抽样区间估计与样本容量计算释疑
简述区间估计的原理和依据
简述区间估计的原理和依据区间估计是统计学中一种常用的推断方法，用于估计总体参数的范围。
它基于样本数据，通过构造一个区间来估计总体参数。
区间估计的原理和依据主要包括置信水平、抽样分布以及中心极限定理。
区间估计的原理基于置信水平的概念。
置信水平是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实总体参数的频率。
常用的置信水平有95%和99%。
例如，当我们使用95%置信水平进行区间估计时，意味着在一百次的抽样中，有95次的置信区间覆盖了真实总体参数。
置信水平越高，区间估计的可靠性越高，但估计的范围也会更大。
区间估计的依据是抽样分布的性质。
在统计学中，我们通常假设样本是从一个符合某种分布的总体中独立抽取得到的。
根据中心极限定理，当样本容量较大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
这一性质使得我们可以利用样本均值的分布来进行总体参数的区间估计。
以均值为例，当我们知道样本均值的抽样分布是正态分布时，可以根据该分布的特性计算出一个区间，使得该区间内的样本均值有很高的概率与总体均值接近。
区间估计的步骤一般包括以下几个步骤：1. 确定置信水平：根据具体问题和需求，选择适当的置信水平。
一般常用的置信水平为95%和99%。
2. 收集样本数据：通过抽样方法，收集样本数据。
样本数据应该具有代表性，能够反映总体的特征。
3. 计算样本统计量：根据所需的参数，计算样本统计量，如样本均值、样本比例等。
4. 确定抽样分布：根据中心极限定理，确定样本统计量的抽样分布。
通常情况下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
5. 构造置信区间：根据抽样分布的性质，计算出一个区间，使得该区间内的样本统计量有较高的概率包含总体参数。
一般情况下，使用样本统计量加减一个标准误差的倍数作为置信区间的边界值。
6. 解释结果：将置信区间的结果进行解释，例如可以说“在95%的置信水平下，总体参数的估计值位于计算得到的置信区间内”。
区间估计是一种基于样本数据进行总体参数估计的方法。
第10章 抽样估计与样本量确定
19
10.4 参数估计
参数估计就是根据从样本中收集的信息对总体参数进行推 断的过程。根据中心极限定理等推断理论所阐明的抽样分 布与总体分布之间的关系，由样本统计量的具体值（估计 值）估计总体参数。 点估计 区间估计
20
点估计
用样本的估计量直接作为总体参数的估计量。 存在抽样误差。 在点估计的基础上，对总体参数的区间或范围 进行估计(样本统计量加减抽样误差)，点估计 值落在该区间范围内的概率为置信度或置信系 数或置信水平。
26
举例P227
已知：n 36,1 95%, 2 0.025,1 2 0.975. 根据样本计算得： x 39.5, s 2 60.37.
2 查 2分布表得知： , 12 2 n 1 20.6120 . 2 n 1 53.1604
课后思考与训练题 P237-238 第4、5、7题
28
10.5 样本量的确定
样本量的确定问题，首先涉及对总体参数估计值的精度要 求，同时也涉及与各种运作限制（如可获得的预算、资源 和时间）之间的平衡问题。 抽样调查估计值的精度是对抽样误差大小的度量。因此确 定样本量是为控制抽样误差，而不是非抽样误差。
该银行信用卡年龄方差 2在95%置信度下的置信区间为 ： 53.1604 20.6120 即， 39.75 2 102.51
36 -1 60.37 2 36 -1 60.37
结论是：在95%的置信度下，信用卡用 户年龄标准差为 6.3 ~ 10.1岁.
