第3讲两点间距离公式`线段的定比分点与图形的平移doc

5.3两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 AB =（x2－x1，y2－y1）. ∴| AB |=（ x 2  x 1）  y 2  y 1） （2 2.2.线段的定比分点是研究共线的三点 P1，P，P2 坐标间的关系.应注意： （1）点 P 是不同 于 P1，P2 的直线 P1P2 上的点； （2）实数λ 是 P 分有向线段 P1 P 2 所成的比，即 P1→P，P→P2x1   x 2  ， x   1  的顺序，不能搞错； （3）定比分点的坐标公式  （λ  y  y1  y 2  1  ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系， x   x  h，   y  y  k.特别提示1.定比分点的定义：点 P 为 P1 P 2 所成的比为λ ，用数学符号表达即为 P1 P =λ 当λ ＞0 时，P 为内分点；λ ＜0 时，P 为外分点. 2.定比分点的向量表达式： P 点分 P1 P 2 成的比为λ ，则 OP =1 1 PP 2.OP 1+1 OP 2（O 为平面内任一点）.3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基 1.（2004 年东北三校联考题）若将函数 y=f（x）的图象按向量 a 平移，使图象上点的坐 标由（1，0）变为（2，2） ，则平移后的图象的解析式为 A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得 a=（1，2） ，则平移后的图象的解析式为 y=f（x－1）+2. 答案：C 2.（2004 年湖北八校第二次联考）将抛物线 y2=4x 沿向量 a 平移得到抛物线 y2－4y=4x， 则向量 a 为 A.（－1，2） B.（1，－2） C.（－4，2） D.（4，－2） 解析：设 a=（h，k） ，由平移公式得x  x  h  x  x   h，     y  k y  y  y   k，代入 y2=4x 得 （ y  －k）2=4（ x  －h） y  2－2k y  =4 x  －4h－k2， ， 即 y2－2ky=4x－4h－k2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由 y2－4y=4x，配方得 （y－2）2=4（x+1） ， ∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?） 3.设 A、B、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为 2、5、10，则 A 点分 BC 所得的比为 A.3 8B.3 88 3C.－D.－5  10   8 3解析：设 A 点分 BC 所得的比为λ ，则由 2= 答案：C，得λ =－ .834.若点 P 分 AB 所成的比是λ （λ ≠0） ，则点 A 分 BP 所成的比是____________. 解析：∵ AP =λ ∴ AB =1 PB，∴ AP =λ （－ AP + AB ）.∴（1+λ ） AP =λ1 AB. AP.∴ BA =－AP.答案：－1 5.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）（－3，4）（－1，－1） 、 、 ，则△ABC 的 重心坐标为____________. 解析：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，        则         x1  x 2 2 y1  y 2 2 x1  x 3 2 y1  y 3 2 x2  x3 2 y2  y3 2  1.   1，  4，   3， x1  x 2  x 3   2  y1  y 2  y 3  4 2，  1，∴∴重心坐标为（－ 答案： （－2 32 3，4 3）.，4 3）（文）已知点 M1（6，2）和 M2（1，7） ，直线 y=mx－7 与线段 M1M2 的交点 M 分有向 线段 M 1 M2的比为 3∶2，则 m 的值为____________.6  3 2 3 2 2  7 3 2 1 3 2解析：设 M（x，y） ，则 x=1=15 5=3，y==4  21 5=5，即 M（3，5） ，代入y=mx－7 得 5=3m－7，∴m=4. 答案：4 ●典例剖析 【例 1】 已知点 A（－1，6）和 B（3，0） ，在直线 AB 上求一点 P，使| AP |= | AB |.3 1剖析：| AP |= | AB |，则 AP =311 3AB或 AP =1 3BA.设出 P（x，y） ，向量转化为坐标运算即可. 解：设 P 的坐标为（x，y） ，若 AP =4 1   x  1  ， x  ， 解得  3 3   y  6  2.  y  4.  1 3AB，则由（x+1，y－6）= （4，－6） ，得31此时 P 点坐标为（ ，4）.31若 AP =－1 3AB，则由（x+1，y－6）=－ （4，－6）得314 7   x  1   ， x   ， 3 解得  3   y  6  2.  