考数学满分宗师级教程 对数恒等变换 高考高中
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第四章 §4.4 简单的三角恒等变换
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第四章§4.4 简单的三角恒等变换能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝＝ .(3)公式T 2α：tan 2α＝ .2sin αcos αcos 2α－sin 2α2cos 2α－11－2sin 2α2.半角公式(不要求记忆)常用结论1.二倍角公式的变形公式2.半角正切公式的有理化1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( )(2)半角的正切公式成立的条件是α≠(2k ＋1)π(k ∈Z ).( )(3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( )××√√2.(必修第一册P226T2改编)cos 15°等于√因为15°是第一象限角，所以cos 15°>0，3.若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan 2α等于√由题意知，tan α＝－2，自主诊断返回第二部分探究核心题型题型一 三角函数式的化简A.－sin 20°B.－cos 20°√C.cos 20°D.sin 20°＝cos 20°.(2)化简：cos 20°cos 40°cos 80°＝ . cos 20°cos 40°cos 80°微拓展积化和差、和差化积公式在三角函数的化简、求值中，有时可以用和差化积、积化和差公式，把非特殊角转化为特殊角进行计算.典例 化简下列各式.(1)sin 54°－sin 18°＝；由和差化积公式可得，sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18°(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝ .由和差化积和积化和差公式可得，cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.√可得3cos2θ－4cos θ－4＝0，－cos θ原式＝所以原式＝－cos θ.题型二 三角函数式的求值命题点1 给角求值√命题点2 给值求值√命题点3 给值求角所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，又β为锐角，(1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.(3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：50°所以sin α＝sin 50°，又因为α为锐角，所以α＝50°.题型三 三角恒等变换的综合应用√∴sin α≠0，∵(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，∴2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β.∴sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，思维升华(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.A.c >a >bB.b >c >aC.c >b >aD.b >a >c √θ>a＝sin θcos θ.知识过关一、单项选择题√因为α为锐角，2.(2023·邢台模拟)1＋tan 22.5°等于√得2tan 22.5°＝1－tan222.5°，所以(tan 22.5°＋1)2＝2，又tan 22.5°>0，√。
2024年全国高考数学大纲完整版
2024年全国高考数学大纲完整版高考数学作为选拔人才的重要科目之一，其大纲对于广大考生的备考和教师的教学具有重要的指导意义。
以下是 2024 年全国高考数学大纲的完整内容。
一、考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。
高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。
因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。
二、考核目标与要求高考数学科考试旨在测试中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查考生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力，以及考生的数学素养和创新意识。
1、知识要求对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。
（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
（3）掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
2、能力要求（1）逻辑思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能准确、清晰、有条理地进行表述。
（2）运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
（3）空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
（4）分析问题和解决问题的能力：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧
1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。
字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。
对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。
定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。
两个代数式恒等的概念是相对的。
同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。
因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。
定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。
代数式的变形，可能引起定义域的变化。
如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。
由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。
这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。
由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。
例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
2024版高考数学全程学习复习导学案第五章三角函数第三节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
3
4
D.-
【解析】方法一:因为 sin α+
π
π
π
4
4
7
4
4
2
= ,
4
2
2
2
2
所以 sin αcos 4 +cos αsin 4 = 4 ,所以 2 sin α+ 2 cos α= 4 ,
1
1
所以 sin α+cos α=2,所以(sin α+cos α)2=4,
1
1
3
所以 sin2 α+2sin αcos α+cos2 α=4,即 1+2sin αcos α=4,所以 sin 2α=-4.
2sin cos
2
2+2cos2
=
sin
4co s 2
=
3
5
16
4×
25
3
=8.
2
2sin cos
2
2+2cos2
=
.
【题型二】二倍角公式在求值中的应用
角度1 给值求值
π
2
[典例2](2023·青岛模拟)已知sin(α+ )= ,则sin 2α=( A )
3
4
A.-
B.
3
4
C.±
cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α
(2)公式C2α:cos 2α=___________=_________=________.
2tan
.
