第二讲 简单的逻辑用语

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第二讲 常用逻辑用语复习题(解析版)

第二讲 常用逻辑用语复习题(解析版)

第2讲常用逻辑用语复习题I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一:充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 3题型二:全称量词命题与存在量词命题 4题型三:应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 6题型四:充要条件的证明或探求 9题型五:命题的否定 11题型六:与全称(存在)量词命题有关的参数问题 12 III模块三:数学思想方法 15①分类讨论思想 15②转化与化归思想 17③方程思想 181本章知识思维导图I23II 典型例题题型一:充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用【例1】(天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷)已知a ∈R ,则“1a≥1”是“0≤a ≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】不等式1a≥1⇔0<a ≤1,显然(0,1]Ü[0,1],所以“1a ≥1”是“0≤a ≤1”的充分不必要条件.故选:A【例2】(重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题)若xy ≠0,则“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x +2y =0时,x y +y x =-2y y +y -2y =-2-12=-52,当x y +y x =-52时,即2x 2+5xy +2y 2=0,即x +2y 2x +y =0,则有x +2y =0或2x +y =0,故“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的充分不必要条件.故选:B .【例3】(2024·江苏扬州·模拟预测)已知集合A =0,a 2 ,B =1,a +1,a -1 ,则“a =1”是“A ⊆B ”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =1时,A ={0,1},B ={0,1,2},则A ⊆B ;反之,当A ⊆B 时,a +1=0或a -1=0,解得a =-1或a =1,若a =-1,A ={0,1},B ={0,1,-2},满足A ⊆B ,若a =1,显然满足A ⊆B ,因此a =-1或a =1,所以“a =1”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.故选:B【例4】(2024·天津河北·二模)设x ∈R ,则“1<x <2”是“x -2 <1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x-2<1可得-1<x-2<1,解得1<x<3,所以由1<x<2推得出x-2<1,故充分性成立;由x-2<1推不出1<x<2,故必要性不成立,所以“1<x<2”是“x-2<1”的充分不必要条件.故选:A【例5】(2024·高一·江苏连云港·开学考试)若不等式x <a的一个充分条件为0<x<1,则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】由x <a,得到-a<x<a,又不等式x <a的一个充分条件为0<x<1,所以a≥1,故选:C.【例6】(2024·高一·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.m<-12 D.-1<m<-12【答案】A【解析】不等式x2-x-m>0在R上恒成立,即一元二次方程x2-x-m=0在R上无实数解∴Δ=-12-4×-m<0,解得:m<-1 4,易见B选项是充要条件,不成立;A选项中,m<-14可推导m≤-14,且m≤-14不可推导m<-14,故m≤-14是m<-14的必要不充分条件,A正确;C选项中,m<-14不可推导出m<-12,C错误;D选项中,m<-14不可推导-1<m<-12,D错误,故选:A.题型二:全称量词命题与存在量词命题【例7】(2024·高一·河南安阳·阶段练习)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2=xB.∃x∈Q,x2=3C.∀x∈Z,|x|∈ND.∃x∈R,x2-2x+3=0【答案】C【解析】当x=-1时,x2≠x.故选项A判断错误;由x2=3可得,x=± 3.故选项B判断错误;∀x∈Z,|x|∈N.故选项C判断正确;由x2-2x+3>0,可得选项D判断错误.故选:C4【例8】(2024·高一·广东广州·阶段练习)下列命题中真命题的个数是()①∃x∈R,x2≤0;②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数;③∀x∈{x|x是无理数},x是无理数.A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于①,当x=0时,x2=0≤0,故①正确;对于②,由1是整数,且它既不是合数,也不是素数,故②正确;对于③,假设∀x∈{x|x是无理数},x是有理数,则可设x=pq,p,q∈Z,则x=p2q2,p2,q2∈Z,故x为有理数,而与题设矛盾,故③正确,故选:D.【例9】(2024·高一·北京通州·期中)给出下面四个命题:①∀x∈R,x +1≥1;②∀x∈R,x +x≥0;③∃x∈R,x2的个位数字等于3;④∃x∈R,x2-x+1=0.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对于①,因为x ≥0,所以∀x∈R,x +1≥1,所以①对;对于②,当x≥0时,x +x=2x≥0,当x<0时,x +x=0≥0,所以∀x∈R,x +x≥0成立,所以②对;对于③,设x=10a+b,b∈0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x2=1010a2+2ab+b2,x2的个位数字等于b2的个位数字,所以x2的个位数字都不等于3,所以③错;对于④,因数Δ=-12-4×1×1=-3<0,所以方程x2-x+1=0无实数解,所以④错.故选:B.【例10】(2024·高一·全国·课后作业)以下四个命题中,既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使x2≤0【答案】B【解析】逐一考查所给的命题:A选项为全称量词命题,且所给的命题为假命题;B选项为存在量词命题,且所给的命题为真命题;C选项为全称量词命题,取x1=2+3,x2=2-3,则x1+x2=4为有理数,所给的命题为假命题;D选项为存在量词命题,若x<0,则x2>0,所给的命题为假命题.故选B.【例11】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z,使得x2<3成立B.菱形的两条对角线长度相等56C.∃x ∈R ,x 2=xD.对任意a ,b ∈R ,都有a 2+b 2≥2(a +b -1)【答案】D【解析】AC 为存在量词命题,BD 为全称量词命题,菱形的两条对角线长度不一定相等,B 选项错误,对任意a ,b ∈R ,都有a 2+b 2-2(a +b -1)=a 2-2a +1+b 2-2b +1=(a -1)2+(b -1)2≥0,即a 2+b 2≥2(a +b -1),D 选项正确.故选:D【例12】(2024·高一·河北·阶段练习)下列命题中,既是全称量词命题又是真命题的是()A.每一个命题都能判断真假B.存在一条直线与两条相交直线都平行C.对任意实数a ,b ,若a <b ,则a 2<b 2D.存在x ∈R ,使x 2-x +1=0【答案】A【解析】对于A ,“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题,命题都能判断真假,A 是真命题,符合题意;对于B ,“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题,不符合题意;对于C ,该命题是全称量词命题,当a =-2,b =-1时,a 2>b 2,C 中命题是假命题,不符合题意;对于D ,该命题是存在量词命题,不符合题意,故选:A .题型三:应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)【例13】(2024·高一·海南海口·阶段练习)若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件,则a 的最大值为.【答案】-2【解析】x >2,得x >2或x <-2,若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件,得x x <a Ü{x x >2 或x <-2},所以a ≤-2,即a 的最大值为-2.故答案为:-2【例14】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4,若p 是q 的一个必要不充分条件,则实数m 的取值范围为.【答案】m ≥8【解析】由p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4,得p :x ≤m4,q :-1≤x ≤2,因为p 是q 的一个必要不充分条件,则p 不能推出q ,但q 能推出p ,则2≤m4,即m ≥8.故答案为:m ≥8【例15】(2024·高一·江西南昌·期末)在①A ∩B =B ;②“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件;③B ∩∁R A =∅这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解答.间题:已知集合A ={x ∈R ∣(x -1)(x +2)>0},B ={x ∈R ∣y =x +a ,y ∈R }.(1)当a =1时,求A ∩∁R B ;(2)若,求实数a 的取值范围.【解析】(1)由不等式(x -1)(x +2)>0,解得x <-2或x >1,可得A ={x |x <-2或x >1},当a =1时,可得B ={x ∈R ∣y =x +1,y ∈R }={x |x ≥-1},7则∁R B ={x ∣x <-1},所以A ∩∁R B ={x ∣x <-2}.(2)由集合A ={x |x <-2或x >1}和B ={x |x ≥-a },若选择①:由A ∩B =B ,即B ⊆A ,可得-a >1,解得a <-1,所以实数a 的取值范围为(-∞,-1);若选择②:由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件,可得B ⊆A ,可得-a >1,解得a <-1,所以实数a 的取值范围为(-∞,-1);若选择③:由A ={x |x <-2或x >1},可得∁R A ={x |-2≤x ≤1},要使得B ∩∁R A =∅,则-a >1,解得a <-1,所以实数a 的取值范围为(-∞,-1).【例16】(2024·高一·山东菏泽·期中)设全集U =R ,集合A =x -2<x ≤3 ,B =x m -1≤x ≤2m .(1)若m =3,求集合∁U A ∩B ;(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件,求实数m 的取值范围.【解析】(1)当m =3时,B =x 2≤x ≤6 ,又∁U A =x x ≤-2 或x >3 ,所以∁U A ∩B =x 3<x ≤6 .(2)“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件,故B ⊆A .当B =∅时,m -1>2m ,所以m <-1,符合题意;当B ≠∅时,需满足m -1≤2m-2<m -12m ≤3,解得-1<m ≤32,综上所述,m 的取值范围为m <-1或-1<m ≤32.【例17】(2024·高一·福建莆田·期中)已知p :关于x 的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0有实数根,q :2m -1≤a≤m +2.(1)若命题¬p 是真命题,求实数a 的取值范围;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【解析】(1)因为命题是¬p 真命题,则命题p 是假命题,即关于的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0无实数根,因此,Δ=4a 2-4a 2+a -1 <0,解得a >1,所以实数的取值范围是1,+∞ ,(2)由(1)知,命题p 是真命题,即p :a ≤1,因为命题p 是q 的必要不充分条件,则a 2m -1≤a ≤m +2 Üa a ≤1 ,当2m -1>m +2即m >3时,a 2m -1≤a ≤m +2 =∅,满足题意,当2m -1≤m +2即m ≤3时,则m ≤3m +2≤1⇒m ≤-1,所以实数m 的取值范围是{m m ≤-1或m >3}.【例18】(2024·高一·河北保定·期中)已知集合A =x 2m -1≤x ≤m +1 ,B =x 12≤x <2 .(1)若m =12,求A ∩∁R B ;(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由B=x12≤x<2,则∁R B={x|x<12或x≥2},若m=12,则A=x0≤x≤32,所以A∩∁R B=x0≤x<1 2.(2)若x∈B是x∈A的必要条件,则A⊆B.当2m-1>m+1时,即m>2时,A=∅,符合题意;当2m-1≤m+1时,即m≤2时,A≠∅,要满足A⊆B,可得12≤2m-1≤m+1<2,解得34≤m<1;综上,实数m的取值范围为34≤m<1或m>2.【例19】(2024·高一·湖北襄阳·期中)已知集合A=x|-2≤x≤5,B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅,求实数m的取值范围;(2)若x∈A是x∈B的必要条件,且集合B不为空集,求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2,符合题意;当B≠∅时,可得2m-1≥m+12m-1<-2或2m-1≥m+1m+1>5,解得m>4.综上,实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.(2)由题意可知B⊆A且B≠∅.可得2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3,综上,实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}..【例20】(2024·高一·云南红河·阶段练习)已知命题p:方程x2+tx+t=0没有实数根,若p是真命题,实数t 的取值集合为A.(1)求实数t的取值集合A;(2)集合B=t1-a<t<2a-1,若t∈B是t∈A的必要条件,求a的取值范围.【解析】(1)若p是真命题,则t2-4t<0,解得0<t<4,所以A=t|0<t<4;(2)若t∈B是t∈A的必要条件,则A⊆B,又A=t|0<t<4,所以B≠∅,所以2a-1≥41-a≤02a-1>1-a,解得a≥52.【例21】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知集合A=x|-2≤x-1≤5,B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅,求实数m的取值范围;(2)设p:x∈A;q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为A={x∣-2≤x-1≤5},所以A={x∣-1≤x≤6},又A∩B=∅,分类讨论如下:①当B=∅时,m+1>2m-1解得m<2;8②当B=∅时,m+1≤2m-1 m+1>6或m+1≤2m-12m-1<-1,解得m>5;综上所述:实数m的取值范围为{m∣m<2或m>5}.(2)因为p是q的必要不充分条件,所以B是A的真子集,①当B=Æ时,m+1>2m-1,解得m<2;②当B¹Æ时,m+1≤2m-1 m+1≥-12m-1≤6(等号不能同时成立),解得2≤m≤7 2;综上所述:实数m的取值范围为m∣m≤7 2.题型四:充要条件的证明或探求【例22】(2024·高二·全国·专题练习)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0,两方程的根都是整数的充要条件为.【答案】m=1【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程,所以m≠0.又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,所以Δ1=16-16m≥0,Δ2=16m2-44m2-4m-5≥0,解得m∈-54,1.因为两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,所以4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z,所以m为4的约数.又m∈-54,1,所以m=-1或1.当m=-1时,第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数;而当m=1时,两方程的根均为整数,所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1.【例23】设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.x=4±16-4n2=2±4-n,因为x是整数,即2±4-n为整数,所以4-n为整数,且n≤4,又因为n∈N+,取n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意;反之n=3,4时,可推出一元二次方程有整数根.【例24】(2024·高一·广东珠海·阶段练习)设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解析】证明:①充分性:即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足a-b+c=0⇒方程有一个根为-1;由a-b+c=0,得b=a+c,代入方程得ax2+a+cx+c=0,得ax+cx+1=0,所以,x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.②必要性:即证明若x=-1是方程ax2+bx+c=0的根⇒a-b+c=0;910将x =-1代入方程ax 2+bx +c =0,即有a -b +c =0.综上由①②可知,故关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为-1的充要条件是a -b +c =0.【例25】(2024·高一·全国·专题练习)当m ,n ∈Z 时,定义运算⊗:当m ,n >0时,m ⊗n =m +n ;当m ,n <0时,m ⊗n =m ⋅n ;当m >0,n <0或m <0,n >0时,m ⊗n =m +n ;当m =0时,m ⊗n =n ;当n =0时,m ⊗n =m .(1)计算-2 ⊗-3 ⊗-7 ;(2)证明,“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的充要条件.【解析】(1)-2 ⊗-3 ⊗-7 =6⊗-7 =6-7 =1.(2)先证充分性:当a =0,b =-2或a =-2,b =0时,则a ⊗b =-2,即a =0,b =-2或a =-2,b =0是a ⊗b =-2的充分条件;再证必要性:当a ⊗b =-2时,显然当ab >0时,a ⊗b >0,当ab <0时,a ⊗b ≥0,即ab >0与ab <0均不合题意,当a =0时,由a ⊗b =-2,则b =-2,当b =0时,由a ⊗b =-2,则a =-2,即“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的必要条件,综上,命题得证.【例26】(2024·高一·江苏苏州·阶段练习)求证:方程mx 2-2x +3=0m ≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.【解析】先证明充分性:若0<m <13,设方程的两个实根为x 1,x 2,则x 1+x 2=2m >0,x 1⋅x 2=3m>0,Δ=4-12m >0,故方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根;再证明必要性:若方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根,令y =mx 2-2x +3(m ≠0),当m >0时,其图象是开口方向朝上,且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根,则函数f (x )=mx 2-2x +3,有两个正零点,则2m >03m >0Δ=4-12m >0,解得0<m <13;当m <0时,其图象是开口方向朝下,且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根,则函数y =mx 2-2x +3,有两个负零点,则2m <03m >0Δ=4-12m >0,无解;故关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则m 的取值范围是0<m <13;∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<13.