二次函数y=a(x-h)2和y=ax2+k
2022年《二次函数》教学反思
2022年《二次函数》教学反思2022年《二次函数》教学反思19月23日，我在九年级三班讲授了二次函数y=ax2+k、y=a （x-h）2的图象和性质。
先从复习二次函数y=ax2入手，通过检测学生对于二次函数y=ax2的性质掌握较好。
然后结合图象让学生理解二次函数y=ax2+k的图象与二次函数y=ax2的图象的关系，通过观察图象学生很容易地理解了二者之间的关系，在做对应练习时效果也较好。
在学习二次函数y=a（x-h）2的图象和二次函数y=ax2的图象的关系时，由于涉及向左或向右平移引出了加减问题，学生在此容易混淆，尽管让学生结合图象明确地看到在x后面如果是加就是向左平移的，反之就是向右平移，再就是在看如何平移时关键是看顶点的平移，顶点如何平移那么图象就如何平移。
先由解析式求出顶点从标，再看平移的问题。
但是还是有一部分同学混淆了。
这一部分内容学习得不够理想。
反思这一节课整个过程中的成功和不足之处，我觉得需要改进的有如下几点：1、灵活处理教材。
教材上是一节课学习两种类型的函数，但是根据学生作图的速度和理解能力，一节课完成两种类型的函数有一定的困难。
虽然也想过适当处理，但是想到教材是一节课完成两种函数，所以还是决定两种函数在一节课完成，事实证明一节课完成两种函数效果不是很好。
由此可见有时教材上的安排不一定是科学的，所以要根据学生的实际情况进行灵活处理。
2、认真考虑每一个细节。
考虑到一节课上学习两种类型的函数时间有些紧张，所以我让学生提前画好了图象，这样在课堂上可以节省时间，由于默认学生已经画好了图象，所以我也没有在黑板上再画出图象，这样让学生在看图象时，有的学生没有画出，有的同学画错了，这样就给学习新知识带来了困难，这是我没有想到的。
所以以后要充分考虑到每一个细节，要想到学生可能会出现什么情况。
3、小组评价要掌握好度。
在课堂上我运用了小组评价，学生回答问题非常积极，可是我感到小组评价还有需要改进的地方。
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
2021年人教版数学九年级上册第四课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
3
以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
11
能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
4
【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
5
• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
22. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
10．(202X·德州)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋ a的图象可能是( C )
11．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4__， c＝_－__3_．
15．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，要求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12AB＝2，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3. 但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不合题意，∴点 Q 坐标为( 3，1)或(－
练习2：抛物线y＝－ 1 x2－3的顶点坐标是___(_0_，__－__3_)_____，对称轴 2
是__y_轴_____．
知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正 确的是( D )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
练 习 1 ： 将 抛 物 线 y ＝ x2 向 上 平 移 两 个 单 位 后 的 函 数 解 析 式 为 _______________．
y＝x2＋2
2 ． 对 于 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ k ， 当 a ＞ 0 时 ， 开 口 _向__上____ ， 对 称 轴 是 ___y_轴___，顶点为__(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而_增__大_____；当x ＜0时，y随x的增大而__减__小____．当a＜0时，开口_向__下_____，对称轴是 __y_轴___，顶点为___(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而___减__小___；当x ＜0时，y随x2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a ＝____－，3c＝____4．
二次函数y=a(x-h)^2的图像和性质
y=-2x2 y=-2(x+1)2 y=-2(x-1)2
画出二次函数 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.: 解:先列表 描点
x x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 、 y ( x 1) 2 的图象,并 2 2
点坐标 （x-h)2的形
式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。
(1) y x 6x 9
2
1 2 (2) y x 2 x 2 2
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）² y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
华东版九年级数学下册第26章26.226.2.2第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
4. 在函数 y＝(x－3)2 中，当 x ＞3 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ＜3 时，函数值 y 随 x 的增大 而减小； 当 x＝ 3 时， 函数值 y 取最 小 值， 是 0 ．
1 2的开口向 5. 抛物线 y＝－3x－2 1 1 直线 x＝ ， 0 2 ，顶点坐标为 是 2
．
9. 若二次函数 y＝x2－mx＋1 的图象顶点在 x 轴上， 则 m 的值是( D ) A．2 C．0 B．－2 D．±2
