2.4.1二次函数的图像
2.4.1二次函数的图像
§2.4.1 二次函数的图像教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时教学过程导入新课在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．新知探究提出问题①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1.何在图像上表现的？③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？讨论结果：①如图1是y＝x2的图像，图1如表2为所填表格：图2所示，就是把AB伸长为原来的2倍，即AC的长度，得到当x＝1时y＝2x2对应的值．图2 图3③将y＝x2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y＝2x2的图像．④将y＝Af(x)的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A(A＞1)倍或缩短为原来的A(0＜A＜1)倍得到y＝Af(x)的图像．提出问题①在同一坐标系中画出y＝2x2，y＝x＋2，y＝x＋2＋3的图像，观察图像，如何由y＝2x2的图像得到y＝x＋2＋3的图像？②如何由y＝ax2的图像得到y＝a x＋h2＋k h≠0，k的图像？③如何由y＝f x的图像得到y＝f x＋h＋k h≠0，k的图像？④由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像？讨论结果：①y＝2x2，y＝2(x＋1)2，y＝2(x＋1)2＋3的图像，如图4.图4观察图4，得把y＝2x2的图像向左平移一个单位长度得y＝2(x＋1)2的图像，再把y＝2(x＋1)2的图像向上平移3个单位得y＝2(x＋1)2＋3的图像．②把y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝a(x＋h)2的图像，再把y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝a(x＋h)2＋k的图像．③把y＝f(x)的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位长度得y＝f(x＋h)的图像，再把y＝f(x＋h)的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得y＝f(x＋h)＋k的图像．④一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可通过配方得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而就可以知道由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c的图像．提出问题①二次函数y＝a x＋h2＋k a中，h，k对函数的图像有何影响？②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c a 中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？ ③写出一个开口向下，顶点为－3，的二次函数的解析式，并画出其图像. 讨论结果：①h ，k 只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．②确定函数图像开口大小及方向的参数是a ，确定函数图像位置的参数是a ，b ，c .③例如y ＝－(x ＋3)2＋1.其图像如图5所示，图5应用示例例1 二次函数f (x )与g (x )的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g (x )的解析式和f (x )图像的顶点，写出函数f (x )的解析式；(1)函数g (x )＝x 2，f (x )图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g (x )＝－2(x ＋1)2，f (x )图像的顶点是(－3,2)．活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．解：如果二次函数的图像与y ＝ax 2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h ，k )，则其解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k ，(1)因为f (x )与g (x )＝x 2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f (x )图像的顶点是(4，－7)，所以f (x )＝(x －4)2－7＝x 2－8x ＋9；(2)因为f (x )与g (x )＝－2(x ＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g (x )＝－2(x＋1)2又与y ＝－2x 2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f (x )与y ＝－2x 2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f (x )图像的顶点是(－3,2)，所以f (x )＝－2(x ＋3)2＋2＝－2x 2－12x －16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．变式训练1．函数y ＝2x 2＋4x －1的对称轴和顶点分别是( )．A ．x ＝－2，(－2，－1)B ．x ＝2，(－2，－1)C ．x ＝－1，(－1，－3)D ．x ＝1，(－2,3)解析：由y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3得对称轴是x ＝－1，顶点是(－1，－3)．答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋3|，x 2，x ， x ∈－6，－，x ∈[－1，1]，x ∈[1，6]，则f (2)等于( )．A ．2 2B ．2C ． 2D ．无法确定解析：∵2∈[1,6]，∴f (2)＝ 2.答案：C3．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．A ．y ＝x 2＋6x ＋7B ．y ＝x 2－6x ＋7C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：所得解析式为y ＝(x －2)2－2(x －2)－1＝x 2－6x ＋7.答案：B例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？ 分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开，得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 2， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 得4－－k 3＝269. 解得k ＝43. 所以该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53. 点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论．变式训练如果把函数y ＝ f (x )的图像平移，可以使图像上的点P (1,0)变成Q (2,2)，则函数y ＝ f (x )的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．A ．y ＝f (x －1)＋2B ．y ＝f (x －1)－2C ．y ＝f (x ＋1)＋2D ．y ＝f (x ＋1)－2解析：点P (1,0)变成Q (2,2)可以看成将点P (1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q (2,2)，则将函数y ＝ f (x )的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝ f (x －1)＋2的图像．课堂练习：P45 1、2、3课堂小结：本节学习了(1)二次函数的解析式及其求法．(2)变换法画二次函数的图像． 课后作业：习题2—4A 组2、3、4.。
2.4.1二次函数的图像课件
3.y=f(x)与y=f(x+h)+k的图像变换规律.