y  8.  ∴P（－7 3，8）.综上所述，P（ ，4）或（－317 3，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由 AP = λ =1 21 3AB，得 AP =AP1 2PB，则 P 为 AB 的定比分点，AB，代入公式即可；若1 4AP=－1 3AB，则=－1 4PB，则 P 为的定比分点，λ =－.A P BP A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例 2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A（4，1） ，B（3，4） ，C（－1，2） ，BD 是∠ABC 的平分线，求点 D 的坐标及 BD 的长.剖析：∵A、C 两点坐标为已知，∴要求点 D 的坐标，只要能求出 D 分 AC 所成的 比即可. 解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D 分 AC 所成的比λ =AD DCAB BC2 2.由定比分点坐标公式，得 2 4    1） （  2 xD   9  5 2，  2 1  2   1 2 y   2. D  2 1  2 ∴D 点坐标为（9－5 ∴|BD|=2，2）.2（ 9  5 2  3）  （ 2  4）2=104  682.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解 出 D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设 D（x，y） ，∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈 BA ， BD 〉=〈 BC ， BD 〉. ∴BA  BD | BA || BD | BA  BD | BA |  BC  BD | BC |  | BD | BC  BD | BC |，即=.又 BA =（1，－3） BD =（x－3，y－4） BC =（－4，－2） ， ， ， ∴x  3  3 y  12 10= 4 x  12  2 y  8 20. －20=0. ①∴（4+2）x+（2－32）y+92又 A、D、C 三点共线，∴ AD ， AC 共线. 又 AD =（x－4，y－1） AC =（x+1，y－2） ， ， ∴（x－4） （y－2）=（x+1） （y－1）. 由①②可解得 x  9  5  y   2. 2，②∴D 点坐标为（9－52，2） ，|BD|=104  682.思考讨论若 BD 是 AC 边上的高， BD 把△ABC 分成面积相等的两部分， 或 本题又如何求解?请读 者思考. 【例 3】 已知在 □ ABCD 中，点 A（1，1） ，B（2，3） ，CD 的中点为 E（4，1） ，将 □ABCD 按向量 a 平移，使 C 点移到原点 O. （1）求向量 a； （2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解： （1）由□ABCD 可得 AB = DC ， 设 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， 则 x 3  x 4  1，  y 3  y 4  2. ① ②又 CD 的中点为 E（4，1） ， x3   则  y3    x4 2  y4 2  1. ④  4， ③9  7   x 3  ， x 4  ， 由①－④得  2  2  y  2，  y  0 ，  4  3即 C（9 2，2） ，D（9 27 2，0）.∴a=（－，－2）.7 2（2）由平移公式得 A′（－ ●闯关训练 夯实基础，－1） ，B′（－5 2，1） ，C′（0，0） ，D′（－1，－2）.1.（2004 年福州质量检查题）将函数 y=sinx 按向量 a=（－ 式为 A.y=sin（x－ C.y=sin（x+π 4 π 4π 4，3）平移后的函数解析）+3 ）+3B.y=sin（x－ D.y=sin（x+π 4）－3 ）－3π 4π  ，  x  x   h，  x  x   解析：由  得 4   k， y  y  y  y   3. ∴ y  －3=sin（ x  +π 4）.∴ y  =sin（ x  + 即 y=sin（x+ 答案：Cπ 4π 4）+3，）+3.2. （2003 年河南调研题） 将函数 y=2sin2x 的图象按向量 a 平移， 得到函数 y=2sin 2x+ （ +1 的图象，则 a 等于 A.（－ C.（π 3 π 3π 3），1）B.（－ D.（π 3 π 6π 6，1），－1） ）+1 得 y=2sin2（x+π 6，1）π 6解析：由 y=2sin（2x+）+1，∴a=（－，1）.答案：B 3.（2004 年东城区模拟题）已知点 P 是抛物线 y=2x2+1 上的动点，定点 A（0，－1） ， 若点 M 分 PA 所成的比为 2，则点 M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是 ____________. 