概率与统计单元测试

单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,25B ．70,50C ．70,1.04D ．65,25 答案 B 解析 易得x 没有改变，x ＝70，而s 2＝148[(x 21＋x 22＋…＋502＋1002＋…＋x 248)－48x 2]＝75，s ′2＝148[(x 21＋x 22＋…＋802＋702＋…＋x 248)－48x 2]＝148[(75×48＋48x 2－12500＋11300)－48x 2]＝75－120048＝75－25＝50.2．假设佛罗里达州某镇有居民2400人，其中白人有1200人，黑人800人，华人200人，其他有色人种200人，为了调查奥马巴政府在该镇的支持率，现从中选取一个容量为120人的样本，按分层抽样，白人、黑人、华人、其他有色人种分别抽取的人数( )A ．60,40,10,10B ．65,35,10,10C ．60,30,15,15D ．55,35,15,15 答案 A 3.“毒奶粉”事件引起了社会对食品安全的高度重视，各级政府加强了对食品安全的检查力度．某市工商质检局抽派甲、乙两个食品质量检查组到管辖区域内的商店进行食品质量检查．表示甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的茎叶图如图．则甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的中位数的和是 ( )A ．56B ．57C ．58D ．59 答案 B解析 根据中位数的定义知，甲检查组每天检查到的食品种数的中位数为32，乙检查组每天检查到的食品种数的中位数为25，故甲、乙两个检查组每天检查到的食品种数的中位数的和是32＋25＝57.选B.4.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于()A．7B．15C．31D．63答案 D解析根据程序框图可得，本算法运行5次，每次将2B＋1的值再赋给B，故B的值分别3,7,15,31,63，故选D.5．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力() A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验D．概率答案 C解析由于参加调查的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，认为有关与无关，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，则n的值为()A．100B．1000C．90D．900答案 A解析支出在[50,60)的同学的频率为0.03×10＝0.3，因此n＝300.3＝100.7.若如图所示的程序框图输出的S是126，则①处应填()A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8答案 B解析因S＝2＋22＋…＋26＝126，故①处应填n≤6.8.给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中判断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为()A．①i＞30，②p＝p＋iB．①i＜30，②p＝p＋iC．①i≤30，②p＝p＋iD．①i≥30，②p＝p＋i答案 A解析因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因为判断框内的条件就是限制计数变量i的，这个流程图中判断框的向下的出口是不满足条件继续执行循环，故应为i＞30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i－1，第i＋1个数比其前一个数大i，故应有p＝p＋i.故①处应填i＞30；②处应填p＝p＋i.9．已知如图所示的程序框图(未完成)．设当箭头a指向①时，输出的结果为s＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为s＝n，则m＋n＝()A．30 B．20C．15 D．5答案 B解析(1)当箭头a指向①时，输出s和i的结果如下：s0＋10＋20＋30＋40＋5i2345 6∴s＝m＝5.(2)当箭头a指向②时，输出s和i的结果如下：s0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4 0＋1＋2＋3＋4＋5i23 4 5 6∴s＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15.于是m＋n＝20.10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a、b的值分别为()A．0.27,78 B．0.27,83C．2.7,78 D．2.7,83答案 B解析由频率分布直方图知组矩为0.1.4．3～4.4间的频数为100×0.1×0.1＝1.4．4～4.5间的频数为100×0.1×0.3＝3.又前4组的频数成等比数列，∴公比为3.从而4.6～4.7间的频数最大，且为1×33＝27.∴a＝0.27.根据后6组频数成等差数列，且共有100－13＝87人．设公差d ，则6×27＋6×52d ＝87.∴d ＝－5，从而b ＝4×27＋4×32(－5)＝78.11．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直分图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．33 答案 D解析 80～100间两个长方形高占总体的比例：5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120即为频数之比．∴x 60＝1120.∴x ＝33，故选D. 12．在2010年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：其线性回归直线方程是：y ^＝－3.2 x ＋a (参考公式：回归方程y ^＝bx ＋a ，a ＝y －b x )，则a ＝( )A ．－24B ．35.6C ．40.5D ．40 答案 D解析 价格的平均数是x ＝9＋9.5＋10＋10.5＋115＝10，销售量的平均数是y ＝11＋10＋8＋6＋55＝8，由y ^＝－3.2x ＋a 知b ＝－3.2，所以a ＝y －b x ＝8＋3.2×10＝40，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．答案 68解析 x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60. ∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4，∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68.