静电唯一性定理的意义与应用
边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场的边值问题
静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题
电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出
实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。
对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式
2.6 静电场边值问题 唯一性定理
V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程 满足给定边界条件的电位微分方程（ 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的， 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定 理。 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。 解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类 边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类 边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项： 求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 ．根据求解场域 求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 泊松方程还是 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域， 分区求 场域内有两个 不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 分界面上的衔接条件来确定积分常数 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有 对于开域问题 限分布时，应有： 限分布时，应有：
1.8 静电场的唯一性定理
ρ ∇ U = − →泊 方 , 松 程 ε0
2
静电场 ＋边界条件 的边值 2 问题 or ∇ U 0 →拉 拉 方 ＝ 普 斯 程
物理系：杨友昌 编
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
唯一性定理
• 对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒 对于静电场，给定一组边界条件， 定电场分布？——回答：否！ 电场分布？ 回答： 回答 • 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来 电场的分布唯一 • 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至 关重要 • 理论证明在电动力学中给出，p67 给出普物方式的论证 理论证明在电动力学中给出， • 论证分三步：引理 论证分三步：引理——叠加原理 叠加原理——证明 叠加原理 证明
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
Q Q ' r' Q ' + = 0⇒ = ⇒r'Q= −rQ' r r' r Q
2
R b R ' － 有b = ⇒Q = ± Q= ± Q 取 ？ a a a cos θ的系数 三角形
相似
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
静电场边值问题的唯一性定理
静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。
由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。
这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。
寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。
这类问题称为静电场的边值问题。
这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。
2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。
为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。
（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。
用反证法。
设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。
）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。
然而这违背了我们的前提。
因此，U 不可能有极大值。
用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。