1−tan2
(3)公式T2α:tan2α=
2.常用的部分三角公式
(1)1-cos
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结
三角恒等变换高考数学中的关键知识点总结三角恒等变换是高考数学中的重要内容，涉及到三角函数的性质和等价关系。
在解决三角函数相关题目时，熟练掌握三角恒等变换可帮助我们简化计算和推导过程，提高解题效率。
本文将对三角恒等变换中的关键知识点进行总结。
一、基本恒等式1. 余弦、正弦和正切的平方和恒等式：$cos^2(x) + sin^2(x) = 1$$1 - tan^2(x) = sec^2(x)$$1 - cot^2(x) = csc^2(x)$这些恒等式是三角函数中最为基础的恒等式，也是其他恒等式的基础。
通过这些基本恒等式，我们可以推导出其他更复杂的恒等式。
2. 三角函数的互余关系：$sin(\frac{\pi}{2} - x) = cos(x)$$cos(\frac{\pi}{2} - x) = sin(x)$$tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{cot(x)}$$cot(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{tan(x)}$互余关系表明，角度x和其余角之间的三角函数之间存在特定的关系。
3. 三角函数的倒数关系：$sin(-x) = -sin(x)$$cos(-x) = cos(x)$$tan(-x) = -tan(x)$$cot(-x) = -cot(x)$三角函数的倒数关系表明，对于同一角度的正负，其正弦、余弦、正切和余切的值也是相反的。
二、和差恒等式和差恒等式是三角恒等变换中的重要内容，它们可用于将角度的和或差转化为其他三角函数表示，从而简化解题过程。
1. 正弦和差恒等式：$sin(x \pm y) = sin(x)cos(y) \pm cos(x)sin(y)$2. 余弦和差恒等式：$cos(x \pm y) = cos(x)cos(y) \mp sin(x)sin(y)$3. 正切和差恒等式：$tan(x \pm y) = \frac{tan(x) \pm tan(y)}{1 \mp tan(x)tan(y)}$这些和差恒等式在解决角度和为特定值时的三角函数计算中起到了重要的作用。
2025届高三数学一轮复习课件-+简单的三角恒等变换
)
A．π 3
B．5π 12
C．π6
D．π4
解析 ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，由 cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，得 sinα＝473，
cos(α＋β)＝±1114.若 cos(α＋β)＝1114，则 sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋
解析
sinα －
3
cosα
＝
2
12sinα－
3
2
cosα
＝
2sin
α－π3
＝
m
－
1
，
因
为
－
1≤sinα－π3≤1，所以－2≤2sinα－π3≤2，所以－2≤m－1≤2，解得－1≤m≤3，
则 m 的取值范围是[－1，3]．
课堂小结（1分钟）
【通性通法】 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通常是 把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化 后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将 y＝asinx＋bcosx 转化为 y＝ Asin(x＋φ)或 y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质，解题时注意观察角、函 数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
因为 x∈π4，32π，所以 x－71π2∈－π3，1112π，
所以 sinx－71π2∈－ 23，1，
所以－ 22sinx－71π2∈－ 22， 46，
即函数
f(x)在区间π4，32π上的最大值为
46，最小值为－
2 2.
(2)因为 cosθ＝45，θ∈32π，2π， 所以 sinθ＝－35，所以 sin2θ＝2sinθcosθ＝－2245， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝1265－295＝275， 所以 f2θ＋π3＝－ 22sin2θ＋π3－71π2 ＝－ 22sin2θ－π4＝－12(sin2θ－cos2θ) ＝12(cos2θ－sin2θ)＝12×275＋2245＝3510.
对数恒等式的转换
对数恒等式的转换对数恒等式：揭示数学中的奇妙关系数学作为一门精确而又美丽的学科，给人们带来了无尽的惊喜和乐趣。
而对数恒等式则是数学中的一个重要概念，它揭示了数学中奇妙的关系，为数学的发展做出了重要贡献。
本文将带领读者一起探索对数恒等式的转换，揭示它们背后的数学原理和应用。
一、对数恒等式的基本概念对数恒等式是指具有相同底数的对数之间的等式。
在数学中，常见的对数底数有10、e等。
对数恒等式的转换是指通过一系列等式变换，将原始的对数等式转化为更简洁、更易于计算的形式。
这种转换可以帮助我们更好地理解数学问题，解决实际应用中的计算难题。
二、对数恒等式的基本性质对数恒等式具有一些重要的基本性质，这些性质为我们进行对数等式的转换提供了基础。
首先，对数的乘法法则和幂法则是对数恒等式转换的基本工具。
其次，对数恒等式的转换需要注意底数的一致性，只有底数相同时才能进行等式变换。
此外，对数恒等式的转换也需要注意对等式两边进行相同的操作，以保持等式的平衡。
1.对数的乘法法则对数的乘法法则是对数恒等式转换的重要方法之一。
根据对数的乘法法则，可以将对数等式中的乘法转化为加法，从而简化计算过程。
例如，对于loga(x*y)=loga(x)+loga(y)，我们可以通过应用对数的乘法法则将乘法转换为加法，从而得到更简洁的等式。
2.对数的幂法则对数的幂法则也是对数恒等式转换中常用的方法之一。
根据对数的幂法则，可以将对数等式中的指数转化为乘法，从而简化计算过程。
例如，对于loga(x^m)=m*loga(x)，我们可以通过应用对数的幂法则将指数转换为乘法，从而得到更简洁的等式。
3.对数的换底公式对数的换底公式是对数恒等式转换中常用的方法之一。
根据对数的换底公式，可以将一个对数转换为以另一个底数表示的对数，从而简化计算过程。
例如，对于loga(x)=logb(x)/logb(a)，我们可以通过应用对数的换底公式将一个底数为a的对数转换为以底数为b的对数，从而得到更简洁的等式。
新高考数学计算题型精练 三角恒等变换(解析版)
新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。
2023高考数学基础知识综合复习第11讲三角恒等变换 课件(共16张PPT)
三角恒等变换
教材核心知识
课标要求
学业水平评价要求
两角和与差的正弦、1.经历推导两角差余
掌握
余弦、正切公式
弦公式的过程,知道
二倍角的正弦、余 两角差余弦公式的意
掌握
弦、正切公式
义
2.能从两角差的余弦
公式推导出两角和与
差的正弦、余弦、正
简单的恒等变换
切公式,二倍角的正 理解
弦、余弦、正切公式
(3)依题意得
=
cos10°+ 3sin10°
cos50°
=
考点一
考点二
考点三
考点四
本题解题思路是切化弦,利用二倍角公式、和差化积等公式化简求
得结果.该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒
等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分.
