2 , x 2 . 2，且 x i::: x 2二 x i X 2 2，则 2 - X j X 2 ：： 0，且 x 2 - 为 0 得 f(x ,) —f (x 2) ：：0,艮卩 f(xj ：： f(x 2) •函数f (x)在区间［「2,=)上单调递增.i3分 -x 6,x _ 2口i8.解：(I)将a =2代入函数f x 二a ・0且a = i 中，3 + log ax,x>2f —x+6,x^2口得 f xa 0 且 a = i ;3 +log 2x,x >2f (x) _5，即-x ■ 6 一5或3 log 2x _ 5，4 分解得：i 乞x^2或2：：：x 乞4， 综上：i 乞x 乞4;•不等式f(x)空5的解集为「xi 乞x 空4? ； 7分(II) •••当 x — 2时，f x〔4「：，函数 f (x)的值域是 ----------- 9分f (X i ) - f (X 2)=2 2 X 1x 2X iX 2•••当x 2时，f x =3 log a x - 4，即log a x — 1 ；当0 ：：：a ::: 1时，显然不符合题意，ii 分2故 a 1，贝V log ax 丄log aa = 1，解得 a ^x , ■ - 1 ：： a < 2.•••实数a 的取值范围为 1,2].13 分19.解：(I)任取-1乞X 1 ：：: X 2叮，贝Uf (x 1)- f(x 2)= f (x 1)f (-X 2)='(x1- x 2 )2分X 〔 一 X ?一1 乞花：：x 2 乞 1,. %(—x 2) = 0 ,f (xj + f (—X 2) c-由已知 -0, X^ X 2:: 04分% —x 2.f (xj - f(X 2)::： 0,即 f (x)在 1-1,1 上是增函数5 分(II )因为f (x)是定义在1-1,1上的奇函数，且在1-1,11上是增函数-仁3x-3叮(III )由 (1 )知f(x)在〔-1,1上是增函数，所以 f(x)在I- 1,11上的最大值为 f(1)=1，f (x)乞t 2 -2at 1 对—x '-1,11a I-1,112 • — 2 t 一 2at 1 _ 1 = t - 2at _ 0 10设 g(a)二t 2 -2at,对-a 1-1,1, g(a) 一 0 恒成立, 11 所以,g(_1) =t 2 +2t 二0 丿 2 n * 飞⑴=t 2—22 0 >0 或 t< -2 t 启2或t^O 13所以 t 一2或 t< -2或t =0 .14不等式2化为 f (x -1) :： f (3x - 3)，所以< 2X 2 -1c3x-32( 41< -1兰 x -1兰1 ，解得。
2016届高三六校第一次联考文数试题+答案
x2 y2 x2 y2 1 1 D． 2 4 4 2 7．函数 f ( x) sin(x )( 0） 相邻两个对称中心的距离为 ，以下哪个区间是函数 2 3 ） f ( x) 的单调减区间（ 5 ] A． [ ,0] B． [0, ] C．[ , ] D．[ , 3 2 6 3 12 2 8．曲线 y ln x 2 x 在点 (1,2) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( ) 1 3 A． B． C．1 D． 2 2 4
2，
M 为线段 B1 D1 的中点。
（1）求证： BM // 平面 D1 AC ； （2）求三棱锥 D1 ACB1 的体积。
20． （本小题满分 12 分）
x 2 ax b 已知函数 f ( x) 经过点 (0,3) ，且在该点处的切线与 x 轴平行 ex
（1）求 a, b 的值；
（2）若 x (t , t 2) ，其中 t 2 ，讨论函数 y f ( x ) 的单调区间。 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C :
，求 a 的值。
2016 届高三六校第一次联考
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D B A B D C C A D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 13．(-2,1) 14．3 15． 4
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7 ． ………………………………………………………12 分 15
19． 解（ : 1） 连接 D1O ， 如图， ∵ O 、M 分别是 BD 、B1 D1 的中点，四边形 BDD1 B1 是矩形， ∴四边形 D1OBM 是平行四边形， ∴ D1O // BM ． …………………………2 分
天津市六校联考2016届高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年天津市六校联考高三(上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分,共40分）1．设集合A={x｜y=lg(x﹣3)｝，B={x｜x2﹣5x+4＜0｝，则A∩B=（)A．∅B．（3，4）C．（﹣2,1）D．（4．+∞）2．给出如下四个命题，其中正确的命题的个数是①若“p或q”为假命题,则p、q均为假命题；②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4且y＜2,则x+y＜6”；③在△ABC中，“A＞30°”是“"的充要条件；④命题“∃x0∈R，e≤0”是真命题．（）A．0 B．1 C．2 D．33．若某程序框图如图所示，则输出的p的值是（）A．21 B．26 C．30 D．554．已知等差数列{a n｝满足2a2﹣a72+2a12=0，且数列｛b n}是等比数列，若b7=a7，则b5b9=（)A．2 B．4 C．8 D．165．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2:x2=2py （p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2,则抛物线C2的方程是（）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y6．设f(x）=a x,g（x）=x,h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0,那么当x＞1时必有(）A．