2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题(含答案)

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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

∴|��1 + ��2|2 = (��1 + ��2)(��1��+��2�) = ��1��1 + ��2��2 + ��1��2 + ��1��2 = 2 ∴|��1 + ��2| = √2
答案： 1
提示：tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
Hale Waihona Puke sin 15o)=
1.
4.已知向量��⃗��，��⃗��，��⃗��满足|��⃗��| ∶ ��⃗�� ∶ |��⃗��| = 1 ∶ �� ∶ 3(�� ∈ ��+)，且��⃗�� − ��⃗�� = 2(��⃗�� − ��⃗��)，若��为��⃗��，��⃗��的

2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

（3）（2）（1）2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题: 本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a ，则实数a = . 答案：6解析：因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-，解得28,2log 6b a b ===。

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案：514解析：如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况；对于（3）；有18种情况；故所求概率为393918514P C ++== 3.设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λuu u r uu u r ，若OP AB PA PB ⋅≥⋅uu u r uu u r uu r uu r，则实数λ的取值范围是_______________.答案：[1解析：(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则(1,1)PB λλ=--u u r ，(,)PA λλ=-u u r， 2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r，解得：11λ≤≤+，因点P 是线段AB 上的一个动点，所以01λ≤≤，综上，满足条件的λ的取值范围是112λ-≤≤.4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH HB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 为PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为______..5.已知复数z 的模为1，则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案：17解：在复平面内，设(4,0)A 、(0,3)B -，P 为单位圆上的点，问题转化为求22||||PA PB +的最小值，设(cos ,sin )P αα，其中R α∈222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17αϕ=++≥由于R α∈，必存在α使sin()1αϕ+=-，即等号可以取到.6.在ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C+=++ . 答案：22017解析：因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C+==+⋅⋅22222222sin 1222()sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b =⋅===⋅+--. 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积，求方程2()1036f m m m =-- 的正整数解. 解：设m 是n 位正整数，若3n ≥，则110100n m -≥≥,∴29()1036(10)3690369103610nnn f m m m m m m ≥=--=--≥-≥⋅->矛盾.此时无解. ...... 4分若1n =，则2()1036f m m m m ==--，此方程无整数解. ......8分若2n =，且20m ≥，则281()103640020036164f m m m ≥=--≥--=矛盾 ∴[10,19]m ∈， ...... 12分设10m k =+，2()(10)10(10)36f m k k k =+-+-=，解得3k =，综上，方程的解为13m =. ...... 16分8．(满分16分) 设12a =, 211n n n a a a +=-+.证明：20182018111112018nn a =-<<∑.证明：由递推式得211(1)n n n n n a a a a a +-=-=- 所以111111n n n a a a +=---. 从而得2018201812019111111()1111n n n n n a a a a +===-=----∑∑. ...... 4分又21(1)0n n n a a a +-=->得数列{}n a 单调递增, 所以12n a a ≥=.特别地20182019111111kk aa ==-<-∑. ...... 8分由递推式可得111n n n a a a +-=-.从而 11211111n n n a a a a aa ++-⋅==--. ...... 12分由均值不等式及已证结论有1111nk k n n a =>≥∑所以 12nn a a a n ⋅>特别地2018201912201812018a a a a -=⋅>故20182018201911111112018kk aa ==->--∑. ...... 16分 9．(满分20分) 设椭圆C 的左、右顶点为,(,0)A B a , 过右焦点(1,0)F 作非水平直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点, 记直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k , 试证:12k k 为定值, 并求此定值(用a 的函数表示). 证明：设:1l x ty =+，代入椭圆方程222211x y a a +=-得 2222222((1))2(1)(1)0a t a y a ty a -++---=，设 1122(,),(,)P x y Q x y , 则2122222(1)(1)a t y y a t a -+=--+，2212222(1)(1)a y y a t a-=--+. ......5分两式相除得1221221y y t y y a +=-, 212121()2a ty y y y -=+. 由题意知111111y y k x a ty a ==+++, 222221y y k x a ty a ==--+. ........ 10分从而2112121122211222(1)(1)()/2(1)(1)()/2k y ty a a y y ay y k y ty a a y y ay y -+-+-+==++-+++ . 22122212(21)(1)(1)(21)a a y a y a y a a y -++-=-+++. ......15分因为222221111121a a a a a a a a -+--==-+++ 所以 1211k a k a -=+. ......20分10． (满分20分) 设函数2()f x ax bx c =++ (0a ≠)满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值.解：由题意知(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而当[2,2]x ∈-时,2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++222224(2)(2)(0)884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++. ......5分因为[2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而222222224224|()|442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+2||22x x =-++. .....10分易知当[0,2]x ∈ 时 225||22222x x x x -++=-++≤当[2,0]x ∈- 时 225||22222x x x x -++=--+≤得2||2||25max |()|max(||2)22x x x f x x ≤≤≤-++≤. ........ 15分最后取21()22f x x x =-++,则(2)(2)(0)2f f f =-==.故该函数满足题设条件且在[2,2]-上能取到最大值52.因此|()|y f x =的最大值为52. ......20分。