27
练习题
12
10.3 抽样分布与抽样误差
总体分布：总体各单位的观测值所形成的频数分布。 样本分布：一个样本中各个观测值形成的频数分布。 抽样分布：样本统计量的抽样分布是一种理论分布，是指 在重复抽取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取 值形成的相对频数分布。
抽样估计与样本量确定
1
調查分析預測
MRAF
10．1 引言
• 估计就是根据从样本中收集的信息对 总体未知量进行推断的过程。 • 抽样估计涉及的重要问题：
– 一个样本单元的设计权数问题。 – 抽样估计，包括总体总量、均值和比例以及抽 样误差的估计。 – 样本量的确定构成抽样设计程序的重要步骤和 内容。同时，样本量的确定与样本估计值的精 度密不可分。
16
調查分析預測
MRAF
正态分布及标准值Z
2.14%
• 正态分布有以下几个重要特征：
– 正态曲线呈钟形，曲线下的面积等于1，表明它 包括了所有的调查结果。 – 在正态曲线下任意两个变量值之间的面积，等于 在这一范围内随机抽取一个观察对象的概率。例 如，任意抽取一个样本单元，IQ分数落在55-145 之间的概率是99.72%，即图10-3中正态曲线下 55-145之间的面积。 – 所有的正态分布在平均数±1个标准差之间的面 积相同，都占曲线下方面积的68．26％。这是正 态分布的比例性，为统计推断提供了基础。 – 一个正态分布的特殊性由其平均数和标准差决定。
調查分析與預測 MRAF
从总体分布到抽样分布
[例10．6] 设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数 N =4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。 可以计算总体均值、方差及其分布。
抽样样本量的确定
SSI
精品
第33页
7．回答率
所有的调查都会遇到无回答的困扰即： 由于某些原因，不能获得被抽中样本单位的信息
当一个被调查单位的所有或几乎所有的数据都缺 失时，我们就称之为完全无回答（或称单位无回答）
培训访员，等等），这样做可能更有效率
SSI
精品
第21页
4．总体的变异程度
调查总体中，我们所研究的项目或指标，对于不 同的个人、住户或企业，得到的估计结果可能会有很 大的不同。虽然我们不能控制这种变异性，但它的大 小却影响到了给定精度水平下，研究项目所必需的样 本容量。
SSI
精品
第22页
我们来看假设有一个首次开展的调查，试图估 计对某企业提供的服务持满意态度的顾客比例。对 “顾客满意”这一指标，设置两个可能的值：满意 或者不满意。
❖ 整群抽样得到的估计值，其精度通常低于使用同一估 计量进行估计时的简单随机抽样的估计值的精度
SSI
精品
第32页
设计效果因子
一般来说，当样本容量的计算公式假定为简单随机抽样SRS， 但使用的是更复杂的选样方式时，达到既定精度所需的样本容量应
该乘以设计效果因子。
设计效果=对于同样规模的样本容量，给定样本设计下 估计量的抽样方差对简单随机抽样估计量的 抽样方差的比率。
其中，总体方差S2是最不容易得到的，通常需要根 据过去对类似总体所做的研究作近似计算。
SSI
精品
第39页
求比例样本容量的确定
下面用一个例子，说明估计比例问题时样本容量的确定过程。
在这一例子中，所需的精度是根据误差界限确定的，所研究的指标 取两个值，即P和1-P。 在这种情况下，对于大总体，且估计量服从正态分布时， P的总体方差为：
随机抽样中样本容量的确定
（5）
来计算n， 如果计算出的n值大大超过30时， 这与前面假定 t (n 1) ≈2是不矛盾的。 在实际的工作中，对于n的确定可按如下方式进行：根据S和△的值，由（5） 式计算n的值，如果n的值大于30，就可以以这个n值作为样本的必要容量；若n 值不大于30，则采用“试差法”来确定样本的必要容量n，即先由（5）式计算出 一个n值， 以这个n值作为第二次查临界值 t (n 1) 时的n， 将查得的临界值 t (n 1) 代入（4）式再计算n值，再以求得的n作为第三次查临界值 t (n 1) 时的n，再将 查得的临界值 t (n 1) 代入（4）式计算n值，如此循环，直到（4）式中两边的n 值相同或相差很小时为止.一般要求计算出的n值不能小于5。
二是在未知时给出了总体平均数在置信水平1?时的区间估计11ssxtnxtnnn???同样可以看到在2未知条件下不论是对总体平均数进行参数估计还是假设检验均得到了一个相同的置信区间11ssxtnxtnnn???我们还是以1stnn?表示样本平均数x估计或检验总体平均数时所允许的最大绝对误差在知道最大绝对误差与置信水平1?的前提下我们可以计算出此时的必要样本容量n
从上面的式子（2）、（4）我们可以看到，对总体平均数进行参数估计或假 设检验时必要样本容量具有以下三个特点： （1）总体方差 2 或样本方差 S 2 越大，必要样本的容量n就越大； （2）最大允许误差△越小，必要样本的容量n就越大； （3）置信水平 1 越高，必要样本的容量n就越大。
参考文献：
(4)
事实上，当总体方差 2 未知时，我们可以用由经验确定的 0 2 代替 S 2 ，对 于给定的显著性水平 ，只要查得临界值 t (n 1) ，这时n的值就能由（4）式确 定。但实际上，确定临界值 t (n 1) 本身，事先就需要知道n的值，即自由度n-1 的值，因此（4）并没有真正解决n值的计算问题。然而，我们通过分析t分布临 界值表可以发现， 对于显著性水平 ≤0.05的情形， 当n≥30时， 其临界值 t (n 1) ≈2， 这个临界值对于大于30的各个n值影响均不太大，因此我们可以采用近似公 式
名词解释区间估计
区间估计的名词解释
一、什么是区间估计？
区间估计是统计学中一种常用的参数估计方法，用于根据样本数据来估计总体参数的范围。
在区间估计中，我们通过样本数据计算出一个区间，该区间通常包含总体参数的真实值。
区间估计的方法包括单侧区间估计和双侧区间估计。
二、区间估计的原理
区间估计的原理基于抽样分布理论。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。
