0411第十一章 套利定价理论

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二、套利与零投资组合
一个套利机会：
各种可能收益率（%）
名称 概率 A B C D
高实际利率 0.25 -20 0 90 15 0.25 20 70 -20 23
低实际利率 0.25 40 30 -10 15 0.25 60 -20 70 36
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高通胀率 低通胀率 高通胀率 低通胀率
二、套利与零投资组合
M
E(rM)- rf
rf
1.0
Beta（ F） （ ）
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一、充分分散投资组合的套利定价
假设无风险利率为4%，两个充分分散投资组合P与C ßP =1； ßC = 0.5；E(rP) =10% ； E(rC) =6% 假定新组合D由组合P与无风险资产按等权重构成，则有， ßD =0.5*1+0.5*0=0.5； E(rD) =0.5* 10% +0.5*4%=7% 比较D与C，两个组合具有相同的风险，但D的期望收益更高， 即D优于C，此时存在套利机会。
rP = ∑ xi ri = ∑ xi [E(ri ) + βi F + ei ]
i E (rP) + βPF + eP βP代表投资组合P对共同因子F的敏感度； eP为P的非系统收益。
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一、充分分散投资组合的套利定价
与指数模型类似，可以证明，随着n的增加，组合P的非系统 性风险趋于零。 充分分散投资组合：按比例wi分散投资于足够大数量的证 w
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二、APT与CAPM的结合
4、定价范围有所不同： APT并不能排除个别资产违背收益- ß的线性关系； CAPM则适用于所有证券。
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二、APT与CAPM的结合
从某种意义上说， CAPM 是APT的一个特例。 市场投资组合作为一个充分分散的组合，其ßM=1，可 由它来确定一个直线方程： EP=rF+βP×(EM—rF) 期望收益率 E(rM)
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一、充分分散投资组合的套利定价
期望收益率
10 7 6 无风险利率 4 .5 1.0 D C
P
Beta（ F） （ ）
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一、充分分散投资组合的套利定价
要消除套利机会，达到均衡状态，则要求C落在直线PD上。 也就是说，在市场处于均衡的状态下，所有充分分散投资 组合必定位于始于无风险利率的同一条直线上，该直线的 方程式为：
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二、单个证券的套利定价
两个步骤： 一是证明:如果单个证券的期望收益与ß之间存在线性关系， 则所有的资产组合也具有同样的线性关系； 二是证明:如果充分分散投资组合的期望收益与ß之间存在 线性关系，则所有单个证券也必须具有同样的关系。因为 充分分散组合要求证券权重很小，如果只有一个证券违反 线性关系，不会影响充分分散组合的收益- ß关系，但是， 如果其中许多证券都违反线性关系，则充分分散投资组合 也不再满足上述线性关系。
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二、APT与CAPM的结合
1、假定不同： APT只假定证券收益率与某些共同因子有关，但并未指 定这些共同因子；CAPM则将共同因子确实为市场组合的 收益率。 CAPM假定所有投资者具有同质期望，都依据均值-方 差原则来进行资产选择；APT则无此假定。
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二、APT与CAPM的结合
2、出发点不同： APT考察当市场不存在无风险套利而达到均衡状态时， 资产如何均衡的定价；CAPM则考察当所有投资者按相似的 方式进行投资，而市场最终达到均衡时，资产如何均衡地定 价。 3、市场均衡机制不同： APT认为只要极少数人的套利行为便可以推动市场达到 均衡；CAPM认为是所有投资者的相同的投资行为导致市场 均衡的出现。
与前式比较，单个证券收益率与共同因子F之间不存在线性关 系，但是充分分散投资组合P与F之间则具有线性关系。
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一、充分分散投资组合的套利定价
充分分散投资组合P；单个证券S。 且ßP = ßS =1； E(rP) = E(rS) =10% 收益率 收益率
10%
10%
F P S
F
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一、充分分散投资组合的套利定价
在任何经济形势下，均能以无成本获得正的收益。
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三、套利与均衡
存在套利机会表明市场是非均衡的，而套利者的行为会改 变市场供求关系，最终导致套利机会的消失，此时，达到 市场均衡状态。
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第二节 单因子套利定价模型
一、充分分散投资组合的套利定价 二、单个证券的套利定价