10. 在平面直角坐标系中，函数 y＝－x＋1 与 y＝－ 3 (x－1)2 的图象大致是( D ) 2
11. 抛物线 y＝3(x－1)2 的图象上有三点 A(－1，y1)， B( 2，y2)，C(2，y3)，则 y1，y2，y3 的大小关系是( D ) A．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
16. 如图所示，二次函数 y1＝a(x－h)2 的图象与直线 y2＝kx＋b 交于 A(0，－1)，B(1，0)两点．
(1)确定二次函数与一次函数的解析式； (2)当 y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2 时，根据图象分别确定 自变量 x 的取值范围．
解：(1)y1＝－(x－1)2， y2＝x－1； (2)当 y1＜y2 时， x＜0 或 x＞1， 当 y1＝y2 时，x＝0 或 x＝1， 当 y1＞y2 时，0＜x＜1.
18. 如图，抛物线的顶点 M 在 x 轴上，抛物线与 y 轴交于点 N，且 OM＝ON＝4，矩形 ABCD 的顶点 A、B 在抛物线上，C、D 在 x 轴上．
(1)求抛物线的解析式； (2)设点 A 的横坐标为 t(t>4)， 矩形 ABCD 的周长为 l， 求 l 与 t 之间的函数关系式． 1 解：(1)y＝4(x－4)2；
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
2
3
.若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图像上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1_＞__y_2__＞__y_3__.
4.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22 向上
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12 ··· －2
2
1 2
0
1 －2 －4.5 －8 ···
2
y 1 x 12
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
0
1 －2 ···
2
y
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1 x 12
y 3 x 12 向下
4Байду номын сангаас
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的 图像，分别指出两个图像之间的相互关系．
解：图像如图. 函 数 y=2(x-2)2 的 图 像 由 函数y=2x2的图像向右平 移2个单位得到.
二、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线
y 1 x 12 ，y 1 x 12
2
2
与抛物线
y 1 x2 2
有什么关系？
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.3《二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.3节《二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2》，主要介绍了二次函数的两种标准形式：y=ax2+k和y=a(x-h)2。
这一节内容是在学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步深化学生对二次函数图像和性质的理解。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数的两种标准形式的适用范围和转换关系，能够根据实际问题选择合适的二次函数形式，并能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的一般形式，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于二次函数的两种标准形式的理解和应用还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而加深对二次函数两种标准形式的理解，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的两种标准形式，理解二次函数的图像和性质，能够根据实际问题选择合适的二次函数形式。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握二次函数的两种标准形式，理解二次函数的图像和性质。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、探究，深入理解二次函数两种标准形式的适用范围和转换关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高课堂教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生回顾二次函数的一般形式，激发学生学习二次函数两种标准形式的兴趣。
2.讲解新课：介绍二次函数的两种标准形式，解释二次函数的图像和性质，引导学生通过观察、思考、探究，深入理解二次函数两种标准形式的适用范围和转换关系。
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
(2)画出(1)中平移后的图象；
23
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关 于新抛物线对称轴的对称点为C， 试在新抛物线的对称轴上找出一 点P，使BP＋CP的值最小，并求 出点P的坐标．
24
如图，连接BC.由(1)可知平移后抛
物线对应的函数解析式为:
y＝ 1 (x－3)2，
3
易知点B的坐标为(
相同点是( A )
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
返回
14
14．(中考•丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，
所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( D )
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向下平移1个单位长度
返回
15
题型 1 二次函数y＝a（x－h）2的图
象和性质在求解析式中应用
15．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且 过点(1，－3)．
(1)求此抛物线对应的函数解析式．
由题意知h＝－2，故y＝a(x＋2)2.因为此抛物线过点(1，－3)，
所以－3＝a•32.解得a＝－ 1 .