因此，我们可以利用样本均值和标准误差来估计总体均值的分布。
具体来说，我们首先根据样本数据计算出样本均值和标准误差。
然后，利用样本均值加减标准误差的倍数来计算出置信区间的上下限。
置信区间的置信度通常设置为 95% 或更高，这表示我们有 95% 的把握认为总体参数的真实值落在这个区间内。
三、区间估计的应用场景
区间估计在实际应用中具有广泛的应用价值，下面列举了一些常见的应用场景：
1. 估计总体均值：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计
算出样本均值和标准误差，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体均值。
2. 估计总体比例：例如，通过对某人群进行抽样调查，计算出
样本比例和标准误差，然后用区间估计方法估计该人群的总体比例。
3. 估计总体标准差：例如，通过对某批次产品进行抽样检测，计算出样本标准差和样本容量，然后用区间估计方法估计该批次产品的总体标准差。
总之，区间估计是一种常用的参数估计方法，能够帮助我们在实际问题中对总体参数进行估计。
掌握区间估计的方法和原理，对于统计分析和决策具有重要意义。
总体比例的区间估计和样本量的确定
和 CoulP ] 以及 Agresti 和 Caff〇 [3]提出用_ + 气 /2 和 n + z 2 分别 代 替 ，和 n 来 修 正 CIw ald， 得： CIA C r n p + z 2/ 2 n-\~ z2 + z2
管 宇 ， 顾光同:总体比例的区间估计和样本量的确定
V
K n p + z 2/2)(?^ + z2/2)n n-\- z2
(4)
〜 H (N ， M， n) 超几何分布。 在用样本比例，= Y/n 来估计总体比例P 时 ， 抽 样 方 差 Var (p ) = ^ ， 它 的 无 偏 估 计 是 ， 其中Q = 1 —P
偏估计是舛 A ,其 中 Q = l — P 和 g = 1 —f 。 当样本量充分大时， 样本比例夕= X /w 的 抽 样 分 布 近 似 服 从 正 态 分 布 JV(P ， P Q A )。 因此， 近似地有： P -p \ ^ z ^ P 〇 7n
抽样调查基于随机原则， 从目标总体中抽取一 部分个体进行调查观察， 推断相关总体的数量特征。 随机性带来样本数值的波动， 置信区间就是用来反 映这种波动性。基于放回或不放回简单随机抽样的 总体比例估计分别对应于二项分布和超几何分布， 由于它们都是离散型分布， 通常完全准确的置信区 间是无法获取的。当然有所谓精确置信区间： 编写 计算机程序运算， 比较搜索长度最短的区间， 满足其 覆盖概率 都 不 低 于 预 先 设 定 的 置 信 概 率 1一 《 。显 然这样得到的置信区间是不可能有明确的显式表达 式 。因此， 寻找离散分布总体参数的覆盖概率与置 信概率之差尽可能小且有显式表达式的近似置信区 间， 有较大的统计理论意义和实用价值， 是理论统计 研究课题之一。本文研究放回和不放回简单随机抽 样下总体比例的近似置信区间以及相应样本量的 确定。
-抽样调查中样本容量的计算
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年第9期科技经济市场一种合理、可行的抽样方案，不仅需要针对调查对象选择适宜的抽样方法，还应根据调查研究的精度及预算情况来决定样本容量。
我们知道，在系统误差确定的条件下，抽样的准确性取决于抽样误差，抽样误差又与样本容量有直接关系。
若样本容量过大，会使得实施难度增大，增加经费的开支；而若样本容量过小，可能会影响样本的代表性，使抽样误差增大，影响了调查研究推论的精确性。
因此在实际工作中，如何确定样本容量是很重要的。
下面就对两种抽样情况进行分析，讨论如何确定样本容量。
1简单随机抽样时样本容量的计算1.1重复抽样假设(x 1,x 2,…,x n )是来自于总体的一个简单随机抽样，而总体的期望为μ，方差为σ2。
根据中心极限定理，即从正态总体中，随机抽取样本容量为n 的样本，则样本均数x 服从正态分布。
若当n 足够大时，即使是从偏态总体中抽样，样本均数x 也近似服从期望为μ，方差为的正态分布，即，转化成标准正态分布，则有。
根据统计学中区间估计知识可知：。
（1-α为置信水平）（1）从另一个角度来看。
在一定的置信概率条件下，抽样允许的最大误差称为抽样极限误差，或称允许误差，一般用△表示，而平均数的抽样极限误差就可以用△x 来表示。
由于总量指标是一个确定的值，抽样指标是围绕总体指标波动的随机变量。
那么，抽样指标与总体指标离差的绝对值就是抽样误差的可能范围。
抽样均值的极限误差△x 可表示为△x =|x-μ|。
根据△x 的定义可知：（2）比较（1）式和（2）式，可以得到：，即：（3）1.2不重复抽样当采用不重复抽样时，x 的方差为，即。
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式
抽样理论抽样误差与样本量的计算公式在统计学中，抽样是我们用来从整体中获取样本数据的一种方法。
然而，由于我们无法对整体进行完全调查，所以我们需要根据一部分样本数据来推断总体特征。
抽样误差是指由于样本抽取的随机性所引起的对总体特征的估计误差。
本文将介绍抽样理论中常用的抽样误差公式，并说明样本量的计算方法。
1. 抽样误差公式抽样误差是统计推断中的重要概念，它用来衡量样本数据对总体数据的估计精度。
抽样误差可以通过以下公式计算：抽样误差 = 抽样估计值 - 真实值抽样估计值是根据样本数据计算得出的统计量，例如均值、比例等。
真实值是指总体数据的真实数值。
在实际应用中，常用的抽样误差公式有标准误差公式和置信区间公式。
1.1 标准误差公式标准误差是样本统计量的抽样分布标准差。
如果我们假设样本数据满足正态分布，那么标准误差可以通过以下公式计算：标准误差 = 样本统计量的标准差 / 样本容量的平方根其中，样本统计量的标准差是指该统计量在抽样分布中的标准差，样本容量是指样本的大小。