作业：
Ｐ46 Ａ组１，２，３（１），（４）
探索问题:
(1)y=x2和 y=a x2(a0)的 像 图 之 有 么 系 间 什 关 ？
(2)y=ax2和 y=a(x+h) 2+k(a0)的 图 之 有 么 系 像 间 什 关 ？ (3)y=ax2和 y=ax 2+bx+c(a0)的 图 之 有 么 系 像 间 什 关 ？
解：因为 y=x2+2x+4=(x+1)2+3
所以 可以由y=x2的图像向左平移1个单位， 再向上平移3个单位而得到
延伸与拓 展:
y=f(x)和y=f(x+h)+k图像之间 有什么关系？
概括总结:
y=f(x+h)+k图像由y=f(x)的图像
左加右减
先左移（或右移）︳h︱个单位，
(注：h>0向左平移，h<0向右平移)
a决定了二次函数图像的开口大小及方向; 而且“a正开口向上，a负开口向下”； ｜a｜越大开口越小； ｜a｜越小开口越大。
h决定了二次函数图像的左,右平移，左加右减 而且“h正左移，h负右移”； k决定了二次函数图像的上,下平移， 上加下减 而且“k正上移，k负下移”。
巩固性训练二
1.由y=-3x2的图像，如何得到y= -3（x+2）2-1
再上移（或下移） ︳k︱个单位而 得到。 上加下减
(注：k>0向上平移，k<0向下平移)
巩固性训练四
1.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶 点移到（－３，２），则它的解析式为
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
2.4.1二次函数的图像(第1课时)
2.4.1二次函数的图像【学习目标】：1.理解二次函数的概念及二次函数图像平移的研究方法。
2.掌握求解析式的方法。
3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验自主学习的快乐。
【学习重点】：二次函数的图像变换及求解析式。
【学习难点】：对二次函数图像变换的理解及图像的应用。
【使用说明】：1.课前认真阅读并思考课本P41—P45页内容，然后根据自身能题力完成学案所设计的 问题并在不明白的问题前用红笔做出标记。
2.限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，并对每个问题做出点评、反思。
预习案一、教材助读：1. 二次函数的概念及解析式。
（1）函数_____________________称为二次函数，它的定义域是________。
(2) 一般式：____________________;顶点式为__________________，其中___________为图像的顶点，_______________为图像的对称轴。
(3)两根式：____________________，其中_________为函数图像与x 轴交点的横坐标。
2. 二次函数图像间的变换（1）()220y x y axa ==≠与间的变换（2）()()22,0y ax y a x h k a ==++≠与间的变换 (3)()间的变换和022≠++==a c bx ax y ax y二、预习自测 1．二次函数225y x x =-+-，它的对称轴为_____________,顶点坐标为_____________2. 将函数2y x =的图像向左平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像对应的函数解析式为________________3. 将二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图像向右平移1个单位，再向下平移3个单位，便得到函数221y x x =++的图像，则b=___________,c=________________ 我的疑惑:_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 探究案探究点一：二次函数的图像变换1. 在同一个直角坐标系中画出二次函数()222,21y x y x =-=-+以()2211y x =-+-及的图像。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.4.1 二次函数的图像课件 北师大版必修1
a＋b＋c＝－1， 9a＋3b＋c＝3， 4a－2b＋c＝8， 解得 a＝1，b＝－2，c＝0. 故解析式为 f(x)＝x2－2x.