h(x）＜g(x)＜f（x）B．h(x)＜f（x）＜g（x）C．f(x）＜g（x）＜h（x）D．f（x）＜h（x）＜g（x）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（)A．函数f(x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=﹣1是函数f（x)的一条对称轴D．函数f(x）向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数8．已知函数f(x）满足f（x）=f(4x），当x∈[1，4），f（x）=lnx，若在区间［1，16）内，函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共30分）9．设i为虚数单位，则=．10．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子,豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率是．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中,体积为12．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O:x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是．13．如图,AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点,OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交AB于点E，OA=3，DB=3，则DE=．14．如图在长方形ABCD中，，AD=2,O为AB的中点,若P是线段DO 上动点，则（+）•的最小值是．三、解答题：（本大题6小题,共80分）15．在△ABC中，A,B,C的对边分别是a，b，c已知3acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ)求cosA 的值;（Ⅱ）求的值．16．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少?工艺要求产品甲产品乙生产能力/(台/天）制白坯时间/天 6 12 120油漆时间/天8 4 64单位利润（元）20 2417．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC,A1C1的中点．（Ⅰ)证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正切值．18．已知各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,且．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）求证：是等差数列；（Ⅲ）若，求数列{b n｝的前n项和．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为（﹣a,0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．20．已知函数f（x）=(x2﹣2x）•lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时,求f（x)在(1,f（1))处的切线方程；（Ⅱ）设函数g(x）=f(x)﹣x﹣2,①当a=1时，若1＜x≤e，g（x）≤m恒成立,求m的取值范围②若g（x)有且仅有一个零点,求a的值．2015—2016学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分)1．设集合A=｛x｜y=lg（x﹣3）｝，B={x|x2﹣5x+4＜0｝，则A∩B=（）A．∅B．（3,4）C．(﹣2，1）D．(4．+∞）【考点】交集及其运算．【分析】据对数的真数大于0化简集合A，通过解二次不等式化简B，利用交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A=｛x|x﹣3＞0}=｛x｜x＞3｝，B={x|（x﹣1）（x﹣4）＜0}=｛x|1＜x＜4}．∴A∩B=（3，4）．故选B．2．给出如下四个命题，其中正确的命题的个数是①若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题;②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4且y＜2,则x+y＜6”；③在△ABC中，“A＞30°”是“”的充要条件;④命题“∃x0∈R，e≤0"是真命题．(）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据复合命题真假关系进行判断，②根据否命题的定义进行判断，③根据充分条件和必要条件的定义进行判断,④根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解:①若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题；正确，故①正确，②命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的否命题为“若x＜4或y＜2，则x+y＜6”;故②错误③在△ABC中，由得30°＜A＜150°，则“A＞30°”是“"的必要不充分条件；故③错误，④∵∀x∈R,e x＞0,∴命题“∃x0∈R,e≤0”是真命题错,故④错误，故正确个数只有1个,故选：B．3．若某程序框图如图所示,则输出的p的值是（)A．21 B．26 C．30 D．55【考点】循环结构．【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数,然后根据运行的后P的值找出规律，从而得出所求．【解答】解：根据题意可知该循环体运行3次第1次：n=2，p=1+22=5第2次:n=3,p=5+32=14，第3次：n=4，p=14+42=30因为P=30＞20，结束循环,输出结果p=30．故选C．4．