例如，我们要估计某商品在全国范围内的销售量，并从中抽取了100个销售点的销售数据。
我们计算得出样本均值为2000，样本均值的标准差为100。
那么根据标准误差公式，我们可以计算出标准误差为：标准误差= 100 / √100 = 10这意味着我们对总体销售量的估计值平均偏差不超过10个单位。
1.2 置信区间公式置信区间是对总体特征的估计范围。
当我们进行统计推断时，我们通常希望给出一个置信水平，表示我们对估计值的信心程度。
置信区间可以通过以下公式计算：置信区间 = 抽样估计值 ±临界值 ×标准误差其中，临界值是根据所选置信水平和样本容量在统计表中查找得出的。
举例来说，我们希望估计某政党在全国范围内的支持率，并从中抽取了1000个选民的调查数据。
我们计算得出样本支持率为0.6，临界值为1.96（置信水平为95%）。
假设样本比例的标准误差为0.02，那么根据置信区间公式，我们可以计算出置信区间为：置信区间 = 0.6 ± 1.96 × 0.02 = 0.56 ~ 0.64这意味着我们以95%的置信水平估计，该政党的支持率在0.56到0.64之间。
统计学计算公式抽样估计
统计学计算公式抽样估计在统计学中，抽样估计是一种用样本数据来估计总体参数的方法。
通过对样本数据进行分析和计算，可以得到对总体参数的估计值。
抽样估计是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地了解总体特征，并且可以用来进行决策和预测。
在本文中，我们将介绍一些常见的统计学计算公式，以及如何利用这些公式进行抽样估计。
一、样本均值的抽样估计。
在统计学中，样本均值是对总体均值的估计。
样本均值的计算公式为：\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据，n表示样本容量。
通过计算样本均值，我们可以得到对总体均值的估计值。
通常情况下，样本容量越大，样本均值对总体均值的估计越准确。
二、样本方差的抽样估计。
样本方差是对总体方差的估计。
样本方差的计算公式为：\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1}\]其中，\(s^2\)表示样本方差，\(x_i\)表示第i个样本数据，\(\bar{x}\)表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差可以帮助我们了解样本数据的离散程度，通过样本方差的计算，我们可以得到对总体方差的估计值。
三、总体比例的抽样估计。
在一些情况下，我们需要对总体比例进行估计。
总体比例的计算公式为：\[p = \frac{x}{n}\]其中，p表示总体比例，x表示总体中满足某一条件的个体数，n表示总体容量。
通过对总体中的个体进行抽样，我们可以得到对总体比例的估计值。
四、抽样误差的计算。
在进行抽样估计时，我们需要考虑抽样误差。
抽样误差是指样本估计值与总体参数之间的差异。
抽样误差的计算公式为：\[E = \frac{Z \times \sigma}{\sqrt{n}}\]其中，E表示抽样误差，Z表示置信水平对应的Z值，\(\sigma\)表示总体标准差，n表示样本容量。
抽样调查的一般理论
抽样调查的一般理论抽样调查是一种统计学上的调查方法，它的基本思想是从总体中抽取一部分样本进行调查，通过对样本数据的分析来推断总体的情况。
抽样调查的一般理论主要包括以下几个方面：1. 抽样的基本概念：抽样是从总体中随机选取一部分单位作为样本进行观察和研究的过程。
总体是指研究对象的全部单位，而样本则是从总体中抽取出来的一部分单位。
抽样调查的目的就是通过样本数据来推断总体的情况。
2. 抽样的原则和方法：抽样的原则主要包括随机性、代表性和广泛性。
随机性是指每个单位被抽取的概率相等，以保证样本的代表性；代表性是指样本能够反映总体的特征和规律，以便通过样本推断总体；广泛性则是指样本应该覆盖总体中的各个部分和层次，以避免出现偏差。
抽样的方法则包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样等。
3. 抽样的误差和样本容量：抽样误差是指由于抽样引起的样本指标与总体指标之间的偏差。
抽样误差是不可避免的，但可以通过增加样本容量和采用更科学的抽样方法来减小误差。
样本容量则是指样本中所包含的单位数，它的大小直接影响到抽样误差的大小和推断的准确性。
4. 抽样推断的原理和方法：抽样推断是通过样本数据来推断总体数据的原理和方法。
其基本原理是概率论中的大数定律和中心极限定理。
抽样推断的方法包括点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据直接计算出一个具体的数值作为总体的估计值；区间估计则是通过样本数据计算出一个置信区间，以表示总体参数的可能取值范围。
总之，抽样调查的一般理论是统计学中的重要内容，它为抽样调查提供了科学的依据和指导。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的抽样方法和样本容量，并对抽样误差进行控制和评估，以保证推断的准确性和可靠性。
简述区间估计的原理和依据
简述区间估计的原理和依据区间估计是统计学中的一种常用方法，用于估计一个未知参数的取值范围。
在样本数据中，我们通常无法准确地得到一个未知参数的具体值，但可以通过对样本进行一系列的分析和计算，来给出参数在一些置信水平下的估计范围。
区间估计的原理可以简要概括为以下几个步骤：1.确定参数和样本分布：首先要明确我们要估计的参数是什么，例如总体均值、总体比例、总体方差等。
然后，我们要假设样本来自一些特定的分布，常用的假设包括正态分布、t分布等。
2.选择置信水平：区间估计的结果通常以置信水平来表示。
置信水平是一个概率值，通常取95%或99%。
这个值表示若我们对同一总体进行无限次抽样，并进行区间估计，有95%或99%的区间都将包含真实参数。
3.点估计：在进行区间估计之前，通常需要先进行点估计，即计算出一个单一的估计值。
点估计可以使用样本统计量，例如样本均值、样本比例等。