解析：设 P（x0，y0） ，M（x，y）.x0  x   3  y0  2 y   3  x 0  3 x， 代   y 0  3 y  2，入 y0=2x02+1 得 3y+2=18x2+1 ， 即 18x2=3y+1 ，x2=1 6y+1 18=1 6（y+ ） ，∴p=31 611 12，焦点坐标为（0，－7 247 24）.答案：x2=（y+ ） （0，－31）4.把函数 y=2x2－4x+5 的图象按向量 a 平移后，得到 y=2x2 的图象，且 a⊥b，c=（1，－1） ， b·c=4，则 b=____________. 解析：a=（0，0） －（1，3） =（－1，－3）.设 b=（x，y） ，由题意得  则 b=（3，－1）. 答案： （3，－1） 5.已知向量 OA = （3， ，OB = 1） （－1， ，OC ⊥ OB ，BC ∥ OA .试求满足 OD + OA = OC 2） 的 OD 的坐标. 解：设 OD =（x，y） ，则 OC =（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1） ，BC  x  3 y  0， x  3，   x  y  4，  y   1，= OC － OB =（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1） ，则（ 2   x  3） （ y  1） 0，（ x  4） （ y  1） 0 . 3   x  11， OD  y  6，所以 =（11，6）.1 31 46.已知 A（2，3） ，B（－1，5） ，且满足 AC = D、E 的坐标.AB， AD =3 AB ， AE =－AB，求 C、解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C（1， E（11 411 3） ，D（－7，9） ，，5 2）.培养能力 7.（2004 年福建，17）设函数 f（x）=a·b，其中 a=（2cosx，1） ，b=（cosx， x∈R. （1）若 f（x）=1－33sin2x） ，，且 x∈［－π 3，π 3］ ，求 x；π 2（2）若 y=2sin2x 的图象按向量 c=（m，n） （|m|＜ 求实数 m、n 的值. 解： （1）依题设 f（x）=2cos2x+ 由 1+2sin（2x+ sin（2x+ ∵|x|≤ ∴2x+π 3 π 6 π 6）平移后得到函数 y=f（x）的图象，3sin2x=1+2sin（2x+π 6） ，）=1－3 23，得π 6）=－π 2.π 6 π 4，∴－ =－π 3≤2x+≤ .5π 6.，即 x=－（2）函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=（m，n）平移后得到函数 y=2sin2（x－m）+n 的图 象，即 y=f（x）的图象.由（1）得 f（x）=2sin2（x+π 12）+1.又|m|＜π 2，∴m=－π 12，n=1.8.有点难度哟！ （2004 年广州综合测试）已知曲线 x2+2y2+4x+4y+4=0 按向量 a=（2，1）平移后得到曲 线 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 D（0，2）的直线与曲线 C 相交于不同的两点 M、N，且 M 在 D、N 之间， 设 DM =λMN，求实数λ 的取值范围.解： （1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线 C 为 x2+2y2=2，即x2+y2=1.2（2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则x2  ，  x1   1  由于点   y  2  y 2 .  1 1  M、N 在椭圆 x +2y =222 x 2  2 y 2  2，  1 1 上，则  2 2  x 2  2 y 2  2， 2  y 2 2  x2 2 （ ）  （ 2 ）  2，  1  即 1    x 2  2 y 2  2. 2  2消去 x22 得，2λ 2+8λ y2+8=2λ 2+4λ +2， 即 y2=2  3 4.2  3 4 1 2∵－1≤y2≤1，∴－1≤ 又∵λ ＞0，故解得λ ≥ 故λ 的取值范围为［1 2≤1..，+∞）.思考讨论本题若设出直线 l 的方程 y=kx+2，然后与 x2+2y2=2 联立，利用韦达定理能求解吗?（不 要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下. 探究创新 9.甲船由 A 岛出发向北偏东 45°的方向做匀速直线航行，速度为 152n mile/h，在甲1 2船从 A 岛出发的同时， 乙船从 A 岛正南 40 n mile 处的 B 岛出发， 朝北偏东θ （θ =arctan 的方向作匀速直线航行，速度为 105）n mile/h.