3
1
3 2
，
3 4
)，
点C的坐标为(6，3)，
25
所以此抛物线对应的函数解析式为y＝－ 3 (x＋2)2.
16
(2)画出此抛物线． (3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？
当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(2)图略．
(3)当x＜－2时，y随x的增大而增大；
当x＝－2时，函数有最大值．
返回
17
题型
3
二次函数y＝a（x－h）2的图象 和性质在求图形面积中应用
初三数学下册 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 教学反思
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质》教学反思二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究。
本节课是本单元第二个专题：《二次函数的图象与性质》的第四节课，在本节课之前，学生已经学习了y=ax2、y=a(x-h)2的图象和性质，学生对二次函数也有了一定的认知，所以我在上这节课时，采用单元整体教学备课。
在整个集体备课的过程，我和我的组员们碰到了不少困难，也有许多收获，以下是我的几点反思。
一、重复授课是实实在在、真真正正的教学研究在此次集体备课过程中，我们进行了多次课堂实践。
课前，我围绕课例备课，进行教学设计；我们组五位老师根据教学设计进行课前研讨；在实施课堂教学的同时，同组教师听课；课后，我专门对教学预设与生成以及问题解决的过程和效果进行反思，并与同组教师评课研讨，对教学实践中暴露出的各种各样问题再思考，寻找问题出现的原因，寻求问题解决的办法，制定解决方案，再进行实践，如此反复多次，直到问题得到比较圆满的解决，这是一种有效的，实实在在的，真真正正的教学研究。
像这种根据学生实际，立足于教师自身的特点和教学经验，遵循教育教学的规律，在同组教师的协助之下，进行教学设计，“实践——修改——再实践”，如此重复，从而发现问题、解决问题，最终优化课堂教学的过程，是教师集体智慧的汇集。
在反复几次教学设计中，我的思路不断在变化，同一节课，教学目标是一致的，但是立意却是不同的。
很多时候我的脑海里不断冒出各种不同的想法，在不断修改——否定——修改的过程中，我感受到对同一个内容的不同处理会给学生不同的体验，效果也大不相同。
其中我印象最深的是顶点式的平移，我修改了很多次。
最开始我认为可以在例题后面总结平移规律，后来我又觉得，前面已经用平移来导入新课了，为什么不在那里就总结平移规律？于是我把平移规律调整到最前面讲，结果发现整堂课就变成了满堂理论知识。
26.1 003二次函数解析式 y=a(x-h)2 y=ax2+k
y
a>0
x
a<0
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平 (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 移|k|得到.
在同一坐标系中作出下列二次函数:
6
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
y 1 x 2 2 2
1 y ( x 2) 2 2
5 4 3
y
1 y x2 2
1 x 2 2 2
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
y 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3 -1 1 -2 y ( x 1) 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1.函数y=ax2向右平移3个单位后，经过点（-1，4）， 求a的值及平移后抛物线解析式。 2. 已知 y a( x h)2 (a 0) ，当 x1 ＞y 2 ，则 ( )
＜ 2 ＜
x
y h时， 1
A.a＞0
C.h＞0
B.a＜0
D.h＜0
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上;
二次函数y=a(x-h)2_的图象和性质
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
2
2
y
1
6
(x
2)2
25
观察三条抛物线的 y 1 x 22
4
相互关系,并分别指 2
3
出它们的开口方向,
2
对称轴及顶点.