考点一
考点二
考点三
考点四
利用三角恒等变换解决给值求值问题
为
2 2 5
,
10 5
.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
考点一
考点二
考点三
考点四
解 (1)由已知条件即三角函数的定义可知 cos
2
α= ,cos
10
2 5
β= ,
5
因为 α 为锐角,则 sin α>0,
从而 sin α= 1-cos 2 =
7 2
.
10
5
1
,因此 tan α=7,tan β= .
tan+tan
tan(+)
(2)tan αtan β=1-
=
tan-tan
对数与对数函数-2025高考数学复习
高考一轮总复习 • 数学
[解析] 因为 a＝log36＝1＋log32，b＝1＋2log52，
②logaMN ＝_l_o_g_a_M_－__l_o_g_a_N__； ③logaMn＝_n__lo_g_a_M__(n∈R)．
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高考一轮总复习 • 数学
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知识点二 对数函数的图象与性质 1．对数函数的定义、图象和性质
定义
函数___y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_，__且__a_≠_1_)___叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
图象
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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性质
定义域：___(_0_，__＋__∞__) ________ 值域：____(－__∞__，__＋__∞_)______
当x＝1时，y＝0，即过定点____(_1_,_0_) ______
当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时，____y_＞__0______
5 log4 3
5
＝log2 8＝3log2 3，所以 a－3b＝log2 5－log2 3＝log2 3＝ log4 2 ＝2log4 3＝
25 log4 9 ，所以 4a－3b＝
25 ＝ 9 ，故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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8 ． (2017·全 国 卷 Ⅱ ) 函 数 f(x) ＝ ln(x2 － 2x － 8) 的 单 调 递 增 区 间 是
1 ＝2，∴a<c<b.故选 C.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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考点突破 · 互动探究
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第五章三角函数第四节三角恒等变换pptx课件北师大版
+ -
α= 2 + 2 ,β= 2 − 2 等.
(2)两角互余与互补关系
π
π
π π
3π
例如:(3+α)+(6-α)=2,(4+α)+( 4 -α)=π 等.
(3)非特殊角转化为特殊角
30°
例如:15°=60°-45°=45°-30°=
,
2
150°
70°=45°+30°=
,105°=60°+45°等.
即从复杂的一端证到简单的一端,另外还要注意强化“目标意识”和“化异为
同”的意识.“目标意识”就是在证明过程中,时刻紧盯目标,逐步向目标靠
拢;“化异为同”意识,就是指化异角为同角、化异名为同名、化异次为同次.
3π)cos(+π)-1
2sin(sin+cos
2
2 .
对点训练 2(2021 山西太原高三月考)求证:
− 1 sin
π
+6
+ 2 =0.
π
+6
A.
∵sin
π
+6
∴cos
π
−
3
∈[-1,1],∴sin
=cos
π
+
6
π
+6
π
−
2
1
=4,
=sin
π
+
6
1
= .故选
4
B.
考向3.给值求角问题
典例突破
1
3 3
π
π
例 5.(1)(2021 湖南岳阳高三期中)若 sin α=-7,cos β= 14 ,且 α∈(-2,0),β∈(0,2),
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。
高考数学专题复习 对数及对数函数(原卷版+解析版)
第六讲 对数及对数函数【套路秘籍】一．对数的概念 (1)对数的定义①一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么称b 是以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．②底数的对数是1，即log a a ＝1,1的对数是0，即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a >0且a ≠1，N >0)；②log a a N＝N (a >0且a ≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1，N >0)；②log a b ＝1log b a (a ，b 均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M . 二．对数函数的定义1.形如y ＝log a x (a >0，a ≠1)的函数叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质3.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【套路修炼】考向一 对数的运算【例1】（1）lg 22·lg 250＋lg 25·lg 40＝. （2）若3a=5b=225，则1a +1b = 。
（4）若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 3m+n =( 。
【举一反三】1．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为． 2．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y＝.3． 设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝.4.计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.5.已知均不为1的正数a ，b ，c 满足a x ＝b y ＝c z，且1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．6.设log a C ，log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bC 的值．7.方程33x －56＝3x －1的实数解为．考向二 对数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2+a −5)log a x 为对数函数，则f(18)等于( ) A ．3 B ．−3 C ．−log 36 D ．−log 38【举一反三】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y =log 3(x +1)B ．y =log a (2x)(a >0,a ≠1)C ．y =lnxD ．y =log a x 2(a >0,a ≠1) 2．下列函数，是对数函数的是 A ．y=lg10xB ．y=log 3x2C ．y=lnxD ．y=log13（x –1）3．在M=log （x –3）（x+1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为A ．（–∞，3]B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）考向三 对数的单调性【例3】（1）函数f(x)=lg(6x −x 2)的单调递减区间为 。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第三节 三角恒等变换(课件)
公式 cos (α＋β) ＝ c_o_s_α_c_o_s__β_－__si_n__α_si_n β
cos (α－β) ＝cos αcos β＋sin αsin β
sin (α＋β) ＝ __si_n__α_c_o_s _β_＋__c_o_s_α_sin β sin (α－β) ＝sin αcos β－
·考向预测· 考情分析：两角和、差及倍角公式的正用、逆用和变形用仍将是高 考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题． 学科素养：通过三角恒等变换化简、求值考查逻辑推理及数学运算 的核心素养．
必备知识—基础落实
一、必记3个知识点 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
名称 两角和的余弦 两角差的余弦 两角和的正弦 两角差的正弦
T2α
公式 sin 2α＝_2_s_in__α_co_s_α____ cos 2α＝_c_o_s_2α_－__si_n_2α___
tan 2α＝____________
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( √ ) (3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )
答案：D答案：Cຫໍສະໝຸດ 答案：D第三节 三角恒等变换
必备知识—基础落实
·最新考纲· 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．会利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．会利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式 和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4．能运用上述公式进行简单的恒等变换．
2024年新高考版数学专题1_5.2 三角恒等变换(分层集训)
4
α
=
5 ,则sin 2α=
5
(
)
A. 1 B.- 1 C.- 2 D.- 3
5
5
5
5
答案 D
3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2
2
cos
α
4
sin β,则(
)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
0,
2
,cos
α=
3 5
,cos(α+β)=
5.
