数学卷·2011届湖南省师大附中高二学业水平模拟考试
2024-2025学年湖南省长沙市湖南师大附中高二(上)入学数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南师大附中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M⫋N⫋U ，则下列运算结果为U 的是( )A. M ∪NB. (∁U N)∪(∁U M)C. M ∪(∁U N)D. N ∪(∁U M)2.已知α为锐角，且cosα−sinα=15，则下列选项中正确的有( )A. α∈(π4,π2)B. tanα=43C. sinαcosα=1225D. sinα+cosα=753.下列命题正确的是( )A. 若直线a//b ，a//平面α，则b//平面αB. 若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C. 三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D. 已知直线a 与b 异面，不同的两点P ∈a ，Q ∈a ，不同的两点M ∈b ，N ∈b ，则直线PM 与QN 可能相交4.“函数f(x)=log 12(3−ax)在区间[1,2]上单调递增”的充分必要条件是( )A. a ∈(0,+∞) B. a ∈(0,1) C. a ∈(0,32) D. a ∈(0,32]5.2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2mg/cm 3，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过0.1mg/cm 3，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要( )小时？(结果取整数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A. 12B. 8C. 10D. 116.已知M 是△ABC 所在平面内一点，满足AM =34AB +15AC ，则△ABM 与△BCM 的面积之比为( )A. 3B. 4C. 58D. 1257.已知5−a =lna ，b =log 43+log 917，7b +24b =25c ，则以下关于a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. b >c >aB. a >c >bC. b >a >cD. a >b >c8.已知函数f(x)={1+log a |x−2|,x ≤1,(x−1)2+4a,x >1(a >0且a ≠1)在R 上为单调函数，若函数y =|f(x)|−x−2有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是( )A. 116 B. 14 C. 12 D. 13169.下列命题为假命题的是( )A. 在复数集C 中，方程x 2+x +1=0有两个根，分别为−12+ 32i ，−12− 32i B. 若三个事件A ，B ，C 两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)C. 若OP =xOA +yOB +zOC ，则x +y +z =1是P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件D. 复平面内满足条件|z +i|≤2的复数z 所对应的点Z 的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆10.已知函数f(x)=sin (ωx +φ)，如图A ，B 是直线y =12与曲线y =f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则( )A. f(0)=− 32B. 函数f(x)的最小正周期为7π12C. 若x 1+x 2=91π12，则f(x 1)=f(x 2)D. 若|x 1−x 2|=π24，则|f(x 1)−f(x 2)|的最大值大于1− 3211.如图，在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，B 1C ⊥BC ，AC ⊥B 1C ，BC =CB 1=A 1C 1=2，下列结论中正确的有( )A. 平面BCC 1B 1⊥平面ACC 1A 1B. 直线AA 1与BC 1所成的角的正切值是13C. 三棱锥C−A 1B 1C 1的外接球的表面积是12πD. 该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析
2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题(word)
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word ）第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7.下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．()1,4- D ．()1,88.在ABC ∆中，已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9.比较大小：2log 5_____2log 3（填“>”或“<”）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11.某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5，则输出的y 值为________.12.若1a >，则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.(本小题满分6分) 已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 14.（本小题满分8分）已知在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=． （1）求n a ；（2）令2n an b =，判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并说明理由．15.（本小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求三棱锥1B ACB -的体积． 16.（本小题满分8分）已知圆C 经过()3,2A 和()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 17.（本小题满分10分） 已知函数()()2log 1f x x =+．（1）将函数()f x 的图像上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式；（2）若关于x 的函数()()223y g x mg x =-+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值．第Ⅱ卷（共５0分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.）18.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D. 22143x y -=19.甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种 B ．36种 C ．54种 D.24种 20.已知集合()(){},|M x y y f x == ，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},|sin 1M x y y x ==+；③(){}2,|log M x y y x ==；④(){},|2x M x y y e ==-，其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．②④B ．②③C ．①④ D.①②二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 21.若“0,,tan 3x x m π⎡⎤∀∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的最大值为________． 22．已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_________．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23. （本小题满分12分）现有长分别为123m m m 、、的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计） ． （1）求X 的分布列；（2）若()21,1Y X E Y λλ=-++>，求实数λ的取值范围．24. （本小题满分13分） 已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>．（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值； （3）求证：()()()223*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1.D 2. C3. D 【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题9. > 10.100 11. 4 12. 3 三、解答题14．【解析】（1）设数列{}n a 的公差是d ，则31231a a d -==-， 故()12123n a n n =-+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）可得2322na n nb -==，所以()21321232242n n n n b b +-+-===是一常数，故数列{}n b 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 15.【解析】（1）∵1DD ⊥面ABCD ，∴1AC DD ⊥． 又∵BD AC ⊥且1,DD BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11B BDD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）111111113326B ACB B ABC ABC V V S BB AB BC BB --∆===⨯⨯⨯=． 16．【解析】（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组2602x y y x -+=⎧⎨=⎩得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y kx -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 17．【解析】（1）()()2log 0g x x x =>；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）()()()222223log 2log 3y gx mg x x m x =-+=-+令[]()2log 0,2t x t =∈得()222233y t mt t m m =-+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ① 若0m <，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递增，∴当0t =时，min 32y =≠，无解； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ② 若02m ≤≤，则当t m =时，2min 32y m =-=，解得1,1m =-（舍去）， ∴1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分③ 若2m >，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递减，∴当2t =时，min 742y m =-=，解得524m =<，不符合条件，舍去； 综上可得1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分第II 卷一、选择题 18. D 19.B 20．A 二、填空题22．12 三、解答题23．【解析】（1）X 可能的取值为2，3，4，5，6．()()2113332299112;3124C C C P X P X C C ======；()()21111333332299114;534C C C C C P X P X C C +======； ()23291612C P X C ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()111112345641243412E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵21Y X λλ=-++，∴()()22141E Y E X λλλλ=-++=-++，∵()1E Y >，∴214104λλλ-++⇒<<． ∴实数λ的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24.【解析】（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数，因为()()()()()221ln 111ln 1101xx x x x f x x x x -++⎡⎤⎣⎦++++'==-<+，所以函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当0x >时，()()()11ln 11x x k f x k x x+++⎡⎤⎣⎦>⇔>+设函数()()()11ln 1x x g x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()21ln 1x x g x x--+'=， 设()()1ln 1h x x x =--+，则()11011x h x x x '=-=>++， ∴()h x 在区间()0,+∞上是增函数 又()()21ln 30,32ln 40h h =-<=->所以存在()02,3x ∈，使得()00h x =即()001ln 1x x -=+， 从而当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()()()()0min 11ln 1x x g x g x k x+++⎡⎤⎣⎦==>恒成立的最大正整数3k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由（2）知：当0x >时，()31f x x >+恒成立，即()1ln 131x x x ++>+， 从而()33ln 11211x x x x +>-=-++， 令()11x n n =+-得()()311ln 122311n n n n n n ⎛⎫+>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∴()()111ln 12231,ln 2323223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111ln 3423,,ln 123341n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯>--+>--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭， 将这n 个不等式相加得：()22213ln 1231231232311n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+>---=-+>- ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴()222231231n n n e -⨯⨯⨯⨯⨯+>，∴()()()223*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分。
湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷
湖南省湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ，则下列运算结果为U 的是（ ）． A ．M N ⋃ B ．()() U UN M ⋃痧C ．() U M N ⋃ðD ．() U N M ⋃ð2．已知α为锐角，且1cos sin 5αα-=，则下列选项正确的有（ ）A ．ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3α=C ．12sin225α=D ．sin co 7s 5αα+=3．下列命题正确的是（ ）A ．若直线//a b ，//a 平面α，则//b 平面αB ．若直线a 与b 异面，则过空间任意一点与a 和b 都平行的平面有且仅有一个C ．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域D ．已知直线a 与b 异面，不同的两点,P a Q a ∈∈，不同的两点,M b N b ∈∈，则直线PM 与QN 可能相交4．“函数()()12log 3f x ax =-在区间[]1,2上单调递增”的充分必要条件是（ ）A ．()0,a ∈+∞B ．()0,1a ∈C ．30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．30,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5．2023年11月16日，据央视新闻报道，中国空间站近日完成了一项重要的科学实验——空间辐射生物学暴露实验装置的首批样品已经返回地面.这项实验旨在研究在太空中长时间存在的辐射对人体和微生物的影响.已知某项实验要在中国空间站进行，实验开始时，某物质的含量为31.2mg /cm ，每经过1小时，该物质的含量都会减少20%，若该物质的含量不超过30.1mg /cm ，则实验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要（ ）小时？（结果取整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） A ．12B ．8C ．10D ．116．已知M 是ABC V 所在平面内一点，满足3145AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则ABM V 与BCM V 的面积之比为（ ） A ．3B ．4C ．58D ．1257．已知495ln ,log 3log 17,72425b b c a a b -==++=，则以下关于,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．b c a >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()21log 2,1,(0(1)4,1a x x f x a x a x ⎧+-≤=>⎨-+>⎩且)1a ≠在R 上为单调函数，若函数()2y f x x =--有两个不同的零点，则实数a 的取值不可能是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1316二、多选题9．下列命题为假命题的是（ ）A ．在复数集C 中，方程210x x ++=有两个根，分别为12-，12-B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则()()()()P ABC P A P B P C =C ．若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则1x y z ++=是,,,P A B C 四点共面的充要条件D ．复平面内满足条件i 2z +≤的复数z 所对应的点Z 的集合是以点()0,1为圆心，2为半径的圆10．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线y =f x 的两个交点，若π6AB =，则（ ）A ．()0f =B ．函数()f x 的最小正周期为7π12C ．若1291π12x x +=，则()()12f x f x =D ．若12π24x x -=，则()()12f x f x -的最大值大于111．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,,,2AC BC B C BC AC B C BC CB AC ⊥⊥⊥===，下列结论中正确的有（ ）A ．平面11BCCB ⊥平面11ACC AB ．直线1AA 与1BC 所成的角的正切值是13C ．三棱锥111C A B C -的外接球的表面积是12πD ．该三棱柱各侧面的所有面对角线长的平方和等于它所有棱长的平方和的3倍三、填空题12．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，角β满足()cos 0αβ+=，则sin2cos21ββ+的值为.13．某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm ，方差为217cm ，女生身高样本均值为160cm ，方差为230cm .则每个女生被抽入到样本的概率均为，所有样本的方差为2cm .14．如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上一点，且12CP PC =u u u r u u u u r，M 为平面1BDC 内一动点，则MC +MP 的最小值为.四、解答题15．从一张半径为3的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），并卷成一个深度为h 米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为2πrad 3．(1)求圆锥筒的容积；(2)在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x 的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x 的取值．16．已为,,a b c 分别为ABC V 三内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =- (1)求A ；(2)若2c =，角B 的平分线BD =ABC V 的面积S ．17．某高校的特殊类型招生面试中有4道题目，获得面试资格的甲同学对一~四题回答正确的概率依次是34，12，23，13．规定按照题号依次作答，并且答对一，二，三，四题分别得1，2，3，6分，答错1题减2分，当累计积分小于2-分面试失败，不少于4分通过面试，假设甲同学回答正确与否相互之间没有影响． (1)求甲同学回答完前3题即通过面试的概率； (2)求甲同学最终通过面试的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，DCP V 是等边三角形，π4DCB PCB ∠∠==，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：//MN 平面PBC ； (2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ； (3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.19．已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.(1)若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围； (2)若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x . （i ）求实数b 的取值范围； （ii ）证明：121124x x <+<.。
2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷时间：120分钟 总分：100分 姓名： 得分： 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（ ）A ．{,}a bB ．{,}b cC ．{,}a cD ．{}b2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．2π 4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,)+∞为增函数的是（ ） A ．()f x x =- B ．1()f x x = C ．()lg f x x = D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A ．18B ．45C ．110D ．157．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==- 则向量OP =（ ）A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(2,8)8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B ==6b =，则a =（ ） A ．3B ．2C ．3D ．6 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3，9，5，2，6的中位数是 .．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 . 13．已知0,x >则函数1y x x=+的最小值是 ． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .．15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3z x y m =-+的最大值为2，则实数m = ． 三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin2cos2αα+的值.17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数； (2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.正视图 侧视图 俯视图 O 500.030.0250.020.0150.010.0054060708090100成绩频率组距开始x输入0?x >x 输出x 输出-结束 是否第12题图P C BD A 第14题图 第15题图A BC D1A 1B 1C 1D18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值. 19．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．（本小题满分10分）已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C（1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题二、填空题11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α= （2）2sin 2cos22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人） 18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩ （2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒< （3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。
2011年湖南普通高中学业水平考试数学试卷(真题)_-_副本.doc
高二年级数学水平考试试卷（2）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.时量120分钟，满分100分．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3,4,5}=A ，{2,5,7,9}=B ，则A B 等于（ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{2,5,7,9}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5,7,9}2．若函数()3=+f x x ，则(6)f 等于（ ）A ．3B ．6C ．9D ．6 3．直线1:2100--=l x y 与直线2:3440+-=l x y 的交点坐标为（ ）A ．(4,2)-B ．(4,2)-C ．(2,4)-D ．(2,4)-]21,1[]......2,1()....2,1(21[]1--A 012-.42---∞+⋃∞≥+-D C B x x ），，（的解集为不等式8-D .11-C .11B .5A ,08}{.52552。
为则中，已知在等比数列ss a a a n =+)21()(.........lg )(...........1)(.........)(A 0.6xx f D x x f C x x f B x x f ===-=∞+）上为增函数的是，下列函数中，在（ 7．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．31D ．641501204530D .C .B .A A ABC .8222。
为则角中，在bc c b a ++=∆9．已知函数2()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ．RB ．(,0)-∞C ．(8,)-+∞D ．(8,0)-10．在ABC ∆中，已知120=A ，1=b ，2=c ，则a 等于（ ） A ．3 B ．523+ C ．7D ．523-二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．的取值范围是，则实数且已知集合a a x x B x x R B A },{},1{A =⋃≥=≤= _____________. 12．3log 4(3)的值是 ．13．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是 ． 14．(1)若幂函数()y f x =的图像经过点1(9,)3，则(25)f 的值是(2).若实数x,y 满足不等式组{{0422≥-≤-≥+y x y x y x ，则Z=2x+3y 的最小值为_________15．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图所示，那么()f x 的值域是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）上是减函数。