4.计算标准误差：标准误差是指点估计的标准差。
它用于度量点估计与真实参数之间的差距。
计算标准误差需要使用样本的大小和样本的方差。
5.确定临界值：根据所选择的置信水平和样本分布，可以从相应的分布表中找到临界值。
临界值决定了参数估计的上下限。
6.构建区间估计：根据点估计、标准误差和临界值，可以构建出一个置信区间。
置信区间具有以下形式：估计值±临界值×标准误差。
依据区间估计的原理，我们可以得知区间估计的依据主要有以下几点：1.中心极限定理：该定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从正态分布。
这意味着即便总体不服从正态分布，我们可以通过大样本的中心极限定理，使用正态分布假设来进行区间估计。
2.样本的随机性：区间估计依赖于随机的样本数据。
在进行抽样时，要确保样本是来自总体的一个随机样本，以避免抽样偏差。
3.置信水平：区间估计的结果通常以置信水平来表示。
通过选择不同的置信水平，可以得到不同的区间估计结果。
常用的置信水平有95%和99%。
区间估计基本原理
区间估计基本原理
区间估计是指通过样本数据对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，以及一个置信度。
区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间，即有一定置信度的总体参数在该区间内。
在进行区间估计时，通常会使用样本均值、样本比例或样本方差等统计量作为总体参数的点估计。
然后结合样本大小、总体标准差或其估计值，以及所选取的置信水平，利用统计分布的性质进行计算，得到一个区间范围。
置信度是指在重复抽样的情况下，得到的置信区间能够包含真实总体参数的概率。
通常使用的置信度为95%或99%。
即如果重复进行抽样，有95%或99%的抽样结果都能够包含真实总体参数。
区间估计的基本原理是建立在大数定律和中心极限定理的基础上。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于总体参数的分布。
而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会近似服从正态分布。
因此，可以利用正态分布或t分布来进行区间估计。
当给出一个置信度时，可以根据正态分布或t分布的性质，计算出一个临界值，即一个与置信度对应的取值。
然后根据样本统计量的分布情况，在样本统计量的点估计上加减一个与临界值相乘的标准误差，得到一个区间范围。
通过区间估计，可以对总体参数进行更全面、更准确的估计。
同时，区间估计也可以告诉我们有多大的把握认为总体参数在给定的区间范围内。
统计推断抽样误差大小的定量评估方法
统计推断抽样误差大小的定量评估方法在统计学中，抽样是一种常用的方法，用于从总体中获取一部分样本数据，并通过对样本数据进行统计分析，推断总体特征。
然而，在实践中，由于样本的选取是随机的，会存在一定的抽样误差，即样本结果与总体真实值之间的差异。
为了准确评估抽样误差的大小，统计学中提出了一些定量评估方法，本文将对其中的几种常见方法进行介绍。
一、标准误（Standard Error）标准误是衡量样本均值或比例估计值与总体均值或比例真值偏差的一种度量方法。
它反映了样本均值或比例的稳定性，标准误越小，说明样本均值或比例估计值与总体真值越接近。
计算标准误的公式如下：标准误 = 标准差/ √样本容量其中，标准差是样本数据的离散程度的度量，样本容量是样本数据的数量。
二、置信区间（Confidence Interval）置信区间是一种通过样本数据对总体特征进行估计并给出估计结果的不确定范围的方法。
在统计推断中，我们通常会给出一个置信水平，如95%，表示我们对样本估计结果的可信度为95%。
置信区间的宽度可以用来评估抽样误差的大小，宽度越大表示抽样误差越大。
计算置信区间的公式如下：置信区间 = 估计值 ±极限误差其中，估计值是样本数据的统计量，比如均值或比例，极限误差是通过查找标准正态分布表得到的。
三、样本容量计算（Sample Size Calculation）样本容量计算是为了满足指定的抽样误差要求而确定样本容量的方法。
在实际应用中，我们往往需要控制抽样误差的大小，以保证样本结果的可靠性和稳定性。
样本容量计算需要考虑置信水平、置信区间宽度和总体标准差等因素。
计算样本容量的公式如下：样本容量 = （（Z-score * 标准差） / 误差）^2其中，Z-score是置信水平对应的标准正态分布的分位数，标准差是总体标准差的估计值，误差是期望的抽样误差。
四、假设检验（Hypothesis Testing）假设检验是一种通过比较样本数据与总体假设值之间的差异来评估抽样误差的方法。
样本容量的确定
精品文档样本容量的确定分类：Statistics在参数区间估计的讨论中，估计值和总体的参数之间存在着一定的差异，这种差异是由样本的随机性产生的。
在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠度，置信区间就会扩大，估计的精度就降低了。
若要在不降低可靠性的前提下，增加估计的精确度，就只有扩大样本容量。
当然，增大样本容量要受到人力、物力和时间等条件的限制，所以需要在满足一定精确度的条件下，尽可能恰当地确定样本容量。
一、影响样本容量的因素（一）总体的变异程度 ( 总体方差)在其它条件相同的情况下，有较大方差的总体，样本的容量应该大一些，反之则应该小一些。
例如：在正态总体均值的估计中，抽样平均误差为它反映了样本均值相对于总体均值的离散程度。
所以，当总体方差较大时，样本的容量也相应要大，这样才会使较小，以保证估计的精确度。
（二）允许误差的大小允许误差指允许的抽样误差，记为，例如，样本均值与总体均值之间的允许误差可以表示为，允许误差以绝对值的形式表现了抽样误差的可能范围，所以又称为误差。
允许误差说明了估计的精度，所以，在其他条件不变的情况下，如果要求估计的精度高，允许误差就小，那么样本容量就要大一些；如要求的精确度不高，允许误差可以大些，则样本容量可以小一些。