因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。
静电场边值问题唯一性定理
场分布。
02
指导数值计算
在数值计算中，唯一性定理为我们提供了判断计算结果正确性的依据。
如果计算结果不满足唯一性定理，则说明计算过程中存在错误或近似方
法不够精确。
03
简化问题求解
在某些情况下，唯一性定理可以帮助我们简化问题的求解过程。例如，
在某些对称性问题中，我们可以利用唯一性定理直接得出部分解或特殊
01 02 03
深入研究复杂边界条件下的静电场边值问题
目前的研究主要集中在简单边界条件下的问题，对于复杂 边界条件的研究相对较少。未来可以进一步探讨复杂边界 条件下的静电场边值问题，为实际应用提供更广泛的理论 支持。
发展高效稳定的数值计算方法
尽管现有的数值计算方法已经取得了显著的进展，但在处 理大规模、高维度问题时仍面临挑战。未来可以致力于发 展更高效稳定的数值计算方法，以应对日益复杂的实际问 题。
导体表面的电荷分布
导体表面电荷分布的特点
在静电平衡状态下，导体表面电荷分布是不 均匀的，电荷密度与导体表面的曲率有关， 曲率越大电荷密度越大。
导体表面电荷与电场的关系
导体表面电荷产生的电场与导体内部电荷产生的电 场相互抵消，使得导体内部电场为零。
导体表面电荷分布的求解 方法
可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到 导体表面的电荷分布。
数值计算方法的改进
针对静电场边值问题的求解，提出了一系列高效的数值计算方法，如有限元法、有限差分法等，这些方法在保持计算 精度的同时，显著提高了计算效率。
实际应用领域的拓展
将静电场边值问题唯一性定理应用于多个实际领域，如电子工程、生物医学等，成功解决了一系列具有 挑战性的实际问题。
对未来研究的展望
解，从而简化计算过程。
《电磁场理论》3.1 唯一性定理
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分 布值。 S f 第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法 向导数。 f n S 第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部分边界 面上的电位函数值，和另一部分边界面上电位函数的法 向导数。 S f1 S S1 S2 f 2 1 01:52 2 n S2
+
-
z
+ +++
（r , )
+
+
-
1 (r, ) E0r cos
-
aO
- - -
-
当引入一个不带电的导体小球后， E0 球表面出现感应电荷。 静电平衡下的导体球为等电位体，球内电场为零， r>a空间内的电位由两个部分组成 01:52 12 1 2
1 2
唯一性定理:满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给
的全部边界条件的解是唯一的。
利用反证法来证明。假设在一个由表面边界S包围的 体积V内，泊松方程有两个解 1 2 ，则有
2 1 2 * 1 2 2 * 21 22 0 令
01:52 11
例2：一不带电的孤立导体球（半径为a）位于均匀电 场中, E E0 e z ,如图所示，求电位函数。 解：在没有引入导体球时，均匀电场 E 的电位函数为
1 ( z ) E0 e z e z dz C E0 z C
若取z=0为电位参考点，则C=0， 1 ( z) E0 z 在球坐标内，z r cos
常数
n
n
(1)
根据式(1)仍然有
同理，有 C
V
2 ( ) dV 0
静电场边值问题中唯一性定理的应用
静电场边值问题中唯一性定理的应用郑伟;高天附【摘要】在电磁场理论中,关于静电场边值问题的求解是重要而基本的.关于静电场边值问题的求解,在一般情况下可归结为在给定边界条件下求解场方程的问题,唯一性定理是求解静电场边值问题的理论基础.在电磁场相关课程中,静电场边值问题的求解都是教学中的重点和难点,但是作为判断场解正确性和唯一性的唯一性定理却经常被忽视.针对静电场边值问题的几种典型解法,以典型习题为例,深入分析了在各种解法中唯一性定理的应用及其重要意义,说明了在静电场边值问题中应用唯一性定理解题的思路和技巧.结合教学实践,指出了加强唯一性定理教学对于静态场教学的重要性,给出了关于唯一性定理教学的具体建议.%The solution of the boundary value problem for electrostatic field is important and essential in the electromagnetic field theory.Normally, the solution comes down to the problem of solving the field equations based on the given borderline condition.Moreover, the uniqueness theorem is the theoretical basis for solving the boundary value problem of the electrostatic field.In the interrelated courses of electromagnetic field, the solution of the boundary value problem in electrostatic