湖南省师大附中高二数学上学期期末试卷 文(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4} 2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=07．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．299．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值X围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值X围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A=[﹣1，2]，B={x|1≤x≤4}=[1，4]，∴A∩B=[1，2]，故选：B．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．分析：先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．解答：解：∵==﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选D点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值X围，得到结果．3．（5分）阅读下列的算法，其功能hi（）第一步：m=a；第二步：b＜m，则m=b；第三步：若c＜m，则m=c；第四步：输出m．A．将a，b，c由小到大排序B．将a，b，c由大到小排序C．输出a，b，c中的最大值D．输出a，b，c中的最小值考点：顺序结构；算法的概念．专题：算法和程序框图．分析：逐步分析各步算法，根据赋值语句的功能，即可得解．解答：解：逐步分析算法中的各语句的功能，第一步是把a的值赋值给m，第二步是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量m中，第三步是比较c与a，b中的较小值的大小，并将两数的较小值保存在变量m中，故变量m的值最终为a，b，c中的最小值．故选：D．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案，本题属于基本知识的考查．4．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值．解答：解：由sin（+θ）=sin cosθ+cos sinθ=（sinθ+cosθ）=，两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，则sin2θ=2sinθcosθ=﹣．故选A点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．解答：解：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了四种命题之间的关系，也考查了命题特称命题与全称命题的关系以及命题真假的判断，是基础题．6．（5分）若幂函数f（x）图象经过点P（4，2）．则它在P点处的切线方程为（）A．8x﹣y﹣30=0 B．x﹣4y+4=0 C．8x+y﹣30=0 D．x+4y+4=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先设出幂函数，利用点P确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程．解答：解：设幂函数的方程为f（x）=xα，因为f（x）图象经过点P（4，2），即f（4）=4α=22α=2，即2α=1，解得，所以幂函数方程为，幂函数的导数为，所以切线斜率．所以切线方程为，即x﹣4y+4=0．故选B．点评：本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键．7．（5分）要得到函数y=tan（3x+）的图象，只须将x=tan3x的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数的图象的平移变换规律，可得结论．解答：解：将x=tan3x的图象上的所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数y=tan3（x+）=tan（3x+）的图象，故选：C．点评：本题主要考查函数的图象的平移变换规律，属于基础题．8．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．解答：解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=，a1==16故S5==31故选C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．9．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．10．（5分）若双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值X围为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．根据双曲线方程，设其上一点P的坐标为P（，btanθ），其中为θ锐角，求出直线OP方程：y=x．设右焦点F （c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），根据点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去y1，可得．因为不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足该方程，讨论这个方程解的情况，得，可得c2≤2a2，离心率满足．得到正确答案．解答：解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可．设双曲线位于第一象限内一点P的坐标为（，btanθ），其中为θ锐角，∴直线OP的斜率为k==，可得直线OP方程为y=x，设右焦点F（c，0）关于直线OP的对称点为Q（x1，y1），∴，消去y1得：…（*），接下来讨论方程（*）的根的问题，当x1=0时，，将此方程进行变量分离，得：∵0＜sin2θ＜1∴而根据题意，不存在点P使得对称点Q在y轴上，所以不存在θ，使x1=0满足（*）式成立．综上所述，可得，即，可得c2≤2a2，离心率∵双曲线中，c＞a∴离心率e＞1，可得．故选C点评：本题给出双曲线上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，求双曲线离心率的取值X围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为2．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取6个城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果．解答：解：∵某城市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8．本市共有城市数24，∵用分层抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本∴每个个体被抽到的概率是，∵丙组中对应的城市数8，∴则丙组中应抽取的城市数为×8=2，故答案为2．点评：本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决．12．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是（2，8]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据对数函数的真数大于0建立不等关系，然后结合图形求出函数的定义域即可．解答：解：要使函数有意义则f（x）＞0结合图象可知当x∈（2，8]时，f（x）＞0∴函数的定义域是（2，8]故答案为：（2，8]点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及数形结合的思想，同时考查了识图能力，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=﹣1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．解答：解：∵向量=（1，2），﹣=（3，1），∴﹣=（3，1）﹣（1，2）=（2，﹣1），∴=﹣2（2，﹣1）=（﹣4，2）；∴2+=2（1，2）+（﹣4，2）=（﹣2，6）；又=（x，3），（2+）∥，∴﹣2×3﹣6x=0，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题，是基础题目．14．（5分）如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是．考点：概率的基本性质；几何概型．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P=，故答案为：点评：本题考查了几何摡型知识，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．15．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a2+b 的取值X围为（﹣，0）．考点：带绝对值的函数．专题：计算题．分析：由题意可得|4a﹣3|=|2b+3|，故4a﹣3和2b+3互为相反数，解得b=﹣2a，代入要求的式子可得 T=3a2+b=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），由此求得T=3a2+b的取值X围．解答：解：∵f（x）=|2x﹣3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a﹣3|=|2b+3|．因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a﹣3＜2b+3，所以必须有4a﹣3和2b+3互为相反数．∴4a﹣3+2b+3=0，故 b=﹣2a．再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜﹣2a+1，即 0＜a＜．∴T=3a2+b=3a2 ﹣2a=3﹣．此函数T在（0，）上是减函数，所以T（）＜T＜T（0），即﹣＜T＜0，故答案为（﹣，0）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知雅礼中学2015届高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表x人数y A B CA 7 20 5B 9 18 6C a 4 b若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中数学成绩为B等级的共有20+18+4=42人，已知x与y均为B等级的概率是0.18．（1）求抽取的学生人数；（2）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（3）在地理成绩为C等级的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为A等级的人数比C 等级的人数少的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）由题意x与y由所给的表格可以知道数学与地理成绩均为B等级的总人数为18，设该样本总人数为n，利用古典概型随机事件的概率公式，即可求出；（2）由表格及第一问可以知道样本人数为100，而在该样本中，数学成绩的优秀得人数为7+20+5，利用古典概型随机事件的概率公式可以知道a的值；（3）由题意知a+b=31，且a≥10，b≥8，然后列举出所求满足条件的（a，b），找出数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的个数，最后利用古典概型的概率公式解之即可．解答：解：（1）依题意，=0.18，得n=100；（2）由=0.3，得a=14．∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17；（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），，（21，10），（22，9），（23，8）共14组．其中数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少有：：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组∴数学成绩为A等级的人数比C等级的人数少的概率为=点评：本题重点考查了学生准确的理解题意的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，属于基础题．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和S n满足S=a n（S n﹣）（1）求S n的表达式（2）设b n=，T n是{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，从而=2，由此得到数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列，从而能求出S n=．（2）由b n===（），利用裂项求和法能求出使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值．解答：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣），a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），∴S n2=（S n﹣S n﹣1）（S n﹣），即2S n﹣1S n=S n﹣1﹣S n，…①由题意S n﹣1•S n≠0，将①式两边同除以S n﹣1•S n，得=2，∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）∵b n===（），∴T n=（）=（1﹣）＜．∵T n＜，∴，∴使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值为10．点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，考查使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m的值的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．