13
(1)求sin β的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解析 (1)因为α,β均为锐角,cos α= 3,所以0<α+β<π,sin α= 1 cos2 α = 4,又
5
5
cos(α+β)= 5 >0,所以0<α+β< ,sin(α+β)= 1 cos2 (α β) =12 .
2β=-
1 >-
3
3 3
,则2β∈
5 6
,
,因为α∈(0,
π),tan α=- 1 >-
2
3 3
,所以α∈
5 6
,
,则α+2β∈
5 3
,
2
,所以α+2β=
7 4
.
考向三 给值求值
1.(2023届甘肃张掖诊断,4)已知sin
2α=
1 3
,则cos2
α
4
=
(
对数恒等式的转换
对数恒等式的转换导言：对数恒等式是数学中的一个重要概念，它在各个学科领域具有广泛的应用。
本文将探索对数恒等式的转换方法以及其在实际问题中的应用，旨在深入理解对数恒等式的内涵，并展示其在解决实际问题中的价值和作用。
一、对数恒等式的基本概念对数恒等式是指具有相同底数的两个对数相等的等式。
例如，logₐb = logₐc，其中a为底数，b和c为真数。
对数恒等式的转换是指根据已知的对数恒等式，将其转化为不同形式的等式，以便更好地解决问题。
二、对数恒等式的转换方法1. 底数互换法：当两个对数底数不同但真数相等时，可以利用底数互换法将其转化为相同底数的对数恒等式。
例如，log₃2 = log₂2 / log₂3。
2. 对数运算法则：对数运算法则是对数恒等式转换的基础。
根据对数运算法则，可以将对数恒等式中的对数运算转化为其他形式，如指数运算或乘除运算。
3. 对数恒等式的换底公式：当对数的底数不是我们所熟悉的常用底数时，可以利用换底公式将其转化为常用底数的对数恒等式。
例如，log₈5 = log₅5 / log₅8。
三、对数恒等式的应用1. 解决指数方程：利用对数恒等式，可以将指数方程转化为对数方程，从而更容易求解。
例如，5ˣ = 32可以转化为x = log₅32。
2. 研究复杂计算问题：对数恒等式的转换方法可以简化复杂的计算问题，使其更易于处理。
例如，在计算大数相乘时，可以利用对数恒等式将乘法转化为加法运算，大大减少计算量。
3. 解决实际问题：对数恒等式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，利用对数恒等式可以计算复利问题；在生物学中，可以利用对数恒等式计算物种数量的增长等。
结尾：对数恒等式是数学中的重要工具，其转换方法和应用具有广泛的实用性。
通过探索对数恒等式的转换方法和应用场景，我们可以更好地理解对数恒等式的内涵，并将其运用于解决实际问题中。
对数恒等式的研究不仅可以拓宽我们的数学知识，还能够提高我们的问题解决能力和数学思维能力。
高考数学科学复习创新方案：简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换[课程标准]1.知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin2α＝072sinαcosα二倍角的余弦cos2α＝08cos2α－sin2α＝091－2sin2α＝102cos2α－1二倍角的正切tan2α＝112tanα1－tan2α3.半角公式sin α2＝12±1－cos α2，cos α2＝13±1＋cos α2，tan α2＝14±1－cos α1＋cos α．1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）＝tan α－tan βtan （α－β）－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2；sin αcos α＝12sin2α.3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin αsin α2＋；1－sin αsin α2－.4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；π4＋α＝π2－等．5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φtan φf (α)＝a 2＋b 2cos(α－θtan θ1．(人教A 必修第一册习题5.5T 6(1)改编)sin20°·cos10°－cos160°sin10°＝()A ．－32B.32C ．－12 D.12答案D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.2．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝()A.12B.33C.22D.32答案D解析cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－coscos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.故选D.3．(多选)(人教A 必修第一册习题5.5T 12改编)化简：35sin x ＋335cos x ＝()A.65sinB.65sinC.65cosD.65cos答案AC解析35sin x ＋335cos xx ＋32cos6565cos π2－65cos 故选AC.4．(人教A 必修第一册5.5.1例3改编)已知α且sin α＝45，则tan 的值为________．答案－17解析因为α且sin α＝45，所以cos α＝－35，tan α＝sin αcos α＝45－35＝－43.所以＝tan α＋tan π41－tan αtanπ4＝－43＋11＝－17.5．已知θsin θ＝45，则sin θ2＝________，cos θ2＝________．答案－255－55解析∵θsin θ＝45，∴cos θ＝－35，θ2∈∴sin θ2＝－1＋352＝－255，cos θ2＝－1－352＝－55.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式例1(1)若cos α＝－45，α是第三象限角，则()A.7210B ．－7210C ．－210 D.210答案B解析∵α是第三象限角，∴sin α<0，且sin α＝－1－cos 2α＝－35，因此sin αcos π4＋cos αsin π4×22＋×22＝－7210.故选B.(2)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus ，公元前417～公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数2，3，5，….如图，则cos ∠BAD ＝()A.26－336B.23－66C.23＋66D.26＋336答案B解析记∠BAC ＝α，∠CAD ＝β，由题意知cos α＝12＝22，sin α＝12＝22，cos β＝23＝63，sin β＝13＝33，所以cos ∠BAD ＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22×63－22×33＝23－66.故选B.(3)(2021·全国甲卷)若αtan2α＝cos α2－sin αtan α＝()A.1515 B.55C.53D.153答案A解析因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos α1－2sin 2α，且tan2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin 2α＝cos α2－sin α，解得sin α＝14.因为αcos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.故选A.利用三角函数公式解题时的注意点(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”．