已知等差数列｛a n｝满足2a2﹣a72+2a12=0，且数列｛b n｝是等比数列，若b7=a7，则b5b9=（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列的性质可把原式化简可得4a7﹣a72=0，从而可求a7，再由等比数列的性质可得b5•b9=b72，从而可求【解答】解：由等差数列的性质可得，a2+a12=2a7由2a2﹣a72+2a12=0可得4a7﹣a72=0a7=0或a7=4当a7=0时，b7=a7=0不符，舍去当a7=4时，b7=4b5•b9=b72=16故选D．5．已知双曲线C1：﹣=1(a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是(）A．B．x2=y C．x2=8y D．x2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C1:的离心率为2．所以,即:=4,所以;双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2,所以2=,因为，所以p=8．抛物线C2的方程为x2=16y．故选D．6．设f（x)=a x，g（x)=x，h（x）=log a x，且a满足log a（1﹣a2）＞0，那么当x＞1时必有（）A．h（x)＜g（x）＜f（x) B．h（x）＜f（x）＜g（x）C．f（x）＜g(x）＜h （x）D．f（x）＜h（x)＜g（x）【考点】分段函数的应用．【分析】由于a满足log a(1﹣a2）＞0，可得0＜a＜1．再利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a满足log a（1﹣a2)＞0=log a1，0＜1﹣a2＜1，∴0＜a＜1，∴当x＞1时,log a x＜0，0＜a x＜1，x＞1．∴h（x）＜f（x）＜g（x）．故选B．7．函数f（x)=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为8B．f（3）=﹣C．x=﹣1是函数f（x）的一条对称轴D．函数f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据勾股定理求出f（x)的半周期，得出ω，根据f(0）=1解出φ，得到f（x）的解析式，再进行判断．【解答】解；A,B两点的横坐标之差为=3，∴f（x）的最小正周期为6．∴,解得ω=．故A错误．∵f（0)=1，∴2sinφ=1,sinφ=，∵0≤φ＜，∴φ=．∴f（x)=2sin(+）．∴f（3）=2sin=﹣1，B错误;f(﹣1)=2sin（﹣）=﹣1≠±2，C错误；将f（x）向左平移一个单位长度后所得的函数为f（x+1）=2sin（+）=2cos．故D正确．故选：D．8．已知函数f(x)满足f（x)=f（4x），当x∈[1,4），f（x）=lnx，若在区间[1，16）内,函数g（x）=f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】化简可得f(x）=,从而作函数f（x)与y=ax的图象，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：∵f(x）=f（4x），∴f（x)=f（）,当x∈［4,16）时，∈［1，4)；f（x）=f（）=ln=lnx﹣ln4，故函数f（x）=，作函数f(x）与y=ax的图象如下，,过点（16，ln4）时,a==,y=lnx﹣ln4，y′=;故=，故x=4e，故a=,故实数a的取值范围是，故选：C．二、填空题：（每小题5分,共30分）9．设i为虚数单位，则=2﹣3i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质进行运算．【解答】解：===2﹣3i．故答案为:2﹣3i．10．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行计算即可．【解答】解：设圆的比较为R，则正方形的边长为2R，则阴影部分的面积S==，则对应概率P==，故答案为：．11．某几何体的三视图如图所示,则该几何体中，体积为【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为正方形,高为1．【解答】解：由三视图可知几何体为斜四棱锥,棱锥的底面为边长为1的正方形，棱锥的高为1．所以棱锥的体积V==．故答案为．12．直线l:8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．【解答】解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0,即（x﹣1)2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圆心(1,0）、半径为．又弦心距d==,∴+=r2=1﹣a，求得a=0，故答案为：0．13．如图,AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点,OC⊥AB,过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连结CF交AB于点E，OA=3,DB=3,则DE=3．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．【解答】解：连结OF．∵DF切⊙O于F,∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°．∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC．∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°．∴∠CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE．∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA．∴DE2=DB•DA，∵OA=3，DB=3，∴DE2=DB•DA=3×9=27,∴DE=3．故答案为：3．14．如图在长方形ABCD中，，AD=2,O为AB的中点,若P是线段DO 上动点，则（+)•的最小值是﹣3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】(+）•=2•=﹣2｜PO|×|PD|，利用基本不等式求出｜PD｜×|PO｜的最大值即可得出答案．