（如下图所示）北 A 东 B（1）求出发后 3 h 两船相距多少海里? （2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以 A 为原点，BA 所在直线为 y 轴建立如下图所示的坐标系.y 北 P A Q x 东  B设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 则  x 1  15 2 t cos 45   15 t ， y 1  x 1  15 t . 由θ =arctan x2=10 y2=1051 2，可得 cosθ =2 55，sinθ =5 5，tsinθ =10t， tcosθ －40=20t－40.5（1）令 t=3，P、Q 两点的坐标分别为（45，45）（30，20）. ， |PQ|= （ 45 30 ）  45 － 20 ） （2 2=850=534，即两船出发后 3 h 时，两船相距 5 （2）由（1）的解法过程易知 |PQ|= （ x 2 = （10 t = =50 t234n mile. x 1 ） y 2  y 1） （222 15 t ）  20 t  40  15 t ） （2 400 t  160050 t  4）  800 （2≥202.2∴当且仅当 t=4 时，|PQ|的最小值为 20 即两船出发 4 h 时，相距 202，n mile 为两船最近距离.●思悟小结 1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题： （1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ ； （2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地 把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义 P1 P =λPP 2获解.2.线段的定比分点的坐标表示， 强化了坐标运算的应用， 确定λ 的值是公式应用的关键. 3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清 新旧函数解析式. 4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心 教学点睛 1.线段的定比分点公式 P1 P =λPP 2，该式中已知 P1、P2 及λ 可求分点 P 的坐标，并且还要注意公式的变式在 P1、P2、P、λ 中知三可求第四个量. 2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性. 3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 【例 1】 （2004 年豫南三市联考）已知 f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）设△ABC 的三内角为 A、B、C，求 f（A，B）取得最小值时，C 的值； （2）当 A+B=π 2且 A、B∈R 时，y=f（A，B）的图象按向量 p 平移后得到函数 y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量 p. 解： （1）f（A，B）=（sin2A－3 2）2+（cos2B－1 2）2+1， π π  3 或A  ， ， A   sin 2 A    6 3 2 由题意  得 1  B  π . cos 2 B  ，   6  2 ∴C=2π 3或 C=ππ 2. ，∴2B=π －2A，cos2B=－cos2A.3（2）∵A+B=2∴f（A，B）=cos2A－ 从而 p=（π 6sin2A+3=2cos（2A+π 3）+3=2cos2（A+π 6）+3.，－3） （只要写出一个符合条件的向量 p 即可）.【例 2】 设曲线 C 的方程是 y=x3－x， C 沿 x 轴、 轴正向分别平移 t、 单位长度后， 将 y s 得到曲线 C1. （1）写出曲线 C1 的方程； （2）证明：曲线 C 与 C1 关于点 A（t 2，s 2）对称. ①t 2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）. （2）分析：要证明曲线 C1 与 C 关于点 A（ ，s 2）对称，只需证明曲线 C1 上任意一个点关于 A 点的对称点都在曲线 C 上，反过来，曲线 C 上任意一个点关于 A 点的对称点都 在曲线 C1 上即可. 证明：设 P1（x1，y 1）为曲线 C1 上任意一点，它关于点 A（t 2，s 2）的对称点为P（t－x1，s－y1） ，把 P 点坐标代入曲线 C 的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）. 由于 P1 在曲线 C1 上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）. ∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1） ，即点 P（t－x1，s－y1）在曲线 C 上. 同理可证曲线 C 上任意一点关于点 A 的对称点都在曲线 C1 上. 从而证得曲线 C 与 C1 关于点 A（t 2，s 2）对称.。