【例27】(2024·高一·湖北武汉·阶段练习)设a,b,c分别是三角形ABC的三条边长,且a≤b≤c,请利用边长a,b,c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件,并证明之.【解析】a2+b2>c2.证明如下:充分性:∵a2+b2>c2,∴ △ABC不是直角三角形,假设△ABC是钝角三角形,∵a≤b≤c,∴ ∠C最大,即∠B<90°,∠C>90°,过点A作BC的垂线,交BC的延长线于点D,由勾股定理,得c2=AD2+BD2=AD2+(CD+a)2=AD2+CD2+a2+2⋅CD⋅a=AC2+a2+2⋅CD⋅a=b2+a2+2⋅CD⋅a>a2+b2,与已知a2+b2>c2矛盾,∴△ABC为锐角三角形.必要性:∵△ABC为锐角三角形,∴∠B<90°,∠C<90°°,过点A作BC的垂线,垂足为D,由勾股定理知,得c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=AD2+CD2+a2-2⋅CD⋅a=b2+a2-2⋅CD⋅a<a2+b2.综上,△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2+b2>c2.题型五:命题的否定【例28】(2024·高一·云南昆明·期末)命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是()A.∀x∈Z,x2+x≤0B.∃x0∈Z,x02+x0>0C.∀x∈Z,x2+x=0D.∃x0∈Z,x02+x0≤0【答案】D【解析】命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是“∃x0∈Z,x20+x0≤0”.故选:D.【例29】(2024·高一·江苏·假期作业)命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2x>0B.∃x0∈R,2x0≥0C.∀x∈R,2x≤0D.∀x∈R,2x>0【答案】D【解析】命题“∃x 0∈R ,2x 0≤0”为存在量词命题,其否定为“∀x ∈R ,2x >0”.故选:D .【例30】(2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习)命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是()A.∀x >0,2x 2<5x -1B.∃x >0,2x 2≥5x -1C.∀x ≤0,2x 2≥5x -1D.∃x ≤0,2x 2>5x -1【答案】C【解析】命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是“∀x ≤0,2x 2≥5x -1”.故选:C【例31】(2024·高一·四川成都·阶段练习)命题“∀x ∈0,1 ,x 3<x 2”的否定是()A.∀x ∈0,1 ,x 3>x 2B.∀x ∉0,1 ,x 3≥x 2C.∃x 0∈0,1 ,x 30≥x 20D.∃x 0∉0,1 ,x 30≥x 20【答案】C【解析】命题“∀x ∈0,1 ,x 3<x 2”的否定是∃x 0∈0,1 ,x 30≥x 20.故选:C .【例32】(2024·高三·湖北黄冈·期末)若p :所有实数的平方都是正数,则¬p 为()A.所有实数的平方都不是正数B.至少有一个实数的平方不是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.有的实数的平方是正数【答案】B【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知,“所有实数的平方都是正数”的否定为:“至少有一个实数的平方不是正数”.故选:B题型六:与全称(存在)量词命题有关的参数问题【例33】(2024·高一·湖北·期中)已知集合A =x -2≤x ≤5 ,B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围;(2)命题q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,求实数m 的取值范围.【解析】(1)当B =∅时,m +1>2m -1,解得m <2;当B ≠∅时,m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5,解得2≤m ≤3.综上,实数m 的取值范围为-∞,3(2)由题意A ∩B ≠∅,所以B ≠∅即m ≥2,此时m +1≥3.为使A ∩B ≠∅,需有m +1≤5,即m ≤4.故实数m 的取值范围为2,4【例34】(2024·高一·山东淄博·阶段练习)设全集U =R ,集合A =x 1≤x ≤5 ,集合B =x -1-2a ≤x ≤a -2 .(1)若A ∩B =A ,求实数a 的取值范围;(2)若命题“∀x ∈B ,则x ∈A ”是真命题,求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为A ∩B =A ,所以A ⊆B ,所以a -2≥-1-2a a -2≥5-1-2a ≤1,即a ≥7,所以实数a 的取值范围是a |a ≥7 .(2)命题“∀x ∈B ,则x ∈A ”是真命题,所以B ⊆A .当B =∅时,-1-2a >a -2,解得a <13;当B ≠∅时,-1-2a ≥1a -2≤5-1-2a ≤a -2,解得a ≤-1a ≤7a ≥13,所以a ∈∅.综上所述,实数a 的取值范围是a a <13.【例35】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ,B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若“命题p :∀x ∈B ,x ∈A ”是真命题,求m 的取值范围.(2)“命题q :∃x ∈A ,x ∈B ”是假命题,求m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,所以B ⊆A ,当B =∅时,m +1>2m -1,解得m <2,当B ≠∅时,则m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5,解得2≤m ≤3,综上m 的取值范围为-∞,3 ;(2)因为“命题q :∃x ∈A ,x ∈B ”是假命题,所以A ∩B =∅,当B =∅时,m +1>2m -1,解得m <2,当B ≠∅时,则m +1≤2m -1m +1>5或m +1≤2m -12m -1<-2 ,解得m >4,综上m 的取值范围为-∞,2 ∪4,+∞ .【例36】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知命题p :∀x ∈R ,ax 2-4x -4≠0,若p 为假命题,求a 的取值范围.【解析】由题意p 为假命题,即∃x ∈R ,ax 2-4x -4=0,即方程ax 2-4x -4=0有解,(1)当a =0时,-4x -4=0有解x =-1成立;(2)当a ≠0时,Δ=16+16a ≥0,即a ≥-1且a ≠0;综上a ≥-1.【例37】(2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ,B =x m -1≤x ≤2m -3 .(1)若命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,求实数m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题,所以B ⊆A .当B =∅时,满足B ⊆A ,此时m -1>2m -3,解得m <2;当B ≠∅时,由B ⊆A ,可得m -1≤2m -3m -1≥-22m -3≤5,解得2≤m ≤4.综上,实数m 的取值范围为(-∞,4].(2)因为q :∃x ∈A ,x ∈B 是真命题,所以A ∩B ≠∅,所以B ≠∅,则m -1≤2m -3即m ≥2,所以m -1≥1,要使A ∩B ≠∅,仍需满足m -1≤5,即m ≤6.综上,实数m 的取值范围为[2,6].【例38】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)已知集合A =x -3≤x <1 ,B =x 2m -1≤x ≤m +1 .(1)命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.(2)命题“r :∃x ∈A ,使得x ∈B ”是真命题,求实数m 的取值范围.【解析】(1)①当B 为空集时,m +1<2m -1,即m >2,原命题成立;②当B 不是空集时,∵B 是A 的真子集,所以2m -1≥-3m +1<1m ≤2,解得-1≤m <0;综上①②,m 的取值范围为-1≤m <0或m >2.(2)∃x ∈A ,使得x ∈B ,∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅,所以m +1≥2m -1,即m ≤2,当A ∩B =∅时2m -1≥1m ≤2 或m +1<-3m ≤2,所以1≤m ≤2或m <-4,∴m 的取值范围为[-4,1).【例39】(2024·高一·吉林长春·阶段练习)已知集合A ={x ∣2≤x ≤7},B ={x ∣-3m +4≤x ≤2m -1},且B ≠∅.(1)若q :“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题,求实数m 的取值范围.【解析】B ≠∅,则-3m +4≤2m -1,解得m ≥1,“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题,则A ∩B ≠∅,若A ∩B =∅,则2m -1<2或-3m +4>7,解得m <32,因为m ≥1,所以1≤m <32,所以当A ∩B ≠∅,m ≥32,综上所述m ≥32.III 数学思想方法①分类讨论思想【例40】(2024·高一·江苏南通·期中)已知集合A =x x 2-4= 0 ,B =x ax -2=0 ,若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件,则实数a 的所有可能取值构成的集合为.【答案】-1,0,1【解析】依题意,A =x |x 2-4=0 =2,-2 ,若a =0,则B =∅,满足x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件.当a ≠0时,B =x x =2a,由于x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件,所以2a =2或2a=-2,解得a =1或a =-1,综上所述,a 的所有可能取值构成的集合为-1,0,1 .故答案为:-1,0,1【例41】(2024·高一·江西南昌·期中)已知集合A =x |x 2-ax -2a 2<0 ,集合B =x x -3 ≤1 .(1)若a =1,求∁R A ∪B ;(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件,求a 的取值范围.【解析】(1)A =x |x 2-ax -2a 2<0 ,可得x -2a x +a <0,当a =1时x -2 x +1 <0解得-1<x <2,则A =-1,2 ,可得∁R A =-∞,-1 ∪2,+∞ ,又B =x x -3 ≤1 ,x -3 ≤1可得-1≤x -3≤1,即2≤x ≤4,可得B =2,4 ,所以∁R A ∪B =-∞,-1 ∪2,+∞ ,(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件所以B ⊂≠A ,集合A 中x -2a x +a <0,当a >0时解为-a <x <2a ,又B ÜA ,可得-a <22a >4 解得a >2,当a <0时解为2a <x <-a ,又B ÜA ,可得-a >42a <2解得a <-4,当a =0时无解,集合A 为空集,又B ÜA ,所以不合题意舍去,综上可得:a <-4或a >2.【例42】已知集合A ={x |a 2-1≤x ≤2a +6},B ={x |0≤x ≤4},全集U =R .(1)当a =1时,求A ∩(∁U B ):(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当a =1时,集合A ={x |0≤x ≤8},∁U B ={x |x <0或x >4},故A ∩(∁U B )={x |4<x ≤8};(2)由题知:B⊊A,即B⊆A且B≠A,当B⊆A时,a2-1≤0 2a+6≥4,解得-1≤a≤1;当B=A时,a2-1=0 2a+6=4,解得a=-1,由B≠A得,a≠-1,综上所述:实数a的取值范围为(-1,1].【例43】设集合A=x|x2+4x=0,B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若-1∈B,求a的值;(2)设条件p:x∈A,条件q:x∈B,若q是p的充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)∵-1∈B,∴1-2a-2+a2-1=0,解得a=1±3;(2)∵A=0,-4,依题意B⊆A,①若B=∅,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1;②若B=0 或B=-4时,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,∴a=-1,此时B=0 ,B≠-4;③若B=0,-4Δ>00+(-4)=-2a-20×(-4)=a2-1,解得a=1,综上:a的取值范围是(-∞,-1]∪1 .【例44】已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1},B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②"x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.(1)当a=3时,求∁R(A∩B);(2)若,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,A={x|2≤x≤7},而B={x|-2≤x≤4},所以A∩B={x|2≤x≤4},∁R(A∩B)={x|x<2或x>4}(2)选①,由A∪B=B可知:A⊆B,当A=∅时,则a-1>2a+1,即a<-2,满足A⊆B,则a<-2,当A≠∅时,a≥-2,由A⊆B得:a-1≥-2 2a+1≤4,解得-1≤a≤32,综上所述,实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选②,因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A⊊B,当A=∅时,则a-1>2a+1,即a<-2,满足A⊊B,则a<-2,当A≠∅时,a≥-2,由A⊊B得:a-1≥-2 2a+1≤4,且不能同时取等号,解得-1≤a≤32.综上所述,实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选③,当A=∅时,则a-1>2a+1,即a<-2,满足A∩B=∅,则a<-2,当A≠∅时,a≥-2由A∩B=∅得:2a+1<-2或a-1>4,解得a<-32或a>5,又a≥-2,所以-2≤a<-32或a>5.综上所述,实数a 的取值范围为a <-32或a >5②转化与化归思想【例45】(2024·高三·全国·竞赛)设a ,b ∈R ,集合A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 .则“A =B ”是“a =b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ,当A =B 时,则有a =b a 2+1=b 2+1 ,或a =b 2+1a 2+1=b ,若a =ba 2+1=b 2+1,显然解得a =b ;若a =b 2+1a 2+1=b ,则b 2+1 2+1=b ,整理得b 2-b +1 b 2+b +2 =0,因为b 2-b +1=b -12 2+34>0,b 2+b +2=b +12 2+74>0,所以b 2-b +1 b 2+b +2 =0无解;综上,a =b ,即充分性成立;当a =b 时,显然A =B ,即必要性成立;所以“A =B ”是“a =b ”的充分必要条件.故选:C .【例46】(2024·高一·江西景德镇·期中)已知p :3x -1>512<x <8 ,q :x ≥3k +1或x ≤3k -3.(1)若p 是q 的充分不必要条件,求实数k 的取值范围;(2)若p 是¬q 的必要不充分条件,求实数k 的最大值.【解析】(1)∵p :3x -1>512<x <8 ,故p :2<x <8,又因为p 是q 的充分不必要条件,所以3k +1≤2或3k -3≥8,解得k ≤13或k ≥113,故实数k 的取值范围为k k ≤13 或k ≥113.(2)¬q :3k -3<x <3k +1,又p 是¬q 的必要不充分条件,因为3k -3<3k +1,所以¬q 对应的集合不是空集,所以3k -3≥23k +1≤8,解得53≤k ≤73,故实数k 的最大值为73.【例47】(2024·高一·全国·课后作业)已知M =x ,y y 2=2x ,N =x ,y x -a 2+y 2=9 ,求M ∩N ≠∅的充要条件.【解析】M ∩N ≠∅的充要条件是方程组y 2=2xx -a 2+y 2=9 至少有一组实数解,即方程x 2+21-a x +a 2-9=0至少有一个非负根,方程有根则Δ=41-a 2-4a 2-9 ≥0,解得a ≤5.上述方程有两个负根的充要条件是x 1+x 2<0且x 1x 2>0,即-21-a <0a 2-9>0 ,∴a <-3.于是这个方程至少有一个非负根的a 的取值范围是-3≤a ≤5.故M ∩N ≠∅的充要条件为-3≤a ≤5.③方程思想【例48】已知p :∀x ∈R ,m <x 2-1,q :∃x ∈R ,x 2+2x -m -1=0,若p ,q 都是真命题,求实数m 的取值范围.【解析】p :∀x ∈R ,m <x 2-1,若p 真,可得m <(x 2-1)min ,而y =x 2-1≥-1,x =0时,取得最小值-1,则m <-1;q :∃x ∈R ,x 2+2x -m -1=0,若q 真,可得Δ=4+4(m +1)≥0,解得m ≥-2.若p ,q 都是真命题,可得m <-1m ≥-2,则-2≤m <-1.故实数m 的取值范围是-2≤m <-1.【例49】已知,命题p :∀x ∈R ,2x +a +2≥0,命题q :∃x ∈-3,-12,x 2-a +1=0.(1)若命题p 为真命题,求实数a 的取值范围;(2)若命题q 为真命题,求实数a 的取值范围.【解析】(1)∵命题为真命题,即a ≥-2x -2,又-2x -2≤-2,∴实数a 的取值范围为a ≥-2;(2)∵命题q :∃x ∈-3,-12,x 2-a +1=0为真命题,即x 2-a +1=0亦即x 2+1=a 在-3,-12上有解,又当x ∈-3,-12 求得二次函数的范围54≤x 2+1≤10,即二次函数y =x 2+1最大值为10,最小值是54,∴实数a 的取值范围为:54,10 .【例50】已知m ∈Z ,关于x 的一元二次方程①mx 2-4x +4=0和②x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,求方程①和②的根都是整数的充要条件.【解析】解∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程,∴m ≠0.另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0,两方程都要有实根,∴Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈-54,1.∵两根为整数,故和与积也为整数,∴4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z,∴m为4的约数,∴m=-1或1,当m=-1时,第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数,不符合题意;而当m=1时,两方程均为整数根,∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.【例51】已知m∈R,命题p:存在x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m成立,若p为真命题,求m的取值范围.【解析】∵存在x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m成立,∴(2x-2)max≥m2-3m,又函数y=2x-2在x∈[0,1]时的最大值为0,即m2-3m≤0.解得0≤m≤3.因此,若p为真命题时,m的取值范围是0,3.。