【解答】解：∵O为AB的中点，∴，∴（+)•=﹣2｜PO｜×｜PD｜，∵｜PO｜+|PD｜=|OD|==．∴|PD|×｜PO|≤(）2=．∴﹣2｜PO|×｜PD|≥﹣3．故答案为﹣3．三、解答题:（本大题6小题，共80分）15．在△ABC中,A，B，C的对边分别是a，b，c已知3acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ）求cosA 的值;（Ⅱ）求的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】(Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理与逆用两角和的正弦可将3acosA=ccosB+bcosC化为3sinAcosA=sinA，从而可求cosA的值;（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式及三角函数间的平方关系可求得cos2A与sin2A 的值，再利用两角和的余弦即可求的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中,由3acosA=ccosB+bcosC，结合正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C)=sinA,因为在△ABC中,sinA≠0，解得cosA=，故cosA的值为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6；（Ⅱ）因为cos2A=2cos2A﹣1=﹣,A为锐角，所以，sin2A==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10；所以，=cos2Acos﹣sin2Asin=cos2A﹣sin2A=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13．16．某家具公司生产甲、乙两种型号的组合柜,每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下:问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？工艺要求产品甲产品乙生产能力/(台/天）制白坯时间/天 6 12 120油漆时间/天8 4 64单位利润（元）20 24【考点】简单线性规划．【分析】设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个,利润为Z元,然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数,画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．【解答】解:设生产甲、乙两种型号的组合柜分别为x个、y个，利润为Z元，那么①…目标函数为z=20x+24y…作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=20x+24y 变形为y=﹣x+z,得到斜率为﹣，在轴上的截距为z,随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线y=﹣x+z经过可行域上M时，截距z最大,即z最大．…解方程组得A的坐标为x=4，y=8 …所以z ma x=20x+24y=272．答：该公司每天生产生产甲、乙两种型号的组合柜分别为4个、8个，能够产生最大的利润，最大的利润是272元．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I)连结DE，可利用中位线定理和平行公理得出四边形A1DEF为平形四边形,于是EF∥A1D，得出结论;（II)连结CD，由侧棱A1A⊥底面ABC可得CD⊥A1A，由等边三角形可得CD⊥AB，故CD⊥平面平面A1ABB1,于是平面A1CD⊥平面A1ABB1；(III)过点B作BG⊥A1D交A1D延长线于点G，连接CG，则由面面垂直的性质得出BG⊥平面A1CD,故而∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角,设棱柱棱长为2，利用相似三角形和勾股定理求出BG，CG即可得出答案．【解答】证明：(I）连结DE，∵D，E，F分别是AB，BC，A1C1的中点,且三棱柱各棱长相等，∴DE，A1F AC，∴DE A1F，∴四边形A1DEF为平形四边形,∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．(II)连结CD．∵△ABC是正三角形,D为AB的中点，∴CD⊥AB．又∵侧棱A1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC,∴CD⊥A1A．又A1A⊂平面A1ABB1，AB⊂平面A1ABB1,A1A∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．∵CD⊂平面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1．（III）在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交A1D延长线于点G，连接CG，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1,平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D,BG⊂平面A1ABB1，∴BG⊥平面A1CD．∴∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱棱长为2，则CD=．由Rt△A1AD∽RtBGD可得=．∴BG=，DG=，∴CG==．∴tan∠BCG==．18．已知各项均为正数的数列｛a n}满足a1=1，且．（Ⅰ)求a2，a3的值；（Ⅱ）求证：是等差数列；（Ⅲ)若，求数列｛b n｝的前n项和．【考点】数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．