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩

证明：存在 x0 ∈[1, 9] ，使得 f (x0 ) ≥ 2 ．证法 1：只需证明存在 u, v ∈[1, 9] ，满足 f (u) − f (v) ≥ 4 ，进而由绝对值不
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．

4 7
，即
tan

2

4 7
，从而
tan(

)

cot

2

7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ．又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．

2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)

三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷）参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知圆锥的顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥底面上取一点Q , ° 使得直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域的面积解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心，记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一个档次，第10、参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，不得增加其他中间档次． 11小题5分为一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018全国高中数学预赛试题

1．集合 A {x Z | log2 x 2} 的真子集个数为． [ （ A ）7 （ B ）8 （ C ）15
] （ D ）16
2．三棱锥 P ABC 的底面 △ABC 是边长为 3 的正三角形， PA 3 ， PB 4 ， PC 5 ，则三棱锥 P ABC 的体积为．[ （ A）3 ] （ C ） 11 （D）2 3 （ B ） 10
准考证号_________________________
2018 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛
暨 2018 年吉林省高中数学联赛试题
（2018 年 5 月 20 日星期日上午 8:30---11：00）题号得分评卷人复核人考生注意：本试卷共计 4 页，16 道题，满分 150 分一二三（13）三（14）三（15）三（16）总分
a b 2 ≥ 0 a 2b 11．若实数 a ,b 满足条件 b a 1 ≤ 0 ，则的最大值等于__________． 2 a b a ≤ 1
n N* ，p 为常数） 12．在数列 an 中，若 an 2 an12 p（ n 2 ，，则称 an 为 “等方差数列” ．下
得分
3
y xy ， x y z xyz ，则 z 的取值范围是[
3
（ B ） 1,
3
二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分）请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果.
7．函数 y
x3 log 2 2 的定义域为__________． x 1 x 6x 8 1
2018 全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第 2 页（共 4 页)