1 2 5 1 2 5．二次函数 y＝2x ＋3x＋2的图像是由函数 y＝2x 的图像 先向______(左，右)平移________个单位，再向______(上、下) 平移________个单位得到．
[规律总结] (1)函数y＝ax2(a≠0)的图像向左平移|h|个单位 长度(h正左移，h负右移)得函数y＝a(x＋h)2的图像，再向上或 向下平移|k|个单位长度(k正上移，k负下移)得y＝a(x＋h)2＋k的 图像．(2)要得到y＝ax2＋bx＋c的图像，先把函数配方成y＝a(x
＋h)2＋k的形式再由(1)变换得到．
1 2 在同一直角坐标系内，画出函数 y＝－2x ； 1 2 1 y＝－2x －1；y＝－2(x＋1)2－1 的图像，并说明图像之间 的关系．
[解析]
x 1 y＝－2x2 1 y＝－2x2－1
列表如下：
－4 －8 －9 －5.5 －3 －4.5 －5.5 －3 －2 －2 －3 －1.5 －1 －0.5 －1.5 －1 0 0 －1 －1.5 1 －0.5 －1.5 －3 2 －2 －3 －5.5 3 －4.5 －5.5 －9
a－2<0， 只需 2 Δ＝[2a－2] －4a－2×－4<0，
解得－2<a<2. 综上所述，实数 a 的取值范围是(－2,2]．
[规律总结]函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数的条件是a≠0， 如果二次项系数是字母或式子时，不能确定是否为0，也就是 不能确定函数y＝ax2＋bx＋c是否为二次函数时，此时一定要
高中数学2.4.1抛物线及其标准方程优秀课件
〔3〕求过点A(3，1) 的抛物线的标准方程.
解：由题意，因为A点在一象限，
所以抛物线方程可设为y2=2px或x2 =2py(p>0)
当当方 方所程 程以为 为y2=yx2213==x22ppyx时时，，代代入入AA点点，，得得pp==
1 6
9 2
所以x2= 9 y
1
先 定 形 ， 再
综上，抛物线标准方程为：y2=3 x或x2= 9 y 定
x=-5
(2) （0，—1 ） y= - —1
(3)
8
（- —58 ，0）
x= —5 8
8
(4) 〔0，-2〕 y=2
小结:求抛物线 的焦点一定 要先把抛物 线化为标准 形式后定焦 点、开口及 准线
先定位，后定量
〔五)应用拓展 提高能力
例2 〔1〕抛物线的焦点坐标是F〔0，-2〕，求 它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且 p 2 ,p=4, 2
故其标准方程为: x 2 = - 8y 〔2〕抛物线准线方程 是x= -3,求它的标准 方程。
解 p=:6因, 焦故点其在标x准轴方的程正为半: 轴y 2上=,且12xp2 3
〔3〕求过点A(3，1) 的抛物线的标准方程.
〔五)应用拓展 提高能力
x__x_2＝__2_p_y_(_p_>0) __(_0_，__p2)
l
p (0, ) l _x_2＝__－__2_p_y_(_p>0_)____2__
x
y p
_____2__ __y＝__p2_
P的意义:抛物线 的焦点到准线的 距离 1、方程的特点: (1)左边是二次项， 右边是一次项 (2)一次变量定焦点
〔六)回忆反思 提升经验
二次函数知识点
二次函数（知识点）1. 二次函数的概念：一般地，如果y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)，其中二次项中x 的次数必须是2并且二次项的系数不能为0，那么这样的函数y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的图象及画法二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 一 用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点. 二 用平移法画图象由于a 相同的抛物线y=ax 2+bx+c 的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax 2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k 的形式，确定其顶点(h ，k)，然后做出二次函数y=ax 2的图象.将抛物线y=ax 2平移，使其顶点平移到(h ，k).3.（1）函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质：a 的符号图象开口方向 顶点坐标 对称轴增减性最大(小)值a>0向上(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小当x=0时，y 最小=0a<0向下(0，0)y 轴或说直线x=0 x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时，y 最大=0顶点是坐标原点(0,0)，对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为220)0(ax x a y =+-=）（0≠a（2）函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及其性质:a 的符号图象开口方向 顶点坐标对称轴 增减性 最大(小)值 a>0向上(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而增大 x<0时，y 随x 增大而减小 当x=0时， y 最小=ca<0向下(0，c)y 轴或说 直线x=0x>0时，y 随x 增大而减小 x<0时，y 随x 增大而增大当x=0时， y 最大=c顶点在y 轴上其坐标为（0，c ），对称轴是y 轴或直线x=0的抛物线的解析式形式为y=a （x-0）2+c=ax 2+c （3）抛物线y=ax 2与y=ax 2±c 之间的关系是：形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同，而顶点位置和抛物线的位置不同． （4）抛物线之间的平移规律：抛物线y=ax 2向上平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2+c ；抛物线y=ax 2向下平移c 个单位可以得到抛物线 y=ax 2-c ；4.（1）二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像的性质二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是（a b ac a b 44,22--），对称轴是直线x=ab 2-函数 二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象a>0a<0性质 (1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点（a b ac a b 44,22--）有最低点，存在最小值，对称轴为x=a b 2-，当x=a b 2-，y 最小值=ab ac 442-。
2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积