答案 60%解析3＋4＋520＝35＝60%.15．下面程序框图，输出的结果是________．答案 12010解析 如果把第n 个a 值记作a n ，第1次运行后得到a 2＝a 1a 1＋1，第2次运行后得到a 3＝a 2a 2＋1，……，第n 次运行后得到a n ＋1＝a na n ＋1，则这个程序框图的功能是计算数列{a n }的第2010项．将a n ＋1＝a n a n ＋1变形为1a n ＋1＝1a n ＋1，故数列{1a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故1a n＝n ，即a n ＝1n ，故输出结果是12010.16．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)(1)p∧綈q(2)綈p∧q(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)答案(1)(4)解析本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以，只要第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知(1)(4)为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某公司欲招聘员工，从1000名报名者中筛选200名参加笔试，按笔试成绩择优取50名面试，再从面试对象中聘用20名员工．(1)求每个报名者能被聘用的概率．(3)公司从聘用的四男a、b、c、d和二女e、f中选派两人参加某项培训，则选派结果为一男一女的概率是多少？答案(1)每个报名者能被聘用的概率为0.02.(2)可以预测面试的切线分数大约为80分．(3)选派结果为一男一女的概率为8 15.解析(1)设每个报名者能被聘用的概率为P，依题意有P＝201000＝0.02.(2)设24名笔试者中有x名可以进入面试，依样本总体可得：50200＝x24，解得x＝6.从表中可知面试的切线分数大约为80分．(3)从聘用的四男、二女中选派两人的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)共15种．选派一男一女参加某项培训的种数有：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，共8种，所以选派结果为一男一女的概率为815.18．(本小题满分12分)高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，①②③④处的数值分别为________、________、________、________；(2)在所给的坐标系中画出[85,155]的频率分布直方图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129,155]中的频率． 答案 (1)1 0.025 0.1 1 (2)频率分布直方图如图．(3)总体平均数约为122.5，总体落在[129,155]上的频率约为0.315.解析 (1)随机抽出的人数为120.300＝40，由统计知识知④处应填1；③处应填440＝0.1；②处应填1－0.050－0.1－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025；①处应填0.025×40＝1.(3)利用组中值算得平均数：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129,155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.19．衡水重点中学的高二(一)班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项试验，方法是先从小组里选出1名同学做试验，该 同学做完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学做试验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的试验更稳定？并说明理由．解析 (1)由题意知，P ＝460＝115，∴某同学被抽到的概率为115.设课外兴趣小组中有x 名男同学，则4560＝x4，解得x ＝3，∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)，共12种，其中有一名女同学的情况有6种．∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P ＝612＝12.(3)x 1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x 1＝69＋70＋70＋72＋745＝71.s 21＝(68－71)2＋…＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋…＋(74－71)25＝3.2.∴第二次做试验的同学的试验更稳定．20．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．(参考下表)解析 (1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为2450＝1225；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生19人，概率为1950.(2)K 2＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26＝15013≈11.5，∵K 2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．21．(本小题满分12分)设计算法求1＋13＋15＋……＋119的值，画出程序框图，并编写程序．解析程序框图 程序：S ＝0n ＝1i ＝1WHILE i<＝10S ＝S ＋1/n n ＝n ＋2i ＝i ＋1WEND PRINIS END22．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b ＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2)，a ＝y －b x .)解析 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件A ，因为从6组数据中选取2组数据共有C 26＝15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，由参考公式可得b ＝187，再由a ＝y －b x 求得a ＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，|1507－22|＝47<2；同样，当x ＝6时，y ^＝787，|787－12|＝67<2.所以，该小组所得线性回归方程是理想的．。