2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案：514解析：如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况；对于（3）；有18种情况；故所求概率为393918514P C ++== 3.设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λuu u r uu u r，若OP AB PA PB ⋅≥⋅uu u r uu u r uu r uu r，则实数λ的取值范围是_______________.答案：[1解析：(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则(1,1)PB λλ=--u u r，(,)PA λλ=-u u r，2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r，解得：11λ≤≤，因点P 是线段AB 上的一个动点，所以01λ≤≤，综上，满足条件的λ的取值范围是112λ-≤≤.4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH HB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 为PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为______..5.已知复数z 的模为1，则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案：17解：在复平面内，设(4,0)A 、(0,3)B -，P 为单位圆上的点，问题转化为求22||||PA PB +的最小值，设(cos ,sin )P αα，其中R α∈222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17αϕ=++≥由于R α∈，必存在α使sin()1αϕ+=-，即等号可以取到.6.在ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C+=++ . 答案：22017解析：因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C+==+⋅⋅22222222sin 1222()sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b =⋅===⋅+--. 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积，求方程2()1036f m m m =-- 的正整数解.解：设m 是n 位正整数，若3n ≥，则110100n m -≥≥,29()1036(10)3690369103610nnnf m m m m m m ≥=--=--≥-≥⋅->矛盾.此时无解. ...... 4分若1n =，则2()1036f m m m m ==--，此方程无整数解. ......8分若2n =，且20m ≥，则281()103640020036164f m m m ≥=--≥--=矛盾 [10,19]m ∈， ...... 12分设10m k =+，2()(10)10(10)36f m k k k =+-+-=，解得3k =，综上，方程的解为13m =. ...... 16分8．(满分16分) 设12a =, 211n n n a a a +=-+.证明：20182018111112018nn a =-<<∑.证明：由递推式得211(1)n n n n n a a a a a +-=-=- 所以111111n n n a a a +=---.从而得2018201812019111111()1111n n n n n a a a a +===-=----∑∑. ...... 4分又21(1)0n n n a a a +-=->得数列{}n a 单调递增, 所以12n a a ≥=.特别地20182019111111kk aa ==-<-∑. ...... 8分由递推式可得111n n n a a a +-=-.从而 11211111n n n a a a aa a ++-⋅==--. ...... 12分由均值不等式及已证结论有1111nk k n n a =>≥∑所以 12nn a a a n ⋅>特别地2018201912201812018a a a a -=⋅>故20182018201911111112018kk aa ==->--∑. ...... 16分9．(满分20分) 设椭圆C 的左、右顶点为,(,0)A B a , 过右焦点(1,0)F 作非水平直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点, 记直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k , 试证: 12k k 为定值, 并求此定值(用a 的函数表示).证明：设:1l x ty =+，代入椭圆方程222211x y a a +=-得 2222222((1))2(1)(1)0a t a y a ty a -++---=，设 1122(,),(,)P x y Q x y , 则2122222(1)(1)a t y y a t a -+=--+，2212222(1)(1)a y y a t a -=--+. ......5分两式相除得1221221y y t y y a +=-, 212121()2a ty y y y -=+. 由题意知111111y y k x a ty a ==+++, 222221y y k x a ty a ==--+. ........ 10分从而2112121122211222(1)(1)()/2(1)(1)()/2k y ty a a y y ay y k y ty a a y y ay y -+-+-+==++-+++ . 22122212(21)(1)(1)(21)a a y a y a y a a y -++-=-+++. ......15分因为222221111121a a a a a a a a -+--==-+++所以 1211k a k a -=+. ......20分10． (满分20分) 设函数2()f x ax bx c =++ (0a ≠)满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值.解：由题意知(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而当[2,2]x ∈-时,2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++222224(2)(2)(0)884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++. ......5分因为[2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而222222224224|()|442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+2||22x x =-++. .....10分易知当[0,2]x ∈ 时 225||22222x x x x -++=-++≤当[2,0]x ∈- 时 225||22222x x x x -++=--+≤得2||2||25max |()|max(||2)22x x x f x x ≤≤≤-++≤. ........ 15分最后取21()22f x x x =-++,则(2)(2)(0)2f f f =-==.故该函数满足题设条件且在[2,2]-上能取到最大值52.因此|()|y f x =的最大值为52. ......20分。