+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？ （随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4： 如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何 值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40
【课件一】2.4.1二次函数的应用上课课件
N
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 7 x x x x 解 : 1. 由4 y 7 x x 15. 得, y . 4 2 2 x 15 7 x x x
30cm
12 设AB bcm, 易得b x 24. 12 2 12 25 12 2 2. y xb x x 24 x 24 x x 25 300. 25 25 25 2 b 4ac b 或用公式 : 当x 25时, y最大值 300. 2a 4a
4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中AB和AD分别在两直角边上. M (1).如果设矩形的一边AD=xcm,那 C 么AB边的长度如何表示？ D (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 ┐bcm 值时,y的最大值是多少?
xcm
30cm
4 A B 40cm 解 : 1.设AB bcm, 易得b x 40. 3 4 2 4 4 2. y xb x x 40 x 40 x x 152 300. 3 3 3 b 4ac b 2 或用公式 : 当x 15时, y最大值 300. 2a 4a
N
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD， 其中点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上. M (1).设矩形的一边BC=xcm,那么 C H AB边的长度如何表示？ B (2).设矩形的面积为ym2,当x取何 D G 值时,y的最大值是多少? P┐ A 解 : 1.由勾股定理得MN 50cm, PH 24cm. 40cm
二次函数
二次函数1 二次函数1.1 二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx y ax ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 1、下列函数，其中图象为抛物线的是（ ） A ．y ＝x1B ．y=2xC ．y=x 2D ．y=2x+32、已知方程02=++cy bx ax （a ≠0、b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．1.2 根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．1、某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为y= ．2、如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O1与AB 切于点M ，设⊙O1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是 （要求写出自变量x 的取值范围）．3、如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD ，AC=4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） A ．y=x 2252 B ．y=x 2254 C ．y=x 252 D ．y=x 2542 二次函数的图象与性质2.1 二次函数的图象2.2 二次函数的性质1、已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2、函数y=xk 与y=-kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．3、抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 ．4、如图，已知函数y=−x3与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P的纵坐标为1．则关于x 的方程ax 2+bx+x3=0的解为 ．5、抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= ．6、如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ．7、对于二次函数y=）（12x +2的图象，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是x=-1C ．顶点坐标是（1，2）D ．与x 轴有两个交点8、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值B ．对称轴是直线x=21C ．当x ＜21，y 随x 的增大而减小D ．当-1＜x ＜2时，y ＞02.3 二次函数图象与系数的关系 二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． ④抛物线与x 轴交点个数．△=ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=ac b 42-=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点．1、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（ ） A ．c ＞0B ．2a+b=0C ．ac b 42-＞0D ．a-b+c ＞02、二次函数y=x 2+bx+c ，若b+c=0，则它的图象一定过点（ ） A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）3、二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+c 的图象不经过第 象限．4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①b 2＞4ac ； ②abc ＞0； ③2a-b=0； ④8a+c ＜0； ⑤9a+3b+c ＜0．其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号）2.4 二次函数图象上点的坐标特征二次函数c bx y ax ++=2（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（a b 2-，ab ac 442-）；．①抛物线是关于对称轴ab2-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +．1、设抛物线c bx y ax ++=2（a ≠0）过A （0，2），B （4，3），C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．2、已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在抛物线y=x 2-1上，下列说法中正确的是（ ）A ．