（三）概率保证度1－α的大小概率保证度说明了估计的可靠程度。
所以，在其他条件不变的情况下，如果要求较高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可以相应减少样本容量。
（四）抽样方法不同在相同的条件下，重复抽样的抽样平均误差比不重复抽样的抽样平均误差大，所需要的样本容量也就不同。
重复抽样需要更大的样本容量，而不重复抽样的样本容量则可小一些。
精品文档此外，必要的抽样数目还要受抽样组织方式的影响，这也是因为不同的抽样组织方式有不同的抽样平均误差。
二、样本容量的确定( 一)估计总体均值的样本容量在总体均值的区间估计里，置信区间是由下式确定的：例如，对于正态总体以及非正态总体大样本时，都是以它为置信区间。
统计学中的抽样分布与区间估计
统计学中的抽样分布与区间估计是一种重要的方法和理论，可供研究者利用有限样本数据对总体参数进行推断与估计。
抽样分布是指多次从总体中抽取样本得到的统计量的分布，它与总体的分布有关，并且可以用来计算参数的抽样分布，从而提供参数的区间估计。
首先，抽样分布是统计学研究中的基本概念。
在进行统计推断时，我们无法对整个总体做出观测和测量，只能通过对样本数据的分析和统计推断来了解总体的特征和属性。
因此，抽样分布的理论基础是从总体中随机抽取的样本可以代表总体。
其次，抽样分布的性质主要包括：无偏性、一致性和有效性。
无偏性是指样本统计量的数学期望等于总体参数的真实值，即抽样分布的期望与总体参数一致；一致性是指随着样本容量的增加，抽样分布会趋于聚集在总体参数附近；有效性是指样本统计量的方差最小，即抽样分布的方差相对较小。
区间估计是利用抽样分布来进行参数估计的一种方法。
在统计推断中，我们往往无法通过一个点估计量来完全确定参数的值，因此需要通过区间估计来给出一个范围，以包含参数的真实值。
区间估计的过程包括：选择合适的抽样分布、计算样本统计量的抽样分布、确定置信水平和临界值、计算置信区间。
置信水平是区间估计中一个重要的指标，它表示在多次抽样中，根据抽样分布的性质，可以包含参数真实值的概率。
一般常用的置信水平为95%，意味着在100次实验中，有95次或更多的结果将包含参数真实值。
根据抽样分布的性质和置信水平，可以确定相应的临界值，并利用样本统计量的抽样分布计算置信区间。
区间估计的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，可以利用抽样分布和区间估计来估计新药的治疗效果；在市场调研中，可以利用抽样分布和区间估计来评估产品的市场份额与消费者偏好；在金融投资中，可以利用抽样分布和区间估计来预测股票收益与风险。
总之，统计学中的抽样分布与区间估计是一种基础的方法和理论，可用于对总体参数进行推断与估计。
抽样分布的性质决定了区间估计的精确性和可信度。
通过合适地选择抽样分布和确定置信水平，可以利用区间估计进行统计推断和决策，为研究者提供有限样本数据的有力支持和指导，进而推动学科的发展与进步。
抽样区间估计与样本容量计算释疑
抽样区间估计与样本容量计算释疑抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。
抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。
本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。
[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。
要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。
⑵估计全市居民消费总支出区间。
[解题过程]已知户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元 全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元[几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。
本例就是标准的均值参数区间估计题型。
由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。
（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。
（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N 未知或n/N 的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。
（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N 即可。
[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。
1000,200000,2,9.0,8.1=====n N t x σ万元平均误差028.0%)5.01(100081.0)1(2=-=-=N n n x σμ万元极限误差056.0028.02=⨯==∆x x t μ[解题过程]已知喜欢该类保健品者的比率置信区间为：[64%-4.21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%][几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。
统计推断中区间估计原理及其应用注意事项
统计推断中区间估计原理及其应用注意事项统计推断是统计学中重要的一部分，通过对样本数据进行分析和推断，从而对总体参数进行估计和判断。
在统计推断中，区间估计是一种常用的方法，它可以帮助我们确定一个参数的取值范围，提供更全面和准确的信息。
一、区间估计的原理区间估计是指根据样本数据，通过计算得到一个区间，这个区间包含了总体参数的估计值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