field is the key and difficult point for teaching.But the uniqueness theory, which is used to judge the correctness and uniqueness of the solution, is often ignored.This paper is aimed at several typical solutions of the boundary value problem in electrostatic field, for example, the application and significant meaning of the uniqueness theorem are analyzed in various solutions of typical exercises.Moreover, this article intends to explain the solution ideal andtechniques for applying the uniqueness theorem in the boundary value problem of the electrostatic field.Based on the teaching practice, it points out the importance of uniqueness theorem in static field teaching, and gives some specific suggestions for the teaching of uniqueness theorem.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(035)003【总页数】4页(P370-373)【关键词】唯一性定理;静电场;边值问题【作者】郑伟;高天附【作者单位】沈阳师范大学物理科学与技术学院, 沈阳 110034;沈阳师范大学物理科学与技术学院, 沈阳 110034【正文语种】中文【中图分类】O442静电场的求解方法和特殊函数是动态电磁场的边值问题求解的基础,关于静电场的求解在电磁场理论中是重要而基础的。
静电唯一性定理
静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若：1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数s n ϕ∂∂， 则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(x )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数s n ϕ∂∂)。
即： 2212,ρρϕϕεε∇=-∇=- 并有12s s s ϕϕϕ==或12ss s n n n ϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂ 式中s ϕ和sn ϕ∂∂为给定的边界条件。
令φ = φ1 – φ2，则在区域V 内各点： 2212()0φϕϕ∇=∇-= (2-2-1)及在边界s 上各点：120s s s φϕϕ=-= (2-2-2)或120s s sn n n ϕϕφ∂∂∂=-=∂∂∂ (2-2-3) 利用公式22d d ()d V V sV V φφφφφ∇+∇=∇⎰⎰⎰s 将式(2-2-1)带入上式得：2d ()d d V ss V s n φφφφφ∇=∇∂=∂⎰⎰⎰s (2-2-4)若在边界s 上各点无论是给定了电势或给定了电势法向偏导数均有：2d 0V V φ∇=⎰ (2-2-5)因|∇φ|2 ≥ 0，满足上式的条件只能是在求解区域V 内各点∇φ = 0。
因此，φ1 - φ2= 常数如果在边界上（或部分边界上）给定了电势φ|s ，则因φ1|s = φ2|s ，此常数为零；若全部边界条件给出的不是电势，而是(∂φ/∂n )|s ，此常数不一定为零。
但由式E = -∇φ，区域V 内的电场唯一确定，一个常数并不改变电场的基本特性，通常为了方便，此常数可选择为零。
电动力学2-2 唯一性定理
E1t = E2t A E1 = 3 r r
D2n = D n = 0 1
∫ D⋅ dS = ∫ ε E ⋅ dS + ∫
S1 1 1
S2
ε2 E2 ⋅ dS = Q
将电场值代入得 2π (ε1 +ε2 ) A= Q Q A= 解出 2π (ε1 +ε2 )
Qr 则 E1 = (左半部 左半部) 左半部 3 2π (ε1 + ε2 )r
2
在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系 在两区域
∂ϕ ∂ϕ ϕi = ϕ j， εi = ε j ∂n i ∂n j
除此之外，要完全确定 内的电场 还必须给出V 内的电场， 除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出 内的边界S上的一些条件。 内的边界 上的一些条件。下面提出的唯一性定 上的一些条件 理具体指出所需给定的边界条件。 理具体指出所需给定的边界条件。
Qr E2 = 右半部) 右半部 3 (右半部 2π (ε1 + ε2 )r