若y 1=y 2，则x 1=x 2B ．若x 1=-x 2，则y 1=-y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 22.5 二次函数图象与几何变换1）、将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 2）、 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1、若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．y=）（22+x +3 B ．y=）（22-x +3 C ．y=）（22+x -3 D ．y=）（22-x -3 2、在平面直角坐标系中，把抛物线y=-x221+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是 ．2.6 二次函数的最值（1）当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（2）当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=ab2-时，y=ab ac 442-．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．1、如图，P 是抛物线y=-x 2+x+2在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．2、当-2≤x ≤1时，二次函数y=-)(2m x -+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ） A ．-47B ．3或−3C ．2或−3D ．2或3或−472.7 待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．1、如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点B （0，-2）．它与反比例函数y=-x8的图象交于点A （m ，4），则这个二次函数的解析式为（ ） A ．y=x 2-x-2B ．y=x 2-x+2C ．y=x 2+x-2D ．y=x 2+x+22、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c= ．2.8 二次函数的三种形式1）、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2）、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3）、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.1、函数y=a ·sin x ·cosx+b ·sinx+b ·cosx+c 运用换元法可以化简为：将 设为t ，则化简为 ．友情提醒：x sin 2=1-x cos 22、把二次函数y=-41x2-x+3用配方法化成y=a )(2h x -+k 的形式（ ）A ．y=-41)2(2-x +2B ．y=41)2(2-x +4C ．y=-41)2(2-x +4D ．y=)2121(2-x +33 实践与探究3.1 抛物线于x 轴的交点求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y=0，即c bx ax ++2=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程c bx ax++2=0根之间的关系．ac 4b 2-=∆决定抛物线与x 轴的交点个数． ac 4b 2-=∆＞0时，抛物线与x 轴有2个交点； ac 4b 2-=∆=0时，抛物线与x 轴有1个交点； ac 4b 2-=∆＜0时，抛物线与x 轴没有交点．（2）二次函数的交点式：12()()y a x x x x =--（a ，b ，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴的交点坐标（x 1，0），（x 2，0）．1、已知抛物线y=x 2-x-1与x 轴的一个交点为（m ，0），则代数式m 2-m+2014的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．20152、如图，抛物线y=a x2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a-2b+c的值为．3.2 图象法求一元二次方程的近似根利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= ．2、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263.3 二次函数与不等式（组）二次函数2=++（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系y ax bx c①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．1、二次函数2=++（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取y ax bx c值范围是（）A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞32、如图是抛物线2=++的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一y ax bx c交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3.4 二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．1、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．2、如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3.5 二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．1、如图，已知抛物线y 1=-x 2+1，直线y 2=-x+1，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 2．若y 1≠y 2，取y 1，y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=2时，y 1=-3，y 2=-1，y 1＜y 2，此时M=-3．下列判断中：①当x ＜0时，M=y 1；②当x ＞0时，M 随x 的增大而增大； ③使得M 大于1的x 值不存在；④使得M=21的值是-22或21，其中正确的个数有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42、已知抛物线y ＝21x2+bx 经过点A （4，0）．设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD-CD|的值最大，则D 点的坐标为 ．。
二次函数的图像_PPT
又 f(0)＝c>0，∴abc>0.故选 D.