18．（12分）如图，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O为AB的中点，矩形ABCD所在平面与平面ABEF互相垂直．（1）求证：AF⊥平面CBF；（2）在棱FC上是否存在M，使得OM∥平面DAF？（3）求点A到平面BDF的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，设DF的中点为N，则MNAO为平行四边形，则OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF，满足定理所需条件；（3）过A做AH⊥DF于H，根据面面垂直的性质可知AH⊥平面BDF，AH为点A到平面BDF的距离，即可得出结论．解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB又AF⊥BF，CB∩BF=B，∴AF⊥平面CBF；（2）M为FC的中点，OM∥平面DAF．证明：设DF的中点为N，则MN平行且等于CD又AO平行且等于CD．∴MN平行且等于AO，∴MNAO为平行四边形∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF∴OM∥平面DAF；（3）解：过A做AH⊥DF于H，∵AD⊥平面ABEF，∴AD⊥BF，∵AF⊥BF，AD∩AF=A，∴BF⊥平面ADF，∴平面ADF⊥平面BDF，∴AH⊥平面BDF，∴AH为点A到平面BDF的距离．在△ADF中，AD=AF=1，∴AH=．点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和A到平面BDF 的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）某棚户区改造工程规划用地近似为图中半径为R的圆面，图中圆内接四边形ABCD 为拟定拆迁的棚户区，测得AB=AD=4百米，BC=6百米，CD=2百米．（1）请计算原棚户区ABCD的面积及圆面的半径R；（2）因地理条件的限制，边界AD，CD不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建设用地的利用率，请在圆弧ABC上求出一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．（注：圆的内接四边形对角互补）考点：圆方程的综合应用．专题：应用题；解三角形；不等式的解法及应用．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC 中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径；（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0°，180°），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）；（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号．∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴当P为圆弧ABC的中点时，四边形APCD的面积最大，且为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值X围．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h （t）的最值，从而求出k的值．解答：解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值X围为[33，+∞）．点评：本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．21．（13分）已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，且点在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的长轴为AB，设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN 为锐角．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（1）利用椭圆的离心率，及点在该椭圆上满足椭圆的方程与a2=b2+c2即可求出；（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），由A（﹣2，0），PQ=HP，得到Q（x0，2y0），进而得到直线AQ的方程为．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线即可得到点N的坐标，只要证明且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．解答：解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得，又a2=b2+c2，∴4b2=a2．∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，解得b2=1．∴a2=4，故椭圆C的方程为．（2）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），∵A（﹣2，0），∵PQ=HP，∴Q（x0，2y0），∴直线AQ的方程为．令x=2，得．∵B（2，0），，∴．∴，．∴∵，∴∴．∵﹣2＜x0＜2，∴．又O、Q、N不在同一条直线，∴∠OQN为锐角．点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．。
湖南师大附中 2023-2024 学年度高二第一学期第一次大练习(月考)数学试卷
湖南师大附中2023-2024学年度高二第一学期第一次大练习（月考）数 学时量：120分钟 满分：150分得分：_________一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知1i22iz −=+，则z z −=（ ） A ．i −B ．iC ．0D ．12．已知直线m ，n 和平面α，β，给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥ C ．若m ∥n ，n β⊥，m α⊂，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m ∥β，n ∥α，则α∥β 3．若()()21ln21x f x x a x −=++为偶函数，则a=（ ） A ．0B ．12C ．1D ．24．如图，在四面体A -BCD 中，点O 为底面△BCD 的重心，P 为AO 的中点，设AB a = ，AC b = ，AD c =，则BP =（ ）A ．511666a b c −− B ．511666a b c −++ C ．211333a b c −−D ．211333a b c −++ 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=c ，()2221sin a b A =−，则A=（ ） A ．34π B ．3πC ．4πD ．6π6．将一枚骰子连续抛两次，得到正而朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“7x y +<”，则()P B A 的值为（ ） A ．12B ．13C ．79D ．597．若tan 2tan 5πα=，则3cos 10sin 5παπα− =−（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．对实数a ，b ，定义运算“*”：,1,1a ab a b b a b −≤ ∗=−> ，设函数()()()212f x xx =+∗+，若函数()y f x c =−有两个零点，则实数c 的取值范围是（ ） A ．()()2,45,+∞ B ．(](]1,24,5 C ．()(],14,5−∞D ．[]1,2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2019年中国5G 建设有序推进，新型信息基础设施能力不断提升，有力支撑社会的数字化转型，电信业务发展迅速，下图是2010-2019年中国移动电话用户数及增速走势图．根据该图，下列说法正确的是（ ）A ．2010-2019年中国移动电话用户数逐年增加B ．2011-2019年中国移动电话用户数增速的中位数为7.2%C ．2011-2019年中国移动电话用户数在2011年增速最快D ．中国移动电话用户数在2011-2014年的增速逐年递减，因此期户数逐年减少10．已知直线l ：()220a x ay ++−=与n ：()2360a x y −+−=，下列选项正确的是（ ） A ．若l ∥n ，则a=6或1a =−B ．若l n ⊥，则1a =C ．直线恒过点（1，1−）D ．若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为123y x =−−11．已知函数()()cos 21f x A x ϕ=+−（0A >，0ϕπ<<），若函数()y f x =的部分图象如图所示，函数()()sin g x A Ax ϕ=−，则下列结论正确的是（ ）A ．将函数()1y f x =+的图象向左平移6π个单位长度可得到函数()g x 的图象B ．函数()y g x =的图象关于点（6π−，0）对称 C ．函数()g x 在区间0,2πD ．若函数()g x θ+（0θ≥）为偶函数，则θ的最小值为712π 12．如图ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的动点（不含端点），点F 在侧面BCC 1B 1上运动，且满足A 1F ∥平面AD 1E ，则下列命题正确的有（ ）A ．侧面BCC 1B 1上存在点F ，使役A 1F ⊥BC 1B ．直线A 1F 与直线DC 所成角的正切值的范围为（0） C ．当点E 固定时，三棱雉D 1-AEF 的体积为定值D ．设正方体的棱长为1，当E 为棱CC 1上靠近C 1的三等分点时，则过点A ，D 1，E三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是__________．14．已知()()25,3log 1,3x e x f x x x − ≤ =−> ，则()()126f f =__________．15．设函数()sin 5f x x πω=+（0ω>），若()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是__________．16．已知向量a ，b ，e 满足1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，2−=a b ，则⋅a b 的最小值是__________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知直线l 经过点P （2，3），倾斜角为α．（1）若cos α=，求直线l 的斜截式方程； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的一般式方程． 18．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且cos b a A A c++=． （1）求角C ；（2）设BC 的中点为D ，且，求2a b +的取值范围．如图，在四棱雉P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，BC=P A=2．（1）求证：AB⊥PC；（2）若点M为PD的中点，求直线BM与平而AMC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）为了调查某中学高一年级学生的身高情况，在高一年级随机抽取100名学生作为样本，把他们的身高（单位：cm）按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；（2）在统计过程中，小明与小张两位同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为172cm，方差为29．之后补测得到小明与小张的身高分别为171cm与173cm．试根据上述数据求样本的方差．斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为4，侧面ABB 1A 1上侧面BCC 1B 1，平行四边形BCC 1B 1的面积为．（1）求点A 到平面BCC 1B 1的距离；（2）如图，D 为BB 1的中点，，BB 1=BC ⊥BB 1，求二面角A -B 1C -B 的大小． 22．（本小题满分12分）已知函数()f x （0x >）满足：()()22f x f x a +=+，()12f =，且当(]2,4x ∈时，()2266f x x x −+．（1）求a 的值； （2）求()2f x ≥解集； （3）设()24log 231x g x=+ −，()2cos cos 2h x x m x =+（,22x ππ∈−），若()()f h x g h x ≥ ，求实数m 的值．。
湖南师大附中2011届高三三模数学(文)试题及答案
湖南师大附中2011届高三月考试卷（十）数学试题（文科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数1ii+等于（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2．某市甲、乙、丙3个区共有高中学生20000人，且甲、乙、丙3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现要用分层抽样方法从该市甲、乙、丙3个区所有高中学生中抽取一个样本，已知从甲区中抽取了80人，则应从乙、丙2个区中共抽取 （ ） A ．120人 B ．200人 C ．320人 D ．400人3．设:7:p m q >；函数2()9()f x x m x m R=++∈有零点，则p q 是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知数列{}n a 的首项为1，公差为*()d d N ∈的等差数列，若50是该数列的一项，则公差d 不能是 （ ） A ．1 B ．7C ．9D ．495．在空间中，下列命题为真命题的是（ ） A ．对于直线,a b 和平面α，若a a b α⊥且与无公共点，则b α⊥ B ．对任意直线a ，在平面α中必存在一条直线b 与之垂直 C ．若直线,a b 与平面α所成的角相等，则//a bD ．若直线,a b 与平面α所成的角互余，则a b ⊥6．已知函数221l o g (3),0()1(),02x x x x f x x -⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩，则不等式()(2)f x f >-的解集为（ ）A ．（-∞，-2）∪（1，+∞）B ．（-2，0]∪（1，+∞）C ．（-∞，-2）∪（4，+∞）D ．（-2，0]∪（4，+∞）7．函数()sin f x x =的图象与()cos()6g x x π=-的图象（ ）A ．关于直线6x π=对称B ．关于直线3x π=对称C ．关于直线6x π=-对称D ．关于直线3x π=-对称8．设A 、B 、C 、D 是平面内四个不同的点，且()(||||)0AB CD CD AB AB CD +⋅+=，则AB CD 与（ ） A ．同向平行 B ．反向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