1
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
-8
-6
-4
-2 B
2
4
6
y 1 (x 2)2 向左平移
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
y＝a(x-ｈ)2(a≠0)
a>0
（A）直线x=2 （B）直线x=-2
（C）y轴
（D）x轴
4、将抛物线 y 3x 2 向左平移3个单位所得的抛
物线的函数关系式为（ D ）
A、 y 3x2 3 B、5、抛物线 y (x 1)2 是由抛物线 y=-X2 向 右 平
顶点 坐标
最值
增减性
在对称 在对称 轴右侧 轴左侧
y=ax2
y=ax2+k
a＞0 a＜0 a＞0 a＜0
向上 y轴
向下 y轴 向上 y轴 向下 y轴
（0，0） （0,0）
（0,k） （0,k）
当x=0时， Y随x的增 Y随x的增 y最小值=0 大而减小 大而增大
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]新课导入环节中, 引导学生在观察函数图象上下功夫, 同时给学生设置有悬念的问题, 使学生积极思考问题；在探究新知过程中, 让学生经历类比联想、归纳总结的过程, 应用由特殊到一般的思想, 增强学生的观察、分析、归纳和表达能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意三点: (1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质. ③[师生互动反思] 教学过程中, 教师对学生进行引导, 使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来, 养成探索的好习惯. ④[习题反思]好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现, 进一步提升操作流程和自身素质. 一、知识回顾: 画出二次函数y ＝－ (x ＋1)2, y ＝－ (x －1)2的图象, 并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……在坐标纸上描点并画图:(1)观察图象, 填开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增(2)请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).①抛物线y＝－ (x＋1)2, y＝－ x2, y＝－ (x－1)2的形状大小________.②把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x＋1)2；把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x－1)2.(2)对于抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象, 形状________, 位置__________.当h>0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；当h<0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．小试牛刀:2.抛物线y ＝4(x －2)2与y 轴的交点坐标是________, 与x 轴的交点坐标为________.3. (1)把抛物线y ＝3x2向右平移4个单位后, 得到的抛物线的表达式为________. (2)把抛物线y ＝3x2向左平移6个单位后, 得到的抛物线的表达式为________.4.(1)将抛物线y ＝－ (x －1)2向右平移2个单位后, 得到的抛物线表达式为__________． (2)将抛物线y ＝－13(x －4)2向________平移________个单位得到y ＝－13x 2.5. 写出一个顶点是(5, 0), 形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数表达式__________.当堂巩固检测(1)二次函数y ＝2(x ＋5)2的图象是________, 开口________, 对称轴是________, 当x ＝____________时, y 有最________值, 是________.(2)二次函数y ＝－3(x －4)2的图象是由抛物线y ＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________, 对称轴是________, 当x ＝________时, y 有最__________值, 是__________.(3)将二次函数y ＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象, 其对称轴是________, 顶点是________, 当x________时, y 随x 的增大而增大；当x________时, y 随x 的增大而减小.(4)将二次函数y ＝－3(x －2)2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象, 其顶点坐标是________, 对称轴是__________, 当x ＝________时, y 有最________值, 是________.(5)抛物线y ＝4(x －3)2的开口方向__________, 对称轴是__________, 顶点坐标是__________, 抛物线有最________点, 当x ＝__________时, y 有最________值, 其值为__________, 抛物线与x 轴的交点坐标为________, 与y 轴的交点坐标为________．三、课时小结1. 抛物线y ＝2(x ＋3)2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________； 当x ＞－3时, y 随x 的增大而__________；当x ＝－3时, y 有最________值是________. 2．抛物线y ＝m(x ＋n)2向左平移2个单位后, 得到的函数表达式是y ＝－4(x －4)2, 则m ＝________, n ＝________．3．二次函数y ＝a(x ＋h)2(a ≠0)的图象由y ＝ x2向右平移得到的, 且过点(1, 2), 试说明向右平移了几个单位？。
最新人教版九年级上册数学第22章二次函数第15课时二 次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第15课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
目录
01 本课目标 02 课堂演练
1. 会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象，并能根据图 象掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质. 2. 掌握二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2,y=ax2+k，y=a(x-h)2之 间的关系，理解“上加下减，左加右减”的平移规律. 3. 借助数形结合的思想方法，灵活理解二次函数y=a(x-h)2+k 的图象性质.