2018年全国高中数学联赛A试题+答案

2018年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设集合 1,2,3,,99,2,2A B x x A C x x A ，则B C 的元素个数为．答案：24．解：由条件知， 13992,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48222B C，故B C 的元素个数为24．2. 设点P 到平面的距离为，点Q 在平面上，使得直线PQ 与所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．答案：8 ．解：设点P 在平面上的射影为O ．由条件知，tan OP OQP OQ ，即[1,3]OQ ，故所求的区域面积为22318 ．3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为．答案：910．解：先考虑abc def +为奇数的情况，此时,abc def 一奇一偶，若abc 为奇数，则,,a b c 为1,3,5的排列，进而,,d e f 为2,4,6的排列，这样有3!3!36×=种情况，由对称性可知，使abc def +为奇数的情况数为36272×=种．从而abc def +为偶数的概率为72729116!72010−=−=．4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左、右焦点分别是1F 、2F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P ．已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F 的面积为．答案解：由对称性，不妨设(,)P P P x y 在第一象限，则由条件知112,122P P x PT PS y PV PU ，即(2,1)P ．进而由1,2P x PU PS 得(2,2),(4,1)U S ，代入椭圆C 的方程知2222111144161a b a b，解得2220,5a b ．从而121212PF F P P S F F y y ．5. 设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ，则不等式组12,1()2x f x的解集为．答案：[2,82] ．解：由()f x 为偶函数及在[0,1]上严格递减知，()f x 在[1,0] 上严格递增，再结合()f x 以2为周期可知，[1,2]是()f x 的严格递增区间．注意到(2)()1,(82)(2)(2)2f f f f f ，所以1()2(2)()(82)f x f f x f ，而12822 ，故原不等式组成立当且仅当[2,82]x ．6. 设复数z 满足1z ，使得关于x 的方程2220zx zx 有实根，则这样的复数z 的和为．答案：32．解：设22i (,,1)R z a b a b a b ．将原方程改为2(i)2(i)20a b x a b x ，分离实部与虚部后等价于2220ax ax ，① 220bx bx ．②若0b ，则21a ，但当1a 时，①无实数解，从而1a ，此时存在实数1x 1z 满足条件．若0b ，则由②知{0,2}x，但显然0x 不满足①，故只能是2x ，代入①解得14a ，进而bz ．综上，满足条件的所有复数z 之和为312．7. 设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC，则sin BAC 的值为．答案解：不失一般性，设ABC 的外接圆半径2R ．由条件知，2AC AO AB BO，①故112AC BO ．取AC 的中点M ，则OM AC ，结合①知OM BO ，且B 与A 位于直线OM 的同侧．于是1cos cos(90)sin 4MCBOC MOC MOC OC．在BOC 中，由余弦定理得BC ，进而在ABC中，由正弦定理得sin 2BC BAC R． 8. 设整数数列1210,,,a a a 满足1012853,2a a a a a ，且1{1,2},1,2,,9i i i a a a i ，则这样的数列的个数为．答案：80．解：设1{1,2}(1,2,,9)i i i b a a i ，则有11011292a a a b b b ，① 2345285567b b b a a a a b b b ．②用t 表示234,,b b b 中值为2的项数．由②知，t 也是567,,b b b 中值为2的项数，其中{0,1,2,3}t ．因此237,,,b b b 的取法数为021222323333(C )(C )(C )(C )20 ．取定237,,,b b b 后，任意指定89,b b 的值，有224 种方式．最后由①知，应取1{1,2}b 使得129b b b 为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列129,,,b b b 唯一对应一个满足条件的数列1210,,,a a a ．综上可知，满足条件的数列的个数为20480 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知定义在R 上的函数()f x 为3log 1,09,()49.x x f x x设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ，求abc 的取值范围．解：不妨假设a b c ．由于()f x 在(0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，在[9,) 上严格递减，且(3)0,(9)1f f ，故结合图像可知(0,3)a ，(3,9)b ，(9,)c ，并且()()()(0,1)f a f b f c ． …………………4分由()()f a f b 得331log log 1a b ，即33log log 2a b ，因此239ab ．于是9abc c ． …………………8分又0()41f c ， …………………12分故(9,16)c ．