此解满足唯一性定理的所有条件， 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正 确的解。 确的解。 虽然E仍保持球对称性，但是 和导体面上的电荷 虽然 仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷 仍保持球对称性 面密度σ不具有球对称性。设内导体半径为 ， 面密度 不具有球对称性。设内导体半径为a，则 不具有球对称性 球面上的电荷面密度为
§2.2 唯一性定理
一、唯一性定理的重要意义
1. 给出了确定静电场的条件，这是解决实际问题 给出了确定静电场的条件， 的依据。 的依据。 2. 在有解的情况下 ， 解是唯一的 。 因此 ， 在实 在有解的情况下， 解是唯一的。 因此， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 际问题中，可以根据给定的条件作一定的分析， 提出尝试解， 提出尝试解，只要它满足唯一性定理所要求的条 件，它就是唯一正确的解。 它就是唯一正确的解。
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理
静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它有助于我们理解电场，研究电磁场，有助于研究一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论的发展。
它指出，当电场的空间和时间的变化都可以完全确定时，其静态状态就是唯一的。
在实际应用中，它为解决复杂的电力电子、光电子和微电子学问题提供了有力的理论支持。
静电场唯一性定理是由19世纪90年代著名物理学家雷诺兹等提出的。
他们提出，电场的动量和能量有相应的定律，可以用来描述其变化，不论是在空间上还是时间上都是这样。
根据它们提出的新定律，假设电场的状态完全确定，不论是在空间上还是时间上，其静态状态都是唯一的。
结合泰勒到的变分原理，可以证明静电场唯一性定理的有效性。
当电场的状态完全确定时，可以用变分原理来证明它的静态态一定是唯一的，这就是静电场唯一性定理的关键性证明过程。
除了可以用于研究电场外，静电场唯一性定理也可以用于研究重力场。
由于重力场是空间和时间变量关系的最简单形式，可以用静电场唯一性定理来分析它，并且可以证明重力场也是唯一的。
总之，静电场唯一性定理是一种重要的物理定理，它对研究电场、重力场以及一般相对论、量子力学和统计物理等科学理论都有着重要的意义。
通过它，我们可以更加有效率地研究和分析物理现象，从而不断地拓展物理知识面，并进一步深入地研究物理本质。
- 1 -。
1.8 静电场的唯一性定理
像电荷
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌 编
解：
• 任一 点的电势 任一P点的电势
q q' U(x, y, z) = ( + ) z ≥0 4 0 r r' πε 2 2 2 其 r' = x + y +(z +a) ； 中
r = x2 + y2 +(z −a)2 1 1 1 U(x, y, z) = − 2 2 2 2 2 2 4 0 x + y +(z −a) πε x + y +(z +a)
§8 静电场边值问题的唯一性定理
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
编
一. 典型的静电问题
–给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的电量或电势 给定导体系中各导体的 以及各导体的形状、相对位置（ 以及各导体的形状、相对位置（统 称边界条件），求空间电场分布， ），求空间电场分布 称边界条件），求空间电场分布， 即在一定边界条件下求解 泛 定 方 程
1
导体上电荷的面密度e =ε0En(z = 0) = −n⋅ε0∇ σ U
q a ∂U σe = −ε0 ==− 3 2 2 2 2 π 2 (x + y +a ) ∂z z=0
l
2
编
ρ
在这个竟争激烈的社会中，若想永不落伍，就必须懂得终身学习的道理。
物理系：杨友昌
真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 真空中有一半径为 的接地导体球，距球心为a(a>R)处有一 处有一 点电荷Q,求空间各点电势 点电荷 求空间各点电势
唯一性定理与静电屏蔽
当且仅当导体空腔既不接地又不与外界绝缘（例如，有绝缘包皮的导线穿过空腔 与外界相连），且导体空腔内的电荷总电量变化，此时外表面的感应电荷总电量 会作相同的改变，腔外区域的第二类边界条件改变，腔外电场也改变四、结 语 对于导体空腔来说，当且仅当导体空腔不接地、腔内与外界不绝缘并引起导体空 腔内的电荷总电量变化时，腔外电场会受到腔内电场变化的影响，其它情况下导 体空腔对腔内腔外静电场是互相屏蔽的。 唯一性定理在电动力学和电磁场理论课程中是个重点，也是难点。用唯一性定理 分析导体的静电屏蔽，可以作为了解性内容在大学物理电磁学的教学中介绍，有 助于学生较全面的理解静电屏蔽，并且为电动力学或者电磁场理论课程的学习做 准）［M］. 北京：高等教育出版社，1997：59～61 2 贾起民、郑永令、陈暨耀. 电磁学（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社， 2001：78～79