1. 置信区间置信区间是对总体参数的一个区间估计，它表示我们对总体参数的估计值有一定的置信度。
置信区间的计算方法通常基于抽样分布的理论，结合样本数据的统计量和抽样误差进行计算。
2. 预测区间预测区间是对未来个体观测值的一个区间估计，它通过考虑随机误差和参数估计误差来计算。
预测区间一般比置信区间更宽，因为在置信区间只考虑了参数估计误差，而预测区间还要考虑未来个体观测值的随机误差。
二、区间估计的应用注意事项在进行区间估计时，我们需要注意以下几个方面：1. 样本容量样本容量是影响区间估计精度的重要因素。
样本容量越大，区间估计的精度越高。
因此，在进行区间估计时，应尽量选择足够大的样本容量，以提高估计的准确性。
2. 总体分布的假设区间估计的前提是对总体分布的某些假设。
在进行区间估计时，我们需要根据实际情况选择适当的分布假设，如正态分布、均匀分布等。
假设的准确性会直接影响到区间估计的结果。
3. 置信水平的选择在置信区间估计中，我们需要选择一个置信水平来确定区间的宽度。
置信水平一般选择为95%或者90%。
置信水平越高，区间的宽度越大，估计的精度越高，但同时也意味着估计的范围更加宽泛。
4. 置信区间的解读在得到置信区间后，我们需要正确解读其含义。
置信区间并不代表总体参数取值范围的概率分布，它只是对参数的估计范围。
置信区间的含义是：在大量重复抽样中，这个区间包含了真实参数值的比例等于置信水平。
5. 区间估计与假设检验区间估计与假设检验是统计推断的两个重要方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抽样区间估计与样本容量计算释疑抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。
抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。
本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。
[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。
要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。
⑵估计全市居民消费总支出区间。
[解题过程]已知户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元 全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元[几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。
本例就是标准的均值参数区间估计题型。
由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。
（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。
（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N 未知或n/N 的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。
（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N 即可。
[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：对该类保健品的态度人数 喜欢320 一般性100 不喜欢 80 合计 500要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。
1000,200000,2,9.0,8.1=====n N t x σ万元平均误差028.0%)5.01(100081.0)1(2=-=-=N n n x σμ万元极限误差056.0028.02=⨯==∆x x t μ[解题过程]已知喜欢该类保健品者的比率置信区间为：[64%-4.21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%][几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。
其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。
（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N 、n 、n 1相混淆。
其实，若用文字表述，应该是“从N 中随机抽取n 个单位进行观察，有n 1个单位是（具有某种特征）……”。
并且，不要将抽样估计中提供的“可靠性水平”当作公式中的P 来使用。
“可靠性水平”值在计算时没有其它用途，只告诉我们概率密度t 的具体取值。
（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N 可视作“无穷大”。
所以采用重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。
[例3]某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。
根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。
问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。
[解题过程]已知N=5000，t=2.58，Δx =20,σ=150[几点说明]（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。
样本容量确定其实是极限误差计算（参数估计）的反问题，因此其公式就是根据极限误差与平均误差之间的关系推导而来的。