【分析】（Ⅰ)先根据已知条件推得数列的递推关系式,再把2，3代入即可；（Ⅱ）直接根据条件推得结论;(Ⅲ)先求出数列的通项，再利用错位相减法以及裂项法求和即可．【解答】解：∵各项均为正数的数列｛a n}满足a1=1，且．∴a n+1•a n（a n+1+a n）+（a n+1+a n）(a n+1﹣a n）=0（a n+1+a n）（a n+1•a n+a n+1﹣a n）=0∴a n+1•a n+a n+1﹣a n=0∴+1=0；∴=1．①（Ⅰ)∴=1+=2∴a2=；同理：a3=．（Ⅱ）由①得是首项为1，公差为1的等差数列；∴=1+（n﹣1）×1=n；∴a n=．（Ⅲ）∴=•2n+；{n•2n}的和S n=1•21+2•22+…+n•2n…①，2S n=2•21+3•22+…+n•2n+1…②,∴①﹣②得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣n•2n+1∴﹣S n=﹣n×2n+1∴S n=（n﹣1)2n+1+2；{｝的和为：T n=(1﹣）+（）+…+（)=1﹣=．∴数列｛b n}的前n项和为:S n+T n=(n﹣1）2n+1+2+．．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且．求y0的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由离心率求得a和c的关系,进而根据c2=a2﹣b2求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．(2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率,表示出直线l的方程与椭圆方程联立,消去y,由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式,表示出|AB|进而求得k,则直线的斜率可得．（ii)设线段AB的中点为M,由（i）可表示M的坐标,看当k=0时点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y0;当k≠0时,可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y0的表达式根据求得y0；综合答案可得．【解答】解：(Ⅰ)由e=，得3a2=4c2．再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知，即ab=2．解方程组得a=2，b=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）(i）解：由(Ⅰ)可知点A的坐标是(﹣2，0)．设点B的坐标为（x1，y1)，直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x+2)．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得（1+4k2)x2+16k2x+（16k2﹣4）=0．由，得．从而．所以．由，得．整理得32k4﹣9k2﹣23=0,即（k2﹣1)（32k2+23）=0,解得k=±1．所以直线l的倾斜角为或．(ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为．以下分两种情况：(1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴,于是．由,得．（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为．令x=0，解得．由，，==，整理得7k2=2．故．所以．综上，或．20．已知函数f（x）=（x2﹣2x）•lnx+ax2+2．（Ⅰ)当a=﹣1时，求f（x)在（1，f(1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，①当a=1时，若1＜x≤e，g(x)≤m恒成立，求m的取值范围②若g（x）有且仅有一个零点,求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(Ⅰ)当a=﹣1时，函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2,求出f′（x），则k=f′（1）,代入直线方程的点斜式可得切线的方程；（Ⅱ)①问题转化为求出g（x)ma x≤m,通过判断g′（x)的符号，得到g(x）在(1，e]上单调递增，求出g（x）的最大值，从而求出m的范围；②构造函数，求函数的导数，判断函数的极值即可得到结论．【解答】解:(Ⅰ）当a=﹣1时，函数f（x)=（x2﹣2x）lnx+ax2+2=（x2﹣2x)lnx ﹣x2+2，∴f′（x）=（2x﹣2）lnx+(x2﹣2x)﹣2x，k=f′（1）=0+（1﹣2)﹣2=﹣3，f（1）=1，切线的方程为y﹣1=﹣3（x﹣1），∴切线的方程为3x+y﹣4=0．（II）①当a=1时，g（x)=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，若1＜x≤e，g（x）≤m，只需：g（x）ma x≤m，g′（x）=（x﹣1）(3+2lnx），∵1＜x≤e，∴g′(x）＞0成立，∴g（x)在（1，e］上单调递增,则g(x）ma x=g（e）=2e2﹣3e,∴m≥2e2﹣3e;②由g(x）=f（x）﹣x﹣2=0,得（x2﹣2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=，设h(x）=，则h′（x）=，令t(x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=,∵t′(x）＜0，t（x)在（0，+∞）上是减函数，t（1)=h'（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′(x）＞0，当x＞1时,h′（x）＜0，即h（x）的最大值为h（1）=1，∴若函数g(x）有且仅有一个零点时，a=1．2016年7月6日。