(2)应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用．(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1.已知sin α＝35，αtan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112答案A解析∵αsin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝－34，又tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－34＋121＝－211.故选A.2．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝13，cos αsin β＝16，则cos(2α＋2β)＝()A.79B.19C ．－19D ．－79答案B解析因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，而cos αsin β＝16，因此sin αcos β＝12，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，所以cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin 2(α＋β)＝1－＝19.故选B.例2(1)tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值为()A.3B.33C ．－33D ．－3答案D解析因为tan120°＝tan70°＋tan50°1－tan70°tan50°＝－3，所以tan70°＋tan50°－3tan70°tan50°＝－3.故选D.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cosβ，则()A ．tan(α－β)＝1B ．tan(α＋β)＝1C ．tan(α－β)＝－1D ．tan(α＋β)＝－1答案C解析由已知得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝2(cos α－sin α)sin β，即sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C.两角和与差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(3)倍角公式变形：降幂公式．1.已知sin θ＋1，则()A.12B.33C.23D.22答案B解析由题意可得sin θ＋12sin θ＋32cos θ＝1，则32sin θ＋32cos θ＝1，32sin θ＋12cos θ＝33，从而有sin θcos π6＋cos θsin π6＝33，即＝33.故选B.2．(多选)(2024·潍坊联考)已知θ∈(0，2π)，O 为坐标原点，θ终边上有一点sin3π8－cos 3π8，sin 3π8＋()A ．θ＝3π8B ．|OM |＝2C ．tan θ<1D ．cos θ>12答案AB解析tan θ＝sin 3π8＋cos 3π8sin 3π8－cos 3π8＝tan 3π8＋1tan 3π8－1＝－tan 5π8＝tan 3π8，故θ＝3π8＋k π(k ∈Z )，又sin3π8－cos 3π8>0，sin 3π8＋cos 3π8>0，故θ是第一象限角，又θ∈(0，2π)，故θ＝3π8，故A 正确；|OM |2sin3π8－sin 3π8＋＝2，故|OM |＝2，故B 正确；tan θ＝tan3π8>tan π4＝1，故C 错误；cos θ＝cos 3π8<cos π3＝12，故D 错误．故选AB.例3(1)(2023·南通期末)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α＝()A.5665B ．－5665C.1665D ．－1665答案B解析因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cos(α－β)＝1213，得sin(α－β)＝513，由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×＋1213×＝－5665.故选B.(2)(2024·济南模拟)已知＝－14，则α________．答案78解析因为＝－14，所以－π8＋＝－14，所以＝14，所以αcos 21－2sin 1－2×116＝78.1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β21．(2023·泉州模拟)如图所示，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置P 0(1，0)开始沿单位圆按逆时针方向运动角αP 1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动π3到达点P 2，若点P 2的横坐标为－45，则cos α的值为________．答案33－410解析由题意得＝－45，∵π3<α＋π3<5π6，∴＝35，∴cos α＝－π3＝cos π3＋sin π3＝×12＋35×32＝33－410.2．(2024·重庆摸底)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55，则cos2α＝________，tan(α－β)＝________．答案－725－211解析因为tan α＝43＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝9 25，因此cos2α＝2cos2α－1＝－725.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.课时作业一、单项选择题1．(2024·秦皇岛月考)－sin133°cos197°－cos47°·cos73°＝()A.1 2B.3 3C.2 2D.3 2答案A解析原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2．(2023·保定模拟)已知钝角α满足sinα＝55，则()A．－104B．－31010C.105D.255答案B解析由α为钝角，可知cosα<0，所以cosα＝－1－15＝－255，所以＝22(cosα－sinα)＝22×－255－＝－31010.故选B.3．已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.53B.23C.13D.59答案A解析由3cos2α－8cos α＝5，得6cos 2α－8cos α－8＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝53.故选A.4．(2024·保定模拟)“tan α＝2”是“tan α－5”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析由tan α－tan α－tan α＋11－tan α＝5，得tan 2α－5tan α＋6＝(tan α－2)(tan α－3)＝0，即tan α＝2或tan α＝3，所以“tan α＝2”是“tan α－5”的充分不必要条件．5．(2024·泰州模拟)已知＝35，α()A.3－4310B.45C ．－210 D.210答案C解析因为αα＋π1235，所以sin ＝＝45，所以cos ＝cos＋π4＝cos π4－sin π4＝35×22－45×22＝－210.故选C.6．(2023·长沙一中调研)设α为锐角，若＝45，则sin α()A.1225B.2425C ．－2425D ．