题型三 求二次函数解析式 例3 (本题满分10分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)的图像与x轴相交于点A(－3,0),对称轴为x＝ －1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析 式． 【思路点拨】 该题给出了三个条件，但实际上此 题还有一个隐含条件，如利用A点关于对称轴x＝ －1审题时画出简易图，
∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，
顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x －1 0
1
23
y 0 －6 －8 －6 0
描点并画图，得函数 y＝2x2－4x－6的图像， 如图所示．
(2)由图像得，函数图像与 x 轴的交点坐标为 A(－1,0)、B(3,0)，与 y 轴的交点坐标为 C(0， －6)． S△ABC＝12|AB|·|OC|＝12×4×6＝12. (3)由函数图像知，当 x<－1 或 x>3 时，y>0； 当 x＝－1 或 x＝3 时，y＝0；当－1<x<3 时， y<0.
变式训练 2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示， 有下列结论： ①a＋b＋c<0； ②a－b＋c>0； ③abc>0； ④b＝2a. 其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 D.由题图可得 f(1)＝a＋b＋c<0，f(－
1)＝a－b＋c>0，－2ba＝－1，∴b＝2a，ab>0，
题型二 二次函数图像特征 设例b2>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1
(a≠0)的图像为如图所示的四个图像之一,则a的值 为( )
A．1
2.4.1二次函数的图像
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三、高效点评、拓展提升、大胆质疑：
要求
1、点评人员：点评人要声音 洪亮，语言清晰；先点评书 写、对错，再点评思路，规 律方法并能拓展（用彩笔 充）；最后给小组打分。 2、其它同学：认真倾听、积 极思考,重点内容记好笔记。
展 示 自 我 ， 提 高 自 信 ， 我 是 最 棒 的 ！
2
2
从而由 y ax 图像经过平移
可得到 y ax2 bx c(a 0)
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一、合作探究
(一)重点讨论： 1.二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响. 2.二次函数图像的平移变换规律. (二)讨论要求： 1.人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。 2.组长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组 内集中讨论。 3.没解决的问题组长记录好，准备2
2. y 3( x 2) 4 y 3x
2 向右平移2个单位 再向下平移4个单位 2
3. y 3( x 3) 4
2
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思考
横坐标不变 纵坐标变为原来A倍
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观察发现2
2.二次函数y=a(x+h)2+k (a0),
y ax y a( x h) k
2 2
向左（右）平移 h 个单位 向上（下）平移 k 个单位
h决定了二次函数图像的左右平移， 而且“h正 左移 ，h负 右移”；
点评内容 点评小组 例1 变式 例2 8组曾如 7组王座 6组田峤晔
有不明白或有补充的要大胆 提出
北师大版2.4.1二次函数的图像导学案
课题：二次函数图像导学案自主备课一、学习目标1．理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，领会研究二次函数移动的方法，并能迁移到其它函数．2．能够熟练地研究二次函数图像的上下左右移动，对一般二次函数解析式配方、确定其位置。
二、教学过程【导学释疑】认真阅读教材P41-44,认真独立完成本节的题目.1、二次函数解析式有几种形式？2、(1) 填表，并画出y=2x和y = 22x的图像；x ... -3 -2 -1 0 1 ...2x... ...22x... ...(2)、如何由y=2x的图像得到y = 22x的图像？（3）、如何由y=f(x)图像得到y=Af(x)(A>0,A≠1)的图像？3、同一坐标系中画出y=22x，y=22x+ ,(1)2=++的图像，观察如何由y=22x的图像得到y x2(1)32=++的图像？y x2(1)3【小 结】（1） 如何由2y ax =的图像得到2()y a x h k =++ ，（0a ≠,h ≠0,k ≠0）的图像？（2） 如何由()y f x =的图像得到()y f x h k=++（h ≠0,k ≠0）的图像？（3） 如何由2y ax =的图像得到2y ax bx c =++（0a ≠）的图像（提示：先配方）？【例题讲解】例1 、指出下列各组函数各自的顶点坐标，并说明它们图像的共同点及区别①22()5()2f x x g x x =-=和；②22()3(1/2)1()3f x x g x x =-+=和练习：1()f x x =图像怎样得到1()2f x x =+的图像？例2. 已知二次函数2246y x x =--，求（1） 函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图像（2） 求此函数图像与x 轴，y 轴交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积？x 为何值时，0,0,0y y y >=<？【练习题】1、抛物线y=3x 2的开口向 ，当x ＞0时，y 的植随x 的增大而 ，当x ＜0时，y 的植随x 的增大而 ；2、抛物线y=－41x 2的开口向 ，顶点是抛物线的最点，y 有最 值，3、下列函数中，开口向上的是（ ）A 、y=－3x 2B 、 y=－21x 2C 、y=－x 2D 、y=71x 24、下列函数中，当x ＜0时，y 值随x 值的增大而增大的是（ ）A 、y=5x 2B 、 y=－21x 2 C 、y=x 2 D 、y=31x 25、下列函数中，有最小值的是（ ）A 、y=3x 2B 、 y=－21x 2 C 、y=－x 2 D 、y=－51x 2【巩固提升】1、已知二次函数k x y +-=2)1(2的图象过点P （2，6），求此函数的解析式。