大学物理中处理的是均匀无限远边界或面对称、球对称、轴对称的理想情况，而实际的电 磁场要复杂得多，处理的多是有限区域、边界形状也不规则的边值问题。处理这类问题时， 利用唯一性定理有时是非常方便的。在大学物理的电磁学部分利用唯一性定理可以较全面 的分析静电屏蔽，对理解唯一性定理和后续的电动力学或者电磁场理论课程的学习也是很 有意义的。 一、唯一性定理 设区域V的边界S为导体，V内电荷分布 及介质分布确定，V的边界S满足下列条件之一时， 则V内电场唯一确定：第一类边界条件是导体的电势 已知；第二类是各导体表面上的电量 Q已知。［1］ 二、导体空腔内的电场 由于静电感应，静电平衡时导体空腔内表面上的电量由腔内电荷决定，总代数和为零。当 腔内电荷分布 给定时，腔内表面电量Q确定，腔内区域的边界条件由腔内电荷总量确定的 第二类边界条件，与腔外电场无关。由唯一性定理，腔内电场由腔内电荷分布唯一确定， 与腔外电场无关，与导体是否接地无关，导体空腔对腔外的电场是完全屏蔽的。［2］ 三、导体空腔外的电场 若导体空腔接地，空腔的电势始终为零，腔内、腔外区域均属于第一类边界条件。由唯一 性定理，腔外电场由腔外电荷及介质分布决定，不受腔内影响。［2］ 当导体空腔与外界绝缘时，腔内电荷电量守恒，总量不变。腔内电荷如果只是空间分布改 变，导体空腔内的电场改变，对外表面总电量无影响，腔外区域属于不变的第二类边界条 件。由唯一性定理，此时腔外电场不受腔内电场变化的影响，所以绝缘导体空腔对腔内腔 外的电场也是相互屏蔽的（见图1）。
静电场边值问题的唯一性定理共21页文档
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
静电场边值问题的唯一性定 理
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
静电场的唯一性定理及其应用(精)
11
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
平行双电轴法
26
A DnA A DnA
14
q
q
E
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
2
2
平行双电轴法
18
可知： 1) 若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作
出以x0为圆心R0为半径的等位圆。
2) 若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出此等 位圆圆心所在处x0的等位圆。 3) 若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴所在 的位置，亦即推求出距离D
平行双电，给定各导 体表面的电荷量，此时由边值问 题所解得的电位函数，仅相差一 无关紧要的常数，而电位的梯度 E是唯一的。
3、若给定某些导体表面的电 位值，及其它导体表面(导体 表面为等位面)的电荷量，此 时由边值问题所解得的电位函 数为唯一。
第二章第二节 唯一性定理
ϕi ' = ϕ j '
∂ϕ j ' ∂ϕ i ' εi =εj ∂n ∂n
ϕi ' ' = ϕ j ' '
∂ϕ j ' ' ∂ϕ i ' ' εi =εj ∂n ∂n
Vj
因此，在介质分界面上， 因此，在介质分界面上，ϕ也满足
Vi
ϕi = ϕ j
∂ϕ j ∂ϕ i εi =εj ∂n ∂n
——（2.5）
运用唯一性定理讨论几个问题
例一： 例一：有一个中性的导体球壳 A，在此球壳内放 置一带电体 M，其荷电为 Q。证明： 1) 球壳外的电场只与 Q有关， 与 M在球壳内的位置无关； 2) 球壳 A的外表面上的电荷为 均匀分布，与 M在球壳内的 位置无关。
S
M
证明： 证明： 所研究的区域为球壳外的区域， 其界面为 S∞ 和 S 。 边界 S∞ 上的电势为零； 而对于界面S，由于感应使得 S的内表面的电量为 -Q，则界面 S上的总电量为 +Q，这一结论不 论M在球壳内何处，只要在球壳 内即成立。
∫
Si
ϕ∇ϕ ⋅ dS = −ϕ i ∫ ∇ϕ ⋅ dS
Si
V V’
=0
而对于外边界面 S，根据（2.13） 外边界面 可知，
i
Si
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
S
n S
对于区域 V 的外表面 S
ϕ S = 0 或者 ∂ϕ ∂n S = 0 ——（2.13）
V
因此，对 V’ 的整个界面
V’
∫ ϕ ∇ ϕ ⋅ dS = 0
2 i Vi i
Vj
但是被积函数始终满足
Vi
第二章 静电场(二)
唯一
2) 给定每个导体上的总电量
n
ds qi i 或 i n
相差一常数
E grad
i
E 唯一
3) 一部分导体上给定电势， 另一部分导体上给 定带电量 (混合条件) 一部分满足
Ci
i
一部分满足 n
或 i n ds qi
静电屏蔽 接地的封闭导体壳内电荷不影响壳外电场
研究对象：壳外电场， 介质及电荷分布不变，即方程一定 边界条件：接地导体壳 唯一性 定理 壳外 电场 一定
0
边界形状及边界条件不变，即边界一定
封闭导体壳无论是否接地，壳内电场不受壳外电荷 影响
研究对象：封闭导体壳的壳内电场 方程一定 边界条件：导体壳 S n dS q内 边界一定 唯一性定理 壳内电场一定
2
3.平行双电轴法
无限长均匀带电的平行双输电线 等位面 导线的截面圆 等效 认为是双电轴所形成的等位面填充导电媒质
平行双电轴
外 部 电 场 等 效
1）.半径相等的平行双输电线
相距d=2x的平行双输电线导线半径均为 R0 等效
2
D 2 2 x R 0 0 2
相距D的平行双电轴
用镜象电荷代替大地的影响
镜像电荷
与场源电荷平行对称 与场源电荷大小相等，方向相反
2.无限大导电平面镜象法的应用
1 ）.