第2讲 常用逻辑用语 高中数学 北师大(2019) 必修 第一册 同步讲义

第2讲 常用逻辑用语 高中数学 北师大(2019) 必修 第一册  同步讲义

第2讲常用逻辑用语模块1 必要条件与充分条件一、知识梳理1.命题可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题,如p,q,r,···一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题,错误的命题叫做作假命题.2.充分条件与必要条件一般地,当命题“若 p,则 q”是真命题时,我们就说由 p 可以推出 q,记作 p ⇒q,读作“p 推出 q”.此时称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.3.充要条件当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p,则称 p 是 q 的充分且必要条件,简称 p 是 q 的充要条件,记作 p ⇔ q.p 是 q 的充要条件,又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价.p 是 q 的充要条件时,q也是p的充要条件.4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论二、精讲讲练考点 1:充分性与必要性的判断例 1★★★用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空.①在同一平面内,同位角相等是两直线平行的条件.②设a∈R,则 a > 1 是a2> 1的条件.③设a,b ∈R,则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件.④x > 1是1x< 1的条件.⑤若A,B 是两个集合,则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件.⑥已知x,y∈R,则(x−1)2 +(y−2)2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件.例 2 ★★★已知p:x=2,q:x-2=2-x,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例 3 ★★★设a,b ∈R ,则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件考点 5:充分条件和必要条件逆向求参问题例 4★★★若“条件α:2 ⩽ x ⩽4”是“条件β:3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件,则实数 m 的取值范围是.例 5★★★设α:−1 ⩽ x ⩽ 3,β:x ∈[m−1,2m+5],若α是β的充分条件,则m∈.模块2 全称量词与存在量词一、知识梳理1.全称量词与全称量词命题在给定集合中,断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.在命题中,诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”.2.存在量词与存在量词命题在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中,诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“对任意的”量词的命题,称为存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定(1)命题的否定一般地,对命题 p 加以否定,就得到一个新的命题,记作¬p,读作“非 p”或“p 的否定”.若 p 是真命题,则¬p 必是假命题;若 p 是假命题,则¬p 必是真命题.(2)全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题p:∀x∈M,具有性质p(x),通常把它的否定表示为:∃x∈M,不具有性质p(x)对于存在量词命题p:∃x∈M,具有性质p(x),通常把它的否定表示为:∀x∈M,不具有性质p(x)二、精讲讲练考点 1:含量词的命题真假判断例 1 ★★下列命题中为存在量词命题的是 ( )A. ∀x∈R, x2 > 0B. ∃x∈R, x2⩽ 0C. 所有平行四边形的对边平行D. 矩形的任一组对边相等例 2 ★★下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )A. 有些实数是无理数B. 至少有一个整数不能被3 整除C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D. 存在一个三角形不是直角三角形例 3 ★★用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题:(1)实数的平方大于等于0;(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3 > 0 成立.例 4 ★★下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A. ∀x∈R,x2 +2x+1 > 0B. 有一个素数不是奇数C. 所有菱形的四条边都相等D. π是无理数考点 2:含量词的命题否定例 5 ★★已知命题p : ∃x,y∈Z,x2 + y2 = 2015,则¬p 为()A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015例 6 ★★命题“∀x∈R,|x|+ x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R,|x|+ x2 < 0B. ∀x∈R,|x|+ x2⩽ 0C. ∃x∈R,|x|+ x2 < 0D. ∃x∈R,|x|+ x2⩽ 0考点 3:命题与量词的逆向求参问题例7 ★★★已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题,则实数a 的取值范围是()A. (4, +∞)B. (0, 4]C. (−∞, 4]D. [0, 4)例8 ★★★若命题“∃x∈R,x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题,则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)C. (−∞, −1]∪[3, +∞)D. (−∞, −1)∪(3, +∞)例9 ★★★命题“∀x∈R,x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题,则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。