y=－5(x+2)2－6 __向__下____ ___直__线__x_=_-_2_____
顶点坐标 __(_－__3_,_5_)___ __(_1_,_－__2_)___ __(_3_,_7_)_____ __(_－__2_,_－__6_)_
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举一三
3. 抛物线y=－2(x+3)2－1的对称轴是___直__线__x_=_－__3____， 顶点坐标是___（__－__3_，__－__1_）___.当x___<_－__3__时，y随x的增大 而增大；当x__>_－__3___时，y随x的增大而减小；当x___=_-_3___ 时，y取得最____大____值___－__1___.
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典例精析
【例2】抛物线y＝-2(x-3)2+7的开口向____下____，顶点坐 标为___(_3_，__7_)___，对称轴为___直__线__x_=_3_______. 当 x___＜__3___时，y随x的增大而增大；当x___＞__3___时，y随x 的增大而减小；当x___=_3____时， y的最___大_____值是 ___7_____. 思路点拨：由解析式知抛物线开口方向，顶点坐标，利 用数形结合或二次函数y=a(x-h)2+k的性质直接作答.
部优：《二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k的图象与性质》教学设计
《二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质》教学设计 一、 教学内容分析在学习了二次函数y=2ax ，y=2ax +k 的图象及性质基础上，本节课进一步研究二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质. 对于二次函数2y=a x-h k +（），令h=0，k=0，就可以得到y=2ax ；令h=0就可以得到y=2ax +k ；令k=0时，就可以得到2y=a x-h （），.由上节课可知抛物线y=2ax +k 是由抛物线y=2ax 向上（或下）平移|k|个单位长度得到的，所以本节课的教学内容完全可以类比上节课的内容展开研究.首先研究二次函数y=2ax 与2y=a x-h （），的图象之间的关系，然后再研究二次函数2y=a x-h （），与2y=a x-h k +（）的图象之间的关系，结合图象就可得到函数的性质.这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的知识，而且在学习知识的过程中不断提高学习的能力. 二、 学情分析学生前面已经学习过二次函数y=2ax ，y=2ax +k 的图象及性质，掌握了二次函数的研究流程，本节课继续研究二次函数2y=a x-h （），与2y=a x-h k +（）的图象及性质.二次函数2y=a x-h （），的图象及性质学生接受起来难一些，这是学生的思维难点.三、 教学目标1.能用描点法画出二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象. 2.理解二次函数y=2ax ，y=2ax +k ，2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象之间的关系.3.能根据图象分析出二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的性质并应用性质解决问题.4.经历将新问题转化为已经解决的问题的过程，并体会类比以及数形结合的思想.重点难点ax向左（右）平移|h|个单位长度得到理解抛物线2y=a x-h（），是由抛物线y=2的.四、评价设计学习评价量表五、教学活动设计画出二次函数y=2x ，y=2x+1（）和y=2x-1（）的图象，分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点以及三个图象的区别与联系.提示学生观察图象中对称轴的变化，抛物线y=2x+1（）的对称轴是经过点（-1，0）且与x 轴垂直的直线，这条直线上所有点的横坐标为-1，因而记作x=-1.同理可得抛物线y=2x+1（）的对称轴为x=1问题2 二次函数y=2-x ，y=2x+2-（）和y=2x-2-（）在同一直角坐标系中的图象如图所示，三者之间有何关系？问題3抛物线2y=a x-h k +（）与y=2ax 有什么关系？六、板书设计二次函数2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的图象与性质1.顶点式：2y=a x-h k +（）（1）令h=0，k=0，就可以得到y=2ax ； （2）令h=0，就可以得到y=2ax +k ；（3）令k=0，就可以得到2y=a x-h （）.2.3.二次函数2y=a x-h k +（）的性质 4.解：方法一：对称轴为直线x=2，三点（0，1y ），（2，2y ），（3，3y ）中，只有（3，3y ）在对称轴的右侧，（3，3y ）关于直线x=2的对称点为（1，3y ）.0<1<2<2且a>0，∴1y >3y >2y .方法二：二次函数2y=a x-2c +（）（a>0） 的顶点为（2，c ），对称轴为x=2.在x 轴上分别确定x=0，x=2，x=3的位置，在函数2y=a x-2c +（）（a>0）的图象上找到对应的点，并确定这些点的纵坐标1y ，2y ，3y 在y 轴上的位置.观察图象可得1y >3y ＞2y . 七、达标检测与作业A 级1. 