进而9(81,144)abc c ．所以，abc 的取值范围是(81,144)． …………………16分注：对任意的(81,144)r ，取09rc =，则0(9,16)c ∈，从而0()(0,1)f c ∈．过点00(,())c f c 作平行于x 轴的直线l ，则l 与()f x 的图像另有两个交点(,())a f a ，(,())b f b （其中(0,3),(3,9)a b ），满足()()()f a f b f c ，并且9ab ，从而abc r =．10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a 满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和．证明：(1) 对任意正整数n ，有n a(2) 对任意正整数n ，有11n n a a ．证明：(1) 约定00S ．由条件知，对任意正整数n ，有221111(2)()()n n n n n n n n n a S a S S S S S S ，从而220n S n S n ，即n S （当0n 时亦成立）． …………………5分显然，1n n n a S S ． …………………10分(2) 仅需考虑1,n n a a 同号的情况．不失一般性，可设1,n n a a 均为正（否则将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则11n n n S S S ，故必有1n n S S ，此时1n n a a从而11n n a a ． …………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线24y x 的过点(1,0)F 的弦，AOB 的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）．若PF 平分APB ，求PF 的所有可能值．解：设222123123,,,,,444y y y A y B y P y，由条件知123,,y y y 两两不等且非零．设直线AB 的方程为1x ty ，与抛物线方程联立可得2440y ty ，故124y y ． ① 注意到AOB 的外接圆过点O ，可设该圆的方程为220x y dx ey ，与24y x 联立得，4210164y d y ey ．该四次方程有123,,,0y y y y 这四个不同的实根，故由韦达定理得12300y y y ，从而312()y y y ．②…………………5分因PF 平分APB ，由角平分线定理知，12PA FA yPB FB y ，结合①、②，有2222312222231212112122222222222321222132()()16(2)44()16(2)()44y y y y y y y y y PA yy PB y y y y y y y y y2222422122122224212112(8)16(416)64192(8)16(416)64192y y y y y y y y y y ， ………………10分即62226222112122126419264192y y y y y y y y ，故 224224121122()(192)0y y y y y y ．当2212y y 时，21y y ，故30y ，此时P 与O 重合，与条件不符．当422411221920y y y y 时，注意到①，有22221212()192()208y y y y ． …………………15分因22121282y y y y ，故满足①以及2212y y 的实数12,y y 存在，对应可得满足条件的点,A B ．此时，结合①、②知222231212()4411444y y y y y PF ．…………………20分2018年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,,,n n a a a b b b A B 均为正实数，满足,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤= ，且1212n n b b b Ba a a A≤ ．证明：1212(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1n n b b b B a a a A ++++≤++++ ．证明：由条件知，1,1,2,,i i i b k i n a =≥= ．记BK A=，则1212n n b b b B a a a A ≤ 化为12n k k k K ≤ ．要证明11111ni i i ik a KA a A =++≤++∏． ① 对1,2,,i n = ，由于1i k ≥及0i a A <≤知，11111111i i i i i i i i i k a k k k A k k a a A A +−−+=−≤−=++++．结合12n K k k k ≥ 知，为证明①，仅需证明当0,1(1,2,,)i A k i n >≥= 时，有1211111ni n i k A k k k A A A =++≤++∏． ②…………………20分对n 进行归纳．当1n =时，结论显然成立．当2n =时，由120,,1A k k >≥可知1212122111(1)(1)0111(1)k A k A k k A A k k A A A A +++−−⋅−=−≤++++， ③ 因此2n =时结论成立． …………………30分设n m =时结论成立，则当1n m =+时，利用归纳假设知，11121111111111111m m i i m m m i i k A k A k A k k k A k A A A A A A +++==+++++ =⋅≤⋅ +++++∏∏ 12111m k k k A A ++≤+ ，最后一步是在③中用121,m m k k k k + （注意1211,1m m k k k k +≥≥ ）分别代替12,k k ．从而1n m =+时结论成立．由数学归纳法可知，②对所有正整数n 成立，故命题得证．