1 第02讲 常用逻辑用语

1 第02讲 常用逻辑用语

第02讲常用逻辑用语第一部分:思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念(1)若,则是的充分条件,是的必要条件; (2)若且,则是的充分不必要条件; (3)若且,则是的必要不充分条件;(4)若,则是的充要条件; (5)若且,则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一:等价转化法判断充分条件、必要条件(1)p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件; (2)p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件; (3)p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件;第二部分:知识点(4)p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二:集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即p :{|()}A x p x =,q :{|()}B x q x =,则 (1)若A B ⊆,则p 是q 的充分条件; (2)若B A ⊆,则p 是q 的必要条件; (3)若A B ⊂≠,则p 是q 的充分不必要条件; (4)若B A ⊂≠,则p 是q 的必要不充分条件; (5)若A B =,则p 是q 的充要条件;(6)若A B ⊂≠且B A ⊂≠,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三:充分性必要性高考高频考点结构 (1)p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p (注意标志性词:“是”,此时p 与q 正常顺序) (2)p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q (注意标志性词:“的”,此时p 与q 倒装顺序)2、全称量词与存在量词 (1)全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (3)全称量词命题及其否定(高频考点)①全称量词命题:对M 中的任意一个x ,有()p x 成立;数学语言:,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定:,()x M p x ∃∈⌝. (4)存在量词命题及其否定(高频考点)①存在量词命题:存在M 中的元素x ,有()p x 成立;数学语言:,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定:,()x M p x ∀∈⌝. (5)常用的正面叙述词语和它的否定词语1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.命题“0x ∀>,20x x ->”的否定是( ).A .0x ∀>,20x x -≤B .00x ∃<,2000x x -≤C .0x ∀<,20x x -≤D .00x ∃>,2000x x -≤ 3.命题“0x R ∃∈,00e 1xx -≥”的否定是( )A .0x R ∃∈,00e 1x x -<B .0x R ∃∈,00e 1xx -<C .x R ∀∈,e 1x x -≤D .x R ∀∈,e 1x x -<4.设x ∈R ,则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件5.“0<x <4”成立的一个必要不充分条件是( )A .x >0B .x <0或x >4C .0<x <3D .x <0高频考点一:充分条件与必要条件的判断1.祖暅原理,一个涉及几何求积的著名命题.内容为:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体,如在等高处的截面积相等,体积相等.设A ,B 为两个等高的几何体,p :A 、B 的体积相等,q :A 、B 在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知,p 是q 的( ) A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 2.若:12p x -≤≤,:11q x -≤≤,则p 为q 的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件3.已知a ,b R ∈,则“1≥ab ”是“222a b +≥”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件4.设R x ∈,则“12x -<”是“111x >-”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件5.“50k -<<”是“函数2y x -kx -k 的值恒为正值”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件高频考点二:充分条件与必要条件的应用1.已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”,则实数a 的最大值为( ) A .-2B .-1C .0D .12.函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是( )A .,[)0b ∈+∞B .(0,)b ∈+∞C .,)(0b ∈-∞D .,](0b ∈-∞3.已知集合{}2280A x x x =--<,非空集合{}23B x x m =-<<+,若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件,则实数m 的取值范围是___________. 4.已知命题p :122x x -≥-,命题q :22x a -<,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 5.设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>,语句:p x A ∈,语句:q x B ∈. (1)当1a =时,求集合A 与集合B 的交集;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求正实数a 的取值范围.高频考点三:充分条件与必要条件(“是”,“的”)结构对比1.设p :3x <,q :()()130x x +-<,则p 是q 成立的( ) A .充分必要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件2.设x R ∈,则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是( ) A .1x >-且2x ≠ B .13x C .1x <D .3x >4.使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是( ) A .20x -<< B .23x -<< C .05x <<D .24x -<<5.命题:x R ∃∈,20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是( )A .(][),80,-∞-⋃+∞B .()8,0-C .(],0-∞D .[]8,0-6.已知0m >,()():120p x x +-≤,:11q m x m -≤≤+.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.高频考点四:全称量词命题与存在量词命题的真假判断1.下列四个命题中,是真命题的为( )A .任意R x ∈,有230x +<B .任意N x ∈,有21x >C .存在Z x ∈,使51x <D .存在Q x ∈,使23x = 2.下列命题中的假命题是( )A .230,x x x ∃>>B .,ln 0x R x ∀∈>C .,sin 1x R x ∃∈>-D .,20x x R ∀∈>3.在下列命题中,是真命题的是( )A .2R,30x x x ∃∈++=B .2R,20x x x ∀∈++>C .2R,x x x ∀∈>D .已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣,则对于任意的*,n m N ∈,都有A B =∅ 4.下列命题为真命题的是( ) A .,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B .1,2x R x x∀∈+≥ C .2000,230x R x x ∃∈-+≤ D .,sin x R x x +∀∈≥5.下列命题中的假命题的是( ) A .B .C .D .高频考点五:含有一个量词的命题的否定1.命题“1x ∀>,20x x ->”的否定是( )A .01x ∃≤,2000x x ->B .01x ∃>,2000x x -≤ C .1x ∀>,20x x -≤D .1x ∀>,20x x ->2.命题“0x ∀>,01xx >-”的否定是( ) A .0x ∃<,01x x ≤- B .0x ∃>,01x ≤≤ C .0x ∀<,01x x ≤- D .0x ∀<,01x ≤≤ 3.命题“x ∀∈R ,都有210x x +>+”的否定是___________.4.命题“0x R x x ∈∃,”的否定是___________. 高频考点六:根据全称(特称)命题的真假求参数1.已知命题“x R ∀∈,2410ax x +-<”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(),4-∞-B .(),4-∞C .[)4,-+∞D .[)4,+∞2.已知命题p :∀x ∈R ,ax 2+2x +3>0.若命题p 为假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B .103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C .13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D .13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 3.已知命题“x R ∃∈,使()212102x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .1a <-B .13a -<<C .3a >-D .31a -<<4.存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则m 的最大值为( ) A .1B .14C .12D .-15.命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真,则实数a 的范围是__________6.已知()24f x x mx =-+,()2log g x x =,若“[]11,4x ∀∈,[]22,4x ∃∈,使得()()12f x g x >成立”为真命题,则实数m 的取值范围是_________.7.命题“x R ∀∈,使得不等式210mx mx ++≥”是真命题,则m 的取值范围是________. 8.命题“0x ∃∈R ,使20mx -(m +3)x 0+m ≤0”是假命题,则实数m 的取值范围为__________.9.命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,4x a x +>恒成立是假命题,则实数a 的取值范围是________________.10.若“存在x ∈[﹣1,1],3210x x a ⋅++>成立”为真命题,则a 的取值范围是___.1.已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .()p q ⌝∨2.已知a ∈R ,则“6a >”是“236a >”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件3.“x =1”是“2320x x -+=”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件4.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数,那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件6.设a ∈R ,则“1a >”是“2a a >”的( ) A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件7.下列命题为真命题的是( )A .10>且34>B .12>或45>C .x R ∃∈,cos 1x >D .x R ∀∈,20x ≥一、单选题1.设命题:p n N ∃∈,22n n >,则p ⌝为( ).A .n N ∀∈,22n n >B .n N ∀∈,22n n ≤C .n N ∃∈,22n n >D .n N ∃∈,22n n ≤ 2.若“x R ∃∈,2390ax ax -+≤”是假命题,则a 的取值范围为( ) A .[0,4]B .(0,4)C .[0,4)D .(0,4]3.已知命题“存在()3,27x ∈,使得3log 03xx m +->”是假命题,则m 的取值范围是( )A .[)2,+∞B .()2,+∞C .[)12,+∞D .()12,+∞4.已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈,{}64,B y y n n Z ==+∈,则“x A ∈”是“x B ∈”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知,a b ∈R ,则“1a b -<”是“1a b +<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 6.下列有关命题的说法错误的是( )A .()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B .“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C .若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集,则1k =D .对于命题p :.存在0x R ∈,使得20010x x ++<,则⌝p :任意x ∈R ,均有210x x ++≥7.已知函数()24ln f x ax ax x =--,则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是( )A .1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B .1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C .1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D .11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭8.“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是( )A .1a <-B .10a -<<C .01a <<D .0a <二、填空题9.已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件,请写出符合条件的整数a 的一个值____________.10.已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<,若¬q 是¬p 的必要不充分条件,则m 的取值范围是__.11.已知函数2()23=-+f x x x ,2()log g x x m =+,若对[]12,4x ∀∈,[]28,16x ∃∈,使得12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围为______.12.已知函数2()f x x x a =++,若存在实数[1,1]x ∈-,使得(())4()f f x a af x +>成立,则实数a 的取值范围是_______. 三、解答题13.已知集合()(){}3|10,|12A x x a x a B x x ⎧⎫=--+≤=>⎨⎬+⎩⎭. (1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件,求实数a 的取值范围;(2)设命题22:,(21)8p x B x m x m m ∃∈+++->,若命题p 为假命题,求实数m 的取值范围.14.在①x ∃∈R ,2220x ax a ++-=,②a ∃∈R ,使得区间()2,4A =,(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.已知命题p :[]1,2x ∀∈,20x a -≥,命题q :______,p ,q 都是真命题,求实数a 的取值范围.15.在①A B B ⋃=;②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件;③A B =∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题:已知集合{}11A x a x a =-≤≤+,{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时,求A B ;(2)若______,求实数a 的取值范围.第02讲 常用逻辑用语第一部分:思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念(1)若,则是的充分条件,是的必要条件; (2)若且,则是的充分不必要条件; (3)若且,则是的必要不充分条件;(4)若,则是的充要条件; (5)若且,则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一:等价转化法判断充分条件、必要条件(1)p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件; (2)p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件; (3)p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件;第二部分:知识点(4)p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二:集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即p :{|()}A x p x =,q :{|()}B x q x =,则 (1)若A B ⊆,则p 是q 的充分条件; (2)若B A ⊆,则p 是q 的必要条件; (3)若A B ⊂≠,则p 是q 的充分不必要条件; (4)若B A ⊂≠,则p 是q 的必要不充分条件;(5)若A B =,则p 是q 的充要条件; (6)若A B ⊂≠且B A ⊂≠,则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三:充分性必要性高考高频考点结构 (1)p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p (注意标志性词:“是”,此时p 与q 正常顺序)(2)p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q (注意标志性词:“的”,此时p 与q 倒装顺序)2、全称量词与存在量词 (1)全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (3)全称量词命题及其否定(高频考点)①全称量词命题:对M 中的任意一个x ,有()p x 成立;数学语言:,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定:,()x M p x ∃∈⌝. (4)存在量词命题及其否定(高频考点)①存在量词命题:存在M 中的元素x ,有()p x 成立;数学语言:,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定:,()x M p x ∀∈⌝. (5)常用的正面叙述词语和它的否定词语1.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”,故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件故选:B2.命题“0x ∀>,20x x ->”的否定是( ).A .0x ∀>,20x x -≤B .00x ∃<,2000x x -≤C .0x ∀<,20x x -≤D .00x ∃>,2000x x -≤【答案】D解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定是:,故选:D3.命题“0x R ∃∈,00e 1xx -≥”的否定是( )A .0x R ∃∈,00e 1x x -<B .0x R ∃∈,00e 1xx -<C .x R ∀∈,e 1x x -≤D .x R ∀∈,e 1x x -<【答案】D 命题“,”为特称量词命题,其否定为,;故选:D4.设x ∈R ,则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件【答案】B 因为,所以,显然由推不出,由可推出,所以“”是“”的必要不充分条件,故选:B.5.“0<x <4”成立的一个必要不充分条件是( )A .x >0B .x <0或x >4C .0<x <3D .x <0 【答案】A设p: 0<x <4,所求的命题为q ,则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件,即q 推不出p ,但p ⇒q .,显然由: 0<x <4,能推出x >0,推不出x <0或x >4、0<x <3、x <0, 故选:A高频考点一:充分条件与必要条件的判断1.祖暅原理,一个涉及几何求积的著名命题.内容为:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体,如在等高处的截面积相等,体积相等.设A ,B 为两个等高的几何体,p :A 、B 的体积相等,q :A 、B 在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知,p 是q 的( ) A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】C已知A ,B 为两个等高的几何体,由祖暅原理知,而p 不能推出,可举反例,两个相同的圆锥,一个正置,第四部分:例题剖析一个倒置,此时两个几何体等高且体积相等,但在同一高处的截面积不相等,则p 是的必要不充分条件 故选:C2.若:12p x -≤≤,:11q x -≤≤,则p 为q 的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】C对于p ,如果x =1.5,则q 不能成立,如果 ,则x 必然在 区间内,因此p 为q 的必要不充分条件; 故选:C.3.已知a ,b R ∈,则“1≥ab ”是“222a b +≥”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】A 当时,由,故充分性成立,当时,比如,满足,但,故必要性不成立.故选:A4.设R x ∈,则“12x -<”是“111x >-”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】B 解不等式可得,,又,反之不成立,所以“”是“111x >-”的必要不充分条件, 故选:B.5.“50k -<<”是“函数2y x -kx -k 的值恒为正值”的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件【答案】B 函数-kx -k 的值恒为正值,则,∵,∴“”是“函数-kx -k 的值恒为正值”的必要不充分条件.故选:B.高频考点二:充分条件与必要条件的应用1.已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”,则实数a 的最大值为( ) A .-2 B .-1C .0D .1【答案】D 由,得或,因为”的必要不充分条件是“或”,所以,解得,所以实数a 的最大值为1,故选:D2.函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是( ) A .,[)0b ∈+∞ B .(0,)b ∈+∞C .,)(0b ∈-∞D .,](0b ∈-∞【答案】B函数2()f x x bx c =++的单调递增区间是,依题意,,于是得,解得,所以函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是. 故选:B3.已知集合{}2280A x x x =--<,非空集合{}23B x x m =-<<+,若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件,则实数m 的取值范围是___________. 【答案】由题意得,,由是成立的一个充分而不必要条件,得,即解得,,故答案为:.4.已知命题p :122x x -≥-,命题q :22x a -<,若命题p 是命题q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________. 【答案】或(4,6]解析:122x x -≥-移项整理可得,解得.22x a -<得.由题意得:122a -+≤且132a+>,从而得出.故答案为:5.设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>,语句:p x A ∈,语句:q x B ∈. (1)当1a =时,求集合A 与集合B 的交集;(2)若p 是q 的必要不充分条件,求正实数a 的取值范围. 【答案】(1);(2). (1)由题设,,当时,所以;(2)由题设,,且,若p 是的必要不充分条件,则,又a 为正实数,即,解得,故的取值范围为. 高频考点三:充分条件与必要条件(“是”,“的”)结构对比1.设p :3x <,q :()()130x x +-<,则p 是q 成立的( )A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 解不等式得:,即,显然{|13}x x -<< ,所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选:C2.设x R ∈,则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D 解:因为,所以,解得;由,即,解得;所以与互相不能推出,故“”是“”的既不充分也不必要条件;故选:D3.使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是( ) A .1x >-且2x ≠ B .13x C .1x < D .3x >【答案】D 因为,故不等式的解集为且,故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集,显然,满足题意的只有.故选:D.4.使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是( ) A .20x -<< B .23x -<< C .05x << D .24x -<<【答案】A 解不等式得:,对于A ,因 ,即是成立的充分不必要条件,A 正确;对于B ,是成立的充要条件,B 不正确;对于C ,因,且,则是成立的不充分不必要条件,C 不正确; 对于D ,因,则是成立的必要不充分条件,D 不正确. 故选:A5.命题:x R ∃∈,20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是( )A .(][),80,-∞-⋃+∞B .()8,0-C .(],0-∞D .[]8,0- 【答案】B命题”为假命题,命题“,220ax ax --”为真命题,当时,20-成立, 当时,,故方程的解得:80a -<,故的取值范围是:,要满足题意,则选项是集合真子集,故选项B 满足题意.故选:B6.已知0m >,()():120p x x +-≤,:11q m x m -≤≤+.若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数m 的取值范围. 【答案】.因是的充分不必要条件,则p 是q 的必要不充分条件,于是得,解得,所以实数m的取值范围是.高频考点四:全称量词命题与存在量词命题的真假判断1.下列四个命题中,是真命题的为( )A .任意R x ∈,有230x +<B .任意N x ∈,有21x >C .存在Z x ∈,使51x <D .存在Q x ∈,使23x = 【答案】C 由于对任意,都有,因而有,故A 为假命题.由于,当时,不成立,故B 为假命题.由于,当时,,故C 为真命题.由于使成立的数只有,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数平方等于3,故D 是假命题.故选:C2.下列命题中的假命题是( )A .230,x x x ∃>>B .,ln 0x R x ∀∈>C .,sin 1x R x ∃∈>-D .,20x x R ∀∈>【答案】B 解:对A :取,则成立,故选项A 正确;对B :当时,没有意义,故选项B 错误;对C :取,则成了,故选项C 正确;对D :由指数函数的性质有成立,故选项D 正确.故选:B.3.在下列命题中,是真命题的是( )A .2R,30x x x ∃∈++=B .2R,20x x x ∀∈++>C .2R,x x x ∀∈>D .已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣,则对于任意的*,n m N ∈,都有A B =∅ 【答案】B 选项A ,,即有实数解,所以,显然此方程无实数解,故排除;选项B ,,,故该选项正确;选项C ,,而当,不成立,故该选项错误,排除;选项D ,,当时,当取得6的正整数倍时,,所以,该选项错误,排除. 故选:B.4.下列命题为真命题的是( ) A .,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B .1,2x R x x∀∈+≥ C .2000,230x R x x ∃∈-+≤ D .,sin x R x x +∀∈≥【答案】D对于A 选项,当0x <且,,A 选项错误;对于B 选项,当0x <时,,B 选项错误;对于C 选项,,C 选项错误;对于D 选项,构造函数,其中,则()1sin 0f x x '=-≥,所以,函数在区间上单调递增,则,所以,,,D 选项正确.故选:D.5.下列命题中的假命题的是( ) A .B .C .D .【答案】B 当时,,显然选项B 错误,故选B. 高频考点五:含有一个量词的命题的否定1.命题“1x ∀>,20x x ->”的否定是( )A .01x ∃≤,2000x x ->B .01x ∃>,2000x x -≤ C .1x ∀>,20x x -≤D .1x ∀>,20x x ->【答案】B∵全称命题的否定是特称命题,即先将量词“”改为量词“”,再将结论否定, ∴“,”的否定为“,”,故选:. 2.命题“0x ∀>,01xx >-”的否定是( ) A .0x ∃<,01x x ≤- B .0x ∃>,01x ≤≤ C .0x ∀<,01x x ≤- D .0x ∀<,01x ≤≤ 【答案】B 由得:0x <或,所以的否定是.所以,命题的否定是“,”.故选:B.3.命题“x ∀∈R ,都有210x x +>+”的否定是___________. 【答案】,有 题“,都有”的否定是:.故答案为:.4.命题“0x R x x ∈∃+≥,”的否定是___________. 【答案】,.特称命题的否定,先把存在量词改为全称量词,再把结论进行否定即可,命题“,”的否定是“,”,故答案为:,.高频考点六:根据全称(特称)命题的真假求参数1.已知命题“x R ∀∈,2410ax x +-<”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .(),4-∞- B .(),4-∞C .[)4,-+∞D .[)4,+∞【答案】C 由题意可知,命题“,”是真命题.当时,则有,不合乎题意;当时,由,可得,则有,,当且仅当时,等号成立,所以,.综上所述,实数的取值范围是.故选:C.2.已知命题p :∀x ∈R ,ax 2+2x +3>0.若命题p 为假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B .103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C .13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D .13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C 先求当命题p :,为真命题时的的取值范围 (1)若,则不等式等价为,对于不成立,(2)若不为0,则,解得13a >,∴命题p 为真命题的的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣, ∴命题p 为假命题的的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选:C3.已知命题“x R ∃∈,使()212102x a x +-+≤”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A .1a <- B .13a -<<C .3a >-D .31a -<<【答案】B 因为命题“,使”是假命题,所以恒成立, 所以,解得,故实数的取值范围是.故选:B .4.存在[1,1]x ∈-,使得230x mx m +-≥,则m 的最大值为( ) A .1 B .14C .12D .-1【答案】C由不等式230x mx m +-≥,可化为,设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,又由,所以函数的最大值为,要使得存在,使得230x mx m +-≥,则,则的最大值为.故选:C.5.命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真,则实数a 的范围是__________ 【答案】(由题意知:不等式对x ∈R 恒成立,当时,可得,恒成立满足;当时,若不等式恒成立则需,解得304a <<,所以的取值范围是(,故答案为:(.6.已知()24f x x mx =-+,()2log g x x =,若“[]11,4x ∀∈,[]22,4x ∃∈,使得()()12f x g x >成立”为真命题,则实数m 的取值范围是_________. 【答案】当,有,则,,使得()()12f x g x >成立,等价于,,即,在上恒成立, 参变分离可得:,当,,当时取等,所以,故答案为:.7.命题“x R ∀∈,使得不等式210mx mx ++≥”是真命题,则m 的取值范围是________. 【答案】解:因为命题“,使得不等式”是真命题当时,10≥恒成立,满足条件; 当时,则解得综上可得即故答案为:8.命题“0x ∃∈R ,使20mx -(m +3)x 0+m ≤0”是假命题,则实数m 的取值范围为__________. 【答案】若,使是假命题,则,使是真命题,当转化,不合题意; 当,使即恒成立,即,解得或(舍),所以,故答案为:9.命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,4x a x +>恒成立是假命题,则实数a 的取值范围是________________.【答案】∵ 命题,恒成立是假命题,∴ ,,∴ ,,又函数在为减函数,∴ ,∴,∴ 实数a 的取值范围是(, 故答案为:(.10.若“存在x ∈[﹣1,1],3210x x a ⋅++>成立”为真命题,则a 的取值范围是___. 【答案】存在x ∈[﹣1,1],成立,即在上有解,设,,易得y =f (x )在[﹣1,1]为减函数,所以,即,即,即,所以,故答案为:.1.已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥,则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧ C .p q ∧⌝ D .()p q ⌝∨【答案】A 由于,所以命题p 为真命题;由于在R 上为增函数,0x ≥,所以,所以命题为真第五部分:高考真题命题;所以为真命题,、、为假命题.故选:A .2.已知a ∈R ,则“6a >”是“236a >”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件【答案】A 由题意,若,则,故充分性成立;若,则或6a <-,推不出,故必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.“x =1”是“2320x x -+=”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件【答案】A 将代入中可得,即“”是“”的充分条件; 由可得,即或2x =,所以“”不是“”的必要条件,故选:A4.已知()f x 是定义在上[0,1]的函数,那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 若函数在上单调递增,则在上的最大值为,若在上的最大值为,比如,但在为减函数,在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数,故在上的最大值为推不出在上单调递增, 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件,故选:A.5.已知a ∈R ,若集合{}1,M a =,{}1,0,1N =-,则“0a =”是“M N ⊆”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分又不必要条件【答案】A 当时,集合,,可得,满足充分性,若,则或,不满足必要性,所以“”是“”的充分不必要条件,故选:A.6.设a ∈R ,则“1a >”是“2a a >”的( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件【答案】A 求解二次不等式可得:或,据此可知:是的充分不必要条件.故选:A.7.下列命题为真命题的是( )A .10>且34>B .12>或45>C .x R ∃∈,cos 1x >D .x R ∀∈,20x ≥【答案】D A 项:因为,所以且是假命题,A 错误;B 项:根据、易知B 错误;C 项:由余弦函数性质易知,C 错误;D 项:2x 恒大于等于,D 正确,故选:D.一、单选题1.设命题:p n N ∃∈,22n n >,则p ⌝为( ).A .n N ∀∈,22n n >B .n N ∀∈,22n n ≤C .n N ∃∈,22n n >D .n N ∃∈,22n n ≤ 【答案】B 因为命题,,所以为,.故选:B.2.若“x R ∃∈,2390ax ax -+≤”是假命题,则a 的取值范围为( ) A .[0,4] B .(0,4)C .[0,4)D .(0,4]【答案】C 因为 “,”是假命题,所以 “,”是真命题,所以当时,90>成立;当时,则,解得04a <<,综上:04a ≤<,所以a 的取值范围为, 故选:C3.已知命题“存在()3,27x ∈,使得3log 03xx m +->”是假命题,则m 的取值范围是( )A .[)2,+∞B .()2,+∞C .[)12,+∞D .()12,+∞【答案】C 因为命题“存在,使得”是假命题,所以命题“对任意,都有”是真命题.令函数,显然在上单调递增,则,故,即12m ≥.故选:C4.已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈,{}64,B y y n n Z ==+∈,则“x A ∈”是“x B ∈”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B第六部分:课后测试因为 ,但,故不充分;因为,所以当时,,故必要;故选:B5.已知,a b ∈R ,则“1a b -<”是“1a b +<”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B由绝对值三角不等式得:,当且仅当时,等号成立,所以1a b -<⇒,而1a b +<⇒,所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B6.下列有关命题的说法错误的是( )A .()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B .“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C .若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集,则1k =D .对于命题p :.存在0x R ∈,使得20010x x ++<,则⌝p :任意x ∈R ,均有210x x ++≥【答案】C A.令,由,解得,由二次函数的性质知:t 在上递增,在上递减,又lg y t =在上递增,由复合函数的单调性知:在上递增,故正确;B. 当时,2x -4x +3=0成立,故充分,当2x -4x +3=0成立时,解得或,故不必要,故正确;C.若集合中只有两个子集,则集合只有一个元素,即方程2440kx x ++=有一根,当时,,当时,,解得,所以或,故错误;D.因为命题p :.存在0x R ∈,使得是存在量词命题,则其否定为全称量词命题,即p 任意x ∈R ,均有,故正确;故选:C7.已知函数()24ln f x ax ax x =--,则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是( )A .1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B .1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C .1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D .11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】C,若在上不单调,令,对称轴方程为,则函数与 轴在上有交点.当时,显然不成立;当时,有解得或.四个选项中的范围,只有为的真子集,∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选:C .8.“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是( )A .1a <-B .10a -<<C .01a <<D .0a <【答案】B 由得,因为,所以,所以,所以,所以.故选:B 二、填空题9.已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件,请写出符合条件的整数a 的一个值____________. 【答案】 由,得,令,,“”是“”成立的必要不充分条件,BA ∴.(等号不同时成立),解得,故整数的值可以为.故答案为:中任何一个均可.10.已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<,若¬q 是¬p 的必要不充分条件,则m 的取值范围是__.【答案】.因为¬q 是¬p 的必要不充分条件,所以p 是q 的必要不充分条件,由不等式,可得,由不等式,可得,所以, 因为p 是q 的必要不充分条件,所以,解得,故实数m 的取值范围是.故答案为:.11.已知函数2()23=-+f x x x ,2()log g x x m =+,若对[]12,4x ∀∈,[]28,16x ∃∈,使得12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围为______. 【答案】因为若对,,使得,所以,因为的对称轴为,所以,因为,,所以所以,即所以12.已知函数2()f x x x a =++,若存在实数[1,1]x ∈-,使得(())4()f f x a af x +>成立,则实数a 的取值范围是_______. 【答案】。