湖南师大附中高二年级理科数学模块结业考试试题卷(必修+选修)
湖南师大附中高二年级理科数学模块结业考试试 题 卷（考试时间：2010年11月12日8﹕00-10﹕00）时量：120分钟满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）必考试卷Ⅰ一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知命题:P ,sin 1∀∈≤x R x ，则P ⌝命题为 ( )A ． 00,sin 1x R x ∃∈≥B ． ,sin 1∀∈≥x R xC ． 00,sin 1x R x ∃∈>D ． ,sin 1x R x ∀∈> 2. 阅读下列程序： INPUT “n=” ;n i = 1 f = 1 WHILEf = f ﹡i i = i+1 WEND PRINT f END如果程序运行后输出720,那么在程序中WHILE 后面的条件是 ( ) A ．i >= 5B ．i<=5C ．i >= 6D ．i<=63．现有60瓶矿泉水，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为 ( ) A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，40，52 C ．5，8，31，36，48，54 D ．5，10，15，20，25，304．已知M 为椭圆221259x y +=上一点，1F 为椭圆的一个焦点，且1||2,MF N =为线段1MF 的中点，则ON 的长为（ ）A ．8 B. 4 C. 2 D.125．如右图所示的算法流程图中，输出的S 表达式为（ ）A 1111 (2399)++++B ．112399++++ C ．1123100++++D ．99.....321++++6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是 ( )A ．“至少有1名女生”与“都是女生”B ．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C ．“至少有1名男生”与“都是女生”D ．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” 7．如图所示,直线AB 的方程为6340x y --=，向边长为2的正方形内随机地投飞镖，飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC 的内部）的概率是 （ ） A ．14441 B ． 14437C ．14425D ．14411二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8．某校有学生4000人，其中高二学生1000人，为了了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校中抽取一个200人的样本，则样本中高二学生的人数为 ．9．抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为 ． 10．在区间[]1,1-上随机取一个数x ，2cosxπ的值介于0到21之间的概率为 ． 11．如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ． 6340x y --=12．有下列命题：①双曲线192522=-y x 与椭圆13522=+y x 有相同的焦点； ②”“021<<-x 是“2x 2－5x －3＜0”必要不充分条件； ③“若xy =0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题是真命题.； ④ R x ∈∀，0332≠+-x x ．其中是真命题的有：_ __．（把你认为正确命题的序号都填上）13. 已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 .三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14．（本小题满分11分） 袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球． （Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（Ⅱ）若摸到白球时得1分，摸到黑球时得2分，求3次摸球所得总分大于4分的概率．15．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，渐近线方程为=±y x ，且过点(4,-.（Ⅰ）求此双曲线的方程；（Ⅱ）在该双曲线上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当P 在双曲线上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？16．（12分）给定两个命题, P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根.如果P ∨Q 为真命题，P ∧Q 为假命题，求实数a 的取值范围．必考试卷Ⅱ一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．高二（1）班某次数学考试的平均分为70分，标准差为s ，后来发现成绩记录有误，甲同学得80分却误记为60分，乙同学得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为1s ，则s 和1s 之间的大小关系是（ ）．A. s s >1B. s s <1C. s s =1D. 与人数有关，无法判断二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2．双曲线2222:1-=x y C a b，F 为右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线的左、右两支分别相交于D 、E 两点，则双曲线C 的离心率e 的取值 范围为 .三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.（本小题满分13分）某市4997名学生参加高中数学会考，得分均在60分 以上，现从中随机抽取一个容量为500的样本，制成 如图a 所示的频率分布直方图．（Ⅰ）由频率分布直方图可知本次会考的数学平均分为81分．请估计该市得分在区间]70,60[的人数；（Ⅱ）如图b 所示茎叶图是某班男女各4名学生的得分情况，现用简单随机抽样的方法，从这8名学生中，抽取男 女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．（第3题 图a ）4.（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为离心率2e =，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点．5. （14分）已知椭圆)0(122221>>=+b a bx a y C ：的右顶点与上顶点分别为A 、B ，以A 为圆心，OA 为半径的圆与以B 为圆心，OB 为半径的圆相交于点O 、P 。
湖南省师大附中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，2．则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=．11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值X围是．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.63520．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取X围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．某某师大附中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）给出下列两个推理：①在△ABC中，若D为BC的中点，则=（+），由此推测：在空间四面体ABCD中，若M为△BCD的重心，则=（++）．对于上述两个推理，下列判断正确的是（）A．①是类比推理，②是归纳推理B．①是类比推理，②是演绎推理C．①是归纳推理，②是演绎推理D．①是演绎推理，②是类比推理考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：根据类比推理，演绎推理的定义，对两个推理进行判断即可得出正确选项．解答：解：平面结论推广到空间是类比推理，三段论是演绎推理，故选B．点评：考查类比推理，演绎推理的定义，理解定义，运用定义，套准定义是解题的关键．2．（5分）在空间中，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，对于原命题“若•=0，则l∥α”，下列判断正确的是（）A．原命题为真，否命题为真B．原命题为假，否命题为假C．原命题为假，否命题为真D．原命题为真，否命题为假考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的条件与结论，判定命题是否为真，再根据逆命题的定义写出逆命题判定逆命题的真假；然后根据命题与其逆否命题的同真性判定，否命题与逆否命题的真假即可．解答：解：“若•=0，则⊥，得到l∥α，或l⊂α，所以原命题为假命题，若l∥α”则⊥，得到•=0，所以逆命题为真命题，从而否命题为真，故选：C．点评：本题考查四种命题的真假关系．命题与逆否命题同真、同假．3．（5分）已知复数z=3﹣2i﹣，则复数z对应复平面上的点Z位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．解答：解：∵z=3﹣2i﹣==3﹣2i+1﹣2i=4﹣4i，∴复数z对应复平面上的点Z的坐标为（4，﹣4），位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（5分）已知某个车轮旋转的角度α（弧度）与时间t（秒）的函数关系是α=t2（t≥0），则车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度是（）A．20π弧度/秒B．10π弧度/秒C．8π弧度/秒D．5π弧度/秒考点：实际问题中导数的意义．专题：导数的综合应用．分析：直接利用函数的导数的几何意义求解即可．解答：解：由题意可得α′=，车轮启动后第1.6秒时的瞬时角速度：=10π．故选：B．点评：他考查函数的导数的应用，注意导数的几何意义是解题的关键，考查计算能力．5．（5分）“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”（）A．充分不必要B．必要不充分C．充分且必要D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合条件求出对应的等价条件，进行判断即可．解答：解：由＞1得0＜a＜1，若函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增，则3﹣2a＞1，解得a＜1，故“＞1”是“函数f（x）=（3﹣2a）x单调递增”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系以及指数函数的性质是解决本题的关键．6．（5分）从某5人中选派3人分别参加数学、物理、化学竞赛，每个学科各1人，其中甲、乙两人至多选1人参赛，则不同的参赛方案共有（）A．24种B．36种C．42种D．48种考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，可以分3步进行分析先在甲乙中选取1人，在剩余3人选取2人，将选出的人对应三科竞赛；求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得这种情况下的参赛方案数目；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有排列数公式可得这种情况下的参赛方案数目；最后由分类计数原理计算可得答案．解答：解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲乙两人中有1人参加竞赛，先在甲乙中选取1人，有2种选法；在剩余3人选取2人，有C32=3种选法；将选出的人对应三科竞赛，有A33=6种情况，则此时有2×3×6=36种选法；②、甲乙都不参加竞赛，只需将剩余3人，对应参加三科竞赛，有A33=6种情况，则一共有36+6=42种不同的参赛方案；故选C．点评：本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析“甲、乙两人至多选1人参赛”的条件，明确分类讨论的思路．7．（5分）某中学为了解学校办公楼每天的用电量x（度）与当天最高气温x（℃）之间的关系，随机统计了近期某4天的有关数据如下表示：最高气温x（℃）10 4 ﹣2 ﹣8用电量y（度）20 44 56 80据回归分析，上述4线样本数据具有线性相关关系，计算得回归直线的斜率b=﹣3.2，由回归方程可以预报最高气温为6℃时当天的用电量约为（）A．32度B．34度C．36度D．38度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将x=6代入可得答案．解答：解：由表格知样本中心点为，则回归方程是=﹣3.2x+a，将（1，50）点代入得：a=53.2，则回归方程是=﹣3.2x+53.2，则当x=6时，y的预测值为，故选：B．点评：本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是一个运算量比较小的题目．8．（5分）口袋里装有大小相同的3个白球和2个黑球，每次从中不放回随机抽取1个球，连续抽出2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（）A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：设已知第一次取出的是白球为事件A，第二次也取到白球为事件B，先求出n（A），n（AB）的种数，然后利用条件概率公式进行计算即可．解答：解：设第一次抽到白球为事件A，第二次抽到白球为事件B，则n（A）==12，n（AB）==6，所以P（B|A）===．点评：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．9．（5分）已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点F1、F2，点P为双曲线C与椭圆的一个交点，且满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过椭圆、双曲线的定义直接计算即可．