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天津2015—2016学年度第一学期期中郊县六校联考高三数学（文）出题人：芦台一中 运新意 杨村一中 张新宇一、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知),(2R b a i ib ia ∈=++，其中i 为虚数单位，则=+b a A.1- B.1 C.2 D.32.命题104:4:<<>x q x p ；命题,则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.函数32()ln 2x f x x=-，则函数()f x 的零点所在区间为A ．（0,1）B ．（1，2）C ．（2,3） D.（3,4） 4．已知0<a<b<1，e 是自然对数的底数,则正确的是A. b a ee )1()1(< B.a b 33<C.22)(lg )(lg b a <D. log 3a >log 3b5. 各项不为零的等差数列{}n a 中，02211273=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则=86b bA. 2B. 4C. 8D. 166.设定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数是)(x f '，当0)()(,0>+'≠xx f x f x ，若)3(ln 3ln ),31(31),2(2f c f b f a ===，比较c b a ,,的大小A . a b c <<B . b a c <<C . a c b <<D . c b a <<7.对函数21cos cos sin 3)(2-+=x x x x f 的表述错误的是 A ．最小正周期为π B ．函数sin 2y x =向左平移12π个单位可得到()f x C ．()f x 在区间)6,3(ππ-上递增 D ． 点)0,6(π是()f x 的一个对称中心8.已知bx ax x x f 22131)(,23++=是三次函数βα的两个极值点,且 )2,1(),1,0(∈∈βα,则11--a b 的范围 A .)21,0( B .)1,0(C .)0,21(-D . )0,1(-二、填空题：（每小题5分，共30分）9. 设集合{}0)2)(1(|<-+=x x x A ，集合{}31|≤<=x x B 则=B A ▲___10已知函数3log ,0,()1(),0,3x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩那么不等式()1f x ≥的解集为 ▲__11.已知0,0>>b a ，31ab -=，若=y b a 273+，则y 的最小值__▲__ 12、如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为32的正三角形，且圆与三角形内切，则该几何体的体积为__▲___13. 在边长为2的菱形ABCD 中，23BAD π∠=，13AP AD = ，则PB PD ⋅的值为 ▲14.已知,0,230,3)(2⎩⎨⎧>-≤-=x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在[]1,1-∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围 ▲三、解答题：（本大题6小题，共80分）15.（本小题满分13分）两种大小不同的钢板可按下表截成A ,B ,C 三种规格成品:某建筑工地至少需A ，B ，C 三种规格的成品分别为6，6，8块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用总钢板张数最小，最小值是多少？16. （本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.8=a ,41cos ,2-==-A c b .(Ⅰ)求ABC ∆的面积ABC S ∆和B sin(Ⅱ))62cos(π-A 的值17. （本小题满分13分）如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，H G E 、、分别是、、、111AA D C BC 的中点.（Ⅰ）求异面直线B A H D 11与所成角的余弦值（Ⅱ）求证：EG ∥平面D D BB 1118.（本小题满分13分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =；数列}{n b 是等比数列，且有32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）. (Ⅰ)求数列}{n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分14分）已知函数()()ln 1f x x a x =--，其中0>a ．（Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值；（提示：当且仅当1=x 时，1ln -=x x ）；(Ⅱ)令()()(1)(03)aF x f x a x x x=+-+<≤，其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值.H120．（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a ++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和，且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围.天津2015—2016第一学期期中郊县六校联考高三数学文答题纸二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）把正确的答案填在横线上．9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题：本大题6小题,80分.解答写出证明过程或演算过程.15．16.17.18．H119．20．天津2015—2016第一学期期中郊县六校联考高三数学文答案一、选择题 ABBD DCDA 二、填空题9.(]3,1- 10.(][)+∞∞-,30, 11.32 12.3436π+2015. 