二次函数y=2x-1（）图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .2.已知二次函数y=2x+1（），当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大.3.（1）把抛物线y=2-x 向左平移1个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为 ；（2）把抛物线y=22x 向右平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为 ；（3）将抛物线y=2x +1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线对应的函数解析式为 ；（4）将抛物线y=2x+12--3（）先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得的抛物线对应的函数解析式为 .4.抛物线y=2x+23-（）可以由抛物线y=2x 平移得到，写出平移过程.5.把抛物线y=23-x 2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，写出所得抛物线对应的函数解析式.6.画出下列二次函数的图象，并写出图象的开口方向、对称轴、顶点及增减性.（1）y=2x-35+2（）；（2）y=2x-31+2（）；（3）y=2x+1-4（）； （4）y=2x+23--（）；（5） y=2-3x 5+； （6）y=2x 3+.7.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴，且经过点（0，1）的是（ ）A.y=2x-21+（） B.y=2x 21++（） C. y=2x-23-（） D.y=2x 23+-（） 8.如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系中正确的 A.m-n, k ＞h B. m=n ，k<h C. m>n ，k=h D. m<n, k=h9.把二次函数y=2a x-h k +（）的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y=21x 112+-（）的图象. （1）试确定a ，h ，k 的值；（2）指出二次函数y=2a x-h k +（）图象的开口方向、对称轴和顶点.10.若二次函数y=22m x 22m m +--（+1）（m 为常数）图象的顶点坐标为（0，1），求m 的值.B 级11.已知抛物线y=2ax bx c ++（a<0）经过A （-2，0），O （0，0），B （-3，1y ），C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是 .12，已知二次函数y=2x m 1-（-），当x<1时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.13.如图，抛物线y=2a x 4+（-1）与x 轴交于A B 两点，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD ，已知点A 的坐标为（-1，0）. （1）求该抛物线对应的函数解析式； （2）求四边形COBD 的面积.八、教学反思本节课研究解析式为2y=a x-h （），2y=a x-h k +（）的二次函数的图象和性质，可类比上节课的方法展开.先画出两个具体的函数2y=x+1（）和2y=x-1（）的图象，与y=2x 的图象对比，通过列表、描点引导学生发现：y=2x 图象上的每点向左平移一个单位长度就可以得到2y=x+1（）的图象，每一点向右平移一个单位长度就可以得到2y=x-1（）的图象.让学生通过直观感受，归纳出抛物线2y=a x-h （），与y=2ax 的关系.通过前面的研究水到渠成地得出顶点式二次函数2y=a x-h k +（）的图象及性质，让学生体会从特殊到一般的研究方法.学生自行归纳二次函数2y=a x-h k +（）的性质，并深入体会抛物线y=2ax 与2y=a x-h k +（）的关系.本节课仍然渗透研究问题的方法.比如，通过研究特殊的二次函数2y=x+1（）和2y=x-1（）的图象得出2y=a x-h （），的图象，这种从特殊到一般的研究问题的方法，对于培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力很有帮助.整个教学过程向学生渗透事物总是不断运动、变化和发展的观点，渗透二次函数图象的对称美，渗透二次函数y= 2ax ，2y=a x-h k +（）的图象可互相转化的数学美.二次函数图象的左右平移只影响二次函数2y=a x-h k +（）中h 的值，上下平移只影响k 的值，平移过程中图象的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的变化，确定平移前后的函数关系式及平移的路径.此外图象的平移与平移的顺序无关.本节课让学生自己动手画函数图象，独立探究二次函数的图象及性质，有利于培养学生的自主学习能力.学生作为课堂的主人，类比上节课的学习自行解决本节课的要探讨的问题.通过自主探究，对所学知识由感性认识上升到理性认识，大大提高了课堂效率.对于函数图象间的平移关系可以引导学生充分讨论，得出结论.。