解答：解：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=6，又∵|PF1|=2|PF2|，∴3|PF2|=6，即|PF2|=2，由双曲线定义可知：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF2|=2a，即a=1，由已知，双曲线的焦半距c=2，则b=，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，故选：A．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）某射手每次射击命中目标的概率都是0.8，设连续射击10次命中目标的次数为X，则随机变量X的方差D（X）=1.6．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：根据题意可判断n次独立重复试验问题，X服从B（10，0.8），二项分布问题，根据方差求解即可．解答：解：∵根据题意可判断：X服从B（10，0.8），∴则随机变量X的方差D（X）=10×0.8×0.2=1.6，故答案为1.6点评：本题主要考查了n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，以及离散型随机变量的放出，同时考查了计算能力，属于中档题11．（5分）在（2﹣）6的展开式中，含x2项的系数是﹣192．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：写出二项展开式的通项，由x的次数为2求得r值，则含x2项的系数可求．解答：解：∵=，由3﹣r=2，得r=1．∴含x2项的系数是﹣×25=﹣192．故答案为：﹣192．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（5分）设复数z=1﹣i，若实数a，b满足z2+az+b=，则|a+bi|=5．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：把z=1﹣i代入z2+az+b=，整理后利用复数相等的条件求得a，b，再由复数模的计算公式得答案．解答：解：由z=1﹣i，且z2+az+b=，得（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1+i，即﹣2i+a﹣ai+b=1+i，∴a+b﹣（a+2）i=1+i．，解得a=﹣3，b=4．故a+bi=﹣3+4i．∴|a+bi|=．故答案为：5．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．13．（5分）对任意给定的实常数a，设命题p：方程ax2+（a﹣2）y2=1的曲线是双曲线；命题q：∃x0＞0，x0+a﹣1=0，若“p∧（￢q）”为真命题，则a的取值X围是[1，2）．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：若p∧（￢q）为真，则p真，q假，然后分别求出p，q为真命题的等价条件即可．解答：解：∵“p∧（￢q）”为真命题，∴p真，q假，若命题p为真，则a（a﹣2）＜0，即0＜a＜2，若命题￢q为真，∀x＞0，x+a﹣1≠0，则1﹣a≤0，即a≥1，∴，解得1≤a＜2故a的取值X围为[1，2）．故答案为：[1，2）．点评：本题主要考查复合命题的应用，要求熟练掌握复合命题与简单命题的真假关系．14．（5分）当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的最小值是﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导数，求得f（x）在（﹣1，1）内的单调区间，即可得到极小值，也为最小值．解答：解：函数f（x）=e x（sinx﹣cosx）的导数为f′（x）=e x（sinx﹣cosx）+e x（cosx+sinx）=2e x sinx（x∈[﹣1，1]），由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，即f（x）在（0，1）递增，由f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0，即f（x）在（﹣1，0）递减．即有x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，正确求导是解题的关键．15．（5分）设椭圆+=1（a＞b＞0）长轴的两端点分别为A、B，点M在椭圆上，若直线AM与BM的斜率之积为﹣，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），利用k AM•k BM=﹣及，计算即得结论．解答：解：设点A（﹣a，0），B（a，0），M（m，n），则k AM•k BM=•==﹣，∵，∴n2=b2（1﹣）=（a2﹣m2），即=﹣=﹣，∴=，则e====，故答案为：．点评：本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知甲、乙两人在一次射击中命中目标的概率分别为和，假设两人射击相互独立，且每人各次射击互不影响．（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一个命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，求甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得他们都没有击中目标的概率，再用1减去此概率的值，即为所求．（Ⅱ）由条件根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率．解答：解：（Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，由题意可得他们都没有击中目标的概率为（1﹣）•（1﹣）=，故至少有一个命中目标的概率为1﹣=．（Ⅱ）若甲、乙两人各射击4次，则甲命中目标2次，且乙命中目标3次的概率为•••••（1﹣）=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率公式，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AB⊥AC，E分别是A1B1，CC1的中点．（Ⅰ）用基向量，，表示向量；（Ⅱ）若AB=AC=AA1=1，求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的分解和合成表示向量．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的数量积求出线面间的正弦值解答：解：（Ⅰ）===（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系，则点B1（1，0，1）C1（0，1，1）D（，0，1），E （0，1，2）设为平面AB1C1的法向量，则因为则，取x=1，则因为，则所以直线DE与平面AB1C1所成的角的正弦值为点评：本题主要考查空间向量的分解合成和空间直角坐标系在立体几何中得应用，属常考题型、中档题．18．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1•a n﹣2a n+1=0（n∈N*）．（Ⅰ）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：与中至少有一个小于2．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．解答：解：（Ⅰ）由已知，，又a1=2，则a2=2﹣a3=2﹣，a4=2﹣，由此可猜想：证明：（1）当n=1时，，所以猜想正确．（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即则=，即当n=k+1时也成立．结合（1）（2）可知，数列{a n}的递推公式是（Ⅱ）假设，且，因为a n，a k＞0则1+a n＞2a n，且1+a k＞2a n，两式相加得，（1+a n）+（1+a k）≥2a n+2a k，即a n+a k≤2因为＞1，则：a k+a n＞2，矛盾．所以假设不成立，即：与中至少有一个小于2．点评：本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，2015届高考经常涉及，属中档题型．19．（13分）对某中学2014-2015学年高二某班40名学生是否喜欢数学课程进行问卷调查，将调查所得数据绘制成二堆条形图如图所示．（Ⅰ）根据图中相关数据完成以下2×2列联表；并计算在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”？喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男女总计40（Ⅱ）从该班所有女生中随机选取2人交流学习体会，求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．参考公式：K2=．临界值附表：P（K2≥k0）0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.01k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 6.635考点：离散型随机变量及其分布列；独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表；根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，求出观测值，即可得出结论．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求这2人中喜欢数学课程的人数X的分布列和数学期望．解答：解：（Ⅰ）根据条形图所给数据，得2×2列联表为喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男15 10 25女 5 10 15总计20 20 40因为K2=≈2.667＞2.072，P（K2≥2.072）=0.15故在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“性别与是否喜欢数学课程有关系”；（Ⅱ）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，X的分布列X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本题考查独立性检验的应用，考查分布列和数学期望，本题解题的关键是正确利用观测值公式求出观测值，求概率．20．（13分）在平面直角坐标系中，已知三定点A（1，2），B（1，﹣2）和P（3，2），O为坐标原点，设满足|+|=•+2的动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过曲线C的焦点F作倾斜角为α（α为锐角）的直线l，交曲线C于D、E两点，线段DE的垂直平分线交x轴于点T，试推断当α变化时，|FT|•（1﹣cos2α）是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）利用向量由|+|=•+2得到点M的轨迹方程．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1），直线和抛物线联立求得方程，利用韦达定理列得条件，根据题目条件列式求解．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）则，从而，所以||=，又，则由已知，，则（x﹣1）2+y2=（x+1）2，即y2=4x．（Ⅱ）曲线C的焦点为F（1，0）则直线AB的方程为y=tanα（x﹣1）联立y2=4x，消去x，得y=tanα（），即y2tanα﹣4y﹣4tanα=0，设点D（x1，y1），E（x2，y2）则y1+y2=，x1+x2=，所以线段DE的垂直平分线方程为令y=0，得x=，所以点T（）故|FT|=（1﹣cos2α）=（）（1﹣cos2α）=2（）2sin2α=4为定值．点评：本题考查了圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中属常考题型．21．（13分）已知函数f（x）=lnx+，其中a为实常数．（Ⅰ）当a=1时，计算由曲线y=f（x）﹣lnx和直线x=0，x=2以及x轴所围图形的面积S；（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取X围；（Ⅲ）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，当x＞0时，比较与的大小．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据定积分的几何意义即可求出面积s，（Ⅱ）先求导，再分离参数，利用基本不等式即可求出a的X围；（Ⅲ）根据零点即是导数等于0时的方程的根，根据根与系数的关系得到x1x2=1，化简整理f（x1）+f（x2），再根据做差法比较大小，需要构造函数g（x）=x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数的最小值，问题得以证明．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+，y=f（x）﹣lnx=＞0，∴S=dx=（1﹣）dx=[x﹣ln（x+1）]|=2﹣ln3；（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f′（x）=+≥0恒成立，∴a≥﹣=﹣（x++2），∵x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时取等号，∴a≥﹣4，故a的取X围为[﹣4，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知f′（x）=+，令f′（x）=0，得到x2+（a+2）x+1=0，由题意得x1，x2是方程的两根，则x1x2=1，∴f（x1）+f（x2）=lnx1++lnx2+=lnx1x2++=a=a•=a，于是﹣=﹣=，设g（x）=x﹣lnx﹣1，则g′（x）=1﹣=当g′（x）＜0时，即0＜x＜1，在g（x）在（0，1）上单调递减，当g′（x）＞0时，即x＞1，在g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（1）=0，∴当x∈（0，+∞）时，x﹣lnx﹣1＞0，故≥，当且仅当x=1时取等号．点评：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的最值的关系，以及函数恒成立，不等式的证明等问题，考查了转化能力，运算能力，属于难题．。
湖南省师大附中11-12学年度高二数学上学期第一次段考 文