简单逻辑用语

简单逻辑用语

常用逻辑用语小结课标要求1.命题及其关系① 了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题.② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系.2.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.3.全称量词与存在量词① 理解全称量词与存在量词的意义.② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识结构知识盘点一.命题1.命题的定义:我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的 叫做命题。

其中判断为真的语句叫做 ,判断为假的语句叫做 。

2.命题的结构:在数学中,具有“若p 则q ”这种形式的命题是较为常见的,我们把这种形式的的命题中的p 叫做 ,q 叫做 。

二.四种命题及其相互关系3.四种命题的概念:一般地,用p 和q 分别表示原命题的条件和结论,用p ⌝和q ⌝分别表示p 和q 的否定,于是四种命题的形式就是:原命题:若p 则q ;逆命题: ;否命题: ;逆否命题: 。

关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以如下表述:(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的 ;(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的 ;(3)交换原命题的条件和结论,同时进行否定,所得的命题是原命题的 。

4.四种命题之间的关系四种命题之间的相互关系如下图所示:由上图知逆命题与否命题也互为逆否命题,因此这四种命题的真假之间的关系如下:(1)两个命题互为逆否命题,它们具有相同的 ;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 。

5.反证法由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,所以我们在直接证明某一命题有困难时,可以通过证明 ,来间接地证明原命题为真命题,这种证明的方法,称作是 。

用反证法证明的步骤如下:(1) ,即假设结论的反面成立;(2)从 出发,经过推理论证得出矛盾;(3)由矛盾判定假设不正确, 。

三.充分条件与必要条件6.若q p ⇒,则p 叫做q 的 条件,则q 叫做p 的 条件;若q p ⇔,则p 叫做q 的 条件,简称为 条件.7.如果q p ⇒且p q ⇒,我们称p 为q 的 条件,如果q p ⇒且p q ⇒,则我们称p 为q 的 条件.四.判断充要条件的方法8.命题判断法设“若p 则q ”为原命题,那么:(1)原命题为真,逆命题为假时,则p 是q 的 条件;(2)原命题为假,逆命题为真时p 是q 的 条件;(3)原命题与逆命题都为真时,p 是q 的 条件;(4) 原命题与逆命题都为假时,p 是q 的 条件.9.集合判断法 从集合的观点看,建立命题q p ,相应的集合:)(|{:x p x A p =成立},)(|{:x q x B q =成立},那么:(1)若B A ⊆,则p 是q 的 条件,若B A ≠⊂时,则p 是q 的 条件; (2) 若A B ⊆,则p 是q 的 条件,若A B ≠⊂时,则p 是q 的 条件;(3)若B A =,则p 是q 的 条件,若B A ⊆且A B ⊆时,则p 是q 的 条件.五.逻辑联结词10.逻辑联结词:在数学中,有时会使用一些联结词,如 .11.“p 且q ”记作 ;“p 或q ”记作 ;“非p ”记作 .12.命题q p ∧,q p ∨和p ⌝的真假判断(1)当q p ,都是真命题时,q p ∧为 ;q p ∨为 ;p ⌝为 .(2)当q p ,有一个是真命题时,q p ∧为 ;q p ∨为 .(3) 当q p ,都是假命题时,q p ∧为 ;q p ∨为 ;p ⌝为 .上述语句可以描述为:对于q p ∧而言“一假必假”;对于q p ∨而言“一真必真”;对于p ⌝而言“真假相反”。

简单的逻辑用语

简单的逻辑用语

简单的逻辑用语:一、框架1、原命题、逆否命题同真假。

2、充分条件、必要条件、充要条件的判断:①、审题注意明确什么是什么的什么条件,谓语是什么,从哪里推到哪里;②、注意小范围推出大范围,大范围不能推出小范围。

3、否命题、命题的否定:①、否命题:既要否定条件,又要否定结论;②、命题的否定:不用否定条件,只要否定结论。

4、复合命题常见的答案格式:①、先求出,p q 都为真命题,对应的参数的取值范围;②、再由p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假判断,p q 的真假;③、结合上面两步求出问题的答案。

二、方法诠释第一方面:充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件例1:已知()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>,若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数m 的取值范围。

解:由题意知:命题:若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是q 的充分不必要条件.111:1221213210333x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤, ()()22:210110q x x m x m x m -+-≤⇒---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ *∵p 是q 的充分不必要条件,∴不等式1123x --≤的解集是()222100x x m m -+-≤>解集的子集, 又∵0m >,∴不等式*的解集为11m x m -≤≤+,∴1211109m m m m -≤≥⎧⎧⇒⎨⎨+≥≥⎩⎩,∴9m ≥,∴实数m 的取值范围是[)9,+∞.第二方面:简单的逻辑连接词例2:已知命题p :关于x 的不等式0422>++ax x 对一切R x ∈恒成立,命题q :()(43)x f x a =-是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假.求实数a 的取值范围.解:当命题p 为真时,01642<-=∆a ,(1分) 所以22<<-a . (2分) 当命题q 为真时,431a ->,(3分)所以1<a (4分)因为p 或q 为真,p 且q 为假,p ,q 为一真一假. (5分)当p 真q 假时,⎩⎨⎧≥<<-122a a ,(6分)所以21<≤a (7分) 当p 假q 真时,⎩⎨⎧<≥-≤122a a a 或 ,(8分) 所以2-≤a (9分) 综上所述,实数a 的取值范围是)2,1[]2( --∞, (10分)第三方面:简单的逻辑连接词综合训练例3.1:已知命题p :关于x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根,命题q :函数)161lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R ,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数m 的取值范围.解:因为x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根所以044<-=∆m ,解得1>m ,即命题p :1>m3分 又函数)161lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R 所以2>m ,即命题q :2>m 6分 又p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,所以p 和q 一真一假,9分所以实数m 的取值范围21≤<m 12分小结:解决该类问题的基本步骤:(1) 弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假;(2) 明确其构成形式;(3) 根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假.例3.2:设命题p :方程01)2(442=+-+x a x 无实数根;命题q :函数2ln(1)y x ax =++的值域是R . 如果命题q p 或为真命题,q p 且为假命题,求实数a 的取值范围。

第二讲 常用逻辑用语(解析版)

第二讲 常用逻辑用语(解析版)

第二讲常用逻辑用语【基础知识】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为p,读作“非p”)【考点剖析】考点一充分条件与必要条件的判断【例题1-1】有以下说法,其中正确的个数为()(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【详解】(1)由于“m是自然数”⇒“m是整数”,因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等,所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)由(a+b)·(a-b)=0,得:|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.故选:D.【例题1-2】“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【详解】因为当a+b为偶数时,a,b都可以为奇数.所以“a+b是偶数”不能推出“a和b都是偶数”,显然“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”.所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.故选:B【例题1-3】已知陈述句α是β的必要非充分条件,集合M={x|x满足α},集合N={x|x满足β},则M与N 之间的关系为()⋂=∅A.M N B.M N C.M=N D.M N【答案】B【详解】α是β的必要非充分条件,∴ M.N故选:B.考点二全称量词与存在量词【例题2-1】将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是()A .∃a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2B .∃a <0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2C .∀a >0,b >0,a 2+b 2+2ab =(a +b )2D .∀a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2 【答案】D 【详解】命题对应的全称量词命题为:∀a ,b ∈R ,a 2+b 2+2ab =(a +b )2. 故选:D【例题2-2】命题“x R ∀∈,”的否定是( ) A .,B .,C .x R ∀∈,0a b +≤D .x R ∀∈,【答案】B 【详解】命题“x R ∀∈,”的否定是:,. 故选:B.【例题2-3】已知命题:p “x R ∀∈,10x ->”,则为( ) A .,10x -≤ B .x R ∀∈,10x -< C .,10x -< D .x R ∀∈,10x -≤ 【答案】A 【详解】∵:p “x R ∀∈,10x ->”, ∴:,10x -≤ 故选:A【真题演练】1.已知非零向量,,a b c ,则“”是“”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件【答案】B 【详解】若,则,推不出;若,则必成立, 故“”是“”的必要不充分条件 故选:B.2.等比数列的公比为q ,前n 项和为n S ,设甲:0q >,乙:是递增数列,则( ) A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】由题,当数列为2,4,8,---时,满足0q >,但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.若是递增数列,则必有0n a >成立,若0q >不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则0q >成立,所以甲是乙的必要条件.3.已知直线,m n 和平面α,n ⊂α,则“//m n ”是“//m α”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D 【详解】直线,m n 和平面α,n ⊂α,若//m n ,当m α⊂时,//m α显然不成立,故充分性不成立;当//m α时,如图所示,显然//m n 不成立,故必要性也不成立.所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 4.设x 是实数,则“x >0”是“|x |>0”的 ( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】本小题主要考查充要条件的判定.由0x >0x ⇒>充分 而||0x >0x ⇒>或0x <,不必要,故选A . 5.已知命题:N,21000n P n ∃∈>,则为( )A .N,2100n n ∀∈B .N,21000n n ∀∈> C .N,21000n n ∃∈D .N,21000n n ∃∈<【答案】A 【详解】写特称命题的否命题,将存在量词改为全称量词,再否定结果 所以命题:N,21000n P n ∃∈>的否定为N,2100n n ∀∈故选: A6.设集合{}1,2M =,{}2N a =,则“1a =-”是“N M ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件.C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件【答案】A 【详解】解:当1a =-时,{}1N =,满足N M ⊆,故充分性成立;当N M ⊆时,{}1N =或{}2N =,所以a 不一定满足1a =-,故必要性不成立. 故选:A.7.设a ∈R ,则“1a >”是“2a a >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】求解二次不等式2a a >可得:1a >或0a <, 据此可知:1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选:A.8.设R x ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】20x -≥,即2x ≤,11x -≤,即,,因为集合是集合的真子集,所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要不充分条件. 故选:B .9.设x ∈R ,则“20x -≥”是“11x -≤”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件【答案】C 【详解】由20x -≥解得2x ≤.由11x -≤得111,02x x -≤-≤≤≤.所以“20x -≥”是“11x -≤”的必要而不充分条件10.设x ∈R ,则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】化简不等式,可知 05x <<推不出11x -<; 由11x -<能推出05x <<,故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件, 故选B .【过关检测】1.已知p 是r 的充分不必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,下列命题正确的是( )A .r 是q 的充分不必要条件B .p 是q 的充分不必要条件C .r 是q 的必要不充分条件D .r 是s 的充分不必要条件【答案】B 【详解】由题意,p r q r s q ⇒⇐⇒⇒,但是r 不能推出p 成立,则r s q r ⇒⇒⇒,所以,,r q s 是等价的, 因此ACD 都错误,B 正确. 故选:B .2.命题:2p x y +=,命题;则p 是q 的( ) A .充要条件 B .必要条件 C .充分条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】因为当2x y +=时,y 可取任意实数,不一定有,所以p 不是q 的充分条件; 因为,所以2x y +=, 所以p 是q 的必要条件. 故选:B.3.可以作为“若R a b ∈,,则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是( ) A .0ab > B .0a >或0b > C .0a >且0b > D .【答案】C 【详解】A.0ab >,只能推出,a b 同号,不能推出一定是正数,故不是充分条件,故A 不正确;B.,满足0a >或0b >,但此时0a b +<,故B 不正确;C.0a >且0b >,能推出0a b +>,反过来,4,3a b ==-,满足0a b +>,但不能推出0a >且0b >,所以0a >且0b >是0a b +>的一个充分而不必要条件,故C 正确;D.3,4a b =-=-,满足,但不能推出0a b +>,所以不是充分条件,故D 不正确. 故选:C4.是成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】充分性显然成立,必要性可以举反例:10x =,52y =,显然必要性不成立. 故选:A5.已知,R x y ∈,则“||0x y +>”是“0x >”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当1x =-时满足||0x y +>,但不满足0x >,所以由||0x y +>推不出0x > 由0x >可以推出||0x y +>所以“||0x y +>”是“0x >”的必要而不充分条件 故选:B6.已知命题:1p x R ∀∈≤,则( )A .:1p x R ⌝∃∈B .:1p x R ⌝∀∈C .:1p x R ⌝∃∈D .:1p x R ⌝∀∈> 【答案】C 【详解】因为:1p x R ∀∈≤,所以:1p x R ⌝∃∈>,故选:C.7.下列关于命题“,使得210x x ++<”的否定说法正确的是( ) A .x R ∀∈,均有210x x ++≥假命题 B .x R ∀∈,均有210x x ++≥真命题 C .,有210x x ++≥假命题 D .,有210x x ++=真命题【答案】B 【详解】命题“,使得210x x ++<”的否定是x R ∀∈,均有210x x ++≥,对x R ∀∈,又22131()024x x x ++=++≥,故该命题为真命题. 故选:B8.已知命题p :∃x ∈{x |1<x <3},x -a ≥0;若非p 是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .a <1 B .a >3 C .a ≤3 D .a ≥3【答案】D 【详解】非p 是真命题,所以p 是假命题; 所以∃x ∈{x |1<x <3},x -a ≥0无解; 所以当1<x <3时,a ≤x 不成立,所以a ≥3. 故选:D9.命题“,cos 10x x ∃∈+<R ”的否定是( ) A .,cos 10x x ∀∈+<R B .,cos 10x x ∃∈+R C .,cos 10x x ∀∈+R D .,cos 10x x ∃∉+<R 【答案】C 【详解】因为特称命题的否定是全称命题,所以命题,cos 10x R x ∃∈+<的否定是,cos 10x x ∀∈+R , 故选:C.10.若命题“x R ∀∈,||10x m -+>”是假命题,则实数m 的取值范围是( ) A . B .(1,)-+∞C .D .【答案】D 【详解】若命题“x R ∀∈,||10x m -+>”是假命题, 所以,使得||10x m -+≤成立是真命题, 即||10x m -+≤对于x ∈R 有解, 所以1||m x ≤-,所以,因为0x ≥,所以0x -≤,11x -≤, 所以,所以1m ≤, 所以实数m 的取值范围是, 故选:D。