0 0
等效
0
0
2 ）.
0 0
0
等效
要求：2π/α为偶数
3）.长直圆柱导体对导电平面的镜象
等效
双电轴法和镜像法的综合应用
§2-4 球形导体面的镜象
静电场唯一性定理
王向斌 静电场唯一性定理的部分内容表述
若真空区域所有边界面的条件确定了,则该真空区域的静电场 就唯一确定了. 根据此定理,不论真空区域以外(含边界)的电荷分布如何变化, 只要边界条件维持不变,则真空区域电场维持不变. (但是区域 以外的电场可能会发生变化.) 换言之,不论真空区域以外的实 际点荷分布如何,我们可以在真空区域之外构造一种简单的电 荷分布,只要它能够满足给定的真空区域边界面条件,我们就可 以按这种人为构造的电荷分布计算真空区域内的电场. (但不能 用此法计算真空区域以外的电场.) 根据此定理,只要找到一个电势函数, 能满足区域真空条件和 边界条件的要求,则真空区域内的电场可由该函数算出. (真空区域以外的电场不可以.)
思考题: 上述封闭面S在引理和定理中,是否必需是导体面? 还是任何满足面上电势要求的数学面都可以? 思考题: 在哪里用到或者隐含用到了势函数满足区域真空条件?
应用
静电屏蔽,电像法, 其他计算问题 思考题: 电像法中,像电荷为什么必需在真空区域以外? 思考题: 课本的电像法例题中,利用了唯一性定理.究竟是怎样与 唯一性定理的边界条件一一对应的? 即,接地的无限大金属板以及 题中的点电荷应该理解成唯一性定理的哪一个边界面?
引理2: 引理1中,若封闭面S是带电量为0的等势面,结论依然成立.
唯一性定理的部分内容的证明
条件: 静电场情况; 封闭面S, 该面电势函数确定;S面内部最多有3类区域: 真空区域, 电势确定的的导体区域,和带电量确定的导体区域.
依据唯一性定理, 上述真空区域的电场唯一确定. 思路: 真空区域若有两个势函数,函数1和函数2都满足边界条件 和区域真空条件, 把这两个势函数之差看成第三个势函数,由于 每个势函数边界条件都一样, 第三个势函数的边界条件必然是 引理1中的边界条件,因而第三个势函数在真空区域是等势区域, 此即说明函数1和函数2在真空区域最多只相差一个常数,因此给 出相同的电场. 思考题: 为什么两个电势函数之差这样一个数学函数一定可以 看成一个电势函数?
