概率统计基础知识中级

—— 包含：AB或BA
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A中任一个样本点必在B中，则称A被包 含在B中，或B包含A。
—— 互不相容
在一个随机现象中有两个事件A与B，若 事件A与B没有相同的样本点，则称A与B互不 相容。
可推广到三个或更多个事件间的互不相容
—— 相等：A=B即AB且AB
在一个随机现象中有两个事件A与B，若样 本A与B含有相同的样本点，则称事件A与B相 等。
例：A={（x，y）：x + y =奇数}
B={（x，y）：x与y的奇偶性不同} 则： (1,2),(1,4),(1,6),(2.1),(2,3),(2,5) A=B= (3,2),(3,4),(3,6)…
（三）事件的运算
P(B)0
P(A)0
（三）独立性和独立事件的概率 相互独立： 设有两个事件A与B，假如其中一个事件 的发生不影响另一个事件的发生与否，则称A 事件与B事件相互独立。
性质7： 假如二个事件A与B相互独立，则A与B同 时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B) 性质8： 假如二个事件A与B相互独立，则在事件 B发生条件下，事件A的条件概率P(AB)等 于事件A的（无条件）概率p(A) ∵
（二）条件概率与概率的乘法法则
条件概率
两个事件A与B，在事件B已发生的条件下，事 件A再发生的概率称为条件概率，记P（A/B）。
计算公式：
P ( AB ) P( A B ) ( P( B ) 0 ) P( B )
性质6：对任意二个事件A与B，有
P(AB)=P(AB)P(B)=P(BA)P(A)
均值：
用来表示分布的中心位置，用E(X)表示
x i pi
E( X )
xp( x )dx
X是离散随机变量
X是连续随机变量
方差：
用来表示分布的散布大小，用Var(x)表示
Var ( X )
—— 事件A与B的交：A B或AB 由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称 为事件A与B的交。A B 发生意味着“事件A与B 同时发生”
事件的并和交可推广到更多个事件上去。
—— 事件A对B的差：A-B 由在事件A中而不在B中的样本点组成的 新事件，称为A对B的差。
（a）A-B
（b）A-B（ A B ）
质量专业理论与实务
第一章 概率统计基础知识（中级）
讲师:张宝山
农民歌手—朱之文
培训主要内容
1.概率基础知识 2.随机变量及其分布
3.统计基础知识
4.参数估计
5.假设检验
第一节 一、事件与概率 （一）随机现象 随机现象
概率基础知识
在一定条件下，并不总是出现相同结果 的现象。
特点 —— 随机现象的结果至少有两个 —— 至于哪一个出现，人们事先并不知道
（1）排列：从n个不同元素中任取 r (r n) 个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理 有 Pnr n(n 1) (n r 1), Pn n ! （2）重复排列：从n个不同元素中每次取出 一个做记录后放回，再取下一个，如此连续 取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原 r 理，此种重复排列有 n 个。
（一）离散随机变量的分布 离散随机变量的分布可用分布列表示（离 散分布） 分布列
X P X1 p1 X2 p2 „„ „„ Xn pn
或用数学式表达：
P(X=Xi)=pi
i=1，2……n（p1+…+pn=1）
pi也称为分布的概率函数
（二）连续随机变量的分布
用概率密度函数表示（简称分布）
条件： ① p（x）≥0 ② p( x )dx 1
P ( A B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B) P ( B)
事件的相互独立可推广到三个或更多的事件 上去。
【例1.1-10】设某样本空间含有25个等可能 的样本点，又设事件A含有15个样本点，事 件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样 本点。由古典定义可知
fn ( A ) K n 事件A发生次数 n 重复试验数
—— fn(A)将会随着重复试验次数不断增加而趋 于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概 率。一般用重复次数n较大时的频率去近似 概率。
三、概率的性质及其运算法则 （一）概率的性质：（可由概率的定义看出）
—— 性质1：对任意事件A，有0≤P(A)≤1；
二、概率的古典定义与统计定义
（一）古典定义
—— 所涉及的随机现象只有有限个样本点。如
共有n个样本点； —— 每个样本点出现的可能性是相同的（等可 能性）； —— 假如被考察事件A含有K个样本点，则事件
A的概率定义为
K A中含样本点的个数 P( A ) n 中样本点的总数
例1.1-3掷两颗骰子，其样本点可用数对（x,y） 表示，其中x与y分别表示第一与第二颗骰子出 现的点数。这一随机现象的样本空间为：