高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性;②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.知识点二充分条件与必要条件若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1.若A={x|p(x)},B={x|q(x)},则(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件;(4)若A B,则p是q的充分不必要条件;(5)若A B,则p是q的必要不充分条件;(6)若A B且AB,则p是q的既不充分也不必要条件.2.充分条件与必要条件的两个特征:(1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”.(2)传递性:若p 是q 的充分(必要)条件,q 是r 的充分(必要)条件,则p 是r 的充分(必要)条件,即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”).注意:不能将“若p ,则q”与“p ⇒q ”混为一谈,只有“若p ,则q”为真命题时,才有“p ⇒q ”,即“p ⇒q ”⇔“若p ,则q”为真命题.双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2-3x +2=0是命题.( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”.( × ) (3)已知集合A ,B ,则A∪B=A∩B 的充要条件是A =B .( √ ) (4)“α=β”是“tan α=tan β”的充分不必要条件.( × ) (5)“若p 不成立,则q 不成立”等价于“若q 成立,则p 成立”.( √ )[解析] (4)当α=β=π2时,tan α、tan β都无意义.因此不能推出tan α=tan β,当tan α=tan β时,α=β+k π,k∈Z,不一定α=β,因此是既不充分也不必要条件.题组二 走进教材2.(选修2-1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A .矩形的对角线相等 B .若a>b ,c>d ,则ac>bd C .若整数a 是素数,则a 是奇数 D .命题“若x 2>0,则x>1”的逆否命题3.(选修2-1P 10T4改编)x 2-3x +2≠0是x≠1的充分不必要条件. [解析] x =1是x 2-3x +2=0的充分不必要条件. 题组三 走向高考4.(2020·天津,2,5分)设a∈R,则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ,而a 2>a ⇒a<0或a>1,所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件. 5.(2015·山东,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x 2+x -m =0有实根”的逆否命题是( D ) A .若方程x 2+x -m =0有实根,则m>0 B .若方程x 2+x -m =0有实根,则m≤0 C .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m>0 D .若方程x 2+x -m =0没有实根,则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确.6.(2018·北京,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)=sin_x(答案不唯一).[解析]这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可.如f(x)=sin x,答案不唯一.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是( A )A.甲B.乙C.丙D.丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,则命题α是命题β的( A )A.否命题B.逆命题C.逆否命题D.否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A.“若a2<b2,则a<b”的否命题B.“全等三角形面积相等”的逆命题C.“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题D.“若3x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a+b=0,则a,b中最多有一个大于零”的否定形式为若a+b=0,则a,b都大于零,否命题为若a+b≠0,则a,b都大于零.[解析](1)若乙、丙、丁正确,显然x1=-1,x2=3,两根异号,x1+x2=2,故甲错,因此选A.(2)命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,则命题α是命题β的否命题.(3)对于A ,否命题为“若a 2≥b 2,则a≥b”,为假命题;对于B ,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于C ,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故C 正确;对于D ,原命题正确,因此该命题的逆否命题也正确,D 正确.故选C 、D .(4)否定形式:若a +b =0,则a ,b 都大于零.否命题:若a +b ≠0,则a ,b 都大于零. 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,如果命题不是“若p ,则q”的形式,应先改写成“若p ,则q”的形式;如果命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;判断一个命题为假命题,只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1:定义法判断例2 ( 2020·北京,9,4分)已知α,β∈R,则“存在k∈Z 使得α=k π+(-1)kβ”是“sinα=sin β”的( C )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性:已知存在k∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,(ⅰ)若k 为奇数,则k =2n +1,n∈Z,此时α=(2n +1)π-β,n∈Z,sin α=sin(2n π+π-β)=sin(π-β)=sin β;(ⅱ)若k 为偶数,则k =2n ,n∈Z,此时α=2n π+β,n∈Z,sin α=sin(2n π+β)=sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知,充分性成立.(2)必要性:若sin α=sin β成立,则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称,即α=β+2m π或α+β=2m π+π,m∈Z,即存在k∈Z 使得α=k π+(-1)kβ,必要性也成立,故选C . 方法2:集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R,则“|x-1|<4”是“x -52-x >0”的( B )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得-4<x -1<4,即-3<x<5, 将分式不等式变形可得x -5x -2<0,解得2<x<5,因为(2,5)(-3,5),所以“|x-1|<4”是“x -52-x >0”的必要而不充分条件.方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ,q ,若¬ p 是q 的必要不充分条件,则p 是¬q 的( A ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)“已知命题p :cos α≠12,命题q :α≠π3”,则命题p 是命题q 的( A )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件,则q ⇒¬ p ,但¬pq ,其逆否命题为p ⇒¬q ,但¬qp ,所以p 是¬q 的充分不必要条件.(2) ¬p :cos α=12,¬q :α=π3,显然¬q ⇒¬p ,¬p ¬q ,∴¬q 是¬p 的充分不必要条件,从而p 是q 的充分不必要条件,故选A .另解:若cos α≠12,则α≠2kπ±π3(k∈Z),则α也必然不等于π3,故p ⇒q ;若α≠π3,但α=-π3时,依然有cos α=12,故q p.所以p 是q 的充分不必要条件.故选A . 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断:①弄清条件p 和结论q 分别是什么;②尝试p ⇒q ,q ⇒p.若p ⇒q ,则p 是q 的充分条件;若q ⇒p ,则p 是q 的必要条件;若p ⇒q ,qp ,则p 是q 的充分不必要条件;若pq ,q ⇒p ,则p 是q 的必要不充分条件;若p ⇒q ,q ⇒p ,则p 是q 的充要条件.(2)利用集合判断 记法 A ={x|p(x)},B ={x|q(x)} 关系 ABBAA =BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件.〔变式训练1〕(1)指出下列各组中,p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).①非空集合A ,B 中,p :x∈(A∪B),q :x∈B;②已知x ,y∈R,p :(x -1)2+(y -2)2=0,q :(x -1)(y -2)=0; ③在△ABC 中,p :A =B ,q :sin A =sin B ; ④对于实数x ,y ,p :x +y≠8,q :x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R,则“x 2-2x<0”是“|x-1|<2”的( A ) A .充分不必要条件 B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B,但x∈B 一定有x∈(A∪B),所以p 是q 的必要不充分条件.②条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2,所以p ⇒q 但qp ,故p 是q 的充分不必要条件. ③在△ABC 中,A =B ⇒sin A =sin B ;反之,若sin A =sin B ,因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°),所以只有A =B ,故p 是q 的充要条件.④易知¬p :x +y =8,¬q :x =2且y =6,显然¬q ⇒¬p ,但¬p ¬q ,所以¬q 是¬p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(2)解不等式x 2-2x<0得0<x<2,解不等式|x -1|<2得-1<x<3,所以“x 2-2x<0”是“|x-1|<2”的充分不必要条件.故选A .考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中,满足“x 1+x 2=0”是“f(x 1)+f(x 2)=0”的充要条件的是( BC )A .f(x)=tan xB .f(x)=3x -3-xC .f(x)=x 3D .f(x)=log 3|x|[解析] 因为f(x)=tan x 是奇函数,所以x 1+x 2=0⇒f(x 1)+f(x 2)=0,但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4=0时,π4+3π4≠0,不符合要求,所以A 不符合题意;因为f(x)=3x -3-x 和f(x)=x 3均为单调递增的奇函数,所以满足“x 1+x 2=0”是“f(x 1)+f(x 2)=0”的充要条件,符合题意;对于选项D ,由f(x)=log 3|x|的图象易知不符合题意,故选BC .注:满足条件的函数是奇函数且单调. 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ={x|x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x|1-m ≤x ≤1+m}.若x ∈P 是x∈S 的必要条件,则m 的取值范围是[0,3].[解析] 由x 2-8x -20≤0,得-2≤x≤10, 所以P ={x|-2≤x≤10},由x∈P 是x∈S 的必要条件,知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1-m≤1+m ,1-m≥-2,1+m≤10,所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时,x∈P 是x∈S 的必要条件,即所求m 的取值范围是[0,3].[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”,则m 的取值范围是[0,3].[解析] 解法一:由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件,则0≤m ≤3,当m =0时,S ={1},不充分;当m =3时,S ={x|-2≤x≤4}也不充分,故m 的取值范围为[0,3].解法二:若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件,则P =S ,即⎩⎪⎨⎪⎧1-m =-2,1+m =10⇒m 无解,∴m 的取值范围是[0,3].[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”,其他条件不变,则m 的取值范围是[9,+∞).[解析] 由(1)知P ={x|-2≤x≤10), ∵非P 是非S 的必要不充分条件, ∴S 是P 的必要不充分条件,∴P ⇒S 且SP. ∴[-2,10] [1-m ,1+m].∴⎩⎪⎨⎪⎧1-m≤-2,1+m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1-m<-2,1+m≥10. ∴m ≥9,即m 的取值范围是[9,+∞). 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)一定要注意端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)注意区别以下两种不同说法:①p 是q 的充分不必要条件,是指p ⇒q 但qp ;②p 的充分不必要条件是q ,是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化:①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件,②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件.〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ,B 是△ABC 的两个内角.下列四个条件下,“A>B”的充要条件是( ABD )A .sin A>sinB B .cos A<cos BC .tan A>tan BD .cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p :x≥k,q :(x +1)(2-x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件,那么实数k 的取值范围是( B )A .[2,+∞)B .(2,+∞)C .[1,+∞)D .(-∞,-1][解析] (1)当A>B 时,根据“大边对大角”可知,a>b ,由于a sin A =bsin B ,所以sin A>sin B ,则A 是“A>B”的充要条件;由于0<B<A<π,余弦函数y =cos x 在区间(0,π)内单调递减,所以cos A<cosB ,则B 是“A>B”的充要条件;当A>B 时,若A 为钝角,B 为锐角,则tan A<0<tan B ,则C 不是“A>B”的充要条件;当cos 2A<cos 2B ,即1-sin 2A<1-sin 2B ,所以sin 2A>sin 2B ,所以D 是“A>B”的充要条件;故选A 、B 、D .(2)由q :(x +1)(2-x)<0,可知q :x<-1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件,所以x≥k ⇒x<-1或x>2,即[k ,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集,故k>2.故选B .名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,现有下列命题:①r 是q 的充要条件;②p 是q 的充分不必要条件;③r 是q 的必要不充分条件;④¬p 是¬s 的必要不充分条件;⑤r 是s 的充分不必要条件,则正确命题的序号是( B )A .①④⑤B .①②④C .②③⑤D .②④⑤[分析] 本题涉及命题较多,关系复杂,因此采用“图解法”.[解析] 由题意得p,显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ,即q ⇔r ,①正确;p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ,②正确;r⇔q ,③错误;由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ,但sp ,∴¬ p ¬ s ,④正确;r ⇔s ,⑤错误.故选B .名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时,画出各命题间关系图求解,简洁直观,一目了然. 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件,q 是r 的充分条件,则p 是q 的必要不充分条件. [解析] 由题意可知q ⇒rp ,∴p 是q 的必要不充分条件.。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……,则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立,则B必定成立;必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词:如果……,就……;只要……,就……;每当……,就……。

4. 示例:如果下雨,地面就会湿。

这就是一个假言命题,如果下雨是充分条件,地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误:偷换充分条件与必要条件;否定假设;无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词:而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例:他不但聪明,而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题,表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误:谬误的联言;与联言条件无关;由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词:但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例:他很有学识,但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题,表示他虽然有学识,但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误:非提出人之谬误;擅自坚持;不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词:如果……,就……;且;但是;不是;如果……则……;不是因为……而是因为……。

3. 示例:如果你努力学习,就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题,由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误:对联言的否定;混淆假言及联言;推而广之。

高中数学《常用逻辑用语-简单的逻辑联结词》课件

高中数学《常用逻辑用语-简单的逻辑联结词》课件

一句话概括:
p q p∧q
全真为真,有假即假. 真 真 真 真假 假
假真 假
假假假
思考
探究:逻辑联结词“且”的含义与集合 中学过的哪个概念的意义相同呢?
对“且”的理解,可联想到集合中 “交集”的概念.
A∩B={x︱x∈A且x∈B}中的“且”, 是指“x∈A”、“x∈B”这两个条件都要 满足的意思
符号“∧”与“∩”开口都是向下
(2)p:5 < 3 ,

q:5 ≥ 3 .

一般地,对一个命题p的全盘否定,就得到一个新命题, 记作“ ¬p ”,读作“非p”或“p的否定”.
命题¬p的真假判断方法:
一般地,我们规定:若p是真命题,则¬ p 必是假命题;若p是假命题,则¬ p必是真命 题.
一句话概括: 真假相反.
p ¬p
真假
假真
p或q 一个也没有
至少N+1 个

例6 写出下列命题的否定及其否命题.
(1)若x、y是奇数,则 x+y是偶数;
(2)若 xy=0,则x=0,或 y=0.
解(1)命题的否定:若x、y是奇数,则 x+y不是偶数. 否命题:若x、y不都是奇数,则 x+y不是偶
数. (2)命题的否定: 若xy=0, 则 x≠0且y≠0.
(3)12能被3整除且能被4整除。题.
一般的,用逻辑联结词“ ”把命题p和q连接起来, 就得到一个新命题, 记作p∧q,读作“p且q”.
例1 将下列命题用“且”联结成新命题,并判断真假:
(1) p :平行四边形的对角线互相平分, 真
q :平行四边形的对角线相等;

解: p ∧q : 平行四边形的对角线互相平分且相等。 假

简单的逻辑用语

简单的逻辑用语

② . p : 对任意 x R, 有 cosx 1
③ . p : 存在 x0 R, 使 cos x0 1 ④ . p : 对任意 x R, 有 cosx 1
8.设函数 f( x)的定义域为 R,有下列三个命题: ①若存在常数 M ,使得对任意 x∈ R,有 f( x) ≤M ,则 M 是函数 f( x)的最大值; ② 若存在 x0∈R ,使得对任意 x∈ R,且 x≠x0,有 f( x)< f( x0),则 f( x0)是函数 f( x)的最大值; ③若存在 x0∈ R ,使得对任意 x∈ R,有 f( x) ≤f( x0),则 f( x0)是函数 f( x)的最 大值 . 这些命题中,真命题的个数是
【适时导练 】
6.已知 c 0. 设 P:函数 y c x 在 R 上单调递减; Q:不等式 x | x 2c | 1 的解集为 R,若
“P 或 Q”是真命题, “ P 且 Q”是假命题,求 c 的取值范围 .
专题四 : 全称命题与特称命题及其真假判断 【例 8】 设 A、 B 为两个集合 .下列四个命题:
p 是 q 的充分条件不必要条件
③ q 是 p 的充分要条件
p 是 q 的充要条件
④ q 是 p 的既不充分条件与不必要条件
p 是 q 的既不充分条件与不必要条件
2. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示:
原命题 若p则q
互 否 互为逆否 命
否命题 若非 p 则非 q
互逆
逆命题 若q则p
专题五 : 由命题真假确定参数范围
① A B 对任意 x∈ A,有 x B;② A B A∩B= ;③ A B A B; ④ A B 存在 x∈ A,使得 x B. 其中真命题的序号是 ______________.(把符合要求的命题序号都填上) 【适时导练 】