2.4.1二次函数的图像
2.4.1二次函数的图像一、教学目标：1.知识与技能：（1）、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。
（2）、了解2ax y =，2)(m x a y +=，k m x a y ++=2)(三类二次函数图像之间的关系。
（3）、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。
2.过程与方法：结合问题提出、动手实践等环节，引导学生思考、探索，在解决问题中建构新知。
3.情感态度与价值观：通过图像的变换和展示优美的函数来陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质。
二、教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2)(型二次函数的图像特征。
三、教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。
四、学情分析： 五、学法指导：学生观察、思考、探究． 六、教学方法：探究交流，讲练结合。
七、教学过程： （一）、知识回顾二次函数2ax y =的图像和特征：1、名称 ；2、顶点坐标 ；3、对称轴 ；4、当a o 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 (除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外)。
（二）、合作学习在同一坐标系中画出函数图像221x y =，,)2(212+=x y 2)2(21-=x y 的图像。
（1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？ （2） 顶点和对称轴有什么关系？（3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？（三）、探究二次函数2ax y =和2)(m x a y +=图像之间的关系1、结合学生所画图像，引导学生观察,)2(212+=x y 与221x y =的图像位置关系，直观得出221x y =的图像−−−−−→−向左平移两个单位,)2(212+=x y 的图像。
教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如： （0，0）−−−−−→−向左平移两个单位（-2，0）（2，2）−−−−−→−向左平移两个单位（0，2）； （-2，2）−−−−−→−向左平移两个单位（-4，2） ②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。
二次函数图像(1)浙教版初中数学九年级上册课件(共14张PPT)
3
对称轴是
，顶点坐标是
点是这条抛物线的最 点；
， ，顶
（2）抛物线
y
1 3
x2的开口方向为
，
对称轴是
，顶点坐标是
，顶
点是这条抛物线的最
点.
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像 经过点(-2,-3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图像的位置.
y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
yy=2x22x2 ... -6 8 1.5 2 0 2
3
3
3
3
1.5
8 3
-6
...
y 1 x2 2
y 2x2
列表参考
y 2 x2 3
y 2x2
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y 1 x2 2
y 2x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向
最值
y=2x2
（0，0）
y轴 在x轴的上方 （除顶点外）
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
二次函数的图象
二次函数的图象学习目标:1．会用描点法画出二次函数与的图象；2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;学习重点:画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.学习难点:理解函数、与及其图象间的相互关系学习方法:探索研究法。
学习过程:一、复习引入提问：1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？二、新课复习提问：用描点法画出函数的图象，并根据图象指出：抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标.例1 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象. 由图象思考下列问题：（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？继续回答：①抛物线的形状相同具体是指什么？②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？⑤你认为是什么决定了会这样平移？例2在同一平面直角坐标系内画出与的图象．三、本节小结本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：表一：抛物线开口方向对称轴顶点坐标表二：抛物线开口方向对称轴顶点坐标§2.4 二次函数的图象（第二课时）学习目标:1．会用描点法画出二次函数的图像；2．知道抛物线的对称轴与顶点坐标；学习重点:会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
学习难点:确定形如的二次函数的顶点坐标和对称轴。
学习方法:探索研究法。