【例1.1-7】抛三枚硬币，至少一个正面出现 （记为事件）的概率是多少？ 【例1.1-8】一批产品共100件，其中5件不合 格品，现从中随机抽出10件，其中最多有两 件不合格的概率是多少？ 【例1.1-8】某足球队在未来一周中有两场比 赛，在第一场比赛中获胜概率为1/2,在第二 场比赛中获胜概率为1/3,如果在两场比赛中 都获胜的概率是1/6，那么该队在这两场比赛 中至少有一场获胜的概率是多少？
15 7 5 , P ( B ) , P ( AB ) , 25 25 7 P ( AB ) 5 / 25 5 P( A | B) P ( B ) 7 / 25 7 P ( A)
第二节
随机变量及其分布
一、随机变量
随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变 量。常用大写字母X、Y、Z……表示。
（1）乘法原理：如果做某件事需经k步才能 完成，其中做第一步有 m1 种方法，做第二步 有 m2 种方法 做第k步有 mk 种方法，那么 完成这件事共有 m1 m2 mk 种方法。 （2）加法原理：如果做某件事可由k类不同方法 之一去完成，其中在第一类方法中又有 m1 种完成 方法，在第二类方法中又有m2 种方法 在第k 类方法中又有mk 种完成方法，那么完成这件事共 有 m1 m2 mk 种方法。
—— 性质2： P ( A) 1 P ( A)
—— 性质3：若AB 则P（A-B）=P（A）-P（B）
—— 性质4：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）
若A与B互不相容P（A∪B）=P（A）+P（B）
—— 性质5：对于多个互不相容事件A1，A2，……， 有P(A1∪A2∪A3∪……)=P(A1)+P(A2)+p(A3)+……；
事件运算性质：
—— 交换律：A B B A ，A B B A —— 结合律：A B C A B C
A B C A B C
—— 分配律：A B C A B A C
A B C A B A C
随机变量类型 —— 离散随机变量 一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列 个点，则此随机变量为离散（型）随机变量。 —— 连续随机变量 如一个随机变量的所有可能取值充满数轴 上一个范围（a，b）或整个数轴，则此随机变 量为连续（型）随机变量。
二、随机变量的分布 随机变量的分布 随机变量取值的统计规律性。 随机变量X的分布内容： —— X可能取哪些值或在哪个区间上取值 —— X取这些值的概率各是多少？或X在任 一小区间上取值的概率是多少？
（3）组合：从n个不同元素中任取 r (r n) 个元素并成一组（不考虑其中的顺序）称 为一个组合，此种组合为
n Pnr n(n 1) (n r 1) r! r r!
（二）概率的统计定义
—— 与考察事件A有关的随机现象是可以大量 重复试验的； —— 若在n次重复试验中，事件A发生Kn次，则 事件A发生的频率为：
事件运算 —— 对立事件：A→ A
在一个随机现象中，Ω是样本空间，A为事件， 则由在Ω中而不在A中的样本点组成的事件称为A 的对立事件，记 。 A 则 A A ， ，
—— 事件A与B的并：AB
由事件A与B中所有样本点（相同的只计入 一次）组成的新事件。称为A与B的并，A B 发 生意味着“事件A与B至少一个发生”
【例1.1-1】以下是随机现象的另外一些例子 （1）一天内进入某超市的顾客数； （2）一顾客在超市中购买的商品数； （3）一顾客在超市排队等候付款的时间； （4）一颗麦穗上长着的麦粒数；
样本点 认识一个随机现象，首要的是能罗列出 它的一切可能发生的基本结果。这里的基本 结果是今后的抽样单元即样本点。 样本空间：记为Ω
x
重要结论：
1．X在区间（a，b）上取值的概率 p(a＜X＜b)为概率密度曲线以下区间（a，b） 上的面积，即
P(a＜Χ＜b)=
b a p( x )dx
2. X在一点取值的概率为零，即
P(X=a)=0
故：P(a＜x＜b)=P(a≤x≤b) =P(a≤X＜b) =P(a＜X≤b)
三、随机变量分布的均值、方差与标准差
Ω={（x，y），x，y=1，2…6}
它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能 性都相同。 （1）定义事件A=“点数之和为2”={（1，1）}， 它只含一个样本点，故P（A）=1/36
（2）定义事件B=“点数之和为 5”={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},它含有4个样本点， 故P(B)=4/36=1/9 （3）定义事件C=“点数之和超过9”= {(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)},它含有6个样 本点，故P(C)=6/36=1/6。 用古典方法获得概率常需要用排列与组合的公 式。现概要介绍如下： 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基 于如下两条计数原理。