因为Δx =t μx ,等式两边平方，即有Δx 2=t 2μx 2，在简单随机抽样情况之下，Δx 2=t 2σ2/n ，从而有上述的公式。
（2）对于成数的抽样估计，是非标志的方差σp 2=P(1-P),故只要将上述公式中的方差改为P （1-P ）即可。
（3）样本容量估计时，计算结果总是取整数，小数点无论是否达到0.5均应该进位，故本列中374.4与348.3均进位，分别成为375与349。
（4）在样本容量确定时，允许误差或误差范围均是指极限误差Δ。
[例4]某市质量技术监督部门拟对市场上某类牛奶制品的质量（合格率）进行检查，要求在95%的可靠性之下(t=1.96)，合格率的误差范围不超过1%。
根据最近三次同类检查，这类产品的合格率分别为98.9%、98.2%、97.8%。
问至少应该抽多少件产品进行检验？若允许误差扩大1倍，则应该抽取多少件进行检验？ %64500/320/320,96.1,50011======n n p n t n 点估计%15.2021466.050036.064.0)1(==⨯=-=n p p p μ平均误差%21.40215.096.1=⨯==∆p p t μ极限误差()件重复抽样时的样本容量3754.3742015058.2222222≈=⨯=∆=x t n σ()件量不重复抽样时的样本容3493.34815058.220500015058.250002222222222≈=⨯+⨯⨯⨯=+∆=σσt N Nt n x[解题过程]已知t=1.96，Δp =1%,P=97.8%当允许误差扩大1倍时，即Δp =2%，于是样本容量：[几点说明]（1）本例是成数估计时的样本容量确定。
虽然实际的质量检验肯定是采用不重复抽样的，但由于市场上该类产品数量未知，可视作无穷大，故采用重复抽样的样本容量公式。
（2）本例的关键是公式中P 的选择。
题中提供了三次同类检查的合格率资料，但一般不能用三者平均数作为P 。
样本容量确定时通常采取“保守原则”，因此应该取“最大方差”，题中提供的三次调查合格率，其方差分别为98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%(1-98.2%)=0.011784、97.8%(1-97.8%)=0.021516，故取P=97.8%时方差达到最大，据之计算得出的样本容量也最大，据之作出的调查估计也是“最保守”从而也是最可靠的。
（3）但必须注意的是，此例表面上看是取三个合格率的最小者作为P ，但切不可据之类推，以为永远是最小的那个比率。
例如，本例若改为对“不合格率“的估计，则前三次调查的不合格率是1.1%、1.8%、2.2%，若错误地认为应该取三者中的小者，就会取P=1.1%，但据之计算的方差却不是最大而是最小。
此时取P=2.2%才可达到“方差最大”。
其实，P=50%时成数方差达到最大值，因此，应该取最接近50%的那个比率作为样本容量公式中的P 。
（4）对于例3资料，其实也存在着“最大方差”原则问题，即当资料中给出了近几次类似调查的样本方差，则也应该取其中最大者作为公式中的方差σ。
（5）当同一次调查需要对两个以上的项目（如平均值与成数）进行估计时，应该分别计算这些项目的必要样本容量，然后取其中之大者作为最终确定的抽样单位数。
[例5]对于简单随机重复抽样，在其它条件不变的情况之下，（1）抽样单位数（样本容量）分别增加1倍、3倍、减少25%、50%，则抽样平均误差分别如何变化；（2）反之，若抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，则抽样单位数（样本容量）应该如何变化？[解题过程]（1）设改变要求之前的样本容量为n 旧，平均误差记为μ旧，则当样本容量分别增加1倍、3倍、减少25%、50%时，相应的n 将分别为：n=2n 旧、n=4n 旧、n=0.75n 旧、n=0.5n 旧，相应抽样平均误差分别为：即样本容量扩大一倍，平均误差减少29.29%。
()件样本容量8276.82601.0022.0978.096.1)1(2222≈=⨯⨯=∆-=p P P t n ()件2077.20602.0022.0978.096.1)1(2222≈=⨯⨯=∆-=p P P t n 旧旧旧μσσσμ7071.0212222====n n n即样本容量扩大3倍，抽样平均误差减少50%。
即样本容量减少25%，抽样平均误差扩大15.47%。
即样本容量减少50%，抽样平均误差扩大41.42%。
（2）设改变要求之前的允许误差记为Δ旧，相应的样本容量记为n 旧，则当抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，时，相应的Δ分别为： Δ=0.8Δ旧，Δ=0.5Δ旧，Δ=1.5Δ旧，Δ=2Δ旧，，相应样本容量为：即允许误差减少20%，样本单位数应该扩大0.5625倍。
即允许误差减少一半，样本单位数应该扩大3倍。
即允许误差扩大50%，样本单位数可以减少55.56%。
即允许误差扩大1倍，样本单位数可以减少75%。
[几点说明]（1）本题是测试学生对样本容量与抽样平均误差（或极限误差）之间数量关系掌握的熟练程度。
因此，本题关键是搞清楚在重复简单随机抽样情况之下，样本容量与平均误差、极限误差之间的公式关系。
（2）本题还必须正确理解统计学中 “扩大了”、“减少了”的真实含义，注意与“扩大到”、“减少到”之间的本质差别。
“扩大了一倍”等价于“是原来的二倍”，“减少了20%”等价于“是原来的80%”，貌似简单，却总有不少初学者搞错，因此必须引以重视。
旧旧旧μσσσμ5.0214222====n n n 旧旧旧μσσσμ1547.175.0175.0222====n n n 旧旧旧μσσσμ4142.15.015.0222====n n n ()旧旧n t t n 5625.18.0222222=∆=∆=σσ()旧旧n t t n 45.0222222=∆=∆=σσ()旧旧n t t n 4444.05.1222222=∆=∆=σσ()旧旧n t t n 25.02222222=∆=∆=σσ。