3.1 唯一性定理
y
U0
( x,0) 0, ( x, b) U 0
o
a
y
b
U0
x
（第一类边值问题）
例：
0 x
0 x
o
20:14:58
a
x
2 2 2 0 2 x y x 0 0, xa 0 x x ( x,0) 0, ( x, b) U 0
V ( )dV S n dS
2
V
3.1
唯一性定理
S
对于第一类边界条件： * S 1 S 2 S 0
1和2 我们在引入电位函数时就曾指出，电位 的绝对值无意义， 代表的是同一电场，所以 2和2 C 实际上是一个解，亦即解 20:14:58 8 是唯一的。
第一类边值问题或狄里赫利问题已知场域边界面上的位函数的法向导数值即已知场域一部分边界面上的位函数值而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值即第三类边值问题或混合边值问题第二类边值问题或纽曼问题有限值自然边界条件无界空间周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件如二唯一性定理内容
第三章 静态场边值问题的解法
2
a
Q
因而腔内场唯一确定。 已知点电荷产生的电位为
1
Q 4 0 r Q 4 0 a
但它在边界上 1 |S
20:14:58
不满足 |S 0
12
3.1
Q 4 0 r
唯一性定理
Q 4 0 a
要使边界上任何一点电位为0，可设
2 它满足 0 |S 0
根据唯一性定理，它是腔内的唯一 解。
E Q 4 0 r r (r a) 3
电动力学uniqueness theorem唯一性定理完全解读
2
n2
dS
22
2
n
dS
两式分别相加得
内边界11
1
n
22
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
2
V2
2
2
dV2
Ñ 内边界11
1
n
22
2
n
dS
1
V1
1
2
dV1
V
V
V
dV 2 dV 2dV
V
V
V
式中 2 0
v
dV Ñ dS
V
s
在边界面S 上,无论 S 0 还是 ， 都0 使
n S
蜒
s
v dS
s
n
dS
0
2 dV 0
S
S
S
0
或
0
n S
n S
n S
令V′的边界面为S′， S′包括V′的外表面S 和所有导体的表面 Si
同样利用矢量的微分运算公式: 2 2
等式两端对V' 作体积分
dV 2 dV 2dV
们都能满足同一个泊松方程和边界条件,下面我们将证明 它们只能是同一个解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
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２ ＝１ １ Ｉ Ｉ
２
（） １ ａ
占：
。
ｌ ＝
（ １ ｂ ）
这 里 Ｓ是相 邻 两子 区域 分界 面 ， 相 应 的 自由电荷 面密度 ． Ｐ是 因此 ， 我们 不 需要 将 静 电 唯一 性定 理 分 为分 区均 匀 介质 唯一 性定 理 和有 导体 存 在 时 的唯 一性 定理 ． 导体 存 在时 。静 电场 中导体 归 为 两种 情况 ． 有 一
种是 给 定导 体 电势 （ 括 零 电势 ） 另 一 种是 给 定导 体 所 带 电量 （ 包 ， 包括 零 电量 ） 静 电 时 。 荷分 布 在 导体 表 ． 电
面 ， 面 电荷 密 度 为 ＝一 而 （ 电势 的法 向偏 导数 ） 这 样 有导 体 存 在 时 的静 电问 题 仍然 归结 到我 们 即 ，
Ｖｏ ． １ １２ Ｎｏ２ ．
Ｊｎ ０ ８ ｕ ．２ ０
静 电唯一 性定理 的意义 与应用
张 福 恒
（ 南师 范 大 学物理 系 ， 南 海 口 ５ １５ ） 海 海 ７ １８
摘 要 ： 皇场边值 问题是 电磁 场理论 中的难 点， 静 求解静 电ｆ题 关键是 完整 准确地写 出定 － － Ｉ
１２ ６
海南 师范 大 学学 报 （ 自然 科 学版 ）
２０ ０ ８钲
１ ）电势值 Ｉ； 或
１
２ 电 的 向 导 Ｊ ） 势 法 偏 数ｄ ｌ． ｎ
那么， 区域 内 的电势 唯一 地确 定 （ 是 给 出了边 界 上 的电势 的法 向偏 导 数 ， 多 相差 一 常数 ， 一个 常数 若 最 但 并不 影 响 电场 的实 质 ） ．
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第 ２ １卷 第 ２期
２０ ｏ ８年 ６月