高中数学课件-第2讲 常用逻辑用语

高中数学课件-第2讲 常用逻辑用语

第2讲 常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定考试要求定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.01聚焦必备知识1.充分条件与必要条件知识梳理充分、必要条件与对应集合之间的关系设A ={x |p (x )},B ={x |q (x )}.①若p 是q 的充分条件,则A ⊆B ;②若p 是q 的充分不必要条件,则AB ;③若p 是q 的必要不充分条件,则BA ;④若p 是q 的充要条件,则A =B .提醒2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号________表示.(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号________表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题意义对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记∀x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)否定____________________________________________常用结论1.A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件.2.命题p与p的否定的真假性相反.1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.( )(2)存在x ∈R ,x 2-x +1≤0.( )(3)当p 是q 的充分条件时,q 是p 的必要条件.( )(4)若已知p :x >1和q :x ≥1,则p 是q 的充分不必要条件.( )夯基诊断××√√2.回源教材(1)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A A 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不一定成立.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 11(2)命题“有一个偶数是素数”的否定是________.答案:任意一个偶数都不是素数(3)使-2<x <2成立的一个充分条件是________.(答案不唯一,写出一个即可)答案:0<x <2(答案不唯一)只要是{x |-2<x <2}的一个子集都是使-2<x <2成立的充分条件,如-2<x <2,或0<x <2等.02突破核心命题例1 (1)(2023·天津卷)“a 2=b 2”是“a 2+b 2=2ab ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件考 点 一充分条件与必要条件的判断BB 法一:因为“a2=b2”⇔“a=-b或a=b”,“a2+b2=2ab”⇔“a=b”,所以本题可以转化为判断“a=-b或a=b”与“a=b”的关系,又“a=-b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.法二:若a2=b2,则当a=-b≠0时,有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2⇒/ a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.D (2)(2024·信阳开学考试)若a,b∈R,则“a3>b3”是“a2>b2”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件D 不妨取a=-1,b=-2,满足a3>b3,但是a2>b2不成立,所以由“a3>b3”推不出“a2>b2”,取a=-2,b=1,满足a2>b2,但是a3>b3不成立,所以由“a2>b2”推不出“a3>b3”.所以“a3>b3”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.故选D.(3)(多选)(2024·广东多校联考)ab +b -a -1=0的一个充分不必要条件可以是( )A .a =-1B .a =bC .b =1D .ab =1AC AC 由ab +b -a -1=0,可得(a +1)(b -1)=0,解得a =-1或b =1.故选AC .充分、必要条件的两种判定方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p ,q 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.反思感悟C(2)已知x∈R,则“x<-1”是“x2>1”的( )AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 解不等式x2>1,可得x>1或x<-1,则由充分必要条件的判定可知“x<-1”是“x2>1”的充分不必要条件.故选A.考 点 二充分条件与必要条件的应用例2 已知集合A={x|x2-8x-20≤0},非空集合B={x|1-m≤x≤1+m}.(1)若x∈A是x∈B的必要条件,求m的取值范围;(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求m的取值范围.充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.反思感悟训练2 (多选)若“x <k 或x >k +3”是“-4<x <1”的必要不充分条件,则实数k 的值可以是( )A .-8B .-5C .1D .4ACD ACD 若“x <k 或x >k +3”是“-4<x <1”的必要不充分条件,则k +3≤-4或k ≥1,所以k ≤-7或k ≥1.故选ACD .例3 (1)(2024·开封模拟)若命题p :∀x ∈R ,e x ≥x +1,则¬p 是( )A .∀x ∈R ,e x ≤x +1B .∀x ∈R ,e x <x +1C .∃x ∈R ,e x ≤x +1D .∃x ∈R ,e x <x +1考 点 三全称量词与存在量词考向 1含量词命题的否定及真假判断D ∀x ∈R ,e x ≥x +1的否定是∃x ∈R ,e x <x +1.故选D .DB (2)(2024·九江十校联考)下列命题的否定是真命题的为( ) A.任意两个等边三角形都相似B.∃x∈R,x2-x+1=0C.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直D.∀x∈R,x+|x|≥0B 对于A,任意两个等边三角形都相似是真命题,所以其否定是假命题,故A错误;对于B,x2-x+1=0,Δ=1-4<0,所以方程无解,所以该命题是假命题,其否定是真命题,故B正确;对于C,存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直,是真命题,其否定是假命题,故C错误;对于D,∀x∈R,x+|x|≥0是真命题,其否定是假命题,故D错误.例4 若命题“∃x ∈[-1,3],x 2-2x -a ≤0”为真命题,则实数a 可取的最小整数值是( )A .-1B .0C .1D .32含量词命题的应用AA 由题意,原命题可转化为∃x∈[-1,3],a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,x∈[-1,3],则问题等价于a≥h(x)min,易知函数h(x)=x2-2x在[-1,1)上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以h(x)min=h(1)=1-2=-1,所以a≥-1.所以实数a可取的最小整数值是-1.故选A.含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围.反思感悟训练3 (1)命题p :“有些三角形是等腰三角形”的否定是( )A .有些三角形不是等腰三角形B .有些三角形可能是等腰三角形C .所有三角形都不是等腰三角形D .所有三角形是等腰三角形C C 命题p :“有些三角形是等腰三角形”,则¬p 是“所有三角形都不是等腰三角形”.(2)(2024·青岛莱西期中)下列各命题的否定为真命题的是( )D(3)若命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是真命题,则实数a的取值范围是________.命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是真命题,则Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1,所以实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).答案:(-∞,-2]∪[1,+∞)03 限时规范训练(二)A级 基础落实练1.(2024·辽宁名校联盟联考)命题“∃x>0,x2-2|x|<0”的否定是( )C A.∃x>0,x2-2|x|≥0B.∃x≤0,x2-2|x|≥0C.∀x>0,x2-2|x|≥0D.∀x≤0,x2-2|x|≥0C 由存在量词命题的否定为全称量词命题知,∃x>0,x2-2|x|<0的否定为∀x>0,x2-2|x|≥0.故选C.D3.(2024·连云港模拟)已知x ∈R ,则“-3≤x ≤4”是“lg(x 2-x -2)≤1”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件B B lg(x 2-x -2)≤1⇒0<x 2-x -2≤10,解得-3≤x <-1或2<x ≤4.故选B .4.命题“∀1≤x≤2,x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是B( ) A.a≥4 B.a≥5C.a≤4 D.a≤5B 因为命题“∀1≤x≤2,x2-a≤0”是真命题,所以∀1≤x≤2,a≥x2恒成立,所以a≥4,结合选项,命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.CD5.(多选)下列命题是真命题的是( )A.所有的素数都是奇数B.有一个实数x,使x2+2x+3=0C.“α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件D.命题“∃x∈R,x+2≤0”的否定是“∀x∈R,x+2>0”CD 2是一个素数,但2是偶数,所以A是假命题;对于方程x2+2x+3=0,其中Δ=22-4×3=-8<0,所以不存在实数,使得x2+2x+3=0成立,所以B是假命题;由α=β⇒sin α=sin β,但由sin α=sin β不能得到α=β,故“α=β”是“sin α=sin β”成立的充分不必要条件,所以C是真命题;根据全称量词命题与存在量词命题的关系,可得命题“∃x∈R,x+2≤0”的否定是“∀x∈R,x+2>0”,所以D是真命题.6.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则B( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B 甲等价于sin2α=1-sin2β=cos2β,等价于sin α=±cos β,所以由甲不能推导出sin α+cos β=0,所以甲不是乙的充分条件;由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,平方可得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件.综上,选B.7.(2024·佛山模拟)记数列{a n}的前n项和为S n,则“S3=3a2”是“{a n}为B等差数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B 若数列{a n}是等差数列,则S3=a1+a2+a3=3a2;当数列{a n}的前n项和满足S3=3a2时,数列不一定是等差数列,如:a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,显然S3=3a2,而a4-a3≠a3-a2,{a n}不是等差数列,所以“S3=3a2”是“{a n}为等差数列”的必要不充分条件,故选B.8.(2023·云南名校大联考)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|2a-1<x<a+3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围为A( ) A.[-1,0] B.(-1,0)C.[4,+∞) D.(4,+∞)。

最简单的逻辑结构表达

最简单的逻辑结构表达

最简单的逻辑结构表达是二元逻辑运算,例如:
1. "与"(AND)逻辑:A AND B。

只有当A和B都为真时,结果才为真;否则为假。

- 举例:如果A代表“今天下雨”,B代表“我带了伞”,那么“今天下雨且我带了伞”为真,意味着我今天不会被雨淋湿。

2. "或"(OR)逻辑:A OR B。

只要A、B中至少有一个为真,结果就为真;两者都为假时结果才为假。

- 举例:如果A代表“我有钥匙”,B代表“我知道密码”,那么“我有钥匙或我知道密码”为真,意味着我能进入房间。

3. "非"(NOT)逻辑:NOT A。

用来否定一个命题,如果A 为真,则NOT A为假;若A为假,则NOT A为真。

- 举例:如果A代表“今天是周末”,那么“今天不是周末”就是对A的否定。

这些是最基本的逻辑运算符,构成了更复杂逻辑表达式的基础。

第二节常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语

第二节 常用逻辑用语1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、必要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.充分条件与必要条件 命题真假 “若p ,则q ”为真命题“若p ,则q ”为假命题“若p ,则q ”和“若q ,则p ”都是真命题推出关系 p qp qp q条件关系p 是q 的 条件,q 是p 的 条件p 不是q 的 条件,q 不是p 的 条件p 是q 的 条件,简称 条件提醒 (1)A 是B 的充分不必要条件⇔A ⇒B 且B A ;(2)A 的充分不必要条件是B ⇔B ⇒A 且AB.2.全称量词和存在量词类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号 ∀∃命题 含有 的命题叫做全称量词命题含有 的命题叫做存在量词命题命题形式“对M 中任意一个x ,p (x )成立”,可用符号简记为“ ”“存在M 中的元素x ,p (x )成立”,可用符号简记为“ ”3.全称量词命题和存在量词命题的否定名称 全称量词命题存在量词命题结构 对M 中任意一个x ,p (x )成立存在M 中的元素x ,p (x )成立简记 ∀x ∈M ,p (x ) ∃x ∈M ,p (x ) 否定________________________提醒 对没有量词的命题否定时,要结合命题的含义加上量词,再改变量词.1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当p 是q 的充分条件时,q 是p 的必要条件.( ) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.( ) (3)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题.( )(4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.()2.已知命题p:∀x∈R,x>sin x,则p的否定为()A.∀x∈R,x<sin xB.∀x∈R,x≤sin xC.∃x∈R,x≤sin xD.∃x∈R,x<sin x3..(概念辨析)(多选)下列结论正确的是( ).A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要条件B.设M⫋N,则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件C.“a,b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要条件4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.5.若“x>m”是“x>2”的充分不必要条件,则m的取值范围是.常用结论1.充分(必要、充要)条件与集合间的包含关系设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;(2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;(3)若A=B,则p是q的充要条件.2.命题p和 p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可先判断此命题的否定的真假.结论运用1.(多选)下列说法正确的是( )A.“ac=bc”是“a=b”的充分不必要条件B.“1a>1b”是“a<b”的既不充分也不必要条件C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆BD.“a>b>0”是“a n>bn(n∈N,n≥2)”的充要条件2.若“∀x∈R,x2-ax-2a>0”是假命题,则实数a的取值范围是.考向1含量词命题的否定及真假判定【例1】(1)已知命题p:∃x∈R,x=-1或x=2,则()A. p:∀x∈R,x=-1且x=2B. p:∀x∈R,x≠-1且x≠2C. p:∀x∉R,x≠-1或x≠2D. p:∃x∉R,x=-1或x=2(2)(多选)下列命题中是存在量词命题且为真命题的有( ).考点1 全称量词命题和存在量词命题A.中国所有的江河都流入太平洋B.有的四边形既是矩形,又是菱形C.存在x∈R,使得x2+x+1=0D.有的数比它的倒数小方法技巧1.对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法(1)改写量词:全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词; (2)否定结论:对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)全称量词命题:①要判断一个全称量词命题是真命题,必须对限定的集合M 中的每一个元素x ,证明p (x )成立;②要判断一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M 中的一个特殊值x =x 0,使p (x 0)不成立即可.(2)存在量词命题:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定的集合M 中,找到一个x =x 0,使p (x 0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.考向2 含量词的命题的应用【例2】 已知命题“∃x ∈R ,使ax 2-x +1≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.(-14,0)B.(0,14)C.(14,+∞) D.(1,+∞)方法技巧由命题的真假求参数的方法(1)全称量词命题可转化为恒成立问题; (2)存在量词命题可转化为存在性问题;(3)全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 跟踪训练1.(多选)若“x<k 或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分条件,则实数k 的值可以是( ).A.8B.5C.1D.42.若命题“∃x ∈(-1,3),x 2-2x -a ≤0”为真命题,则实数a 可取的最小整数值是( ) A.-1 B.2 C.0 D.2【例3】 (1)设x ∈R ,则“x 2-5x <0”是“|x -1|<1”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(多选)对任意实数a,b,c,下列命题为真命题的是( ). A.“a<5”是“a<3”的必要条件B.“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C.“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件D.“a ≥2且b ≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件 方法技巧充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断,适用于定义、定理判断性问题;(2)集合法:根据p ,q 对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 跟踪训练1.已知a ,b 都是实数,那么“方程x 2+y 2-2x -2by +b 2-a =0表示圆”是“a >2”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(多选)若p :x 2+x6=0是q :ax+1=0的必要不充分条件,则实数a 的值为( ).A.2B.12C.13D.3【例4】 已知P ={x |x 2-8x -20≤0},非空集合S ={x |1-m ≤x ≤1+m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件,则m 的取值范围为 . 变式本例中条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m 的取值范围. 方法技巧应用充分、必要条件求解参数范围的方法考点2 充要条件、必要条件的判定考点3 充分、必要条件的探究与应用(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(不等式组)求解;(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.跟踪训练设p:1<x<2;q:(x-a)(x-1)≤0.若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.。

《简单的逻辑联结词》课件

《简单的逻辑联结词》课件

《简单的逻辑联结词》课 件
在这个课件中,我们将一起探索简单的逻辑联结词,并了解它们在构建复杂 命题以及推导结论中的重要作用。
什么是逻辑联结词
逻辑联结词用于连接命题,构建复杂的命题,从简单的命题中推导出更复杂 的结论。
常见的逻辑联结词
连接相似命题的逻辑联结词
- 且(and) - 或(or) - 否则(else) - 同时(also)
使用逻辑联结词可以帮助我们排除不可能的 情况,提高论证的逻辑性。
4 表达对立命题
逻辑联结词可以帮助我们表达对立的命题, 探讨问题的两个不同方面。
总结
逻辑联结词的定义
- 逻辑联结词是连接命题的词 语。
常见的逻辑联结词
- 逻辑联结词分为连接相似命 题和对立命题的两种。
逻辑联结词的应用范围
- 逻辑联结词在构建复杂命题 中起到重要作用。
连接对立命题的逻辑联结词
- 非(not) - 反之(rwise) - 但是(but) - 然而(however)
逻辑联结词的应用
1 构建复杂的命题
通过使用逻辑联结词,我们可以从简单的命 题中构建出更复杂的命题。
2 表达重复命题
逻辑联结词可以帮助我们表达重复的命题, 加强论证的效果。
3 表达排除命题