…………………40分二、（本题满分40分）如图，ABC 为锐角三角形，AB AC ，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC 的外接圆 BAC和 BC 的中点，F 为ABC 的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ．证明：若BN EM ，则DF FG ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由条件知，DE 为ABC 外接圆的直径，DE BC 于M ，AE AD ．记I 为ABC 的内心，则I 在AE 上，IF AB ．由NB AB 可知(180)90NBE ABE ABN ADE90ADE MEI ．① …………………10分又根据内心的性质，有EBI EBC CBI EAC ABI EAB ABI EIB ，从而BE EI ．结合BN EM 及①知，NBE MEI ≌ ． …………………20分于是90180EMI BNE BFE EFI ，故,,,E F I M 四点共圆．进而可知9090AFM IFM IEM AGM ，从而,,,A F G M 四点共圆． …………………30分再由90DAG DMG 知，,,,A G M D 四点共圆，所以,,,,A F G M D 五点共圆．从而90DFG DAG ，即DF FG ． …………………40分三、（本题满分50分）设,,n k m 是正整数，满足2k ≥，且21k n m n k−≤<．设A 是{1,2,,}m 的n 元子集．证明：区间0,1n k−中的每个整数均可表示为a a ′−，其中,a a A ′∈．证明：用反证法．假设存在整数0,1n x k∈ −不可表示为a a ′−，,a a A ′∈．作带余除法m xq r =+，其中0r x ≤<．将1,2,,m 按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1q +项，x r −个等差数列有q 项．由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含以x 为公差的等差数列的相邻两项．从而1,2,12()22,2|,2q x q q q n A r x r q x r q + ⋅ + =≤+−= ⋅+ ① 这里α 表示不小于α的最小整数． …………………20分由条件，我们有()2121k kn m xq r k k >+−−． ②又0,1n x k ∈ −，故(1)n k x >−． ③情形一：q 是奇数．则由①知，12q n x +≤⋅． ④ 结合②，④可知，1()22121q k kx n xq r xq k k +⋅≥>+≥−−，从而21q k <−．再由q 是奇数可知，23q k ≤−，于是1(1)2q n x k x +≤⋅≤−，与③矛盾．情形二：q 是偶数．则由①知，2qn x r ≤⋅+． ⑤结合②，⑤可知，()221q k x r n xq r k ⋅+≥>+−，从而1(1)2(21)2121xq k k xr k k k −−<<−−−，故2(1)q k <−．再由q 是偶数可知，24q k ≤−，于是(2)(1)2qn x r k x r k x ≤⋅+≤−+<−，与③矛盾．综上可知，反证法假设不成立，结论获证． …………………50分四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1n ≥， 1n a +是与1ni i a =∑互素，且不等于1,,n a a 的最小正整数．证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现．证明：显然11a =或21a =．下面考虑整数1m >，设m 有k 个不同素因子，我们对k 归纳证明m 在{}n a 中出现．记1n n S a a =++，1n ≥．1k =时，m 是素数方幂，设m p α=，其中0α>，p 是素数．假设m 不在{}n a 中出现．由于{}n a 各项互不相同，因此存在正整数N ，当n N ≥时，都有n a p α>．若对某个n N ≥，n p S ，那么p α与n S 互素，又1,,n a a 中无一项是p α，故由数列定义知1n a p α+≤，但是1n a p α+>，矛盾！因此对每个n N ≥，都有|n p S ．但由1|n p S +及|n p S 知1|n p a +，从而1n a +与n S 不互素，这与1n a +的定义矛盾． …………………10分假设2k ≥，且结论对1k −成立．设m 的标准分解为1212k km p p p ααα=．假设m 不在{}n a 中出现，于是存在正整数N ′，当n N ′≥时，都有n a m >．取充分大的正整数11,,k ββ−，使得11111max k k n n N M p p a ββ−−′≤≤=> ．我们证明，对n N ′≥，有1n a M +≠． …………………20分对任意n N ′≥，若n S 与12k p p p 互素，则m 与n S 互素，又m 在1,,n a a 中均未出现，而1n a m +>，这与数列的定义矛盾．因此我们推出：对任意n N ′≥，n S 与12k p p p 不互素．()∗情形1．若存在(11)i i k ≤≤−，使得|i n p S ，因1(,)1n n a S +=，故1i n p a +，从而1n a M +≠（因|i p M ）． …………………30分情形2．若对每个(11)i i k ≤≤−，均有i n p S ，则由()∗知必有|k n p S ．于是1k n p a + ，进而1k n n p S a ++，即1k n p S +．故由()∗知，存在00(11)i i k ≤≤−，使得01|i n p S +，再由11n n n S S a ++=+及前面的假设(11)i n p S i k ≤≤−，可知01i n p a +，故1n a M +≠． …………………40分因此对1n N ′≥+，均有n a M ≠，而1max n i N M a ′≤≤>，故M 不在{}n a 中出现，这与归纳假设矛盾．因此，若m 有k 个不同素因子，则m 一定在{}n a 中出现．由数学归纳法知，所有正整数均在{}n a 中出现． …………………50分。