－1225答案B解析∵α为锐角，即0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，又＝45，∴＝35，∴αsin 22×35×45＝2425.故选B.7．(2024·南通模拟)已知＝－55，x 则2()A.43B ．－43C ．2D ．－2答案B解析因为x x ＋π6∈＝－55<0，得x＋π6＝－255，所以12，由二倍角公式可得x1－tan ＝43，2tan π22－43.故选B.8．(2023·盐城一模)已知α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，则tan α＋tan β的最小值为()A.22B．1 C．－2－22D．－2＋22答案D解析因为α＋β＝π4(α＞0，β＞0)，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，tanα，tanβ∈(0，1)，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ≥1，当且仅当α＝β＝π8时取等号，解得tanα＋tanβ≥22－2或tanα＋tanβ≤－2－22(舍去)．故选D.二、多项选择题9．(2024·聊城质检)下列各式中，值为14的是()A．sinπ12sin5π12B.13－23cos215°C.1 sin50°＋3cos50°D．cos72°cos36°答案AD解析对于A，sinπ12sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14；对于B，13－23cos215°＝13(1－2cos215°)＝－13cos30°＝－36≠14；对于C，1sin50°＋3cos50°＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝1 2sin100°＝2sin（30°＋50°）12sin100°＝4≠14；对于D，cos72°cos36°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝sin72°cos72°2sin36°＝12sin144°2sin36°＝14.故选AD.10．(2023·珠海模拟)已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α＝45，cos(α＋β)＝－210，则()A．cosα＝－1010B．sinα－cosα＝55C ．β－α＝3π4D ．cos αcos β＝－25答案BC解析对于A ，因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin2α＝45＞0，故π2≤2α≤π，π4≤α≤π2，所以cos2α＝－35＝2cos 2α－1，可得cos 2α＝15，可得cos α＝55，故A 错误；对于B ，(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝15，由A 项分析知π4≤α≤π2，所以sin α＞cos α，所以sin α－cos α＝55，故B 正确；对于C ，由A 项分析知π4≤α≤π2，而π≤β≤3π2，所以5π4≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－210＜0，所以5π4≤α＋β≤3π2，所以sin(α＋β)＝－7210，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝cos(α＋β)cos2α＋sin(α＋β)sin2α＝－210××45＝－22，又因为5π4≤α＋β≤3π2，－π≤－2α≤－π2，所以π4≤β－α≤π，则β－α＝3π4，故C 正确；对于D ，cos(α＋β)＝－210，可得cos αcos β－sin αsin β＝－210，由C 项分析知，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－22，两式联立得cos αcos β＝－3210，故D 错误．故选BC.11．(2023·张家口模拟)已知tan(α＋β)＝tan α＋tan β，其中α≠k π2(k ∈Z )且β≠m π2(m ∈Z )，则下列结论一定正确的是()A ．sin(α＋β)＝0B ．cos(α＋β)＝1C ．sin 2α2＋sin 2β2＝1D ．sin 2α＋cos 2β＝1答案AD解析∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan α＋tan β，∴tan α＋tan β＝0或1－tan αtan β＝1，∴α＋β＝n π(n ∈Z )或者α＝k π(k ∈Z )或β＝m π(m ∈Z )，又α≠k π2(k ∈Z )，β≠m π2(m ∈Z )，∴α＋β＝n π(n ∈Z )，且α≠k π2(k ∈Z )，β≠m π2(m ∈Z )．对于A ，sin(α＋β)＝sin(n π)＝0(n ∈Z )，故A 正确；对于B ，由于cos(α＋β)＝cos(n π)＝±1(n ∈Z )，故B 错误；对于C ，sin 2α2＋sin 2β2＝sin sin 2β2(n ∈Z )，当n 为偶数时，sin 2α2＋sin 2β2sin sin 2β2＝sin 2β2＋sin 2β2＝2sin 2β2≠1，故C 错误；对于D ，sin 2α＋cos 2β＝sin 2(n π－β)＋cos 2β＝sin 2β＋cos 2β＝1(n ∈Z )，故D 正确．三、填空题12．(2023·威海一模)已知sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝35，α为第三象限角，则________．答案－210解析∵sin(β－α)cos β－cos(α－β)sin β＝sin[(β－α)－β]＝－sin α＝35，∴sin α＝－35，又α为第三象限角，则cos α＝－45，cos αcos π4－sin αsin π4＝－45×22＋35×22＝－210.13．(2024·甘肃、青海、宁夏联考)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．答案－112解析∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan （α＋2β）－tan β1＋tan （α＋2β）tan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1，tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）×（－3）＝12.14．(2023·南京模拟)若λsin160°＋tan20°＝3，则实数λ的值为________．答案4解析由λsin160°＋tan20°＝3，得λsin20°＋sin20°cos20°＝λsin20°cos20°＋sin20°cos20°＝λsin40°＋2sin20°2cos20°＝3，所以λsin40°＋2sin20°＝23cos20°，即λsin40°＝23cos20°－2sin20°＝4sin(60°－20°)＝4sin40°，所以λ＝4.四、解答题15．已知αsin α＝55.(1)求sin(2)求cos 2解(1)因为αsin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×＝－45，cos2α＝1－2sin 2α＝1－＝35，所以2cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α×35＋12×＝－4＋3310.16．(2024·辽宁朝阳月考)已知tan α＝2.(1)求tan (2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解＝tan α－tan π41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13.(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.17．已知0<α<π2<β<π，＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos解(1)解法一：因为cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin2β＝29，所以sin2β＝－79.解法二：sin2β＝22cos1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2.所以，cos(α＋β)<0，所以＝223，cos(α＋β)＝－35.所以cos＝cos（α＋β＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β＝－35×13＋45×223＝82－315.。