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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质（一）二次函数y=ax2+k的图象与性质一．选择题1．抛物线y=2x2﹣1的顶点坐标是（）A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0）2．抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴有两个交点，且开口向上，则a、b的取值范围是（）A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞03．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（）A．3.5mB．4mC．4.5mD．4.6m4．抛物线y=2x2﹣3可以看作由抛物线y=2x2如何变换得到的（）A．向上平移3个单位长度 B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D．向右平移3个单位长度5．抛物线y=﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线 C．y轴D．直线x=26．抛物线y=x2﹣4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的周长为（）A．4 B．4+4 C．12 D．2+47．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致所示中的（）A． B． C． D．二．填空题8．函数y=ax2+c（a≠0）的图象是一条______，对称轴是______，顶点是______，当a＞0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______，当a＜0，抛物线开口______，顶点是抛物线的______．9．抛物线y=﹣2x2﹣3的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______，当x______时，y随x的增大而增大，当x______时，y随x的增大而减小．10．若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为______．11．任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线y=x2+k，当k取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点．其中判断正确的是______．12．点A（3，m）在抛物线y=x2﹣1上，则点A关于x轴的对称点的坐标为______．13．若抛物线y=x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m=______．14．若一条抛物线与y=的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为______．15．与抛物线y=﹣+3关于x轴对称的抛物线的解析式为______．16．已知A（﹣1，y1），B（，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y=ax2﹣1（a＞0）的图象上，那么y1，y 2，y3的大小关系是______．（用“＜”连接）三．解答题17．已知抛物线y=ax2+b过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）（1）求这个函数的关系式；（2）当为何值时，函数y随x的增大而增大．18．已知直线y=2x和抛物线y=ax2+3相交于点A（2，b），求a，b的值．19．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质（二）二次函数y=a(x-h)2图象和性质一.选择题1．二次函数y=x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是 （ ）A ．y=x 2+3B ．y=x 2﹣3C ．y=（x+3）2D ．y=（x ﹣3）2 2．抛物线y=﹣2（x ﹣3）2的顶点坐标和对称轴分别为 （ ）A ．（﹣3，0），直线x=﹣3B ．（3，0），直线x=3C ．（0，﹣3），直线x=﹣3D ．（0，3），直线x=﹣33．已知二次函数y=3（x+1）2﹣8的图象上有三点A （1，y 1），B （2，y 2），C （﹣2，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为 （ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 14．把抛物线y=6（x+1）2平移后得到抛物线y=6x 2，平移的方法可以是 （ ）A ．沿y 轴向上平移1个单位B ．沿y 轴向下平移1个单位C ．沿x 轴向左平移1个单位D ．沿x 轴向右平移1个单位5．若二次函数y=x 2﹣mx+1的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 （ ）A ．2B ．﹣2C ．0D ．±26．对称轴是直线x=﹣2的抛物线是 （ ）A ．y=﹣x 2+2B ．y=x 2+2C ．y=D ．y=3（x ﹣2）27．对于函数y=3（x ﹣2）2，下列说法正确的是 （ ）A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而减小8．