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn

2018年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题+答案

A
B
H PA = 4 C PA
O O − HPC
5.
z
1 |z − 4|2 + |z + 3i|2
.
6. △ABC
sin2 A + sin2 C = 2018 sin2 B
(tan A + tan C) tan2 B =
.
tan A + tan B + tan C
4
78
16
9 10
20
72
.
7. f (m)
=
ty1
y1 +a
, +1
k2
=
y2 x2 − a
=
ty2
y2 −a
+1
10
k1 k2
=
y1(ty2 − a + 1) y2(ty1 + a + 1)
=
(a2 −1)(y1 +y2 ) 2
−
ay1
+
y1
(a2 −1)(y1 +y2 ) 2
+
ay2
+
y2
=
(a2 − 2a + 1)y1 + (a2 − 1)y2 (a2 − 1)y1 + (a2 + 2a + 1)y2
a2019 − 1
an
=
an+1 − 1 an − 1
a1
·
a2
· · · an
=
an+1 − 1 a1 − 1
=
an+1
−
1
12
a1 · a2 · · · an > nn

2019年全国高中数学联赛重庆市预赛试题及答案

2019年全国数学联赛重庆市预赛一、填空题（每小题8分，共64分）1、设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{}y x A y x y x B ≠∈+=,,|，若{}15log ,10log ,6log 222=B ，则集合A = 。

2、函数()()()113112+---++=x x x x f 的最小值为m ，最大值为M ，则mM= 。

3、=︒+︒15sin 2215tan 。

4、已知向量c b a ,,满足()+∈=Z k k c b a 3::1::，且()b c a b-=-2，若α为c a,的夹角，贼αcos = 。

5、已知复数321,,z z z 使得21z z 为纯虚数，121==z z ，1321=++z z z ，则3z 的最小值是。

6、已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为。

7、设()x f 是定义在()∞+，0上的单调函数，对任意0>x 有()x x f 4->，()34=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f f ，则()8f = 。

8、已知ABC ∆为椭圆14922=+y x 的内接三角形，且AB 过点()0,1P ，则ABC ∆的面积的最大值为。

二、解答题（共56分）9、（16分）已知过点()0,3P 斜率为k 的直线l 交双曲线13:22=-y x C 右支于B A ,两点，F 为双曲线C 的右焦点，且16=+BF AF ，求k 的值。

10、（20分）数列{}n a 满足31=a ，62=a ，()+++∈+=N n a a a nn n 9212。

（1）证明：数列{}n a 是正整数列；（2）是否存在+∈Z m ，使得m a |2019，并说明理由。

11、（20分）已知0,≥y x ，12019=+y x，求证：300112019->+y x 。

解答1、{}5log ,3log ,122，提示：设{}c b a A 222log ,log ,log =，其中c b a <<<0，则6=ab ，10=ac ，15=bc 。

2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题(含答案)

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

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2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案

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2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)

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