备考2025届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换
第4讲 简洁的三角恒等变换例1 （1）[2024全国卷甲]若α∈（0，π2），tan 2α＝cosα2－sinα，则tan α＝（ A ）A.√1515B.√55C.√53D.√153 解析 因为tan 2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin 2α，且tan 2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin 2α＝cosα2－sinα，由α∈（0，π2）得cos α≠0，解得sin α＝14，cos α＝√154，tan α＝sinαcosα＝√1515.故选A.（2）化简：2cos 2α－12tan （π4－α）sin 2（π4＋α）＝ 1 . 解析 原式＝cos2α2tan （π4－α）cos 2（π4－α）＝cos2α2sin （π4－α）cos （π4－α）＝cos2αsin （π2－2α）＝cos2αcos2α＝1.方法技巧化简三角函数式的方法与技巧1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.2.化简时要留意视察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），找寻式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向. 训练1 [2024新高考卷Ⅰ]若tan θ＝－2，则sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝（ C ）A.－65B.－25C.25D.65解析 解法一 因为tan θ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝sin 2θ＋sinθcosθsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tanθtan 2θ+1＝4－24+1＝25.故选C.解法二 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在其次或第四象限，所以{sinθ√5cosθ＝√5或{sinθ＝√5cosθ√5所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sinθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ＝sin θ（sin θ＋ cos θ）＝sin 2θ＋sin θcos θ＝45－25＝25.故选C.命题点2 三角函数式的求值 角度1 给角求值例2 （1）sin 50°（1＋√3tan 10°）＝ 1 .解析 sin 50°（1＋√3tan 10°）＝sin 50°（1＋tan 60°tan 10°）＝ sin 50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin 50°×cos （60°－10°）cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116.解析 原式＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝sin20°·cos20°·cos40°·cos80°2sin20°＝sin160°16sin20°＝116.方法技巧给角求值问题的解题策略一般给出的角都是非特别角，求解时要视察所给角与特别角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.留意 当式子中出现12，1，√32，√3等数时，要考虑引入特别角，通过“值变角”化简计算. 角度2 给值求值例3 （1）[2024浙江高考]若3sin α－sin β＝√10，α＋ β＝π2，则sin α＝3√1010，cos 2 β＝45.解析 因为α＋ β＝π2，所以 β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin （π2－α）＝3sin α－cos α＝√10sin （α－φ）＝√10，其中sin φ＝√1010，cos φ＝3√1010，所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin （π2＋φ＋2k π）＝cos φ＝3√1010，k ∈Z.因为sin β＝3sin α－√10＝－√1010，所以cos 2 β＝1－2sin 2 β＝1－15＝45.（2）[江苏高考]已知tanαtan （α＋π4）＝－23，则sin （2α＋π4）的值是√210.解析 解法一tanαtan （α＋π4）＝tanαtanα+11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα+1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13.当tan α＝2时，sin 2α＝2sinαcosαsin 2α＋cos 2α＝2tanαtan 2α+1＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，此时sin 2α＋cos 2α＝15.同理当tan α＝－13时，sin 2α＝－35，cos 2α＝45，此时sin 2α＋cos 2α＝15，所以sin （2α＋π4）＝√22（sin 2α＋cos 2α）＝√210.解法二tanαtan （α＋π4）＝sinαcos （α＋π4）cosαsin （α＋π4）＝－23，则sin αcos （α＋π4）＝－23cos αsin （α＋π4），又√22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin （α＋π4）cos α－cos （α＋π4）·sin α＝53sin （α＋π4）cos α，则sin （α＋π4）cos α＝3√210，则sin （2α＋π4）＝sin[（α＋π4）＋α]＝sin （α＋π4）cos α＋cos （α＋π4）sinα＝13sin （α＋π4）·cos α＝13×3√210＝√210. 方法技巧给值求值问题的解题策略1.将待求式子化简整理，看须要求相关角的哪些三角函数值，然后依据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要留意，角的范围不确定时应分类探讨. 角度3 给值求角例4 （1）若sin 2α＝√55，sin （ β－α）＝√1010，且α∈[π4，π]， β∈[π，3π2]，则α＋ β的值是（ A ） A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4解析 因为α∈[π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin 2α＝√55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cos 2α＝－√1－sin 22α＝－2√55.