学习过程:1、请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？3、你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？5、抛物线有什么关系？6、它们的位置有什么关系？①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？③抛物线是由抛物线 怎样移动得到的？ ④抛物线 是由抛物线怎样移动得到的？⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？总结、扩展一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：1．a 能决定什么？怎样决定的？2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？一、例题：【例1】二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）【例2】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）【例3】在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）【例6】抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是．【例7】已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目AB C D E F 每股（万元） 5264 68收益（万元） 0．55 0．4 0．6 0．50．9 1如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．【例9】已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【例10】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？【例11】已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．【例12】如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？【例13】如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），每只售价为P （元），且R ，P 与x 的表达式分别为R=500＋30x ，P=170－2x ．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【例16】阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==． ④， ③12m y m x 当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化． 把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．二、课后练习：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
2.4.1二次函数的图像_邹进辉
第二章
函数
§4 二次函数性质的再研究 4.1 二次函数的图像
新钢中学：邹进辉
创设情境
阅读下面划横线的句子，根据要求写一篇不少 于800字的文章。 一位科学家结合自己所学专业和人生总结出 这样的话：“做功不同，人生将会给出不同高度 的抛物线。” 要求：咀嚼这句话，选择一个角度构思作文。 自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离 所给话语的含义作文，不得抄袭。
抽象概况
2 y a ( x h ) k (a≠0)的图像 对于二次函数
(1) a决定了二次函数图像的开口大小及方向
(2) h决定了二次函数图像的左右平移 “ h正左移，h负右移”简称:左加右减
(3) k决定了二次函数图像的上下平移 “k 正上移，k负下移”简称：上加下减
问题探究
探究3 : y =ax 2和y ax 2 +bx （ c a 0)的图像之间有什么 关系？
复习回顾
二次函数的定义及解析式
(1)二次函数的概念 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 函数________________________ 叫作二次函数，它的定 义域是R. (2)二次函数的解析式 2＋bx＋c(a≠0) y ＝ ax ①一般式：______________________；
y a( x h)2 k (a 0) ②顶点式：_____________________；
2.描点： … … … … -2 4 8 1 -1 1 2
1 2
3.连线： 0 0 0 0 1 1 2
1 2
2 4 8 2
… … … …
…
-8
-2
0
-2
-8 …
抽象概况
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二次函数的图像
结论
y 2x
2
横坐标向左平移1 个单位长度
y 2( x 1) 2
纵坐标向上平移3 个单位长度
y 2( x 1) 3
2
10:077/11/2014
二次函数的图像
结论
yx
2
横坐标不变
y ax
2
纵坐标变为原来a倍
向右（左）平移h绝对值个单 位长度 向上（下）平移k绝对值个单位 长度
10:077/11/2014
二次函数的图像
• 在初中，我们已经学习了二次函数， 知道了其图像为抛物线，并了解其图 像的开口方向、对称轴、顶点等特征。 本节将进一步研究二次函数的一般特 征。
10:077/11/2014
二次函数的图像
知识回顾
二次函数的表达式
如何画二次函数的草图
与X轴的交点，顶点，对称轴，与Y轴 的交点
10:077/11/2014
二次函数的图像
问题一
2 y x 画出 的函数图像
2 y x 如何由 的图像得到 y 2x 的图像 2
2 y ax 如何由 y x 的图像得到 的图像
2
10:077/11/2014
二次函数的图像
讨论结果
yx
2
横坐标不变 纵坐标变为原来的2倍
y 2x
2
yx
2
横坐标不变 纵坐标变为原来的a77/11/2014
二次函数的图像
问题二
画出 y 2x ，y 2( x 1) 3
2
2
观察两个函数，y 2( x 1) 3 经过怎样的变换得到？
2
2
可由 y 2x
2
y x 经过怎样的变换可以得 一般地， 2 到 y a( x h) k
y a( x h)
2
y a( x h)2 k
口诀:
10:077/11/2014
左加右减，上加下减
二次函数的图像
问题三
如何由 的图像？
2 y ax bx c y ax 得到
2
讨论结果：
先将一般熟转化成顶点式，在作平移变换
10:077/11/2014