湖南师大附中2011—2012学年度上学期期中考试高二数学理试题（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆x y 22+4=4的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C.3. 样本中共有五个个体，其值分别为,0,1,2,3a ，若该样本的平均值为1，则样本方差为（D ）65【解析】D4已知命题:p x R ∃∈，使sin x =命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x b y ˆˆ+=中的b 为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B) A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线mx y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23B ．2C ．25D ．3【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线y 2-4x 2=64上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=定圆222:(2)1C x y -+=动圆M 与圆1C 内切和2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____ 【解析】22222(,),1)(1)x y xy x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF =22a ③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：y 2= 2px (p >0)的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知0>a ,设命题:p 函数xa y =在R 上单调递减，:q 设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围. 【解析】若p 是真命题, 则10<<a 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假, 则210≤<a ; 若p 假q 真, 则1≥a故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x = (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2,代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x += 故AB =12416x x ++= 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.（2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. 19．（本小题满分12分）P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点，如图所示． (1)若1PF 的中点为M ，求证:1152MO PF =-(2)若01260F PF =，求|PF 1|·|PF 2|之值；(3)椭圆上是否存在点P ，使PF 1→·PF 2→＝0，若存在， 求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由【解析】(1)证明：在△F 1PF 2中，MO 为中位线， ∴|MO |＝|PF 2|2＝2a －|PF 1|2＝a －|PF 1|2＝5－12|PF 1|.(2)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|，在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. (3)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．已融化的区域冰川区域边界线P1(-14,-3)P2(-5,9)A (-4,0)B (4,0)20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。
湖南师大附中11-12学年度上学期高二第一次段考含解析(数学理).pdf
3、若x2=25,则x=____,若x2=2.25,则x=____. 2、4的平方根是____,4是___的平方根. 一、复习巩固： 1、如果________,那么___是___的平方根. x2=a x a ±2 16 ±5 -1.54、正数a的正的平方根为_____，负的平方根是________. 6.如果一个正数的两个平方根分别为3a-5和2a-10，求这个正数。
5.求下列各式中的x的值 7米 7米 ？100米2 ？ （图１） （图２） （1）图１的正方形的面积为＿＿＿＿＿； （2）图２的正方形的边长为＿＿＿＿＿；（3）如果有一个正方形的面积为10平方米，那么 它的边长是多少呢？ 49米2 10米 引入 二、新知探究： 1、1的正的平方根为_____， 2的正的平方根为_____， 3的正的平方根为_____， 4的正的平方根为_____， 正数a的正的平方根为_____. 我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
例如，4的平方根是±2，2叫做4的算术平方根。
正数a有两个平方根,其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
a叫做被开方数。
特殊：0的算术平方根是0。
问：平方根与算术平方根的区别与联系？ 例1：求下列各数的算术平方根 探索 & 交流 （5）(－4 ) 2 的算术平方根是＿＿ （4） 10 的算术平方根是＿＿ （3）0.01的算术平方根是＿＿ （2）9 的算术平方根是＿＿ （1）9的算术平方根是＿＿ 探索 & 交流 （6）算术平方根等于它本身的是＿＿ 3 3 0.1 40或1 10 例2：求下列各式的值(计算) 例3： 的算术平方根是___ 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。
负数不存在算术平方根，即当 时， 无意义。
★ 例4:下列各式中哪些有意义？ 哪些无意义？为什么？ 练:若 ， 求的值 注：3种非负数，即绝对值、偶数次方、算术平方根。
湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测(数学理)
湖南师大附中2011-2012学年高二12月阶段检测数学(理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程x =（ ）A 。
双曲线 B.椭圆 C 。
双曲线的一部分 D 。
椭圆的一部分 【解析】C2.已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---,则向量AB AC 与的夹角为（ ） A030B 045C 060 D090【解析】C3。
如图:在平行六面体1111DC B A ABCD -中,M为11C A 与11D B 的交点。
若=，=，=1则下列向量中与BM相等的向量是（ ）A 。
c b a ++-2121 B 。
c b a ++2121 C.c b a +--2121 D 。
c b a +-2121【解析】A4。
已知363()(3)2,()2,lim 3x f x f f x x →-'==-=-则 ( )A ．－4B ．6C ．8D ．不存在【解析】 BC1A 115. 下列命题错误的是（ ）A.对于命题p ：若xy ＝0，则x ,y 中至少有一个为零，则p ⌝是：若xy ≠0，则x ，y 都不为零B 。
对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1〈0，则p ⌝是:∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0C 。
命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“若方程x 2＋x －m ＝0无实根,则m ≤0”D.“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 【解析】 A6．椭圆2211612x y +=的长轴为1A 2A ，短轴为1B 2B ,将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得1A 点在平面1B2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为( ）。
A. 75° B 。
60° C 。
45° D 。
30° 【解析】B 7．已知点P的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上一点，F 1,F 2为双曲线的左、右焦点，若(22)0OP OF F P +=(O 为坐标原点），且△PF 1F 2的面积为2ac(c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 （ ） AB．12+ C ．1+D【解析】A8. 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ） A 。
湖南师大附中2024年高二11月期中考试数学试题
湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：__________一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22:14y x C m−=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（ ）A.1B.2C.8D.162.已知直线()12:210,:110l mx yl x m y −+=−−−=，则“2m =”是“1l ∥2l ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（ ） A.120 B.140 C.160 D.1804.已知数列{}n a 的通项()368,4,,5,n n t n n a t n − −+=若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A.()1,6B.()4,6C. D.[)4,6 5.已知直线:10l x y −+=，从点()2,3A −射出的光线经直线l 反射后经过点()2,4B ，则光线从A 到B 的路程为（ ）A.2B.3C.5D.66.已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y −+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A.2216448x y −= B.2214864x y += C.2214864x y −= D.2216448x y += 7.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +−=相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，则a =（ ）A. B.1−8.设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左､右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF =C 的离心率为（ ）D.3二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式是（ ）A.()1πsin2n n a −= B.πcos2nn a= C.()1πcos2n n a += D.()2πcos2nn a+=10.（作业43T 12）已知抛物线()220y px p =>上三点()()()1122,,1,2,,,A x y B C x y F 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A.抛物线的准线方程为1x =−B.若0FA FB FC ++=，则2FBFA FC =+ C.若,,A F C 三点共线，则121y y =−D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 11.曲线23Γ:23y y x mx −=+−，下列结论正确的是（ ） A.曲线Γ关于原点对称 B.曲线Γ关于直线1y =对称C.当0m =时，曲线Γ上点的横坐标的取值范围为)∞+D.若曲线Γ在第一象限内存在位于直线1x =左侧的点，则1m >三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()222:1016x y C b b+=>的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，若12AF AF ⊥，则C 的短轴长为__________.13.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n +=∈N ，则2024a=__________.14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>，其左，右焦点分别为12(F F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F 的内心（内切圆的圆心），123PI mPF mPF =+，若1260F PF ∠= ，则12PF F 的内切圆的半径为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知圆C 过点()5,1A −−和()2,0B ，且圆心C 在直线1x y +−=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）经过点()3,4的直线l 与圆C 相切，求l 的方程. 16.（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2122353227,81a a a a a +==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设313232log log log ,n nn n na b b a a a c n=+++= ，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P ABCD −⊥平面,90,ABCD ABC AB ∠= ∥,CD PCD 是边长为2的正三角形，点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （2）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，点31,2 在椭圆上，12,F F 分别为E 的左，右焦点，抛物线C 的顶点在原点，焦点与E 的右焦点重合. （1）求椭圆E 与抛物线C 的标准方程；（2）过焦点2F 的直线l 交椭圆E 于点,M N ，交抛物线C 于点,A B ，P 为过点1F 且垂直于x 轴的直线上异于1F 的一点. （i ）若73AB MN =，求直线l 的方程； （ii ）设2,,PA PB PF 的斜率分别为123,,K K K ，求123K K K +的值. 19.（本小题满分17分） 已知集合{}()*1212,,,0,n n Sa a a a a a n <<<∈N ，若对于任意,,x y S x y ∈+与x y −至少有一个属于S ，则称S 为开心集.（1）分别判断集合{}1,2,3A =与集合{}0,1,2B =是否为开心集，并说明理由； （2）当3n =时，若4S ∈，求开心集S ； （3）若集合{}()122024122024,,,0Sa a a a a a <<< 为开心集，且S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍，求20242a a 的最小值.湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 78 答案ACCBCDCA1.A 【解析】依题意，得0m >，令2204y x y x m −=⇒，即C 的渐近线方程为y x =，21m =⇒=.故选A.2.C 【解析】由直线1l 与直线2l 平行得()()112m m −−=×−，得2m =或1m =−，经验证，当1m =−时，直线1l 与2l 重合，舍去，所以“2m =”是“1l ∥2l ”的充要条件.故选C.3.C 【解析】因为37526a a a +，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +×==+=，故选C.4.B 【解析】由已知得()261,468,t t t t −>> −+<解得46t <<.5.C 【解析】设点()2,3A −关于直线l 的对称点为(),A m n ′，则有2310,2231,2m n n m −+ −+= − =− +解得2,1,m n ==− ，因为光线从A 到B 的路程即A B ′的长，而5A B ′=.所以光线从A 到B 的路程为5. 6.D 【解析】设圆M 的半径为r ，则()()1212133168MC MC r r C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，且216,28a c ==，所以8,4,a c b ====M 的轨迹方程为2216448x y +=.7.C 【解析】由三角形的面积公式可得214sin 82ABC S ACB ∠=×= ，得sin 1ACB ∠=，由0πACB ∠<<，得π2ACB ∠=， 所以ABC 为等腰直角三角形，所以圆心()0,2C 到直线20x ay ++=的距离为π4sin 4d =，由点到直线的距离公式得d1a =.故选C. 8.A 【解析】法1：如图，过点1F 作OP 的反向延长线的垂线，垂足为P ′，连接2P F ′，由题意可知，四边形12PF P F ′为平行四边形，且2PP F ′ 是直角三角形.由渐近线的性质知22,F P b F O c ==，所以,2OP a PP a ′==，又12PF F P =′，所以2F P b =，所以c ==，所以cea==.故选A.法2：易知在2Rt OPF中，F c，所以2,cos bOP a PF O c∠==，又因为1PF =1PF =.在12PF F 中，由余弦定理得2221212212212cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+−，即22222642243b a b c b c c b c=+−⋅⋅=−，因为222b c a =−，所以223a c =c =，所以ce a==，因此C.故选A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD9.AD 【解析】根据正弦函数，余弦函数的性质可知A ，D 可以作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式，()1ππcos ,cos22n n +不符合，πcos 2n 表示()1π0,1,0,1,0,1,,cos 2n +−− 表示1,0,1,0,− ，故选AD.10.ABD 【解析】把点()1,2B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =−，故A 正确；因为()()()()1122,,1,2,,,1,0A x y B C x y F ，所以()()()11221,,0,2,1,FA x y FB FC x y =−==− ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，故B 正确；因为,,A F C 三点共线，所以线段AC 是焦点弦，所以2124y y p =−=−，故C 不正确；设AC 的中点为()00,M x y ，因为120,1122AF CF AC AF CF x x x ++++++ ，所以0226x + ，得02x ，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.11.BCD 【解析】对选项A ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−①，而点()00,P x y 关于原点对称的点为(00,P x y −−′，若曲线关于原点对称，则P ′也应在曲线上，则有()()()()23000023y y x m x −−−=−+−−②；联立①②，得203y =−，此时0y 无解，故A 错误；对选项B ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−③，而点()00,P x y 关于1y =对称的点为()00,2P x y −′，若曲线关于1y =对称，则P ′也应在曲线上，则有()()2300002223y y x mx −−−=+−④；联立③④，得()()2200002222y y y y −=−−−，即22000022y y y y −=−，该式恒成立，则P 和P ′是在曲线上且关于1y =对称的点，即1y =是该曲线的对称轴，故B 正确；对选项C ：由原方程得23(1)20y x −=− ，解得x ，所以C 正确；对选项D ：由原方程得23(1)2y x mx −=+−，由题意知，当01x <<时有点(),x y 在曲线上，因为23(1)20y x mx −=+− ，所以320x mx +− 在()0,1上有解，即22m x x− 在()0,1上有解，又因为函数()22f x x x =−在()0,1上单调递减，所以22111m >−=，所以D 正确.故选BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【解析】设122F F c =，易知124AF AF a ===，结合12AF AF ⊥，可知12AF F 为等腰直角三角形，所以122F F c =，故c =所以b =，所以C的短轴长为2b =.故答案为13.2024 【解析】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即11222,2a a a a =∴=，当2n 时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a −−=，两式相减得()112n n n n a a a a +−=−，又{}1120,2,n n n n a a a a +−≠∴−=∴ 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，20242024a ∴=.【解析】由12PI xPF yPF =+ ，结合点I 是12PF F 的内切圆的圆心可知12xPF yPF = ，又有3y x =123PF PF =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a == ，再根据1260F PF ∠=，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+−，即2222893a a a +−，解得2a =，则()121212121211sin 22F PF S PF PF F PF PF PF F F r ∠==++ 内，可得内切圆的半径r =内.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设圆C 的方程为()222()()0x a y b rr −+−=>，根据题意，可得222222(5)(1),(2)(0),10,a b r a b r a b −−+−−= −+−=+−=解得2,3,5a b r =−==，所以圆C 的方程为22(2)(3)25x y ++−=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，易知直线l 与圆C 相切； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()34y k x =−+，5，解得125k =−， 则直线l 的方程为()12345y x =−−+，即125560x y +−=. 故直线l 的方程为3x =或125560x y +−=. 16.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得112226113227,81,a a q a q a q += =因为0q >，所以13,3,a q == 所以*3,n n a n =∈N . （2）因为3log n a n =，所以()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=+++=，()13n nc n =+，所以()12233313nn T n =×+×+++ ，()2313233313n n T n +=×+×+++ ，两式相减得，()()()1231113932126333136133222n nn n n n n T n n ++++−+−=++++−+=+−+=− ，故()1*2133,4n nn T n ++−∈N .17.【解析】（1）PA ⊥ 平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥，90,,,ABC BC AB PA AB A PA ∠=∴⊥∩=⊂ 平面,PAB AB ⊂平面,PAB BC ∴⊥平面PAB ，又BC ⊂ 平面,PBC ∴平面PAB ⊥平面PBC .（2）如图，连接,,,PG CG AC 点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G ， 又PCD 是边长为2的正三角形，∴三棱锥A PCD −为正三棱锥，Rt PAC ∴为等腰直角三角形，AP AC AD ∴===，∴取CD 的中点E ，连接AE ，则AE CD ⊥，90,ABC AB ∠= ∥,2,CD CD AB AE =∴⊥， ∴四边形ABCE 是矩形，1AB CE ∴==，又1AC AB CB =∴== ，PA ⊥ 平面,,ABCD PA AB PA AE ∴⊥⊥，,,AB AE AP ∴两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0A B C E D −，(2,0,3P G ∴ ，设平面PBC 的法向量为()000,,m x y z =，000000,1,0,m BC y z x m BP x ⋅== ∴ ⋅=−=令则 ∴平面PBC的法向量为)m =.又11,3DG =− ，设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,m DG m DG m DG θ⋅=<>==⋅ . 故直线DG 与平面PBC. 18.【解析】（1）根据题意可知，22222191,41,2,a b c a c a b += = =−解得2,1,a c b = = = ∴概圆E 的方程为22143x y +=. ()21,0,F ∴∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）（i ）设AB 的方程为1xty =+， 联立21,4,x ty y x =+ = 化简得2440y ty −−=，显然Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +=⋅=−，所以()2241AB y t =−=+， 联立221,1,43x ty x y =+ += 化简得()2234690t y ty ++−=，显然Δ0>， 设()()3344,,,M x y N x y ，则34342269,3434t y y y y t t +=−⋅=−++，所以()242121.34t MN y t +=−=+ 因为73AB MN =，所以()()222121741334t t t ++=×+，即2347t +=，即1t =±， 所以直线l 的方程为10x y −−=或10x y +−=. （ii ）设()()1,0P m m −≠，则1212312,,112y m y m m K K K x x −−===++−， ()()()()()()122112121212111111y m x y m x y m y m K K x x x x −++−+−−∴+=+=++++ ()()()()()()()()()122112122121212222242224y m ty y m ty ty y mt y y mty ty t y y t y y −++−++−+−=+++++ ()()()222241824448441m t t mt t m m t t t −+−+−⋅−===−−+++，12322K K m m K +−∴==−. 19.【解析】（1）对于集合A ，因为336,330A A +=∉−=∉，故{}1,2,3A =不是开心集. 对于集合B ，因为011,02,211,000,112,220B B B B B B +=∈+=∈−=∈+=∈+=∈−=∈， 故集合{}0,1,2B =是开心集.（2）当3n =时，{}()123123,,0S a a a a a a << ，因为33a a S +∉，由题意得0S ∈，故10a =，①若24a =，由于34a S +∉，故3344a a S −=−∈，故344a −=，即38a =，此时{}0,4,8S =符合题意.②若34a =，由于24a S +∉，故2244a a S −=−∈，故224a a −=，即22a =，此时{}0,2,4S =符合题意.综上，{}0,2,4S =或{}0,4,8.（3）由题意，0S ∈，若S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍， 则必有2a m =，故{}320240,,,,S m a a = ，分别考虑2024a 和其他任意元素()2,3,,2023i a i = ，由题意可得2024i a a −也在S 中，而20242023202420222024220240a a a a a a a <−<−<<−< ，故()2024202522023i i a a a i −−=，特别地，101210132024a a a +=， 下考虑对于21012i j < ，因为202520251013i j −>− ，所以202520252024i j a a a −−+>， 故()()202520252025202520242024i j i j i j j i a a a a a a a a a a S −−−−−=−=−−−=−∈， 特别地，32a a S −∈，故322a a a −=，即32a m =， 由42a a S −∈，且2424a a a a <−<，故423a a a −=，即43a m =， 以此类推，()()12,3,,1012i a i m i =−=. 又因为()10121013202420242025,22023i i a a a a a a i −+=−= ， 所以()()202420241013,,2023i a a i m i =−−= ， 又因为10121013a a <，即202410111011m a m <−，所以2024220222022a m a >=， 即202422022a a >，故202422023a a . 当202422023a a =时，{}0,,2,,1011,1012,,2023S m m m m m = 满足条件. 综上，20242a a 的最小值为2023.。