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一、充分分散投资组合的套利定价
两个充分分散投资组合P与B ßP = ßS =1； E(rP) =10% ； E(rB) =8% P 收益率 B 10% 8% F
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一、充分分散投资组合的套利定价
上述两个充分分散投资组合P与B不可能同时存在，因为不 论F处于何种状态，P均优于B，即存在套利机会。 投资者可卖空价值100万元的B,再购买价值100万元的组合 P，构造一个零投资组合，其收益额为： 〔（0.1+1*F）- (0.08+1*F)〕*100万元=2万元 且零投资组合的ß=0.5 ßP-0.5 ßB =0 零成本、无风险
券，而每种证券的比例又小到足以使非系统性风险 σ 2 (e p ) 趋于零，可以被忽略。由于eP的期望值为零，其方差也为零， 因而，eP的实际值也可以被视为零。
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一、充分分散投资组合的套利定价
于是，可以将充分分散投资组合的实际收益率写为： rP= E(rP) + ßPF 且 σp = ßP σ F
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一、一价原则与套利
2、套利： “无风险套利”或“纯套利”是指利用同一资产在不 同市场上，或者不同资产在同一市场上存在的价格差 异，通过低买高卖来获取利润的行为。 零成本；无风险 当投资者可以构造一个能产生无风险利润的零投资组 合时，便出现了套利机会。 “风险套利”是指在特定领域寻找定价有偏差的证券 的行为，这一行为不是零成本，也可能承担风险。
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二、单个证券的套利定价
E ( ri ) = rf + kβ i
上式就是单个证券的套利定价模型，它描述了市场均衡状 态下，单个证券期望收益率与其风险（ ß ）的关系。 可以证明，这一模型与充分分散组合的定价模型是一致的。
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第三节 APT与CAPM
一、APT与CAPM的区别 二、 APT与CAPM的结合
单因素模型：资产收益只受一个共同因子F，以及特定的 自有因素ei的影响。F与ei的期望值均为零，F与ei之间、各 个ei之间相互独立。 证券I收益率可表达为： ri = E(ri) + ßiF + ei
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一、充分分散投资组合的套利定价
假设某证券组合P由n种证券构成，各证券的权数为xi，则P 的收益率为：
标准差 6.40 8.58
相关系数 0.94
T与D相关系数不为1，表明两者出现价格差并不违背一价原 则，但是，在任何情况下，组合T都优于股票D，投资者可 以卖空股票D，然后再购买组合T，这样，便构成一个总投 资额为零的投资组合，即零投资组合。
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二、套利与零投资组合
零投资组合的可能收益率 股票 A B C D 零投资组合 投资额 (万元) 100 100 100 -300 0 高利率 高通胀 -20 0 90 -45 25 低通胀 40 30 -10 -45 15 低利率 高通胀 20 70 -20 -69 1 低通胀 60 -20 70 -108 2
E ( rP ) = rf + λβ P
其中 λ 为直线斜率，代表单位风险的报酬，也称为风险因子 的报酬。
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一、充分分散投资组合的套利定价
E ( rP ) = rf + λβ P
上式就是充分分散投资组合的套利定价模型，它描述了市 场均衡状态下，任意充分分散投资组合期望收益率与其风 险（ ß ）的关系。
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二、套利与零投资组合
将A、B、C三种股票按等权重构成投资组合T。 T与D的可能收益率（%）比较
高利率 组合T 股票D 23.33 15 20 15
低利率 23.33 23 36.67 36
高通胀 低通胀 高通胀 低通胀
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二、套利与零投资组合
T与D的收益率（%）与相关系数
期望收益 组合T 股票D 25.83 22.25
第十一章 套利定价模型（APT） 套利定价模型（APT）
第一节 套利与均衡 第二节 单因子套利定价模型 第三节 APT与CAPM
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第一节 套利与均衡
一、一价原则与套利 二、套利与零投资组合 三、套利与均衡
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一、一价原则与套利
1、一价原则： 在竞争性市场上，如果两个资产是等值的，它们的市场价 格应该趋于一致。 相同证券在不同市场或同类证券在同一市场的价格应该一 致。 当一价原则被违反的时候，则可能出现套利机会。
四种股票的收益率（%）统计
股票 A B C D
现价 10 10 10 10
期望 收益 25 20
标准 差
A
相关系数 B C
D
29.58 1.00 -0.15 -0.29 0.68 33.91 -0.15 1.00 -0.87 -0.38 0.22 1.00
32.50 48.15 -0.29 -0.87 1.00 22.25 8.58 0.68 -0.38 0.22