简单逻辑用语

简单逻辑用语

简单逻辑用语一、知识点总结1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论.3、原命题:“若p ,则q ” 逆命题: “若q ,则p ” 否命题:“若p ⌝,则q ⌝” 逆否命题:“若q ⌝,则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系:(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 5、若p q ⇒,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ⇔,则p 是q 的充要条件(充分必要条件).利用集合间的包含关系: 例如:若B A ⊆,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A=B ,则A 是B 的充要条件;6、逻辑联结词:⑴且(and ) :命题形式p q ∧;⑵或(or ):命题形式p q ∨; ⑶非(not ):命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“∀”表示;全称命题p :)(,x p M x ∈∀; 全称命题p 的否定⌝p :)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“∃”表示;特称命题p :)(,x p M x ∈∃; 特称命题p 的否定⌝p :)(,x p M x ⌝∈∀; 二、巩固练习1.若命题p :2n -1是奇数,q :2n +1是偶数,则下列说法中正确的是( )AA .p 或q 为真B .p 且q 为真C . 非p 为真D . 非p 为假2.对命题p :A ∩∅=∅,命题q :A ∪∅=A ,下列说法正确的是( )DA .p 且q 为假B .p 或q 为假C .非p 为真D .非p 为假3.“至多四个”的否定为( )BA .至少有四个B .至少有五个C .有四个D .有五个 4.下列存在性命题中,假命题是( )CA .∃x ∈Z ,x 2-2x-3=0 B .至少有一个x ∈Z ,x 能被2和3整除C .存在两个相交平面垂直于同一条直线D .∃x ∈{x 是无理数},x 2是有理数 5 已知条件:12p x +>,条件2:56q x x ->,则p ⌝是q ⌝的( )AA 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5 A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤,22:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或p q ⌝⇒⌝,充分不必要条件6. a=1”是“直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直”的( )条件CA.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 7.已知命题p :所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( )DA .q p ∨⌝)( B.q p ∧ C.)()(q p ⌝∧⌝ D. )()(q p ⌝∨⌝ 8.若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则( )A A. “P x ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件 B. “P x ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件 C. “P x ∈”是“x Q ∈”的充要条件D. “P x ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件 9. “21sin =A ”是“A=30º”的( )B A . 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也必要条件10.下列命题:①至少有一个x 使x 2+2x +1=0成立;②对任意的x 都有x 2+2x +1=0成立;③对任意的x 都有x 2+2x +1=0不成立; ④存在x 使x 2+2x +1=0成立; 其中是全称命题的有 ( )BA .1个B .2个C .3个D .0 11.全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定( )C A .所有被5整除的整数都不是奇数 B .所有奇数都不能被5整除C .存在一个被5整除的整数不是奇数D .存在一个奇数,不能被5整除12.使四边形为菱形的充分条件是( )DA .对角线相等B .对角线互相垂直C .对角线互相平分D .对角线垂直平分 13.给出命题:①∃x ∈R ,使x 3<1; ②∃x ∈Q ,使x 2=2; ③∀x ∈N ,有x 3>x 2; ④∀x ∈R ,有x 2+1>0. 其中的真命题是:( )AA .①④B .②③C .①③D .②④ 14.由命题p :“矩形有外接圆”,q :“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或q ”,“p 且q ”, “非p ”形式的命题中真命题是__________.14.p 或q15.命题“不等式x 2+x -6>0的解x <-3或x >2”的逆否命题是 .15.若x 23≤-≥x 且,则x 2+x-60≤16.已知:对+∈∀R x ,xx a 1+<恒成立,则实数a 的取值范围是 . 16.2<a 17.命题“∀x ∈R ,x 2-x +3>0”的否定是 . 17.∃x ∈R ,x 2-x +3≤018.把命题“平行于同一直线的两条直线互相平行”写成“若p 则q ”的形式,并写出它的 逆命题、否命题、逆否命题,再判断这四个命题的真假. 18.若两直线平行于同一条线,则它们相互平行.逆命题:若两条直线互相平行,则它们平行于同一条直线.(真命题) 否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则它们不相互平行.(真命题)逆否命题:若两直线互相不平行,则它们不平行于同一条直线.(真命题)19.为使命题p (x ):1sin 2sin cos x x x -=-为真,求x 的取值范围。

第02讲-常用逻辑用语(讲义版)

第02讲-常用逻辑用语(讲义版)

第02讲常用逻辑用语一、考情分析1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对存在性命题进行否定.二、知识梳理1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.(2)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.3.全称命题和存在性命题(命题p的否定记为⌝p,读作“非p”)名称全称命题存在性命题形式结构对M中的所有x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)否定∃x0∈M,⌝p(x0)∀x∈M,⌝p(x)[方法技巧]1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.三、经典例题考点一 充分条件与必要条件的判断A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件规律方法 充要条件的两种判断方法 (1)定义法:根据p ⇒q ,q ⇒p 进行判断.(2)集合法:根据使p ,q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 考点二 全称量词与存在量词A .[]01,3x ∃∈-,200320x x -+>B .[]1,3x ∀∉-,2320x x -+>C .[]1,3x ∀∈-,2320x x -+>D .[]01,3x ∃∉-,200320x x -+>A .x R ∀∈, 22x x >B .x R ∃∈,22x x <C .x R ∀∈,22x x ≤D .x R ∃∈,22x x ≤规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和存在性命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决. 考点三 充分条件、必要条件的应用(Ⅰ)求实数m 的取值集合M ;(Ⅱ)设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ,若x ∈N 是x M ∈的必要条件,求a 的取值范围.四、课时作业A .充分条件,但不是必要条件B .必要条件,但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分也不是必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件A .30m -<<B .13m -<<C .34m -<<D .23m -<<A .3002,80x x ∃>-≤ B .32,80x x ∀>-≤ C .3002,80x x ∃≤-≤ D .32,80x x ∀≤-≤A .p ⌝:x R ∃∈,2210x x ++<B .p ⌝:x R ∃∈,2210x x ++≤C .p ⌝:x R ∀∈,2210x x ++<D .p ⌝:x R ∀∈,2210x x ++≤(1)若p 是q 的必要条件,求m 的取值范围;(2)若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,求m 的取值范围.(1)当1a =时,求AB ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.(1)若P为真命题,求实数a的取值范围;-∧为真命题,求实数a的取值范围. (2)若()p q。

简单的逻辑联结词PPT教学课件

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非p形式复合命题
p
非p




P或q形式复合命题
p
q
P或q
真真 真









p且q形式复合命题 p q p且q 真真 真 真假 假 假真 假 假假 假
真值表
例1.判断下列命题的真假:
• (1)4≥3 • (2)4≥4 • (3)4≥5
例2、分别指出由下列各组命题构成的p或q、 p且q、非p形式的复合命题的真假:
(1) p:2+2=5; q:3>2;
(2) p:9是质数;q:8是12的约数;
(3) p:1∈{1,2}; q:{1} {1,2}
(4) p: 0 , q : 0
例3、判斷下列P∨q、 P∧q、┒p命題形式的真假﹔
(1) x 2 0没有实数解
(2)、-1是偶數或奇數;
(3) 2属于有理数Q,也属于实数R; (4) A (A B);
1.3.2《简单的逻辑联结词 (二)复合命题》
教学目标
加深对“或”“且”“非”的含义的理 解,能利
用真值表判断含有复合命题的真假; 教学重点:判断复合命题真假的方法; 教学难点:对“p或q”复合命题真假判断
的方法课 型:新授课 教学手段:多媒体
一、知識點复習:
1.什么叫命題 2.逻辑联结词 3.复合命題的形式
To 273.15 K
Vmol 22.4 103 m3
PV PoVo M PoVmol
T
To M mol To
其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ M 为气体的总质量。
M mol为气体的摩尔质量。
令: R PoVmol 8.31 (J mol 1 K 1) To
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逆 否 命 题 q p 若 则
至少 P且 P或 关键 都是 是 有一 q 词 (全是) q 个 非 p 非 p 一个 不 不都是 否定 或 且 也没 是 (全是) 非q 非q 有
至多 有一 任意 存在 个 至少 有两 存在 任意 个
4 条件 一般地,如果已知 pq,那么就说:p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件。 可分为四类: (1)充分不必要条件,即 pq,而 q p; (2)必要不充分条件,即 p q,而 qp; (3)既充分又必要条件,即 pq,又有 qp; (4)既不充分也不必要条件,即 p q,又1 当 a=0 时,方程变为 2x+1=0,其根为 x , 2
方程只有一个负根;
当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0.其根为 x=-1, 方程只有一个负根。
2
1 当 a<0 时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 <0, a
方程有一正一负根。
必要性: 若方程 ax2+2x+1=0 有且仅有一个负根。 当 a=0 时,适合条件。
一般地, 如果既有 pq, 又有 qp, 就记作: p q. “” 叫做等价符号。p q 表示 pq 且 qp。 这时 p 既是 q 的充分条件,又是 q 的必要条件,则 p 是 q 的 充分必要条件,简称充要条件。
点评:(1)判断方法:①定义法 ②集合法 ③逆否法 ④举反例 (仅判断不必要不充分) (2)p与q之间的关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反, 不要混淆。
题型 4:全称命题与特称命题 例 5. (1)命题 p: “有些三角形是等腰三角形” ,则┐p 是( A.有些三角形不是等腰三角形 B.所有三角形是等腰三角形 C.所有三角形不是等腰三角形 D.所有三角形是等腰三角形 (2)命题 p: “若 x>0,则 x -x>0” ,则┐p 是_________.
例 8 求关于 x 的方程 x -mx+3m-2=0 的两根均大于 1 的充要 条件. 解析:设方程的两根分别为 x1、x2,则原方程有两个大于 1 的根的充要条件是
m 2 4(3m 2) 0, m 2 12m 8 0, ( x1 1) ( x2 1) 0, 即 ( x1 x 2 ) 2 0, x x ( x x ) 1 0. (x1 1)(x2 1) 0, 1 2 1 2
1 2 1 2
(2)注意答题的步骤
又“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题 ∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真 所以 a 的取值范围是 0<a≤ 或 a≥1.
1 2
题型 2:四种命题及其真假关系 例 3 下列有关命题的说法正确的是(
).
A. 命题“若 xy=0, 则 x=0”的否命题为“若 xy=0, 则 x≠0” B. “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为真命题 C. 命题“存在 x∈R, 使得 2x2-1<0”的否定是“任意 x∈R, 均有 2x2-1<0” D.命题“若 cos x=cos y,则 x=y”的逆否命题为真命题
2
所以 1 m x 1 m.
所以p : x 10或x 2, p : x 1 m或x 1 m,
1 m 10 故只需满足 1 m 2 所以m 9.
思考:不求非p、非q 行吗?
因为p是q的必要不充分条件, 所以p q.
例 7.求证:方程 ax +2x+1=0 有且只有一个负数根的充要条 件为 a≤0 或 a=1.
变式 2: a b (1)命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为 (2)判断命题: “若 没有实根,则 假性.
; ”的真
题型 3:充分条件与必要条件 例4 (1) 若实数 a, b 满足 a≥0, b≥0, 且 ab=0, 则称 a 与 b 互补. 记 φ(a,b)= a2+b2-a-b,那么 φ(a,b)=0 是 a 与 b 互补的 _______________. (2)设 a>0 且 a≠1,则“函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数”是“函 数 g(x)=(2-a)x3 在 R 上是增函数”的________________. (3) 已知 p:x y 5 ; q:x 2或y 3 .则 p 是 q 的__________. (4)已知 p: =k (k Z ) ;q: tan tan .则 p 是 q 的 ____________. log2x,x>0, 变式:函数 f(x)= x 有且只有一个零点的充 2 -a,x≤0 分不必要条件是( ). 1 1 A.a≤0 或 a>1 B.0<a< C. <a<1 D.a<0 2 2
(2)p:方程 x -1=0 的解是 x=1,q:方程 x -1=0 的解是 x=-1;
解:p 或 q: (能不能写成“方程 x -1=0 的解是 x=±1” ) ;
正解:方程 x -1=0 的解是 x=1,或方程 x -1=0 的解是 x=-1
2 2
2
2
2
p 且 q: 方程 x -1=0 的解是 x=1,且方程 x -1=0 的解是 x=-1; 2 非 p: 方程 x -1=0 的解不都是 x=1 (注意, 在命题 p 中的 “是” 应理解为“都是”的意思) ; ∵p 假,q 假, ∴“p 或 q”与, “p 且 q” 均为假,而“非 p”为真.
x 1 例 6.已知 p: 1 2 ,q: x 2 2x 1 m2 0m 0 ,若 3 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。
x 1 解析:由 p: 1 2 2 x 10. 3
由q可得 x 1 m2 m 0
点评: 1°全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定一个
全称命题可以通过“举反例”来说明.
2°全称命题 p 为真 特称命题 p 为假
二、典型例题
题型 1:判断命题的真值 例 1.写出由下述各命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p” 形式的复合命题,并指出所构成的这些复合命题的真假。 (1)p:9 是 144 的约数,q:9 是 225 的约数。
第二讲 简单的逻辑用语
一、高考要求
1、理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的 命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种 命题的相互关系,理解必要条件、充分条件与充要 条件的意义. 2、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的 含义, 理解全称量词与存在量词的意义,能正确地 对含有一个量词的命题进行否定.
p 真 假
非p 假 真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q 真 真 真 假
点评: 1°像上面表示命题真假的表叫真值表; 2 °由真值表得:“非 p ”形式复合命题的真假与 p 的 真假相反;“p且q”形式复合命题当 p与q同为真时为真, 其他情况为假;“p或 q”形式复合命题当 p与q同为假时 为假,其他情况为真; 3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命 题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内 容。
3.四种命题
(1)四种命题的构成: 原命题:若p则q; 逆命题:若q则p; (2)四种命题的相互关系如何?
否命题:若 p 则 q ; 逆否命题:若 q 则 p.
原 命 题 p q 若 则 互 否 否 命 题 p q 若 则 互 逆
互 为
为 互
逆 命 题 q p 若 则 互 否
否 逆 逆 否
互 逆 (3)四种命题的真假关系如何? (4)“否命题”与“命题的否定”是否是同一概念? (5)常见关键词的否定:
二、要点归纳:
(1)命题 命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联 结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题。 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 常用小写的拉丁字母p,q,r,s,……表示命题, 复合命题有三种形式:p或q;p且q;非p。
(2)复合命题的真值 “非p”形式复合命题的真假可以用下表表示:
2
2
(3)p:实数的平方是正数,q:实数的平方是 0.
解: p 或 q:实数的平方都是正数或实数的平方都是 0; p 且 q:实数的平方都是正数且实数的平方都是 0; 非 p:实数的平方不都是正数, (或:存在实数,其平方不是正数) ;
∵p 假,q 假, ∴“p 或 q”与“p 且 q” 均为假,而“非 p”为真.
2 x 2a ( x 2a) 令 y=x+|x-2a|,则 y= ( x 2a) 2a
x
不等式 x+|x-2a|>1 的解集为 R, 点评: 只要 ymin>1 即可, (1)注意大前提 而函 y 在 R 上的最小值为 2a, 所以 2a>1,即 a> . 即命题 q:a> .
点评:由简单命题构成复合命题 ,一定要检验是否符合 “真值表”如果不符要作语言上的调整。
例 2 已知 a>0,设命题 p:函数 y=a 在 R 上单调递减,q:不等 x+|x-2a|>1 的解集为 R,若 “p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假 题,求 a 的取值范围. x 解析: 由函数 y=a 在 R 上单调递减知 0<a<1, 所以命题 p:0<a<1,
3

(3)令 p(x):ax +2x+1>0,若对 x∈R,p(x)是真命题,则实 数 a 的取值范围是 .
思考: 若对 x∈R, p (x) 是假命题, 则实数 a 的取值范围是 若对 x∈R, p (x) 是假命题, 则实数 a 的取值范围是
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