二次函数y=3x 2+1和y=3（x ﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x ＞0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．抛物线______向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x ﹣1）2．10．抛物线y=﹣3（x ﹣1）2的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______．11．当x______时，函数y=﹣（x+3）2y随x的增大而增大，当x______时，随x的增大而减小．12．若抛物线y=a（x﹣h）2的对称轴是直线x=﹣1，且它与函数y=3x2的形状相同，开口方向相同，则a=______，h=______．13．抛物线y=（x﹣5）2的开口，对称轴是______，顶点坐标是______，它可以看做是由抛物线y=x2向______平移______个单位长度得到的．抛物线______向右平移3个单位长度即得到抛物线y=2（x﹣1）2．14．已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y=﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为______．15．顶点是（2，0），且抛物线y=﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为______．16．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为______．三、解答题17．抛物线y=a（x﹣2）2经过点（1，﹣1）（1）确定a的值；（2）求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．18．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3），求此二次函数的关系式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大．19．如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM=ON=4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．二次函数y=ax 2+k 的图象与性质参考答案一．选择题1-7．BABBCBB二．填空题8．抛物线，y 轴，（0，c ），向上，最低点，向下，最高点 ．9．向下，y 轴，（0，﹣3），＜0，＞0． 10．c ． 11．①②③④12．（3，﹣8）．13．2． 14．y=x 2+2 15．y=x 2﹣3．16．y 1＜y 2＜y 3．三．解答题17．解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax 2+b 得，解得 所以这个函数的关系式为y=﹣3x 2+9；（2）∵这个函数的关系式为y=﹣3x 2+9；∴对称轴x=0，∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜0时，函数y 随x 的增大而增大．18．解：把A （2，b ）代入y=2x 得b=2×2=4，则A 点坐标为（2，4），把A （2，4）代入y=ax 2+3得4a+3=4，解得a=．19．解：∵抛物线的顶点为A （0，1），∴抛物线的对称轴为y 轴，∵四边形CDEF 为矩形，∴C 、F 点为抛物线上的对称点，∵矩形其面积为8，OB=2∴CF=4，∴F 点的坐标为（2，2），设抛物线解析式为y=ax 2+1，把F （2，2）代入得4a+1=2，解得a=，∴抛物线解析式为y=x 2+1．二次函数y=a(x-h)2图象和性质参考答案一.选择题1-8．DBBDDCCB二、填空题9．y=2（x+2）2．10．向下，x=1，（1，0）．11．＜﹣3，＞﹣3．12．3，﹣1．13．向上，x=5，（5，0），右，5，y=2（x+2）2．14．y 2＞y 1＞y 3．15．y=﹣3（x ﹣2）2．16．y=． 三、解答题17．解：（1）把（1，﹣1）代入y=a （x ﹣2）2得a •（1﹣2）2=﹣1，解得a=﹣1（2）抛物线解析式为y=﹣（x ﹣2）2，当y=0时，﹣（x ﹣2）2=0，解得x=2，所以抛物线与x 轴交点坐标为（2，0）；当x=0时，y=﹣（x ﹣2）2=﹣4，所以抛物线与y 轴交点坐标为（0，﹣4）．18．解：根据题意得y=a （x ﹣2）2，把（1，﹣3）代入得a=﹣3，所以二次函数解析式为y=﹣3（x ﹣2）2，因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，所以当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．19．解：（1）∵OM=ON=4，∴M 点坐标为（4，0），N 点坐标为（0，4），设抛物线解析式为y=a （x ﹣4）2，把N （0，4）代入得16a=4，解得a=，所以抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2=x 2﹣2x+4；（2）∵点A 的横坐标为t ，∴DM=t ﹣4，∴CD=2DM=2（t ﹣4）=2t ﹣8，把x=t 代入y=x 2﹣2x+4得y=t 2﹣2t+4，∴AD=t 2﹣2t+4，∴l=2（AD+CD ）=2（t 2﹣2t+4+2t ﹣8）=t 2﹣8（t ＞4）．。