解：分令0=z ，62=+y x 和直线62=+x 的交点)2,2(A 可使z 取最小422min =+=z …………12分答：要截得所需三种规格的钢板截第一种钢板和第二种钢板各自 两张，使得所用张数最小，最小值是4张 …………13分16. 解: (Ⅰ)由41cos -=A ,可得415sin =A …………1分由⎩⎨⎧=--+=2cos 26422c b A bc c b 可得⎩⎨⎧==46c b …………3分153sin 21==∆A bc S ABC …………5分由A a B b sin sin =得16153sin =B …………7分 (Ⅱ) 815cos sin 22sin ,871cos 22cos 2-==-=-=A A A A A …………11分)62cos(π-A =6sin2sin 6cos2cos ππA A +=161537+-…………13分17．解：（Ⅰ）连接C D 1和CH11D A //11C B //BC∴四边形11BCD A 为平行四边形 C D B A 11//∴C HD 1∠∴或其补角为异面直线B A H D 11与所成的角 …………3分 在HC D 1∆中，3,22,511===HC C D H D , 根据余弦定理，10102252985cos 1=⨯⨯-+=∠C HD 则异面直线B A H D 11与所成的角的余弦值为1010…………7分 （Ⅱ）证明 连接AC BD 与交于点O,连接GE OE O D ,,1,CD G D CD OE 21//,21//1G D OE 1//∴,∴四边形1OEGD 是平行四边形， …………9分 ∴O D GE 1//,D D BB GE 11面⊄,D D BB O D 111面⊂ ∴D D BB EG 11//面 …………13分 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，则C 1⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+22521415155211d a d a ⎩⎨⎧==∴211d a 12-=∴n a n …………3分 设等比数列{}n b 的公比为q⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则.2,83==∴q b n n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….…6分 （Ⅱ）,2)12(n n n c ⋅-=2323252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅++-⋅.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T 作差： 115432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T3112(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅1(23)26n n T n +∴=-⋅+ (1,2,3,n =)…. …………13分19．解：（Ⅰ）11'()ax f x a x x-=-= 当∈x 1(0,)a 时，0)(>'x f ，当∈x 1(,)a+∞时，0)(<'x f故函数)(x f 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，因此函数)(x f 在 (0,)+∞上有极大值1()ln 10f a a a=--+=∴ln 1a a =-，解得1=a …………5分（Ⅱ）]3,0(,ln )(∈+=x x ax x F ，于是有21)(2000≤-='=x a x x F k 在]3,0(上恒成立，所以max 020)21(x x a +-≥，当10=x 时，02021x x +-取最大值21，所以21≥a ；（Ⅲ）∵11'()axf x a x x-=-= …………9分①若1e a ≥，即10a e <≤，则当1[,]x e e∈ 时，有'()0f x ≥，∴函数)(x f 在1[,]e e上单调递增，则max ()()1f x f e ea a ==-+．②若11e e a <<，即1a e e<<，则函数f (x)在 11(,)e a 上单调递增，在1(,)e a 上单调递减，∴max 1()()ln 1f x f a a a==--+． ③若11a e ≤，即a e ≥，则当1[,]x e e∈ 时，有'()0f x ≤，函数f (x)在1[,]e e 上单调递减，则max 1()()1a f x f a e e==--+． 综上得，当10a e <≤时，max ()1f x ea a =-+；当1a e e<<时，max ()ln 1f x a a =--+；当a e ≥时，max ()1a f x a e=--+．…………14分 20．解：（Ⅰ） ()123n n S n a a =+，11S a a ==，∴0.a = ……2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n n na S =， 所以()111.2n n n a S +++= ∴()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=- ∴()11.n n n a na +-=∴当2n ≥时，1.1n n a n a n +=- ∴11n n a n a n +=-，112n n a n a n --=-,⋅⋅⋅，3221a a =， ∴12.n a n a += n a n 21=∴+ ∴()21n a n =-，3≥n . 10a a ==，22=a 满足上式， ∴()21n a n =-，n N *∈. …………7分 （Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭ ………… 8分 又12b =， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭ 311n n +=+ ∴ 31.1n n T n +=+ 因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立. 所以2331..122122n m n n n n>=++++. 因为12n n +≥，当且仅当1n n=，即1n =时等号成立. 所以124n n++≥. 所以11142n n ≤++ 所以3.8m > …………14分。