海 南 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｉａ ｏｍ ｌ ｎｖｒｉ （ ａｕａ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ｌ ｆ Ｈａｎ ｎＮ ｒ ａ ｉｅｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｉｎ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓ
下 面 的表述 ． 样 ， 这 我们 可 清 晰简 单地 将 静 电唯 一性 定 理表 述 为 ：
由边界 Ｓ 围的求 解 区域 内 ， 果 电荷 分 布 ｐ ｒ 给定 ， 包 如 （） 以及 在边 界 上各 点 给 出 ：
收 稿 日期 ： ０ — ２ ２ ２ ８ ０— ５ ０
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１ 静 电 唯 一 性 定 理
１１ 静 电 唯 一 性 定 理 ．
静 电唯 一性 定 理 的叙 述 和 证 明可 参 见 参 考 文献 ∽ 在 证 明 的过 程 中可 看 出 。 部 分 边界 给 定 电势 、 。 若
部 分边 界 给定 电势 法 向偏 导数 也 有此 结 论 。由于静 电场是 矢量 场 。 电 唯一性 定 理 实质 是矢 量场 唯 一性 定 静 理 在 静 电场 中的表 述 口 ． 于求 解 区域 有 多 种介 质情 况 ， 数 学 上 看 ， 每一 介 质 区域 看成 一 子 区域 ， 对 从 将 相 邻 子 区域 的 电势 自然应 由下 面 的边值 关 系 （ 连接 条 件 ） 系 ｎ ． 联 －］ ４
定理 的证 明可见 一般 教材 ］从 证 明的过 程可看 出完全不 需牵 涉 到 区域 内介 质是 否 均匀 的情 况 ． ．
我们 这样 表 述唯 一性 定 理 ， 更为 清 晰 、 将 简单 ， 它将 便 于 理解 和 应 用 ． 实 际应 用 中 ， 注 意 到边 界 有 时在 在 要 很 远处 （ 即无 穷 远 ） ．
静 电场边 值 问题 是学 习 电磁 场理 论 中一个 难 点 。 而且 也是 电磁 场 理论 中难 点 中 的难点 ． 电场边 值 问 静 题 （ 出满 足边 界 条件 的泊 松 方程 的解 ） 求 的许 多 解法 都是 建 立在 静 电 唯一性 定 理 的基 础 之 上 的． 因此 。 电 静 唯 一性 定 理对 于 解 决静 电边 值 问题 有着 重 要 的意义 ． 但一 般 教 科 书 在求 解 静 电问 题时 对 此 意 义强 调 不 够 以及没 有很 好 地 应用 该 定 理 去指 导求 解 静 电边值 问题 。 至不 提 静 电唯 一 性 定理 。 上边 值 问 题有 甚 加 多 种解 法 ， 相 当部 分解 法 在 数 学上 都 有 一定 的难度 ． 且 因此 ， 成 学 生 裹 足不 前 ， 生畏 难 情 绪 。 后续 理 造 产 给 论 的学 习带 来不 利 影 响． 实上 。 解好 静 电唯一 性定 理 对求 解 静 电边 值 问题有 着 重要 的指导 意义 ． 事 理
解 条件 ． 电唯 一性 定 理 可既 方便 又准 确 地指 导 我 们 写 出问题 的 定解 条件 ， 同时 又给 出 了尝试 静
求 解 静 电 问题 的 理 论 依 据 ．
关 键词 ： 电唯 一性 定理 ； 值 问题 ； 电唯 一性 定 理意 义 ； 解条件 静 边 静 定 中图分 类 号 ： ４ ０ ４４ 文 献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １ ８ ４ （ ０ ８ ０ — １ １ ０ １７ — ７ ７ ２ ０ ） ２ ０ ６ — ６
１２ 静 电唯 一性 定理 的意 义 ．
从 静 电唯一 性定 理 的表 述看 ． 有两个 重要 的意义 ． 它 １ ）它 告诉 了我 们确 定 电势 的解 的条 件是 什 么． ： 即 给定 求 解 区域 内电荷 分 布 ， 给定 求 解 区域边 界 上各 点 所需 的 电势值 或 电势 的法 向偏 导数 条件． ２ ）我 们 可 以尝试 解 （ 解 ） 如果 猜 的解 满 足 泊 松方 程 及 给定 的边 界 条 件 ， 么 ， 猜 ． 那 这个 解 是 唯 一 的． 或 者说 ， 只要 电势满 足所 给 的所 有条 件 ， 电势 是 唯一 的． 面 ， 们应 用 这两个 重要 意 义 去 指导 求解 静 电边 此 下 我