因为 β∈[π，3π2]，所以α＋ β∈（54π，2π）， β－α∈（π2，5π4），所以cos （ β－α）＝－√1－sin 2（β－α）＝－3√1010，所以cos （α＋ β）＝cos[2α＋（ β－α）]＝cos 2αcos （ β－α）－sin 2α·sin （ β－α）＝－2√55×（－3√1010）－√55×√1010＝√22.又α＋ β∈（5π4，2π），所以α＋ β＝7π4.（2）已知α， β为锐角，且（1－√3tan α）（1－√3tan β）＝4，则α＋ β＝2π3.解析 将（1－√3tan α）（1－√3tan β）＝4绽开，得－√3（tan α＋tan β）＝3（1－ tan α·tan β），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan （α＋ β）＝－√3，由于α， β为锐角，所以0＜α＋ β＜π，故α＋ β＝2π3. 方法技巧给值求角问题的解题策略1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（留意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则. （1）已知正切函数值，选正切函数.（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－π2，π2），选正弦函数较好.留意 所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避开产生多解.2.精确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵敏运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以依据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特别角的三角函数值比较，缩到更小的范围. 训练2 （1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜ β＜α＜π2，且cos （α－ β）＝1213，cos 2 β＝35，则cos （α＋ β）＝（ A ）A.1665B.3365C.5665D.6365解析 由0＜ β＜α＜π2，得0＜α－ β＜π2，又cos （α－ β）＝1213，所以sin （α－ β）＝√1－（1213）2＝513，因为0＜2 β＜π，cos 2 β＝35，所以sin 2 β＝√1－（35）2＝45，所以cos （α＋ β）＝cos[（α－ β）＋2 β]＝cos （α－ β）cos 2 β－sin （α－ β）sin 2 β＝1213×35－513×45＝1665.故选A.（2）[2024 河南省南阳市第一中学质量评估]已知tan α＝17，sin β＝√1010，α， β∈（0，π2），则α＋2 β＝ π4 . 解析 因为tan α＝17，α是锐角，所以0＜α＜π4，因为sin β＝√1010， β为锐角，所以0＜ β＜π4，0＜α＋2 β＜3π4，因为sin β＝√1010，所以cos β＝3√1010，tan β＝13，则tan 2 β＝2tanβ1－tan 2β＝2×131－（13）2＝34，tan （α＋2 β）＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝17＋341－17×34＝1，故α＋2 β＝π4.（3）（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝ 2 .解析 由题意知，（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°＝tan 45°（1－tan 20°tan 25°）＝1－tan 20°tan 25°，所以（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.。
神奇的对数恒等式、万能的换底公式！最全对数性质硬科普！
神奇的对数恒等式、万能的换底公式！最全对数性质硬科普！我们从小学习数学运算的顺序是这样的：①首先学习加法运算，然后学习加法运算的逆运算—减法运算；a+b=c，c-b=a；②其次学习乘法运算，然后学习乘法运算的逆运算—除法运算；a×b=c，c÷b=a；③再次学习乘方运算，然后学习乘方运算的逆运算—开方运算；a^n=b，(n)√(b)=a；③最后学习指数运算，然后学习指数运算的逆运算—对数运算。
a^n=b，log(a,b)=n。
值得注意的是，从逻辑上看，显然应该是先有指数，再有对数。
然而，现实的历史发展却恰恰相反，对数确实是早于指数先出现的，这也成为数学史上的一个珍闻。
今天我们就来认识一下对数。
对于指数运算：a^b=N；a称为底数，a＞0且a≠1；N称为幂，N＞0；b称为指数。
等价于对数运算：log(a,N)=b；a称为底数；N称为真数；b称为对数。
a^b=N↔log(a,N)=ba＞0且a≠1，N＞0。
例如：2^3=8↔log(2,8)=3根据对数定义，很容易得出以下结论：log(a,a)=1，log(a,1)=0，log(a,a^2)=2log(a,1/a)=-1，log(a,√a)=1/2另外，还有以下两个定义：①底数为10的对数称为常用对数，表示为：log(10,N)=lg(N)②底数为自然常数e的对数称为自然对数，表示为：log(e,N)=ln(N)接下来我们来复习对数的基本运算法则：①log(a,M×N)=log(a,M)+log(a,N)②log(a,M/N)=log(a,M)-log(a,N)证明：log(a,M)=x，log(a,N)=yM=a^x，N=a^yM×N=(a^x)×(a^y)=a^(x+y)M/N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y)log(a,M×N)=x+y=log(a,M)+log(a,N)log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，证毕！③推论：log(a,M1×M2×…×Mn)=log(a,M1)+log(a,M2)+…+log(a,Mn)④log(a,M^n)=n×log(a,M)证明：log(a,M^n)=log(a,M×M×…×M)【n个M】=log(a,M)+log(a,M)+…+log(a,M)【n个log(a,M)】=n×log(a,M)，证毕！⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M)证明：log(a^b,M)=xM=(a^b)^x=a^(b×x)b×x=log(a,M)log(a^b,M)=x=(1/b)×log(a,M)证毕！⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M)证明：log(a^b,M^n)=n×log(a^b,M)=n×[(1/b)×log(a,M)]=(n/b)×log(a,M)，证毕！⑦log(a,a^n)=n⑧log(a^n,a)=1/n证明：log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=nlog(a^n,a)=(1/n)×log(a,a)=(1/n)×1=1/n证毕！基本公式就先介绍到这里，接下来我们来讨论今天的主题：对数恒等式与换底公式。
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江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。